VALORES Y VECTORES PROPIOS DE MATRICES REALES Y COMPLEJAS INVESTIGACION FINAL.pdf

UNIVERSIDAD DE CUENCA ÁLGEBRA LINEAL “VALORES Y VECTORES PROPIOS” TRABAJO REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTÉZ AUCAPIÑA PROFESOR: ING. HERNÁN PESÁNTEZ REGALADO

FECHA DE ENTREGA:

LUNES, 08 DE JULIO DE 2013 SEMESTRE: MARZO-JULIO/2013

OBJETIVOS GENERALES:  Adquirir conocimientos acerca de valores y vectores propios.  Conocer su historia y avances a lo largo del tiempo, y quienes fueron los principales personajes que utilizaron esta teoría.  Conocer aplicaciones útiles del algebra lineal y relacionar sus utilidades con otras áreas de la matemática. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:  Dominar los conceptos de valores y vectores propios.  Calcular los valores propios de matrices generales y además de matrices que no son simétricas o hermíticas  Conocer el proceso para la obtención de valores y vectores propios.  Ser capaces de decir una matriz es o no diagonalizable  Obtener adecuadamente y según sea el caso a la matriz P, y su correspondiente matriz D que diagonalice a una matriz A cualquiera.  Aplicar correctamente los conceptos adquiridos para la correcta resolución de problemas.  Usar al algebra lineal como herramienta, así como darme cuenta cuanto puede simplificar los cálculos.  Usar los conocimientos adquiridos para realizar problemas geométricos que implican el uso de diagonalización

2 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ

INTRODUCCION En la presenta investigación se abordaran temas relaciones a los eigenvalores o valores propios y a los eigenvectores o vectores propios y su utilidad aplicaciones en diagonalización de matrices, potenciación de matrices, ecuaciones en diferencia, crecimiento poblaciones y en formas cuadráticas. El adjetivo alemán eigen significa “propio” o “característico de”. Eigenvalores y eigenvectores son características de una matriz en el sentido de que contienen información importante acerca de la naturaleza de la matriz. La letra l (lambda), la equivalente griega de la letra L, se usa para eigenvalores porque en una época también se conocían como valores latentes.

HISTORIA DE VECTORES Y VALORES PROPIOS Los valores y vectores propios son temas de mayor utilidad del álgebra lineal. Se usan en varias áreas de las matemáticas, física, mecánica, ingeniería eléctrica, etc. Los valores propios de las matrices aparecieron publicados antes que las matrices. Los valores propios se originaron en el contexto de formas cuadráticas y en la mecánica celeste (el movimiento de los planetas), conociéndose como raíces características de la ecuación escalar. Desde 1740, Euler usaba de manera implícita los valores propios para describir geométricamente las formas cuadráticas en tres variables. Fue hacia la segunda mitad del Siglo XVIII, que tanto LaGrange como Laplace se vieron obligados a profundizar en el estudio matemático de los valores propios. Así en la década de 1760, LaGrange estudió un sistema de seis ecuaciones diferenciales del movimiento de los planetas (sólo se conocían seis planetas) y de ahí dedujo una ecuación polinomial de sexto grado, cuyas raíces eran los valores propios de una matriz 6x6. En 1820, Cauchy se dio cuenta de la importancia de los valores propios para determinar los “ejes principales” de una forma cuadrática con n variables. También aplicó sus descubrimientos a la teoría del movimiento planetario. Fue él quien, en 1840, usó por primera vez los términos valores característicos y ecuación característica para indicar los valores propios y la ecuación polinomial básica.


BIOGRAFÍAS:

Joseph Louis LaGrange (25/01/1736 - 10/04/1813)

Matemático francés de origen italiano. A los 19 años obtuvo fama resolviendo el llamado problema isoperimétrico, que había desconcertado al mundo matemático durante medio siglo. Fue uno de los matemáticos más importantes del siglo XVIII; creó el cálculo de variaciones, sistematizó el campo de las ecuaciones diferenciales y trabajó en la teoría de números En el álgebra Sus aporto en discusión de la solución enteras de las formas cuadráticas en 1769, y generalmente de ecuaciones indeterminadas en1770. . Entre sus investigaciones en astronomía destacan los cálculos de la libración de la Luna y los movimientos de los planetas. Su obra más destacada es Mecánica analítica.

Augustin-Louis Cauchy (París, 1789-Sceaux, Francia, 1857)

Matemático francés. Con veintisiete años ya era uno de los matemáticos de mayor prestigio y empezó a trabajar en las funciones de variable compleja, publicando las 300 páginas de esa investigación once años después. En esta época publicó sus trabajos sobre límites, continuidad y sobre la convergencia de las series infinitas. En 1830 se exilió en Turín, donde trabajó como profesor de física matemática hasta que regresó a París (1838). Publicó un total de 789 trabajos, entre los que se encuentran el concepto de límite, los criterios de convergencia las fórmulas y los teoremas de integración y las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann.


Leonhard Euler (Basilea, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo, 18 de septiembre de 1783)

Matemático suizo. Leonhard Euler fue uno de los matemáticos más prolíficos de la historia y cubrió casi todas las áreas de las matemáticas: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra. Euler fue el encargado de introducir el concepto de función matemática, una notación que ofrecía mayor comodidad frente a los métodos del cálculo infinitesimal. También introdujo también la notación moderna de las funciones trigonométricas, el número e, la letra griega que representa el símbolo para los sumatorios, la letra i para los números imaginarios y la letra pi para representar el cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro. Fue además un apasionado de la teoría de números, llegando a unir la naturaleza de la distribución de los números primos con sus ideas del análisis matemático. Leonhard Euler consiguió demostrar la divergencia de la suma de los inversos de los números primos, y con ella, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos. Algunos de los mayores éxitos de Leonhard Euler vinieron en las matemáticas aplicadas, consiguió hacer grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para resolver integrales, hasta el punto de conocerse hoy en día como aproximaciones de Euler.

FUENTES DE CONSULTA: http://www.biografiasyvidas.com/biografia/l/lagrange.htm http://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cauchy.htm http://www.elcivico.com/notas/2013/4/15/breve-biografia-leonhard-euler-genio-matematicopadre-numero-e-102994.asp http://cvb.ehu.es/open_course_ware/castellano/tecnicas/fundamen_mate/contenidos/teoria /documentos-pdf/diagonalizacion.pdf http://www.miscelaneamatematica.org/Misc43/CarMtnez_a.pdf


VALORES Y VECTORES PROPIOS DE MATRICES REALES Y COMPLEJAS DEFINICIÓN Sea A ∈ y ⃗ un vector diferente del vector cero de , y λ un escalar cualquiera ∈ RvC. Además λ es un valor propio real o complejo de A si existe una solución no trivial de v, y v es un vector propio real o complejo de A asociado a λ, Tal que A ⃗ = λ ⃗. ⃗⃗

A ⃗ =λ ⃗, donde A y λ ∈ RvC, ^ ⃗ Inexistencia del vector cero como vector propio y ∀λ ∈ R se cumple A⃗⃗ = λ ⃗⃗ Por esta razón el vector nulo ⃗⃗ no se considera vector propio. ∀A ∈

Sea A una matriz de nxn y sea λ un eigenvalor de A, el conjunto de todos los eigenvectores correspondientes a λ, junto con el vector cero, se llama eigenespacio de λ y se denota por EJEMPLO 1.- Sea A=(

) , ⃗⃗=(

A ⃗⃗ = (

) = -3 ⃗⃗

)*(

)= (

), ⃗=(

.

). ¿Son vectores ⃗⃗ y ⃗ propios de A?

Entonces ⃗⃗ es un vector propio correspondiente a un valor propio de (-3) A⃗ = (

)*(

)= (

)

λ(

)

Entonces ⃗ no es un vector propio de A porque Av no es múltiplo de ⃗ ) , después encuentre

EJEMPLO 2.- Vea 5i es un valor propio de la matriz A=( los vectores propios correspondientes. )= 0

Det( )= 0

Det(

( )( )-(4)(0.5) =0 2-2=0 0=0 Entonces 5 si es un valor propio de la matriz A. Para encontrar los vectores propios de A resolvemos la ecuación homogénea: (A

⃗

(A

=(

⃗⃗ )

(

)

(

)


⃗ (

)*( )

(

)

⃗⃗ ( )

Al resolver se obtiene

+ ,

t

Entonces: El sistema obtenido tendrá infinitas soluciones con la forma: ⃗

(

)

Interpretaciones geométricas de vectores propios en R2 y R3 Los valores y vectores propios tienen una interpretación geométrica útil en los espacios vectoriales R2 y R3, ya que sí ⃗ es un vector propio de un operador lineal T sobre R2 o R3, asociado a un valor propio λ, entonces T dilata a ⃗, contrae a ⃗, invierte el sentido de ⃗ según el valor de λ.

Entonces: Si λ Si Si λ Si λ

Dilatación Contracción Invierte en sentido T (u)=0

EJEMPLO 3.- Calcule los valores propios de la transformación lineal T: R2 T((x,y))=(2x, x+3y)

R2, dada por

Debemos buscar un vector ⃗⃗ =(x, y) diferente de cero que satisfaga 2x= X+3y= 7 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ

Despejando de 2x=

obtenemos:

Además y= -x Entonces: ⃗⃗ = [ (x, y)= (x, -x) / x ∈ R; x

]

Obtenemos de esta expresión los vectores propios Por ejemplo cuando x=3 ⃗⃗

(2(x), x+3(-x) ) = (2x,-2x) = 2(x,-x)

Ahora si tenemos x=0, entonces ⃗⃗⃗⃗ = [(x`, y`)= (0, 3y) / y ∈ R; y

]

T( ⃗⃗´)=(0, 3y ) = 3(0,y)

De esto concluimos que por cada vector propio de T, podemos obtener una infinidad de vectores propios, sin contar con su respectivo vector cero.

CALCULO DE LOS VECTORES PROPIOS Para el cálculo de lo eigenvectores o vectores propios de A se realizan las siguientes operaciones: A⃗ A ⃗

⃗

(Multiplico por I (Matriz Identidad) a los dos miembros de la igualdad) ⃗


A⃗

⃗

A⃗

⃗

⃗⃗ ⃗⃗

⃗

CÁLCULO DE LOS VALORES PROPIOS Para el cálculo de lo eigenvalores o vectores propios de se tiene:

|

| (

Donde

)

es el valor propio de A

EJEMPLO 4.- Demuestre que para cualquier valor de vectores propios son ( )

(

de la siguiente matriz A sus

) (

)

Calculamos los valores propios de A ( (A

)=(

=(

)

)

(

)

|

(

)

|

√

√

, Utilizamos (A

⃗

⃗⃗

⃗ Con 9 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ

(

)( )

(

)

( )

t Con ⃗

⃗⃗

obtenemos

( )

Con (

)( )

(

)

( )

t Con ⃗

(

⃗⃗

obtenemos

)

Entonces los vectores propios de la matriz A son ( )

(

)

EJEMPLO 5.- Calcular los valores y vectores propios para la matriz A=(

)

Procedemos a calcular los valores propios ( (A

)=(

=(

)

) (

Det (A

=|

Det (A

=0, entonces

)

(

)

|= (5- )(3- )-(4)(12) =


, ⃗⃗

⃗

Utilizamos (A ⃗

(

)*(

(

⃗⃗

) )

(t/2),

( )

t

Entonces: El sistema obtenido tendrá infinitas soluciones con la forma: ⃗

( )

(

)*( )

(

)

(3t/2),

⃗⃗ ( )

t

Entonces: El sistema obtenido tendrá infinitas soluciones de la forma: ⃗

( )

POLINOMIO CARACTERISTICO Para cada matriz A de orden nxn se tiene que Det (A

es un polinomio de grado n que se

llama polinomio característico de A y se denota por PA( )


Consideramos la matriz

Luego:

(A

=

Entonces el determinante de (A

nos dará un polinomio característico.

ECUACION CARATERISTICA La ecuación característica es llamamos a: Det (A

=0

Como ya sabemos la ecuación característica de A, nos da los eigenvalores o valores propios de la matriz A. EJEMPLO 6.- Calcule el polinomio y la ecuación característica de la siguiente matriz. A3x3 = (

)

El polinomio característico se calcula Det (A Entonces:

=(

(A

)

(

((

)) = (

)

)

=( Det (A

=

Ecuación Característica: Det (A Det (A

=0

= 12

REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ

Concluimos que el algoritmo a seguir para calcular valores y vectores propios es: 1. Determinamos el polinomio característico PA( )= Det (A 2. Resolvemos la ecuación característica PA( )= Det (A =0 (Donde las soluciones reales e imaginarias de ésta ecuación son los valores propios de A) 3. Para cada valor propio de la matriz A, se resuelve el sistema de ecuaciones (A ⃗ =⃗⃗. MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA La multiplicidad algebraica de característico PA( ) k

Max [k ∈ (1,2,…., n) / (x-

se define como la multiplicidad de la raíz

del polinomio

]

Donde k es el grado de multiplicidad. Es decir se llama multiplicidad algebraica de un valor propio λ al número de veces que aparece (x−λ) como factor en el polinomio característico de A MULTIPLICIDAD GEOMETRICA Se llama multiplicidad geométrica de un valor propio λ a la dimensión del subespacio propio V (λ0). Dim (

) = Número de vectores propios de

Relación entre multiplicidad algebraica y geométrica La Multiplicidad Geométrica es menor o igual a la multiplicidad algebraica EJEMPLO 7.- Determine los valores propios y sus multiplicidades algebraicas y geométricas de la matriz: A= (

)

Resolvemos Det (A

(A

Det(

= (

=0

)

((

))

(

)

)=


= = Entonces los valores propios de A son Cuya multiplicidad algebraica es uno. Cuya multiplicidad algebraica es dos. La multiplicidad geométrica de los valores propios es 2. TEOREMAS:   

Los eigenvalores de una matriz triangular son las entradas en su diagonal principal. Una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si 0 no es un eigenvalor de A. Sea A una matriz de nxn y sean distintos eigenvalores de A con sus correspondientes eigenvectores ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ . Entonces ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ son linealmente independientes.

FUENTES DE CONSULTA Larson, Falvo. Fundamentos de Algebra Lineal. 6ta Edición. Editorial CENGAGE Learning (pagina 421-435) David Poole. Algebra Lineal, Una introducción Moderna. 3ra Edición. Compañía de Cengage Learning, 2011 (página 303-312) Gareth Williams. Algebra Lineal con Aplicaciones. 4ta Edición. Mc Graw-Hill, 2002. (Página 276-282) David C. Lay. Algebra Lineal y sus Aplicaciones. 3ra Edición. Pearson Education, 2007. . (Pagina 302-319) http://personales.upv.es/jbenitez/cajon_sastre/val_prop.pdf http://cursos.aiu.edu/Algebra%20Lineal/PDF/Tema%206.pdf http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/lecturas/l843-71.pdf


2. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Antes de empezar con las diagonalización de matrices es necesario conocer antes algunos conceptos. Semejanza de matrices Definición.- Sean 2 matrices A, B ∈ invertible C tal que A = PBP

-1

decimos que A y B son similares si existe una matriz

. La semejanza entre A y B, se lo denota por

A B.

TEOREMA: Si las matrices A y B ∈ son semejantes, entonces tienen el mismo polinomio característico y, por consiguiente los mismos valores propios con las mismas multiplicidades. Concepto de diagonalización Una matriz A ∈

es diagonalizable si, y solo sí, A tiene n vectores propios linealmente -1

independientes. De hecho A = PDP con D como una matriz diagonal, si y solo sí las columnas de P son n vectores propios linealmente independientes. Entonces las entradas diagonales de D son valores propios de A que corresponden, respectivamente a los vectores propios de P. Para encontrar D se debe resolver:

La matriz está formada en su diagonal por los valores propios TEOREMA: Si A es una matriz de nxn con n eigenvalores distintos, entonces A es diagonalizable. EJEMPLO 1.- Estudiar para que valores del parámetro α es diagonalizable la matriz (

)

Primero determinamos la ecuación característica, Det (A (

)(

|

)

(

=0 )

|

1 15 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ

Conclusión 1: La matriz A seria en teoría diagonalizable siempre que , ya que con aparecen autovalores triples entonces será necesario calcular las dimensiones de los subespacios propios y ver si son iguales o no a las multiplicidades de los respectivos autovalores. Sin embargo debemos hallar sus vectores propios puesto que tenemos autovalores dobles, así que debemos calcular La dimensión formada por el subespacio de dichos autovalores. Entonces calculamos los respectivos vectores propios Con (

)(

(

⃗

)

⃗⃗

)=( )

( )

( )

Con

calculamos (A

(

)( )

(

⃗

⃗

calculamos (A

)

(

⃗

⃗⃗

( )

( )

)


Conclusión 2.- La matriz A dada no es posible diagonalizarla ya que solo se consiguió tener 2 vectores propios, en lugar de 3. Debemos también saber que c debe ser diferente de 0. Conclusión General: Sin importar el valor de

la matriz no puede ser diagonalizable. -1

EJEMPLO 2.- Halle una matriz que P que diagonalice A y determine P AP (

)

Determino los valores propios de A

= (

(A

)

(

((

))

)

Con (A

⃗

⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ (

(

⃗

)*( )=( )

)=( )

( )

Con 17 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ

⃗⃗

⃗

(A ⃗⃗⃗⃗⃗ (

)*( )=( )

(

⃗

)

(

( )

)

⃗

( )

Obtenemos P con todos los vectores propios (

)

(

) -1

Ahora: P AP (

(

)(

(

)

)(

)(

)

)

EJEMPLO 3.- Diagonalice la siguiente matriz: A=(

)

Procedemos a encontrar los valores propios de A.


(

)

|

((

))

|

=

=0

Encontramos tres vectores propios de A linealmente independientes ⃗⃗

⃗

(A ⃗ (

)*(

(

)=( )

)=( )

Resuelvo el sistema

⃗

(

)

Ahora hacemos el mismo proceso pero con (A

⃗

⃗⃗

(

(

)*( )=( )

)=( )


Resuelvo el sistema

⃗

(

) ,

Base={ (

⃗

) (

( )

) ( )}

Estructuramos P (

)

(

)

(

)(

)(

(

)(

)

D= (

)

)

Ahora verificamos que AP=PD, ya que es la equivalencia de A=PDP

-1

, tenemos además que

verificar que P sea invertible. AP=(

PD=(

)(

)(

)

)=(

)

(

)


También veremos que se cumple A=PDP -1

-1

)

P =( -1

A=PDP (

)

(

(

)

(

(

)

(

)(

)(

) (

)

)

)

La matriz si es posible diagonalizarla. EJEMPLO 4.- De ser posible diagonalice la siguiente matriz (

((

) ((

|

)

)))

|

, Resuelvo

⃗

⃗⃗

Con ( (

)( )

)

( )

( )


Se resuelve el sistema:

Resolviendo el sistema se obtiene:

⃗

(

)

Con (

)(

(

)

)

( )

( )

Se resuelve el sistema:


⃗

(

)

Entonces la matriz (

)

(

)

Ahora:

(

)(

)(

(

)(

)

)


(

)

EJEMPLO 5.- Vea si la matriz siguiente matriz es diagonalizable. A= ( Hallamos Det (A

)

=0

|

|

,

,

Resuelvo: ⃗⃗

⃗

1. (A

(

)*(

(

⃗

2. (A

)*( ) = ( )

( ) ⃗

⃗⃗

(

(

)=( )

)*( )=( )

)*(

)=( )


⃗

( ) ⃗⃗

⃗

3. (A (

)*(

(

⃗

)*(

(

)=( )

)=( )

)

Entonces se obtiene la matriz P (

)

(

)

( ( (

)(

)

) )


FUENTES DE CONSULTA Larson, Falvo. Fundamentos de Algebra Lineal. 6ta Edición. Editorial CENGAGE Learning, pag (435-446) David Poole. Algebra Lineal, Una introducción Moderna. 3ra Edición. Compañía de Cengage Learning, 2011, pag (312-322) David C. Lay. Algebra Lineal y sus Aplicaciones. 3ra Edición. Pearson Education, 2007. pag (319-327) http://www4.ujaen.es/~magarcia/algebra2est_archivos/Practicas/PRACTICA08.pdf


5.3 MATRICES SIMETRICAS Y DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL Matriz Simétrica Una matriz A de nxn es simétrica si es igual a su transpuesta.

Si A es una matriz simétrica de orden n, entonces se cumplen las siguientes propiedades: 1. A es diagonalizable 2. Todos los valores propios son reales 3. Si es un valor propio de A con multiplicidad , entonces tiene vectores propios linealmente independientes. Entonces el espacio propio de es de dimensión Además a valores propios de una matriz simétrica le corresponden vectores propios ortogonales, y A tienen un conjunto de vectores propios que son una base ortonormal de

.

Matrices Ortogonales Una matriz cuadrada P se denomina ortogonal si: 1. Se puede encontrar 2. 3. TEOREMA: Una matriz P de orden nxn es ortogonal si y solo sí sus vectores columna forman un conjunto base ortonormal para . EJEMPLO 1.- Vea si la siguiente matriz es ortogonal.

Nos basta con determinar

√

√

√

√

√

√

(√

√

√

√

√

(√

√

√

√ )

para luego comprobar si

√ ) 26


√

√

√ (√

√

√

√

√

√

√

√

√

√ ) (√

(

√

√ )

)

Conclusión: La matriz A dada si es ortogonal, Además sabemos que cada columna es un vector propio de y que además son bases ortonormales ya que su norma es 1. Proceso de Gram-Schmidt Sea V un espacio vectorial con producto interno. Todo subespacio W con base tiene al menos una base ortogonal y una base ortonormal. Si B = { ⃗ ⃗ ⃗ } es una cualquier base de { ⃗⃗ ⃗⃗ V, entonces ⃗⃗ } es una base ortonormal donde: ⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗

⃗

⃗ ⃗⃗ {⃗

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

⃗ ⃗ ⃗⃗

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

⃗ ⃗⃗

⃗ ⃗ ⃗⃗

⃗

⃗ ⃗⃗

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ }

⃗

{

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗ ‖ ⃗⃗ ‖

⃗ ⃗⃗ { ⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗ ⃗⃗ }

⃗⃗ } ‖ ⃗⃗ ‖

Diagonalización Ortogonal Una matriz es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal P tal que , siendo D una matriz diagonal. TEOREMA: Sea A una matriz de orden nxn. Entonces A es diagonalizable ortogonalmente y tiene valores reales propios si y solo si A es simétrica.


Proceso para Diagonalizar Ortogonalmente 1. Verificar que la matriz A sea simétrica 2. Determinar los vectores propios de cada uno de los espacios característicos 3. Usar Gram-Schmidt (si es el caso) para ortonormalizar los vectores propios de A 4. Construir la matriz P formado en cada una de sus columnas por los n vectores propios ortonormales encontrados. Nota: No es necesario usar Gram-Schmidt cuando se tienen n valores propios diferentes, ya que basta con dividir cada vector propio para su norma. Pero si existe algún repetido (de multiplicad geométrica de 2 en adelante), entonces se deberá usar Gram-Schmidt para obtener los correspondientes vectores ortonormalizados. EJEMPLO 2.- Diagonalizar ortogonalmente la siguiente matriz simétrica (

((

) (

|

)

))

|

1 ⃗

Determino los vectores propios (A

⃗⃗

Con (

)( )

( )


(

)

( )


⃗

( )

Con (

)( )

(

)

( )

( )


⃗

(

)

⃗

(

)

Ortonormalizo los vectores propios

( ) ⃗

√

( ) ( )


( ⃗

) (

√

√

√

) (

√

Aplico el proceso de Gram Schmidt con ⃗

(

)

⟨(

)

⃗

√

(

)⟩

√

(

) (

)

)

‖ ‖ (

)

( ) ( √ √

⃗

)

‖ ‖ (

⃗

)

(

)

‖ ‖

(

√

)

⃗

√

√

(

)

√ (

√

)

Ahora formo la matriz P con los vectores propios ortogonalizados

√

√

√

√

(

√ )

√ (

√

√ √

√ )

Entonces


√ √ (

(

√

√

)

√ )

√

√

√

(

√ √

√

√ )

√

√ √

√

√

√

√

(

)(

(

√

)

)

EJEMPLO 3.- Halle una matriz P que diagonalice ortogonalmente A y determine (

.

)

Encuentro los valores propios de A

((

) (

|

))

|

Determino los vectores propios Con (A

⃗

⃗⃗


((

)) (

(

⃗

)

)=( )

( )

( )

Con ⃗

(A

⃗⃗

((

)) (

(

⃗

)

(

)

Ahora con ⃗

( )

⃗

(

)

( )

√

( ) ‖√

)=( )

‖

√

( )

√ (√ )

Ahora con ⃗

(

) 32


(

)

‖√

(

√

‖

√

) (

√

)

Aplico el proceso de Gram Schmidt con ⃗

(

)

⟨(

)

⃗

√

(

)⟩

√

(

(

)

)

‖ ‖ (

)

⃗

√

(

√

)

‖ ‖

(

)

⃗

(

)

‖ ‖ √ (

)

⃗

√

√

(

√

)

√ (

)

Ahora formo la matriz P con los vectores propios ortogonalizados √ √

√ √

√

√ √

(√

) √ √ √

(

√

√

√ √

√ )

Entonces


√

√

√

√ √

√

√

√

((

√

√ √

))

√

√

√

((

√

))

((√

))

√ √

√

√

√

√

√ √

√ )

(

√

√ √

(√ (

)

)

EJEMPLO 4.- Diagonalice ortogonalmente la matriz simétrica A. (

)

Determino los valores y los vectores propios de A

((

) (

|

))

|

Determino los vectores propios Con ⃗

⃗⃗


(

)( ) =( )

(

)

( )

Resuelvo el sistema:

Al resolver obtengo:

⃗

(

)

Con ⃗⃗

⃗ (

)( )=( )

(

)

( )



⃗

(

)

Con (A

⃗

⃗⃗


(

)( )

(

)

( )

( )



⃗

( )

Ahora, ortonormalizo a los vectores propios ( ⃗

‖√

‖

( ⃗

) (

) (

)

(

)

)

‖√

‖

(

)

( ) ⃗

‖√

‖

( ) ( )

Entonces obtenemos

(

) 36


(

)

Entonces

( (

)

(

(

)

) (

(

)

)

)

EJEMPLO 5.- Encuentre una matriz ortogonal P, tal que (

diagonalice A. )

Determino los valores y los vectores propios de A

((

|

) (

))

|


Con ⃗⃗

⃗

(A (

)( )

(

)

( )

( )

Al resolver el sistema se obtiene

⃗

(

)

Con ⃗⃗

⃗

(A (

)(

(

)

)

( )

( )


⃗

( )

Con (A

⃗

⃗⃗


(

)( )

(

( )

)

( )


⃗

(

)

Ahora ortonormalizo cada vector propio ( ⃗

)

‖√

(

‖

) (

)

( ) ⃗

‖√

( )

‖

( ) ( ⃗

)

‖√

‖

(

) (

)


(

) 39


Ahora determino

(

)

Entonces

( (

)

(

(

)

) (

(

)

)

)

BIOGRAFIA Schmidt (13 de enero 1876- 16 de diciembre 1959)

El principal interés de Schmidt fue en ecuaciones integrales y el espacio de Hilbert . Tomó varias ideas de Hilbert sobre ecuaciones integrales y combina éstas en el concepto de un espacio de Hilbert hacia 1905. Hilbert había estudiado ecuaciones integrales con núcleo simétrico en 1904. Se demostró que en este caso la ecuación integral tenía valores propios reales, las soluciones correspondientes a estos valores propios las llamo funciones propias. También amplió las funciones relacionadas con la integral de la función del núcleo como una serie infinita en un conjunto de funciones propias ortonormales. Schmidt publicó un artículo de dos partes sobre ecuaciones integrales en 1907 en la que castigó a los resultados de Hilbert de una manera más simple, y también con menos restricciones. En este trabajo se ha dado a lo que ahora se llama el proceso de 40 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ

ortonormalización de Gram -Schmidt para la construcción de un conjunto ortonormal de funciones a partir de un conjunto linealmente independiente. A continuación, pasó a considerar el caso en el que el núcleo no es simétrico y demostró que en ese caso las funciones propias asociadas a un determinado valor propio se produjeron en parejas adjuntos. En 1908 Schmidt publicó un importante artículo sobre un número infinito de ecuaciones con infinitas incógnitas, introduciendo diversas notaciones y términos geométricos que todavía están en uso para describir los espacios de funciones y también en espacios interiores de productos. Las ideas de Schmidt fueron para dirigir a la geometría de los espacios de Hilbert y sin duda debe ser considerado como uno de los fundadores del moderno abstracto el análisis funcional . Jorgen Pedersen Gram (1850-1916)

Matemático danés al que se le recuerda sobre todo por este proceso de ortogonalizacion que construye un conjunto ortogonal de vectores a partir de un conjunto independiente. Sin embargo, él no fue el primero en usar este método. Parece ser que fue descubierto por Laplace y fue usado esencialmente por Cauchy en 1836.

FUENTES DE CONSULTA Larson, Falvo. Fundamentos de Algebra Lineal. 6ta Edición. Editorial CENGAGE Learning, pagina (446-458) Howard Anton. Introducción al Algebra Lineal. 3ra Edición. Editorial Limusa, 1994, página (318-328) José Alfredo Jiménez Moscoso, Notas de clase. Álgebra Lineal II (con aplicaciones en estadística) (libro online) http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/lecturas/l843-82.pdf http://www.youtube.com/watch?v=dcBdVibNZn0 http://personales.upv.es/lagudal/help-math-web/diagonaliza.htm#simetricas


5.4 POTENCIAS DE MATRICES. ECUACIONES EN DIFERENCIAS POTENCIAS DE MATRICES La matriz donde m es un valor entero no negativo, tiene los valores propios y los vectores propios de A asociados con Entonces para elevar una matriz cuadrada a la enésima potencia es necesario que sea diagonalizable, entonces se cumplirá el siguiente procedimiento. Se tiene que

(donde se multiplican n veces A)

Se sabe además que

Sustituimos en Recordando que Se obtiene que EJEMPLO 1. Determine

y

usando el proceso aprendido. (

)

Hallamos los valores propios de A

((

) (

|

))

|

Determinamos los vectores propios ⃗

⃗⃗


(

)( )

(

⃗

)

(

( )

( )

)

Con

((

)) (( ))

(

⃗

)

( ) ,

( )

( )

⃗

(

)

Formamos la matriz P (

)

Hallamos

(

) 43


Ahora resolvemos

( (

)(

)

)

(

D (

)

)

(

)

Para encontrar en valor de

(

(

)

)(

) (

)


(

) (

)

(

)

Finalmente hallamos

(

)

(

)

EJEMPLO 2.- Determine

y

usando el proceso aprendido. (

)

Determino los vectores propios de A (( |

) (

))

|


⃗

Ahora determinamos

⃗⃗

Con (

)(

(

⃗

)

(

)

( )

)

( )

( )

)

Con (

)(

(

⃗

)

(

( )

)

Ahora sabemos que P será (

)


Entonces

(

)

Entonces

(

)(

(

)(

(

)(

)

)

)

Para encontrar en valor de (

)

(

)(

(

)(

)

)(

( (

)

(

)

)

) (

)

(

)

(

)

(

)

Finalmente hallamos (

)

(

)

( (

)

)


EJEMPLO 3.- Dada la matriz A calcule

y después (

)

Hallamos los valores propios de A

((

) (

|

))

|

⃗

Ahora determinamos

⃗⃗

Con (

)( )

(

⃗

)

( )

( )

( )

Con


(

)( )

(

)

⃗

( )

( )

( )

⃗

(

)

Entonces: (

)

Hallamos (

)

Ahora (

)(

(

)(

(

)(

)

)

)


)


(

)(

(

)(

)(

)

)

(

)

(

)

(

)

EJEMPLO 4.- Calcule si es posible

utilizando la diagonalización de matrices. (

((

) (

|

)

))

|

Hallo sus vectores propios ⃗

⃗⃗

Con (

)(

)

(

)

( )

( )


Al resolver el sistema se obtiene:

⃗

(

)

(

)

Con (

)(

)

(

)

( )

( )


⃗

(

)

(

)

Entonces obtenemos (

)

(

)

Ahora

(

)(

)(

)


(

(

)(

)

)


)

(

(

(

)(

(

) (

(

)

(

)

)) (

(

)

)(

)

)

(

)

(

)

) )

(

Finalmente calculamos

(

( (

) )

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

)

EJEMPLO 5.- Diagonalice ortogonalmente la matriz A. Luego Calcule

(

( (

) (

.

)

) ) 52


|

(

(

|

)(

)

(

)(

)

)

Hallo sus vectores propios ⃗⃗

⃗ Con

(

)( )

(

)

( )

( )


⃗

( )

Con

Hallo su vector propio

(

(

)( )

)

( )

( )



⃗

(

)

Ahora convierto cada vector en ortogonal

⃗

( ) √

√

√

( )

(√ )

⃗

(

) √

√

(

√

)

( √ ) Entonces

√ (√

√

√ √ )

√

(√

√ )

Ahora

√ (√

(

√ √

√

) √

(

√ ) √ √

) √ (√

(√

√ √ )

√ √ )


(

)


)

√ (√

√ √ )

√

(√

√ (√

) √

(

√ )(

√ )

√

√

√ )

(

)

Finalmente calculamos

(

(

)

)

ECUACIONES EN DIFERENCIA Las ecuaciones en diferencias no es lo mismo que las ecuaciones diferenciales ya que las ecuaciones en diferencias evolucionan en un número finito de pasos finitos, mientras que una ecuación diferencial da un número infinito de pasos infinitesimales. Hay cierto tipo de problemas cuya resolución depende de la potencia de una matriz. Es el caso de las ecuaciones en diferencias en las que a partir de una matriz cuadrada A y vectores de


se cumple para cada índice natural k que

Entonces la solución viene dada por la expresión:

EJEMPLO 6.- En una población de 10000 individuos se observa que, de modo aproximado, el 80% de los que eran donantes de sangre un año siguen siéndolo al siguiente y que el 70% de los que no eran donantes de sangre permanecen de nuevo sin donar a otro año. Suponiendo que inicialmente hay 2000 donantes hallar cuántos habrá después de 10 años. Solución Número de donantes después de k años Número de no donantes después de k años Planteamiento de las ecuaciones en diferencia:

Formamos la matriz (

)

Y (

)

Ponemos en la forma matricial: (

)(

)

Al aplicar k veces se obtiene

Donde (

)

(

)

Hallamos Determino los valores propios y sus correspondientes vectores propios


((

) (

|

))

|

⃗

Hallo sus vectores propios

⃗⃗

Con (

)(

(

)

)

( )

( )


⃗

( )

Con (

(

)(

)

)

( )

( )



⃗

(

)

Formo la matriz P y determino su inversa: (

)

(

)

Ahora

(

)(

(

)(

)(

(

)

)

)


)

(

)(

(

)(

)(

)

)


(

)

Ahora basta reemplazar en

( (

)

(

)

)

Entonces el número de donantes después de pasar k años es

Calculamos el número de donantes para K=10 años

donates EJEMPLO 7.Un territorio está dividido en tres zonas Z1, Z2 y Z3 entre las que habita una población de aves. Cada año y debido a diversas razones se producen los siguientes flujos migratorios entre las distintas zonas: En Z1: un 60 % permanece en Z1, un 10 % emigra a Z2 y un 30 % emigra a Z3. En Z2: un 10 % emigra a Z1, un 80 % ‘permanece en Z2 y un 10 % emigra a Z3. En Z3: un 10 % emigra a Z1, un 20 % emigra a Z2 y un 70 % permanece en Z3 De la población total de aves un 30 % viven en Z1, un 20 % viven en Z2 y un 50 % viven en Z3. ¿Cuál será la distribución de la población de aves a los 2 años? ¿Y a los n años? Armamos la matriz A con el flujo migratorio de Aves (

)

El vector que describe la situación inicia es (

)


Determino

((

) (

|

))

|


⃗⃗

Con (

)( )

( )

( ) (

)



⃗

( )

Con (

)( )

( )

)( )

( )

( ) (

)


⃗

(

)

Con (

( ) (

)



⃗

(

)

Formo la matriz P y determino su inversa (

)

(

)

( (

)(

)

(

D (

)

)

)

(

)


(

)

)(

) (

) 62


(

) (

)

(

)

Ahora basta reemplazar en

( (

)

)

Entonces a los 2 años el flujo de aves será:

( ( (

)

) )

FUENTES DE CONSULTA Gareth Williams. Algebra Lineal con Aplicaciones. 4ta Edición. Mc Graw-Hill, 2002,(pag 305308) Larson, Falvo. Fundamentos de Algebra Lineal. 6ta Edición. Editorial CENGAGE Learning. Elena Alemany Martínez, Ángel Balaguer Beser, Josefa Marín Molina, Prácticas de álgebra con Mathematica (libro online) http://cvb.ehu.es/open_course_ware/castellano/tecnicas/fundamen_mate/contenidos/ejercic ios/ejercicios-resueltos/potencias-de-matrices-cuadradas.pdf http://www2.uah.es/rviana/Tema8-Aplicaciones.pdf 63 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ

5.5 MATRICES UNITARIAS, MATRICES NORMALES Y MATRICES HERMITIANAS Matriz Unitaria Una matriz A cuadrada de orden n, con elementos reales o complejos, se llama unitaria si . Una matriz ortogonal es una matriz unitaria real tal que Teoremas: Los valores propios de una matriz unitaria tienen valor absoluto igual a 1. Los vectores propios asociados con valores propios distintos son ortogonales. EJEMPLO 1.- Diagonalice la siguiente matriz unitaria (

)

Determino los valores propios de U ((

) ((

|(

)))

)|

Determinamos los vectores propios ⃗⃗

⃗ Con ( (

)( )

)

( )

( )


⃗

( ) 64


Con (

)(

(

)

)

( ) ( )


⃗

(

)

Ortonormalizo cada vector propio

⃗

( ) √

√

(√ )

( )

√

⃗

(

)

√

√

(

)

(

√

)

√

Formamos la matriz P y su

√ (√

√ √

)

√

√

( √

√ ( √

√ √ )

√ )

(

) √ (√

√ √

)


√

√ √

√

√

√ ) (√

( (

√

)

)

EJEMPLO 1.- Diagonalice la siguiente matriz, y diga si es unitaria. (

)

Si es unitaria puesto que si determinante es igual a 1. Procedemos a hallar los valores y vectores propios correspondientes. ((

) ((

|(

)))

)|


⃗ Con (

)(

(

)

)

( )

( )


⃗

(

)


(

)(

(

)

)

( ) ( )


⃗

( )

Formamos la matriz P (

)

( (

) )

Entonces

(

)( (

)(

)

)

(

(

)(

)

)

Matriz Normal Una matriz A de orden nxn recibe el nombre de matriz normal si es conmutativa con su conjugada hermitiana . Las matrices unitarias y antihermitianas son casos particulares de las matrices normales. TEOREMAS: La matriz

es normal si y solo si tiene un conjunto de n vectores propios autonormales.

La matriz es normal si y solo si es unitariamente semejante a una matriz diagonal. (Los elementos de la diagonal principal son los valores propios de A) 67 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ

La matriz es normal si y solo si es unitariamente semejante a una matriz diagonal con elementos que tienen valor absoluto igual a 1 en la diagonal principal. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales. EJEMPLO 3.- Diagonalice la siguiente matriz (

((

) ((

|

)

)))

|


⃗ Con (

)(

(

)

)

( )

( )


⃗

( )

Con (

)(

)

( ) 68


(

)

( )


⃗

(

)

Ortonormalizo a los vectores propios obtenidos

⃗

( ) √

√

√

( )

(√ )

⃗

(

) √

√

(

√

)

( √

)

Formamos la matriz P y

√

√

(√

√

√ ( √

√ ( √

(

)

√ √ )

√

) √

(

√ )

(√

√ (

)

√ (

√ (

) √ (

√ √

)

) √ ) (√

)

√ √

) 69


(

)

Matriz Hermitianas La matriz en Hermitiana si y solo si es unitariamente semejante a una matriz diagonal con elementos reales. Los valores propios de las matrices Hermitianas cumplen las siguientes propiedades: 1. Los valores propios de una matriz hermitiana son reales. 2. Los valores propios de una matriz antihermitiana son imaginarios puros. Para obtener la norma de una matriz hermitiana debemos multiplicar cada componente vectorial por su conjugada en lugar de elevarlo al cuadrado, salvo las que son reales puros que procedemos normalmente. EJEMPLO 4.- Diagonalice la siguiente matriz hermitiana ( )( √ (( ) ( √

√ ||

√ √

( √

) (

))

)

)(

)

||

√ )(

√

( √

√

)

Hallo sus vectores propios ⃗

⃗⃗

Con


√

√

(

(

√

( √

) )

√

( ( (

√

( )

√

( ) )

√

) )

)

)

(

√

√

(

)

√ (

)

√

Al resolver el sistema se obtiene: √ ( √

⃗

)

Con

√

√ √

(

√

( √ (

( √ (

( √

)

(

) )

√

( )

) ( ) )

√

( (

)

)

)

√

(

(

√

√

) ) )

Al resolver el sistema se obtiene: √ ⃗

(

√

)

Ortonormalizo los vectores propios 71 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ

( √

)

√( √

)( √

(

⃗ √

( √

))

)

√

√ √

(√

√ )(

√

)

(√

√ √

(

)

)( √

) ((√

(√ √

⃗

√ (

)

√ (( √ ) √

)

)

)

)

√

Ahora formaremos la matriz P √ √

(√

√

)

√ (( √ )

√ √

(

√

√ √

√ √ √

√ √

)

√

√

(

√

)

√

√

√ )

Ahora √

√ √ √ √ √

(

( (

√

√ √ √ √

√

√

√ √ )

√

(

√

√ √ √

√ √ √

√ √

√

√

√

√

(√

)

√

√ √

)(

√

√

√ √

√ √ √ √

√ )(

√ (( √ ) √

(√

) √

√

)

√ (( √ ) √

√

EJEMPLO 5.- Diagonalice la siguiente matriz hermitiana )

Calculamos valores y vectores propios de la matriz A


) )

)

(

)

((

) (

|

))

|

√

√

Con ⃗⃗

⃗ (

)(

(

)

)

( )

( )


⃗

( )

Con

√ (√ )

(

⃗

⃗⃗

√

)( )

√

( )

√


( √ ) (( √ )

)

( )

( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) Al resolver el sistema se obtiene: ( √ ) ⃗

(( √ ) )

√

Con

( √ ) √ (

⃗⃗

⃗

)( )

√

( )

√ √ (√

)

( )

√ √ √ √ Al resolver el sistema se obtiene: √ ⃗

( √

)

Ahora ortonormalizo cada vector ( ) ⃗

√

√

( )

√ (√ ) 74


(( √ ) ) ⃗

( √ )

(( √ ) ) √

√

√ (

( √

)

⃗

( √ √

)

√

√

)

√ (

)

Ahora formamos la matriz P y determinamos su inversa:

√ √

√

(√

) √

√ √ √

(

)

Ahora √

√ √ √

(

√ (

√ (

(√

)

√

√

)

√

)

√

√

√

√

√ )

(√

)


(

)

√ √

FUENTES DE CONSULTA Gilbert Strang, Álgebra lineal y sus aplicaciones, pag 286 Erich Steine, Matemáticas para las ciencias aplicadas, pag 497 http://www.licimep.org/Preprope/2008/Algebra%20lineal/Ejercicios/Diagonalizacion%20de%2 0matrices%203x3%20hermitiana%20Ej%201.pdf


5.6 APLICACIONES: CRECIMIENTO DE UNA POBLACIÓN Los modelos de crecimiento poblacional es un modelo basado en matrices, presentado por primera vez por P.H. Leslie en 1945. El modelo de Leslie describe el crecimiento de la parte femenina de una población, que se supone tiene una vida máxima. Las hembras se dividen en clases por edad, todas las cuales abarcan un número igual de años. Si se emplean datos acerca de las tasas de nacimiento promedio y probabilidades de supervivencia de cada clase, el modelo es capaz de determinar el crecimiento de la población en el transcurso del tiempo. Matriz Leslie: En general si tenemos una población con n clases de edades de igual duración . La matriz L será una matriz con la estructura siguiente:

(

)

Dónde: son los parámetros de nacimiento. ( = numero promedio de hembras producidas por cada hembra en la clase . son las probabilidades de supervivencia hembra en la clase sobreviva en la clase .

probabilidad de que una

Comportamiento a Largo plazo La proporción de hembras en cada uno de los grupos de edad se mantiene constante para valores grandes de n. Es decir tiende a estabilizarse a largo plazo. Los valores a los que tienden dichas proporciones se denominan distribución de edades estable TEOREMA: Toda matriz de Leslie tiene un eigenvalor positivo único y un eigenvector correspondiente con componentes positivos. EJEMPLO 1.- Un grupo de conejos criados en un laboratorio tienen las siguientes características: A) La mitad de conejos sobrevive el primer año. De éstos, la mitad sobrevive el segundo año. La duración máxima de vida es 3 años B) Durante el primer año los conejos no producen descendencia. El número medio de descendencia es 6 durante el segundo año y 8 durante el tercer año. Actualmente, la población de laboratorio consta de 24 conejos en la clase de la primera edad, 24 en la segunda edad, y 20 en la tercera. ¿Cuántos habrá en cada clase de edad en un año? Además determine una distribución estable de las edades. 77 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ

La distribución actual de edades está dada por la matriz (

)

Y la matriz de transición de edades es (

)

Entonces, después de un año el vector de distribución de edades será (

)(

)

(

)

Si el patrón de crecimiento continúa durante otro año entonces la población de conejos sería (

)(

)

(

)

Determinamos los vectores propios y su correspondiente vector propio

|(

)

|(

((

)|

Se toma el valor ⃗ (

))|

y determinamos el vector propio

⃗⃗ )( )

( )

( ) (

) 78



⃗

SI

(

)

entonces: (

)(

)

(

(

)(

)

(

)

)

Entonces se observa que se tiene la misma proporción, por lo tanto el porcentaje de cada clase de la población permanece igual. EJEMPLO 2. Una población presenta las siguientes características. A) Un total de 60% de la población sobrevive el primer año. De este 60%, el 50% sobrevive el segundo año. La duración máxima de la vida es tres años. B) El número promedio de descendencia de cada miembro de la población es 2 el primer año, 5 el segundo y 2 el tercero. Actualmente, la población consta de 100 elementos de cada una de las tres clases de edad. ¿Cuántos habrá de cada clase en un año? ¿Y en dos años? La distribución actual de edades está dada por la matriz (

)


)

Entonces, después de un año el vector de distribución de edades será


(

)(

)

(

)

Esto quiere decir que en el primer año van a existir una población de 900 habitantes que estén entre 0 y un año, 60 que estén entre 1 año y dos, y 50 que están entre dos hasta tres años. Si el patrón de crecimiento continúa durante otro año entonces la población de conejos sería (

)(

)

(

)

Esto quiere decir que en el primer año van a existir una población de 2200 habitantes que estén entre 0 y un año, 540 que estén entre 1 año y dos, y 30 que están entre dos hasta tres años. EJEMPLO 3.- Una población presenta las siguientes características. A) Un total de 75% de la población sobrevive el primer año. De este 75%, el 25% sobrevive el segundo año. La duración máxima de la vida es tres años. B) El número promedio de descendencia de cada miembro de la población es 2 el primer año, 4 el segundo y 2 el tercero. Actualmente, la población consta de 120 elementos de cada una de las tres clases de edad. ¿Cuántos habrá de cada clase en un año? ¿Y en dos años? La distribución actual de edades está dada por la matriz (

)


)

Entonces, después de un año el vector de distribución de edades será (

)(

)

(

)

Esto quiere decir que en el primer año van a existir una población de 960 habitantes que estén entre 0 y un año, 90 que estén entre 1 año y dos, y 30 que están entre dos hasta tres años. Si el patrón de crecimiento continúa durante otro año entonces la población de conejos sería


(

)(

)

(

)

Esto quiere decir que en el primer año van a existir una población de 2340 habitantes que estén entre 0 y un año, 720 que estén entre 1 año y dos, y 22 que están entre dos hasta tres años. EJEMPLO 4.- Encuentre un vector de distribución de edades estable para la matriz de transición: (

)

Determinamos los vectores propios y su correspondiente vector propio

|(

)

|

((

))|

|

Se toma el valor ⃗ (

(

y determinamos el vector propio

⃗⃗ )(

)

)

( )

( )



⃗

SI

( )

entonces: (

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

Entonces se observa que se tiene la misma proporción, por lo tanto el porcentaje de cada clase de la población permanece igual. EJEMPLO 5.- Considere un organismo que puede vivir hasta una edad máxima de dos años, y cuya matriz Leslie es: (

)

Determine una distribución estable de edades, y estudie el comportamiento de la población para los 3 siguientes años. Primero: determinamos los valores propios de la matriz L

|(

)

|

|

((

))|

Escogemos la única raíz real

Determinamos el vector propio correspondiente al valor propio (

)( )

( )


(

)


⃗

( )

Entonces la distribución estable de edades estará dada por la forma del vector ⃗

( )

Comprobamos para t=2 en dos años. (

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

La población mantendrá su población, es decir siempre tendrá el mismo número de habitantes, ya que así lo demuestra lo estudiado del comportamiento de la población en tres años.


BIOGRAFIA

Patrick H. Leslie (25 septiembre 1815 a 12 agosto 1881) Su aporte: En las matemáticas aplicadas , la matriz de Leslie es un discreto , con estructura de edades modelo de crecimiento de la población que es muy popular en la ecología de la población . FUENTES DE CONSULTA Larson, Falvo. Fundamentos de Algebra Lineal. 6ta Edición. Editorial CENGAGE Learning (pag 458) David Poole. Algebra Lineal, Una introducción Moderna. 3ra Edición. Compañía de Cengage Learning, 2011 Pag 245, 341 Stanley I. Grossman. Algebra Lineal. 6ta Edición. Editorial Mc Graw-Hill, 2008. Pag 546-555


5.7 APLICACIONES: FORMAS CUADRÁTICA Definición de Formas cuadráticas Es una función definida por un polinomio real de varias variables en el que todos los sumandos no nulos son de segundo grado. La expresión general para una forma cuadrática real en dos variables es

O en forma matricial seria (

) ((

)) (( ))

Donde a, b, c son números reales, y además la matriz A es simétrica lo que implica que es de orden nxn. Generalizando para

obtenemos:

+

En forma matricial: Dónde:

⃗ (

)

(

)

Donde a, b, c son números reales, y además la matriz A es simétrica lo que implica que es de orden nxn. Forma Canónica Sabemos que la matriz A al ser simétrica se la puede diagonalizar ortogonalmente. Además tenemos que . Recordamos que Q (o P según sea la nomenclatura) es la matriz que diagonaliza a A y está formada por los vectores propios ortonormalizados.


Partimos de

Donde como ya sabemos

Es la matriz Diagonal de los valores propios de A, y donde

Es el vector obtenido a partir de x con la transformación ortogonal Observación: El determínate de la matriz P debe ser igual a 1. Por lo que si el resultado es -1 basta con cambiar de orden las columnas. Teorema: ejes principales Toda forma cuadrática puede diagonalizarse. Específicamente, si A es la matriz simétrica de orden n, asociada con la forma cuadrática y si P es una matriz ortogonal tal que es una matriz diagonal, entonces el cambio de variable transforma la forma cuadrática en la forma cuadrática , que no tiene términos en . Si los eigenvalores de A son y entonces

Teorema: Sea A una matriz simétrica de orden nxn La forma cuadrática

es:

a. positiva definida si y sólo si todos los eigenvalores de A son positivos. b. semidefinida positiva si y sólo si todos los eigenvalores de A son no negativos. c. definida negativa si y sólo si todos los eigenvalores de A son negativos. d. semidefinida negativa si y sólo si todos los eigenvalores de A son no positivos.


e. indefinida si y sólo si A tiene eigenvalores tanto positivos como negativos. Para ejercicios con cónicas se debe recordar:

{

EJEMPLO 1.- Analice la siguiente ecuación y dibuje su gráfica

Escribimos la forma matricial de (

) ((

)) (( ))

Encontramos los valores propios de la matriz y sus correspondientes vectores propios de ( (( |

) (

)

))

|

Con (

)(

)

( )


(

)

( )


⃗ ⃗

( ) ( )

Con (

)(

(

)

)

( )

( )


⃗ ⃗

( (

) )

Normalizamos los vectores propios ⃗

( )

√

√ (√ )

⃗

(

)

√

√ (√ )

Obtenemos la siguiente matriz ortogonal:


√

√

(√

√

√

√

( √ (

)

√ ) )

La ecuación puede transformarse a la forma (

)( )

Esta ecuación corresponde a una elipse en el sistema de coordenadas

. La longitud del

semieje mayor es 2, y la longitud del semieje menor es √ . En el sistema de coordenadas la gráfica sería

La rotación de las coordenadas está definida por la matriz C. Por lo que


(

)

√ (√

√ √

)

√

√ Entonces

En sistema de coordenadas

la gráfica sería

EJEMPLO 2.- Encuentre un cambio de variable que transforme la forma cuadrática siguiente en una sin términos .

La matriz correspondiente es (

)

Entonces determino sus valores propios y sus correspondientes vectores propios

((

|

) ((

)))

| 90



⃗ Con (

)(

(

)

)

( )

( )


⃗

(

)

Con (

)(

(

)

)

( )

( )


⃗

( )

Ortonormalizo los vectores:


⃗

(

) √

√

(

√

)

( √ )

⃗

( ) √

√

√

( )

(√ ) Armamos la matriz P (también se la nombra como Q) y su transpuesta

√

√

(√

√ )

√

√

(√

√ )

Entonces

√ (√ (

√

(

√ )

) √ (√

√ √ )

)


)( )

EJEMPLO 3.- Identifique y grafique la cónica cuya ecuación es:

Formamos la ecuación matricial (

)( )


Diagonalizo ortogonalmente a la matriz (

((

) ((

|

)

)))

|


⃗⃗

Con (

)(

(

)

)

( )

( )


⃗

( )

Con (

)(

)

( ) 93


(

)

( )


⃗

(

)


⃗

( ) √

√

√

( )

(√ )

⃗

(

) √

√

(

√

)

( √ ) Armamos la matriz P (también se la nombra como Q) y su transpuesta

√ (√

√ (√

√ √ )

√ √ )

Entonces

√ (√

√

(

√ )

) √ (√

√ √ )


(

)


(

)( )

)

Entonces es una elipse y su grafico es:

EJEMPLO 4.- Identifique y grafique la cónica cuya ecuación es:


)( )

Diagonalizo ortogonalmente a la matriz (

((

) ((

)

)))


|

|


⃗ Con ((

)) (

(

)

)

( )

( )


⃗

( )

Con (

)(

(

)

)

( )

( )


⃗

(

)



⃗

⃗

( )

(

)

(

√

√

√

( )

√

√

(√

)

)

√ ( √

)

Armamos la matriz P (también se la nombra como Q) y su transpuesta

√

√

(√

√

√

)

√

(√

√

)

Entonces

√ (√ (

√ √

(

) √

)

(√

√ √

)

)


)( )

Entonces es una hipérbola y su grafico es:


EJEMPLO 5.- Identifique la superficie cuádrica cuya ecuación es


)( )

Encontramos sus valores y sus correspondientes vectores propios ortogonales (

((

) (

|

)

))

|

Al ser una expresión no facturable utilice la calculadora de Microsoft para resolverla y obtuve: √

√

√

√


( √

√

√

√ √

√

√ )

√

√

√

( √

√

√ √

√ )

√

√

√

Entonces los valores propios son

Con ⃗⃗

⃗

(A (

)(

(

)

)

( )

( )


⃗

( )

Con (A

⃗

⃗⃗

(

(

)( )

)

( )

( ) 99



⃗

(

)

Con ⃗

(A

⃗⃗

(

)( )

(

)

( )

( )


⃗

(

)

Ahora ortonormalizo cada vector propio ( ) ⃗

‖√

( )

‖

( ) ( ⃗

‖√

) ‖

(

) (

)


( ⃗

)

‖√

‖

(

) (

)


(

)

Ahora determino

(

)

Entonces

( (

)

((

))

) (

(( (

)

))

)

Aplicamos el cambio de variable y se obtiene:

(

)( )


(

)

Divido para 36 a ambos lados de la ecuación y se obtiene:

Entonces esta ecuación se reconoce como la de un hiperboloide de una hoja. Los ejes están en las direcciones de los eigenvectores obtenidos, Su gráfica es:

FUENTES DE CONSULTA David Poole. Algebra Lineal, Una introducción Moderna. 3ra Edición. Compañía de Cengage Learning, 2011 Bernard Kolman, David Hill. Algebra Lineal. 8va Edición. Editorial Mc Graw-Hill, 2006 Erich Steine, Matemáticas para las ciencias aplicadas, pag 495 Stanley I. Grossman. Algebra Lineal. 6ta Edición. Editorial Mc Graw-Hill, 2008. pag 575-585 http://neblan.files.wordpress.com/2012/10/tema-7.pdf


CONCLUSIONES: Al realizar la investigación he aprendido y me he dado cuenta del poder del algebra lineal, y su uso, el cual facilita el cálculo en muchas aplicaciones. Los valores propios siendo un concepto muy fácil de aprenderlo al igual que vectores propios tiene un gran campo de acción es decir es utilizado en muchos casos tales como para determinar la potencia enésima de una matriz cuadrada, tan solo con la condijo de que esta sea diagonalizable, ya que el proceso realizando ajuste polinomial resultaba muy largo y tedioso, además de que la potencia enésima tiene aplicaciones en ecuaciones en diferencias como lo vimos. La diagonalización está presente en matrices reales como imaginarias, y además para matrices nórmales (aquí están incluidas matrices simétricas, hermíticas, unitarias, antihermitianas) las cuales se las diagonaliza ortogonalmente. Otra aplicación de los conceptos adquiridos está en el crecimiento poblacional, ya que usando el concepto de diagonalización podemos determinar un vector propio el cual determine un crecimiento estable para un conjunto de habitantes. También, hemos visto su uso en la geometría permitiendo rotar i transformar a los ejes y de esta manera facilitar su interpretación, así como determinar la ecuación de la cónica o figura correspondiente en sus nuevas coordenadas. Para concluir al desarrollar la investigación noté como el álgebra lineal es una herramienta muy importante para otras ciencias, y que tiene innumerables aplicaciones, muchas más que las que esta investigación exige tales como en las series de Fibonacci, Física, etc. Se puede concluir que el álgebra lineal a través del tiempo ha servido para el crecimiento de otras ciencias y teorías, es por eso que matemáticos muy importantes han realizados investigaciones y han hecho aportes importantes a esta gran rama, conocida como ÁLGEBRA LINEAL.

RECOMENDACIONES Tener a mano la mayor cantidad de fuentes de consulta, es decir libros los cuales tengan un amplio contenido, ya que según el autor en unos libros la explicación es muy clara. Además dar el tiempo adecuado y necesario para realizar el trabajo que permita primero tener una idea clara del tema antes de realizar la investigación como tal.


BIBLIOGRAFÍA GENERAL Larson, Falvo. Fundamentos de Algebra Lineal. 6ta Edición. Editorial CENGAGE Learning David Poole. Algebra Lineal, Una introducción Moderna. 3ra Edición. Compañía de Cengage Learning, 2011 Howard Anton. Introducción al Algebra Lineal. 3ra Edición. Editorial Limusa, 1994 Gareth Williams. Algebra Lineal con Aplicaciones. 4ta Edición. Mc Graw-Hill, 2002. David C. Lay. Algebra Lineal y sus Aplicaciones. 3ra Edición. Pearson Education, 2007. Bernard Kolman, David Hill. Algebra Lineal. 8va Edición. Editorial Mc Graw-Hill, 2006 Stanley I. Grossman. Algebra Lineal. 6ta Edición. Editorial Mc Graw-Hill, 2008. Seymour Lipschutz (Schaum). Algebra Lineal. 2da Edición. Editorial Mc Graw-Hill, 1993

BIBLIOGRAFÍA VIRTUAL http://cursos.aiu.edu/Algebra%20Lineal/PDF/Tema%206.pdf http://personales.upv.es/jbenitez/cajon_sastre/val_prop.pdf http://www.univalle.edu.co/~mimarmol/topicosenalgebralineal.pdf http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/lecturas/l843-82.pdf http://www.youtube.com/watch?v=dcBdVibNZn0 http://personales.upv.es/lagudal/help-math-web/diagonaliza.htm#simetricas

LIBROS ON-LINE UTILIZADOS http://books.google.com.ec/books?id=EzcPDWsUvoC&pg=PA111&dq=matrices+simetricas+y+diagonalizacion+ortogonal&hl=es&sa=X&e i=lnjHUaXfNMT64APkzoDgDQ&ved=0CFAQ6AEwBw#v=onepage&q=matrices%20simetricas%2 0y%20diagonalizacion%20ortogonal&f=false http://books.google.com.ec/books?id=eI34KBt0tTwC&pg=PA95&dq=matrices+simetricas+y+di agonalizacion+ortogonal&hl=es&sa=X&ei=lnjHUaXfNMT64APkzoDgDQ&ved=0CDYQ6AEwAg#v =onepage&q=matrices%20simetricas%20y%20diagonalizacion%20ortogonal&f=false http://books.google.com.ec/books?id=L7O5T19IRG0C&pg=PA153&dq=ejercicios+de+potencia +de+matrices&hl=es&sa=X&ei=y9vJUcjKNOaL0QHtzIGwBw&ved=0CD8Q6AEwAw#v=onepage &q=ejercicios%20de%20potencia%20de%20matrices&f=false 104 REALIZADO POR: JUAN CARLOS CORTEZ

http://books.google.com.ec/books?id=bVsMgqWWfuoC&pg=PA286&lpg=PA286&dq=matriz+u nitaria+compleja+ejemplos&source=bl&ots=PDpu1Tb9OC&sig=N_21SNPXZS58Pca9tlnIs4QQkk&hl=es&sa=X&ei=z6XZUYeGL6St0AGetIGoBw&ved=0CFkQ6AEwC Q#v=onepage&q=matriz%20unitaria%20compleja%20ejemplos&f=false http://books.google.com.ec/books?id=uxauLevnXxUC&pg=PA497&dq=matrices+complejas&hl =es&sa=X&ei=ZfXUdagKK684AOUyoHYAQ&ved=0CCwQ6AEwAA#v=onepage&q=matrices%20complejas&f=fa lse

FIN


VALORES Y VECTORES PROPIOS DE MATRICES REALES Y COMPLEJAS INVESTIGACION FINAL.pdf

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