2. Planimetría.
La planimetría es la parte de la topografía que estudia el conjunto de métodos y procedimientos que tienden a conseguir la representación a escala de todos los detalles interesantes del terreno sobre una superficie plana (plano geometría geometría)), prescindiendo de su relieve y se representa en una proyección horizontal.
2.1 Trazo de paralelas en el terreno
Método del triáng tri áng ulo is ós celes : a. Construida ya la línea base, y ubicado el punto P fuera de ella medimos una distancia PA de 4.7 m y otra distancia PB de 4.7 m que corten a la línea base, para formar el triángulo deseado. b. Construido el triángulo y cuyos lados son iguales ubicamos el punto medio en PA y en PB, la unión de estos dos puntos nos dará la línea paralela a la línea base.
Método de la tang tang ente: a. Aleatoriamente ubicamos un punto P en el terreno, del cual con ayuda de los cordeles construimos un vértice de Angulo desconocido (su medición será nuestro objetivo). b. Con la ayuda de una escuadra construimos un triángulo de dimensiones conocidas con vértice en P. c. Una vez hechas la mediciones conla ayuda de triangulo construido usamos la relación matemática que nos dará el ángulo buscado:
Método de la c uerda: uer da: a. Haciendo centro en P, trazamos un arco de radio = 1.50m, para construir un triángulo isósceles y aplicar la siguiente relación matemática: Angulo deseado= deseado= 2(arcsin( 2(arcsin(base/2(l base/2(lado ado del triángulo))) triángulo))) b. Compararemos ambas mediciones y determinaremos la diferencias ( error).
2.2 Aplicación de la trigonometría para solución de triángulos oblicuángulos. Triángulos oblicuángulos
Para resolver triángulos oblicuángulos vamos a utilizar los teoremas del seno y del coseno. Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos oblicuángulos:
1º. Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.
2º. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido
De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.
3º Conociendo dos lados y un ángulo opuesto
sen B > 1. No hay solución sen B = 1 Triángulo rectángulo sen B < 1. Una o dos soluciones
Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los senos puede suceder: 1. sen B > 1. No hay solución. Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.
Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.
2. sen B = 1. Solución única: triángulo rectángulo Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.
3. sen B < 1. Una o dos soluciones Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.
4º. Conociendo los tres lados
2.3 Levantamiento con cinta.
Es un levantamiento topográfico en el cual se usa una cinta métrica metálica (templada); un tránsito o teodolito (que es un aparato que mide los ángulos horizontales y verticales), y una plomada. El levantamiento mediante cintas métricas es el que menos recursos requiere aunque tiene sus limitaciones en cuanto al tamaño del área a levantar y la presión, pero para pequeñas áreas es factible su aplicación.
Procedimiento. Se mide con la cinta un borde del terreno (varias veces el mismo borde, para sacar un promedio de la misma distancia que se desea conocer). Con ayuda del teodolito (que tiene una brújula integrada) y la plomada se conoce el ángulo horizontal de la distancia a partir del norte magnético. El teodolito se coloca en un extremo y la plomada la sujeta otra persona en el otro extremo. Se ubica el norte magnético (no geográfico) y a partir de ahí se sacará el ángulo hacia donde está la plomada. La plomada sirve para ubicar bien los puntos. Al soltarse la plomada el hilo se tensa y por efecto de gravedad podemos ver que la tensión del hilo refleja una verdadera verticalidad, esto sirve para que la persona que está viendo desde el teodolito pueda sacar el ángulo horizontal del punto sobre el terreno que se desea conocer.
Precisiones. Mantener horizontal la cinta a ojo (aunque es mejor obtenerlo por medio de un nivel de mano) Usar la plomada para proyectar los extremos de la cinta sobre el terreno, Aplicar una tensión conveniente
Métodos del levantamientos con cintas.
Radiación Poligonal cerrada Poligonal abierta Ordenadas Triangulación.
Proceso del levantamiento. Trabajo de campo. Toma directa de datos. Trabajo de oficina. Cálculos y dibujo que dependen del tipo de levantamiento. Clases de levantamientos Los que tienen por objeto la determinación y fijación de los linderos del terreno. Los que han de servir de base a otros proyectos.
2.4 Método de triangulaciones
Se llama triangulación el método en el cual las líneas del levantamiento forman figuras triangulares, de las cuales se miden solo los ángulos y los lados se calculan trigonométricamente a partir de uno conocido llamado base. El caso más simple de triangulación es aquel que se vio en el “levantamiento de un lote por intersección de visuales”; de cada triangulo que se forma se conocen un lado, la base, y los dos ángulos adyacentes; los demás elementos se calculan trigonométricamente. Una red de triangulación se forma cuando se tiene una serie de triángulos conectados entre sí, de los cuales se pueden calcular todos los lados si se conocen los ángulos de cada triá ngulo y la longitud de la línea “base”. No necesariamente han de ser triángulos las figuras formadas; también pueden ser cuadriláteros (con una o dos diagonales) o cualquier otro polígono que permita su descomposición en triángulos. Se debe medir otra línea al final para confrontar su longitud medida directamente y la calculada a través de la triangulación, lo cual sirve de verificación. La precisión de una triangulación depende del cuidado con que se haya medido la base y de la precisión en la lectura de los ángulos. Los ángulos de cada triangulo deben sumar 180º; debido a pequeños errores inevitables, esto no se logra exactamente y , así, se presenta un pequeño error en cada triangulo (cierre en ángulo). De acuerdo con el grado de precisión deseada, este error tiene un valor máximo tolerable. También se puede encontrar el error de cierre en lado o cierre de la base, o sea, la diferencia que se encuentra entre la base calculada, una vez ajustados los ángulos, y la base medida, expresada unitariamente.
Consiste en determinar las coordenadas de un serie de puntos distribuidos en triángulos partiendo de dos conocidos, que definen la base, y midiendo todos los ángulos de los triángulos: Si A y B son dos puntos de coordenadas conocidas (base), para calcular las de C basta medir los ángulos α, β y γ. Estos ángulos se determinan estacionando en A, B y C y tomando las lecturas horizontales a los otros vértices. Los cálculos que se hacen son los siguientes: Comprobar el error angular de las medidas. El error es la diferencia entre la suma de los tres ángulos medidos y 200g : e = (α + β + γ) - 200g ; compensación = - error
Se compensa a partes iguales en los ángulos medidos. Cálculo de las distancias desde los puntos conocidos hasta el punto del que se quieren determinarlas coordenadas: Se hallan resolviendo el triángulo ABC del que se conocen los ángulos y un lado. Cálculo de las coordenadas de C: Con el acimut y la distancia desde A o desde B se obtienen las coordenadas de C. Para hallar las coordenadas de los demás puntos se operaría del mismo modo: en el siguiente triángulo ya se conocen dos puntos (la base es ahora BC) y se han medido los ángulos. Cuando se termina la triangulación en dos puntos de coordenadas conocidas hay que hacer otras compensaciones ajustando la distancia y acimut entre esos puntos calculados y conocidos y haciendo que coincidan. La triangulación es un método básicamente planimétrico, pero si además de medir ángulos horizontales se miden también verticales, se podrían tener cotas. Si las distancias entre los puntos son grandes, a los desniveles habría que aplicarle correcciones por el efecto de la esfericidad y la refracción.
2.5.1. Método de radiaciones.
El método de radiación es uno de los métodos de levantamiento de poligonales cerradas, y es el método más simple en el que se emplea el teodolito y la cinta. Consiste en situar el aparato topográfico en el punto O de coordenadas conocidas, interior al conjunto ABC... que se han de levantar, y tras orientar el instrumento se determinan los acimutes y las longitudes OA, OB...
a) De este modo se determinan las coordenadas polares de los puntos b) Los puntos se trasladan al plano con transportador y regla o previa determinación de coordenadas cartesianas:
Si además se miden los desniveles desde A a los puntos radiados, también se puede calcular la cota: Los instrumentos utilizados en la radiación deben permitir la medida de ángulos y distancias: taquímetro y estadía (en desuso), o goniómetro y medida electromagnética de distancias.
Utilidad del método. La radiación se utiliza para tomar los detalles en torno a un punto conocido. Muchas veces el punto conocido es una estación de la poligonal, y la orientación angular se hará a la base anterior o siguiente. Es un método adecuado para hacer un levantamiento de una zona con visibilidad desde un punto. Se puede establecer un sistema de coordenadas local teniendo la precaución de elegir unas coordenadas para la estación desde la que se radia suficientemente grandes para que no tener coordenadas negativas de los puntos levantados. A veces se intenta situar el eje Y próximo al Norte, operación que se puede hacer con la ayuda de una brújula. La radiación es en muchas ocasiones un método complementario de la poligonal.
Procedimiento 1. Hacer un reconocimiento de la zona a levantar, materializando los vértices que constituyen la poligonal cerrada. 2. Situar dentro de la zona a levantar un punto (estación) desde el que puedan verse todos los vértices del polígono. 3. Armar el trípode sobre la estación, procurando que la meseta quede en la vertical de la estaca o placa, y además quede aproximadamente horizontal, para lo quel se juega con la longitud variable de las patas del trípode. 4. Sacar el aparato del estuche y se coloca sobre la meseta del trípode, sujetándolo a ésta por medio de una rosca. 5. Colocar la plomada de gravedad en el gancho que para tal fin tiene el teodolito, para saber en que momento el aparato está centrado. 6. Una vez que la plomada indique que se está dentro de un radio menor de unos 2 cm del punto estación, se procede a nivelar el aparato con los tornillos de nivelación. 7. Con el aparato nivelado, se observa qué tan lejos se quedó el eje vertical (o sea la plomada) del punto estación. Si está a una distancia menor de 2 cm se puede soltar el aparato y deslizándolo sobre la meseta, hacer que el eje vertical pase por el punto estación (dirección plomada). Después de esta operación es necesario ajustar el aparato para que no se deslice sobre la meseta. 8. Al hacer la operación anterior es probable que se haya desnivelado el aparato, por lo tanto es necesario volverlo a nivelar, ya con bastante exactitud. 9. Es conveniente que las patas del trípode queden perfectamente ancladas en el terreno. 10. La escala angular horizontal se coloca en 0°0’0’’ con respecto al norte.
11. Se miden los azimutes de cada uno de los vértices tal como lo indica la figura
12 Desde el punto 0 se miden las distancias 01, 02, 03, ..... 13. Es necesario volver a leer el azimut (Azi) hacia el primer punto 1, para comprobar que el aparato no se ha movido. 14. En la cartera de campo se anotan los datos tal como se indica.
15. A continuación se procede a calcular las coordenadas de los vértices del polígono. Tal como lo indica el siguiente cuadro de cálculos
2.6 Escalas y tipo de escalas.
La escala es una relación proporcional que se da entre las medidas de una cosa real y su representación gráfica o material en menor medida. Por lo tanto, se trata de un cálculo matemático que pretende ajustar las proporciones reales de una cosa cuando estas disminuyen o aumentan. La escala es un recurso muy utilizado a la hora de hacer mapas, representaciones gráficas o reproducciones materiales de cosas o imágenes. De esta manera, la escala representa las mismas dimensiones únicamente que un plano menor o mayor, lo que guarda las proporciones. Existen distintos tipos de escalas, las cuales se definen a partir del uso o representación proporcional que se da de una cantidad.
Los diferentes tipos de es cala son: Escala natural: es cuando las cosas representadas guardan una relación de
identidad con la cosa real. Es decir, sus proporciones son las mismas. Por lo tanto, se trata de una representación similar o copia del original. Escala de reducción : como su nombre lo indica, esta escala representa a una
cosa en un tamaño menor. Para ello se realiza una operación matemática por la cual cada unidad de la cosa real se disminuye o proyecta en menor medida. Escala de ampliación : como su nombre lo indica, se trata de una escala opuesta
a la anterior. En este caso, la escala magnifica las proporciones o medidas de la cosa real, guardado evidentemente una relación proporcional. Escala numérica: es el tipo de escala que representa la relación entre el valor de
la cosa representada y el valor de la realidad. Escala unidad por unidad : es la escala que representa gráficamente el tipo de
proporción o valores que representa. Es decir cada unidad representada tiene su proporción en la realidad. Escala gráfica: es, como su nombre lo indica, la representación dibujada de la
escala unidad por unidad.
2.7 Levantamiento con brújula y cinta.
El levantamiento con brújula y cinta es utilizado en aquellos casos donde se requiere una mayor precisión en la determinación del área del lote y en general de las mediciones. La bondad del método radica en la buena toma de lecturas tanto con la brújula, asegurando que los ángulos sean horizontales y con la cinta, igualmente asegurando que las distancias sean también horizontales. Es importante recordar que la brújula al ser un instrumento que es afectado por el magnetismo terrestre, no debe utilizarse cuando se sospeche que puede ser afectado por magnetismo de tipo local, tal como líneas de alta o baja tensión, minas de hierro, poblaciones, etc, los cuales hacen que las medidas con este instrumento no sean confiables. Para los trabajos con cinta y brújula, debe delimitarse el lote o más concretamente sus vértices utilizando estacas. Acto seguido se toman medidas del rumbo adelante (rumbo) y rumbo atrás (contra rumbo) de acuerdo a las líneas definidas por los vértices. El rumbo adelante corresponde al definido por la línea que sale del vértice en sentido de las manecillas del reloj y el rumbo atrás es aquel definido por el la línea que sale del vértice en sentido contrario a las manecillas del reloj, tal como se muestra en la siguiente figura.
A partir de los rumbos adelante y atrás se debe calcular el valor de los ángulos interiores del polígono. Es recomendable realizar esta operación en campo para poder corregir cualquier error que se detecte.
Procedimiento: 1. Ubicamos correctamente el terreno a medir 2. Una vez se tiene el terreno ubicado, se inicia la selección de las cuatro estaciones al demarcarlas con cuatro estacas hincadas. 3. Tomamos la primera estación e iniciamos a calcular con la brújula y la plomada los ángulos formados entre la estación y cada detalle designado. 4. De la estación tomada calculamos los ángulos formados entre la estación siguiente y la estación anterior. 5. Estos dos procedimientos anteriores se deben hacer con mucha exactitud ya que la plomada tiene que estar punteando a la estaca, y al mismo tiempo la brújula debe mirar el detalle y la estación a evaluar. 6. Cogemos la cinta y comenzamos a medir la distancia situada entre la estación y cada detalle designado. Así mismo medimos la distancia entre la estación siguiente y la distancia entre la estación anterior.
2.8 Partes que la componen y su aplicación.
La dirección de los alineamientos en topografía se dan en función del ángulo que se forma con el meridiano de referencia y puede ser de dos tipos: azimuts o rumbos.
Brújula. Generalmente son aparatos de mano. Pueden apoyarse en tipié, o en un bastón, o en una vara cualquiera. Las letras (E) y (W) de la carátula están invertidas debido al movimiento relativo de la aguja respecto a la caja. Las pínulas sirven para dirigir la visual, a la cual se va a medir el Rumbo.
B rújula de mano de reflexión. Con el espejo se puede ver la aguja y el nivel circular al tiempo que se dirige la visual o con el espejo el punto visado. El nivel de tubo, que se mueve con una manivela exterior, en combinación con la graduación que tiene en el fondo de la caja y con el espejo, sirve para medir ángulos verticales y pendientes. Las brújulas fabricadas para trabajar, traen un contrapeso en la punta Sur para contrarrestar la atracción magnética en el sentido vertical. Esto ayuda para identificar las puntas Norte y Sur. La Brújula, como los demás aparatos de medición debe reunir determinadas condiciones para que dé resultados correctos.
Tipos de B rújula Esencialmente todas las brújulas consiste en un imán al que se le permite girar libremente sobre su centro, para que se coloque paralelo a las líneas de fuerza magnética del campo terrestre e indique la dirección aproximada de los polos magnéticos. Para identificar el extremo del imán o de una aguja que es realmente pequeño, este se pinta de forma distintiva, con pintura roja, pavonado en negro o con puntos fosforescentes verdes, para distinguirlo de noche en la obscuridad. La aguja se encuentra dentro de una caja de material permeable al campo magnético, como aluminio, latón, plástico o bronce, la tapa de vidrio permite observar la aguja, sin que se caiga o sea afectada por el viento; en el fondo de la caja se pintan las divisiones de¡ circulo y letras para identificar los puntos cardinales, formando lo que se conoce como limbo. Algunas brújulas
aparentemente no tienen aguja, ya que todo el limbo gira, pero la aguja o imán está escondido bajo el limbo, puede ser un circulo de plástico o aluminio. Una buena brújula para orientación, tiene su limbo graduado por lo menos cada 2 grados, aunque un experto puede utilizar con igual resultado, una que tenga marcas solo cada 5 grados .
E xi s ten al menos cuatro pri ncipales tipos de B rújula:
Condici ones que debe reunir una brújula. La línea de los Ceros Norte-Sur debe coincidir con el plano vertical de la visual definida por la Pínulas. Si esto no se cumple, las líneas cuyos rumbos se miden quedarán desorientadas, aunque a veces se desorienta a propósito para eliminar la declinación. La recta que une las 2 puntas de la aguja debe pasar por el eje de rotación, es decir, la aguja en sí debe ser una línea recta.
Us os de la brújula. Se emplea para levantamientos secundarios, reconocimientos preliminares, para tomar radiaciones en trabajos de configuraciones, para polígonos apoyados en otros levantamientos más precisos. Levantamientos de Polígonos con Brújula y Cinta. El mejor procedimiento consiste en medir, en todos y cada uno de los vértices, rumbos directos e inversos de los lados que allí concurran, pues así, por diferencia de rumbos se calcula en cada punto el valor de ángulo interior, correctamente, aunque haya alguna atracción local. Con esto se logra obtener los ángulos interiores de polígono, verdaderos a pesar de que haya atracciones locales, en caso de existir, sólo producen desorientación de las líneas.
2.9
Orientación magnética.
Meridiana magnética es la línea paralela a las líneas magnéticas de fuerza de la tierra ; su dirección es laque toma una aguja magnética suspendida libremente. Meridiana astronómica o verdadera es la dirección norte sur dada por la intersección del plano meridiano astronómico con el horizonte. El plano meridiano magnético es el plano vertical en que se coloca una aguja imanada y orientada bajo la acción única del campo magnético terrestre. El plano meridiano astronómico o verdadero de un punto en el circulo máximo que paso por ese punto y por los polos terrestres. Los polos magnéticos están a alguna distancia de los polos geográficos, por lo tanto, la meridiana magnética no es paralela a la verdadera. Sin embargo , la meridiana magnética se emplea como una línea de referencia en los levantamientos aproximados a los que a menudo se usa la brújula. Se llama declinación magnética el ángulo entre la meridiana astronómica y la magnética es oriental; es decir, el extremo norte de la aguja de la brújula apunta al este de la meridiana astronómica o verdadera. La declinación cambia de valor de un lugar a otro y está sujeta a diversas variaciones:• Seculares es igual a varios grados en un ciclo de aprox. 300 años. Debido a su magnitud, es sumamente importante en especial para trazar líneas, cuyas direcciones se encuentran en el meridiano magnético.• Anuales es una oscilación periódica diferente de la variación secular y en la mayor parte de la república mexicana su magnitud es menor de 1’.• Diarias se le llama variación solar diurna y ocurre todos los días. La variación media es menor de 8’, es tan pequeña que no es necesario emplear la brújula.• irregulares se debe a perturbaciones magnéticas y lo más probable es que produzcan tormentas magnéticas con magnitud de 1 o más. Las líneas isogonicas son las que unen los distintos lugares de la Tierra que tienen la misma declinación , por lo contrario las líneas agónicas son lasque unen los puntos de declinación nula. La inclinación magnética de un lugar es el ángulo vertical que la aguja imanada libre forma con el plano horizontal, para contrarrestar esta atracción , se pone en la punta sur de la aguja una pequeña corredera de alambre, lo que permite mantener la aguja en posición horizontal e identificar las puntas norte y sur. Las líneas isóclinas son aquellas que unen puntos de igual inclinación magnética y corresponden a los círculos de igual latitud. La dirección de cualquier línea respecto a una meridiana puede definirse por el azimut o por el rumbo
2.10 Rumbos y azimutes observados.
Rumbo
El rumbo de una línea es el ángulo horizontal agudo (<90°) que forma con un meridiano de referencia, generalmente se toma como tal una línea Norte-Sur que puede estar definida por el N geográfico o el N magnético (si no se dispone de información sobre ninguno de los dos se suele trabajar con un meridiano, o línea de Norte arbitraria). Como se observa en la figura, los rumbos se miden desde el Norte (línea ON) o desde el Sur (línea OS), en el sentido de las manecillas del reloj si la línea a la que se le desea conocer el rumbo se encuentra sobre el cuadrante NOE o el SOW; o en el sentido contrario si corresponde al cuadrante NOW o al SOE. Como el ángulo que se mide en los rumbos es menor que 90° debe especificarse a qué cuadrante corresponde cada rumbo.
Por ejemplo en la figura las líneas mostradas tienen los siguientes rumbos: Línea
RUMBO
OA
N30°E
OB
S30°E
OC
S60°W
OD
N45°W
Como se puede observar en la notación del rumbo se escribe primero la componente N o S del cuadrante, seguida de la amplitud del ángulo y por último la componente E o W.
Azimut
El azimut de una línea es el ángulo horizontal medido en el sentido de las manecillas del reloj a partir de un meridiano de referencia. Lo más usual es medir el azimut desde el Norte (sea verdadero, magnético o arbitrario), pero a veces se usa el Sur como referencia. Los azimutes varían desde 0° hasta 360° y no se requiere indicar el cuadrante que ocupa la línea observada. Para el caso de la figura, las mismas líneas para las que se había encontrado el rumbo tienen el siguiente azimut: Línea
AZIMUT
OA
30°
OB
150°
OC
240°
OD
315°
Contra-rumbo y Contra-azimut (Rumbo o azimut inverso) Cuando se desea conocer la dirección de una línea se puede ubicar un instrumento para medirla en cualquiera de sus puntos extremos, por lo tanto se llaman rumbo y azimut inversos a los observados desde el punto contrario al inicial. Para que quede más claro, si en el ejemplo de la figura se midieron primero los rumbos y azimutes desde el punto O (líneas OA, OB, OC y OD), el contrarumbo y contra-azimut de cada línea corresponde a la dirección medida en sentido opuesto, desde cada punto hasta O (líneas AO, BO, CO y DO). Cuando se trata de rumbos, para conocer el inverso simplemente se cambian las letras que indican el cuadrante por las opuestas (N <-> S y E <-> W). De manera que para la figura se tiene:
Línea
RUMBO
CONTRA-RUMBO
OA
N30°E
S30°W
OB
S30°E
N30°W
OC
S60°W
N60°E
OD
N45°W
S45°E
Por el contrario, si se trata de azimutes, el inverso se calcula sumándole 180° al original si éste es menor o igual a 180°, o restándole los 180° en caso de ser mayor. Contra-Azimut = Azimut ± 180° Para la figura mostrada se observan los siguientes azimutes inversos: Línea
AZIMUT
CONTRA-AZIMUT
OA
30°
30°+180° = 210°
OB
150°
150°+180° = 330°
OC
240°
240°-180° = 60°
OD
315°
315°-180° = 135°
Vale la pena volver a decir que en ningún caso un rumbo (o un rumbo inverso) puede ser mayor a 90°, ni un azimut (o contraazimut) mayor a 360°. Conversión de Rumbo a Azimut Para calcular azimutes a partir de rumbos es necesario tener en cuenta el cuadrante en el que se encuentra la línea. Observando la figura anterior se puede deducir la siguiente tabla.
Cuadrante
Azimut a partir del rumbo
NE
Igual al rumbo (sin las letras)
SE
180° – Rumbo
SW
180° + Rumbo
NW
360° – Rumbo
Se puede comprobar revisando los valores que aparecen en la figura. Conversión de Azimut a Rumbo
Observando también la figura se ve que el cuadrante de la línea depende del valor del azimut así: Azimut
Cuadrante
Rumbo
0° – 90°
NE
N ‘Azimut’ E
90° – 180°
SE
S ‘180° – Azimut’ E
180° – 270°
SW
S ‘Azimut – 180°’ W
270° – 360°
NW>
N ‘360° – Azimut’ W
2.11 Cálculo de rumbos y azimutes.
