Apuntes de Topografía II (Altimetría)
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA ACADEMIA DE TOPOGRAFÍA
APUNTES DE
TOPOGR TOPOGRAFÍA AFÍA I I
A L T I M E T R Í A MARTÍN ZÚÑIGA GUTIERREZ
Febrero de 2009
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
Misión de la Unidad Académica Formación Integral de profesionales de la Ingeniería altamente competitivos en el mercado laboral, capaces de incidir con visión humanística y alto compromiso social, en el desarrollo regional y nacional, fomentando su formación permanente y su habilidad para el análisis científico y el desarrollo tecnológico.
Visión de la Unidad Académica Lograr que la Unidad Académica de Ingeniería consolide su liderazgo académico en el área tecnológica en la región y hacer de esta institución la mejor de la Universidad Autónoma de Guerrero, y una de las mejores a nivel nacional y que con acciones de mejora continúa, convertirla en una institución altamente capacitada y competitiva y que en un futuro cercano se pueda insertar eficazmente en el mundo globalizado, logrando la acreditación de sus diferentes Programas Educativos.
Misión del Programa Educativo de Ingeniero Topógrafo Geodesta Formación integral de profesionales con profundos conocimientos de la Topografía y Geodesia, competitivos en el campo laboral, con participación amplia en la solución de la problemática de la Ingeniería, con visión humanista y compromiso social, para el desarrollo regional y nacional; comprometido en su actualización y capacitación permanente, con habilidad para la medición tradicional digitalizada, utilizando el equipo de vanguardia, apegados a la normatividad vigente en la materia.
Visión del Programa Educativo de Ingeniero Topógrafo Geodesta El programa programa educativo de Ingeniero Ingeniero Topógrafo Geodesta será de de calidad calidad académica, líder en la región para las diferentes Líneas de Generación y Aplicación del Conocimiento de la Ingeniería Topográfica y Geodésica; una verdadera opción para los jóvenes que deseen ser profesionales con capacidad para planear, proyectar y ejecutar los trabajos de medición, geoposicionamiento y sistemas de información geográfica; buscando el mejor aprovechamiento de los recursos y la conservación del medio ambiente, en beneficio de la sociedad, coadyuvando así al desarrollo del estado y del país. Su planta docente contará con el perfil académico adecuado, de tal manera que se garantice el óptimo desempeño de la relación enseñanza aprendizaje y así lograr la permanencia del estudiante y a la vez una excelente eficiencia terminal. Tener los Departamentos de Control Escolar, Topografía, Educación Continua, así como los laboratorios de Geoprocesamiento y Percepción Remota, de Hidráulica, de Cómputo de Licenciatura y de Cómputo Avanzado y la Biblioteca, con el equipamiento necesario y tecnología de vanguardia.
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Introducción
La elaboración de este material de aprendizaje, es con el propósito de apoyar a los estudiantes que cursan la unidad de aprendizaje de Topografía II (Altimetría) de los Programas Educativos de Ingeniero Topógrafo Geodesta e Ingeniero Civil, que se se imparten imparten en la Unidad Académica de Ingeniería Ingeniería dependiente de la Universidad Autónoma de Guerrero, procurando reunir los
elementos básicos para el desarrollo de una forma teórica y práctica de los diferentes temas que abarca el estudio de la Topografía en proyección vertical (Altimetría), desde la obtención de las cotas o elevaciones del terreno de forma directa e indirecta (estadia), la obtención e interpretación de las curvas de nivel, así como el conocimiento, cálculo y trazo de las curvas horizontales y verticales; utilizando los equipos tradicionales y de vanguardia. Esperando con esto una motivación adicional en su formación, generando así los principios para enfrentar como estudiante estudiante y profesionista integro, el uso de la nueva tecnología topográfica. En ningún momento se pretende que este material sea un trabajo terminado, ya que el propósito fundamental es mejorarlo con las aportaciones y críticas tanto de los profesores como de los estudiantes, logrando tal vez en un momento de mi trabajo como profesor, la culminación en una obra literaria de envergadura en el estudio de la Ingeniería Topográfica.
ING. MARTÍN ZÚÑIGA GUTIERREZ PROFESOR
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Objetivos del curso
El estudiante conocerá y desarrollará sus habilidades en el uso y manejo del nivel topográfico, en la determinación de alturas aplicando los diferentes métodos de nivelación, realizando de forma ordenada los reportes numéricos y de dibujo, con una actitud de responsabilidad y trabajo en equipo.
El conocimiento conocimiento de curvas curvas de nivel, nivel, así como la forma directa directa de obtener obtener la configuración de terrenos, representándolo en un plano topográfico.
El conocimiento, habilidades y destrezas para determinar distancias y desniveles en forma indirecta y simultánea, para los diferentes levantamientos topográficos.
Conocer la geometría de una curva horizontal y habilidades en el cálculo y trazo de la misma.
Conocer la geometría de una curva vertical y habilidades en el cálculo y trazo de la misma.
“Es detestable esa avaricia espiritual que tienen los que sabiendo algo, no procuran la transmisión de esos conocimientos” MIGUEL DE UNAMUNO
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ÍNDICE
PRIMERA UNIDAD 1. MÉTODOS DE NIVELACIÓN 1.1 Conceptos y generalidades 1.2 Nivelación 1.2.1 Nivelación indirecta 1.2.2 Nivelación directa o topográfica 1.2.3 Nivel fijo o topográfico 1.3 Errores en la nivelación 1.4 Métodos de nivelación 1.4.1 Nivelación diferencial 1.4.2 Comprobación de una nivelación 1.4.3 Nivelación de perfil 1.4.4 Construcción del perfil 1.5 P r á c t i c a s
1 2 2 3 4 5 6 6 8 9 11 10
SEGUNDA UNIDAD 2. PLANIMETRÍA Y ALTIMETRÍA SIMULTÁNEAS 2.1 Configuración 2.1.1 Curvas de nivel 2.1.2 Caracteristicas de las curvas de nivel 2.2 Métodos de configuración 2.2.1 Secciones transversales 2.2.2 Registro de campo 2.3 P r á c t i c a s
12 12 12 13 13 15 16
TERCERA UNIDAD 3. TAQUIMETRÍA 3.1 Generalidades y definición 3.2 Estadia 3.2.1 Estadia simple 3.2.2 Estadia compuesta 3.3 Levantamientos con tránsito y estadia 3.3.1 Instrucciones para usar la estadia 3.3.2 Errores y tolerancias en los levantamientos con tránsito y estadia 3.3.3 Cálculo de poligonales con estadia 3.3.4 Configuración con tránsito y estadia. Puntos aislados 3.4 P r á c t i c a s
17 17 17 21 23 24 26 27 28 28
CUARTA UNIDAD 4. CURVAS HORIZONTALES 4.1 Generalidades 4.2 Geometría de una curva horizontal simple 4.3 Definición y deducción de las fórmulas para el cálculo de
30 31 32
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curvas circulares 4.4 Cálculo de una curva horizontal simple 4.4.1 Trazo de una curva horizontal simple 4.5 P r á c t i c a s
35 37 39
QUINTA UNIDAD 5. CURVAS VERTICALES 5.1 Generalidades 5.2 Geometría de una curva vertical. 5.3 Teoría de una curva vertical. 5.4 Cálculo de curvas verticales. 5.4.1 Trazo de una curva vertical 5.5 P r á c t i c a s
Bibliografía
40 40 41 43 46 49
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TOPOGRAFÍA II (ALTIMETRÍA) PRIMERA UNIDAD 1. MÉTODOS DE NIVELACIÓN. 1.1 CONCEPTOS Y GENERALIDADES. La ALTIMETRÍA es el conjunto de trabajos que suministran los elementos para determinar las alturas o diferencias de elevaciones entre puntos del terreno, con el propósito de obtener la representación de los accidentes o configuración del mismo. Las ALTURAS de un trabajo de Topografía, están referidas a un plano común de referencia. Este plano llamado de comparación es una superficie plana imaginaria, cuyos puntos se asumen con una elevación o altura cero.
B
A
Altura de B
Altura de A PLANO DE COMPARACI N HIPOT TICO O REAL DEFINICIONES COTA, ELEVACIÓN O ALTURA. Distancia vertical de un punto determinado de la superficie terrestre que existe desde el plano de comparación a dicho punto. BANCO DE NIVEL. Es un punto fijo, de carácter más o menos permanente cuya elevación con respecto a algún otro punto, es conocida. Se usa como punto de partida para un trabajo de nivelación o como punto de comprobación de cierre. Los BN se emplean como puntos de referencia y de control para obtener las cotas de los puntos del terreno. Se establecen sobre elementos fijos, tales como: roca fija, troncos de árboles u otros sitios notables e invariables y también por medio de monumentos de concreto, con una varilla que defina el punto.
varilla
BN-28
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LÍNEA VERTICAL. Línea que sigue la dirección de la gravedad, indicada por el hilo de una plomada. SUPERFICIE DE NIVEL. Superficie curva que en cada punto es perpendicular a la línea de una plomada.
Línea horizontal
A
SUPERFICIE DE NIVEL Ángulo vertical
PLANO HORIZONTAL
hAB B
Línea de nivel
Nivel Medio del Mar
ELEVACIÓN DE B.
NMN
SUPERFICIE DE NIVEL
Plano de referencia
DATUM
Línea vertical
hAB : Diferencia de elevación entre A y B. (Desnivel) LÍNEA DE NIVEL. Línea contenida en una superficie de nivel y que es, por lo tanto, curva. PLANO HORIZONTAL. Plano perpendicular a la dirección de la gravedad. En Topografía Plana, es un plano perpendicular a la línea de una plomada. NIVEL MEDIO DEL MAR (NMM). Altura promedio de la superficie del mar según todas las etapas de la marea en un determinado periodo (19 años). Se determina por lecturas tomadas generalmente a intervalos de una hora.
1.2 NIVELACIÓN. Es un término genérico que se aplica a cualquiera de los diversos procedimientos a través de los cuales se determinan elevaciones o diferencias entre las mismas. Es una operación fundamental en la cual se obtienen los datos necesarios para la elaboración de los distintos planos de configuración y el control vertical en los proyectos de Ingeniería y Construcción.
1.2.1 NIVELACIÓN INDIRECTA. Las NIVELACIONES INDIRECTAS son las que se valen de la medición de otros elementos auxiliares para obtener las cotas o elevaciones y desniveles entre puntos.
TRIGONOMÉTRICA
NIVELACIÓN INDIRECTA
BAROMÉTRICA
Martín Zúñiga Gutierrez
1
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NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Este tipo de nivelación, los desniveles se obtienen mediante la Trigonometría, con los datos medidos de ángulos y distancias.
D estadal
B
D.I. C
h ELEV.
a A
D.H.
Cuando se miden el ángulo vertical ( α) y la distancia inclinada o real (DI), el desnivel (h), se obtiene: h sen α = : h = DI sen α DI y, cuando se toma la distancia horizontal (DH), el desnivel (h), se obtiene:
tanα =
h DH
:
h = Dh tan α
NIVELACIÓN BAROMÉTRICA
Esta se lleva a cabo por medio del uso del Barómetro. El barómetro, es un instrumento que mide la presión del aire atmosférico, puede usarse para determinar alturas relativas de puntos situados sobre la superficie de la Tierra. La Nivelación Barométrica se emplea principalmente en los reconocimientos y en los trabajos de exploración, cuando las diferencias de elevación son grandes, como en las zonas de montañosas.
BARÓMETRO (ALTÍMETRO)
1.2.2 NIVELACIÓN DIRECTA O TOPOGRÁFICA.
Martín Zúñiga Gutierrez
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La NIVELACÓN DIRECTA O TOPOGRÁFICA es la que se realiza por medio de los aparatos llamados NIVELES y se llama directa porque al mismo tiempo que se va ejecutando, se va conociendo los desniveles del terreno. NIVELES. En los trabajos de Ingeniería se emplean varias clases de niveles:
DE ALBAÑIL
FIJOS O TOPOGRÁFICOS
DE MANO
NIVELES DE ALBAÑIL
De regla
De plomada
De manguera
1.2.3 NIVEL FIJO O TOPOGRÁFICO. Estos aparatos se llaman fijos o “montados” porque se fijan en un tripie. Constan esencialmente de un anteojo y un nivel de burbuja circular, para nivelarlo empleando tornillos niveladores. Los niveles fijos o topográficos, tienen un tornillo de presión, que fija el movimiento general del anteojo y otro tangencial; para movimientos pequeños. La instalación del nivel es fácil porque se hace en el lugar que convenga al operador y no sobre un determinado punto, por lo tanto, es inexcusable que el plato este completamente fuera de nivel antes de usar los tornillos niveladores.
NIVEL AUTOMÁTICO
NIVEL ELECTRÓNICO Martín Zúñiga Gutierrez
EQUIPO DE NIVELACIÓN
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EQUIPO COMPLEMENTARIO ESTADAL. Es una regla graduada de madera, aluminio, metal, fibra de vidrio, de 4, 5 y 6 metros de largo, y de 4, 5 y 6 centímetros de ancho, por 2 centímetros de espesor. Sobre este se toman las lecturas verticales, al milímetro.
ESTADAL DE ALUMINIO NIVEL DE MANO NIVEL DE MANO. Consiste en un tubo de 12 a 15 centímetros de largo que lleva en su parte superior un nivel de burbuja, sin poder amplificador, su uso se ajusta en todo a la técnica del nivel fijo. Es de gran utilidad en los trabajos de nivelación y configuración que no requieren gran precisión.
1.3 ERRORES EN LA NIVELACIÓN. Los errores que más comúnmente ocurren en los trabajos de una nivelación son: 1. Error por no estar vertical el estadal
Para evitar este error se imprime al estadal un movimiento de vaivén, hacia delante y hacia atrás; (“bombeo”), para que el aparatero tome la mínima lectura, que corresponde al paso del estadal por la vertical, o en su defecto, se utiliza un nivel especial para estadal.
2. Error por reverberación.
Es debido a que el suelo al estar más caliente que el aire, produce corrientes de abajo hacia arriba, que hacen que el estadal parezca estar ondulando. Para reducir este efecto, conviene no tomar lecturas menores de 10 cm. en el estadal. Martín Zúñiga Gutierrez
4
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3. Error por no estar centrada la burbuja del nivel.
Para evitarlo conviene llevar la burbuja al centro, después de haber apuntado el anteojo al estadal, antes de tomar la lectura. En niveles de precisión, esto se logra mediante un tornillo que permite ajustar la burbuja del nivel. 4. Error de apreciación de fracciones en las lecturas del estadal.
En un principio este se reduce, tomando la lectura el aparatero y que un auxiliar verifique dicha lectura. Es conveniente familiarizarnos con el tipo de estadal a utilizar; como por ejemplo: Como viene graduado, los tonos de color, etc. 5. Error por curvatura de la Tierra y refracción atmosférica.
En trabajos ordinarios de nivelación este error no es apreciable, ya que por lo general, las visuales son del orden de 100 metros; sin embargo, para evitar que este error se haga acumulativo es conveniente que las visuales tengan, aproximadamente, la misma longitud. En caso de conocer su valor, este se determina:
E = 0.000 000 067 D2 Donde: E: Error por curvatura de la Tierra y refracción atmosférica D: Distancia entre los puntos, en metros. Ej. Para una visual de 100 metros;
E = 0.000 000 067 (100) 2
⇒
E = 0.000 67 m ≈ 0.001 m.
1.4 MÉTODOS DE NIVELACIÓN. Para determinar las distintas elevaciones sobre la superficie terrestre, existen varios métodos, pero tradicionalmente se aplican: Nivelación diferencial y Nivelación de perfil.
1.4.1 NIVELACIÓN DIFERENCIAL. Tiene por objeto determinar la diferencia de elevación entre dos o mas puntos del terreno. Esta puede ser SIMPLE o COMPUESTA. NIVELACIÓN DIFERENCIAL SIMPLE Este tipo de nivelación se presenta, cuando el desnivel entre dos puntos se obtiene haciendo solamente una estación de aparato.
estadales (+) (-)
LA h
A COTA
LB A B COTA
B
PLANO DE COMPARACIÓN Martín Zúñiga Gutierrez
5
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Donde:
L A: Lectura de estadal en el punto A, L B: Lectura de estadal en el punto B, h: desnivel entre el punto A y el punto B, : altura de aparato.
El desnivel h, se obtiene:
h = L A - L B h = COTA A – COTA B
ó
ALTURA DE APARATO (A.I.). Es la elevación de la línea de colimación con respecto al plano de comparación y no la altura del anteojo con respecto al lugar donde este instalado el aparato. LECTURA ATRÁS. Es la que se hace en el estadal sobre un punto de elevación conocida y se indica con signo positivo. LECTURA ADELANTE. Es la que se toma en el estadal sobre un punto de elevación desconocida y se indica con signo negativo. Para este caso:
h = lectura de atrás – lectura de adelante
Si la diferencia resulta positiva indicará que el punto de adelante está más alto que el punto de atrás y viceversa.
Las lecturas de atrás y adelante se indican con signos positivo y negativo, respectivamente, porque la primera se SUMA a la elevación del punto donde se hace la lectura para obtener la ALTURA DE APARATO, y la segunda se RESTA de la altura de aparato para determinar la ELEVACIÓN del punto donde se hace la lectura. Cuando se conoce la ELEVACIÓN O COTA del punto A y se desea obtener la correspondiente del punto B, se realiza la siguiente operación: COTA B = COTA A
± DESNIVEL
ENTRE A y B
O en su defecto: COTAA + L A = ALTURA DE APARATO (ALT. APAR.) COTAB = ALT. APAR. - L B Generalmente: COTA B = COTA A + L A – L B
Martín Zúñiga Gutierrez
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NIVELACIÓN DIFERENCIAL COMPUESTA
Cuando no se pueden cumplir las condiciones para la nivelación diferencial simple, o sea que los puntos cuyo desnivel se desea conocer estén muy lejanos uno del otro y con obstáculos intermedios, este se obtiene, repitiendo la operación indicada para la nivelación simple, cuantas veces sea necesario, estableciendo puntos intermedios, llamados PUNTOS DE LIGA (PL) donde se hacen dos lecturas en el estadal, una adelante y otra atrás. Los PL deben ser puntos definidos y se establecerán empleando trompos, marcas pintadas o labradas con cincel, rocas, troncos de árboles, etc. La nivelación diferencial compuesta requiere una serie de cambios de instrumento a lo largo de la ruta general y, para cada cambio, una lectura en el estadal colocado sobre un punto de elevación conocida y otra lectura adelante al punto de elevación desconocida.
2.134
3.658
1.918 0.762
1.847
BN13 0.678
0.516
Pl1
BN12 COTA
0.974
Pl2
1263.124 M
Pl3
REGISTRO DE CAMPO Este se lleva a cabo en un libro especial, llamado LIBRETA DE NIVEL, y debe contener: PROYECTO___________________________________ NIVELÓ_______________________________________ LUGAR_______________________________FECHA___________________INSTRUMENTO______________
EST. BN12 PL 1 PL 2 PL 3 BN13
+
-
COTAS
NOTAS
2.134 1265.258 1263.124 TRONCO DE ARBOL, ubicado 0.762 1.918 a 32.17m a la derecha del PI 4 0 678 1.847 del tramo 0 + 780 - 1+ 240 3.658 0.516 0.974
COMPROBACIÓN ARITMÉTICA Antes de que la brigada de nivelación deje el campo, debe de efectuarse la comprobación aritmética de los cálculos de cotas, realizando esto de la siguiente manera: Se suman todas las lecturas (+); se suman todas las lecturas (-); la diferencia entre estas dos sumas debe ser igual a la diferencia entre las elevaciones de la última y primera estación.
1.4.2 COMPROBACIÓN DE UNA NIVELACIÓN. Es conveniente comprobar todo trabajo de campo para tener la seguridad de que esté correcto. El trabajo de campo de una nivelación puede comprobarse aplicando cualquiera de los procedimientos siguientes: Martín Zúñiga Gutierrez
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a) DE IDA Y REGRESO. Recomendada para distancias cortas, ya sea siguiendo la misma ruta u otra distinta; si no se usan los mismos puntos de liga es ventajoso por ejecutarse en diferentes condiciones.
T = ± 0.01 P
P: suma de las distancias, en Km.
b) POR DOBLE ALTURA DE APARATO. Se ejecutan dos nivelaciones en igual dirección con los mismos puntos de liga, pero diferentes alturas de aparato.
T = ± 0.02 P
P: doble de la distancia recorrida, en Km.
c) CON DOBLE PUNTO DE LIGA. Se duplica la nivelación cambiando la ubicación del punto de liga; se mantiene la altura de instrumento en ambas nivelaciones, pero diferentes lecturas de estadal.
T = ± 0.015 P
P: doble de la distancia recorrida, en Km.
El ERROR de cada nivelación es la diferencia entre cada uno de los desniveles obtenidos y el valor más probable del desnivel, siendo este el promedio o media aritmética de los dos resultados.
1.4.3 NIVELACIÓN DE PERFIL. Tiene por objeto determinar las cotas o elevaciones de puntos a distancias conocidas sobre un trazo, para obtener el perfil de ese trazo. PERFIL DE UNA LÍNEA Es la línea determinada por la intersección del terreno en un plano vertical que pasa por la línea. Representa el contorno vertical de un corte acotado del terreno.
S A T O C
S A T O C
A
B
S
C
I
S
A
S
A
B
S
C
I
S
A
S
En esta intervienen dos elementos: El eje de las abscisas que es el desarrollo de la línea (Planimetría), y las ordenadas , que son las elevaciones de cada punto de la línea. La línea por nivelar debe ser estacada (medidas a) cada 20 m. El trabajo de campo de una nivelación de perfil es casi el mismo que el de una nivelación diferencial, en esta nivelación, además de los puntos de liga, se necesitan realizar las lecturas del estadal en todos los puntos del trazo establecido (PL S, CADS., BNs.), así como en los puntos donde haya quiebre de la línea del perfil del terreno, para obtener el perfil real del mismo.
Martín Zúñiga Gutierrez
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1.967 2.845
1.763
1.548
2.482
1.595
0.645 1.158
0.784
0.855
3.875 1.898 0.465
1.215 0.784
0.435 1.365
L A I C E P S E . D A C
0 0 0 + 0
0 2 0 + 0
0 4 0 + 0
0 6 0 + 0
0 8 0 + 0
0 0 1 + 0
0 2 1 + 0
5 5 4 . 1 3 1 + 0
0 4 1 + 0
0 6 1 + 0
0 8 1 + 0
CADENAMIENTOS
Para esta nivelación se necesitan bancos de nivel cada 500 m. (cuando menos) para tener un rápido y control de la misma, ya que generalmente la nivelación de perfil, tiene aplicación en los trabajos preliminares y definitivos de caminos, canales, líneas de trasmisión eléctricas, etc. El registro de la nivelación de PERFIL, se lleva a cabo tomando el siguiente formato: PROYECTO___________________________________ NIVELÓ_______________________________________ LUGAR_________________________________FECHA_________________INSTRUMENTO______________
EST.
+
-
L.I.
BN1(0+000) 2.845 1265.969 0+020
COTAS
1263.124 1.763 1264.206
0+040 1.967 1264.002 PL 1 0.645 1264.132 2.482 1263.487 0+060 1.158 1262.974 0+080 1.595 1262.537 PL 2 0.465 1262.699 1.898 1262.234 0+100 0.784 1261.915 0+120 1.215 1261.484 0+131.455 1.365 1261.334 0+140 0.435 1262.264 PL 3 3.875 1266.139 0.435 1262.264 0+160 1.548 1264.591 0+180 0.784 1265.355 PL 4 0.855 1265.284 SUMAS
7.830
5.670
NOTAS El BN1 coincide con el CAD 0+000 al inicio del trabajo, esto se consideró por única ocasión.
h=2.16 m.
1.4.4 CONSTRUCCIÓN DEL PERFIL. Teniendo ya las cotas de todos los puntos del terreno y sus distancias, se procede a dibujar el perfil de la línea de trazo. Martín Zúñiga Gutierrez
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En el perfil hay que representar dos clases de distancias: las horizontales , de punto a punto (CADENAMIENTOS); y las verticales contadas desde el plano de comparación a las cotas dadas. Las escalas para representar estas distancias deben ser diferentes. Debe ser mucho menor la horizontal que la vertical para apreciar mejor la diferencia de alturas entre los puntos del terreno. [Ej. Escala horizontal 1:1000; escala vertical 1:100]
S A T O C
C A D. S A T O C
4 2 1 . 3 6 2 1
6 0 2 . 4 6 2 1
2 0 0 . 4 6 2 1
4 7 9 . 2 6 2 1
7 3 5 . 2 6 2 1
5 1 9 . 1 6 2 1
4 8 4 . 1 6 2 1
4 3 3 . 1 6 2 1
4 6 2 . 2 6 2 1
1 9 5 . 4 6 2 1
5 5 3 . 5 6 2 1
. D A C
0 0 0 + 0
0 2 0 + 0
0 4 0 + 0
0 6 0 + 0
0 8 0 + 0
0 0 1 + 0
0 2 1 + 0
5 5 4 . 1 3 1 + 0
0 4 1 + 0
0 6 1 + 0
0 8 1 + 0
1.5 PRÁCTICAS
Martín Zúñiga Gutierrez
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SEGUNDA UNIDAD 2. PLANIMETRÍA Y ALTIMETRÍA SIMULTÁNEAS. Los planos topográficos no solo muestran los detalles naturales y artificiales del terreno (Planimetría) , también deben mostrar su relieve o configuración (Altimetría) y por ello constituyen un auxiliar necesario para el proyecto de las diferentes obras de la Ingeniería Civil, en las que se requiere tomar en consideración la forma del terreno.
2.1 CONFIGURACIÓN. La representación de un terreno tanto en un plano horizontal como en sus elevaciones o alturas, simultáneamente se logra mediante las CURVAS DE NIVEL. Estas se utilizan para mostrar en planta y elevación al mismo tiempo la forma o configuración del terreno.
2.1.1 CURVAS DE NIVEL. Una CURVA DE NIVEL es una línea imaginaria que conecta puntos de igual elevación, esta resulta de la intersección de un plano horizontal con la superficie terrestre. La distancia vertical que existe entre dos curvas de nivel contiguas se llama EQUIDISTANCIA vertical; y esta depende del objeto, escala del plano y del tipo de terreno representado.
CURVAS DE NIVEL (PLANTA)
102 103 101 100
102 101
99 98
100
Planos horizontales
99
y equidistantes
98
105 104 103 102 101 100 99 98 97
PERFIL
2.1.2 CARACTERISTICAS DE LAS CURVAS DE NIVEL. 1. 2. 3. 4.
Todos los puntos de una curva de nivel tienen la misma elevación, Las curvas de nivel no se pueden dividir o ramificar, Cada curva se cierra asi misma aunque sea más allá de los limites del plano, Las curvas se cruzan en dos puntos solamente cuando halla alguna caverna o una saliente a mayor altura, 5. La equidistancia vertical de las curvas es necesaria, 6. Curvas con separación igual indican una pendiente uniforme, Martín Zúñiga Gutierrez
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7. Pendientes planas se representan por líneas rectas y paralelas, 8. Curvas muy juntas indican fuertes pendientes, 9. Curvas muy separadas representan pendientes suaves, 10. Curvas que sobrepasan son cantiles o perfiles verticales, 11. Las curvas cruzan perpendicularmente a las vaguadas, 12. Las orillas del mar, lagos, embalses, lagunas, etc., son curvas de nivel y algunas veces sirven de puntos de referencia, 13. En los puertos o puntos más bajos entre dos elevaciones las vaguadas están en sentido contrario.
1 2 4
Curva maestra
5 1 2 6 1 2 7 1 2
1 2 8 1 2 8
7 1 2 6 2 1 5 1 2
4 1 2
2.2 MÉTODOS DE CONFIGURACIÓN. Para obtener la configuración de cierta porción de la superficie terrestre, existen métodos o procedimientos que van de acuerdo al tipo de trabajo topográfico a desarrollarse.
2.2.1 SECCIONES TRANSVERSALES. Las secciones transversales consisten en obtener el perfil de una línea perpendicular a un eje de trazo preliminar de un proyecto, con una determinada secuencia. Este tipo de secciones transversales se utilizan para levantar configuraciones en trazos de vías terrestres.
Polígono de apoyo Secciones transversales especiales PI1
2 0 0 m t s .
0 0 1 + 0 0 8 0 + 0 0 0 0 + 0 0 6 0 + 0 0 4 0 + 0 0 2 0 + 0 0 0 0 + 0
Secciones transversales
Martín Zúñiga Gutierrez
PI2
PLANTA
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Sección transversal
Perfil de la línea
Con el objeto de configurar cualquier trazo topográfico, es decir obtener las curvas de nivel de cierta porción de la superficie terrestre, este proceso se puede llevar a cabo de la siguiente manera: SECCIONES TRANSVERSALES CON NIVEL FIJO Este procedimiento se aplica principalmente en terrenos de mucha pendiente o muy accidentados, utilizando para ello líneas de poligonales apoyadas en la línea del trazo principal y tomando en cuenta las características del relieve del terreno; tales como: escurrimientos principales, parteaguas, etc.
SECCIONES TRANSVERSALES DE COTA REDONDA Este método se usa generalmente en terrenos de pocos accidentes topográficos. El equipo necesario para este levantamiento es un nivel de mano, un estadal y una c inta.
• TERRENO DESCENDENTE
El Ingeniero, se coloca con un nivel de mano en la estación cuya cota o elevación se conoce, previamente debe medir su altura de ojo sobre el suelo, a la que llamaremos “a”, calculará lo que debe de leer en el estadal, después; guiando al estadalero tomará la lectura correspondiente a la cota redonda buscada, midiendo la distancia horizontal que se alejó el estadal, se anota en el registro de campo y se traslada al lugar donde quedo el estadal, procede de manera semejante para determinar las siguientes cotas; siendo de aquí en adelante su lectura en el estadal constante. Estadal a = 1.62 m
Sección transversal
2.44 2.62
0 + 140
Perfil
1231.816
2.62 1231 2.62 1230 Distancia horizontal
1229 1229
Martín Zúñiga Gutierrez
13
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
1231.816 + 1.620 1233.436
1231.00 + 1.62 1232.62
- 1231.000 Cota a determinar L. estadal = 2.436 = 2.44
- 1230.00 Cota a determinar L. estadal = 2.62 Constante
• TERRENO ASCENDENTE
En este caso el Ingeniero que realiza el levantamiento va adelante definiendo las cotas redondas, es el que se mueve, pues debe colocarse en el punto desde el cual observe la lectura deseada; el estadalero se va colocando en las cotas previamente determinadas.
2.62
Estadal 2.62
1234
1.80
Distancia horizontal
1233 1232 0 + 140 1231.816
transversal
Perfil
1232.000 Cota a determinar
1233.00 Cota a determinar
+
1.620 1233.620 - 1231.816
L. estadal = 1.804 = 1.80
Sección
+
1.62 1234.62 - 1232.00
L. estadal = 2.62 Constante
2.2.2 REGISTRO DE CAMPO. Los valores y anotaciones que se tomen del trabajo de campo deben de realizarse con letra legible, mucho cuidado y limpieza, utilizando para ello la libreta de secciones transversales.
Martín Zúñiga Gutierrez
14
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
PROYECTO__________________________ SECCIONÓ_______________________________ TRAMO____________________LUGAR________________________FECHA_______________ +
• DIBUJO DE LAS CURVAS DE NIVEL Terminado los trabajos de campo y teniendo previamente los trazos de las secciones de la poligonal de terreno (dibujo en planta), marcamos sobre estas, las distancias y los puntos de cada una de las cotas redondas. Posteriormente, se unen con líneas continuas los puntos de igual cota, obteniendo así las curvas de nivel que definirán la configuración del terreno.
35
2 0 0 m t s .
0 0 1 + 0 0 8 0 + 0 0 0 0 + 0 0 6 0 + 0 0 4 0 + 0 0 2 34 0 + 0 0 33 0 0 + 0
32 31
2.3 PRÁCTICAS
Martín Zúñiga Gutierrez
15
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
TERCERA UNIDAD 3. TAQUIMETRÍA. 3.1 GENERALIDADES Y DEFINICIÓN. TAQUIMETRÍA, es el procedimiento con el que se determinan en forma indirecta las distancias horizontales y los desniveles , mediante la utilización de los intervalos subtendidos y de los ángulos medidos con un Tránsito o Teodolito en un estadal o regla graduada. Las distancias y elevaciones que se obtienen de esta manera son generalmente de un orden de precisión menor que el obtenido con la medición con cinta o en la nivelación diferencial. Sin embargo, sus resultados son adecuados para múltiples propósitos. La TAQUIMETRÍA se aplica en el trazo de poligonales y en la nivelación de levantamientos topográficos, en la localización de detalles para los mismos y en levantamientos topográficos de preliminares. El método taquimétrico más generalizado es el levantamiento con ESTADIA ; en el cual se emplea un TRÁNSITO y un ESTADAL.
3.2 ESTADIA. La ESTADIA es un telescopio que además de los hilos vertical y horizontal tiene dos hilos horizontales adicionales: uno arriba y otro abajo equidistantes del hilo horizontal; a estos se les llama HILOS ESTADIMÉTRICOS. La visual a través de los hilos estadimétricos y la parte interceptada del estadal forman un triángulo; el lado en el estadal es la base y el ángulo opuesto a esta base es el ángulo diastimométrico; la ESTADIA es la aplicación de la resolución de este triángulo.
Estadal Retícula
Telescopio
HV HS HM HI
: ángulo diastimométrico L: diferencia de lecturas de los hilos superior e interior en el estadal H.V: hilo vertical H.H: hilo horizontal H.S: hilo superior H.M: hilo medio H.I: hilo inferior
3.2.1 ESTADIA SIMPLE.
FÓRMULA ESTADIMÉTRICA EN TERRENO PLANO. Visuales con un ángulo vertical menor que ± 03°. Martín Zúñiga Gutierrez
16
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
Estadal
Retícula
Objetivo
Telescopio
HS
F
i
L HI
e
f
d
c
De la figura; e: distancia entre el centro del aparato y el objetivo. f: distancia focal del objetivo. d: distancia entre el foco de la lente objetivo y el punto visado. D’: distancia entre el objetivo y el estadal. D: distancia entre la estación y el punto visado i: separación de los hilos estadimétricos. F: foco principal de la lente objetivo o punto analítico. c: constante chica. DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA: Por semejanza de triángulos,
i
L
f
L i f = , d = L de la figura, d f i D = d + c; c=e+f f ⎞ D = ⎛ ⎜ ⎟L + e + f ⎝ i ⎠
d
Pero, f = C: constante y se llama coeficiente diastimométrico o constante de la multiplicación. i e + f = c: prácticamente constante, se llama constante aditiva estadimétrica, entonces: D = Cl + c
Martín Zúñiga Gutierrez
17
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
Como en la práctica no siempre se trabaja con aparatos nuevos, es indispensable determinar sus constantes antes de proceder a cualquier trabajo.
CONSTANTES DE ESTADIA
ÁNGULO DIASTIMOMÉTRICO. De la figura,
cot
L
sustituyendo α 2CL cot = = 2C 2 L cot 12 α = 2C
d
α d 2d . = = 2 L L 2 Pero, d = D-c = Cl;
CONSTANTE ADITIVA O CONSTANTE CHICA. Generalmente el valor de esta constante es determinado por el fabricante y se especifica en la caja del instrumento. Se sabe, c = e + f.
El valor de c, varía de acuerdo al tipo de telescopio usado, ya que se tiene: • TELESCOPIO DE ENFOQUE INTERNO. En este tipo de telescopio, por
construcción, el valor de c es cero, siendo esto una ventaja importante en los trabajos con estadia. • TELESCOPIO DE ENFOQUE EXTERNO. En este caso para obtener c se miden directamente en el instrumento los valores de (e) y (f), y se suman. En condiciones ordinarias el valor de c es de 30.5 cm. Actualmente este tipo de instrumento ya no son fabricados.
f
c = e + f e
CONSTANTE DE MULTIPLICACIÓN O CONSTANTE GRANDE. El valor nominal de C, es generalmente de 100. Y su determinación se realiza: • TELESCOPIO DE ENFOQUE EXTERNO. En terreno sensiblemente plano se alinean tramos de distancias con cinta de 15, 25, 40,..., 200 ó 300 m y se toman lecturas de estadal en cada una de ellas. Entre mas puntos se tengan, mayor precisión se tendrá en la obtención del valor de C. Martín Zúñiga Gutierrez
18
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
Estadal L1
L2
L3
L4
L5
Ln
D1 = CL1
c
D2 = CL2 D3 = CL3 D4 = CL4 D5 = CL5 Dn = CLn
Se tiene, D 1 = CL1 D 2 = CL2 D 3 = CL3 D 4 = CL4 D 5 = CL5 D 6 = CL6 D n = CLn
∑ D = C (∑ L ),
C =
∑ D ∑L
Donde, C: Constante grande. Σ D: Sumatoria de distancias medidas con cinta. Σ L: Sumatoria de lecturas respectivas.
CONSTANTE GRANDE INTERNO.
Y
CONSTANTE
CHICA EN
TELESCOPIO
DE ENFOQUE
En estos aparatos, la constante grande C, vale 100 y la chica c, vale cero, 0; determinan por tanteos de la forma:
y se
a) Se alinean y miden distancias de 20, 25, 35,..., 200 ó 300 mts., tomando las lecturas de estadal respectivas; en terreno plano. Partiendo de, D = Cl + c Despreciando la constante chica; D = Cl Despejando C, D C= l Aplicando en cada medida, C1 =
D 1 L1
;
C2 =
D 2 ; L2
C3 =
D 3 L3
;
Cn =
Martín Zúñiga Gutierrez
Dn Ln
19
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
De donde se tiene; C aprox. =
C 1 + C 2 + C 3 + ... + C n n
b) Sobre el mismo alineamiento, se miden distancias cortas de 2, 4, 6 y hasta 10 mts. tomando las lecturas de estadal respectivas. Despejando la constante chica c, y tomando el valor de C aprox., c = D – CL. Para cada caso, c1 = D1 – CL 1, c2 = D2 – CL 2, c3 = D3 – CL 3; De donde, c =
c 1 + c 1 + c 3 + ... + c n n
cn = Dn – CL n
DEFINITIVA
c) Tomando en cuenta el valor definitivo de la constante chica y aplicándolo en, C=
D − c , L
para cada caso [a)], C1=
D 1 − c ; L1
C2=
D 2 − c ; L2
C3 =
D 3 − c ; L3
Cn =
D n − c Ln
De donde, C =
C 1 + C 2 + C 3 + ...C 3 n
DEFINITIVA
3.2.2 ESTADIA COMPUESTA. FÓRMULA ESTADIMÉTRICA EN TERRENO INCLINADO En los levantamientos con estadia, la mayor parte de las visuales son inclinadas y, por lo tanto, generalmente se requiere encontrar tanto las distancias horizontales como las verticales del instrumento al estadal. El problema se reduce a la obtención de las proyecciones horizontal y vertical de una línea de visual inclinada.
Estadal perpendicular a la línea de colimación
D’
Estadal vertical S’
S L’
M I’ I
α
L HM = a
B H
α
a
α
A
C Martín Zúñiga Gutierrez
20
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
De la figura: A: estación (EST.) B: punto visado (P.V.) D: distancia horizontal H: desnivel D’: distancia inclinada α : ángulo vertical a : altura del aparato. L: intervalo de la estadia, estadal vertical. L´: lectura del estadal, estadal perpendicular a la visual . HM: hilo medio DEDUCCIÓN DE FÓRMULAS. DISTANCIA HORIZONTAL, D:
Si se pudiera tomar L´, se tendría; D´ = CL´ + c ahora, en el triángulo rectángulo ABC,
cosα =
D , D'
------------------- (1)
D = D' cosα
pero de (1),
D = (CL' + c) cosα ;
D = CL'cosα + c cosα
------------------- (2) menor que L, valor que se determina por la posición del
Como L´ es generalmente estadal , se tiene; S
S’
L'
L cos α = 2 = L L 2
α
M
L’
I
L
'
;
L' = L cos α
I’
sustituyendo el valor de L’ en (2),
D = C(L cos α)cos α + c cosα D = CL cos 2α + c cos α
, FÓRMULA GENERAL
en telescopio de enfoque interno, C = 100 y c = 0;
D = CL cos 2 α
FÓRMULA PRÁCTICA
DESNIVEL, H:
Del mismo triángulo,
sen α =
H D'
,
H = D' sen α
de (1),
H = (CL' + c) sen α
;
sustituyendo el valor de L´ en (3),
H = CL'sen α + c sen α
H = C(L cos α) sen α + c sen α
;
----------------- (3)
H = CL sen α cos α + c sen α
pero, de la identidad: sen α cos α = 12 sen 2α , que sustituyendo nos queda, Martín Zúñiga Gutierrez
21
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
H = 12 CL sen 2α + c sen α
FÓRMULA GENERAL
en telescopio de enfoque interno, C = 100 y c =0 ;
H = 12 CL sen 2α
FÓRMULA PRÁCTICA
Donde; : ángulo vertical y se denota (+) en visuales ascendentes y (-) en visuales descendentes.
α
Por otra parte, en taquimetría se supone que los hilos de estadia son paralelos y equidistantes al hilo medio, de tal manera que, se pueden presentar los siguientes casos: 1. No se puede observar el HILO INFERIOR;
HS
L L
HM
2
por equidistancia y paralelismo, L = HS - HI; en este caso, L = (HS-HM)2 se observan HS y HM; HI = HM-(HS-HM) = HM-HS+HM HI=2HM-HS
HI
2. No se puede observar el HILO SUPERIOR;
HS HM HI
L L
2
L = HS-HI en este caso,
L = (HM-HI)2
se observan HM y HI, HS = HM + (HM-HI) = HM+HM-HI HS = 2HM-HI
3.3 LEVANTAMIENTOS CON TRÁNSITO Y ESTADIA. En reconocimientos, levantamientos de predios rústicos y preliminares para vías de comunicación, localización de detalles para la construcción de planos a pequeña escala y trabajos de configuración, los levantamientos con TRÁNSITO Y ESTADIA son suficientemente precisos y considerablemente rápidos y económicos que los ejecutados con tránsitos y cinta. Cuando la precisión que se requiere no es grande, el control topográfico se puede establecer por medio de una poligonal con TRÁNSITO Y ESTADIA localizando los detalles al mismo tiempo. Si se requiere mayor precisión, solo los detalles se levantan con TRÁNSITO Y ESTADIA (configuración), estableciendo el control horizontal por otro procedimiento levantado con tránsito y cinta.
Martín Zúñiga Gutierrez
22
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
REGISTRO DE CAMPO. LEVANTAMIENTO______________________________ LEVANTÓ___________________________________ LUGAR________________________________FECHA___________________INSTRUMENTO_____________
EST. P.V.
HOR. θ
1.50
VERT
HILOS HS
HM
HI
L
AZIMUT CROQUIS Y NOTAS
A B
75°12´ +08°10´ 1.817 1.50 1.183 0.634
47°12´
C=100 c=0
PLANILLA DE CÁLCULO. Terminado el trabajo de campo los datos se ordenan tomando en cuenta el siguiente formato, de tal manera que los cálculos se realicen en forma clara, precisa y ordenada.
D´ = CL 63.40
cos2
½sen 2
D
h
0.979821 0.140613 62.12 +8.92
-HM -----
H
COTAS EST.
150.00 +8.92 158.92
A B
3.3.1 INSTRUCCIONES PARA USAR LA ESTADIA. En los levantamientos con tránsito y estadia, se recomienda: 1. Medir la altura de aparato. 2. Colocar el estadal siempre en forma vertical 3. Al leer en el estadal, se debe ver con el hilo medio la altura de aparato ; esto se hace siempre para medir el ángulo vertical. Para tomar la lectura no afecta una ligera variación en esto, y muchas veces por facilidad se mueve el anteojo con el tornillo tangencial para que uno de los hilos de estadia coincida con la lectura cerrada más próxima y entonces a partir de ahí se cuentan los decímetros enteros y al final se lee la fracción al llegar al otro hilo. 4. Tomar el intervalo de estadia y el ángulo vertical adelante y atrás de cada estación. Es muy común en levantamientos con tránsito y estadia, no poder observar el hilo medio igual a la altura del aparato, por lo que se pueden presentar los siguientes casos: 1. La lectura del hilo medio, es mayor que la altura de aparato y el ángulo vertical es ascendente;
Martín Zúñiga Gutierrez
23
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
HM a H
Hc
H a Hc = ½ CL sen 2 α + c sen H = Hc - (HM - a)
α
2. La lectura del hilo medio, es menor que la altura de aparato y el ángulo vertical es ascendente;
a
HM Hc
H
H a Hc = ½ CL sen 2 α + c sen H = Hc + (a - HM)
α
3. La lectura del hilo medio, es mayor que la altura de aparato; en ángulo vertical descendente;
a Hc
H a
H
HM
Hc = ½ CL sen 2 α+ c sen α H = Hc + (HM - a) Martín Zúñiga Gutierrez
24
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
4. La lectura del hilo medio, es menor que la altura descendente;
de aparatos; en ángulo vertical
a Hc
H
H HM
a
Hc = ½ CL sen 2 α + c sen α H = Hc – (a – HM)
3.3.2 ERRORES Y TOLERANCIAS EN LOS LEVANTAMIENTOS CON TRÁNSITO Y ESTADIA. ERRORES. Muchos de los errores que se cometen en levantamientos con tránsito y estadia, son comunes a todas las operaciones semejantes de medir ángulos horizontales y diferencias de nivel, en topografía. Las fuentes de error en las determinaciones de las distancias horizo ntales y desniveles calculadas con los intervalos de estadia son:
1. El factor de intervalo de estadia no es el supuesto. Esto produce un error sistemático en las distancias, siendo el error proporcional al que tenga el factor de intervalo de estadia, 2. El estadal no tiene la longitud correcta. En los trabajos de estadia de la precisión ordinaria, los errores de esta fuente no son de importancia, 3. Intervalo de estadia incorrecto . Se produce por falta de capacidad del operador para observar exactamente el intervalo de estadia. Este es el principal error que afecta la precisión de los valores calculados. Se reduce al mínimo, eliminando el paralaje, poniendo cuidado al hacer la observación, y haciendo la observación en tiempo favorable, 4. Falta de verticalidad en estadal. Esto produce un pequeño error en el ángulo vertical, en el intervalo de estadia y en las distancias calculadas. Puede eliminarse utilizando un nivel para estadal, 5. Refracción desigual. Para eliminar este error, se recomienda no tomar lecturas cercanas a la base del estadal, 6. Errores en los ángulos verticales. Son de poca importancia relativa en cuanto a su efecto en las distancias horizontales calculadas, pero producen un efecto grande en la precisión de las diferencias de elevación correspondiente. Para mantener una precisión determinada en los valores calculados de las diferencias de elevación, los intervalos de estadia deben observarse con mucho refinamiento cuando los ángulos verticales son grandes, que cuando son pequeños.
TOLERANCIAS.
Tolerancia angular;
T a = 2a n Donde; a: aproximación del aparato n: número de vértices. Martín Zúñiga Gutierrez
25
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
Tolerancias lineales y en nivelación;
Terreno plano. Ángulos verticales pequeños y visuales de 500 mts.; T L = 1.44
p
T n = ± 0.72 p Terreno quebrado. Ángulos verticales hasta de 15° y visuales de 500 mts., máximo; T L = 3.6 p T n = ± 0.24 p Donde; p: perímetro en Km. Terreno plano. Ángulos verticales pequeños y visuales larga; T L = 2.9
p
T n = ± 0.12 p Terreno quebrado. Visuales largas; T L = 5.0
p
T n = ±0.60
p
Precisión o error relativo
Visuales largas, cuidado ordinario; P=
1 500
Visuales cortas, mayor cuidado; P=
1 1000
Discrepancia entre medidas con cinta y estadia.
Experimentalmente la discrepancia varia entre, 0.03 y 0.04 DISCREPANCIA Media Mínima Máxima
D ;
D: distancia en metros DE 30 A 40 MTS. 0.17 m 0.13 m 0.20 m
DE 50 A 70 MTS. 0.24 m 0.19 m 0.39 m
DE 80 A 100 MTS. 0.31 m 0.22 m 0.41 m
3.3.3 CÁLCULO DE POLIGONALES CON ESTADIA. Las distancias horizontales y los desniveles se calculan resolviendo las fórmulas de estadia, resultando esto en ciertos casos muy tardado y tedioso. Generalmente en la práctica, el cálculo de estos valores se obtienen usando una tabla o diagrama, regla de cálculo de estadia, o un arco para estadia en el círculo vertical del tránsito; todos estos artificios se basan en las fórmulas. TABLAS PARA COEFICIENTES ESTADIMÉTRICOS. Estas están calculadas por los cos2 y de ½ sen α de las fórmulas estadimétricas. Para cualquier valor las cantidades tabuladas se multiplican por el valor del intervalo de estadia L y en otros casos por el valor CL . Ejemplos: α= 15° 20’ l = 0.88 C = 100 c=0
Martín Zúñiga Gutierrez
26
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
De las tablas, para α = 15°20’,
DH = 93.01 DV = 25.50 D =93.01 x 0.88, D = 81.85 m. H = 25.50 x 0.88, H = 22.44 m.
DIAGRAMAS O MONOGRAMAS DE ESTADIA. Se publican en varias formas y dan gráficamente los valores de D y H con el antecedente del intervalo de estadia L y el ángulo vertical α . REGLA DEL CÁLCULO DE ESTADIA. Esta construida con los valores de cos 2 α y ½ sen 2 α, graduados en forma logarítmica. Se maneja que la regla de cálculo común. ARCO DE ESTADIA DE BEAMAN. Es un arco especialmente graduado en el círculo vertical del tránsito o de la alidada de la plancheta. Se utiliza para determinar distancias y desniveles con estadia, sin leer los ángulos verticales. El arco de estadia no tiene vernier, pero las lecturas se hacen con un índice.
3.3.4 CONFIGURACIÓN CON TRÁNSITO Y ESTADIA. PUNTOS AISLADOS. En estos trabajos los puntos del terreno se fijan por radiaciones desde los vértices del polígono de base, obteniendo su distancia y desnivel, que permiten situarlos con un ángulo, una distancia y una elevación.
3
θ
1
2
Se toman puntos aislados del terreno, como los que corresponden a cambios de pendientes o cambios de dirección de los accidentes topográficos. El procedimiento de localización de los detalles topográficos por radiaciones es rápido y lo suficientemente preciso para trabajos de configuración.
Estadal
Martín Zúñiga Gutierrez
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Apuntes de Topografía II (Altimetría)
Las curvas de nivel se determinan en gabinete. Al procedimiento para obtener las curvas de nivel se le llama INTERPOLACIÓN; que consiste en distribuir la separación de las líneas de nivel entre los puntos dibujados. La INTERPOLACIÓN se puede hacer por: 1. ESTIMACIÓN. Se emplea cuando, además de no requerirse mayor precisión y teniendo conocimiento del terreno y criterio suficiente para que, mediante aproximados cálculos mentales, se puede efectuar la interpolación. 2. CÁLCULOS. Cuando se desea obtener una precisión considerable en el plano, pueden hacerse los cálculos para la interpolación valiéndose de la regla de cálculo. Se interpola en forma lineal.
∇ 98.89
H = 3.17
∇ 96 ∇ 95.72
d
O.28
D = 99.85
Si, Si 99.85 ________ d ____________ 99.85 ________ d ____________
3.17 0.28 (cota 96) d = 8.82 m. 3.17 1.00 (cota 97,98) d = 31.50 m.
3. PROCEDIMIENTOS GRÁFICOS. Utilizando una tira de liga graduada a intervalos iguales, formando una escala. Se estira la liga entre los dos puntos dibujados, de manera que queden en las divisiones de la escala correspondiente el desnivel. Luego se marcan los puntos que definen las líneas de nivel en el plano.
3.4 PRÁCTICAS
Martín Zúñiga Gutierrez
28
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
CUARTA UNIDAD 4. CURVAS HORIZONTALES. 4.1 GENERALIDADES. Las curvas HORIZONTALES son arcos de círculos que sirven para unir dos tangentes consecutivas en vías de comunicación y pueden ser; 1. Simples. 2. Compuestas. 3. De transición o de espiral CURVA HORIZONTAL SIMPLE. La curva simple es un arco de círculo. El radio del círculo determina lo cerrado o abierto de la c urva. Tipo de curva más utilizado.
T2 T1
R
R
O CURVA HORIZONTAL COMPUESTA. Consiste en dos curvas simples unidas, del mismo o diferente sentido.
T2
O
T2 R
O
T1 R’
T3 R
O T1
R’
T3
O
CURVA DE TRANSICIÓN O DE ESPIRAL. Es una curva cuyo radio varía en forma continua. Su propósito es proporcionar una transición de la tangente a una curva simple o entre las curvas simples que forman una curva compuesta. Martín Zúñiga Gutierrez
29
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
Espiral
Espiral Curva horizontal simple
R T1
T2
R
R1
R1
0
4.2 GEOMETRÍA DE UNA CURVA HORIZONTAL SIMPLE. En el sentido del cadenamiento o kilometraje, las curvas simples pueden ser hacia la derecha o hacia la izquierda; siendo los elementos iniciales:
TANGENTE. Es la proyección sobre un plano horizontal, de las rectas que unen la curva y se definen por T 1, tangente de atrás o de entrada y T 2, tangente de adelante o de salida.
PUNTO DE INTERSECCIÓN (PI). Es el punto donde se intersectan la tangente de entrada y la tangente de salida. Es una de las estaciones correspondientes a la poligonal preliminar.
ÁNGULO DE DEFLEXIÓN (Δ). Es el ángulo de intersección, dado por la prolongación de una tangente y la siguiente. Su valor se calcula a partir de los ángulos de estación de la poligonal preliminar, o bien, se mide en el campo.
PI
T2 T1 R
R O
Siendo los elementos geométricos complementarios de una curva simple: Martín Zúñiga Gutierrez
30
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
PI
PI Δ
Ext. PC ST
LC
M
C
2
PT
ST
f
PC sc
CL
90°
PT N
G g’
Δ
90°
2
R
R
O De la figura; PI: PC: PT: Δ: ST: LC: CL: G: R:
Punto de Inflexión Principio de Curva Principio de Tangente Deflexión Subtangente Longitud de la Curva Cuerda larga Grado de la curva. Radio de la curva
C: Ext.: f: g’: M: N: O: sc:
Cuerda de la curva Externa Flecha u ordenada media subgrado Punto Medio de la curva Punto medio de la cuerda larga Centro de la curva subcuerda
4.3 DEFINICIÓN Y DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE CURVAS CIRCULARES. GRADO DE LA CURVA (G). Es el ángulo, el cual se observa desde el centro de la curva, una cuerda de 20 m.
c = 20 m
c G R
2
c G sen 2 = 2 R c sen G 2 = 2R
2 R para c = 20m
sen G 2 =
20 10 = 2R R
0 Martín Zúñiga Gutierrez
31
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
RADIO DE LA CURVA (R). Es el radio del círculo del cual la curva es un arco.
c = 20 m
por trigonometría, 2π R 20 = 360° G 20(360°) R = 2π G 1145.92 R= G
G 0
SUBTANGENTE (ST). Es la distancia, medida sobre las tangentes, del PI al PC o al PT. Estas distancias son iguales en una curva simple.
PI
tan Δ 2 =
PC 90°
Δ R
ST R ST = Rtan Δ 2
2
O CADENAMIENTO DEL PC. (CAD. PC). Es el punto donde comienza la curva y uno de los puntos de tangencia a la misma. CAD. PC. = CAD. PI - ST
LONGITUD DE LA CURVA (LC). Es la distancia entre el PC y el PT, medida sobre la curva.
c
PC
PT
G R
LC c = , Δ G para c = 20 m LC =
R
Δ 20 G
0
Martín Zúñiga Gutierrez
32
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
CADENAMIENTO DEL PT. (CAD. PT). Marca el final de la curva y es el otro punto de tangencia a la misma. CAD. PT. = CAD. PC. + LC
ÁNGULOS DE DEFLEXIÓN (d´m). Son los ángulos que se forman entre la tangente y los extremos de las cuerdas, con el PC como vértice. Se usan para determinar la dirección en la que se trazaran las cuerdas. La suma de los ángulos de deflexión es igual a la mitad del ángulo de intersección de las tangentes ( Δ 2 ). Esta suma sirve de comprobación de los ángulos de deflexión calculados.
para c = 20 m G 2 = d ; dm = G 20 1m 40 para G = 01° = 60', 60 d' m = G; d' m = 1.5G 40
PI
Δ
d 2
2
G G
2 2 G
2
G G
PC
d
ó,
2
2
d' m =
PT
2
Δ
2 LC
d
d R
G
G
G
G
G
R
O EXTERNA (Ext.). Es la distancia que hay del PI al punto central de la curva. Bisecta el ángulo interior del PI.
PI Δ R = 2 R + Ext. R R + Ext. = Δ cos 2 Δ Ext. = Rsec − R 2 cos
Ext. PC 90° Δ R
R 2
⎛ ⎝
Ext . = R ⎜ sec
Δ
⎞ − 1⎟ 2 ⎠
O
Martín Zúñiga Gutierrez
33
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
FLECHA (f) U ORDENADA MEDIA (M). Es la distancia del punto central de la curva al punto localizado a la mitad de la cuerda larga.
PI
CL
PC
2
M
f = MO − NO,
f
Δ NO , NO = R cos , 2 R 2 sustituyen do ,
cos
N
90°
Δ
MO = R;
=
f = R − R cos
Δ
R
Δ
2
Δ ⎞ f = R⎛ ⎜1 - cos ⎟ 2 ⎠ ⎝
;
R 2
O CUERDA LARGA (CL). Es la cuerda que une el PC con el PT. PC
CL CL R
CL
2
Δ
PT 2
sen R
2
Δ CL 2 CL , = = 2 R 2R CL = 2Rsen Δ 2
O
4.4 CÁLCULO DE UNA CURVA HORIZONTAL SIMPLE. Para resolver una curva simple deben conocerse, el punto de intersección PI, el ángulo de deflexión Δ y el grado de curvatura G o en su defecto el radio de la misma R. Estos últimos, son datos de las especificaciones del proyecto, o bien, se calculan a partir de algunos de los elementos que hayan sido limitados por el terreno. Cuando el grado de la curva es de poco valor, el radio obviamente es grande y las cuerdas de 20 m; su diferencia con el arco es insignificante, pero curvas de mayor grado necesitan cuerdas menores. Para determinar las cuerdas que deberán emplearse se tomará en cuenta lo siguiente:
G
CUERDA, C.
GRADO DE CURVATURA, G.
20 m 10 m 5m
Menores de 10 10° ≤ g ≤ 20° 20° ≤ g ≤ 40° o más.
PC
2
c = 20 m. R R
G
O Martín Zúñiga Gutierrez
34
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
EJEMPLO. Resolver la siguiente curva horizontal; CAD. PI = 18 + 192.25 Δ = 75° D G = 15°
PI
Solución: 1. Cálculo de R, R =
1145.92
1145.92 = ; 15
G
5 2 . 2 9 1 + 8 1
R = 76.39 mts.
2. Cálculo de ST, ST = R Tan Δ = 76.39 Tan
2
75° ; 2
Δ = 75°
ST =
58.62 mts.
3. Cadenamiento del PC, CAD. PC = CAD PI – ST = 18 + 192.25 – 58.62;
CAD. PC = 18 + 133.63
4. Cálculo de LC, LC =
75° 20; 15°
Δ 20 = G
LC =
100.00 mts.
5. Cadenamiento del PT, CAD. PT = CAD PC + LC = 18 + 133.63 + 100.00;
CAD. PT = 233.63 mts.
6. Cálculo de d´m, d´m = 1.5 g = 1.5 (15), d´m = 22´.5
7. Cálculo de Ext., ⎛ ⎝
Ext. = R ⎜ sec
75° ⎞ ⎞ ⎛ − 1⎟ = 76.39⎜ sec − 1⎟; 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝
Δ
Ext. = 19.90 mts.
8. Cálculo de CL, CL = 2Rsen
Δ
2
= 2(76.39 )sen
75° ; 2
CL =
93.01 mts.
9. Cálculo de f , ⎛ ⎝
f = R ⎜1 − cos
Δ ⎞ 75° ⎞ ⎛ ⎟ = 76.39⎜1 − cos ⎟; 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝
f = 15.79 mts.
Cálculo de deflexiones parciales; CAD. PC = 18+133.63 18+140.00------1a EST. / CURVA. 6.37-------dif. Tenemos; 1m--------22´.5 6.37 m-------d´m = 14´.325 = 2° 23´ para c = 10 m; 1 m -------22´.5 10 m -------d´m = 225´= 3° 45´ CAD. PT = 18 + 233.63 18+ 230.00 --------ÚLTIMA EST./ CURVA 3.63-------dif. d´m = 81’.675 = 1° 21´
Martín Zúñiga Gutierrez
35
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
REGISTRO DEL TRAZO DE UNA CURVA HORIZONTAL Los datos del cálculo de una curva horizontal, se anotan en forma ordenada llevando el siguiente registro para su trazo en campo:
EST.
DATOS DE LA CURVA
P. V. CUERDA DEFLEXIÓN
PT = 18+233.63 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 PC = 18+133.63 PI = 18+192.25
3.63 10 10 10 10 10 10 10 10 10 6.37
37° 29´ 36° 08´ 32° 23´ 28° 38´ 24° 53´ 21° 08´ 17° 23´ 13°38´ 9° 53´ 6° 08´ 2° 23´ 0° 00´
R = 76.39 mts. Δ = 75° D ST= 58.62 mts. LC = 100.00 mts. E = 19.90 mts. f = 15.79 mts. CL = 93.01mts.
COMPROBACIÓN DEL CÁLCULO. Al calcular la deflexión para el trazo de la última cuerda, o más bien, subcuerda, dicho valor deberá ser igual a la mitad del ángulo de deflexión de la curva, es decir,
Δ 2
. La diferencia
que pueda existir se llama cierre de la curva en ángulo y la tolerancia estará en función de la aproximación angular con que se trabaje.
PI
Δ
x m
PC R
n
PT R
Se nota : x + Δ = 180° x + 2m = 180° igualando : x + Δ = x + 2m; Δ = 2m; m =
Δ
2
4.4.1 TRAZO DE UNA CURVA HORIZONTAL SIMPLE. Las curvas se trazan generalmente utilizando los ángulos de deflexión medidos desde la tangente de entrada (PC) o salida (PT) a las estaciones que quedan a lo largo de la curva. En el campo se fija primero el PI (18+192.25) y se mide la subtangente (58.62m) para ubicar el PC (18+133.63) se cambia el instrumento y se estaciona ahora en el PC con ceros en Martín Zúñiga Gutierrez
36
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
limbo visando el PI. Se fija el movimiento general y se establece la primera deflexión (2°23´), se mide la subcuerda correspondiente (6.37m) definiendo la primera estación cerrada (18+140).
' 8 ° 0 6
' 2 3 2 °
10.00 m
m 7 3 6.
3 6 . 3 3 1 + 8 1 = C P
0 5 1 + 8 1
0 4 1 + 8 1
Para fijar la siguiente estación (18+150) , estacionado en el PC y partiendo del PI se mide la deflexión correspondiente a ésta (6°08´), sin embargo, ahora la distancia se mide definiendo la cuerda, partiendo de la estación previamente trazada (18+140) hasta la estación que en ese momento se este determinado (18+150). El trazo se continua de una manera semejante hasta encontrar el PT, normalmente, con esta manera de trazar la curva hay cierta acumulación de errores, debido a la forma de determinar las intersecciones y, así, el PT viene a quedar en un sitio diferente del que en realidad le corresponde. Se recomienda localizar el PT a partir del PI, en dirección de la tangente de salida midiendo la ST y fijando el PT antes de iniciar el trazo de la curva. Como comprobación en el trazo de la curva, la última deflexión, estación PT (18+233.63), deberá ser igual a la mitad del ángulo de deflexión Δ (37°30´). TRAZO DESDE EL PC Y PT. (POR MITADES) La mejor manera de trazar las curvas es haciendo por mitades, a partir del PC y PT, para encontrarse en la mitad de la misma, de esta forma no se acumula el error natural que se presenta en el trazo de la curva cuando se realiza desde el PC. P I
1 8 + 1 3 0
. S T m = 5 2 . 6 8 . 8 ' 62 5 3 ' 8 5 0 = ' 6 9 ° 8 ° ° T 2 m 3 5 S ° . 2 ' 2 ' 5 ° 0 7 2 P 1 ' ° 2 1 1 S 8 8 1 1 8
1 + 8 1 + 5 P 1 0 C 4 0 = 1 8 + 1 3 3 . 6 3
+ 1 6 0
C
+ 2 1 0
8 + 2 2 0
1 P 8 + T 2 = 3 1 0 8
2 + 3 3 . 6 3
0 2 4 + 8 1
En este caso, las deflexiones que se van a utilizar desde el PT, se calculan como si se Martín Zúñiga Gutierrez
37
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
fueran a usar desde el PC. REGISTRO DEL TRAZO DE UNA CURVA HORIZONTAL SIMPLE.
EST.
P.V.
CUERDAS DEFLEXIÓN DATOS DE LA CURVA
PC = 18+133.63 PI =18+192.25
PT =18+233.63
140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 PI =18+192.25
0°00´ 2°23´ 6°08´ 9°53´ 13°38´ 17°23´ 20°07´ 16°22´ 12°37´ 8°52´ 5°07´ 1°22´
6.37 10 10 10 10 10 10 10 10 10 3.63
R = 76.39 mts. Δ = 75° D ST= 58.62 mts. LC = 100.00 mts. E = 19.90 mts. f = 15.79 mts. CL = 93.01mts.
COMPROBACIÓN DEL CÁLCULO. 17°23´+20°07´=
Δ 2
37°30´=
Δ 2
Puede suceder también, que no toda la curva sea visible desde el PC o PT y necesite cambiarse el instrumento a una estación o punto sobre la curva, para de ahí continuar con el trazo. TOLERANCIAS DE TRAZO. En el trazo de una curva horizontal simple, se admite una tolerancia angular no mayor de ± 01' ó en su defecto, dicha tolerancia estará en función de la aproximación del instrumento con que se realice el trazo; linealmente se aceptará una tolerancia de ± 10cm ; esto, cuando el trazo se realice totalmente desde el PC. I P l a
' 8 0 ' ° 3 6 2 ° 2 3 ' ° 5 9 D I R
1 8
1 + 8 1 + 5 P 1 0 C 4 = 0 1 8 + 1 3 3 . 6 3
1 8 + 1 6 0
' ° 5 3 9 I N V ° 3 8 ' 1 3
1 8 + 1 7 0
4.5 PRÁCTICAS Martín Zúñiga Gutierrez
38
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
QUINTA UNIDAD 5. CURVAS VERTICALES. 5.1 GENERALIDADES. Una CURVA VERTICAL representa un cambio de pendiente. La unión de las líneas rectas que representan en el perfil las pendientes, se hace mediante arcos de parábola.
Curvas Verticales
Perfil
5.2 GEOMETRÍA DE UNA CURVA VERTICAL. Las líneas rectas que representan en el perfil las pendientes, se denominan TANGENTES VERTICALES, y se conocen como tangente de entrada o de atrás y tangente de salida o adelante , respectivamente. El punto de intersección de las tangentes se denomina PUNTO DE INTERSECCIÓN VERTICAL (PIV). La tangente de atrás entra al PIV y la tangente de adelante sale del PIV. EL PRINCIPIO DE LA CURVA VERTICAL se denomina PCV. El punto final, o sea, el punto donde termina la curva se denomina PUNTO DE TANGENTE VERTICAL, PTV.
TV1
PCV
a b’
-P%
LCV
e
TV2
f
a’
PTV
+P%
b
PIV
d e’ f’
p De la figura; TV1:: TV2:
Tangente vertical de entrada Tangente vertical de salida Martín Zúñiga Gutierrez
39
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
-P%: +P%: PIV: PCV: PTV: LCV: d:
Pendiente de la tangente de entrada Pendiente de la tangente de salida Punto de Intersección Vertical Principio de la Curva Vertical Principio de Tangente Vertical Longitud de la Curva Vertical Ordenada del PTV. (distancia vertical del PTV a la tangente de entrada) Punto de intersección de la tangente de entrada a la vertical que pasa por el PTV. Puntos sobre la tangente de entrada Puntos sobre la curva.
p:
a´,b´...,e´,f´,: a, b ...e, f,: aa’, bb´, ...ee´, ff´, Ordenadas de los puntos a, b, , ...e, f, de la curva vertical.
Atendiendo a la ubicación del PIV, se pueden presentar los siguientes tipos de curvas verticales: CURVAS VERTICALES EN COLUMPIO. EL PIV se encuentra por debajo de la curva.
+ P2 %
- P1 % - P1 %
+ P2 %
PIV
PIV
- P2 %
PIV
+ P1 %
CURVAS VERTICALES EN CIMA. EL PIV se encuentra por arriba de la curva.
- P1 % PIV + P1 %
- P2 %
PIV
+ P1 %
+ P2 %
PIV
- P2 %
5.3 TEORÍA DE UNA CURVA VERTICAL. El cálculo de una curva vertical, se efectúa partiendo de las tres principales propiedades de la parábola: 1. La línea que une el punto medio C de una cuerda AB de una parábola con el punto D; correspondiente a la intersección de las tangentes a la parábola en los extremos de la cuerda, es bisecada por la parábola misma. Así; Martín Zúñiga Gutierrez
40
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
DE = EC D E A
B C
+ P1 %
Donde;
- P2 %
A → PCV B → PTV D → PIV
COTA C =
cota A + cota B 2
COTA E =
cota C + cota D 2
E: punto medio de la curva. 2. Las distancias que hay entre la tangente y la parábola son proporcionales a los cuadrados de las distancias que las separan del punto de tangencia.
D PARÁBOLA
d A
2
(2 3 ) d ( 13 )2 d
+ P1 %
0
1
E
2 1
B - P2 %
3 4
4 9
TANGENTE
16
PARÁBOLA 3. El régimen de cambio de curvatura de una parábola varía en forma directamente proporcional a la distancia.
r =
P2 − P1 L
L: número de estaciones.
Martín Zúñiga Gutierrez
41
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
Esta propiedad tiene su aplicación en la determinación del punto más alto y más bajo de la curva;
P1 + r(n' ) = 0% ,
n' =
P1 , r
n' : número de estación en la que P1 = 0%.
5.4 CÁLCULO DE CURVAS VERTICALES. Las curvas verticales son parábolas que se calculan con la fórmula;
Y = KX 2 Donde; Y: ordenada o distancia vertical K: constante X: número de estación Para el cálculo práctico de la curva, y con objeto de que todas las (X) y (Y) resulten del mismo signo en todos los puntos de la curva, conviene tomar como ejes: EJE X: tangente a la curva en el PCV. EJE Y: vertical en el punto de tangencia. Y X
PIV
Y=d Y4
Y1
PCV
1
α
4
(0,0)
PTV
X1 X4
L
L
2
2
Ahora bien, para cada caso la inclinación del eje OX sería diferente, por tanto, es mejor tomar las proyecciones horizontales de las (X). (X1,...., X 4 ó Xa, Xb...., X e, Xf ,). Así se trabaja con distancias horizontales a partir del PCV y las (Y) siguen siendo verticales. Para fijar estos puntos, se calcula primero K, sustituyendo en la ecuación, las coordenadas conocidas; PCV (0, 0) PTV (L, d) Martín Zúñiga Gutierrez
42
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
De la fórmula, 2
Y = KX , K =
Y X2
Tomando el PTV (L, d);
K = d
L2
Por lo tanto:
Y = ⎛ ⎜ d 2 ⎞⎟ X 2 ⎝ L ⎠
ECUACIÓN DE LA CURVA.
Aplicando para cualquier otro punto, por ejemplo el (2),
Y2 = ⎛ ⎜ d 2 ⎞⎟ X 22 ⎝ L ⎠ Ecuación que se deduce de la propiedad número dos de la parábola, d se obtiene conociendo L y las pendientes, K se determina por la variación de pendiente permisible por tramo de 20m, o en su defecto;
K=
P2 − P1 10 L
L = P1 − P2 ; diferencia algebraica Donde; P1: pendiente de entrada. P2: pendiente de salida L: número de estaciones cerradas (par). Si al efectuar el cálculo de cualquier curva vertical las (Y) corresponden a una curva vertical en cima, se restan; y se suman, si la curva ve rtical es en columpio. EJEMPLO:
P
Resolver la siguiente curva vertical. CAD. PIV = 11+100 ELEV. PIV = 1224.172 m. P1= + 4.8%. P2= - 2.7%.
PIV
P1= + 4.8% SOLUCIÓN:
PCV
d
PTV
P2= - 2.7%
a) Longitud de la curva vertical, L = P1-P2 = 4.8 - (-2.7) = 7.5 número teórico de estaciones. Por lo tanto; número ajustado de estaciones L=8 LCV = 8 x 20=160; LCV = 160 m Martín Zúñiga Gutierrez
43
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
b) Cadenamiento del PCV y del PTV, CAD. PIV = 11+100 -
1 2
(LCV) =
80
CAD. PCV = 11+020 + LCV =
160
CAD. PTV = 11+180 c) Elevación del PCV, PTV y P, ELEV. PIV = 1224.172 -
1 2
(LCV)P1 =
3.840
ELEV. PCV = 1220.332 ELEV. PIV = 1224.172 -
1 2
(LCV)P2 =
2.160
ELEV. PTV = 1222.012 ELEV. PIV = 1224.172 +
1 2
(LCV)P1 =
3.840
ELEV. P = 1228.012 d) Constante K,
K=
ELEV. P − ELEV. PTV 1228.012 − 1222.012 6 = = , K = 0.09375 2 2 64 8 L
K=
P2 − P1 − 2.7 − (4.8) − 7.5. = = , K = −0.09375 10(8) 80 10L
Ó,
Por lo tanto;
Y = -0.09375 X2; el signo (-) nos indica que es una curva en cima. e) Desnivel por estación, P1 = + 4.8%; 4.8 _______100 h EST. _____ 20 h EST. =
20 100
.4.8 =
4.8 5
= +0.96 m
REGISTRO DE CÁLCULO DE UNA CURVA VERTICAL. En este se anotan todos los elementos que permiten el trazo de la curva vertical en campo.
Martín Zúñiga Gutierrez
44
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
EST.
ELEV.TAN X X2
11+000 PCV = 11+020 1220.332 040 21.292 060 22.252 080 23.212 PIV = 11+100 24.172 120 25.132 140 26.092 160 27.052 PTV = 11+180 1228.012(P) 200
0 1 2 3 4 5 6 7 8
K
0 -0.094 ˜ 1 4 ˜ 9 ˜ ˜ 16 25 ˜ ˜ 36 ˜ 49 64 ˜
Y = KX2 ELEV./CURVA 0 -0.094 -0.375 -0.844 -1.500 -2.344 -3.375 -4.594 -6.000
1220.332 1221.198 1221.877 1222.368 1222.672 1222.788 1222.717 1222.458 1222.012
COMPROBACIÓN DEL CÁLCULO. Al calcular la última elevación sobre la curva, debe ser igual a la calculada para el PTV. 5.4.1 TRAZO DE UNA CURVA VERTICAL. Para el trazo de una curva vertical se deben de tomar en cuenta la diferencia de elevaciones entre la línea de proyecto o tangente vertical (rasante) que define la curva y el perfil natural del terreno, indicando después los cortes o terraplenes en los cadenamientos respectivos.
PIV
Tangente vertical
PCV
CURVA VERTICAL
Perfil del terreno natural
PTV
Cadenamientos
Para el ejemplo;
Martín Zúñiga Gutierrez
45
Apuntes de Topografía II (Altimetría)
1228.012
C O T A S
1227.052 1226.092 1225.132
PIV
3.375
1224.172
4.594
6.000
2.344 1223.212
RASANTE
1.500 O.844
1222.252
PTV
0.375
1222.012
PERFIL NATURAL
1221.292
PCV
0.094
1220.332
0 2 0 + 1 1
0 4 0 + 1 1
0 6 0 + 1 1
0 8 0 + 1 1
0 0 1 + 1 1
0 2 1 + 1 1
0 4 1 + 1 1
0 6 1 + 1 1
0 8 1 + 1 1
CAD.
5.5 PRÁCTICAS
Martín Zúñiga Gutierrez
46