Thermodynamique. Chapitre 3 : Premier principe.
Exercice 1 : Compression monotherme d’un gaz parfait.
De l'air, à la température T 0, assimilé assimilé à un gaz parfait parfait diatomiqu diatomique, e, est contenu dans un cylindre, aux parois diathermanes, fermé par un piston également diathermane, de section S et de masse M 0. L'ensemble est placé dans l'air à la pression P 0. À l'équilibre, le piston se trouve à la distance h1 du fond du récipient. récipient. L’air du cylindre subit une transformation monotherme car il n’échange de la chaleur qu’avec l’atmosphère extérieure dont la température T 0 est supposée constante. P0 = 10 5 Pa ; g = 10 m .s -2 ; S = 0,1 m 2 ; M = M0 = 100 kg ; h1 = 1 m ; T0 = 300 K. On pose sur le piston une masse M0. Le piston descend brutalement, oscille, et du fait de phénomènes dissipatifs finit par s'immobiliser à une distance h2, du fond du récipient..
Donn ées :
1-
- Déterminer l’état final (P2, T2, h2 ) ) de l’air enfermé dans le récipient. - Calculer le travail W échangé entre l’air contenu dans le cylindre et le milieu extérieur. 2- Repartant de l’état initial, on pose successivement sur le piston des masses m (m<< M 0 ) ) en attendant à chaque fois que la température de l’air intérieur se stabilise (à la valeur T 0 ) ) et que le piston s’immobilise ; on répète l’opération jusqu’à ce que la charge totale soit égale à M0. - Déterminer l’état final (P’ 2, T’2, h’ )2 ) de l’air enfermé dans le récipient. - Calculer le travail W’ échangé entre l’air contenu dans le cylindre et le milieu extérieur. Exercice Exerc ice 2 : Compressi Compre ssion on adiabati adiab atique que d’un gaz parfait. parfa it.
De l'air, à la température T1, assimilé à un gaz parfait, est contenu dans un cylindre, aux parois adiabatiques, fermé par un piston également adiabatique, de section S et de masse M. L'ensemble est placé dans l'air à la pression P 0. À l'équilibre, le piston se trouve à la distance h 1 du fond du récipient. P = 105 Pa ; g = 10 m .s -2 ; S = 0,1 m 2 ; M = M0 = 100 kg ; h1 = 1 m ; T 0 = 300 K ; γ
Donn ées : 0
1-
=
c Pm cVm
1,4 .
=
On pose sur le piston une masse M0. Le piston descend brutalement, oscille, et du fait de phénomènes dissipatifs finit par s'immobiliser à une distance h2, du fond du récipient. - Déterminer l’état final (P2, T2, h2 ) ) de l’air enfermé dans le récipient. - Calculer le travail W échangé entre l’air contenu dans le cylindre et le milieu extérieur.
2-
Repartant de l’état initial, on pose successivement sur le piston des masses m (m<< M 0 ) ) en attendant à chaque fois que le piston s’immobilise avant de poser la masse suivante ; on répète l’opération jusqu’à ce que la charge totale soit égale à M 0. - Déterminer l’état final (P’ 2, T’2, h’ )2 ) de l’air enfermé dans le récipient. - Calculer le travail W’ échangé entre l’air contenu dans le cylindre et le milieu extérieur.
Exercice 3 : Apport de chaleur par une résistance électrique é lectrique .
Un cylindre fermé, horizontal est séparé en deux compartiments A et B de même volume V 0 par un piston pouvant coulisser librement sans frottement. A et B contiennent chacun une mole de gaz parfait à la pression P 0 et à la température T0. Donn ées :
P0 = 105 Pa ; h1 = 1 m ; T0 = 300 K ; T 1 = 500 K ; pour le gaz parfait, le coefficient γ
=
c Pm cVm
=
1,4
Le piston, la surface latérale et la base S A du cylindre sont adiabatiques ; la surface de base S B est athermane. Le compartiment A est porté, très lentement, à la température T 1, à l’aide d’une résistance chauffante ; le compartiment B reste à la température T 0 par contact thermique avec un thermostat à la température T 0. 1- Exprimer les volumes V A, V B et la pression finale P f en fonction de T0,T1 et V 0, à l’équilibre thermodynamique. Lycée Camille Pissarro
- Page 1 -
Année 2007 – 2008
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2- Quelle Quelle est est la variati variation on d’én d’énerg ergie ie inter interne ne du du gaz du comp compart artime iment nt A, A, du gaz du compartiment B ? 3-
Quelle est la variation d’énergie interne du système [ A + B ] (on exclut la résistance et le piston de ce système) ?
456-
Quelle est la nature de la transformation subie par le gaz du compartiment B ? Quel est le travail W B reçu par B de A ? Quelle est la chaleur QB reçue par B ? Quelle est la chaleur QR fournie par la résistance ?
On calorifuge la base S B du compartiment B et on fait passer la résistance chauffante du compartiment A dans le compartiment B. Le gaz B reçoit un transfert thermique Q’R de la résistance de telle sorte que le piston reprenne sa position d’équilibre initiale. 7- Quel Quelle le est est la natur naturee de la tran transf sfor orma mati tion on subie subie par par le gaz gaz du compartiment A ? 8-
Quelle est la pression finale d’équilibre P’f ? Exprimer en fonction de T0,T1, V 0, R et γ .
9-
Déterminer les températures T A et TB des deux gaz dans chaque compartiment.
10- Quelle est la variation d’énergie interne du gaz du compartiment compartiment A, du gaz du compartiment B ? 11-
Quelle est la variation d’énergie interne i nterne du système [ A + B ] (on exclut la résistance et le piston de ce système) ?
12-
Déterminer Q’R .
Exercice Exerc ice 4 : Détente Déte nte polytropique polytrop ique d’un gaz parfait. parfai t.
On considère la détente polytropique d’un gaz parfait pour laquelle le volume V et la pression P vérifient PV k = cste, avec k constante positive, menant d’un état P 1, V 1, T1 à un état P2, V 2, T2, (V 1 < V 2 ). ). On suppose que le coefficient γ
=
c Pm cVm
de ce gaz est indépendant de la température dans le domaine considéré. Pour quelles valeurs du
coefficient k la détente s’accompagne-t-elle : a- d’absorption de chaleur et d’échauffement d’échauffement du gaz ? b- d’absorption de chaleur et de refroidissement du gaz ? c- de dégagement de chaleur ? Exercice 5 : Etude d’un compresseur à deux étages. 1-
Un compresseur amène une mole de gaz parfait de l’état initial (P 1, T 1 ) ) à l’état (P2, T 2 ) ) par une compression supposée adiabatique et réversible. Le gaz est ensuite refroidi de manière isobare réversible de la température T2 à la température T1. a b-
2-
Déterminer T2. Pour la suite, on prendra T2 = a.T1. Etablir l’expression du travail total W T reçu par une mole de gaz en fonction de R, γ , T1 et a.
La compression précédente est maintenant réalisée en deux étages. Dans le premier étage, on comprime de manière adiabatique réversible le gaz de la pression P1 à la pression P’1 = b.P1, avec b constante positive comprise entre 1 et
P 2 P 1
. A la sortie du premier
étage, le gaz est refroidi de manière isobare réversible jusqu’à la température T 1, puis introduit et comprimé de manière adiabatique réversible réversible de la pression pression P’1 à la pression P2. Le gaz est enfin ramené à la température initiale T 1 par un refroidissement isobare et réversible. a bc-
Etablir l’expression du travail total W’ T T reçu par une mole de gaz en fonction de R, γ , T1, b et a. Comparer le travail W’ T T à celui W T obtenu lors de la compression mono-étagée. Quelle valeur faut-il donner à b pour que W’ T T soit minimal ? Quelle est la valeur W’m correspondante de W’ T. W '
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Exercice Exerc ice 6 : Remplissa Rempl issage ge d’un récipien réci pientt sous vide.
Un récipient de volume V 1, fermé par une vanne, dont les parois sont supposées adiabatiques, est initialement vide. Il est placé dans l’air ambiant, assimilable à un gaz parfait à la température T0 et à la pression P 0. On ouvre la vanne, l’air pénètre très rapidement dans le récipient ; on referme la vanne lorsque l’équilibre de pression est réalisé. Après un certain temps, l’air dans le récipient se retrouve dans un état d’équilibre à la température T1. Déterminer T1 ainsi que la variation d’énergie interne de l’air entré dans le récipient P = 105 Pa ; V 1 = 5 L ; T0 = 293 K ; γ
Donn ées : 0
=
c Pm cVm
=
1,4 .
Exerci Exe rcice ce 7 : Cycle Cyc le de Lenoi Len oir. r.
Un des premiers moteurs deux temps à combustion interne fonctionne de la manière suivante : - l’air et le carburant sont admis dans le cylindre ; à la fin de la phase d’admission, l’air se trouve dans l’état A (P1, V 1, T1 ) ) - la combustion du carburant (phase d’explosion) provoque une augmentation brutale de la pression à volume constant et fournit un transfert thermique Q1 ; à la fin de la phase, les gaz résiduels sont dans l’état B (P2, V 1, T2 ) ) ) - ils se détendent ensuite de manière adiabatique quasi-statique jusqu’à l’état C (P1, V 2, T3 ) - enfin, les gaz s’échappent du cylindre à la pression constante P1 et un nouveau cycle recommence. En négligeant la quantité de matière de carburant liquide, on assimilera l’air et les gaz brûlés à des gaz parfaits dont le coefficient
γ 123-
=
c Pm cVm
est égal à 1,4.
Représenter, dans le diagramme de Clapeyron, le cycle de transformations ABCA, supposées réversibles, des gaz dans le cylindre. Calculer le travail W échangé par une mole de gaz au cours d’un cycle en fonction de R, γ et des températures T1, T2 et T3. Définir puis calculer le rendement r de ce moteur, d’abord en fonction γ et des températures T 1,T2 et T 3 puis en fonction de γ et du rapport des volumes a =
V 2 V 1
.
4- Calc Calcul uler er r pou pourr a = 4. 4. Exercice Exerc ice 8 : Expérienc Expér ience e de Clément Cléme nt et Désormes. Déso rmes.
Cette expérience permet de mesurer le coefficient γ d’un gaz. Un récipient de très grande capacité, muni d’un robinet R, contient une certaine quantité de gaz (que l’on assimilera à un gaz parfait) à la pression P 0 et à la température T0 atmosphériques. Ce récipient est relié à un manomètre à eau permettant de mesurer la pression du gaz intérieur. A l’aide d’une pompe, on comprime très légèrement le gaz ; lorsque la température est stabilisée à T0, la pression du gaz vaut P 1 = P 0 + p 1 (avec p1 << P 0 ) ) ; le manomètre indique une dénivellation h 1. On ouvre et on referme aussitôt le robinet. On constate alors que la dénivellation du liquide dans le manomètre s’annule dans un premier temps, puis prend une valeur h 2, quand le gaz retrouve sa température initiale T0. 1- Analyser les transformations que subit le gaz pendant pendant l’ouverture et la fermeture fermeture du robinet. Représenter Représenter le graphe correspondant correspondant dans un diagramme de Clapeyron 2-
Calculer le coefficient γ en fonction des dénivellations h1 et h2. Pour l’air, on a mesuré h 1 = 18,2 cm et h 2 = 5,0 cm.
Exercice Exerc ice 9 : Oscillati Oscil lations ons d’un piston pisto n dans un cylindre. cyli ndre.
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2-
On pose sur le piston une masse m <
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Réponses : 1-
P2 = 1,2.10 5 Pa ; T2 = 300 K ; h2= 0,917 m ,; W = 957 J ; W = 1000 J. P’2 = 1,2.10 5 Pa ; T’2 = 300 K ; h’2= 0,917 m ; W’ = 957 J. 2- P2 = 1,2.105 Pa ; T 2 = 307,8 K ; h2= 0,9405 m,; W = 714 J P’2 = 1,2.105 Pa ; T’ 2 = 307,6 K ; h’2= 0,9397 m ; W’ = 691 J. 3- V A = 31,2 L ; V B = 18,7 L ; P f = 1,33.10 5 Pa ; ∆U A = 4157 J ; ∆UB = 0 J ; ∆U = 4157 J ; Transformation isotherme ; W B = 717,5 J ; Q B = - 717,5 J ; Q R = 4874,5 J. Transformation adiabatique ; P’ f = 1,82.10 5 Pa ; T A = TB = 547 K ; ∆U’ A A = 970 J ; ∆U’B = 5134 J ; ∆U’ = 6104 J ; Q’ R = 6104 J. 4- a- k < 1 ; b- 1 < k < γ ; c- k > γ 5- a = 1,219 ; W T T = 1912 J ; W’ T < W T ; b = 1,414 ; r = 0,951. 6- T1 = 410,2 K ; ∆U = 357 J. 7-
W =
8-
γ
9-
P 1
R
γ
1
−
(T 3
−
T 2 ) + R (T 3
−
T 1 )
; r =
T 2
+
(γ
−
T 2
1)T 1 −
−
T 1
γ T 3
=
1−
γ (a − 1) ; r = 0,30. a γ − 1
h1
=
h2 =
−
P 0
h1 +
M 0 g S
; z (t) =
mgh γ P 1 S
(cosω t − 1) avec
ω =
γ P 1 S
h( M 0
+
m)
Objectifs du chapitre :
Vocabulaire à connaître et à savoir expliquer : - Travail des forces de pression, transfert thermique, énergie interne, énergie mécanique, enthalpie. - Transformation infinitésimale, transformation finie. - Système moteur/ récepteur. - Fonction d’état (du point de vue du calcul de sa variation entre deux états). - Notations « d » et « δ » pour des transformations infinitésimales, « ∆ » et « » pour des globales. - Détentes de Joule-Gay-Lussac et de Joule-Kelvin. - Coefficients calorimétriques, énergie interne, enthalpie, calorimétrie.
Savoir Savoir défini définirr le travai travaill des forces forces de pressi pression on reçu reçu par le systèm systèmee lors d’une transf transform ormati ation on infinit infinitésim ésimale ale ou d’une d’une transformation finie.
Savo Savoir ir calc calcule ulerr le trav travail ail des des forc forces es de pres pressi sion on reçu reçu par par le syst systèm èmee sur sur des des tran transf sfor orma matio tions ns part partic iculi ulièr ères es : quas quasiistatique/isochore/monobare/isobare/isotherme statique/isochore/monobare/isobare/isoth erme pour un GP.
Savoir Savoir énonce énoncerr le premie premierr princip principee de la thermo thermodyn dynami amique que et le traduir traduiree sur une transf transform ormati ation on infinit infinitési ésimal malee ou une transformation finie.
Connaître et savoir établir la conservation de l’énergie interne lors d’une détente de Joule-Gay-Lussac (détente adiabatique dans le vide).
Connaître et savoir établir la conservation de l’enthalpie lors d’une détente de Joule-Thomson (détente adiabatique dans un étranglement de canalisation horizontale en écoulement stationnaire).
Connaître les coefficients calorimétriques (et leur définition) à volume constant (C V ), à pression constante (C P ) et dans le cas des phases condensées, savoir évaluer les variations d’énergie interne et d’enthalpie.
