Équations diophantiennes du premier degré Résumé Soient a, b, c trois entiers. Résoudre l’équation diophantienne ax + by = c. consiste à déteminer toutes les paires de nombres entiers x et y qui en sont solution. Dans la suite, on étudie d’abord un exemple particulier avant de considérer le problème en toute généralité. On suppose connus la division euclidienne, les notions de pgcd et de nombres premiers entre eux, les théorèmes de Bachet et de Gauss.
§ 1. Résolution d’une équation particulière. Considérons l’équation (1) 7x + 12y = 5. Il est clair que x = −1 et y = 1 est une solution de cette équation puisque 7 × (−1) + 12 × 1 = 5.
(2)
Pour éliminer le terme constant 5, soustrayons (1) et (2) : 7(x + 1) + 12(y − 1) = 0. On en déduit que 7(x + 1) = 12(1 − y)
(3)
où tous les nombres en jeu sont entiers. Les nombres 7 et 12 étant premiers entre eux, on voit1 ainsi que 7 divise (1 − y) et que 12 divise (x + 1). Il doit donc exister deux entiers k et k 0 tels que x + 1 = 12k
et
1 − y = 7k 0 .
Alors, l’égalité (3) devient 7 × 12k = 12 × 7k 0 . Ceci montre que k = k 0 . Donc pour un certain entier k, on a x + 1 = 12k
et
1 − y = 7k.
1. C’est le théorème de Gauss : si a divise bc, et si a est premier avec b, alors a divise nécessairement c.
1
Équations diophantiennes
c’est-à-dire que si x et y sont solution de l’équation (1), alors x = −1 + 12k
y = 1 − 7k
et
pour un certain k ∈ Z. Réciproquement, on voit que 7 × (−1 + 12k) + 12 × (1 − 7k) = −7 + 84k + 12 − 84k = 5.
Les solutions sont donc exactement les couples (4)
(x = −1 + 12k ; y = 1 − 7k), k ∈ Z.
Exercice 1. Résoudre l’équation 13x − 8y = 21 en remarquant qu’une solution particulière est donnée par x = 1, y = −1.
§ 2. Généralisation. L’exemple précédent laisse penser que la connaissance d’une solution particulière détermine toutes les autres en fonction des coefficients de l’équation. Ceci est parfaitement général, moyennant une condition sur les coefficients. Propriété 1. Soient a et b deux nombres premiers entre eux. Soit (x0 ; y0 ) une solution particulière de l’équation ax + by = c. Alors elle possède une infinité de solutions qui sont toutes données par (x = x0 + bk ; y = y0 − ak), k ∈ Z.
Démonstration. La démarche suit exactement l’exemple de la résolution de l’équation (1). On suppose que ax0 + by0 = c. Si x, y est une autre solution de l’équation, alors on a ax + by = c et par différence a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = 0, c’est-à-dire a(x − x0 ) = b(y0 − y). C’est ici que le fait que a et b sont premiers entre eux intervient de façon cruciale : avec le théorème de Gauss, on en déduit que a est un diviseur de (y0 − y) et que b est un diviseur de (x − x0 ). On peut donc écrire, pour deux entiers k et k0 convenables x − x0 = bk
et
y0 − y = ak0 .
Donc l’égalité a(x − x0 ) = b(y0 − y) devient abk = bak0 ce qui montre que k = k0 .
2
Équations diophantiennes
On en déduit finalement que, pour un certain k entier x = x0 + bk
et
y = y0 − ak.
Il reste à vérifier réciproquement que de telles combinaisons fournissent des solutions de l’équation initiale : a(x0 + bk) + b(y0 − ak) = ax0 + by0 +abk − bak = c, |
{z
}
c
ce qui achève la démonstration.
On peut se demander à quelle condition il est possible de trouver une solution particulière. Propriété 2. Soit d = pgcd (a ; b). L’équation ax + by = c possède des solutions si et seulement si d divise le terme constant c. En particulier, l’équation ax + by = 1 admet des solutions si et seulement si a et b sont premiers entre eux. Démonstration. Supposons que (x0 ; y0 ) soit une solution de l’équation ; alors d divise bien entendu ax0 +by0 et dans ce cas, d divise c = ax0 +by0 . Réciproquement, supposons qu’il existe u tel que c = du. On sait d’après le théorème de Bachet2 qu’on peut trouver deux entiers x1 , y1 tels que ax1 + by1 = d. En multipliant par u, on obtient ax1 u + by1 u = du c’est-à-dire l’existence de x et y tels que ax + by = c.
D’après cette propriété, il est inutile d’espérer trouver des entiers x et y qui soient solution de l’équation 21x + 12y = 50 puisque pgcd (21 ; 12) = 3 et 50 n’est pas divisible par 3. § 3. Obtention d’une solution particulière. L’expérimentation peut permettre de trouver rapidement une solution particulière d’une équation diophantienne du premier degré. Par exemple, pour l’équation 7x + 5y = 2, il est facile de voir (dans les tables !) que les nombres 42 et −40 conviennent, c’est-à-dire que x = 6 et y = −8 conviennent. De façon plus générale, c’est la « remontée » des égalités de l’algorithme d’Euclide qui fournit une relation de Bachet entre les entiers a et b : on peut toujours trouver explicitement deux entiers x, y tels que ax + by = pgcd (a ; b). 2. il concerne les nombres entiers ; Bezout a étendu ce résultat aux polynômes.
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Équations diophantiennes
Exemple.
Pour résoudre l’équation diophantienne
(5)
217x + 34y = 2
on cherche le pgcd des nombres 217 et 34. On part du pgcd 1 et on « remonte » en remplaçant les restes successifs :
L’algorithme d’Euclide donne : 217 = 34 × 6 + 13
1=3−2×1 = 3 − (5 − 3 × 1)
34 = 13 × 2 + 8
=3×2−5 = (8 − 5 × 1) × 2 − 5
13 = 8 × 1 + 5
=8×2−5×3 = 8 × 2 − (13 − 8 × 1) × 3
8=5×1+3
= 8 × 5 − 13 × 3 = (34 − 13 × 2) × 5 − 13 × 3
5=3×1+2
= 34 × 5 − 13 × 13 = 34 × 5 − (217 − 34 × 6) × 13
3=2×1+ 1
d’où la relation cherchée 2 = 1 × 2.
34 × 83 − 217 × 13 = 1
Ainsi, x = −13 et y = 83 forment une solution de l’équation 217x + 34y = 1. Une solution particulière de l’équation (5) est x = −26, y = 166 : 217 × (−26) + 34 × 166 = 2. Puisque les coefficients de x et y sont premiers entre eux, on en déduit que toutes les solutions de cette équation sont données par (x = −26 + 34k ; y = 166 − 217k), k ∈ Z. Exemple. (6)
Pour l’équation 544x − 944y = 160
on cherche d’abord le pgcd des nombres 944 et 544. L’algorithme d’Euclide donne : 944 = 544 × 1 + 400 544 = 400 × 1 + 144 400 = 144 × 2 + 112 144 = 112 × 1 + 32 112 = 32 × 3 + 16 32 = 16 × 2.
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Équations diophantiennes
Le pgcd est 16 ; il divise le terme constant 160. On simplifie les coefficients de l’équation (6), qui devient de façon équivalente 34x − 59y = 10,
(7)
les coefficients 34 et 59 étant maintenant premiers entre eux. Après quelques calculs3 , on obtient une relation de Bachet : 15 × 59 − 34 × 26 = 1. L’équation (7) admet donc la solution particulière x = −260, y = −150. On en déduit toutes les solutions de (7) – et donc de (6) : (x = −260 + 59k ; y = −150 + 34k), k ∈ Z. § 4. Méthode. De façon générale, pour résoudre une équation diophantienne ax + by = c, la démarche consiste à 1. déterminer le pgcd d des coefficients a et b et s’assurer qu’il divise le terme constant c, 2. diviser les coefficients de l’équation par d, pour former l’équation équivalente a0 x + b0 y = c0 , avec a0 , b0 premiers entre eux, 3. en déterminer une solution particulière x0 , y0 , puis toutes les solutions avec x = x0 + b0 k, y = y0 − a0 k, pour tout k ∈ Z, C’est la troisième étape qui est la plus délicate, demandant la remontée de l’algorithme d’Euclide ou l’obtention « à vue » d’une solution particulière. Exercice 2. Trouver une solution particulière puis résoudre chacune des équations diophantiennes suivantes. (8)
65x + 104y = 26
(9)
56x − 21y = 105
(10)
14x + 20y = 7.
3. toujours en remontant l’algorithme d’Euclide
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