Thermodynamique. Chapitre 4 : Second principe.
Exercice 1 : Contact thermique avec N sources. Un solide de masse m, de chaleur massique c supposée constante, est porté de la température T 0 à la température T N. Cette évolution est réalisée par l’intermédiaire de N sources de chaleur successives, chaque source étant à la température T k supposée constante :
+ 1 → .....T N − 1 → T N T 0 1 → T 1.......T k − 1 → T k S
S k
S k
S N
1-
Calculer l’entropie créée, S créée, associée à cette transformation. Quel est son signe ?
2-
L’intervalle de température entre chaque source est ∆ T =
T N − T 0 N
. Donner l’expression de S créée. Montrer que si N devient très grand,
on peut majorer S créée par une quantité tendant vers 0. Conclure.
Exercice 2 : Entropie d’un gaz parfait. 12-
Exprimer Exprimer la fonction fonction d’état d’état entropie entropie du gaz parfait parfait en fonction fonction des variables variables P, V à une constante constante additive additive près. près. En déduire déduire la variation variation d’entro d’entropie pie d’une d’une mole mole de gaz parfait parfait lorsqu’il lorsqu’il subit subit :
-
une transformation adiabatique réversible une transformation isotherme de P 0 = 105 Pa, V 0 = 24 L à P 1 = 5. 10 5 Pa.
Exercice Exerc ice 3 : Solide Soli de en contact conta ct avec une source. Un solide de capacité thermique C, initialement init ialement à la température T 0, est mis en contact thermique avec une source de chaleur Te i nvariable. Exprimer entre l’état initial et l’état final : 1-
la vari variat atio ion n d’ent d’entro ropi piee du solid solidee
2-
la vari variati ation on d’entr d’entropi opiee de de la source source
3-
la création d’entropie. Vérifier son signe si Te est proche de T 0, c’est-à-dire si Te est de la forme T 0.(1+ε ).
Exercice 4 : Apport de chaleur par une une résistance électrique. électri que. Un récipient à parois rigides et calorifugées contient deux gaz parfaits diatomiques séparés par une paroi intérieure adiabatique pouvant se déplacer sans frottement ; les volumes occupés par chaque gaz A et B peuvent donc varier. Initialement, les paramètres pour chacun des deux gaz sont : P 0 = 10 5 Pa ; T0 = 300 K ; V 0 = 1 L. Un générateur électrique fournit de l’énergie au gaz A par l’intermédiaire d’un conducteur ohmique, de résistance R 0 = 10 Ω, de capacité thermique négligeable, parcouru par un courant continu d’intensité I = 1 A, pendant une durée τ au bout de laquelle le volume du gaz A atteint la valeur V Af égale à 1,1 L. L’état final de cette évolution supposée réversible est défini par les valeurs : V Af Af , V Bf Bf , Pf , T Af , TBf . 1-
Calculer Calculer la pression pression finale finale dans chacun chacun des des compar compartimen timents. ts.
2-
Détermine Déterminerr la tempé températur raturee finale finale du gaz du du comparti compartiment ment B.
3-
Détermine Déterminerr la tempé températur raturee finale finale du gaz du du comparti compartiment ment A.
4-
Déterminer τ.
5-
Déterminer le travail W B reçu par le gaz du compartiment B.
6-
Quelle Quelle est est la variation variation d’entropie d’entropie du gaz gaz du compartim compartiment ent A ?
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Exercice Exerc ice 5 : Détente Déte nte irréversibl irréver sible e d’un gaz parfait. parfa it. On consi considèr dèree de l’air l’air initial initialeme ement nt enferm enferméé à la tempér températu ature re T 0, dans dans la part partie ie supérieure d’un corps de piston adiabatique, de volume V 0, soumis à une pression extérieure constante P 0 . La partie inférieure du corps de piston, de volume V’ supposé invariant, est initialement vide. On supposera que le coefficient γ
=
c Pm cVm
de l’air est indépendant de la température dans
le domaine considéré et égal à 1,4. On ouvre un orifice dans la paroi séparant les deux compartiments et l’on se propose d’étudier le nouvel équilibre. 1-
Le volume V’ est est suffisamme suffisamment nt petit pour pour que le piston ne ne vienne pas pas en butée sur sur la paroi fixe. fixe. Déterminer, Déterminer, dans dans ces condition conditions, s, la température finale atteinte par le gaz occupant les deux compartiments.
2-
Déterminer la plus grande valeur V’ max du volume V’ telle que le piston ne vienne pas en butée sur la paroi fixe. Dans ce cas particulier, quelle est la température finale ?
3-
Le volume V’ est supérieur à V’max si bien que le piston vient en butée sur la paroi fixe. Déterminer, dans ces conditions, l’état final.
4-
Dans Dans chacun chacun des cas de figure, figure, calcule calculerr la variation variation d’entro d’entropie pie de l’air l’air et démontre démontrerr que ces résultat résultatss sont sont confor conformes mes au second second principe de la thermodynamique.
Exerci Exe rcice ce 6 : Cycle Cyc le de Carnot Car not.. On considère une suite cyclique d’évolutions effectuées par une certaine quantité de matière de gaz : - A B est une compression isotherme réversible ; - B C est une compression adiabatique réversible ; - C D est une détente isotherme réversible ; - D A est une détente adiabatique réversible. Le gaz qui parcourt ce cycle sera considéré comme parfait. Soient T 1 et T2 les températures des deux isothermes, i sothermes, avec T 2 > T1. 1-
Représent Représenter, er, dans le diagramme diagramme de Clapeyron Clapeyron (P,V), puis dans un diagramme diagramme entropique entropique (T,S) (T,S) le cycle de transformations transformations ABCDA. ABCDA. Indiquer si ce cycle est parcouru dans le sens moteur ou récepteur.
2-
On appelle rendement r du cycle le rapport entre le travail total fourni par le gaz au cours du cycle et la quantité de chaleur reçue effectivement par le gaz : r =
W fourni Qreçue
. Exprimer r en fonction de T 1 et T2 en utilisant deux méthodes différentes.
Exercice Exerc ice 7 : Cylindre Cyli ndre horizonta horiz ontal. l. Un cylindre fermé à ses deux extrémités, d’axe horizontal, est divisé en deux compartiments A et B par un piston mobile sans frottement. Les parois du cylindre cylindre sont adiabatiques adiabatiques.. On néglige la capacité capacité calorifique calorifique du cylindre et du piston. Chaque compartimen compartimentt renferme le même nombre de moles (n = 0,4 mol) de dihydrogène assimilable à un gaz parfait dont les capacités calorifiques molaires c pm et c vm sont constantes. Le coefficient γ
=
c Pm cVm
est égal à 1,4.
On suppose le piston faiblement conducteur de la chaleur. On donne l’état initial dans les deux compartiments : A : V A1, P1 = 1 bar, T A1 = 400 K ; B : V B1 B1, P1 = 1 bar, T B1 = 250 K ; Après un certain laps de temps, le piston étant faiblement conducteur de la chaleur, tout l’hydrogène dans le cylindre est à la même température T2. L’état final est caractérisé par : A : V A2, P2 , T2 ; B : V B2 B2, P2 , T2 ; On suppose que le dihydrogène contenu dans les deux compartiments subit une transformation quasi-statique. 1-
Déterminer la variation d’énergie interne ∆U de tout le dihydrogène contenu dans le cylindre.
2-
Déterminer T 2.
3-
Déterminer la pression finale P 2.
4-
Déterminer le signe de la variation d’entropie ∆S de tout l’hydrogène contenu dans le cyli ndre. Justifier soigneusement.
5- Calculer ∆S. Lycée Camille Pissarro
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Exercice Exerc ice 8 : Transform Trans formatio ation n globalem globa lement ent adiabati adiab atique. que. Un cylindre de section A, parfaitement adiabatique, contient un gaz parfait de rapport
γ
=
c Pm
= 1,4 constant. Le gaz est initialement à la
cVm
température T 0 et à la pression P 0, partagé également en deux volumes V 0 de part et d’autre d’un piston parfaitement diatherme qu’un opérateur peut manœuvrer grâce à une tringle. Donn ées : V 0
= 10 L ; P 0 = 1,013 bar, T 0 = 300 K ; A = 200 cm 2.
1-
L’opérateur exerce progressivement une force d’autant plus importante que l’on s’écarte de la position d’équilibre. Exprimer la variation de F en fonction de la position x du piston (repérée à partir de la position d’équilibre) et de la température T, dans l’hypothèse où il n’y a aucun frottement et où les parois ont idéalement une capacité thermique nulle.
2-
En exprima exprimant nt de deu deuxx façons façons différen différentes tes le travail travail élément élémentair airee reçu reçu par le gaz pour un déplaceme déplacement nt dx du piston, piston, détermin déterminer er l’équation différentielle reliant T et x.
3-
En déduire déduire la façon dont dont la force force F et la températ température ure T varient varient avec avec la position position x du piston. piston.
4-
Exprimer, Exprimer, en en fonction fonction de x, l’entrop l’entropie ie totale du du gaz contenu contenu dans dans le cylindre. cylindre. Commente Commenter. r.
Réponses : Réponses : 1-
T k − 1
S créée = C ∑
T k
2-S =
3-
nR
γ − 1
− 1 − ln(
T k − 1 ) >0 T k
ln( PV γ ) + cste ; ∆S = 0 ; ∆S = - 13,4 J.mol -1.K -1
∆S = C.ln
Te T 0
; ∆SS = C.
T 0 − Te Te
; Scréée = ∆S +∆ +∆SS
4- Pf = 1,16 bar ; T Bf = 313 K ; TAf = 383 K ; τ = 8 s ; WB = 10,8 J ; ∆SA = 0,235 J.K -1 V ' γ − 1 V ' V 0 P 0V 0 γ γ − 1 V ' ) ln 1 + ; ∆S1 = , ∆S2 = C pln γ + nR ln( ; V’max = γ V0 , TF = γ T0 ; PF = P0 γ V γ γ V 0 γ λ 1 − T V 0 0 0 V '
5-
TF = T 0 1 +
6-
r=1-
7-
∆U = 0 ; T2 = 325 K ; P2 = 1 bar ; ∆S = 0,635 J.K -1. 2 Ax
8-
T 1 T 2
F = P 0 A
.
T
V 0
T 0
A 2 x 2
1−
;
2
dT
γ − 1 T
= A(
1 V 0 − Ax
−
1 V 0 + Ax
V 02
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T 0
)dx ; T(x) =
1−
2
A x 2
V 0
2
γ − 1
2
; S (x) = S (0) pour tout x.
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Objectifs du chapitre : Vocabulaire à connaître et à savoir expliquer :
Réversibilité, irréversibilité (exemples). Second principe de la thermodynamique. Bilan d’entropie ; entropie échangée, entropie créée. Savoir en quoi le second principe vient compléter le premier. Savoir énoncer et appliquer le second principe de la thermodynamique. Connaître la définition thermodynamique de la température et de la pression. Savoir écrire les identités thermodynamiques (pour U et pour H) et savoir les utiliser (en particulier pour le calcul de variations d’entropie). Connaître et savoir justifier l’expression de la variation d’entropie d’un thermostat (d’une source de chaleur). Connaître et savoir retrouver l’inégalité de Clausius-Carnot pour un système monotherme ou polytherme. Savoir réaliser un bilan d’entropie et en calculer les différents termes pour les transformations particulières réversibles ou non ( + cas particulier du GP).
-
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