Texto Didáctico de Geometria

~

60º 2X

X

60º 40

20

30º 30º X

20

3

FERNANDO GAMARRA MORALES TACNA - 2004

3

2

Profesor: Fernando Gamarra Morales.

3

INTRODUCCIÓN El presente trabajo se realiza para que el alumno tenga un material de fácil acceso y comprensión de los temas de geometría que se desarrollan en matemática; los métodos de inducción y deducción, que el docente fácilmente puede utilizar con el presente, otorga al alumno el desarrollo de la percepción de su realidad, aplicando estos procedimientos a diversos campos del quehacer humano. La matemática de cuarto año de secundaria, está cargada de conocimientos geométricos que perfecciona la graficación, exactitud y pulcritud del estudiante, elementos básicos para prepararse a una vida en permanente cambio. Este trabajo se constituye de esta manera en un TEXTO DIDÁCTICO ya que esta formado por diversos temas de geometría para que el alumno, con la ayuda del docente, pueda completar y a la vez comprender a cabalidad la parte teórica sustancial de los diferentes temas. Cada tema está acompañado de suficientes ejemplos pertinentes, incompletos o sin resolver, muchos de ellos tomados en exámenes de admisión a diferentes universidades del país, desde los más sencillos hasta los más complejos para que puedan resolverse progresivamente, de esta manera el profesor al momento de completar la resolución en clase pueda asegurar en el alumno una mejor comprensión de los mismos y generar hábitos de rutina matemática que le permitirá resolver con éxito los numerosos ejercicios que se proponen. La finalidad de este TEXTO DIDÁCTICO es proporcionar conocimientos básicos de geometría que requieren los alumnos para acceder a niveles superiores de estudio, contribuyendo al desarrollo de niveles más altos de la estructura del pensamiento; en tal sentido se ha dado preferencia al aspecto operativo sin dejar de considerar el rigor matemático en la formulación de conceptos fundamentales.


4 CONTENIDO UNIDAD I: ELEMENTOS GEOMÉTRICOS - Términos no definidos. - Subconjuntos de rectas. - Posiciones de rectas y planos - Ángulos en el plano. Clasificación - Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante. UNIDAD II: POLÍGONOS. - Relaciones fundamentales de un polígono convexo. - Triángulos. Líneas Notables. - Triángulos Rectángulos Notables. - Relaciones métricas en el triángulo. - Relaciones métricas en el triángulo (II parte). - Cuadriláteros. Propiedades. UNIDAD III: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA - Segmentos entre paralelas. Teorema de Thales. - Teoremas de bisectrices en el triángulo. - Semejanza de triángulos. - Relaciones métricas en el triángulo rectángulo. - Teorema de Pitágoras. - Generalización del Teorema de Pitágoras. - Circunferencia y círculo. UNIDAD IV: ÁREAS - Área del rectángulo. - Área del triángulo. - Área del paralelogramo: romboide y rombo. - Área del trapecio. - Área del triángulo (II parte). - Área de polígonos regulares. - Área del círculo. UNIDAD V: ÁREAS Y VOLÚMENES. - Sólidos geométricos. - Poliedros. - Prismas. - Pirámides. - Cuerpos de revolución. - Cilindro. - Cono. - Esfera.


5

UNIDAD I: ELEMENTOS GEOMETRICOS •

NOCIONES.-

Punto: Recta: Plano:

TERMINOS NO DEFINIDOS •

PUNTO.-

AXIOMA 1: •

RECTA.-

AXIOMA 1: AXIOMA 2: AXIOMA 3:

AXIOMA 4:

AXIOMA 5:


6

•

PLANO.-

AXIOMA 1: AXIOMA 2:

AXIOMA 3:

AXIOMA 4:

AXIOMA 5:

AXIOMA 6:


7

SUBCONJUNTOS DE RECTAS •

SEGMENTO:

•

SEGMENTOS ABIERTOS Y SEMIABIERTOS:

•

RAYO Y SEMIRRECTA:

EJEMPLOS 1. Teniendo en cuenta estos cuatro puntos, denota seis segmentos.

A

B

C

D

2. Nombra todos los rayos trazados, cuyo origen sea uno cualquiera de los puntos siguientes: N, S, R, P, T, U. G D

N

E F

H R

S

T

P I

U

A B C

J Profesor: Fernando Gamarra Morales.

8

3. Observa la figura y completa:

E

F

G

a) E F ∩ F E =

c) E F ∩ F E =

e) E F - F E =

b) E F ∩ F E =

d) E F ∩ F E =

f) E F - F E =

NOTA.-

AB representa la longitud del segmento AB. CD representa la longitud del segmento CD.

Por lo tanto: AB, CD, EF, ............. etc. representan números reales. 4. Sobre una recta, se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E de tal manera que: AC + BD + CE = 44 m. Calcular AB si AE = 25 m y DE = 2 AB Solución: A

B

C

AB + BC + CD + DE = AE

D

E

Multiplicando ambos miembros por 2

2 (AB + BC + CD + DE) = 2 AE 2 AB + 2 BC + 2 CD + 2 DE = 2 AE AB + AB + BC + BC + CD + CD + DE + DE = 2 AE. AB +

+

+

AB +

+ DE = + DE + 2 AB

=

2(

2 AE. ).

=

AB = 5. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que AC = 12 y el valor del segmento que tiene por extremos los puntos medios de AB y CD es igual a 16. Hallar BD.


9

6. Sobre una recta, se toman los puntos A, B, C, D, E y F consecutivamente, de modo que se verifique: 8 BE = 5 AF y AC + BD + CE + DF = 39 m . Hallar AF. Solución: A

Dato:

AC

+

AB +BC +

B

BD + +

+

C

D

E

CE

+

DF

=

39

+

+

+

=

39

F

AF + BC + CD + DE = 39 AF +

= 39

8 AF + 8

= 8 x 39

8 AF +

= 8 x 39

Multiplicando por 8 ambos miembros

AF = 7. Se sabe que A, B, C, D, E y F son puntos consecutivos de una recta y que AC + BD + CE + DF = 28 m. Además se sabe que AF = A

B

C

5 BE . Hallar AF. 2 D

E

F


10

8. Se dan los puntos consecutivos A, B, C, D y E; siendo AC + BD + CE = 60 m. Hallar AE, si

BD =

7 AE . 8

9. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D de tal manera que AC + BD = 10,5 cm y BC = 3 m. Hallar AD.

10. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, donde AB = BD = 3 CD. Hallar la longitud del segmento CD, si la longitud de AD = 12 m. Solución: A

B 3x

C

x

D

AB = 3(CD) AB = 3 X =


11

11. Se tienen los puntos colineales sobre una recta A, B, C y D. Hallar la longitud de BC si AC = 34 m, BD = 60 m y AD = 70 m. Solución: A

B

C

AB + X + CD = 70

Dato:

D

AB = 34 -

x

CD = 60 -

Reemplazando en el dato, tenemos:

X = 12. Sobre una recta se toman los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D siendo AC = BD = 6m; AD = 8 m. Hallar la longitud del segmento BC. Solución: A

B

C

D

13. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D de tal manera que AC = 28 cm, BD = 36 cm. Calcular la longitud del segmento MN, siendo M y N puntos medios de AB y CD respectivamente. Solución: A

M m

B m

C q

N n

D n


12

14. En una línea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, siendo AC + BD = 40 m. Hallar PQ si P es medio de AB y Q es medio de CD. Solución:

15. Se dan cuatro puntos colineales A, B, C y D; se sabe que BC excede a AB en 9 cm y que es 12 cm menos que CD. Hallar la longitud del segmento mayor, si AD = 75 cm. Solución: A

B

AB + BC + CD =

C

D

Datos:

BC = AB + 9 BC = CD – 12

AB = CD =

75 cm

16. A, B, C y D son puntos consecutivos de una recta. Si AC = 11 cm, BD = 12 cm y BC = entonces la longitud de AB es:

1 CD , 3

17. Los puntos P y Q están situados en el segmento AB , ambos del mismo lado del punto medio M de AB , en el orden indicado, y de manera que

AQ 3 AP 2 = ; si = y PQ = 2, entonces la PB 3 QB 4

longitud del segmento AB seria: A) 75

B) 70

C) 80

(Admisión UNMSM 98) D) 85

E) 90


13

18. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B y C de modo que AB – BC = 12 cm. Hallar la longitud del segmento que tiene por extremos el punto B y el punto medio del segmento que se forma al unir los puntos medios de AB y BC. (Admisión UNJBG 2000-II) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

19. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D y E de modo que los puntos B, C y D son puntos medios de AC, AE y BE respectivamente. Hallar si CD = 6 cm. (Admisión UNJBG 2000-II) A) 36 B) 60 C) 24 D) 12 E) 48

20. Se dan cuatro puntos colineales A, B, C y D de modo que C es punto medio de BD. ¿Cuál de las relaciones es verdadera? (Admisión UNJBG 2000-II) A) AC = BC + CD

AB + AD 2 C) AC = 2 BC D) BD = 3BC B) AC =

E) N.A.

PRACTICA Nº 1 TEMA: Segmentos de recta. 1. En la figura “O” es punto medio de AB. Entonces: MA – MB, es igual a:

C) 21

D) 35

E) 14

A) MO B) MB C) 2MO D) 2MB E) AO

3. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, sí AB = 7 y CD = 3. Calcular BC, si AB – CD = BD. A) 0,5 B) 0,8 C) 1 D) 1,2 E) 1,5

2. Sobre una recta se toman consecutivamente los puntos A, B, C y D tales que: AC = 17, BD = 25. Calcular PQ, siendo P y Q los puntos medios de AB y CD respectivamente.

4. Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A, B y C. “O” es punto medio de AC. Calcular BO, si: BC – AB = 4. A) 1 B) 2 C) 3 D) 0,5 E) 4

A

O

A) 8 B) 42

M

B


14

5. Sobre una recta se tienen los puntos A, O, C y D consecutivos. Si: AD = 2(OC) y AO + CD = 12. Calcular AD. A) 12 B) 18 C) 24 D) 36 E) 20 6. Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tal que: AB = BC y AD = 7BC. Calcular: AB, si CD = 15. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 2,5 7. Se tienen los puntos alineados A, B y C en ese orden, tal que “M” es punto medio de BC, si AB + AC = 16. Calcular AM. A) 5 B) 6 C) 8 D) 12 E) 9 8. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tal que: AB = 2CD y además 3AC – BC = 20. Calcular AD. A) 5 B) 15 C) 10 D) 20 E) 20/3 9. Dados los puntos A, B y C colineales y consecutivos tal que AC = 6 y AC ⋅ AB = 2 AB 2 − BC 2 . Calcular AB.

(

A) 2

B) 3

C) 4

)

D) 6

E) 2 2

10. M, A, B y C son cuatro puntos de una recta tal que: MA = 3; MB = 5 y 4AB + AC – 2BC = 6. Calcular MC. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 11. Se tienen los puntos consecutivos A, B y C sobre una línea recta que cumplen la condición:

1 1 2 − = . Calcular: AB, si BC = 8. AB AC 5 A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E)5

12. En una línea recta XX ' , se ubican los puntos consecutivos A, B , C y D, si: AD = 10 y BC = 4. Calcular la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de AB y CD. A) 6 B) 7 C) 8 D) 14 E) 12 13. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D, siendo: CD = 2BC = 4AB; AD = 42 y luego se consideran los puntos medios “M” y “N” de Ab y MC respectivamente. Hallar BN.

A) 3,5

B) 4 C) 4,5 D) 5

E) 5,5

14. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, M, R y F, si: AF = 6, MF = 4 y RF2 = AR x MR. Calcular RF. A) 2,1 B) 2,2 C) 2,3 D) 2,4 E) 2,5 15. En una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D, siendo 2BC = AB + CD; CD = 5AB y AC(AD – CD) = BC. Calcular BC. A) ¾ B) 5/16 C) 7/16 D) 16/3 E) 9/16 16. En una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D. Si:

AB BC CD y BC = 2. Calcular la = = 1 2 3

longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de AC y BD. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

17. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, M, R y V; siendo:

1 1 1 − = MR RV 5

Calcular AR. A) 1 B) 2 C) 3

y

AR 2 = AV ⋅ AM .

D) 4

E) 5

18. En una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, M y R, sean: AM = 2 y MR = 5. Calcular la longitud del segmento AC, si C ∈ MR, además: MC > CR y

1 1 . = CR AM

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 7

19. Se consideran los puntos consecutivos en una línea recta que son: A, B, C y D; siendo:

AB BC CD y BC2 = AD. = = 1 2 5

Calcular: AB + CD. A) 2 B) 6 C)5 D) 16

E) 12

20. En una línea recta se tienen los puntos consecutivos A, M y R; siendo “B” y “C” puntos que pertenecen a AM y MR respectivamente donde: BM = 2AB, MC = 2CR y AR = 12. Calcular BC. A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) 14


15

POSICIONES DE RECTAS •

Dos rectas diferentes coplanares (en el mismo plano), pueden ser secantes o paralelas.

a) Dos rectas son secantes, si su intersección es un punto y sólo uno.

b) Dos rectas son paralelas, si no son secantes.

•

Dos rectas diferentes no coplanares son cruzadas o alabeadas, si su intersección es vacio.

POSICIONES DE UNA RECTA Y UN PLANO a) Una recta es secante al plano, si ............................................


16

b) Una recta es paralela al plano, si no es secante.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS a) Dos planos son secantes, si su intersección es una y sólo una .............................

b) Dos planos son paralelos, si no son ......................

ANGULOS EN EL PLANO Definición.- ............................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... B

VERTICE: O LADOS: OA y OB

O

A Sentido antihorario

α

Sentido horario

α Profesor: Fernando Gamarra Morales.

17

∠α

∠α

α

α

α

MEDICION DE ANGULOS.•

Sistema Sexagesimal: (el más antiguo) Divide a la circunferencia en 360 partes iguales (grados sexagesimales). Las unidades inferiores a un grado (1º) son: 1º = 60’

(un grado es igual a sesenta minutos).

1’ = 60”

( un minuto es igual a sesenta segundos).

Ejemplo 1: Un ángulo mide 12,28º. Expresa dicha medida en grados, minutos y segundos.

G

M

S


18

Ejemplo 2: Expresa 8 429” en grados, minutos y segundos.

•

Sistema Radial: R R R

Longitud de la circunferencia: 2π R

2π R R

X =

360º X

R x 360º 180º = π 2π R

1 RADIAN =

180º π

π RADIANES = π RADIANES =

2 Divide a la circunferencia en ...............................

Ejemplo1: Expresa 75º en radianes.


19

Ejemplo 2: Expresa 50º25’ en radianes.

Ejemplo 3: Expresa

3 π radianes. En grados sexagesimales. 8

Ejemplo 4: Expresa 50º25’12” en radianes.

PRACTICA Nº 2 •

Expresa cada medida como múltiplo de

a) b) c) d)

45º 30º –15º 75º

e) f) g) h)

–25º –60º 120º 270º

π

radianes. i) –315º j) –90º k) 80º30’

l) 125º15’ m) –60º50’ n) –380º25’


20

•

Expresa cada medida en unidades del sistema sexagesimal.

π 3 π b) 4 π c) 15

2π 9 e) 3π 2π f) 3

a)

d)

3π 4 − 5π h) 6 − 5π i) 12 g)

m) − 3,6π

13π 6 7π k) 10 l) 2,5π j)

− 7π 15 o) 0,5π n)

CLASIFICACIÓN DE ANGULOS

90º

180º

•

Bisectriz de un ángulo.- ...................................................................................................................... ..............................................................................................................................................................

A

D

O

B


21

Ejemplo1: En la figura anterior, la medida del ∠ AOD es 49º52’18”. ¿Cuánto mide el ∠ AOB ?

Ejemplo2: Si un ángulo mide 45º, ¿cuánto medirá el ángulo formado por uno de sus lados y la bisectriz de dicho ángulo?

Ejemplo 3: Del ejemplo anterior; si la medida del ángulo fuese 47º23’30”

Ejemplo4: En la siguiente figura: ∠ AOB = 124º

A

OC es bisectriz del ∠ AOB OD es bisectriz del ∠ COB

C D

¿Cuánto mide el ∠ COD ? A) 36º

B) 24º

C) 31º

Ejemplo 5: En la figura OM es bisectriz del ∠ BOC ∠ AOM = 54º ∠ MOD - ∠ COD =16º ∴ la medida del ∠ AOB es: A) 34º D) 32º

B) 36º E) N.A.

O

D) 28º

B M

B A

C

C) 38º

O

D


22

Ejemplo 6: En la figura OE es bisectriz del ∠ DOC OF es bisectriz del ∠ BOA El ángulo ∠ EOF mide 118º ∴ el ∠ BOC mide A) 49º B) 52º C) 48º D) 56º E) N.A.

B

C E

F

D •

A

O

Ángulos consecutivos: ....................................................................................................................... ............................................................................................................................................................

S A

T R

•

B

U

C D

O

Ángulos complementarios: ................................................................................................................ ...........................................................................................................................................................

El complemento de un ángulo, es lo que el falta para llegar a 90º. Ejemplo: El complemento de 60º es ................ porque: El complemento de ............... es 16º; porque: •

Ángulos suplementarios: ................................................................................................................... ............................................................................................................................................................


23

El suplemento de un ángulo es ........................................................ El suplemento de ............... es 150º, porque: El suplemento de 125º es ..............., porque:

Ejemplo 1: La medida de un ángulo A es 48º34’25”. Halla su complemento.

¿Cuál es su suplemento?

Ejemplo 2: La medida de un ángulo es: 112º23’48”. Halla su suplemento.

•

Ángulos Adyacentes: ...................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................

•

Ángulos opuestos por el vértice:

Ejemplo 1: En la figura ∠ NOP = 32º ∠ QOR = 124º ∴ ∠ TOP es: A) 156º D) 158º

B) 138º E) N.A.

C) 146º

Q

R

124º O

S

P 32º N

T Profesor: Fernando Gamarra Morales.

24

Ejemplo 2: En la figura a+c es: A) 70º B) 68º C) 60º D) 72º E) N.A.

4x – 34º

b

c

120º - 2x

•

a x – 14º

Rectas perpendiculares: ................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................

•

Rectas oblicuas: .............................................................................................................................. ........................................................................................................................................................

ENUNCIADOS -

La medida de un ángulo: El suplemento de un ángulo: El complemento de un ángulo: La suma de dos ángulos: El suplemento de la suma de dos ángulos:


25

-

El complemento de la suma de dos ángulos: Los ángulos x e y son complementarios: El doble del suplemento de un ángulo: El cuadrado del complemento de un ángulo: La mitad del complemento de un ángulo: Los tres quintos de un ángulo: La mitad de un ángulo: EJEMPLOS

1. Dos ángulos son suplementarios. Si uno de ellos mide los 7/8 del otro, ¿cuánto mide cada uno?

2. Dos ángulos suplementarios están en la relación de 3 a 5. ¿Cuánto mide cada ángulo?

3. Dos ángulos complementarios están en la relación de 4 a 11. Hallar el valor del ángulo formado por el lado común y la bisectriz del ángulo mayor.

4. El suplemento del complemento del suplemento de un ángulo es 300º. ¿Cuál es el ángulo?

5. El suplemento del suplemento de un ángulo es 27º, ¿cuál es el ángulo?

6. El complemento del suplemento de un ángulo es 15º, ¿cuánto mide el ángulo?

7. El suplemento del complemento de un ángulo es 105º, ¿cuánto mide el ángulo?


26

8. ¿Cuánto mide el ángulo que mide igual que su complemento?

9. La diferencia de dos ángulos complementarios es de 11º32’. ¿Cuánto miden los ángulos?

10. ¿Cuál es el ángulo que es igual a 1/8 de su complemento?

11. El complemento de un ángulo es igual a los 4/13 del suplemento del mismo ángulo. ¿Cuál es su valor?

12. Un ángulo mide los 3/5 de un ángulo recto; otro ángulo mide los 7/9 de un ángulo recto. ¿Cuál es el complemento de su diferencia?

13. Si a uno de dos ángulos suplementarios le disminuimos 29º40’ para agregarle al menor, ambos se igualan. ¿Cuánto mide cada ángulo?

14. La diferencia de dos ángulos suplementarios es π /5. Hallar el menor ángulo. (Admisión PUCP 99-I) A) 54º B) 70º C) 80º D) 72º E) 36º

15. Calcular los valores de dos ángulos que se diferencian en 5º, siendo la suma de sus complementos 125º (Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 58º y 53º B) 35º y 40º C) 45º y 40º D) 25º y 30º


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16. El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de “X” es igual a 5/2 de la diferencia entre el suplemento de “X” y el suplemento del suplemento de “X”. Hallar “X”. (Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A)60º B) 90º C) 75º D) 60º

17. En la figura halla el ∠ AOB B

(Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua)

A 130º

α α

Y

θ O

θ

X

18. Dos ángulos complementarios están en la relación 4 a 11. Hallar el valor del ángulo formado por el lado común y la bisectriz del ángulo mayor. (Admisión UNJBG 2000-II) A) 66º

B) 44º

C) 24º

D) 33º

E) 12º

19. La diferencia de los ángulos formados por las bisectrices de sus ángulos suplementarios y el lado común mide 8º. ¿Cuánto mide el complemento del menor ángulo suplementario? (Admisión UNJBG 2000-II) A) 4º B) 6º C) 8º D) 16º E) 24º

20. Dados dos ángulos consecutivos AOB y BOC, siendo BOC = AOB +36º. Si OX es la bisectriz el ángulo BOC, OY es la bisectriz del ángulo AOB y OZ la bisectriz del ángulo XOY, calcular el ángulo BOZ. (Admisión UNJBG 2000-II) A) 6º B) 8º C) 12º D) 18º E) N.A.


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PRÁCTICA DE MATEMÁTICA Nº 3 Tema: Problemas de ángulos 1. Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC cuya diferencia es 40º. Hallar el ángulo formado al trazar la bisectriz de ∠ AOC con el lado común OB.

9. Tres ángulos que suman 180º se encuentran en progresión aritmética cuya razón es 12º25’. Hallar el menor. 10. Hallar el valor de un ángulo sabiendo que el suplemento de su complemento es 6 veces dicho ángulo.

2. Sobre una recta XY se toma un punto O, y a un mismo lado de ella se trazan las semirrectas OB y OA. Si OM es la bisectriz de ∠ YOB, ON la bisectriz de ∠ XOA y ∠ MON mide 120º. Hallar el valor de∠ AOB.

11. ¿Cuál es el ángulo cuyo suplemento disminuido en la mitad del complemento nos da 111º?

3. En un ángulo recto AOB se traza una secante MON si se cumple que ∠ MOB ∠ MOA = 10º. Hallar el∠ AON.

12. La diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es seis veces el ángulo. Hallar el suplemento del complemento del ángulo.

4. La diferencia de los ángulos formados por las bisectrices de los ángulos par lineal y el lado común es 8º. Hallar el menor ángulo del par lineal.

13. Se tienen dos ángulos suplementarios, si al menor se le quita 15º26’ para ponérselo al mayor, la medida de este es tres veces lo que queda del otro. Hallar el menor.

5. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD que suman 180º. Hallar el ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOC y BOD si el ángulo BOC mide 110º.

14. Si al suplemento de un ángulo se le disminuye el sextuplo de su complemento, resulta la mitad del valor del ángulo. Hallar el suplemento del suplemento del compemento del complemento del complemento del ángulo.

6. Se dan los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD cuya suma es 90º. Hallar el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD, sabiendo que ∠ BOC = 42º.

15. La suma de dos ángulos es 80º, el complemento del primero es el doble del segundo. Hallar el suplemento del mayor.

7. Se tiene un ángulo recto AOB y una secante COD, si el ángulo AOC = 3(BOD). Hallar el ∠ BOD

16. La diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es seis veces la medida del ángulo. Hallar el suplemento del complemento del ángulo.

8. Alrededor de un punto O se trazan los rayos OA, OB, OC, OD y se forman cuatro ángulos cuya suma es 360º, si ∠ AOC = ∠ COD=2 ∠ BOC, 3 ∠ AOB, ∠ DOA=2 ∠ COD. Hallar ∠ COD.

17. La suma del complemento de un ángulo con el suplemento de su ángulo doble equivale al complemento de su ángulo mitad. Encontrar el complemento de los

5 de dicho ángulo. 4

ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE L3

3

5 7

6 8

1 2 4

L1

L2


29

-

Angulos alternos internos: ∠ 3 y ∠ 6 ∠ y ∠

-

Angulos alternos externos: ∠ 1 y ∠ 8 ∠ y ∠

-

Angulos correspondientes: ∠ 1 y ∠ y ∠ y ∠ y

-

Angulos conjugados internos: ∠ 3 y ∠ 5 ∠ y ∠

-

Angulos conjugados externos: ∠ 1 y ∠ 7 ∠ y ∠

∠5 ∠ ∠ ∠

T Ejemplo 1: En la figura L1 y L2 son paralelas.

1

a) Hallar la medida de dos ángulos conjugados internos, sabiendo que uno de ellos tiene como medida la cuarta parte del otro. b) Hallar la medida de cada uno de los demás ángulos.

3

4 5 6

2 y

L1

x L2

Ejemplo 2: En la figura L1 // L2. Halla el valor de los ocho ángulos. L3 x + 10º

L1

3x - 30º L2

Ejemplo 3: PA // QC // RF ; PB // QD //RE ; ∠ α = 132º18’ ¿Cuánto miden los ∠ P, ∠ Q y ∠ R? y ¿por qué? E P

A C

Q

α

R

F D

D


30

Ejemplo 4: En la figura L // M. Halla la medida del ángulo A. 12º

L X

B

A

78º

30º

M

Ejemplo 5: Si AB // CD, entonces hallar X= A

X+10

(Admisión UNJBG 98-II)

B

30 - X 2 X+20 70 - X 3 X+ 30

C

D

Ejemplo 6: En la figura L1 // L2, calcular “x” A) 60º B) 75º

C) 85º

D) 95º

E) 105º

290º 20º X

65º

340º


31

Ejemplo 7: Calcular el valor de “x”, si ABC es un triángulo equilátero y L1 // L2 (Admisión UNJBG 200-fase1) A) 110º B) 125º C) 135º D) 145º E) 155º

B L1

x C

L2

15º

A

Ejemplo 8: En la siguiente figura las rectas “m” y “n” son paralelas Si α + β = 236º , calcular “x” A) 120º

B) 62º

C) 90º

β

D) 124º

E) N.A.

(Admisión UNJBG 2000-II fase II)

m

x

n

α


32

Ejemplo 9: Si m//n//r. Hallar “x” (Admisión UNJBG 2000-II fase II) A) 4 B) 3 C) 5 D) 6 E) 2 m x

2 n

3x + 2

2y +1

6

l

y r

Ejemplo 10: En la figura, si m//n//l y AB//CD. Hallar x (Admisión UNJBG 2000-II) A) 4 B) 5 C) 2 D) 3 E) 6 C

m x+1

a

n

A

2x

b

E

l

D

B

Ejemplo 11: En la figura L1 // L2 y m // n. Calcular “x” A) 62,5º B) 67,5º

C) 43,5º

D) 45º

E) 80º

m

4α 3θ

L1

θ

n X

α

L2 Profesor: Fernando Gamarra Morales.

33

Ejemplo 12: Si L1 // L2 // L5 y L3 // L4 , calcular “x” A) 140º B) 115º C) 130º D) 100º 140º

α L3

E) 90º

L1

α X

L2

β L5 10º

L4

Ejemplo 13: Del gráfico, hallar “X”, si L 1 // L2 (Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 92g B) 88g C) 88º D) 92º 110º

X

20g


34

ELEMENTOS GEOMETRICOS parten de NOCIONES de

PUNTO

PLANO

RECTA pueden ser

pueden ser

tiene

SUBCONJUNTOS

SECANTES

PARALELAS

pueden ser

SEGMENTOS

ABIERTO

SEMIRRECTA

RAYO

SEMIABIERTO

forman

PERPENDICULARES

OBLICUAS

forman

forman

pueden ser ANGULOS

OPUESTOS POR EL VERTICE

ALTERNOS EXTERNOS

COMPLEMENTARIOS

CONSECUTIVOS

SUPLEMENTARIOS

se

CLASIFICAN

OBTUSO AGUDO

CORRESPONDIENTES

CONJUGADOS INTERNOS

ALTERNOS INTERNOS

ADYACENTES

RECTO

CONJUGADOS EXTERNOS

tienen

SISTEMAS DE MEDIDAS

NULO

SEXAGESIMAL

RADIAL

LLANO


35

UNIDAD II: POLIGONOS •

Definición: ......................................................................................................................................

................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................ •

Clasificación.-

A) De acuerdo a su región interior.1. Convexos: Si está formado por ángulos convexos.

2. No convexos: (Cóncavos) si tienen por lo menos un ángulo no convexo.

B) De acuerdo al número de lados.NOMBRE

LADOS

Triángulo. Cuadrilátero. Pentágono. Hexágono.

NOMBRE

LADOS

Heptágono. Octógono. Nonágono. Decágono.

NOMBRE

LADOS

Undecágono. Dodecágono Pentadecágono. Icoságono.

C) De acuerdo a sus medidas: Equilátero: Si todos sus lados son congruentes (de igual medida) Equiángulo: Si todos sus ángulos son congruentes. Regulares: Si son equiláteros y equiángulos. Irregulares: Si no son regulares.

RELACIONES FUNDAMENTALES DE UN POLIGONO CONVEXO Si = 180º (n – 2) 1) .............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................... Profesor: Fernando Gamarra Morales.

36

•

NOTA.- La suma de los ángulos externos de todo POLÍGONO CONVEXO es 360º

Ejemplo 1: La suma de los ángulos de un polígono de “n” lados es igual a 180º(n -2). ¿Cuál será el número de lados de un polígono cuyos ángulos suman 1800º? (Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua). A) 6 B) 8 C) 10 D) 12

Ejemplo 2: El polígono regular cuya suma de sus ángulos internos y la suma de sus ángulos externos están en la relación como 8 es a 2, se denomina: (Admisión UNSA 99) A) Decágono B) Dodecágono C) Eneágono D) Endecágono E) Icoságono

2) ............................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................

ai =

180º(n − 2 ) n

Ejemplo 1: Cada ángulo interno de un triángulo regular (equilátero) mide:

Ejemplo 2: ¿Cuánto mide cada ángulo interno de un pentágono regular?


37

Ejemplo 3: El ángulo formado por las mediatrices (segmento perpendicular trazado desde el punto medio del lado de un polígono) de dos lados consecutivos de un polígono regular es 18. Hallar el número de lados. (Admisión U. de Lima 99-I) A) 18 B) 20 C) 12 D) 24 E) N.A.

3) ........................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................

ae =

360 º n

Ejemplo 1: ¿Cuánto mide cada ángulo exterior de un triángulo equilátero (regular)?

Ejemplo 2: ¿Cuánto mide cada ángulo exterior de un octógono regular?

4) El número máximo de diagonales de un POLÍGONO CONVEXO de n lados es:

D=

n(n − 3) 2

Ejemplo1: ¿Cuántas diagonales como máximo tiene un hexágono?


38

Ejemplo2: Si al duplicar el número de lados de un polígono, su número de diagonales queda multiplicado por 7. El polígono se llama: (Admisión UNFV 99) A) Octógono B) Exágono C) Decágono D) Dodecágono E) Pentágono

Ejemplo3: ¿Cómo se llama el polígono regular en el cual se puede trazar como máximo 135 diagonales? ¿Cuánto mide cada ángulo interno? ¿Cuánto mide cada ángulo externo? ¿Cuál es la suma de sus ángulos internos? ¿Cuál es la suma de sus ángulos externos?

PRÁCTICA Nº 4 Tema: Polígonos 1. Si el número de lados de un polígono regular aumenta en 10 cada ángulo del nuevo polígono es 3º mayor que cada ángulo del original. A) 25 B) 27 C) 20 D) 16 E) 30 2. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un polígono regular de 18 lados? A) 138º B) 160º C) 120º D) 118º E) 145º 3. ¿Cuál es el polígono convexo en el que el número de diagonales es mayor en 133 que el número de lados? A) El de 19 lados. B) El de 23 lados. C) El de 16 lados. D) El de 24 lados.

E) El de 25 lados. 4. La suma de los ángulos internos de cierto polígono regular excede a la suma de los ángulos externos en 900º. ¿Cuántos lados tiene el polígono? A) 16 B) 18 C) 9 D) 12 E) 5 5. ¿Cuántos lados tiene el polígono que tiene 119 diagonales? A)13 B) 15 C) 17 D) 14 E) 16 6. La medida del ángulo interior de un polígono regular de 24 lados, es: A) 125º B) 145º C) 165º Profesor: Fernando Gamarra Morales.

39 D) 105º

E) 115º

7. Hallar el número de lados de un polígono regular, de lado igual a 4 cm si el número de diagonales es cuatro veces su perímetro, expresado en centímetros. A) 35 B) 30 C) 25 D) 32 E) 28 8. ¿Cuántos lados tiene e polígono regular cuyo ángulo interno es (p+15) veces el ángulo exterior, y además se sabe que el número de diagonales es “135p”. A) 80 B) 85 C) 90 D) 95 E) 100 9. Dadas las siguientes proposiciones: (I) Cada ángulo exterior de un hexágono mide 120º. (II) En el decágono se pueden trazar 36 diagonales. (III) El polígono regular cuyos ángulos exteriores miden 36º es un decágono. Son verdaderas: A) Sólo I y III B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo III E) Sólo II y III

10. Se

tiene un polígono regular cuyo semiperímetro es “P” y en el cual el número que expresa su perímetro es el mismo que el que expresa su número de diagonales. Además su ángulo interior es p veces su ángulo exterior. ¿Cuánto mide el lado del polígono regular? A) 1/3 B) 1/5 C) 1 D) ¼ E) ½

11. Un ángulo exterior de un polígono regular mide 1º7’30”. ¿Cuántos lad os tiene el polígono?

12. El polígono

convexo cuyo número de diagonales se multiplica por 7 al duplicar el número de lados es:

13. Hallar el número de lados de un polígono en el

que si se aumentara 12º a cada ángulo interno, resultaría un polígono de un lado más.


40 TRIÁNGULO es un

POLÍGONO que tiene

TRES LADOS

TRES ÁNGULOS

se

CLASIFICAN según

según

ÁNGULOS

LADOS

EQUILÁTERO

si Sus tres lados son congruen tes.

ISÓSCELES

si

Sólo dos de sus lados son congruent es.

ESCALENO

RECTÁNGULO

si

OBLICUÁNGULO

si

Ningún par de lados son congruent es.

Uno de sus ángulos mide 90º.

si

No es rectángulo . se

SUBCLASIFICAN

en

ACUTÁNGULO

si

Sus tres ángulos son agudos.

OBTUSÁNGULO

si

Uno de sus ángulos mide más de 90º


41

SEGÚN SUS LADOS

SEGÚN SUS ÁNGULOS

-

Equilátero:

-

Rectángulo:

-

Isósceles:

-

Oblicuángulo:

a) Obtusángulo:

-

Escaleno

b) Acutángulo:

LINEAS NOTABLES EN EL TRIANGULO 1. LA MEDIANA: ........................................................................................................................................................ .......................................................................................................................................................


42

2. LA ALTURA: .................................................................................................................................................. ...................................................................................................................................................

3. LA MEDIATRIZ: .................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................


43

4. LA BISECTRIZ: ...................................................................................................................... ..................................................................................................................................................

• CEVIANA: .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................

•

TEOREMA: En el triángulo equilátero, las líneas notables relativas a cualquier lado son

......................................................................................................................................................... •

TEOREMA: En el triángulo isósceles, las líneas notables respecto al lado no congruente (base)

........................................................................................................................................................


44

•

TEOREMA: En un triángulo rectángulo, la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa, es igual a la mitad de la hipotenusa.

Ejemplo 1: La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 160 cm. ¿Cuál es la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa?

Ejemplo 2: Un cateto de un triángulo rectángulo mide 120 cm y la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa es 75 cm. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?

Ejemplo 3: Si α − β = 30º , entonces α =? A) 30º

B) 60º

C) 45º

(Admisión UNJBG 2000- fase 1) D) 90º E) 53º

C

A

β

α

o

B

r

Ejemplo 4: En un triángulo rectángulo la distancia del ortocentro al circuncentro es 10 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa? (Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 20 cm B) 18 cm C) 16 cm D) 5 cm


45

TRIÁNGULOS NOTABLES

•

Resuelve los siguientes triángulos notables.-

60º 3 45º

53º 5

24

30º 9

45º 37º

8

3 5


46

45º 4

3

3

53º 2

2

30º

2

Ejemplo 1: En un triángulo rectángulo EFG, recto en G, el ángulo E mide 30º. Si EG mide 60 cm, entonces FG mide: A) 30 3 cm

B) 20 3 cm

C) 60 3 cm

D) 40 3

E) N.A.

Ejemplo 2: La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC, recto en C, es de

8 2 m. Si el ángulo B es de 60º, entonces AC mide: A) 4 6 m B) 4 2 m C) 4 3 m

D) 4 5 m

E) N.A.

Ejemplo 3: La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo e isósceles es de 6 2 cm. Entonces cada cateto mide: A) 3 2 cm

B)

6

D) 3 6 cm

C) 6 cm

E) N.A.

Ejemplo 4: Si cada cateto de un triángulo rectángulo isósceles mide 4 8 m, entonces el perímetro, en metros, del triángulo es de: A) 16 +

8

B) 8 + 16 2

(

C) 8 1 + 2

)

(

D) 16 1 + 2

)

E) N.A.


47

Ejemplo 5: La altura de un triángulo equilátero mide 8 m. Halla el lado.

Ejemplo 6: Los ángulos iguales de un triángulo isósceles miden 30º y los lados iguales miden 8 m. Halla la base.

Ejemplo 7: La hipotenusa de un triángulo rectángulo de ángulos de 30º y 60º mide 20 6 . Halla el perímetro del triángulo.

Ejemplo 8: Un triángulo rectángulo isósceles tiene por base la hipotenusa y su altura respecto a ella es de 10 m. Halla el cateto.

Ejemplo 9: En un triángulo rectángulo isósceles de 20 2 u de hipotenusa, la suma de sus tres alturas es: (Admisión UNSA 99) A) 10 4 − 2 u B) 10 4 + 2 u C) 10 3 + 2 u D) 10 3 − 2 u E) 10 5 + 2 u

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)


48

Ejemplo 10: Si M es punto medio de BC, hallar MN en la figura: (Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 2 2

B)

2

D) 2,5 2

C) 2

C

M

30º

A

45º B

N

Ejemplo 11: Se tiene un triángulo ABC recto en C de manera que el ángulo A mide 60º. Si la altura relativa al lado AB mide

9 , hallar la longitud de la mediana que parte de C. 8 (Admisión PUCP 99-II)

A)

3

B)

3 2

C)

3 3

D)

3 3 2

E)

5 3

Ejemplo 12: Se tiene una circunferencia de radio 10 circunscrita a un triángulo equilátero. Hallar el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. (Admisión PUCP 99-II) A) 10

B) 15

C)

10

D) 5

E) 5 3

.


49

Ejemplo 13: En un triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa mide lo mismo que un cateto. Uno de los ángulos agudos mide: (Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 45º B) 20º C) 15º D) 30º

Ejemplo 14: Halle el valor del segmento “X”. Si el triángulo ABC es equilát ero, de lado igual a 16 3 m y “P” es el punto medio del segmento AB.

3 m. B) 4 3 m.

C

A) 5

C) 12 m. D) 15 m. E) 10 m.

S

T

X A

(Admisión UNFV 99)

R

B

P

Ejemplo 15: En un triángulo ABC, BC mide 2 m. Determinar AC si la medida de los ángulos A y C son 45º y 60º respectivamente. (Admisión U. de Lima 99-I) A)

3 +1

B)

3 -1

C) 1,5

D)

2 +1

E) N.A.


50

Ejemplo 16: “O” es el centro de la circunferencia y el ∠ FOK = 45º. Hallar la relación

KL . JK

(Admisión PUCP 99-I) A) 4 -

2

B)

4− 2 2

C) 3 - 2 2

D)

2 -1

E)

3−2 2 2

F

J

O

L

K

Ejemplo 17: Se tiene un triángulo equilátero ABC. Si P es un punto interior arbitrario del triángulo, desde el cual se trazan las perpendiculares PD, PE y PF a los lados BC, CA y AB, respectivamente. ¿Qué valor numérico tendrá la relación:

PD + PE + PF ? BD + CE + AF

(Admisión UNSA 99)

A)

2 2

B)

2 3

C)

3 2

D)

3 3

E)

6 3

PRÁCTICA Nº 5 Tema: Triángulos Notables 1. En la figura CB = 45. El segmento RS vale aproximadamente: C

S

30º A

60º R

B

A) 26,5 B) 20,7 C) 25

D) 26 E) 27

2. Uno de los lados de un triángulo es el doble de otro y el ángulo comprendido mide 60º. Entonces, los otros dos ángulos miden: A) 75º y 45º B) 80º y 40º C) 70º y 50º D) 30º y 90º E) N.A. 3. El perímetro de un triángulo equilátero mide 144 pulgadas; desde el vértice superior se traza la altura correspondiente y


51

desde el pie de dicha altura, se traza a su vez la perpendicular a cualquiera de los otros dos lados del triángulo. Hallar la longitud aproximada de esta última perpendicular. 24,40 pulg. B) 54,00 pulg. C) 20,54 pulg. D) 20,70 pulg. E) 20,56 pulg. 4. Dentro de un triángulo equilátero se ha tomado un punto arbitrario P, desde el cual se han bajado las perpendiculares PD, PE y PF a los lados BC, CA y AB respectivamente. Hallar:

PD + PE + PF BD + CE + AF 1 1 1 1 A) B) 3 C) D) E) 3 2 3 2

5. En un triángulo ABC, la base: AB=20 m; el ángulo A=30º y el ángulo B=105º. Calcular la longitud de la altura relativa al lado AB, base del triángulo. 12,65 m B) 14,25 m C) 12,25 m D) 13,65 m E) 13,75 m 6. En un triángulo ABC, la base AB=12 m, ∠ A=30º y ∠ B=105º. Hallar la longitud,

en metros, de la altura relativa al lado AB del triángulo. A) 8,19 m B) 8,4 m C) 9,19 m D) 8,2 m E) 7,2 m 7. En un triángulo ABC, AC = 10 cm, ∠ A = 2 ∠ B, y la longitud desde el pie de la altura trazada del vértice C hasta el punto B es igual a 15 cm, luego el ángulo C vale:

π 8 π D) 2 5 A) 3

π 4 π E) 3 7

B) 3

C)

π 2

8. Al resolver el triángulo siguiente (donde AM: mediana). El ángulo x es: A

x

30º B

15º M

C

45º B) 30º C) 60º D) 75º E) 15º

RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO 1. TEOREMA.- ...................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. x

A

B

y

C

Ejemplo 1: Un ángulo de un triángulo mide 84º y el otro π /5 radianes. Hallar la medida del tercer ángulo en radianes. (Admisión PUCP 99-II) A) 7 π /5 B) 2 π /3 C) π /3 D) π /6 E) N.A.


52

Ejemplo 2: En la figura, calcular el valor del ángulo X si AD y BC son bisectrices de los ángulos A y C respectivamente. (Admisión UNMSM 99) A) 130º

B) 100º

C)120º

D) 70º

E) 110º

B D

X 60º 20º A

C

Ejemplo 3: En la figura, calcular la medida del ángulo α , si L1 es paralela a L2. A) 30º

B) 20º

C) 15º

D)25º

E) 10º

(Admisión UNFV 99)

L1 L2

80º

α 245º

Ejemplo 4: En un triángulo ABC de hipotenusa BC, la bisectriz AM mide igual que el cateto AB. Determinar la medida del ángulo C. (Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 30º B) 37º30’ C) 22º30’ D) 18º30’

Ejemplo 5: En el polígono regular de la figura, hallar la medida del ángulo “m”. (Admisión PUCP 99-II) A) 36º B) 108º C) 72º D) 48º E)120º

m


53

Ejemplo 6: En la figura hallar el valor de “X”. Si L // M. (Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 20º B) 15º C) 18º D) 12º 3x

L x 4x M

3x

Ejemplo 7: En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BP. Si AB = BP = PC. ¿Cuánto mide el ángulo A? (Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 72º B) 64º C) 36º D) 32º

Ejemplo 8: “O” es el punto de intersección de las rectas AD , BE y CF . Hallar la suma de los ángulos A, B, C, D, E y F. (Admisión PUCP 99-I) A) π B) 2 π C) 4 π D) 3 π E) 4 π /3 C B O

A

D

F E

Ejemplo 9: En la figura el triángulo ABC es equilátero y L1 es paralela a L2. Hallar el ángulo “x”. (Admisión U. del Callao 99-II) A) 45º B) 50º C) 30º D) 60º E) 90º B

5x

A

C

L1

4x

Profesor: Fernando Gamarra Morales. L2

54

Ejemplo 10: En un triángulo ABC se traza desde B la altura BE, luego desde E se trazan las perpendiculares EF y EG a los lados AB y BC respectivamente. Se desea saber la medida del ángulo FGE, conociendo además que el ángulo ABC mide 82º y que el ángulo EFG mide 25º.

Ejemplo 11: En la siguiente figura se tiene: FE = BE. Si A) 72º

B) 144º

C) 108º

∠ EFB = 72º, calcular x:

D) 54º

E) 90º


B

F

72º

E X

A

•

D

C

Corolario: ........................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

Ejemplo 1: En un triángulo isósceles, el ángulo opuesto a la base mide 114º. Hallar la medida del ángulo formado por la bisectriz de uno de los ángulos de la base y la altura relativa a dicha base.


55

Ejemplo 2: En el triángulo ABC, ∠ B = 38º y ∠ C=21º. Desde B se traza la altura que corta a la prolongación de CA en D y desde C se traza la altura que corta a la prolongación de BA en E. Ambas alturas se cortan en F. Cumplidas estas condiciones el ∠ F mide: A) 56º B) 54º C) 59º D) 60º E) 58º B

A

C

2. TEOREMA.- ..................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ B

A

•

C

Corolario: ........................................................................................................................................

................................................................................................................................................................. Ejemplo 1: El ángulo no congruente de un triángulo isósceles mide 36º40’. La medida del ángulo externo del triángulo formado por la prolongación de la base y un lado congruente es: A) 108º30’ B) 106º20’ C) 106º40’ D) 108º20’ E) N.A.

Ejemplo2: En un triángulo ABC se traza la altura CM y la bisectriz exterior del ángulo C que corta a la prolongación de BA en P. Si ∠ A – ∠ B = 26º; calcular ∠ PCM. (Admisión U. de Lima 99-I) A) 64º B) 56º C) 77º D) 88º E) N.A.


56

Ejemplo 3: En la figura hallar el ángulo BDA sabiendo que el ángulo B – C = 70º y que AD es bisectriz del ángulo A. (Admisión UNSA 98) A) 60º B) 55º C) 110º D) 70º E) 50º A

B

C

D

Ejemplo 4: En el dibujo, la semirrecta OB es bisectriz del ángulo AOC y la semirrecta OC es bisectriz del ángulo BOD. Hallar la medida del ángulo CAO. El ángulo en D mide 30º y el ángulo en F mide 120º. (Admisión PUCP 99-II) A) 15º B) 30º C) 45º D) 75º E) 60º O

120º

L

F

L // L’ 30º

A

C

B

D

L’

Ejemplo 5: En una circunferencia con centro en M y radio r se traza una cuerda AB que no contiene a M. Se prolonga AB hasta C de modo que BC = r y se prolonga CM hasta D sobre la circunferencia. Si AMˆ D = t ACˆ D , entonces t es igual a: (Admisión UNI 99-II) A) 3/2 B) 2 C) 5/2 D) 3 E) 7/2

.


57

Ejemplo 6: Si L1 // L2, calcular “X” A) 65º B) 130º

40º

D) 120º

E) 160º

X

φ

φ

Ejemplo 7: Si L1 // L2, calcular “X” A) 90º B) 72º

α

C) 115º

α

C) 60º

D) 100º

E) 120º

L1

2β

X

2β

α α

L2

Ejemplo 8: En la figura AB ≅ BD , ∠ DBC = 33º , ∠ AOD = ? A) 72º B) 74º C) 71º D) 70º E) 73º B X E O

A

X

X D

C


58

3. TEOREMA.- ..................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................

X

Ejemplo 1: En un triángulo ABC se trazan las bisectrices de los ángulos A y C. Hallar la medida del ángulo formado por las dos bisectrices, sabiendo que la suma de los ángulos externos de A y C es de 284º.

4. TEOREMA.- ..................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. X


59

Ejemplo 1: En un triángulo ABC, el ángulo formado por la bisectriz interior del ∠ A y la bisectriz exterior del ∠ C mide 28º. Se sabe que ∠ A - ∠ C = 22º. Entonces el ∠ mide: A) 52º B) 53º C) 54º D) 51º E) N.A.

5. TEOREMA.- ..................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. X

6. TEOREMA.- ..................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. X


60

Ejemplo 1: En el triángulo ABC, BD es bisectriz; BE es altura. BF y CF son bisectrices exteriores. m ∠ F = 62º , m ∠ EBD = 9º , m ∠ ACB = ? A) 36º B) 37º C) 39º D) 38º E) N.A. F

B

α

α

β A

E

D

β C

Ejemplo 2: En el triángulo ABC, BO y AO son bisectrices. AP es altura; ∠ A = 54º , ∠ B = 84º. Por lo tanto ∠ AQO es: A) 48º B) 47º C) 44º D) 49º E) N.A. B P Q X

O C

A

•

TEOREMA.Si

B

en el ∆ABC AC > AB ∠ B es opuesto a AC ∠ C es opuesto a AB

Entonces ∠ B > ∠ C

C

A

Si ............................................................................................................................................................ Entonces ................................................................................................................................................ ...............................................................................................................................................................


61

•

TEOREMA DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DE UN TRIANGULO.-

En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es mayor que la longitud del tercer lado B

Si en el ∆ ABC las longitudes de los lados AB, BC y AC son los números c, a, y b respectivamente.

a

c

Entonces A

•

C b

COROLARIO: En todo triángulo la longitud de un lado cualesquiera, es mayor que la diferencia de los otros dos lados.

Ejemplo 1: De todos los triángulos, dos de cuyos lados miden 2 cm y 4 cm, halle los que tienen la propiedad de que su tercer lado tiene por longitud un número entero y señale Ud. a que es igual la suma de los perímetros de los triángulos hallados. (Admisión UNMSM 91) A) 28 cm B) 30 cm C) 24 cm D) 26 cm E) 25 cm

Ejemplo2: ¿Cuál es el mayor valor entero de la variable “x” para que el triángulo de la figura exista? (Admisión UNJBG 2000-II) A)5 B) 6 C)4 D) 7 E) 8 C

3

2

B

A

x −1 2


62

Ejemplo 3: ¿Cuál es el perímetro del mayor triángulo equilátero cuyos lados son números enteros construidos sobre el lado mayor de un triángulo cuyos otros lados miden 2m y 9m? (Admisión UNJBG 2000-II) A) 27 B) 24 C) 30 D) 33 E) 36

PRÁCTICA Nº 6 Tema: Relaciones métricas en el triángulo (I parte) 1. En cierto triángulo isósceles, el ángulo opuesto a la base mide 162º. ¿Cuánto mide el ángulo agudo formado por la bisectriz de uno de los ángulos iguales del triángulo, con la altura relativa a la base? A) 85º B) 75º C) 75º30’ D) 85º30’ E) 81º

2. La bisectriz del ángulo recto de un triángulo rectángulo y la mediatriz de su hipotenusa forman un ángulo de 12º30’. ¿Cuánto mide el ángulo que forman la hipotenusa con la bisectriz del ángulo menor? A) 22º30’ B) 16º15’ C) 18º45’ D) 25º E) 12º30’

3. En un triángulo ABC, la diferencia de los ángulos A y B es de 76º30’. La bisectriz del ángulo C corta al lado opuesto en D. Hallar el ángulo formado por la bisectriz y el segmento DB. A) 38º15’ B) 47º30’ C) 51º45’ D) 54º45’ E) 56º45’

4. AB y AC son los lados iguales de un triángulo isósceles ABC en el que se inscribe un triángulo equilátero DEF con vértice D sobre AB, E sobre AC y F sobre BC. Si a es el ángulo BFD, b es el ángulo ADE y c es el ángulo FEC:

a+c 2 b−c C) a = 2 b + 2c E) a = 2 A) b =

a−c 2 b+c D) a = 2 B) b =

5. La bisectriz de uno de los ángulos de un

triángulo escaleno forma con el lado opuesto dos ángulos que son entre como 7:13. Determinar el menor de los ángulos del triángulo, asumiendo que la medida en grados de cada uno de los tres es un número entero menor que 80º. A) 76º B) 25º C) 79º D) 78º E) 24º

6. El ángulo ABC de un triángulo ABC mide 70º y el ángulo BCA mide 13º. ¿Cuál es el menor ángulo que forman entre si, las alturas bajadas de los vértices B y C? A) 83º B) 76º C) 72º D) 68º E) N.A. 7. El ángulo del vértice de un triángulo isósceles mide 42º28’. ¿Cuál es el valor del ángulo exterior formado por uno de los lados iguales y la prolongación de la base? A) 68º46’ B) 111º14’ C) 111º D) 68º E) 70º46’ 8. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, están en la relación3/5. El valor del ángulo que forman la mediana y la altura que parten del vértice del ángulo recto, es: A) 30º B) 22,5º C) 42,5º D) 32º E) NA 9. En un triángulo ABC la bisectriz interior trazada por A forma con la bisectriz exterior del ángulo C un ángulo de 36º, sabiendo que ∠ A - ∠ C = 20º. Calcular ∠C A) 44º B) 88º C) 36º D) 64º E) 72º


63

10. En un triángulo ABC, la medida del ángulo exterior en el vértice B es el triple de la medida del ∠ C, la mediatriz de BC corta a AC en el punto F. Siendo FC = 12m. Calcular AB. A) 24 B) 16 C) 12 D) 8 E) 10

14. En el triángulo isósceles ABC de la figura, donde AB = BC, se cumple que α + β = 60° , siendo AN y BM bisectrices de los ángulos A y B, respectivamente. Determinar la medida de

(δ + β ).

11. En el siguiente triángulo, calcular el valor del ángulo que es el complemento del suplemento de θ

B

B

A) 20º

β

B) 15º C) 40º D) 32º E) 35º

40º

N

θ

α A

α

β β

α

A

C

A) 40º D) 220º

B) 20º E) 80º

C) 110º

12. En la figura; RS biseca el ángulo PRQ, luego podemos afirmar: R

E

β T N

p P

α

q S

Q

M

1 1 ( p − q) B) β = ( p + q ) 2 2 1 1 C) α = (q − p) D) α = β 2 2 1 E) β = (α + p) + 15° . 2 A) β =

13. Los ángulos interiores de un triángulo son: α , β , γ y δ es otro ángulo tal que: β + δ = 180° . Además: δ − β = 15° y γ − α = 15° . Entonces γ es: A) 54º15’ B) 56º30’ C) 56º15’ D) 62º30’ E) 56º12’

M

C

15. En un triángulo ABC se tiene que : ∠ ABC = 3 ∠ ACB. AH : Altura trazada desde A. AD: Bisectriz del ángulo BAC. Entonces la medida del ángulo HAD es: A) ∠ ACB B) 3 ∠ ACB C) ½ ∠ ACB D) 2/3 ∠ ACB E) 2 ∠ ACB 16. Sea el triángulo ABC en el cual el ángulo ABC = 64º , el ángulo ACB = 72º y sean BM y CP bisectrices de los ángulos ABC y ACB respectivamente, BM y CP se cortan en el punto Q; BH es la altura trazada desde B. Hallar la medida de los ángulos BQC y MBH. A) 112º y 16º B) 120º y 12º C)110º y 14º D) 110º y 12º E) 112º y 14º 17. Se dan dos rectas oblícuas a y b, una secante que las corta en los puntos A y B, formando con ellas ángulos correspondientes de 85º y 75º respectivamente. Escogiendo sobre AB (más cercano de B que de A) un punto X y tomando sobre la recta a el segmento AY = AX y sobre la recta b el segmento BZ = BX ambos hacia donde convergen a y b la medida del ángulo ZXY, será : A) 75º B) 80º C) 100º D) 90º E) 95º


64

RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO (II PARTE) B

1. TEOREMA.SI en el ∆ ABC E ∈ AB; AE ≅ EB

E

L

F

L // AC; L corta a BC en F ENTONCES BF ≅ FC

C

A

SI ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ENTONCES .......................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ B

2. TEOREMA.SI en el ∆ ABC E y F son puntos medios ENTONCES EF =

E

F

1 AC 2 C

A

............................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. -

Ejemplo 1: En la figura, BE y BF son perpendiculares a las bisectrices de A y C respectivamente. Si AB = 36 m, BC = 35 m y AC = 30 m; entonces EF mide: A) 20,5 B) 24 m C) 21,5 D) 22 m E) N.A. (Sug. ¿BAK es isósceles?, AB = BK; pero AC = 30; ¿BCH es isósceles?, BC = HC, AC = 30; ¿E y F son puntos medios?...........) B

F

E

α α H

A

β β

Profesor: Fernando Gamarra Morales. C

K

65

3. TEOREMA.SI en el ∆ ABC, ∠ B = 90º ENTONCES BE =

1 AC 2

4. TEOREMA.SI en el ∆ ABC AB ≅ BC AD es altura PQ ⊥ AB; PR ⊥ BC. ENTONCES PQ + PR = AD

-

Ejemplo 1: En un triángulo isósceles AB ≅ BC. Por un punto P del lado AC se traza PE ⊥ BC, PF ⊥ AB, AG ⊥ BC. Si PE = 4 m y PF = 6 m ¿Cuál es la longitud de AG? A) 12 m B) 9 m C) 11 m D) 10 m E) N.A.

-

Ejemplo 2: En la figura el triángulo ABC es rectángulo. BD es mediana, EF = 10 m, EG = 12 m. Entonces BH mide: A) 20 m B) 21 m C) 18 m D) 22 m E) N.A. B

E

A

G H

D

F

C


66

5. TEOREMA.SI el ∆ ABC es equilátero. OE, OF y OG son segmentos perpendiculares BH es la altura del triángulo ENTONCES

.................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................

6. TEOREMA.-

B

SI en el ∆ ABC AE y CF son medianas O es el baricentro ENTONCES OE =

1 AE 3

OA =

2 AE 3

-

O C

A

Ejemplo 1: En el triángulo rectángulo ABC, BD y AE son medianas. Si AC = 180 m, entonces FB mide: A) 120 m B) 110 m C) 90 m D) 100 m E) N.A.

PRÁCTICA Nº 7 Tema: Relaciones métricas en el triángulo (II parte) 1. Resolver el triángulo: a = 21 m , b = 32m , ∠ A = 115º. A) c = 40 m, B = 30º, C = 35º. B) c = 35 m, B = 25º , C = 40º.

C) Faltan datos. D) c = 28 m , B = 35º , C = 30º. E) No hay solución, es imposible.


67

2. La estatua de Pizarro, en un día de verano arroja una sombra mayor que su altura. El ángulo formado por los rayos solares con la horizontal, será menor que: A) 45º B) 40º C) 60º D) 30º E) 35º 3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? Un triángulo se puede resolver si se conocen: A) 1 lado, 2 ángulos. B) 2 lados y el ángulo comprendido. C) Los tres lados. D) 2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. E) 3 ángulos. 4. En el triángulo ABC, AB = 12, AC = 7 y BC = 10. Si las longitudes AB y AC se duplican, mientras que BC permanece constante, entonces se cumple: A) La altura trazada desde A, se duplica. B) La nueva figura no es un triángulo. C) El área del triángulo se duplica. D) El área del nuevo triángulo es 4 veces el área original. E) La mediana trazada desde A queda invariable. 5. El triángulo ABC es isósceles; el lado desigual es BC. La altura trazada desde el vértice C mide 12 cm P es un punto cualquiera en el lado BC. La suma de las distancias de P a los lados iguales, es: A) 16 cm B) 14 cm C) 12 cm D) 10 cm E) 8 cm 6. Se selecciona un punto al azar dentro de un triángulo equilátero, y desde tal punto se trazan perpendiculares a los lados. La suma de estas perpendiculares es: A) Mínima cuando el punto es el centro de gravedad del triángulo. B) Mayor que la altura del triángulo. C) Igual a la altura del triángulo. D) La mitad del perímetro del triángulo. E) Máxima cuando el punto es el centro de gravedad del triángulo. 7. Si desde un punto contenido en un triángulo, trazamos perpendiculares a dos de los lados del triángulo. El ángulo que forman estos dos lados del triángulo y el ángulo que forman las perpendiculares trazadas, son entre si: A) Iguales. B) Complementarios.

C) Suplementarios. D) Conjugados. E) No existe relación entre ellos. 8. En la figura; sea el triángulo ABC; AC ≅ BC; sea P un punto cualquiera de AB, y XP ⊥ AC y YP ⊥ BC. Si: XP = 5, YP = 8. Hallar la longitud de la altura BT. C

A) 15 B) 13

30 4 26 D) 3 C)

T

Y

X

E) 10 A

P

B

9. Los lados de un triángulo miden 10,12 y 14 metros. Se trazan dos bisectrices exteriores y desde el tercer vértice se trazan perpendiculares a estas bisectrices. Hallar el segmento que une los pies de las perpendiculares. A) 18 m B) 20 m C) 16 m D) 22 m E) 14 m 10. Un triángulo escaleno ABC, se traza la mediana CM. El triángulo BMC se traza la mediana BN = 9 m. Sobre AC, se toma un punto F, de modo que MF sea paralelo a BN. Hallar MF. A) 6 m D) 8 m

B) 10 m E) 5 m

C) 4 m

11. En la figura, AD y BM son medianas del triángulo rectángulo ABC y AC = 30 m. Entonces, las longitudes x e y, en metros, son respectivamente: A

M

y x B

A) 11 y 4 D) 8 y 7

D

B) 9 y 6 E) 9,5 y 5,5

C

C) 10 y 5


CUADRILATERO es un

POLÍGONO de

CUATRO ÁNGULOS

CUATRO LADOS

se

CLASIFICAN en

PARALELOGRAMO

TRAPECIO

si

TRAPEZOIDE

si

si

Sólo un par de lados opuestos son paralelos.

Sus dos pares de lados opuestos son paralelos.

Ningún par de lados opuestos son paralelos.

se

se SUBCLASIFICAN

en

ROMBOIDE

si

Tiene dos lados consecuti vos no congruentes.

RECTÁNGULO

si

Tiene cuatro ángulos rectos.

en

ROMBO

si

Sus cuatro lados son congruentes.

CUADRADO

si

Es rectángu lo y rombo a la vez.

ISÓSCELES

si

Sus lados no paralelos son congruen tes.

ESCALENO

si

Sus lados no paralelos son no congruen tes.

RECTÁNGULO

si

Sólo tiene dos ángulos rectos.

69

•

Subclasificación de cuadriláteros convexos.PARALELOGRAMOS

TRAPECIOS

a) ROMBOIDE:

a) ISÓSCELES:

b) RECTANGULO:

b) ESCALENO:

c) ROMBO:

c) RECTANGULO:

TRAPEZOIDES

d) CUADRADO:

•

Propiedad fundamental de los cuadriláteros convexos.La suma de los ángulos internos o externos de todo cuadriláteros es igual a 360º.


70

•

Teorema de la mediana de un trapecio.C

B

Si ABCD es un trapecio. M y N son puntos medios de AB y CD respectivamente

N

M

Entonces MN // AD // BC A

•

D

Teorema del segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio.(o Segmento de Mediana)

SI ABCD es un trapecio AC y BD son las diagonales. E y F son puntos medios de las diagonales.

B

C

E

ENTONCES

F

A

•

D

Propiedades.PROPIEDAD

1. Los

GRAFICO

lados y ángulos opuestos de un

paralelogramo son ..........................................

2. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en ...........................................

3. Las

diagonales

de

un

rectángulo

son

..................................... y ......................................


71

PROPIEDAD

4. Las

diagonales

de

un

GRAFICO

rombo

son

............................ y ..........................................

5. Las

diagonales

de

un

cuadrado

son

................................ y ...................................... 6. Las

diagonales

de

un

cuadrado

son

.................................. y ...................................

7. Las diagonales de un trapecio isósceles son congruentes y se intersecan en un punto del segmento que une los puntos medios de las bases.

8. En

un

trapecio

isósceles

los

ángulos

adyacentes de una misma base son congruentes.

•

Ejemplo 1: Si la altura del trapecio es igual a la base menor y AD – BC = 18 m. Hallar el lado AB. (Concurso de Matemática 99 – Moquegua) A) 15 B) 10 C) 12 D) 18 B

C

53º A

D


72

•

Ejemplo 2: El perímetro de un paralelogramo es de 52 m. El lado menor es excedido por el lado mayor es 6 m. Si la longitud de los 4 lados fueran iguales a la del lado menor, entonces el perímetro sería: (Concurso de Matemática 99 – Moquegua) A) 46 m B) 60 m C) 40 m D) 36 m

•

Ejemplo 3: Se tiene un trapecio rectángulo ABCD (ángulo C es obtuso). El ángulo formado por las bisectrices de los ángulos A y D mide 97,5º. Determinar el ángulo C si A y B son rectos. (Admisión U. de Lima 99-I) A) 115,5º B) 109,5º C) 105º D) 135º E) N.A.

•

Ejemplo 4: Si las diagonales de un rombo miden 8 m y 6 m, hallar el lado del cuadrado inscrito. (Admisión U. de Lima 99-I) A) 3,53 m B) 4,01 m C) 2,97 m D) 3,05 m E) N.A.

•

Ejemplo 5: En un trapecio isósceles ABCD, cuya base menor AB mide 20 m y el ángulo C = 60º, desde el vértice D se traza el segmento DB la cual resulta ser bisectriz del ángulo correspondiente. Hallar la longitud de los lados no paralelos. (Admisión PUCP 99-I) A) 10 3 m

B) 20 3 m

C) 20 m

D) 15 3 m

E) 40 m


73

•

Ejemplo 6: En la figura, hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales. (Admisión U. del Callao 99-II) A) 12 m B) 4 m C) 2 m D) 6 m E) 10 m B

C

12 m

A

45º

D

PRACTICA Nº 8 Tema: Cuadriláteros

1. El perímetro de un paralelogramo es de 40 cm el lado mayor excede al menor en 4 cm. Si la longitud de los 4 lados fueran iguales a la del lado mayor, entonces el perímetro sería: A) 44 cm B) 50 cm C) 48 cm D) 52 cm 2. En un paralelogramo ABCD, las medidas de los ángulos consecutivos A y B son 5x – 20º y 4x + 60º respectivamente. Entonces A +2º13’20” es: A) 60º B) 58º C) 61º D) 59º 3. La medida de cada ángulo agudo de un rombo puede expresarse de esta forma 5x + 12º o de esta 3x + 28º. La medida de cada ángulo obtuso es: A) 124º B) 118º C) 128º D) 114º 4. Las bases de un trapecio isósceles están en la relación de 3 es a 4. Si la suma de sus lados no paralelos es de 16 cm y si su perímetro es de 44 cm, entonces la base menor mide: A) 12 cm B) 14 cm C) 11 cm D) 9 cm

5. Cada lado no paralelo de un trapecio isósceles mide 18 cm. Su perímetro es de 70 cm. La longitud de su mediana es de: A) 11 cm B) 18 cm C) 19 cm D) 17 cm 6. ABCD es un paralelogramo; perímetro = 40 cm; x = ? , y = ? 2y - 2

D

C

2x

A

3x

B

7. ABCD es un paralelogramo. x=? y=? D

3x - 20º A

C x + 40º

y B


74

8. ABCD es un rombo; x=? y=? y + 20

D

ángulo A mide 47º menos que el ángulo C, entonces el mayor de los ángulos mide: A) 101º B) 112º C) 115º D) 121º E) N.A.

C

(Sug. 1º ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360º 2º ∠ D = ∠ B - 25º ; ∠ C= ...)

x

13. En un cuadrilátero convexo EFGH se trazan las bisectrices de los ángulos externos E y H, las que se intersecan en P. Si la suma de las medidas de los ángulos F y G es de 206º, entonces el ángulo P mide: A) 76º B) 77º C) 78º D) 79º E) N.A.

B

A

9. ABCD es un paralelogramo x=? y=? D

C

A

B

14. ABCD es un paralelogramo en el que BD ⊥ CD. M es punto medio de AD. Por A y B se trazan paralelas a BM y Cm respectivamente, las que se intersecan en P. Si la longitud de BC es de 32 cm, entonces AP mide: A) 6 cm B) 8 cm C) 9 cm D) 5,8 cm E) N.A.

10. ABCD es un trapecio x=? y=? B

C 105º

A

9x+5º

2x+10º

3y

C

y

B

D

11. ABCD es un rombo x=? y=?

B

(Sug. 1º Supones que el ∠ P mide x; que los ángulos externos E y H miden 2 α y 2 β respectivamente. 2º En el ∆ EPH aplicas “la suma de los ∠ s internos”. 3º En el cuadrilátero EFGH ¿ ∠ E + ∠ H = ?. 4º Aplicas “la suma de los 3 ángulos consecutivos con vértice E” y “la suma de los 3 ángulos consecutivos con vértice H”. Sumas estas dos igualdades y despejas α + β . 5º...)

D

A

12. Las medidas de los ángulos de un cuadrilátero ABCD están relacionadas de la siguiente manera: La medida del ángulo B es mayor en 25º a la del ángulo D, pero menor en 14º a la del ángulo C. Si el

A

C

D

(Sug. 1º Segun los datos, ∆ BDC y ∆ ABD son... 2º En el ∆ ABD, ¿AM =?, ¿MD =?, ¿BM=? 3º Prolonga BP y DA hasta que se intersequen en E, ∴ EBCM es ...,? EM =? 4º En el ∆ EBM aplica “segmento que une los puntos medios...”,.....)

15. En el trapecio isósceles ABCD en el que BC//AD, la mediana MN mide 72 m y el ángulo CDA es de 60º. Si las longitudes de las bases son como 3 es a 5, entonces el perímetro del trapecio es de: A) 220 m B) 214 m C) 218 m D) 216 m E) N.A. (Sug. 1º Trazas las alturas BE y CF; ¿ ∠ BAE=? 2º Supones que BC = 3x, AD = 5x. Entonces ¿AE =? ¿EF=?, ¿FD=? 3º En el


75

∆ CFD aplicas “cateto opuesto a 60º” 4º Aplicas el T. De la mediana. 5º...) 16. En un trapecio ABCD la base menor BC mide 16 m, el ángulo B es de 135º y el ángulo C es de 150º. Si la altura del trapecio mide igual que la base menor, entonces el perímetro, en metros, del trapecio es;

A) 80 + 16 2

(

B) 60 + 16

)

(

2+ 3

)

C) 80 +16 2 + 3 D) 60 + 3 (Sug. 1º Trazas las alturas BE y CF; ¿BE =?, ¿EF =? 2º ¿ ∠ ABE=?, ∴ ∆ AEB es...; ¿AE =?, ¿AB=? 3º ¿ ∠ FCD=?, ¿CD=?, ¿FD=? 4º ...)

PRÁCTICA Nº 9 Tema: Cuadriláteros (II parte) 1. Los lados AB, BC y CD de un trapecio

C

A) Es perpendicular a la diagonal BD. B) Es bisectriz del ángulo A. C) Tiene por longitud el promedio de

B

ABCD son iguales. Si AD es paralelo a BC y tiene el doble de la longitud de BC; la diagonal AC:

las longitudes de AB y AD.

D) Tiene como longitud el promedio de

las longitudes de AB y BD. en partes iguales diagonal.

E) Divide

a la

2. En un trapecio ABCD, la base menor

AB es igual a la altura BH; el ángulo A = 135º y el ángulo B = 150º. Hállese el perímetro de este trapecio teniendo presente que AB = 20 cm. A) 195,920 cm

C) 182,920 cm E) 170,500 cm

B) 200 cm D) 162,920 cm

3. En un cuadrilátero convexo ABCD, el

ángulo A = 9º y el ángulo B = 4º. Calcular el valor del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos C y D. A) 6º30’

C) 9º00’

B) 7º20’ E) 12º00’

C) 7º59’

4. En la figura, los lados AB y CD son

paralelos, si: AB = 5 y BC = 12. Hallar la longitud del segmento CD.

2θ

θ

D

A) 15 B) 16 C) 18 D) 17 E) 10

A

5. Dado un cuadrado, al unir los puntos

medios de sus lados se obtiene otro cuadrado; si se efectúa este procedimiento cuatro veces más, se tendrá un cuadrado más pequeño. Se pide la razón entre los lados del cuadrado inicial y el último que se obtuvo. B) 2 2 C) 3 2 A) 2 D) 4 2 E) 5 2

6. Se tiene un cuadrado de lado 2 cm.

Uniendo los puntos medios de los lados en forma consecutiva se obtiene un 2º cuadrado; haciendo lo mismo con el 2º se obtiene un 3º y así sucesivamente. La razón entre el lado del primer cuadrado y el noveno, es: B) 2 2 C) 2 3 A) 2 4 5 D) 2 E) 2

7. La figura 1 es un cuadrado de lado 4 m,

tomando los puntos medios de los lados AB y BC se construye la figura 2. En el segundo paso, tomando los puntos medios de los segmentos AP1 , P1 Q1 ,


76

Perimetro de A + Perimetro de B Perimetro de C

Q1 R1 y R1C se construye la figura 3. Si se efectúa este procedimiento 10 veces, calcular la longitud de la “escalera” que se obtiene. A

B

A Q1

D

fig. 1

C

D

A

P1

fig. 2

A

R1 C

D

fig. 3

B

C

C

A) 4 2 m B) 10 2 m C) 40 2 m D) 4 10 m E) 8 m 8. En la figura se muestran los cuadrados

1 1 B) C) 1 2 4 E) No puede determinarse.

A, B y C. Hallar:

A)

D) 4

UNIDAD III: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA SEGMENTOS ENTRE PARALELAS •

TEOREMA.Si tres o más paralelas determinan en una secante segmentos congruentes, Entonces determinan también segmentos congruentes en cualquier otra secante. T1 L1 A

Si L1 // L2 // L3 Son intersecadas por T1 en A,B y C respectivamente. tal que AB ≅ BC.

L2 B L3

Entonces C

•

COROLARIO 1: Si se divide un lado de un triángulo en segmentos congruentes y por los puntos de división se trazan paralelas a uno de los otros dos lados. Entonces el tercer lado queda dividido en igual número de segmentos congruentes.


77

. •

.

COROLARIO 2: Si en un trapecio se divide un lado no paralelo en partes congruentes y por los puntos de división se trazan paralelas a las bases. Entonces el otro lado también queda dividido en igual número de lados congruentes entre ellos.

. •

.

TEOREMA DE THALES.Si dos secantes son cortadas por tres o más paralelas. Entonces ......................................................................

•

COROLARIO: “Toda recta paralela a un lado de un triángulo que corta a los otros dos lados , determina sobre ellos segmentos proporcionales.


78

•

Ejem. 1.- En la figura, las rectas L1,L2 y L3 DE = 7,5 cm EF = 9 m Halla la longitud de AB y de BC. A

L1

D

L2

E

B

L3 C

•

F

Ejem. 2: En el ∆ EFG se tiene: EA = 8 cm; AF = 3 cm y EG = 16,5 cm ¿A qué distancia de E debemos ubicar B para que AB //FG? F A

E

•

G

B

Ejem. 3: En un triángulo isósceles ABC, los lados congruentes AB y BC miden 20 cm cada uno. Si por un punto P de la base AC se trazan los segmentos PE // BC y PF //AB, hallar el perímetro del polígono PEBF. B

E F

A

P

C


79

PRÁCTICA Nº 10 Tema: Segmentos entre paralelas. 1. En la gráfica AD // BE // CF. En cada caso halla el número x. a) BC = 8; DE = 6; EF = 12; AB = x b) AB = 5,6 ; DE = 4; EF = 6,8; AC = x c) AB = 8; BC = 15; EF = 22,5; DE = x d) AC = 42; AB= 12; EF= 22,5; DF = x e) AB = 10x +14; BC = 6x; DE = 16x-15; EF = x + 4. f) AB = 5x - 5; BC = 2x +1; DE = 7; EF = 4. A

D

B

F

2. En el triángulo ABC, PQ // AC. En cada caso halla el número x. a) BQ= 18; QC= 12; BP= 9; PA = x b) PA= 8; AB = 18; BQ = 6; QC = x c) BC= 15; PA= 8 QC = 10; AB = x d) PB= 3,8 ; BC= 12,4 ; PA = 4,2 ; BQ = x. e) BP = x; PA = 24-x; BQ = 5; BC = 12. f) QC = 5x+2; BC = 7x+82; PA=3; PB=10. B

P

A

S

R

C

M

E

G

4. Tres rectas paralelas determinan en una secante S los segmentos AB = 8 cm y BC = 24 cm. En otra secante S’ determinan los segmentos DE y EF. Si el segmento DF = 27 cm. La longitud del segmento EF es: A) 20,5 cm B) 20,25 cm C) 20,15 cm D) 20,1 cm E) N.A.

E

C

F

Q

C

5. Dos rectas paralelas determina en dos secantes S y S’ los segmentos AB y CD de 50 cm y 40 cm respectivamente. Si a 18 cm del punto A se ubica un punto E en el segmento AB, y por E se traza una paralela a las dos anteriores, entonces, las longitudes de los segmentos en los que se ha dividido el segmento CD son: A) 14,4 y 25,6 cm B) 14 y 25 cm C) 12 y 24,5 cm D) 12,5 y 24,5 cm E) N.A. 6. Los lados no paralelos de un trapecio miden 6 m y 9 m respectivamente. Una recta paralela a las bases, divide a una diagonal en la razón de 3 a 4. Esta misma paralela divide, al lado no paralelo de menor longitud en segmentos cuyas medidas en cm son:

16 22 y 7 7 18 25 y C) 17 7 A)

3. En el triángulo EFG, SR // CM // EG. En cada caso halla los números x e y. a) FR = 4; RM = 7; MG = 5; SC = 6; SF = x; CE = y b) FM = 18; FS = 9; SC = 21; MG = 6; FR = x; CE = y. c) FG = 36; RG = 20; SE = 15; MG = 8; CE = x; SF = y.

E) N.A.

15 23 y 17 7 18 24 y D) 7 7

B)

(Sug. La paralela también divide a cada lado no paralelo según la razón de 3 a 4)

7. Los lados no paralelos de un trapecio miden 15m y 37,5 m respectivamente. Una recta paralela a las bases, divide al lado de 15 m en la razón de 2 a 3. Las longitudes de los


80

segmentos en los que queda dividido el lado 37,5 m son: A) 14 y 23,5 m B) 16 y 21,5 m C) 15 y 22,5 m D) 17 y 20,5 m E) N.A.

•

8. En un triángulo ABC se traza un segmento EF tal que E es elemento de AB y F es elemento de BC. Si las longitudes de los segmentos AE , EB, BF y FC son 7 cm, 4 cm, 15 cm y 6 cm respectivamente. ¿Es el segmento EF paralelo al lado AC? ¿Por qué?

TEOREMA DE LOS SEGMENTOS DETERMINADOS POR LA BISECTRIZ INTERIOR.B

Si ABC es un triángulo

α α

BD es bisectriz interior Entonces

c

a

A

D

C

Ejemplo1: Los lados de un triángulo ABC se conocen; a = 7 m, b = 5 m y c = 4 m. Halla los segmentos determinados sobre el lado “a” por la bisectriz trazada desde el ángulo A.

•

TEOREMA DE LOS SEGMENTOS DETERMINADOS POR LA BISECTRIZ EXTERIOR.-

C

A

B


81

B

A

C

•

TEOREMA DEL INCENTRO(PUNTO DE INTERSECCION DE BISECTRICES).B SI

ABC es un triángulo BD es bisectriz I es incentro (intersección de bisectrices)

ENTONCES

.

I

A

D

C

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS •

HOMOTECIA.-

O


82

•

SEMEJANZA DE FIGURAS.-

Ejemplo:

3

7

2,5

5

3 7

•

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.-

.......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................

•

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.-

-

TEOREMA: ANGULO-ANGULO-ANGULO (A A A)

Dos triángulos son semejante si....................................................................................................

-

TEOREMA: LADO – LADO – LADO (L L L)

Dos triángulos son semejantes si.................................................................................................


83

-

TEOREMA: LADO – ANGULO – LADO (L A L)

Dos triángulos son semejantes si.................................................................................................

•

Ejem. 1: Se tiene un triángulo ABC y una paralela al lado AC. Halla BQ y QC si PQ =5 m; AC = 16 m y BC = 24 m B

P

A

Q

C


84

•

Ejem. 2: Si EB // CD y AB = 2 ; BC = 18 ; BE = 3 . ¿ CD = ? A) 27

B) 30

C) 32

D) 36

(Admisión UNJBG 2000-fase 0) E) 38

D

E

A

B

C

•

Ejem. 3: Los lados paralelos de un trapecio miden 24 y 30 cm respectivamente y los lados no paralelos 6 y 10 cm. Halla las longitudes de los lados del triángulo menor que resulta de prolongar los lados no paralelos del trapecio.

•

Ejem. 4: Un joven de 1,60 m de altura está de pie y proyecta una sombra de 1,2 m. ¿Qué altura tendrá un poste que en ese instante proyecta una sombra de 18 m?


85

•

Ejem. 5: En la figura: AB // CD y BC // DE OA = 6 m OE = 24 m OC = ?

D B O A C E

•

Ejem. 6: Los lados de un triángulo rectángulo ABC miden AB = 5 m, BC = 12 m y AC = 13 m. Halla la mediatriz de la hipotenusa. B

A

C

•

Ejem. 7: Se da un triángulo ABC cuyo lado BC mide 16 m. Sobre el lado AC se toman los puntos E y G de modo que ED // FG // BC. Además ED = 4 m, EG = 6 m y GC = 3 m. Halla FG.


86

•

Ejem. 8: CD = A) 8

B) 10

B

C) 12

D) 15

(Admisión UNJBG 98-II) E) 20

C

A

5

•

15

Ejem. 9: P es punto de tangencia, X = A) 7 B) 8 C) 9

D

D) 7,5

E) N.A.

(Admisión UNJBG 99)

X 10

8

6

•

Ejem. 10: Sea ABCD un cuadrado cuyos lados tienen longitud l. Por el vértice B pasa una recta que no es paralela a ninguno de los lados. Si las distancias de los puntos A y C a la recta que pasa por B son 12 m y 9 m, respectivamente, el valor de l es: (Admisión UNI 99-II) A) 20 m B) 12 m C) 15 m D) 25 m E) 18 m

∗

TEOREMA: Cuando dos triángulos son semejantes, la razón entre sus perímetros es la misma razón que hay entre dos de sus lados homólogos (correspondientes).

∗

TEOREMA: Cuando dos triángulos son semejantes, la razón entre sus alturas es la misma razón que hay entre dos lados homólogos (correspondientes).


87 G

B

A

C F

M

•

Ejem. 1: El perímetro de un triángulo es de 48 cm, las longitudes de sus lados están en la relación: 3 es a 4 es a 5. La longitud del lado menor es:

•

Ejem. 2: Los lados de un triángulo miden respectivamente: 15 cm, 18 cm y 24 cm. Si el lado menor de un triángulo semejante a este mide 6 cm, entonces la longitud del lado mayor es de:

•

Ejem. 3: Dos triángulos son semejantes. Los lados de uno miden respectivamente 20 m, 24 m y 30 m. ¿Cuál es la longitud del lado mayor de otro triángulo, sabiendo que sus medidas son menores que las del anterior y que la razón de semejanza es de 2/5?


88

•

Ejem. 4: Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética cuya razón es 2. El perímetro de un triángulo semejante a éste es de 60 cm y es el cuádruplo que el del primero. La longitud del lado menor del primer triángulo es de:

•

Ejem. 5: Las longitudes de los lados de un triángulo se diferencian en 3 cm el primer y el segundo lado; y en 6 cm el primer y tercer lado. El perímetro de un triángulo semejante al primero es de 21 cm y es un tercio de su perímetro. La longitud del lado mayor del primer triángulo es de:

•

Ejem. 6: En un triángulo rectángulo (recto en B) se traza la mediatriz de la hipotenusa que corta a BC en Q. Hallar BQ si AB y BC miden 3 m y 4 m respectivamente. (Admisión U. de Lima 99-I) A) 1,2 m B) 0,72 m C) 0,88 m D) 0,5 m E) N.A.

PRÁCTICA Nº 11 Tema: Triángulos semejantes (I parte) 1. El perímetro de un triángulo es de 48 cm. Las longitudes de sus lados están en la relación: 3 es a 4 es a 5. La longitud del lado menor es de:

A) 10 cm B) 14 cm C) 9 cm D) 12 cm 2. Los lados de un triángulo miden respectivamente: 15 cm, 18 cm y 24 cm. Si


89

el lado menor de un triángulo semejante a éste mide 6 cm, entonces la longitud del lado mayor es de: A) 9,8 cm B) 8,5 cm C) 9,6 cm D) 8,8 cm 3. Dos triángulos son semejantes. Los lados de uno miden respectivamente 20m, 24 m y 30 m. ¿Cuál es la longitud del lado mayor de otro triángulo, sabiendo que sus medidas son menores que las del anterior y que la razón de semejanza es de 2/5? A) 12 m B) 10 m C) 8 m D) 9 m 4. Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética cuya razón es 2. El perímetro de un triángulo semejante a éste es de 60 cm y es el cuádruplo que el del primero. La longitud del lado menor del primer triángulo es de: A) 4 cm B) 3 cm C) 6 cm D) 5 cm 5. Las longitudes de los lados de un triángulo se diferencian en 3 cm, el 1º y 2º lados; y en 6 cm el 1º y 3º lados. El perímetro de un triángulo semejante al primero es de 21 cm y es un tercio del perímetro del primero. La longitud del lado mayor del primer triángulo es de: A) 21 cm B) 26 cm C) 24 cm D) 22 cm

B

R

A

9. ABCD es un trapecio rectángulo. BC = 18 m ; AD = 50 m ; BD ⊥ AC. Halla AB. (Sug.: ∆ ABC ~ ∆ ABD ). B

C

A

D

10. ABCD es un paralelogramo. BC = 6,8 m ; BG = 3,8 m ; HC = 2 m ; AF = 5,4 m. Halla AE. B

G

C

C

120º

E

H

6. En la figura: EF // AB ; GF // BC. GA = 24 cm ; AC = 36 cm ; EF = 12 cm. Halla FC.

120º

A

E

C

S

F

D

F

11. ABC es un triángulo rectángulo. ED ⊥ DC ; DC = 3 m ; EC = 5 m ; AD = 10 m. Halla BE. B

G

B

A

7. AB = 9 m ; BC = 11 m MK + RN = 7 m . Halla KM.

E

B

K M

A

R

A N

C

8. AR es bisectriz. RS // AB ; RC = 12 m; RB = 2m ; RS = 6 m. Halla AC

D

C

12. En un triángulo ABC, AC mide 50 cm y BC mide 38 cm. En la prolongación del lado AB ase ubica el punto P tal que BP = BC. Al trazar el segmento PE que corta a BC en su punto medio M, y siendo E un


90

punto de AC, el segmento EC mide 18 cm. Cumplidas estas condiciones AB mide: B

A

C

A) 26,8 cm D) 29,5 cm

B) 26 cm E) N.A.

C) 28 cm

(Sug. 1º Supones que AB = x. 2º Por B trazas BF // AC. 3º Comparas el triáng. BMF con el triáng. CME. Entonces BF = … 4º Comparas el triáng. BPF con el triáng. APE. Aplicas semejanza de triángulos).

13. En un triángulo MNS, por un punto A de MN y un punto B de NS se traza AB // MS. Entonces MA = 8 cm, BS = 14 cm, AB = 10 cm y MS = 24 cm. De acuerdo a esta información, el perímetro del triángulo MNS es de: A) 62 cm 63,4 cm C) 61,7 cm D) 62,8 cm (Sug. 1º ¿Cómo son los triángulos ANB y MNS? 2º Supones que AN = x. Entonces MN = …, supones que NB = y, entonces NS = … 3º Aplicas “semejanza de triángulos”, hallas x. Aplicas “semejanza de triángulos”; hallas y. 4º …)

14. El triáng. ABC es rectángulo. B es el ángulo recto. Los catetos AB y BC miden 28 cm y 52 cm respectivamente. De acuerdo a estas condiciones, la bisectriz BK mide: B

28 A

A) 24

52

K

C

B) 25,8 C) 26 D) 23 E) N.A.

(Sug. 1º ¿ ∠ ABK = ?; ¿ ∠ KBC = ? 2º Supones que BK = x cm 3º Trazas KR // AB, entonces triáng. KRB es … ¿ ∠ BKR = ? 4º Compara BR con KR ∴ “el cateto opuesto al ángulo de 45º” es KR = …; BR = …; RC = … 5º Compara el triáng. KRC con el triáng ABC. Aplica semejanza de triángulos,…)

15. En un triángulo MNS se traza la bisectriz ME, y por E se traza una paralela a MS que corta a MN en F. Se sabe que FE = 9 cm, NS = 12 cm y que ES = 8 cm. De acuerdo a esta información, el perímetro del triángulo FNE es de: A) 14,8 B) 16,5 C) 17,5 D) 18,2 (Sug. 1º Supones que los ángulos FME y EMS miden, cada uno, α . Entonces ∠ FEM = … Por tanto, el triáng. MFE es …; MF = … 2º ¿EN = …? 3º Compara el triáng FNE con el triáng. MNS, luego FN = … 4º …)

16. En el triángulo ABC, BK es bisectriz; BF es bisectriz exterior. Si AK = 33 m; KC = 17 m entonces CF mide: A) 55 m B) 54,2 m C) 52 m D) 53,1 m E) 51 m B

A

x K

C

F

(Sug. 1º Supones que CF es x. 2º Aplicas el T. de la bisectriz interior, luego despejas BC // AB. 3º Aplicas el T. de la bisectriz exterior. Despejas BC // AB 4º Igualas 2º y 3º…)

17. EFGH es un trapecio cuyas bases FG y EH miden 20 cm y 24 cm respectivamente. La altura del trapecio es de 18 cm. Conforme a estas condiciones la distancia de P, punto de intersección de las prolongaciones de los lados no paralelos a la base EH es de: A) 104 B) 108 C) 106 D) 102 E) NA (Sug. 1º Supones que PR es el segmento cuya longitud debes hallar, y que PR corta a FG en A. Supones que PA = x; entonces PR = 18 + … 2º Comparas el triáng. FPG con el triáng. EPH. Aplicas “semejanza de triángulos” ∴ Las alturas son proporcionales a los lados…)

18. MPQR es un trapecio rectángulo en el que PM ⊥ MR. Las bases PQ y MR miden 6 m y 14 m respectivamente. Por E, punto medio de PM se trazan los segmentos EQ y ER. Si el ángulo QER es de 90º, entonces PM mide: A) 16,5 B) 14,8 C) 18,3 D) 20,5 (Sug. 1º Compara el ∠ PEQ con el ∠ ERM; entonces ¿cómo son los triáng. EPQ y RME? 2º


91 Aplica “semejanza de triángulos” PE/MR = …; pero PE = PM/2 y EM = PM/2, entonces…)

19. En un trapecio ABCD, cuyas bases BC y AD miden 12 m y 20 m respectivamente, se traza EF en el que E ∈AB y F ∈CD. Dicho segmento da origen a que

BE CF 3 = = . EA FD 7

Entonces EF mide: A) 14,4 B) 12,2 C) 16 D) 15 E) NA B

A

C

D

(Sug. 1º Según los datos supones que CF = 3a, FD = 7a. 2º Por C trazas CK // AB que corte a EF en S ∴ AK = …; KD = … 3º Supones que SF = x 4º Compara al triáng. SCF con el triáng. KCD. Aplicas T. de Thales. 5º…)

20. En el paralelogramo ABCD se traza la diagonal BD y por A se traza un rayo que corta a BD en S, a BC en R y a la prolongación de D en M. Si AS = 30 m y SR = 18 m, entonces RM mide: A) 32 B) 28 C) 30 D) 31 E) N.A. (Sug. 1º Supones que RM = x metros 2º Observa los triángulos ASB y MSD comparando ∠ BAS con ∠ DMS; ∠ BSA con ∠ DSM; ∠ ABS con ∠ MDS. Luego aplica “semejanza de triángulos” haciendo intervenir a BS/SD. 3º Compara los triángulos BSR y DSA. Aplica “semejanza de triángulos” haciendo intervenir a BS/SD. 4º …) 21. Dos postes, uno de 2,5 m y el otro de 6 m

de altura están a 24 m de separación. Entonces la altura del punto de intersección de las rectas que unen el extremo de cada poste con la base del poste opuesto es de:

triángulos” haciendo intervenir a los catetos. 6º Suma 4º y 5º ...) 22. En un rectángulo ABCD se traza la

diagonal AC y desde B se traza una perpendicular a AC que corta a AD en N. Si la longitud de AD es el cuádruple de CD, y si ND = 15 m, entonces el perímetro de ABCD es de: A) 38 m B) 44 m C) 36 m D) 40 m (Sug. 1º Supones que AN = x; ¿AD = …?, ¿CD = …?, ¿AB = …? 2º Observa los triángulos BAN y ADC; compara sus ángulos: ∠ ABN y ∠ DAC; ∠ ANB y ∠ DCA. Por 3º Aplica “semejanza de tanto, … triángulos”,…)

23. EFGH es un trapecio con bases FG y EH. EH mide 50 cm. Por I, punto de intersección de sus diagonales se trazan paralelas a los lados no paralelos del trapecio, que cortan en A y B al lado EH. Si AB mide 16 cm, entonces EA mide: A) 14 cm B) 17 cm C) 18 cm D) 15 cm (Sug. 1º Por I trazas MN // EH; N ∈ EF y M ∈ GH. 2º Supones que EA=X; entonces BH=…; NI=…; IM=… 3º Comparas el ángulo FNI con el ángulo FEH. Entonces ¿ cómo son los triángulos NFI y EFH? 4º Supones que la altura del triángulo NFI es h, y la del triángulo EFH es h’. Aplicas luego “semejanza de triángulos”: h/h’ = … 5º Comparas el ángulo GMI con el ángulo GHE. ¿Cómo son los triángulos IGM y EGH? 6º ¿ Qué altura tiene el triángulo IGM y qué el triángulo EGH? 7º Aplica “semejanza de triángulos”: h/h’ = …) 24. En el triángulo ABC la altura desde b es de

24 m. El lado AC mide 50m. Si SMNP es una cuadrado, entonces cada uno de sus lados mide:

A) 15 m D) 15,6 m

B) 18 m E) N.A.

A) 1,4 m B) 1,8 m C) 1,5 m D) 1,7 m (Sug. 1º Representa a los postes con los segmentos AB y CD. Traza los segmentos AD y BC que se intersequen en E. Baja la perpendicular EF. Supones que EF = x. 2º Supones que BF = m, FD = n. 3º ¿EF // CD? ¿Cómo son los triángulos BFE y BDC? 4º Aplica “semejanza de triángulos” haciendo intervenir a los catetos. 5º ¿Cómo son los triángulos DFE y DBA? Aplica “semejanza de

C) 16,2 m B

M

A

N

S

P

C

(Sug. 1º Supones que cada lado del cuadrado mide x. Entonces ¿ cuál es la altura desde B del


92 triángulo MBN? 2º Compara el triángulo MBN con el triángulo ABC y aplica “semejanza de triángulos” ∴ Las alturas son proporcionales a sus lados…)

25. El triángulo ABC, la diferencia de las medidas de los ángulos A y C es de 90º. Al trazar la altura BH se obtiene: HA=14 m; HC=48 m. Entonces BH mide: B

A

A) 26,2 m D) 25,9 m

B) 27 m E) N.A.

C

C) 24 m

(Sug. 1º Supones que el ∠ C mide α , entonces ∠ el ángulo A=… 2º Trazas BH y hallas en el triángulo HBA el ∠ externo A=… 3º De 1º y 2º obtienes que el ∠ HBA=… 4º Compara el triángulo AHB con el triángulo CHB. 5º Supones que BH=X; aplicas “semejanza de triángulos”, …)

26. En el triángulo ABC, el lado AB mide 75 m y AC mide 32 m. Se toma el punto E de AB tal que ∠ECA ≅ ∠B . Entonces EB mide: A) 62,5 m B) 63,2 m C) 64,1 m D) 61,3 m E) N.A.

(Sug. 1º Supones que EB=X, entonces AE=… 2º Observa los triángulos AEC y ABC ¿ cuántos ángulos congruentes tiene? Por tanto, … 3º Aplica “semejanza de triángulos”, …)

27. En un rombo ABCD se trazan las diagonales AC y BD que se cortan en O. El segmento BM, siendo M punto medio de CD, corta a CA en E; y el segmento AM corta a BD en F. Si cada lado del rombo mide 48 cm, entonces EF mide: A) 18 cm B) 16 cm C) 15cm D) 12cm (Sug. 1º Supones que EF=X. 2º Observa el triángulo BCD ¿Qué nombres se les da a BM y CO? Entonces E es el …; Por tanto EM/BM=… 3º Observa en el triángulo ADC a los segmentos DO y AM. Entonces F es el…; por tanto MF/AM=… 4º De 2º y 3º deduces que los triángulos EMF y BMA son … 5º …)

28. Las longitudes de los lados de un triángulo ABC son AB=20 m, BC=18 m, AC=16 m. Entonces la longitud del segmento EF que pasa por el incentro I, y que además es paralelo a AC, es de: A) 11,2 m B) 12,1 m C) 13,5 m D) 8,5 m (Sug. 1º Trazas la bisectriz BD. Supones que EF=X 2º Como EF//AC, entonces los triángulos EBF y ABC son …; por tant o BI/BD=… 3º Aplica el T. del incentro. 4º …)

29. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las alturas BE y CF. Se sabe que AF=20 cm y AE=12 cm. Si AB+BC=64 cm, entonces AB mide: A) 18 cm B) 16 cm C) 22 cm D) 24 cm (Sug. 1º Compara el ∠ FBE con el ángulo FCA. Entonces los triángulos AEB y AFC son … Por tanto AB/AC=…; es decir AC=… 2º Sustituyes AC en AB+AC=64, …)

30. MNSP es un trapecio rectángulo (M y N son los ángulos rectos en el que las diagonales MS y NP son perpendiculares. Si NS = 27 m y MP = 73 m, entonces la altura del trapecio es de: A) 44,3 m B) 42,4 m C) 41,2 m D) 40,8 m E) N.A. (Sug. 1º Supones que la altura es h. 2º Observa los triángulos MNS y PMN; compara sus ángulos: ∠ NSM y ∠ MNP; ∠ NMS y ∠ MPN. Entonces los triángulos son … 3º Aplica “semejanza de triángulos”, …)

31. En un trapecio ACDB de bases CD y AB, las diagonales AD y CB se cortan en E. Si 4CD = 3AB, y si AE + EB = 36 m, entonces CE + DE es: A) 24 m B) 26 m C) 25 m D) 27 m (Sug. 1º ¿ CD/AB=…? 2º Observa los triángulos CED y BEA. Compara sus ángulos: ∠ ECD con ∠ EBA; ∠ CDE con ∠ DAB; ∠ CED con ∠ BEA. Por tanto los triángulos son … 3º Aplica “semejanza de triángulos” y forma tres igualdades con los lados correspondientes. 4º Iguala las igualdades de 3º con la del 1º.5º …)


PRÁCTICA Nº 12 Tema: Triángulos semejantes (II parte) 1. Las longitudes de los catetos de un triángulo son 4, 7 y 10 cm. Si otro triángulo semejante al primero, tiene un perímetro de 147 cm. ¿Cuál es la longitud de su lado menor? A) 28 cm B) 24 cm C) 32 cm D) 20 cm E) 48 cm

4. En un trapecio ABCD (BC//AD y BC
2. Los lados AB y BC de un triángulo ABC miden respectivamente 18 metros y 30 metros. Por un cierto punto M del lado AB se traza una paralela que corta al lado AC en N. Si MN mide 5 metros, a que distancia está M de A. A) 3 m B) 15 m C) 6 m D) 2,50 m E) 9 m.

5. Los lados de un triángulo ABC, miden AB = 8 m, BC = 10 m y AC = 12 m. Hallar la longitud de la paralela al lado AC, trazada por el incentro de ABC. A) 9,2 m B) 7,2 m C) 4,2 m D) 6,2 m E) 8,2 m

3. Los lados de un triángulo tienen por longitudes: AB = 20, AC = 30, BC = 40. Se traza a BC las paralelas X e Y que determinan sobre el primer lado desde el vértice A, tres segmentos iguales a 9, 7, 4. Calcular los segmentos determinados sobre AC y las longitudes de las paralelas. A) 13,5 ; 10,5 ; 6 ; x = 18 ; y = 32. B) 9 ; 7 ; 4 ; x = 15 ; y = 35 C) 20 ; 15 ; 10 ; x = 9 ; y = 16 D) 25 ; 20 ; 15 ; x = 15 ; y = 30 E) Ninguna de las anteriores.

6. En un triángulo ABC, se tiene: AB menos AC es igual a 2 cm. BC menos AB es igual a 2 cm. BC más AC es igual al 20 cm. Determinar los segmentos que determinan la bisectriz en el lado de mayor longitud. A) 6,65 cm ; 5,35 cm B) 4,37 cm ; 7,63 cm C) 6,00 cm ; 6,00 cm D) 7,60 cm ; 4,40 cm E) 6,66 cm ; 5,33 cm

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO •

TEOREMA: B SI

ABC es un ∆ rectángulo recto en B h es la altura respecto a la hipotenusa m y n son las proyecciones ortogonales de c y a respectivamente.

h ENTONCES

A

C


94

.......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .............................................. •

TEOREMA: SI ABC es un ∆ rectángulo recto en B h es la altura respecto a la hipotenusa m y n son las proyecciones ortogonales de c y a respectivamente.

............................................................................. ............................................................................. ............................................................................. ............................................................................. .............................................................................

ENTONCES

•

.........................................................................

COROLARIO: En todo triángulo rectángulo, la altura a la hipotenusa determina dos triángulos rectángulos semejantes entre sí y también semejante al triángulo dado. C

A

B


95

•

COROLARIO: En todo triángulo rectángulo, el producto de la hipotenusa por la altura a dicha hipotenusa, es igual al producto de sus catetos. B

A

C

•

Ejemplo 1: El cateto c de un triángulo rectángulo mide 3 metros y el cateto b mide 2 metros. La altura que parte del vértice A del ángulo recto divide a la hipotenusa en dos segmentos r y s, adyacentes respectivamente, a los catetos b y c. Halla la relación r es a s.

•

Ejemplo2: En un triángulo rectángulo un cateto mide 6 5 m y la proyección del otro cateto mide 24 m. Halla la hipotenusa.

•

Ejemplo3: Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 m y 1 m y la altura relativa a la hipotenusa determina segmentos que miden x e y. Halla la relación x : y.


96

•

Ejemplo 4: En la siguiente figura halla la hipotenusa: B

12

A

x

4x

C

•

Ejemplo 5: La altura respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 6 m y la hipotenusa 15 m. Halla el cateto menor.

•

Ejemplo 6: En la siguiente figura halla la altura respecto a la hipotenusa. P

20

15

N

M 25

•

Ejemplo 7: En un triángulo rectángulo la altura respecto a la hipotenusa mide 2 m y la hipotenusa es los 5/4 de uno de los catetos. Halla uno de los catetos.


97

PRÁCTICA Nº 13 Tema: Relaciones métricas en el triángulo rectángulo 1. En la figura, CD es la altura correspondiente a la hipotenusa AB. C

determina sobre ella dos segmentos cuyas longitudes son entre sí como 1 es a 4. El perímetro del triángulo es de:

A) 25 +2 5 a

B

m

C) 24 + 6 5 (Sug. 1º Supones que las proyecciones miden x; 4x. Aplicas “la altura es…” 2º Aplicas “cada cateto es…”)

b

h n

D

A

c

a) b) c) d) e) f)

Si m = 2 y n = 6, halla a y b. Si m = 4 y a = 6, halla c y h. Si m = 16 y h = 8, halla n y h. Si b = 12 y n = 6, halla m y h. Si m = 3 y n = 9, halla b y h. Si m = 4 y h = 8, halla a y n.

2. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo

mide 24 cm. Si la longitud de la hipotenusa es de 25 cm, ¿cuál es la longitud de la altura sobre la hipotenusa? A) 6,72 B) 8,5 C) 9,05 D) 7,85 (Sug. 1º Hallas la longitud de cada proyección 2º Aplicas “la altura es media proporcional…..”).

3. La altura de un triángulo rectángulo trazada a la

hipotenusa divide a ésta en segmentos cuyas longitudes son como 2 es a 8. Halla la longitud de la altura, si la hipotenusa mide 18 cm. A) 7,5 B) 8,5 C) 8,2 D) 7,2 (Sug. Hallas las proyecciones. Para el caso 2x + 8x = …) 4. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 24 cm y la proyección del otro sobre la hipotenusa es de 10,8 cm. La hipotenusa mide: A) 30 B) 28 C) 28,5 D) 29,2 (Sug. 1º Supones que la otra proyección mide x. Entonces la hipotenusa mide… 2º Aplicas “cada cateto ….”)

5. En

5 D) 28 + 16 5

B) 30 + 18

un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa mide 12 cm y

6. En un trapecio isósceles la base menor mide 14

cm y la diagonal que es perpendicular al lado no paralelo mide 40 cm. La longitud de la base mayor es de: B) 50 C) 46 D) 47 A) 48 (Sug. 1º Traza perpendiculares a la base mayor desde cada extremo de la base menor. Entonces la base mayor mide 14 + x + x. 2º Supones que la diagonal es un cateto del triángulo cuya hipotenusa es 14 + 2x. 3º Aplicas “cada cateto….”).

7. Calcular los valores de los ángulos de un triángulo rectángulo, sabiendo que la altura respecto a la hipotenusa divide a ésta en dos segmentos que están en la relación 1/3. Los ángulos pedidos son: A) 60º y 30º B) 45º y 45º C) 70º y 20º D) 75º y 15º E) N.A. 8. El perímetro de un triángulo equilátero ABC mide 36 cm. Se une el vértice A con el punto medio M del lado BC del triángulo. Desde M se traza la perpendicular MD al lado AB. Hallar el valor de la proyección de AM sobre AB. A) 8 B) 9 C) 4 D) 10 E) 6 9. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH relativa a la hipotenusa AC; luego se trazan HP ⊥ AB y HQ ⊥ BC. Si AP = 1 y CQ = 8; calcular la longitud de AC. A) 5 D) 2

5

5

B) 4

5

C) 3

E) 7


5

98

TEOREMA DE PITÁGORAS

B

A

m

n

c b = m c

→

a b = n a

→

(+)

C

•

Ejemplo 1: Halla las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mide 25 cm y las longitudes de sus catetos están en la relación de 3 a 4.

•

Ejemplo 2: La hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 26 cm. Halla la longitud de cada cateto, sabiendo que la suma de estas longitudes es de 34 cm.

•

Ejemplo 3: El perímetro de un rectángulo es de 82 cm y cada diagonal mide 29 cm. Halla las dimensiones del rectángulo.

•

Ejemplo 4: Hállese los lados de un triángulo rectángulo en el cual uno de los catetos es 1 cm menor que la hipotenusa y 17 cm más que el otro cateto.


99

•

Ejemplo 5: En un triángulo rectángulo la diferencia de los catetos es 2 m y la diferencia entre la hipotenusa y el cateto menor es 4 m. Calcular los lados del triángulo.

•

Ejemplo 6: Los lados de un triángulo rectángulo miden: “X”, “X+7” y “X+8”. Calcular la hipotenusa. (Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 12 B) 13 C) 15 D) 10

•

Ejemplo 7: Calcular la altura relativa al lado AC en el triángulo ABC: (Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 10 B) 11 C) 12 D) 13

13

15 h

14

•

Ejemplo 8: En un triángulo rectángulo ABC los catetos AB y AC miden 30 m y 20 m respectivamente, se pide calcular la distancia del vértice A a la mediana CM.


100

•

Ejemplo 9: Dado un triángulo ABC, las medianas AM y BN son perpendiculares y miden 6 m y 8 m respectivamente. ¿Cuánto mide la tercera mediana? B

C

A

•

Ejemplo 10: En el rectángulo ABCD de lados 40 m y 30 m se tiene que DN = 10 m, y el triángulo DPN es recto en P. Si la figura LMNP es un paralelogramo, entonces la longitud de su diagonal PM es (Admisión UNMSM 99) A) 28 m B) 36 m C) 30 m D) 24 m E) 34 m N

D

C

P

M A

L

B

PRÁCTICA Nº 14 Tema: Teorema de Pitágoras. 1. En un triángulo de lados 3, 4 y 5. Calcular la mediana relativa al lado de 4. A) D)

10

15

B) E)

13

C)

P

12

19

2. La siguiente figura es un triángulo rectángulo. Calcular la longitud de la hipotenusa AP, sabiendo que PB = 11, CB = 7, BA = 8.

C

B

A) 16 D)

295

B) 17,8

A

C)

297

E) 19,5


101

3. Los tres lados de un triángulo rectángulo miden 9, 16 y 18 metros, respectivamente. Disminuidos en “X” el triángulo sería rectángulo. En consecuencia: A) X = 4 m D) X = 1,50 m

B) X = 7 m C) X = 2 m E) X = 1,00 m

4. Hallar las longitudes de los cuatro lados de un trapecio isósceles circunscrito a una circunferencia de radio 4 m, sabiendo que el perímetro del trayecto es 40 m. A) bases: 8m y 12 m lados: 10 m c/u B) bases: 4 m y 16 m lados: 10 m c/u C) bases: 6 m y 8 m lados: 13 m c/u D) bases: 8 m y 10 m lados: 11 m c/u E) bases: 4 m y 20 m lados: 8 m c/u 5. El cateto c de un triángulo rectángulo mide 3 metros y el cateto b mide 1 metro. La altura que parte del vértice A del ángulo recto divide a la hipotenusa en dos segmentos, r y s, adyacentes respectivamente a los catetos b y c. La relación A)

1 3

r vale: s 1 3 1 1 B) C) D) E) 9 10 4 12

6. Un triángulo ABC, recto en el vértice A, tiene sus catetos respectivamente iguales a 15 m y 20 m. Calcular la longitud de la altura relativa a la hipotenusa del triángulo ABC. A) 10 m D) 8 m

B) 12 m E) 6 m

C) 14 m

7. En un cierto triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 13 m, la bisectriz del ángulo agudo mayor divide al cateto opuesto en dos segmentos cuya suma es 12 m. ¿En cuánto difieren estos segmentos? A) 1 m

B) 0 m

D) 1,5 m

E) 5

1 m 3

C) 5 m

8. La bisectriz del ángulo recto de un triángulo rectángulo, de 60 m de perímetro divide a la hipotenusa en dos segmentos tales que uno de ellos es 2,4 veces mayor que el otro. ¿Cuánto mide la hipotenusa? A) 26 m D) 27 m

B) 25 m E) 29 m

C) 28 m

9. En un triángulo rectángulo PQR, se traza la bisectriz PF (F en QR). Si: PR = t, FR = y el ángulo Q = 90º. Hallar el cateto PQ. A)

t 2

3 3 3 3 t C) t D) t E) t B) t 7 2 2 5 10

10. Sea ABC, un triángulo rectángulo de catetos AB = 40 m, AC = 30 m y AD es la altura relativa a la hipotenusa. Determinar la diferencia entre los perímetros de los triángulos ABD y ACD. A) 24 m D) 20 m

B) 30 m E) 26 m

C) 48 m

11. En una circunferencia de 2 m de radio se tiene una cuerda AB de 3 m. Si del extremo B se baja la perpendicular BC al diámetro que pasa por el extremo A. Hallar el valor de dicha perpendicular.

7 3 3 7 D) 4 A)

2 7 3 4 7 E) 3

B)

C)

7 4

12. La base de un triángulo mide 16 m; su altura 8m y la recta que une el vértice opuesto a dicha base con el punto correspondiente a la cuarta parte de ésta 10 m y su perímetro es:

41 ) m B) (16 + 2 41 ) C) (26 + 2 41 ) m D) (16 + 41 ) m A) (26 +

E) N.A.

13. En un triángulo ABC, los lados están representados por tres números consecutivos y el ángulo mayor es el doble del menor. Calcular los lados del triángulo. A) 2, 3 y 4

B) 7, 8 y 9

C) 6, 7 y 8


102

D) 5, 6 y 7

E) 4, 5 y 6

14. Sea ABCD un cuadrilátero donde C es recto, AB = 13 cm, BC = 20 cm, CD = 10 cm, AD = 17 cm. Hallar la longitud de la proyección de AD sobre la recta que contiene al segmento AB.

20 cm 17 21 D) cm 13 A)

10 cm 13 20 E) cm 13

B)

C)

15 cm 17

15. En un rombo, la suma de las diagonales es 70 m y el radio del círculo inscrito es 12 m. Calcular las diagonales y el lado. A) 35; 35 y 25,5 metros. B) 42; 28 y 24,5 metros. C) 30; 32 y 24 metros. D) 40; 30 y 25 metros. E) 34; 36 y 28 metros. 16. Al inscribir en un cuadrado de lado ‘a”, un triángulo equilátero tal que uno de sus vértices esté en uno de los vértices del cuadrado, los otros vértices del triángulo estarán a una distancia de los vértices más cercanos del cuadrado, dada por la expresión: A) 4a - 2a 3

B) 2a - a 3

C) 2a + a 3

D) 4a + 2a 3

E) 2a + a 3

A) 6,0” D) 13,8”

C) 12,5”

18. A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, una frente a la otra. La altura de una es de 30 codos y la de la otra, de 20. La distancia entre sus troncos, 50 codos. En la copa de cada palmera hay un pájaro. De súbito los dos pájaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las dos palmeras. Los pájaros se lanzaron con la misma velocidad y alcanzaron al pez al mismo tiempo. ¿A qué distancia del tronco de la palmera mayor apareció el pez? A) 10 codos B) 15 codos C) 20 codos D) 25 codos E) 30 codos. 19. Se tienen los triángulos ABC y ABD, cuyo ángulo en B es 90º. Si dos moscas parten de A, en el mismo instante una por la ruta ABC y la otra por la ruta ADC, con la misma velocidad, ¿cuál debe ser la longitud de CD para que ambas moscas se encuentren en C? (AB = a; BC = b). A

ó 2a - a 3

17. Una rueda descansa en el piso y está apoyada además sobre un ladrillo de 4 pulgadas de alto, quedando su punto de apoyo en el piso a 10 pulgadas del lado más cercano del ladrillo. Calcular el radio de la rueda.

B) 8,0” E) 14,5”

D

C

B

ab a A) + 2b ab B) a + b 2ab +b a C) ab +b 2 a D) ab E) 2 a − b

20. Una hoja rectangular de papel, de 20 cm de ancho y 30 cm de largo, se dobla de tal manera que dos vértices opuestos coincidan. ¿Cuál es la longitud del doblez?

20 10 13 B) 13 3 3 D) 10 6 E) 29 A)

C)

50 13 3

4” 10”


103

TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS Son aquellos triángulos rectángulos cuyas longitudes de lados, están representados por números enteros positivos. El siguiente procedimiento permite hallar ternas de números enteros que PUEDEN corresponder a longitudes de triángulos rectángulos pitagóricos. 1. Si un cateto es un número impar: a) Se elige un número impar y se eleva al cuadrado. b) Se hallan dos números consecutivos cuya suma sea igual al cuadrado del número impar elegido. c) Los tres números cumplen con el Teorema de Pitágoras. 2. Si un cateto es número par: a) Se elige un número par y se le multiplica por su mitad, halando así el “producto mitad”. b) Se hallan dos números cuya diferencia sea 2 y cuya suma sea igual al “producto mitad” c) Los tres números cumplen con el Teorema de Pitágoras. Ejemplos: Completa los triángulos pitagóricos.

7

8

Ejemplos: Ahora tú construye dos triángulos pitagóricos.


104

GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS (RELACIÓN DE LADOS DE UN TRIÁNGULO CON PROYECCIONES)

1) a2 = n2 + h2 2) b2 = h2 +m2

C

h

A

•

B

TEOREMA DEL LADO OPUESTO A UN ÁNGULO AGUDO.En todo triángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a...................... .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. ................................................................................................................................

•

TEOREMA DEL LADO OPUESTO A UN ÁNGULO OBTUSO.En todo triángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a...................... .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................. B

A

m C

D


105

B

A

C

•

Ejemplo 1: Los lados de un triángulo obtusángulo miden 40/3, 14/3 y 10 cm. Hallar la altura relativa al lado AC = 14/3 cm.

•

Ejemplo 2: En un triángulo ABC obtuso en A, hallar AC. Si BC = 10 10 , AB = 20 y siendo el externo de A igual a 60º.

•

Ejemplo 3: Se traza un triángulo isósceles ABC siendo B = 120º y AC = 18 m. Halla la altura relativa a BC.


106

•

Ejemplo 4: Los lados de un triángulo obtusángulo miden 9, 18 y 15. Encontrar las proyecciones de los dos primeros lados sobre el tercero.

•

Ejemplo 5: En un triángulo acutángulo los lados AC y AB miden 6 m y 4 m siendo la proyección de AB sobre AC de 0,25 m. Halla el valor del otro lado del triángulo.

•

Ejemplo 6: En un triángulo acutángulo ABC, el lado AB mide 15m, el lado BC mide 14 m y la proyección del lado AB sobre BC es 9 m. Halla el lado AC.

•

Ejemplo 7: Los lados de un triángulo miden 18, 36 y 40. Halla la proyección del menor sobre el mayor.

•

Ejemplo 8: Dos lados de un triángulo miden 8 y 12. Si el tercer lado mide la mitad de uno de los otros dos, halla la proyección del mayor lado sobre el menor.


107

PRÁCTICA Nº 15 Tema: Generalización del Teorema de Pitágoras. 1. Los lados AB, BC y AC de un triángulo

(

)

C) 6,85 m

2 m; 2 m y 1 + 3 m ABC miden respectivamente. Cumplidas estas condiciones, el ángulo A mide: A) 30º B) 60º C) 45º D) 90º

(Sug. 1º Desde B trazas la altura BH y supones que AH = n. 2º En el ∆ ABC aplicas “el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo......” BC 2 = ...... 3º Sustituyes valores y despejas n. 4º En el ∆ rectángulo AHB compara las medidas del cateto AH y de la hipotenusa AB; entonces ∠ A = ......)

2. Los lados de un ∆ ABC son: AB = 6 m, BC = 4 m y AC = 7 m. Entonces la distancia del baricentro G al lado AC es de: B

A

C

A) 1,8 m B) 2 m C) 2,2 m D) 1,1 m

(Sug. 1º Traza la mediana BM, la altura BH y baja la perpendicular GT (¿Cómo son los ∆ s MTG y MHB?). 2º En el ∆ ABC aplica “el cuadrado del lado opuesto al ángulo agudo C.......”, 36 = ..... Despeja HC con dos cifras decimales. 3º Aplica Pitágoras en el ∆ BHC y halla h. 4º Por ser G el baricentro, si GM = 1 entonces MB = ..... 5º ¿ ∆ MTG ~ ∆ MHB?, entonces supones que GT = x. Por tanto

x =......). 1 3. En el ∆ ABC los lados AB, BC y AC

miden 5 m, 6 m y 8 m respectivamente. Se traza el segmento BD, siendo D un punto de AC tal que DC = 1 m. Entonces BD mide: A) 4,8 m B) 6,2 m

D) 5,27 m

B

A

D

C

(Sug. 1º Trazas la altura BH y supones que HD = m. Entonces AH = ....... 2º Supones que BD = x, luego en el ∆ BDC aplicas “el cuadrado del lado opuesto .....”; x 2= .... 3º En el ∆ ABD aplicas nuevamente “el cuadrado del lado opuesto ....”, x 2= ....4º De las igualdades 2º y 3º obtienes la tercera igualdad y despejas m con una cifra decimal. 5º ......)

4. En un paralelogramo EFGH los lados EF y FG miden 4,5 m y 7,5 m respectivamente. Si la diagonal EG mide 10,5 m; entonces el ángulo E mide: A) 60º B) 45º C) 30º D) 90º (Sug. 1º Traza la altura GA y compara el ∠ E con el ∠ GHA. 2º¿Qué clase ∠ EHG? Entonces aplicas “el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso......” y hallas AH. 3º En el ∆ GAH comparas AH con GH, entonces ∠ E =.......)

5. ABCD es un trapecio isósceles en el que las bases BC y AD miden 30 cm y 50 cm. Si cada lado no paralelo mide 20 cm, entonces la diagonal AC mide: A) 43,5 cm B) 45 cm C) 46,2 cm D) 44,8 cm

(Sug. 1º Supones que AC = x. 2º Trazas las alturas CE y BF. Entonces ED = ....; AF = ... 3º En el ∆ ACD aplicas “el cuadrado del lado opuesto al ángulo D, ......”, x 2=........)


108

* TEOREMA DE LA MEDIANA.B

A

M

C

Ejemplo 1: Los lados de un triángulo rectángulo miden 30, 24 y 18. Halla la distancia del ortocentro al baricentro.

Ejemplo 2: En un triángulo isósceles ABC, AB = BC = 10 y AC = 16. Hallar la distancia del vértice B al baricentro. (Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 2 B) 4 C) 6 D) 8


109

•

En todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados es igual al doble del cuadrado de la mediana relativa al tercer lado, más la mitad del cuadrado del tercer lado. B

d

A

M

C

Ejemplo 1: Los lados de un triángulo miden 4, 6 y 8. Halla la mediana relativa al lado mayor.

Ejemplo 2: Halla la mediana relativa al cateto mayor de un triángulo rectángulo, si el cateto menor mide 6 m y la mediana relativa a la hipotenusa mide 5 m.

Ejemplo 3: En un triángulo ABC, dos de sus lados miden respectivamente 6 m y 8 m, la mediana relativa al tercer lado mide 5 m. Calcular el tercer lado. (Admisión U. de Lima 99-I) A) 8 m B) 14 m C) 12 m D) 10 m E) N.A.


110

∗

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR.- En todo triángulo el cuadrado de la bisectriz interior es igual al producto de los lados que forman el ángulo de donde parte la bisectriz, menos el producto de los segmentos determinados por la bisectriz en el tercer lado. B

α α z

C

A

Ejemplo 1: Los lados de un triángulo miden 4, 6 y 8. Halla la bisectriz relativa al lado intermedio y los segmentos en que divide a dicho lado.

Ejemplo 2: Los lados de un triángulo son AB = 5 m; BC = 6 m y AC = 7 m. Calcula la distancia del baricentro al vértice A.

Ejemplo 3: Hallar X A) 8 B) 9

C) 10

D) 11

(Admisión UNJBG 99) E) 15

θ θ 15

10

6

X


111

•

TEOREMA DE LA ALTURA.- En todo triángulo, la altura relativa a uno de sus lados es igual al doble de la inversa de dicho lado, por la raiz cuadrada del producto del semiperímetro multiplicado por las diferencias de este semiperímetro y cada uno de sus lados. B

h

C

A

Ejemplo 1: Calcular la altura relativa al lado AC en el triángulo ABC: (Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 10 B) 11 C) 12 D) 13

13

15 h

14

PRÁCTICA Nº 16 Tema: Generalización del Teorema de Pitágoras (II parte) 1. Se da un triángulos de lados: a = 12 m, b = 10 m y c = 8 m. Calcular la longitud de la mediana que parte de A. A) 6,782 m D) 6,740 m

B) 6,720 m E) 6,756 m

C) 6,744 m

3. En la siguiente figura, calcular la longitud de la hipotenusa AP, sabiendo que PB = 11, CB = 7, BA = 8. P

2. En un triángulo de lados 3, 4 y 5; calcular la mediana relativa al lado de 4.

15 B) 13 C) 12 D) 10 E) 19 A)

C A) 16 D)

B B) 17,8

295

A C)

297

E) 19,5

4. En el triángulo ABC cuyos lados miden a, b y c metros, la mediana sobre el lado a mide:


112

1 2a 2 + b 2 + c 2 A) 2

(

)

1 2

20 cm 17 21 D) cm 13

m

1 2 2

(b + c + 2a ) m 1 C) (2b + 2c − a ) m 2 B)

2

2

2

(2b + 2c 1 E) (b + c 2 2

D)

2

)

1

2

−a

2

+ 2a 2

2

m

)

1 2

A) 2, 3 y 4 D) 5, 6 y 7 m

B) 13,15 dm E) 12,35 dm

C)

15 cm 17

B) 7, 8 y 9 E) 4, 5 y 6

C) 6, 7 y 8

8. En un triángulo ABC, las medianas respecto a los lados AC y AB son perpendiculares. Si los lados son llamados AB = c, BC = a y CA = b, la relación que existe entre ellos es:

5. Si en un triángulo ABC, los lados AB y AC tienen longitudes 10 dm y 3 dm, respectivamente, y la medida del ángulo BAC es 45º. Hallar la longitud del lado BC. A) 9,12 dm D) 8,15 dm

B)

7. En un triángulo ABC, los lados están representados por tres números enteros consecutivos y el ángulo mayor es el doble del menor. Calcular los lados del triángulo.

1 2 2

2

10 cm 13 20 E) cm 13

A)

C) 10,4 dm

6. Sea ABCD un cuadrilátero donde ∠C es recto, AB = 13 cm, BC = 20 cm, CD = 10 cm y AD = 17 cm. Hallar la longitud de la proyección AD sobre la recta que contiene al segmento AB.

b 2 + c 2 = 2a 2 2 2 2 C) b + c = 3a 2 2 2 E) b + c = 6a A)

b2 + c 2 = 5a 2 2 2 2 D) b + c = 4a

B)

9. En un triángulo ABC, cuyo ángulo ABC vale 90º, se traza una recta AD, donde D cae en el lado BC, tal que el ángulo DAC es el doble de BAD. Sabiendo que: AB = hallar BD. A) 1

B)

2

C)

3

2 7 y DC = 8, D) 2

E)

2 3

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO C r O

r


113

•

SEGMENTOS Y RECTAS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA.C

•

Radio:

•

Cuerda:

•

Diámetro:

F O E

r d

•

D

A

r

r

d

d

PUNTO DE TANGENCIA.-

Se denomina punto de tangencia al único al único punto de intersección de la recta tangente con la circunferencia. En la figura, A es el punto de tangencia.

•

PROPIEDADES.-

1. Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en su punto de tangencia. Figura 1.


114

2. Toda recta perpendicular a una tangente en su punto de tangencia pasa por el centro de la circunferencia. Figura 2 3. Las longitudes de las tangentes trazadas desde un mismo punto exterior a la circunferencia son iguales. Figura 3. 4. La recta que pasa por el centro de una circunferencia, es bisectriz de todo ángulo con vértice en la misma recta y al exterior de la circunferencia, y cuyos lados son tangentes a la circunferencia. Figura 4: La recta PO es bisectriz del ángulo APB. T

L

T

.

A

O

O

P P A E

.

O

B

F

•

Ejemplo 1: En el trapecio ABCD está inscrita una circunferencia. Si AE mide 8 u, DN mide 16 u, entonces el radio de la circunferencia mide: (Admisión UNSA 99) B) 5 3 u

A) 12 u A

E

C) 6 2 u

D) 8 2 u

E) 7 2 u

B F

M

D

N

C


115

•

Ejemplo 2: El valor de X en cm de la siguiente figura es: A) B) C) D) E)

52 48 47 46 45

(Admisión UNFV 99)

X

48 cm

•

Ejemplo 3: En una circunferencia de centro “O” se traza el diámetro CD y una cuerda AB que se cortan en el punto H. Si las distancias de C y D a la cuerda AB miden respectivamente 9 m y 5 m. La distancia del centro “O” a la cuerda AB es: (Admisión UNSA 2000) A) 3/2 m B) 7 m C) 2 m D) 9/2 m E) 3 m

•

ARCOS, CUERDAS Y ÁNGULOS.-

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA = 2 π R AMPLITUD DE LA CIRCUNFERENCIA = 360º

Ejemplo 1: Calcular la longitud de un arco AB subtendido por la cuerda AB si su amplitud es de 60º y su radio es de 50 cm. A

O

60º

B


116

Ejemplo 2: Calcular la amplitud de un arco CD cuya longitud es de 10 π metros y cuyo radio es de 20 cm. C

10 π m

O

X

D

Ejemplo 3: En un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 48 cm se inscribe una circunferencia de longitud 24 π cm. ¿Cuál es el perímetro de dicho triángulo? (Admisión UNMSM 99) A) 120 cm B) 144 cm C) 96 cm D) 72 cm E) 60 cm

•

ÁNGULO CENTRAL.- .......................................................................................................

..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... A

B

O

•

ÁNGULO INSCRITO.E

A

B


117

•

COROLARIOS:

1. ..................................................................... 2. ..................................................................... ............................................................................ ............................................................................ ..........................................................................

..........................................................................

3. ....................................................................... ............................................................................ ..........................................................................

•

ÁNGULO SEMI – INSCRITO.-

•

ÁNGULO INTERIOR.-


118

•

ÁNGULO EXTERIOR.-

Ejemplo 1: ¿Cuántos grados representa X e Y?

4x 7

B 90º

C

Y

A

94º

X D

Ejemplo 2: ¿Cuánto mide x, y, m, n? B A

P

24º

y

n

E C

67º

x m D


119

PRÁCTICA Nº 17 Tema: Circunferencia, cuerdas, arcos y ángulos. •

G

Observa y resuelve:

1. x + 3y es: a) 580º b) 570º c) 634º d) 660º 86º

I y

E

F

T

x H

D

o X y

F

2. 6y - 4x es: a) 12º b) 14º

D

1 (y - x) es: 4 a) π 18 b) π 12 c) π 15 d) π 16

6. En radianes,

60º

c) 15º

d) 10º e) N.A.

x

92º

E o

x

F

62º

y F

3. Si CD // EF ; y - x es: a) 10º b) 11º c) 12º C

E

68º

I

73º

x

E

x D

F

H y G

G

y

F

F

2x

F

y

C

.

D

0º

o

+1

y

122º

G

3x

D

34º

8. El suplemento de x + y es: a) 75º b) 76º c) 77º d) 78º

4. En radianes, x - y es: a) 2π 8 b) 2π 7 c) 2π 5 d) 2π 9 E x

Q

7. El complemento de y - x es: a) 62º b) 64º c) 63º d) 65º

d) 13º e) N.A. D

A y

115º

C

P

E

E

9. 2y + x - 112º es: a) 80º b) 100º c) 110º d) 90º D

5. En radianes, 2x - 3y es: a) π 2 b) π 3 c) π 4 d) π 5 x

F y

40º

C

G E


120 E

P

D 58º

10. 3x - y -8º es: a) 3º b) 4º

100º

c) 5º

y

d) 2º

Q x D

9x

4x

52º y

P

F

Q

11. x - 2y + 4º es: a) 50º b) 52º

M

12. x + y + 30º es: a) 76º b) 78º c) 54º

d) 53º

D

G

S

c) 77º

X

d) 79º

E y

C

F

23º G

UNIDAD IV: ÁREAS ÁREA DEL RECTÁNGULO.l

d

l

A=

•

h

b

A=

A=

Ejemplo 1: El área de un rectángulo es 156 m2. Halla las dimensiones de sus lados, sabiendo que estos son números enteros consecutivos.


121

•

Ejemplo 2: Halla el área de un cuadrado, cuya diagonal mide 16 cm.

•

Ejemplo 3: En un campo rectangular de la UNSA, el largo es el triple del ancho. Si el largo aumenta en 20 m y el ancho en 8 m, el área del campo rectangular inicial es: (Admisión UNSA 98) A) 280 m2 B) 30 m2 C) 200 m2 D) 250 m2 E) 150 m2

PRÁCTICA Nº 18 Tema: Área del rectángulo 1. El área de un rectángulo es 500 m2. Se sabe que la longitud de su base excede en 5 m a la longitud de su altura. El perímetro del rectángulo es: A) 86 m B) 94 m C) 90 m D) 88 m 2. El perímetro de un rectángulo es de 70 m y su diagonal mide 25 m. El área del rectángulo es de: A)300 m2 B)285 m2 C)284 m2 D)304 m2 3. El patio de un colegio tiene 32 m de largo por 18 m de ancho. ¿Cuántas locetas cuadradas de 20 cm de lado serán necesarias para cubrir el piso? A) 14 200 B) 14 600 C) 14 400 D) 14 300 4. La base de un rectángulo es 8 cm menos que el doble de su ancho. Halla el área del rectángulo, sabiendo que su perímetro es de 56 cm. A) 182 cm2 B) 194 cm2 C) 184 cm2 D) 192 cm2 5. Dos lados consecutivos de un rectángulo están en la relación de 3 es a 4. La suma de las diagonales de estos lados excede en 10 m a la longitud de su diagonal. El área del rectángulo es de:

A) 280 m2 D) 288 m2.

B) 300 m2

C) 320 m2

(Sug. Supones que los lados miden 3x y 4x; luego hallas la diagonal, por Pitágoras,…)

6. El área de un rectángulo es de 357 m2. Si a su base se le disminuye 3 m y a su ancho se le aumenta 3, entonces el área aumenta en 3 m2.El largo del rectángulo mide: A) 24 m B) 26 m C) 21 m D) 23 m 7. El área de un cuadrado es 81 m2.El área de otro cuadrado, cuyo lado es igual a la diagonal del primero, es de: A) 162 m2 B) 164 m2 C) 160 m2 2 D) 161 m 8. El área de un cuadrado es 80 m2. Otro cuadrado, cuya diagonal mide cinco veces el lado del primer cuadrado, tiene de área: A) 1000 m2 B) 990 m2 C) 1040 m2 D) 1010 m2 9. Un rectángulo tiene 135 cm de largo por 15 cm de ancho. ¿Cuántos cm habrá que aumentar al ancho y cuántos se disminuirá al largo para que resulte un cuadrado de igual área? A) aumentar 30 y disminuir 80 B) aumentar 40 y disminuir 90


122

C) aumentar 30 y disminuir 90 D) aumentar 40 y disminuir 70

se le aumenta 4,5 m. La diagonal del cuadrado mide:

10. El área de un cuadrado resulta duplicado si a uno de sus lados se le agrega 3 m y al otro

A) 8 2 m B) 7 2 m E) 10

C) 9

2m

2m

ÁREA DEL TRIÁNGULO.-

h

cateto 1

cateto 2

b

A=

A=

A=

•

Ejemplo 1: El área de un triángulo es 90 m2. Halla la longitud de su altura y la longitud de su base, sabiendo que esta excede en 8 m a aquella.

•

Ejemplo 2: Halla la altura de un triángulo equilátero, cuya área es de 243 3 m2.


123

•

Ejemplo 3: Calcular el área de la siguiente superficie. (Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 3 m2

B)

3 m2

C) 6 m2

D) 3 3 m2

4m

3m

•

Ejemplo 4: El cateto mayor de un triángulo rectángulo es el doble del menor; si cada uno aumenta 8 cm el área se hace seis veces mayor. La suma de los catetos es (Admisión UNMSM 99) A) 12 cm B) 9 cm C) 6 cm D) 15 cm E) 18 cm

•

Ejemplo 5: Se tiene un triángulo rectángulo isósceles de 72 u2 de área. Si se disminuye uno de sus catetos en 3 unidades, y se incrementa el otro cateto para obtener otro triángulo con la misma área, entonces la suma de los catetos del nuevo triángulo es: (Admisión UNSA 99) A) 21 u B) 23 u C) 25 u D) 24 u E) 22 u

•

Ejemplo 6: Los catetos de un triángulo rectángulo son entre sí como 3 y 4. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa, sabiendo que la superficie del triángulo mide 24 m2? (Admisión UNJBG 99) A) 8 metros B) 9 metros C) 10 metros D) 12,5 metros E) 15 metros


124

•

Ejemplo 7: La hipotenusa de un triángulo isósceles mide 3 2 cm. ¿Cuánto mide el área de dicho triángulo. (Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 4,5 cm2 B) 4 cm2 C) 3,5 cm2 D) 3 cm2

•

Ejemplo 8: Se tiene dos triángulos isósceles cuyos lados iguales miden 25 cm la base de uno de ellos es 40 cm y del otro es 30 cm, si “R” es la relación de las alturas correspondientes a dichas bases y “S” es la razón de sus áreas, hallar “R+S”. (Admisión PU CP 99-I) A) 7/3 B) 5/3 C) 8/3 D) 11/3 E) 4/3

•

Ejemplo 9: Hallar el área de un rectángulo cuyos lados se diferencian en 2 cm, sabiendo además que el perímetro de éste rectángulo es igual al de un triángulo equilátero de área 16 3 cm2. (Concurso Escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 36 cm2 B) 35 cm2 C) 30 cm2 D) 42 cm2

•

Ejemplo 10: El área del triángulo ABC es: A) 30

B) 25

C) 20

D) 24

E) 15


B

5

30º

A

12

C


125

•

Ejemplo 11: En la figura, la relación entre el área sombreada y el área no sombreada es (Admisión UNMSM 99) A) 7/12 B) 5/7 C) 3/4 D) 2/3 E) 1/2 4

2

5

12

PRÁCTICA Nº 19 Tema: Área del triángulo 1. La base de un triángulo mide 35,5 m y su altura correspondiente mide los 3/5 de la base. El área del triángulo es: A) 354,04 m 2 B) 378,075 m 2 2 2 C) 364,08 m D) 382,025 m 2. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 2 m. Uno de sus catetos tiene doble longitud del otro. El área del triángulo es: A) 148 m 2 B) 140 m 2 C) 158 m 2 2 D) 160 m 3. La hipotenusa de un triángulo rectángulo

6. Cada lado congruente de un triángulo isósceles mide 13 cm. La base mide 10 cm. Su área es: A) 64 cm 2 B) 60 cm 2 C) 58 cm 2 2 D) 56 cm 7. Las longitudes de un triángulo son tres números enteros consecutivos. Si su perímetro es de 45 m y la altura correspondiente a su lado mayor mide 9 m, entonces su área es: A) 74 m 2 B) 72 m 2 C) 76 m 2 2 D) 78 m

isósceles mide 10 2 cm. Su área es: 2 2 2 A) 52 cm B) 48 cm C) 50 cm D) 54 cm 2

8. El área de un triángulo equilátero es 36

4. La hipotenusa de un triángulo rectángulo forma, con el cateto mayor que mide

9. ¿Cuál es la longitud de la altura de un

8 3 m, un ángulo de 30º. triángulo es: 2 A) 32 3 m

C) 24 3 m

2

El área del

2 B) 16 3 m

D) 30 3 2

5. El área de un triángulo es 180 m . La suma de la longitud de su base con la de su altura es 39 m. La base es mayor que la altura. Entonces la altura mide: A) 18 m B) 16 m C) 15 m D) 12 m

3 m 2 . El perímetro del triángulo es de:

A) 45 m B) 33 m C) 42 m D) 36 m

triángulo equilátero, cuya área es 27 3 m 2 A) 9 m B) 8 m C) 11m D) 12 m 10. La altura de un triángulo equilátero mide 8 3 m. El área del triángulo es: A) 60 3 m 2 2 C) 68 3 m

B) 64 3 m 2 D) 62

3 m2


126

ÁREA DEL PARALELOGRAMO.-

D d h b

A=

A=

•

Ejemplo 1: Dos lados consecutivos de un paralelogramo miden 52 m y 13 m respectivamente. La altura es media proporcional entre dichos lados. Halla su área, sabiendo que el paralelogramo descansa sobre el lado menor.

•

Ejemplo 2: Determinar el área de un paralelogramo si sus lados mide 10m y 7 m respectivamente, sabiendo que el ángulo agudo mide 30º. (Admisión U. de Lima 99-I)


127

PRÁCTICA Nº 20 Tema: Área del paralelogramo. 2

1. El área de un paralelogramo es 183 m y su base mide 15,25 m. La longitud de su altura es: A) 11 m B) 14 m C) 12 m D) 13 m 2. Dos lados consecutivos de un paralelogramo miden 11 y 15 m respectivamente. Su diagonal menor es de 10m. El área del paralelogramo es: A) 106,8 m 2 B) 105,3 m 2 2 2 C) 108,6 m D) 109,9 m

(Sug. 1º Dibujas un paralelogramo ABCD en el que AB=11, AD=15 y BD=10. 2º En el triángulo ABD bajas la altura h desde B a E. Supones que AE = x, entonces DE = … 3º Aplicas Pitágoras en los triángulos AEB y DEB para que halles h,…)

3. Dos lados consecutivos de un paralelogramo miden 68 m y 30 m respectivamente. El lado de 30 m determina con la base un ángulo de 30º. El área del paralelogramo es:

2

A) 1020 m C) 1030 m 2

2

B) 1010 m D) 1000 m 2

4. La diagonal mayor de un paralelogramo es de 17,8 m. Dos lados consecutivos miden 8 m y 12 m respectivamente. El área del paralelogramo es: 2 2 2 A) 80,6 m B) 82,5 m C) 77,4 m 2 D) 79,08 m

(Sug. 1º Dibujas un paralelogramo ABCD en el que AD=12, CD=8, AC=17,8. 2º Bajas la perpendicular h desde C hasta E; supones que DE=x, entonces AE= … 3ºAplicas Pitágoras en el triángulo DEC y en el triángulo AEC, luego hallas h,….)

5. La diagonal menor de un paralelogramo mide 29 cm y la base 36 cm.Halla el área del paralelogramo, sabiendo que el ángulo que forma la diagonal menor con el lado menor es de 90º. A) 625,7 cm 2 B) 617,7 cm 2 2 C) 630,5 cm D) 615,8

•

Ejemplo 3: Una de las diagonales de un rombo mide 3 m más que la otra. Halla la longitud de las diagonales, sabiendo que el área del rombo es 90 m2.

•

Ejemplo 4: Cada lado de un rombo mide 12 5 m. Halla su área sabiendo que las longitudes de sus diagonales están en la relación de 1 es a 2.


128

•

Ejemplo 5: Las diagonales de una ventana en forma de rombo se encuentran en una relación de 1 a 8. Si el área de la ventana es 25 m2, las diagonales de la ventana miden (Admisión UNMSM 99) A) 16 m y 2 m B) 20 m y 2,5 m C) 15 m y 2,5 m D) 15 m y 3 m E) 18 m y 3 m

PRÁCTICA Nº 21 Tema: Área del rombo. 1. El área de un rombo es 180 m 2 . Si una de sus diagonales mide 15 m, entonces la longitud de la otra diagonal es: A) 21 m B) 22 m C) 24 m D) 23 m 2. Una de las diagonales de un rombo mide 3 m más que la otra. ¿Cuál es la longitud de la diagonal menor si el área del 2 rombo es 170 m A) 16 m B) 15 m C) 18 m D) 17 m 3. El perímetro de un rombo es de 52 m y la diagonal menor es igual a los 5/12 de la mayor. Entonces el área del rombo es: 2 2 A) 120 m B) 110 m 2 C) 160 m D) 140 m 2 4. En un rombo, las longitudes de sus diagonales están en la relación de 4 es a 5 y la diferencia entre ellas es de 4 cm. El área del rombo es: A) 160 cm 2 B) 140 cm 2 2 2 C) 120 cm D)180 cm 5. El perímetro de un rombo es 136 m. La diagonal menor es los 8/15 de la mayor. El área del rombo es: 2 2 A) 880 m B) 960 m 2 2 C) 920 m D) 840 m

A) 22 m B) 24 m C) 21 m D) 23 m 7. Cada lado de un rombo mide 5 29 m y sus diagonales están en la relación de 2 es a 5. El área del rombo es: A) 520 m 2 B) 540 m 2 2 2 C) 510 m D) 500 m 8. El perímetro de un rombo es 80 m y la suma de sus diagonales es 56 m. El área del rombo es: 2 2 2 A) 264 m B) 324 m C) 268 m D) 384 m 2 9. El perímetro de un rombo es 34 m y la diferencia de sus diagonales es 9 m. Su área es: 2 2 2 A) 52 m B) 54 m C) 56 m D) 58 m 2 10. La diagonal de un rectángulo mide 25 m. Si su área es equivalente a la de un rombo cuya diagonal menor es igual a la altura del rectángulo. ¿Cuánto mide la diagonal mayor del rombo? A)

625 − h 2 m

C)

25 − h 2 m

2 B) 2 625 − h m 2 D) 2 25 − h m

6. Una de las diagonales de un rombo mide 5 m más que la otra. ¿Cuál es la longitud de la diagonal mayor, si el área del 2 rombo es 168 m ?


129

ÁREA DEL TRAPECIO.b

A=

h

B

•

Ejemplo 1: La longitud de la base menor de un trapecio es un tercio de la longitud de la base mayor. Halla las longitudes de las bases, sabiendo que su altura es de 4 m y su área es 56 m2.

•

Ejemplo 2: El perímetro de un trapecio isósceles es de 120 m. Sus bases miden 20 m y 50 m respectivamente. Halla su área.

•

Ejemplo 3: El área de un trapecio es 120 u2, su altura mide 8 u y el segmento que une los puntos medios de sus diagonales mide 2 u. La suma de las longitudes de sus bases es. (Admisión UNSA 98)

A) 36 u

B) 30 u

C) 34 u

D) 32 u

E) 28 u


130

•

Ejemplo 4: Los lados no paralelos y la base menor de un trapecio isósceles, son congruentes entre sí y miden 13 cm. Si la base mayor mide 23 cm, el área del trapecio en metros cuadrados es: (Admisión UNFV 99) A) 128 B) 144 C) 204 D) 216 E) 328

•

Ejemplo 5: En el trapecio ABCD, AB = 15; AC = 5; CD = 8 y la altura 4. DE es una recta tal que el área AEDC es igual al área EDB. Hallar la relación (Admisión PUCP 99-I) A) 1/3 B) 1/6

•

C) 7/30

D) 1/15

AE AB

E) 2/15

Ejemplo 6: En la figura ABCD es un trapecio isósceles tal que AB = BC = a. Hallar el área del trapecio. (Admisión UNMSM 99) A)

3a 2 3 2

B)

B

3a 2 4

3

C)

a2 3 4

D)

9a 2 4

E)

5a 2 3 4

C 120º

A

•

D

Ejemplo 7: En el cuadrado MNPQ, T es el punto medio de NR . Hallar el área de la región sombreada, si MN = 15 m y QR = 11 m (Admisión UNSA 2000) A) 95,7 m2. B) 97,5 m2. C) 94,5 m2. D) 195 m2. E) 197 m2. N

T

P R

Profesor: Fernando Gamarra Morales. M

Q

131

PRÁCTICA Nº 22 Tema: Área del trapecio. 1. El área de un trapecio es 522 m 2 . Su altura es de 18 m y su base mayor 380 dm. La longitud de la otra base es: A) 18 m B) 22 m C) 20 m D) 24 m

2. Las diagonales de un trapecio rectángulo

miden 26 m y 30 m respectivamente. Si su altura es de 24 m, entonces su área es de:

A) 336 m 2 D) 330

B) 338

m2

C) 334

m2

A) 21 m B) 26 m C) 28 m D) 24 m 8. La diferencia entre las longitudes de las dos

bases de un trapecio es de 6 m. La diferencia entre la base mayor y la altura es de 10 m, y la suma de las longitudes de la otra base y la altura es 14 m. El área del trapecio es:

A) 60 m 2 D) 54

m2

B) 58

miden cada uno 16 área del trapecio es:

m

ED // AB ; AE // BD

2

E

2 m, ángulos de 45º. El

B) 704

m2

C) 720

10 m

60º

isósceles miden, cada uno, 18 m y forman con la base mayor, ángulos de 60º. Si su área 2

es 160 3 m , entonces la base mayor mide: A) 24,8 m B) 28,2 m C) 25,4 m D) 26,8 m

5. En un trapecio isósceles los ángulos agudos

miden 45º y la altura mide 20 m. Se sabe que sus bases están en la relación de 7 es a 3. El área del trapecio es:

A) 1000 m

m

2

B) 800

60º

60º A

45º B

m 2 , de ABCDE es: A) 25(1+ 3 ) B) 25 (1+2 3 ) C) 25(2+ 3 ) D) 25(2+2 3 )

El área, en

10. Se sabe que:

AG = 10 m; HK = 25 m; LD = 12 m EK = 24 m; GH = 2 m; KL = 4 m FH = 15 m; CL = 13 m; BG = 12 m E

F

m 2 C) 900 m 2

2

A

G

6. Los lados no paralelos y la base menor de un trapecio isósceles son de igual longitud, miden cada uno 20 m. Si la base mayor mide 35 m, ¿cuál es el área del trapecio?

A) 521,6 m 2 C) 509,8

D

m2

2

4. Los lados no paralelos de un trapecio

D) 1100

m2

m2

60 m y forma con los lados no paralelos, que

D) 710

C) 70

9. En la figura:

3. La base mayor de un trapecio isóceles mide

A) 708 m

m2

m2

B) 601,4

K

L

D

B C

m2

D) 611,5

H

El área total del polígono es:

m2

m2 2 C) 1100 m A) 1420

2

7. El área de un trapecio isóceles es 144 m y

m2 2 D) 1295 m

B) 1510

su altura es de 8 m. ¿Cuál es la longitud de la base mayor, sabiendo que su perímetro es de 56 m?


132

ÁREA DEL TRIÁNGULO (II PARTE) •

ÁREA DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE SUS TRES LADOS.B

A=

p: A

C

Ejemplo 1: Los lados de un triángulo son tres números enteros consecutivos, el perímetro es 60 m. El área del triángulo es (Concurso escolar de Matemática 99 – Moquegua) A) 145,8 m2 B) 170 m2 C) 172,33 m2 D) 120,6 m2

Ejemplo 2: El área de un triángulo es 10 m2, hallar el área del nuevo triángulo si se triplica sus lados. (Admisión U. de Lima 99-I) A) 75 m2 B) 90 m2 C) 85 m2 D) 60 m2 E) N.A.

•

ÁREA DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DEL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA INSCRITA.-

A=

p=


133

Ejemplo 1: Se tiene un triángulo ABC cuyos lados miden 13, 14 y 15. Determinar el área del triángulo y el radio de la circunferencia inscrita. (Admisión U. de Lima 99-I) A) 72 y 6 B) 84 y 8 C) 84 y 4 D) 56 y 7 E) N.A.

•

ÁREA DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DEL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA.-

B

A=

C

A

Ejemplo 1: Determinar el radio de la circunferencia circunscrita a un trapecio isósceles cuyas bases miden 8 m y 6 m y la altura 7 m. (Admisión U. de Lima 99-I) A) 2 m B) 3 m C) 5 m D) 2,5 m E) N.A.

1) Si dos triángulos tienen igual base. Entonces sus áreas son proporcionales a sus respectivas alturas.

H h

b

A1 =

b

A2 =


134

A1 = A2 2) Si dos triángulos tienen igual altura. Entonces sus áreas son proporcionales a sus respectivas áreas.

h

h

b

B

A1 =

A2 =

A1 = A2 3) Si dos triángulos son semejantes Entonces sus áreas son proporcionales a los cuadrados de sus lados correspondientes y alturas también. B’ B

~

h

H

C

A

C’

A’

A1

A2

A1 = A2


135

4) Si dos triángulos tienen un ángulo de igual medida. Entonces sus áreas son proporcionales a los productos de los lados que forman dichos ángulos.

α A1

α A2

A1 = A2

5) Si en un triángulo se traza una ceviana. Entonces el área de cada triángulo interno es al área del otro como la proporción de los segmentos originados por la ceviana.

A1

A2


136

Ejemplo 1: En un triángulo ABC se trazan las medianas AM y CN (N y M en AB y BC respectivamente) que se cortan en Q. De AN se toma un punto medio P, se traza PQ . Determinar: SPQN / SABC. (Admisión U. de Lima 99-I) A) 3/2 B) 7/2 C) 1/12 D) 2/13 E) N.A.

Ejemplo 2: Las medianas AM y BN del triángulo ABC se cortan en G. Si el área del triángulo es 12 u2. ¿Cuál es el área del cuadrilátero NGMC? (Admisión UNSA 2000) 2 2 2 2 A) 8 u . B) 5 u . C) 3 u . D) 6 u . E) 4 u2.

PRÁCTICA Nº 23 Tema: Área del triángulo (II parte) 1. El producto de los tres lados de un triángulo inscrito en un cierto círculo es de 80 m3; si el área del triángulo es de 2 14 m . ¿Cuál es el radio del círculo?

A) 20 m

B) 10 m

D) 5 m

E) 10

C)

3

280

3

m

3


137

2. Uno de los lados de un triángulo mide 408 cm y la suma de los otros dos es 442, si el radio del círculo inscrito es de 19,2 cm. Calcular los lados. A) 401 y 41 B) 405 y 37 C) 247 y 195 D) 389 y 53 E) 400 y 42. 3. En un triángulo ABC, de lados AB = 6, BC = 10 y AC = 14, se ha inscrito una semicircunferencia, cuyo diámetro se encuentra contenido en el lado AB. Hallar el radio de esta semicircunferencia.

( )3 C) ( 3 2 )

( )

A) 3 2

B) 5 4

A)

6 2

D) 2 +

B)

2

E)

2

C)

2+ 2 2

2 3− 6 2

5. La base de un triángulo equilátero es de 15 cm. Se trazan dos rectas paralelas a la base, que determinan en los otros dos lados, y que dividen al triángulo en tres áreas iguales. La longitud de la paralela más cercana a la base es: A) 4 3 cm D) 7,5 cm

B) 5 6 cm E) 12 cm

C) 10 cm

6. La base de un triángulo equilátero mide 15 m. Se trazan dos rectas paralelas a la base que dividen al triángulo en tres regiones de áreas iguales. Hallar la longitud de la paralela más lejana a la base. A) 5 3 m

B) 8 3 m C) 4 3 m

D) 3 3 m

E) 6 3 m

7. En un triángulo ABC, la altura AH es igual a 2,00 m. Calcular a qué distancia del vértice A, se debe trazar una paralela a su base BC para dividirlo en dos áreas iguales.

C) 1,45 m

9. En la figura mostrada, hallar la relación de las áreas de las regiones ABP y

AQ 2 BM 3 = , = MC 2 QC 3 B

E) N.A.

4. Un triángulo equilátero de lado igual a 2 m se divide en un triángulo y un trapecio trazando una paralela a uno de los lados. Si el área del trapecio es la mitad de la del triángulo original. La longitud de la base media del trapecio es:

B) 1,50 m E) 1,25 m

8. El área de un triángulo RST, es 30 m 2 . La bisectriz SM divide al lado opuesto en dos segmentos: RM = 3 m y MT = 7 m. Calcular el área del triángulo RSM. A) 6 m 2 B) 8 m 2 C) 9 m 2 2 2 D) 8,5 m E) 9,5 m

PMCQ, si:

2

D) 5 3 4

2

A) 1,41 m D) 1,00 m

M P

A

C

Q

A) 13/15 D) 14/13

B) 1 E) 11/13

C) 13/14

10. Dado un triángulo de 10 pies cuadrados de área, por sus vértices se trazan paralelas a los lados, generándose un triángulo cuya área se desea conocer, sabiendo que los vértices del triángulo dado son puntos medios de los lados del triángulo generado. A) 5 860 pulgadas cuadradas. B) 5 260 pulgadas cuadradas. C) 5 760 pulgadas cuadradas. D) 4 760 pulgadas cuadradas. E) Faltan datos. 11. Los catetos de un triángulo rectángulo miden respectivamente 5 y 12 m y la bisectriz del mayor ángulo agudo divide al triángulo en 2 triángulos parciales. ¿En qué relación están las áreas de estos dos triángulos parciales? A) 12 a 13 B) 1 a 1 C) 5 a 7 D) 5 a 12 E) 5 a 13 12. En un cierto triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa mide 2 metros y la hipotenusa es los 5/4 de uno de los catetos. ¿Cuál es el área del triángulo? A) 12 m

2

1 6

B) 4 m 2

C) 6 m

2


138

1 3

D) 4 m 2

E)

25 2 m 3

A) 128 m D) 75 m 2

2

2

B) 64 m E) 24 m 2

C) 48 m

2

13. Dos lados de un triángulo se diferencian en 6 cm. Si el menor de estos dos se prolonga 2 cm y el mayor se prolonga 1 cm, la superficie del triángulo aumenta en 20%. ¿Cuánto miden estos dos lados? A) 15 cm y 21 cm B) 17 cm y 23 cm C) 14 cm y 20 cm D) 12 cm y 18 cm E) 16 cm y 22 cm

16. El diámetro AB de un semicírculo, mide 50 dm, se traza la cuerda AP, cuya proyección sobre el diámetro AB mide a su vez 18 dm. Calcular el área del triángulo APB 2 2 A) 800 dm B) 900 dm C) 1 200 dm 2 D) 400 dm 2 2 E) 600 dm

14. Se tiene un triángulo rectángulo cuyo perímetro mide 132 m y donde la suma de los cuadrados de los tres lados es 6050. Determinar su superficie. 2 2 A) 132 m B) 1 452 m C) 3,025 m 2 D) 726 m 2 E) 1 250 m 2

17. En un triángulo rectángulo un cateto mide 4 m y la altura sobre la hipotenusa 2,4 m. ¿Cuál es el área del triángulo? 2 2 2 A) 9,6 m B) 8 m C) 7 m D) 6 m 2 E) 5 m 2

15. En un triángulo ABC isósceles, con AB = BC, la altura que parte de B mide 8 m, y el perímetro 32 m. El área del triángulo es:

18. Dos lados de un triángulo miden 1,44 cm y 0,9 cm. Hallar la longitud del tercer lado, de tal manera que el área sea la mayor posible. A) 1,5 cm B) 1,44 cm C) 0,9 cm D) 0,72 cm E) 2,1 cm

ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES •

POLÍGONO REGULAR:

•

POLÍGONO INSCRITO:

•

POLIGONO CIRCUNSCRITO:


139

•

APOTEMA: .......................................................................................................................... ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................

•

LADO Y APOTEMA EN FUNCIÓN DEL RADIO DEL CÍRCULO CIRCUNSCRITO.-

-

CUADRADO INSCRITO:

- TRIÁNGULO EQUILÁTERO INSCRITO:


140

-

HEXAGONO REGULAR INSCRITO:

-

ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR:


141

PRÁCTICA Nº 24 Tema: Áreas de polígonos regulares. 1. Calcular el área de un hexágono regular de lado 2. A) 6 3

B) 6 6

D) 6 2

E) 4

C) 4 3

A) 68 3 m2

6

2. La relación entre las áreas del triángulo equilátero y el cuadrado inscrito en el mismo círculo es: A)

3 4

3 8 3 3 E) 8

B)

3 2

D)

C)

longitud igual al lado, ¿cuál es el área del nuevo hexágono que se obtiene al unir los extremos de las prolongaciones?

9 16

C) 124 m2

B) 72 3 m2 D) 120 m2

E) 64 3 m2

7. Dado un triángulo equilátero de 3 m de lado. Se dividen en tres segmentos iguales los lados del triángulo y se unen los puntos de división formándose una estrella, como se muestra en la figura. Calcular el área de la estrella.

3. El lado de un hexágono regular mide 9 m. Determinar cuánto mide el lado de otro hexágono regular cuya área es de la del primero. A) 4 m B) 13,5 m D) 4,5 m E) 56 m 4. Encontrar la relación:

4 9

C) 6 m

Ai donde: Ai es Ac

el área del hexágono regular inscrito y Ac es el área del hexágono regular circunscrito a un mismo círculo.

2 3 1 D) 2

3 4 1 E) 3

A)

B)

5 3 m2 4 2 C) 3 − 1 m

C)

3 5

(

E)

A) 3 3 a D)

5 3 2 a 2

)

3 m2

D)

7 3 m2 4

A P

F

B

R

9 3 2 9 3 2 a C) a B) 2 4 7 3 2 a E) 2

6. El lado de un hexágono regular mide 4 m, si los lados del hexágono se prolongan en el mismo sentido y una

)

8. En la figura, el hexágono es regular con 2 cm de lado y el triángulo PQR es equilátero. Si las áreas de las cuatro regiones (delimitada por el triángulo y los tres cuadriláteros) son iguales. ¿Cuánto mide el lado del triángulo PQR?

5. Dado un hexágono regular de lado a. Se prolongan en igual sentido y en una misma cantidad igual al lado a, los lados del hexágono. El área del hexágono obtenido, uniendo los extremos de las prolongaciones, es: 2

(

2 B) 1 + 3 m

A)

Q

E

C

D A)

3 3 2

B) 4

C)6


142

D)

5 3 2

E) N.A.

9. Sea el hexágono regular ABCDEF cuyo lado mide 2 cm. Las diagonales AD, CF y BE se cortan en O. Sobre OD, OF y OB se ubican los puntos G, H y P de modo que el triángulo GHP es equilátero. Si el área del triángulo GHP es la cuarta parte del área de la región hexagonal ABCDEF, calcular la longitud del segmento AG. A) (2 + 2 ) cm

B) 1 cm

C)

(

E)

1 cm 2

)

3 − 2 cm

D)

(

)

2 − 1 cm

10. Sobre los catetos de un triángulo rectángulo ABC, de longitudes 5 y 7 respectivamente, construimos dos triángulos rectángulos isósceles ADB y BEC, tomando AB y BC por hipotenusas. Calcular el área del polígono resultante. A) 30 B) 26 C) 28 D) 36 E) 45

ÁREA DEL CÍRCULO •

CÍRCULO.-

•

PERÍMETRO DEL POLÍGONO.-

•

APOTEMA DEL POLÍGONO.Área del polígono regular de muchos lados = Área del círculo

•

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR.-

-

Ejemplo 1: Halla el área de un sector circular de 12 cm de radio, cuyo ángulo central es de 240º.


143

-

Ejemplo 2: La longitud de una circunferencia es 6 π m. Halla el área del sector circular cuyo ángulo es 36º.

-

Ejemplo 3: En el gráfico: Calcular el área de la región sombreada A) π u2

B) 2 π u2

C) 3 π u2

D) 4 π u2

(Admisión UNJBG 2000-II) E) 5 π u2

C

B

30º

o 3

A

•

SEGMENTO CIRCULAR.-

-

Ejemplo 1: Una cuerda subtiende un arco de 60º. Halla el área del segmento circular cuyo radio mide 2 m.


144

•

CORONA CIRCULAR.-

-

Ejemplo 1: ¿Cuál será el área de una corona circular comprendida entre las circunferencias con radios de 3 m y 4 m.

-

Ejemplo 2: Halla el área de una corona circular sabiendo que un triángulo equilátero es a la vez inscrito y circunscrito y se sabe que el área del círculo menor es 40 m2.

-

Ejemplo 3: Una pista de patinaje tiene la forma de una corona circular. Su área es de 105,975 m2. ¿Cuál es el ancho de la pista, sabiendo que su radio mayor es de 8 m?


145

•

SECTOR DE CORONA CIRCULAR O TRAPECIO CIRCULAR.-

•

ZONA O FAJA CIRCULAR.-

-

Ejemplo 1: Si el área del círculo es 9 π cm2, ¿cuál es la suma de las áreas de los cuadrados I y II? (Admisión UNMSM 99) I

3 cm

II

-

Ejemplo 2: El área sombreada de la figura es igual a

π 2  m 2  π 2  8 −  m 2  π 2  8 +  m 2  5π  2  16 − m 2   5π  2  8 − m 2  

(Admisión UNMSM 99)

A) 16 + B) C) D) E)

1m 2m


146

-

Ejemplo 3: En la figura, halla el área de la región sombreada.

-

Ejemplo 4: Si el radio de tres circunferencias congruentes tangentes entre sí es igual a 5 cm. ¿Cuál es el área del triángulo curvilíneo comprendido entre dichas circunferencias?

-

Ejemplo 5: La figura ABCD es un cuadrado y los arcos AD y DC son semicircunferencia. Halla el área sombreada, si el lado mide 2 m.

-

B

C

A

D

Ejemplo 6: Halla el área sombreada: A

A) 8(π / 2 − 1)

B) 6(π / 2 − 1)

C) 8(π − 1)

D) 6(π − 1)

2 I 0

B

2

0’

C


147

-

S1 S2

Ejemplo 7: En la figura hallar

(Admisión UNSA 98)

A) 1

B) 4/3

C) π /3

D) 1/2

E) 5/3

S2 S1 6u

-

6u

Ejemplo 8: PQ es tangente; X =

Q

8

r 01

r


O

P

2r

PRÁCTICA Nº 25 Tema: Áreas circulares.

• El área, en m2, de cada región sombreada es: 1. D

A

2.

AB = BC = 6 m

A

B

D

C

C

8m

B

A) 13,76 B) 14,75 C) 12,82 D) 15,04

3. R = 4 m ;

r=3m


148

R

4 o

r

A) 64

B) 62

C) 68

D) 60

9.

. O.

4. R = 1 m 5

R

A) 12 π

B) 10 π

3

2

C) 16 π

. D) 14 π

10. 4

5. AB = 10 cm

1

o

A B

11. 6. AB = BC = 6 m A

A

B

3

3

3

B 3 3

3 D

C

7. Cuatro semicircunferencias R = 2 m

12.

D

C

A

B 2m

D 2

8. Área total 128 m

C

13.


149

C) 8( π - 1)

D) 6( π - 1)

17. La siguiente figura es un cuadrado de lado a. Las curvas son arcos de circunferencias de radio

a con centro en los puntos A, B 2

y en el centro C del cuadrado. ¿Cuál es el área de la región sombreada? B

A) 52 14.

B) 54

C) 57

D) 56

.C

AB = BC = 2 m

A

18. Si C1, C2 y C3 son semicírculos de radios iguales, entonces el área de la figura sombreada en función del lado L del cuadrado es:

C1

15. C3

C2 1 π 2 1 −  L 2 4

A) A) 8 π - 10 C) 7 π - 12

B) 7 π - 11 D) 8 π - 6

C)

π 2 L 4

E)

16. A

B)

1 π  2  − 1 L 22 

D)

1 π 2 1 −  L 2 8

1 π L2 8

19. AB = BC = 8 m 2

I

C

B

D

C

O

B

2 O’

A) 8( π /2 - 1)

A

B) 6( π /2 - 1)


150

A)

a2 4

B)

2a 2 3

D)

3a 2 4

E)

a2 2

C)

23. AB =BC = 4 m

a2 3

A

B

D

C

20. ¿Cuánto mide el área?

24. AB = BC ; DB = BF ; AC = 6 m A D

A) 1 u2 D) 40 u2

B) 4 u2 E) 35 u2

A) a

2

a2 D) 3

2

3a 2 B) 4

B

C) 10 u2

21. Calcular el área no sombreada de la figura que se muestra

E

C

F

25.

B

a2 C) 2

6

6

E) 2 a 6

A

a 26.

22. AB = BC = AC = 12 3

6

D

26

C

40

14

B

o

A

A) 3(368 - 48 π ) B) 3(360) - 49 π )

O A

C

6

6

40

7

B

B) 3(360 - 48 π ) D) 3(368 - 49 π )

C


151

27. AB = BC = 8 m

A

B

D

C

28. Hallar el área de la región sombreada comprendida entre dos circunferencias de centro D y un cuadrado con un vértice en D y lado 10 m.

30. CD = 6 m B

C

A

D

31. Los vértices de un hexágono regular son los centros de 6 circunferencias iguales y tangentes (según muestra la figura). Calcular el área de la región no sombreada en función del lado “a” del hexágono.

π 2 π 2   m B)  45 + 25  m 4 4  C) 30 m2 D) (50 + π ) m 2  

A) 501 − E) 50 m2

2 3

(

A)   3a 2 − π a 2

(

)

(

)

 a2   3 3 −π   2 

C)  29. En el rectángulo de 4 m por 2 m, hallar el área sombreada. Donde M y N son puntos medios de BE y EC.

)

a 2

(





B)   3 3 − a 2

(

)

a D)   2 3 − π  6 

)

 a2   2 3 −π  2   32. Hallar el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado de lado “a” y PQ es tangente al arco AC (de centro D) en su punto medio. P B A

E) 

Q

A) 3 m2

B) 4 m2

C) 5 m2

D) 6 m2

D

C

8 2 − 8 + π  2 8 2 + 8 − π  2  a B)  a 4 4     8 2 + 6 + π  2 8 2 + 8  2 C)  D)  a a 4    3  8 2 − 8 − π  2 E)  a 4   A) 


152

33. Los vértices de un rombo, de lado igual a una de sus diagonales son los centros de cuatro circunferencias iguales y tangentes (ver fig.). Calcular el área de la región sombreada en función del radio R. R

R R

R R

(

A) 2 R 2 3 − π

)

R

C) 2 R 2 3 + 3R 2 E)

2

R 2

( 3 −π )

( D) R (2

B) R 2 3 − π 2

)

36. La suma de las áreas de dos círculos tangentes exteriormente es igual a 72 π m2. Calcular la suma de los radios de los círculos, sabiendo que el producto de dichos radios es igual a 24 m2. A) 10 m B) 12 m C) 11 m D) 8 m E) 6 m

3 −π

38. Dadas tres circunferencias de radio 2 , tangente entre sí dos a dos. Calcular el área comprendido entre las tres circunferencias.

)

2 + π B) 3 2 - π C) 3 2 + π D) 2 3 + π E) 2 3 - π A)

34. El área de un círculo inscrito en un hexágono regular es 100 π . El área de dicho hexágono es: A) 200 2 B) 200 3 C) 120 5 D) 300 3

E) 20 dm2

37. El área de un sector circular de 18 m de radio, es equivalente a un cuadrado cuyo lado es igual a la longitud del arco de aquel. El área del sector, en m2, es: A) 81 B) 36 C) 36 π D) 81 π E) 9 π

R R

D) 25 dm2

E) 400 5

35. Calcular en dm2, el área del cuadrilátero curvilíneo que se forma al describir las circunferencias inscritas en los cuatro triángulos que determinan las diagonales y los lados de un cuadrado de 2,4 m de lado ( π = 3,14 ) A) 21,20 dm2 B) 21 dm2 C) 21,25 dm2

39. Dado un triángulo equilátero ABC, de 4 cm de lado, hallar el área de la región comprendida entre la circunferencia circunscrita y la circunferencia inscrita a dicho triángulo. A) 2 π cm2 B) 4 π cm2 C) D)

5π cm 2 E) 3 π cm2 2

3π cm 2 2

UNIDAD V: ÁREAS Y VOLÚMENES SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

PIRAMIDE PRISMA

CONO

ESFERA CILINDRO


153 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

se CLASIFICAN en

POLIEDROS

CUERPOS DE REVOLUCION

se

se en

PRISMAS

SUBCLASIFICAN

PIRÁMIDES

en

CILINDRO

RECTOS

CONO

ESFERA

OBLICUOS

POLIEDROS .................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... .........................................................................................................................

1. PRISMA: ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... .............................................................................................


154

...................................................

...................................................

h ...................................................

h

...................................................

...................................................

Prisma recto hexagonal

Prisma oblicuo triangular

Altura (h): ......................................................................................................................... Arista lateral: ..................................................................................................................... Arista de la base: ................................................................................................................ ♦ Como podemos apreciar en la figura anterior: Si las aristas laterales de un prisma son perpendiculares a la base. Entonces: ...............................................................

Si las aristas laterales de un prisma son oblicuas a la base. Entonces: ............................................................... Area lateral (Al): ........................................................................................................ Area total (At): . .......................................................................................................... Volumen (V): .............................................................................................................. Teoremas:

Al = P x h

P = ............................................

At = Al + 2B

B = ............................................

V= B x h Profesor: Fernando Gamarra Morales.

155

Ejemplo 1: Una caja de chocolates tiene la forma de un prisma recto cuya base es un hexágono regular. Su altura es de 10 cm y tiene 416 cm3 de volumen. ¿Cuántos cm2 de papel necesitaré para forrar la caja? Solución: En otras palabras lo que el problema me pide es el área total. 1º) Hallo el área de la base del prisma.

V=Bxh 416 cm3 = B (10 cm) cm 3 cm

B=

cm 2

B=

2º) Hallo el perímetro de la base: hexágono regular

R=l

B=

apot =

R 3 2

apot =

ó

l 3 2

perimetro x apot . 2

41,6 =

l 3 2 2

6l x

3 3 l2 41,6 = 2

l = 4 cm

Perímetro = 6 l = 6 (4 cm) = 24 cm 3º) Hallo el área lateral:

Al = P x h Al = 24 cm x 10 cm

cm2

Al =

4º) Hallo el área total:

At = Al + 2B Al =

cm2 + 2 (

cm2)

Respuesta: En total se necesitan

At =

cm2

cm2 de papel para forrar la caja de chocolates.


156

• Paralelepípedo rectangular: .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Ejemplo 2: Un paralelepípedo rectangular tiene dimensiones a, b y c en metros. Su área total es 94 m2 y su diagonal es 5 2 m. El valor de (a + b + c ) es: 2

A) 144

B) 140

C) 120

(Admisión U. del Callao 99-II) E) 121

D) 143

Ejemplo 3: Determinar el área del mayor triángulo inscrito en un cubo de a unidades de arista. (Admisión UNSA 99) A)

3a 2 2 u 2

B)

3a 2 2 u 3

C)

3a 2 2 u a

D)

a2 2 u 2

E)

2 2 u 2a 2


157

PIRÁMIDES .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... ............................................................................................... ..................................... ..................................... .....................................

h

.....................................

.....................................

.....................................

Pirámide cuadrangular recta

Pirámide triangular oblícua

Altura (h): ......................................................................................................................... Apotema: .......................................................................................................................... Si la base de una pirámide es un polígono regular. Entonces ...............................................................................

Si la base de una pirámide es un polígono irregular. Entonces ............................................................................... Si un extremo de la altura de una pirámide coincide con la intersección de las diagonales (baricentro o centro de gravedad) de la base. Entonces ........................................................................................................................................... Una pirámide es oblicua si no cumple con la condición anterior. Area lateral (Al): ..................................................................................................


158

Teorema: El área lateral de una pirámide regular es igual al semiproducto del perímetro de la base por el apotema de la pirámide.

Al =

2

Teorema: El área total de una pirámide regular es igual a la suma de su área lateral más el área de su base.

At = Al + B Teorema: Volumen de una pirámide es

1 V= x 3

x

Ejemplo 1: La base de una pirámide es un rectángulo de 48 m de perímetro. Su altura es de 20 m. Hallar su área lateral, su área total y su volumen, sabiendo que las dimensiones de su base son como 5 es a 3. Solución: 1º) Hallo las dimensiones de la base: X Y

Y X

a)

x 5 = y 3 3x = 5y 3x - 5y = 0

b) 2x + 2y = 48 x + y = 24

Formo un sistema de ecuaciones con a y b

3x − 5 y = 0 c)   x + y = 24

x=

,

y=


159

2º) Hallo la altura de las caras laterales de la pirámide (apotemas de la pirámide):

h

H

a) Altura de la cara que tiene como base el largo de la base de la pirámide: )2 + (

H 2 =(

)2

H=

m

b) Altura de la cara que tiene como base el ancho de la base de la pirámide: h2 = (

)2 +

(

)2

h=

m

3º) Entonces el área lateral de la pirámide es:

Al = 2A1 + 2A2 Al =

2(

)(

) + 2(

2

)(

)

Al =

2

m2

4º) El área total es:

At =

+

At =

5º) El volumen es:

V=

(

)(

)( 3

)

V=

m3

Ejemplo 2: Una pirámide cuya base es un cuadrado tiene un volumen de 6,4 m3 y tiene una altura de 0,3 m. Hallar la medida del lado del cuadrado. (Admisión UNSA 98) A) 5,2 m B) 5,3 m C) 6,0 m D) 8,0 m E) 64,0 m


160

Ejemplo 3: En el paralelepípedo recto mostrado en la figura, AD = x, AB = y, BF =z. Calcular el volumen del tetraedro de vértices ACFB. (Admisión UNI-99-II) A)

2 xyz 3

B)

1 xyz 6

A

E

H

1 xyz 9

y

B

D)

1 xyz 3

E)

1 xyz 4

z

x

D

C)

F

C

G

Ejemplo 4: El volumen del octaedro que se obtiene al unir los centros de las caras contiguas de un cubo de lado l es: (Admisión UNI 99-II)

l3 A) 12

l3 B) 9

l3 C) 6

l3 D) 18

l3 E) 8


161

Ejemplo 5: Se tiene una pirámide recta de base rectangular de lados 24 m y 18 m cuyas aristas laterales miden 25 m. Hallar el área de la sección formada por un plano que contiene al vértice de la pirámide y a la diagonal de la base. (Admisión PUCP 99-II) A) 330 m2 B) 300 m2 C) 325 m2 D) 320 m2 E) 280 m2

PRÁCTICA Nº 26 Tema: Prismas y Pirámides 1. Si la suma de los cuadrados de la diagonal de un cubo y de la diagonal de una de sus caras se multiplica por la longitud de una de sus aristas, se obtiene el volumen del cubo multiplicado por: A) 3 B) 2,5 C) 6 D) 5 E) 4 2. Una pirámide recta de base cuadrada tiene una altura de 1,20 m y cada una de las aristas laterales mide 1,30 m. ¿Cuánto mide el área de la proyección de una cara lateral sobre la base de la pirámide? 2 2 A) 0,125 m B) 0,5 m C) 0,4225 m 2 D) 1,56 m 2 2 E) 1 m 3. La cúpula de una torre tiene 8m de altura y su proyección horizontal es un hexágono regular de 1,2m de lado. Esta cúpula piramidal regular hay que revertirla con chapa de zinc. ¿Cuántos metros cuadrados se necesitarán? A) 26,05 m 2 B) 27,85 m 2 2 2 C) 28,75 m D) 29,05 m E) 30,15 m 2 4. Las áreas del fondo, del frente y del lado de una caja rectangular se conocen. El producto de estas áreas, es : A) Igual al volumen de la caja B) Igual a la raiz cuadrada del volumen C) El doble del volumen D) El cuadrado del volumen E) El cubo del volumen

5. Las caras de un trazo rectangular de madera tienen 6, 8 y 12 cm 2 respectivamente. El volumen de dicho trazo, es: 3 3 A) 26 cm B) 144 cm C) 72 cm 3 D) 24 cm 3 3 E) 576 cm 6. Una piscina de 10 metros de profundidad tiene la sección longitudinal que se muestra en la figura. La cantidad de agua necesaria para llenarla, es: 1m 2m 4m 10 m

A) 650 m 3 3 D) 800 m

5m

B) 600 m 3 3 E) 550 m

5m

C) 700 m 3

7. En la figura se representa una pieza metálica que forma parte de una máquina. ¿Cuál es el volumen de dicha pieza?


162

1cm 1cm

2 cm

3 cm

4 cm

2 cm

1 cm

VISTA FRONTAL Y DE ARRIBA

A) 32 cm 3 3 D) 64 cm

B) 16 cm 3 3 E) 36 cm

C) 24 cm 3

8. Determinar la relación que existe entre el volumen de un cubo y el volumen de un octaedro regular, cuyos vértices están situados en los centros de cada una de las caras del cubo. A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 9. Una pirámide regular cuadrangular de 8 unidades de altura es equivalente a una pirámide triangular regular de 16 unidades de lado y 3 3 unidades de altura. ¿Qué distancia hay entre el centro de la base de la pirámide cuadrangular y sus aristas laterales? A) 6 B) 7,2 C) 2,4 D) 3,6 E) 4,8

4, 5 y 6 metros, respectivamente.Entonces, 3 el volumen del tetraedro, en m , será: A) 24 B) 30 C) 20 D) 40 E) 48 12. La siguiente figura es un paralelepípedo rectangular de dimensiones 12 m; b m y c m. Si la pirámide cuya base es el triángulo subrayado y cuyo vértice es el punto P tienevolumen 72 m 3 ; ¿cuál es el volumen del paralelepípedo dado? A) 216 m

3

m3 3 C) 360 m 3 D) 432 m 3 E) 576 m B) 288

P

13. La figura representa una caja; en el punto H sobre la cara ABFE se encuentra una hormiga, y en el punto Y sobre la cara EFGK se encuentra su comida. Hallar la mínima distancia recorrida por la hormiga para llegar a I. B

10. El volumen de agua contenido en el sólido mostrado en la figura, es:

C

A

D 7. F

G

2 3

5

10 3

8 E

(

6

)

(

A) 6 + 5 m

6

A) 300 B) 240 C) 225 D) 210 E) 180

C) 8 m

K

)

B) 2 + 37 m D)

65 m

E) 9 m

11. Un tetraedro ABCS tiene sus aristas SA, SB y SC perpendiculares entre si y miden

CUERPOS DE REVOLUCION .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... ...............................................................................................


163

CILINDRO .................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... ..................................... ...

........................................ ........

..................................... ... ..................................... ...

........................................ ........

h

........................................ ........

........................................................ ....

Cilindro Recto

h

Cilindro Oblicuo

• Area lateral (Al): .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... ..............................................................................................

Al = C x h

Al = 2 π r x h


164

• Area total: .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... ..............................................................................................

At = Al + 2B At =

+

.

At = • Volumen: ..........................................................................................................................................

V=Bxh V= • Ejemplo 1: El área lateral de un cilindro recto de 8,5 cm de radio es igual al área de su base. Halla el área total y el volumen del cilindro. Solución: 1º) Según el enunciado del problema, se cumple:

Al = B 2 π r x h = π r2 2π (

)h = π(

)2

53,4 h = 227 h=

altura

2º) Hallo el área total:

At = 2 π r (h + r) At = 2 π (

)(

+

)

At =

cm2

3º) Hallo el volumen:


165

V = π r2 x h )2 x (

V= π (

Respuesta: El cilindro tiene •

)

cm3

V= cm2 de área total y

cm3 de volumen.

Ejemplo 2: Con una pieza metálica de forma cilíndrica de altura 8 cm se desea construir el componente de la figura, la cual está formada por dos paralelepípedos y un cilindro recto. Calcula el volumen (cm3) del material que se desechará al construir la pieza. (Admisión UNI 99-II) A) 10(2π − 3) B) 16(3π − 4 ) C) 10(4π − 1) D) 16(π − 1) E) 10(2π − 4 )

2

4

2

CONO

Si una recta apoyada en un punto (vértice) sobre otra recta fija (eje) se mueve de manera que genera una superficie cónica de revolución. La recta móvil, se llama generatriz y siempre pasa por el vértice.

.................................. ..................................

Cono recto ..................................

.................................. ..................................

..................................


166

.....................................

.....................................

..................................... h

.....................................

Cono oblícuo

• Area lateral (Al): .................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................

Al =

Al =

Cxg 2

g

Al =

2

• Area total (At): .................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................

At = Al + B At =

+

At =

.

• Volumen:

....................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................... .........................................................................................................................

V=

1 Bh 3


167

1 ( 3

V=

)

V=

1 3

• Ejemplo 1: El área lateral de un cono circular recto es de 1696,46 cm2 y su generatriz es de 30 cm. Halla el área de su base y su volumen. Solución: 1º) De acuerdo al enunciado del problema se cumple: Al= πrg 1696,46 cm2 = π r (30 cm) cm 2 cm

r=

r=

cm

2º) Hallo el área de la base Area = π r2 Area = π (

cm)2

cm2

Area =

3º) Para hallar el volumen necesito conocer su altura. Aplico el teorema de Pitágoras:

h

30

18

g2 = h2 + r2 cm)2 = h2 + (

(

cm)2

h=

cm

Entonces el volumen es: V=

V =

π(

1 Bh 3 cm ) 3

2

(

cm )

V=

cm3


168

cm2 y el volumen es de

Respuesta: El área de la base es de •

m3.

Ejemplo 2: Tomando en consideración la figura adjunta, determine el volumen del cono. El cono está inscrito en el cubo. (Admisión UNSA 99) 3 3 A) 0,78 u B) 1,56 u C) 3,14 u3 D) 2,18 u3 E) 1,57 u3

3

6u

ESFERA .......................................... ..........................................

..........................................

O

.......................................... ..........................................

• Area: El área de la superficie esférica de radio r, es igual a cuatro veces el área de su generatriz.

A= • Volumen: El volumen de una esfera es igual a un tercio del área de su superficie por su radio.

V=

V=

1 xAxr 3

1 ( 3

)r

V=

3


169

•

Ejemplo 1: El volumen de una esfera es de 7,24 m3. Halla el área de su superficie.

Solución: 1º) Hallo el radio: V=

4 3 πr 3

=

4 3 πr 3

r3 =

r=

2º) Hallo el área de la superficie esférica es de 18,09 m2. A = 4 π r2 A = 4π (

m)2

m2

A=

Respuesta: El área de la superficie esférica es de

m2.

•

Ejemplo 2: Se tiene un círculo inscrito, en un triángulo equilátero, si se hace girar 360º alrededor de una altura, hallar la relación de los volúmenes. (Admisión PUCP 99-I) A) 2 B) 2,5 C) 2,25 D) 1,75 E) 2,75

•

Ejemplo 3: Un cubo está inscrito en una esfera. Si la arista del cubo es a, entonces el área de la superficie esférica es: A)

4π a 2

B)

π a2

3 2 C) π a 4

(Admisión UNSA 2000)

D)

3π a 2

E)

2π a 2

PRÁCTICA Nº 27 Tema: Cilindro, Cono y Esfera. 1. Si la generatriz de un cono recto circular y el diámetro de su base son iguales entre sí, ¿cuántas veces mayor es el área lateral del

cono, que la superficie de la esfera inscrita en el cono? A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) Son iguales


170

2. El volumen del sólido de revolución por la rotación de un cuadrado de 6 cm de lado, alrededor de una de sus diagonales es: A) 3 3 π cm 3

B) 36 2 π cm 3

C) 30 3 π cm3

D) 36 3 π cm3

E) 32 2 π cm3 3. Los radios de las bases mayor, menor de un tronco de cono de revolución miden 11 y 12 cm, respectivamente. ¿Cuál es el radio del cilindro circular recto de la misma altura que el tronco y que tiene un volumen equivalente al de éste? A) 7 cm B) 7,14 cm C) 6,14 cm D) 9 cm E) 11,5 cm 4. Calcular el volumen de la esfera circunscrita a un cubo de 1 metro de arista (utilizar dos cifras decimales para las aproximaciones). A) 2,67 B) 2,75 C) 2,81 D) 2,59 E) 2,71 5. Al aumentar el radio de un cilindro en 6 m el volumen aumenta en X metros cúbicos. Si la altura del cilindro aumenta igualmente en 6 m el volumen aumenta en x metros cúbicos. Asumiendo que la altura original medía 2 m el radio original era: A) 2 m B) 4 m C) 6 m D) 6π m E) 8 m 6. Un cilindro está lleno de agua hasta mitad. Se suelta un pedazo metálico y nivel del agua sube en 3,5 cm. Si diámetro del cilindro es 8 cm. ¿Cuál es volumen del pedazo? A) 175 cm3 B) Faltan datos C) 88 cm3 3 D) 264 cm E) 0,226 litros.

la el el el

7. Un triángulo equilátero cuyo lado mide 6a metros y gira alrededor de uno de sus lados. Hallar el volúmen total del sólido engendrado. 3 3 3 A) 52 π a B) 28 π a C) 34 π a D) 54 π a

3

E) 64 π a

3

D) 5,976 dm E) 5,5 dm 9. Los lados de un triángulo rectángulo en A, tienen, respectivamente, las siguientes longitudes: cateto BA=7,2 dm; cateto CA=9,6 dm; hipotenusa BC=12 dm. El triángulo gira alrededor del cateto vertical CA. Hallar el volumen del sólido de 3 revolución resultante, expresándolo en dm 3 3 A) 166,968 π dm B) 165,888 π dm C) 169,888 π dm

D) 162,743 π dm

3

E) 164,828 π dm 10. Una esfera de radio igual a 1,5 dm, tiene el mismo volumen que un cono circular recto, cuyo radio de la base es de 0,75 dm de longitud. Calcular la altura del cono, en metros. A) 4,8 m B) 2,5 m C) 2,4 m D) 2,2 m E) 3,4 m 3

11. La arista de un cubo mide 35 cm. La superficie de la esfera circunscrita al cubo

22   π =   7

será:

A) 116693,5 cm2 B) 11669,35 cm2 2 2 C) 11550 cm D) 5775 cm E) 58347 cm2 12. Un cubo y una esfera tienen igual área, que 2 es 2,4 m . El volumen del cubo es al volumen de la esfera, como: A)

3 π π B) C) 2 6 π

D)

π E) N.A 6

13. Un tronco de cono de altura 12 m tiene por base mayor un círculo de radio R = 10 m si el volúmen del tronco de cono es 700 π m 3 . ¿Cuál es el volúmen del cono? A) 750 π m

3

D) 800

π m3

π m3 C) 780 π m3 3 E) 815 π m

B) 812

14. Si el radio de una esfera aumenta en 0,01 m, el volúmen se incrementa en

8. Una columna de 6 m de altura está formada de un cilindro que remata en cono truncado, cuya altura es el duplo de la del cilindro. El radio de la base superior del tronco es los 5/6 del de la base inferior que es el del cilindro. Calcular el radio de la base del cilindro, siendo el volumen de la columna 3 4,177 m . A) 4,976 dm B) 5 dm C) 4,9 dm

3

13 π cm3 . 3

En el mismo sistema de unidades, la diferencia entre los números que representan a la superficie y al volúmen de la esfera inicial es:

5π 6 − 5π D) 6 A)

B)

−π 6

C)

π 6

E) 0


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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA SUPERIOR. Frank Ayres. Libros Mc GrawHills. GEOMETRÍA. Exámenes de Admisión UNI. 20 últimos años. Colección KANO. GEOMETRÍA MODERNA. Jurgensen. Donnelly. Publicaciones Cultural. S.A. México. GEOMETRÍA MODERNA. Rand Mc Nally. Ed. New Graphs. MATHEMATIQUE 6º. Collection Renes Polle. Francia


Texto Didáctico de Geometria

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