APLICACIÓN DE LA DERIVADA PARA OBTENER EL DESCUENTO ADECUADO QUE MAXIMICE LAS UTLIDADES DE LA BODEGA RIVERA
FACULTAD DE NEGOCIOS MATEMÁTICA 1 APLICACIÓN DE LA DERIVADA PARA OBTENER EL DESCUENTO ADECUADO QUE MAXIMICE LAS UTILIDADES DE LA BODEGA RIVERA
EMPRESA
:
“BODEGA RIVERA”
RAZÓN SOCIAL
:
“BODEGA RIVERA”
TEMA DE APLICACIÓN :
APLICACIÓN DE LA DERIVADA PARA ESTABLECER EL DESCUENTO ADECUADO QUE MAXIMICE LAS UTILIDADES
INTEGRANTES: CODIGO
APELLIDOS Y NOMBRES
C1
C2
C3 C4 C5
Total
BERNABE MEREGILDO TANIA SILVA ANDRE ZAMORA JULISSA SOLANO JULIANA PELAEZ MANUEL
Trujillo, Noviembre del 2015
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INTRODUCCIÓN
En matemática, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de una función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello que utilizará el concepto de deriva en este trabajo de investigación del curso de Matemática 1 ante todo esto y como ejemplo claro tenemos a la bodega “rivera” que fue fundada en el año 2013 es así con el tiempo ha logrado conquistar el mercado con gran eficiencia . actualmente esta bodega es muy concurrida por los vecinos de sus alrededores es así que por su eficiencia tiene nuevos objetivos y metas por cumplir .
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INDICE
INTRODUCCIÓN
1.
INFORMACION DEL GRUPO .................................................................................... 4
2.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ........................................................................ 4 2.1.
Realidad Problemática ...................................................................................... 4
2.2.
Enunciado del problema ................................................................................... 5
3.
HIPÓTESIS ................................................................................................................ 5
4.
OBJETIVOS ............................................................................................................... 5
5.
4.1.
OJETIVO GENERAL ........................................................................................... 5
4.2.
OBJETIVO ESPECIFICOS .................................................................................. 5
MARCO TEÓRICO ..................................................................................................... 6 5.1.
FUNCIÓN ............................................................................................................ 7
6.
DESARROLLO DEL PROYECTO............................................................................. 9
7.
CONCLUSIONES Y RESULTADOS ........................................................................ 13
8.
BIBLIOGRAFÍA........................................................................................................ 14
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1. INFORMACION DEL GRUPO ASISTENCIA DE REUNIONES
INTEGRANTES BERNABE MEREGILDO TANIA
X
X
X
SILVA ANDRE
X
X
X
ZAMORA JULISSA SOLANO JULIANA PELAEZ MANUEL
1.1.
Información personal del grupo
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2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 2.1. Realidad Problemática La bodega ofrece una serie de productos como es:
La bodega “Rivera” está ubicada en Las Quintanas, Trujillo, La Libertad y atiende desde las 7:00 am hasta las 10:00 pm. La bodega está abastecida de todo tipo de productos desde frutas hasta juguetes y abarrotes. Pero en este caso solo nos fijaremos específicamente a las bebidas energéticas (Sporade). La bodega vende 75 botellas de 500 mL a la semana a S/. 1.80 cada uno. Una investigación de mercado indica que por cada S/. 0.54 de descuento que ofrezca, el número de botellas se incrementará en 160 por semana.
2.2. Enunciado del problema ¿Cuál el descuento adecuado en el precio de las bebidas energéticas (Sporade) para maximizar la utilidad en la bodega “Rivera” aplicando los criterios de la derivada?
3. HIPÓTESIS Mediante el uso de las funciones y los criterios de la derivada se determinará el descuento adecuado en el precio para maximizar la utilidad de la bodega Rivera.
4. OBJETIVOS 4.1.
OJETIVO GENERAL Determinar el descuento del precio de las bebidas energéticas (Sporade) para maximizar la utilidad de dicha bodega.
4.2.
OBJETIVOS ESPECIFICOS Obtener la expresión de la rebaja para maximizar la utilidad.
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Obtener el modelo matemático del ingreso y el costo.
Obtener el modelo matemático de la utilidad.
Determinar la gráfica de las funciones.
5. MARCO TEÓRICO 5.1.
DEMANDA La demanda se define como la cantidad y calidad de bienes y servicios que pueden ser adquiridos en los diferentes precios del mercado por un consumidor (demanda individual) o por el conjunto de consumidores (demanda total o de mercado), en un momento determinado. En términos generales, la "demanda" es una de las dos fuerzas que está presente en el mercado (la otra es la "oferta") y representa la cantidad de productos o servicios que el público objetivo quiere y puede adquirir para satisfacer sus necesidades o deseos.
5.2.
INGRESOS El término ingreso tiene básicamente dos acepciones: Las cantidades que recibe una empresa por la venta de sus productos o servicios (ingresos empresariales), y el conjunto de rentas recibidas por los ciudadanos. Los ingresos, en términos económicos, hacen referencia a todas las entradas económicas que recibe una persona, una familia, una empresa, una organización, un gobierno, etc. El tipo de ingreso que recibe una persona o una empresa u organización depende del tipo de actividad que realice (un trabajo, un negocio, una venta, etc.). El ingreso es una remuneración que se obtiene por realizar dicha actividad.
5.3.
FUNCIÓN Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.
f : R R / f(x) = ax b
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5.4.
DERIVADA En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
dy
y
dx = x
5.5.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE Sea una función constante f(x) = C. Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C – C = 0
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5.6.
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LINEAL mx + b Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x,
f ( x h) f ( x)
m( x h) b (mx b)
h
h
mh h
m , lim m m f ´( x) h 0
Lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.
Si f ( x) mx b
5.7.
f ´( x) m
DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN, k. f(x) Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k · f(x) será:
lim m
k . f ( x h) k . f ( x ) h
h 0
k . lim m
f ( x h) f ( x)
h 0
h
k . f '( x)
Se ha demostrado que (k · f(x))' = k · f'(x) Así, para derivar una expresión de la forma k · f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.
5.8.
DERIVADA DE LA FUNCION POLINÓMICA Para calcular la derivada de la función F(x) = x m, m > 0.Se tiene F’(x) = mxm-1
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6. DESARROLLO DEL PROYECTO PRECIO DEL SPORADE x 2.50 1.80 1.20
3 2 1
CANTIDAD VENDIDAS y 550 580 250
Tomaremos “q” como la cantidad de bebidas energéticas (SPORADE) vendidas, la cual será determinada por los datos analizados de la empresa. La variable “x” será el precio de venta de la bebida energética.
PRECIO VS DEMANDA 250 800 200 600 150
400
100
200
50
0 0 0
0
0.5
1
1
2
1.5
2
3
2.5
3
4
3.5
La ecuación de la demanda “q” será una función lineal que dependerá del precio “x”. Sea la función de la demanda:
q f ( x) ax 2 bx c Si x=1.20, y=250 250=a (1.20) 2+b (1.20)+c 250=1.44a +1.2b +c
Si x=1.80, y=580 580=a (1.8) 2+b (1.8)+c 580=3.24a+1.8b+c
Si x=2.50, y=550 550=a (2.50) 2+b(2.50)+c 550=6.25a+2.50b+c
1.44a + 1.2b + c = 250 3.24a + 1.8b + c = 580 6.25a + 2.5b + c = 550
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Utilizando
2
ecuaciones
Utilizando
2
ecuaciones
formamos un sistema de
formamos otro sistema de
ecuaciones y eliminamos c
ecuaciones y eliminamos c
(-1)
(-1)
1.44a + 1.2b + c=250 3.24a +1.8b + c=580
1.44a +1.2 b + c=250 6.25a + 2.5b +c=550
–1.44a – 1.2b – c = - 250
–1.44a – 1.2b – c= –250
3.24a + 1.8b + c=580
6.25a + 2.5b + c=550
1.8a + 0.6b =330
4.81a + 1.3b =300
Unimos los 2 resultados y formamos un nuevo sistema de ecuaciones donde eliminaremos b
1.80a + 0.6b=330 4.81a + 1.3b=300
1.80(1.3)a + 0.6(13)b = 330(0.6) 4.81(0.6)a + 1.3(0.6)b = 300(13) Restando: -0.546(a) = 429-180 Resulta:
a = –456
Reemplazando: 4.81( –456) +1.3 b = 300 b = 1918
Reemplazando: C = -1395
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y = –456x2 +1918x - 1395
El ingreso es: I = demanda x precio de venta I = ( –456x2 +1918x - 1395) (x) I = –456x3 +1918x2 - 1395x
El costo es: C = demanda x precio de costo C = ( –456x2 +1918x - 1395)(0.50) C = –228x2 +959x – 697.5
La utilidad es: U = I – C U (x) = –456x3 +1918x2 - 1395x – ( –228x2 +959x – 697.5)
U = –456x3 + 2136x2 –2354X +697.5 CALCULANDO LA PRIMERA DERIVADA: U’ = -1368X2+4272X-2354 -1368X 2+4272X-2354= 0 a = -1368 b = 4272 c = -2354
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Aplicando formula general:
EL discriminante = 2261.30
X1 = 0.73
X2 = 2.39
;
Analizamos intervalos de crecimiento y decrecimiento:
-∞
Intervalo ;0,73
0,73
2.39
Signo de la f ’(x) Crecimiento/Decrecimiento –
+∞
Máximo / Mínimo Hay un mínimo en 0.74
0,73;2,39
+ Hay un máximo en 2.39
2.39;
–
Actualmente el precio es de 2.5 nuevos soles
El descuento que debe hacerse es 2,50 – 0,73 = 1.77 nuevos soles
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7. RESULTADOS: 7.1.
Actualmente el precio es de 2.5 soles. De manera que, el descuento que debe hacerse es:
2.5 – 0,74 = 1,77 nuevos soles. 7.2.
Se pudo determinar la función de la demanda con respecto al precio y es: I = –456x3 +1918x2 - 1395x
7.3.
Así mismo se determinó que la función del ingreso que depende del precio de venta es: I = –456x3 +1918x2 - 1395x
7.4.
Igualmente se determinó que la función del costo que depende del precio de venta es: C = –228x2 +959x – 697.5
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7.5.
Finalmente se determinó que la función de utilidad que depende del precio de venta es:
U = –456x3 + 2136x2 –2354X +697.5
8. BIBLIOGRAFIA 8.1.
Cálculo 1, Larson 7ta Edición.
8.2.
Análisis Matemático para Ingenieros, Espinoza Ramos. 5ta Edición.
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9. ANEXOS
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