0
puntes de Matemáticas Financieras Elaboró: María de la Luz Everástico Bautista Asesoró: Mcc. Erick Sotelo Sobrevals
Grupo: L-403
Taxco de Alarcón, Gro., a 14 de marzo de 2011.
1
Prólogo Como una labor del entusiasmo que representa para mí el lograr las mejoras en la calidad de la educación Superior y mediante un esfuerzo encauzado a apoyar el aprendizaje de los estudiantes de la Universidad Politécnica del Estado de Guerrero, elaboro este recopilado que espero sirva de guía o base para cumplir con el sistema de Educación Basada en Competencias en que esta universidad sienta sus bases para evaluar. Espero que estos materiales sirvan de punto de referencia tanto a los asesores como a los alumnos. A los primeros para que tengan medios que les permitan orientar de mejor manera y con mayor sencillez a sus estudiantes. Y a los segundos para que cuenten con elementos para organizar su programa de trabajo, se les facilite comprender los objetivos dicha asignatura y se sirvan de los apoyos educativos que contienen. Así, pongo este material a disposición esperando se alcancen los propósitos y el contenido sea satisfactorio. ATENTAMENTE MARÍA DE LA LUZ EVERÁSTICO BAUTISTA Estudiante de LCIA., de la UPEG
2
Contenido: Introducción Definición de Matemáticas Financieras Unidad 1. Interés simple
1.1. Concepto Ejercicios de Monto, capital, tasa de interés y tiempo Unidad 2. Interés compuesto
2.1. Concepto de interés compuesto, tasa nominal Ejercicios de monto, capital, tasa de interés y tiempo 2.2 Valor presente 2.2.1 corto, mediano y largo plazo Ejercicios de Valor presente Unidad 3. Anualidades
3.1. Conceptos Ejercicios
3
Introducción Desde que se inventó la moneda o el uso de la misma, el hombre ha tratado de utilizarla de la mejor manera, el dinero pasó a formar parte importante de la vida de las personas, con él podían y se puede realizar todo tipo de transacciones. El día de hoy ha adquirido una mayor importancia ya que, afortunada o desafortunadamente, todo se mueve través de ese medio, debido a ello también se ha visto la manera de utilizarlo de la mejor manera posible porque al mismo tiempo que abunda en lo general, es muy escaso en lo particular, y por lo mismo es menester el que se sepa manejar y aprovechar a su máxima utilidad. Al estar as personas relacionadas con el uso y manejo del dinero es necesario el comprender de una forma clara y sin complejidades cómo el dinero puede ganar, perder o cambiar de valor con el transcurso del tiempo, debido a la inflación; para ello debemos saber emplear en particular las matemáticas financieras. Además es trascendental su manejo ya que la economía de cualquier nación está basada en el crédito y para tomar una decisión acertada es necesario tomar en cuenta que a través del tiempo el valor del dinero puede tener variaciones. La intención de los presentes apuntes de Matemáticas Financieras es el lograr que el estudiante conozca de una manera más cercana a los conocimientos más importantes que se ven el medio financiero y bursátil, además que se puede considerar que son la base para poder estudiar otras materias que por sus características es requisito el saber de los conceptos y procedimientos para el manejo del dinero. Se ha tratado de exponer todas las unidades de la asignatura de una manera clara y sencilla, utilizando un lenguaje simple para que el lector encuentre interesante el campo de las matemáticas financieras. A lo largo de las unidades se verán problemas prácticos, empezando por ver el Interés Simple que es la base de los siguientes temas como son el Interés Compuesto, Anualidades y parte de Amortización.
4
Es importante aclarar que las matemáticas financieras, como todas las demás matemáticas, requieren de trabajo y práctica, por ello la recomendación de realizar todos los ejercicios que este recopilado contiene. Estoy segura que al final de leer, practicar e interpretar este recopilado, el lector tendrá conocimientos suficientes para poder tomar una decisión en todo lo referente al manejo del dinero.
5
Definición de Matemáticas Financieras La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Llamada también análisis de inversiones, administración de inversiones o ingeniería económica.
El dinero El dinero es el equivalente general, la mercancía donde el resto de las mercancías expresan su valor, el espejo donde todas las mercancías reflejan su igualdad y su proporcionalidad cuantitativa. El dinero se transforma en capital cuando con él compramos los factores objetivos y los factores subjetivos para producir riqueza. Los factores objetivos son los medios de producción y los factores subjetivos son la fuerza de trabajo. Por lo tanto, el dinero como capital se diferencia del dinero como simple dinero por la clase peculiar de mercancías que compra: medios de producción y fuerza de trabajo. La economía convencional sólo capta el dinero como medio de cambio, y el dinero que funciona como capital igualmente lo capta como medio de cambio. Y es cierto que el dinero que circula como capital funciona como medio de cambio. La diferencia no estriba, por lo tanto, en la función que desempeña en el mercado, sino en la clase de mercancías que se compra con él. El dinero como simple dinero se emplea como medio de cambio de medios de consumo personal, mientras que el dinero como capital se emplea como medio de cambio de medios de producción y de fuerza de trabajo.
6
UNIDAD 1.- INTERÉS SIMPLE Realice los siguientes ejercicios de introducción: 1.- Supongamos que con $5,000 pesos abrimos un pagaré a 28 días con una tasa de interés de 1% ¿Cuánto tendré al término de los 28 días? R=cantidad (1+%) n R=5000(1*0.01) 1 R=50 50+5000=$5, 050 2.- Se invierten $750 pesos a un pagaréa28 días a una tasa de interés del 2% ¿Cuánto se tiene después de renovar el pagaré? R=750(1*.02) 4 R=811.82412 Nota: en este caso, tomé en cuenta el “neutromultiplicador” (o sea 1 ) y se
multiplica por el interés.
1.1. Concepto El interés es la cantidad que debe pagar una persona por el uso del dinero tomado en préstamo. La cantidad del interés depende de las variables siguientes: Capital: cantidad que se da en préstamo. Plazo: tiempo durante el cual se presta el capital. Tasa de interés. Fórmula general del interés El interés es el producto que resulta de multiplicar el capital por la tasa; y multiplicándolo por la(s) unidad(es) de tiempo obtenemos el interés total que corresponde a dicha(s) unidad(es).
7
Para designar los diversos elementos del interés, se emplean las literales siguientes: I = Interés C = Capital, principal, valor actual o valor presente i = Tasa de interés por unidad de tiempo t = Tiempo o plazo Al aplicar la definición anterior, tenemos la fórmula siguiente:
I = Cit Ejercicios: 1.- Un empresario estima que debe pagar a finales de abril $25,000.00 de impuesto anual a la Secretaria de Hacienda y Crédito Público. Si dispone de este dinero con doce semanas de anticipo y lo invierte en pagares a 28 di8as que le da el 1.2 % de interés ¿Qué cantidad debe depositar para que al finalizar 12 semanas tenga entre capital e interés $ 25,000.00? I= $25,000 i= 1.2%(0.012) t= 3n C=?
I=Cit
C=I/(1+i) n
C=25,000 1.0123 C=24,121.18 2.- Una empresa maneja una cuenta de cheques que paga mensualmente un interés del 12.4% anual sobre el saldo promedio. Si el 1 de junio el banco le abona a la empresa $3, 580.45 como pago del interés del mes de mayo, ¿Cuál fue el saldo promedio en mayo de la empresa? I= $3, 580.45 i= 12.4%(0.124) t=1/12 C=?
C= Is i*t
C=3580.45 0.124*(1/12)
8
C=3580.45 0.124*(0.0833) C=3580.45 0.01033 C=346,495.1613 3.- Supongamos que al adquirir cierta mercancía con un valor de $6,500 el comerciante acuerda con el fabricante pagar de contado la mitad y el saldo mes y medio después, ¿cuánto deberá pagar para liquidar el saldo si acepta pagar un interés del 25% anual sobre el saldo? M=? i= 25%(0.25) t=1.5 meses C=6500/2= 3250 M=(3250)(1+((0.25))(1.5/12) M=(3250)(1.25)(0.125) M=507.8125 3259+507.8125=3757.8125 4.- Determinar la tasa de interés anual que pagó el banco durante octubre, si una cuenta de cheques con un saldo promedio en octubre de $8,673.56 se le abonó un interés de $58.47. C= $8,673.56 t= 1/12 I=$58.47 i= ? i= 58.47 8673.56(1/12) i= 58.47 8673.56(0.08333) i= 58.47 722.796 i= 0.08089 i= 8.089%
9
5.-Una persona invierte $15,000.00 en pagares a 28 días y los renueva durante 1 año, es decir, durante “n” periodos de 28 días, la tasa de interés de los pagares vario durante el año pero al final entre capital e interés tiene $ 16,890.00. Establecer una ecuación cuya solución sea al final de interés promedio de los “n” Pagares. i=I/ct datos: i=? I=16890 C= 15000 T= 365/28=13 i=16890 15000*13 i=16890 15000*13
i= 16890 195000 i= 0.0866
6.- ¿Cuál es el interés simple de un préstamo a dos meses de $12,000 al 18% de interés anual? I=1200*.18*(2/12) I= 360 7.- 4.-¿Cual es el monto que deberá pagar una empresa que recibe un préstamo de $25,000.00 con una tasa de interés 24.8 anual a un plazo de 3 meses de $25,000.00 ? Monto=cantidad (1+((i)(t)) Monto=25 000 (1+((.248)(3/12)) Monto=25 000 (1+((.248)(0.25)) Monto=25 000 (1+(0.062) Monto=25 000 (1.062) Monto=26,550
10
8.-Una comadre pide $40,000.00 a su comadre y acuerdan que después de 4 meses le pagara un total de $44,000.00 ¿Cuál es la tasa de interés anual de este préstamo? i=? monto=44, 000= I=4,000 cantidad=40,000 t=4/12 i= Interés monto*t
x%
i= 4000 x % 44000*(4/12) i= 4000 x % 44000*(0.333) i= 4000 x % 14.6666 i= 2.7% x 12 = 32.4 anual 9.-Supongamos que una persona desea depositar en un pagaré bancario $402,000 pesos pero no ha tomado la decisión si el plazo deba ser a 14 o 28 días. El banco le ofrece una tasa anual de 14.3% en el caso del pagaré a 14 días y 15.5% en el caso de 28 días ¿Qué interés cobrará en cada caso? ISO= Cit 360 Caso 1: ISO= 402000*.143*14 360 ISO= 2235.56 Caso 2: ISO= 402000*.1515*28 360 ISO= 4736.9
11
10.-Consideremos el caso de una empresa de reparto que compra una camioneta el costo de la camioneta es de $108,500.00 al contado. La empresa acuerda con la agente de automóviles pagar $70,000.00 el 24 de junio al recibir la camioneta y liquidar el saldo mediante el pago único de $40,640.00 el 14 de agosto siguiente. ¿Qué tasa de interés anual pago? i= 2140(360) 38500(51) i= 770400 1963500 i= .39236058
12
UNIDAD 2. INTERÉS COMPUESTO 2.1. Concepto El interés compuesto tiene lugar cuando el deudor no paga –al concluir cada periodo que sirve como base para su determinación – los intereses correspondientes. Así, provoca que los mismos intereses se conviertan en un capital adicional, que a su vez producirá intereses (es decir, los intereses se capitalizan para producir más intereses). Cuando el tiempo de la operación es superior al periodo al que se refiere la tasa, los intereses se capitalizan: nos encontramos ante un problema de interés compuesto y no de interés simple. En la práctica, en las operaciones a corto plazo, aun cuando los periodos a que se refiere la tasa sean menores al tiempo de la operación y se acuerde que los intereses sean pagaderos hasta el fin del plazo total, sin consecuencias de capitalizaciones, la inversión se hace a interés simple. Por eso, es importante determinar los plazos en que van a vencer los intereses, para que se puedan especificar las capitalizaciones, y, en consecuencia, establecer el procedimiento para calcular los intereses (simple o compuesto).
FÓRMULA DEL INTERÉS COMPUESTO Cuando se necesite conocer el interés, basta con calcular el monto de de este deducir el capital, la fórmula es: I= monto-capital I= Cantidad [(1+i)-1] n C= I [(1+i)-1]n Tenemos la fórmula que nos da el monto de un capital a interés compuesto en "n" periodos: M = C (1 + i) n
En la tasa de interés pueden aparecer las palabras convertible, compuesto, nominal o capitalizable, que se toman como sinónimos e indican el número de veces que se capitalizarán los intereses en un año (frecuencia de conversión).
TASA NOMINAL Se conoce como tasa de interés nominal o tasa nominal al interés que se capitaliza más de una vez al año.
13
La tasa nominal es igual a la tasa de interés por periodo, multiplicada por el número de periodos. Monto = C (1 + i/m)n m= periodos
n= tiempo
EJERCICIOS 20.- Supongamos que una persona realiza una inversión de $ 10,000.00 a una tasa del 1.5% mensual a un plazo de 3 meses. ¿Encontrar el Interés Compuesto al término del periodo?
21.- Una persona deposita $10,000.00 en una inversión que le da un interés del 14% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto de la inversión después de 3 años?
22.-Una persona deposita $10,000.00 en una inversión que le da también una tasa de interés anual del 14% pero ahora capitalizable trimestralmente. ¿Cuál será el monto de la inversión después de 3 años?
14
23.- Antes de aceptar una comisión por 8 años en una embajada. Una persona deposita $3, 000,000.00 de dólares en un banco suizo. ¿Cuánto tiende al término de su comisión si el banco le da un interés del 6% anual capitalizable trimestralmente?
24.- Un padrino de bautizo le abre a su ahijado una cuenta de ahorro por $3,000.00 si la cuenta le paga un interés del 12% anual capitalizable mensualmente y el ahijado no lo retira hasta cumplir los 18 años ¿Cuánto habrá acumulado?
15
27.- Un tío rico decide regalar a sus dos sobrinas $25,000.00 cuando cumplan 15 años. Para ello habré 2 cuentas de ahorro que le brindan un Interes anual del 14.8% capitalizable mensualmente. Si al momento de la apertura de las dos cuentas de Mariana y Viviana la primera sobrina tiene 11 años 10 meses y la segunda sobrina tiene 9 años 3 meses. ¿Cuánto debe depositar en cada cuenta?
28.-En cuanto tiempo se duplica una inversión de $1,000.00 al 13% anual capitalizable trimestralmente.
16
29.- En cuanto tiempo una inversión de mil pesos al 13% anual capitalizable trimestralmente alcanza los $3,500
17
VALOR PRESENTE Es el valor actual de un Capital que no es inmediatamente exigible es la suma que, colocada a Interés Compuesto hasta su vencimiento, se convertiría en una cantidad igual a aquél en la época de pago. Comúnmente se conoce como el valor del Dinero en Función del Tiempo. Fórmula: VP= cantidad+ ISO VP=cantidad+ (cantidad)(i)(t) 360 VP= (1)cantidad+ ((cantidad) + (i)(t)) 1 360 VP= (cantidad+ (1+ (i)(t))) 360
VP= Monto 1+(i)(t) 360
Tipos de plazos:
Corto plazo (1 año) Mediano plazo (de 1 a 5 años) Largo plazo (más de 5 años)
EJERCICIOS DE VALOR PRESENTE
11.- Para saldar una deuda una persona debe pagar $4,800.00 el 31 de agosto. 1.-Con que cantidad liquidaría el 23 de julio anterior. Si la tasa de interés es del 14.5% anual? 2.-Cual es el descuento simple que se obtiene.
18
12.-Un alumno de la Universidad Politécnica del Estado de Guerrero planea comprar una Lap El modelo que le gusta lo venden en 2 tiendas. En la primera le ofrecen la lap con un enganche de $2,000.00 y un pago de otros $2,000.00 a 90 días, mientras que en la segunda tienda es de un enganche de $1,960.00 y un segundo pago de también $1,960.00 a los 45 días. El interés del mercado es del 22% anual. ¿Qué opción le conviene aceptar?
14.- Una empresa solicita un préstamo a un banco por $145000 para compra de maquinaria el 5 de julio. La tasa de interés simple anual acordada es del 23% y el plazo convenida del préstamo es a 120 días. El 14 de agosto el abogado de la empresa les comunica que ante la amenaza de embargo a un deudor, este acepto pagar su deuda la empresa decide entonces usar este dinero para liquidar su préstamo con el banco pero el banco solo acepta otorgar una tasa de descuento del 21.5% para poder cubrir sus gastos operacionales. ¿Cuánto debe pagar entonces la empresa al banco para saldar su deuda el 15 de agosto?
19
15- Supongamos que una persona debe pagar $46,400 para liquidar. cuatro meses antes de la fecha de vencimiento esta persona se saca la lotería y considera la tasa de interés del préstamo del 32% anual es muy alta, decide saldar el préstamo con estos 4 meses de anticipación. ¿cuánto debe pagar?
16.- Cuál es el Valor presente de un pagaré de $5800 que vence en un mes y medio si la tasa de descuento es del 16% anual.
17.- Para saldar una deuda un constructor debe pagar $350,000.00 el 30 de noviembre. Como la tasa de interés simple anual que le cargan es del 24% el constructor decide liquidar su deuda el 22 de octubre anterior. El constructor sabe que el acreedor no le aceptará el mismo 24% como tasa de descuento, pero tiene la opción de realizar una inversión en el banco que le garantiza una tasa de interés del 21.5%. ¿Cuál es la máxima cantidad que el constructor debe aceptar para saldar su deuda el 22 de octubre?
20
18.- Un hotel decide renovar su mantelería y sus toallas. El proveedor le ofrece tres planes de pagos diferentes. El hotel puede realizar un pago único de $48,500.00 a la entrega del pedido, puede también realizar dos pagos de $24,500.00, uno a la entrega del pedido y otro a los 30 días, o bien, puede realizar un pago de $25,000.00 a la entrega del pedido y un segundo pago por $24,200.00 a los 45 días. Si el hotel no tiene problemas de liquidez y la tasa de interés es del 18.7% anual, ¿qué plan de pagos es el más conveniente?
19.- Una persona solicita a su compadre un préstamo de $25,000.00 a un plazo de tres meses y acuerda una tasa de interés anual simple del 21%. ¿Cuánto debe pagar a su compadre para liquidar su deuda con 35 días de anticipación si, a pesar de su amistad, el compadre sólo acepta otorgarle una tasa de descuento anual simple del 18%?
21
20.- Un distribuidor de computadoras realiza una promoción y vende cierto modelo en dos pagos, uno de $8,900.00 a la entrega de la computadora y el otro por $7,500.00 a los 45 días. Si la tasa de interés vigente es del 19% anual, ¿cuál es el precio máximo que se debe pagar por la computadora si se adquiere de contado?
21.- Una empresa tiene un pagaré por $95,000.00 con vencimiento el 23 de septiembre y acude al banco para descontar el documento el 28 de agosto anterior. Si el banco realiza operaciones de descuento con una tasa del 25.5% anual simple, determina: a. el valor anticipado del documento si el descuento que realiza el banco es el comercial; b. el valor anticipado del documento si el descuento que realiza el banco es el real.
22
22.- ¿Qué tasa de descuento real se le aplicó a un documento con valor nominal de $234,500.00 si se descontó 75 días antes de su vencimiento y se recibió a cambio $224,750.00?
23.- ¿Qué tasa de descuento comercial se le aplicó a un documento .con valor nominal de $85,000.00 si se descontó 45 días antes de su vencimiento y se recibió a cambio $83,900.00
23
Monto: 25.- Consideremos que una persona adquiere un terreno agrícola en una zona donde se va a construir un corredor industrial. Si el precio original del corredor fue de $250, 000 y después de 5 años, una vez que se urbanizó y dotó de servicios el área, lo vendió en $1,950,000. ¿Cuál fue la taza de utilidad anual que le generó este negocio?
24
26.- Supongamos que un trabajador recibió $110, 460 como liquidación de una empresa en la que trabajó varios años. Con mucha suerte el trabajador consiguió rápidamente otro empleo e invirtió su liquidación en un fondo de renta variable. Después de 8 años el valor de su inversión era de $293, 578 ¿cuál fue la tasa mensual promedio que le da esta inversión?
27.- Consideremos el caso de un egresado de la Universidad Politécnica del Estado de Guerrero que decide ahorrar $400.00 de sus primeros salarios mensuales para la compra de un equipo de cómputo. ¿Qué cantidad habrá acumulado en un semestre si la cuenta de ahorro le paga un interés del 1.1% mensual?
28.-¿Cuánto se debe invertir al final de cada mes en una cuenta que paga el 14% anual capitalizable mensualmente, si en un año se desea acumular $7,500.00?
25
UNIDAD 3. ANUALIDADES 3.1. Conceptos Anualidad . Conjunto de pagos realizados a intervalos iguales de tiempo; es
decir, todo pago con un importe constante, hecho en intervalos regulares, aun por periodos menores a un año. Se aplica a problemas financieros en los que existen un conjunto de pagos iguales a intervalos de tiempo regulares. Valuación de anualidades ordinarias:
R = valor del pago regular. i = tasa de interés para cada uno de los intervalos de tiempo en que se ha dividido el plazo completo. n = número total de intervalos de la operación. Valor Presente de la Anualidad
26
1.- Supongamos que el padrino de miguel deposita $100.00 mensualmente si el primer deposito se realizo en la fecha de su bautizo cuando miguel cumplía un mes de nacido y miguel pudo disponer del dinero hasta que egreso del bachillerato, es decir, 4 meses después de haber cumplir los 18 años. Cuales la suma que recibió miguel si durante los primeros 5 años la cuenta pago un interés del 15% anual capitalizable mensualmente, durante 5 años la cuenta le pago un interés del 12% anual capitalizable mensualmente, y durante los últimos 8 años y 4 meses la cuenta le pago una tasa del 18% anual capitalizable mensualmente.
27
2.- supongamos que un trabajador deposita $300.00 de su salario mensualmente a lo largo de varios años. Determina la cantidad acumulada en 2 años si la cuenta de ahorro le paga el 1.08% mensual.
3.- Con el fin de reunir para el enganche de un departamento una pare3ja decide ahorrar $1,500.00 mensualmente en una cuenta de ahorro si durante los primeros 3 años la cuenta les paga un interés del 1.12% mensualmente y durante otros 4 años pago el 0.95% mensualmente ¿Cuánto se ha reunido en esos 7 años?
28
4.- Cuanto se debe invertir al final de cada mes en una cuenta que paga 11.8% anual capitalizable mensualmente si en 2 años se desea acumular $37,500.00
6.-En cuanto tiempo se acumulan $45,000.00 mediante depósitos mensuales de $2,300.00 si se invierten en una cuenta de ahorro que pagan el 15% anual capitalizable mensualmente.
29
5.- El gerente de restaurante decide separar $3,000.00 al final de cada mes para poder remodelar los baños del local. Si la cuenta en que realizo estos depósitos le pago un interés del 14.5% anual capitalizable mensualmente los primeros 7 meses y una tasa del 12% anual capitalizable mensualmente por otros 5 meses. Determina a cuanto asciende su guardadito después de 1 año.
30
7.- En cuánto tiempo se acumulan $45,000 mediante depósitos trimestrales de $6,900 si se invierten en una cuenta de ahorro que paga 15% anual capitalizable trimestralmente.
8.- En cuánto tiempo se acumulan$100, 000 mediante depósitos mensuales de $5,000 si se invierten en una cuenta de ahorros que paga el 12% anual capitalizable mensualmente.
31
