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TERCERA UNIDAD TRANSFORMADA Z 3.1 LA TRANSFORMADA Z. La transformada z juega el mismo papel en el análisis de señales de tiempo discreto y sistemas LTI que la transformada de Laplace en el análisis de tiempo continuo y sistemas LTI. Al considerar la transformada Z de una función del tiempo x(t), sólo se tienen en cuenta los valores muestreados de dicha función: x(0), x(T), x(2T), ... siendo T el período de muestreo. La transformada Z de una función del tiempo x(t), donde t es positivo, o de la secuencia de valores x(kT) , donde k adopta valores mayores o iguales que cero y T es el período de muestreo, se define como:
Para una secuencia de números x ( k) , la transformada z se define como:
La transformada z definida mediante estas ecuaciones se conoce como transformada z unilateral , se supone que x ( t ) = 0, x ( k ) = 0, para valores negativos de t y k. Además, z es una variable compleja. Es importante resaltar que, cuando se trata con una secuencia de tiempo x( kT ) obtenida mediante muestreo, la transformada z, X ( z ) , involucra al periodo de muestreo T. Por otro lado, para una secuencia de tiempo x ( k ) , la transformada no incluye explícitamente a T. La transformada z de x ( t ) para -∞ < t <∞ , o de x ( k ) donde k adopta cualquier valor entero entero o cero, se define mediante las siguientes ecuaciones:
La transformada z definida mediante estas ecuaciones se conoce como transformada z bilateral, en la que se supone que x ( t ) es distinta de cero y que la secuencia x ( k) tiene valores distintos de cero, para valores negativos de t y k. Los valores de z para los que la serie converge, forman la región de convergencia (ROC), según esta, las secuencias se clasifican en secuencias hacia la izquierda (SI), hacia la derecha (SD) y secuencias derechaizquierda (SDI). Para una secuencia secuencia finita ROC es todo el plano complejo z.
Mgter. Lucy Delgado Lucy Delgado
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Fig. Regiones de convergencia SD, SI, SDI
3.2 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z. Las propiedades más importantes y los teoremas útiles de la transformada z, suponen que la función del tiempo x(t) tiene transformada Z, y que x(t) = 0 para valores negativos de t. Así mismo, se considera X(z) como la transformada z de x(t).
3.2.1
Linealidad de la transformada z.
Si f( kT) y g( kT) tienen transformada z, y α y β son escalares, siendo T el periodo de muestreo, entonces Ζ(α f(kT) + β g(kT)) = αΖ(f(kT)) + βΖ(g(kT)) Considerando F(z) y G(z) las respectivas transformadas z de f(kT) y g(kT), tenemos
3.2.2
KT
Multiplicación por a .
Ζ(α f(kT) + β g(kT)) = α F(z) + β G(z)
Si X(z) es la transformada z de x( kT) entonces
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3.2.3
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Desplazamiento: Teorema de traslación real.
Siendo n un entero no negativo (positivo o cero), entonces
3.2.4
Teorema de traslación compleja.
Si x(t) tiene la transformada z, X(z), entonces la transformada z de e-at x(t) viene dada por
3.2.5
Teorema del valor inicial.
Si x(t) tiene por transformada z, X( z ), y si el lim X(z) existe, entonces el valor inicial x(0) de x(t) ó x( k ) está dado por x(0) = lim X (z) z→∞
3.2.6
Teorema del valor final.
Suponemos que x (kT), siendo T el periodo de muestreo, tiene la transformada X( z ), con x( kT ) = 0 para valores negativos de k. Entonces el valor final de x(kT), que es su valor conforme el tiempo tiende a infinito, puede obtenerse mediante
El teorema del valor final es muy útil para determinar el comportamiento de x( k ) a medida que k tiende a infinito, a partir de su transformada X(z).
Propiedades de la TZ Mgter. Lucy Delgado
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3.3 TZ DE FUNCIONES ELEMENTALES 3.3.1 Escalón X ( z) = 1+ z -1 + z -2 + z -3 + ......
3.3.2
Señal exponencial e-at
Principales TZ Mgter. Lucy Delgado
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3.4 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS SISTEMAS
Ejemplo Sea el siguiente proceso integrador
la ecuación diferencial correspondiente es
Restando
Con To=1
Es la ecuación en diferencias que representa l a dinámica del proceso. Aplicando la TZ Mgter. Lucy Delgado
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G(z) es la función de transferencia FT del proceso Ejemplo
Ejemplo
Observación: Mgter. Lucy Delgado
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Si la transformada z se puede escribir como una función racional:
Y si suponemos que p y q ya no tienen factores comunes, podemos hacer las sigui entes definiciones:
a) Definición:(Los ceros de la transformada z) Se definen los ceros de la transformada z como las raíces del numerador p(z).
b) Definición:(Los polos de la transformada z) Se definen los polos de la transformada z como las raíces del denominador q(z). Ejemplo
ceros de la transformada z : polos de la transformada z:
Ejemplo
ceros de la transformada z: polos de la transformada z:
Ejemplo Hallar la transformada Z de estas señales (incluyendo la ROC):
Por la definición tenemos que:
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En este caso la ROC queda determinada por las condiciones: y
3.5 TRANSFORMADA Z INVERSA
Ejemplo
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3.6 ANÁLISIS DE LOS SISTEMAS DISCRETOS a) Ganancia en estado estacionario de un proceso En estado estacionario se cumple que la ganancia en estado estacionario de cualquier función de transferencia expresada en z, es la función de transferencia evaluada en z=1, o sea G(1) b) Proceso de retardo puro Un proceso con retardo puro de T tiempo, se representa por
c) Proceso generalizado más retardo Se obtiene del proceso seguido por el retardador
d) Realizabilidad Un proceso se dice realizable si se cumple la ley causa efecto, es decir la salida de un proceso no puede reaccionar antes que se le aplique una excitación en la entrada. Para determinar esta característica se debe El denominador debe quedar expresado en forma de polinomio mónico Si existen exponentes positivos en el denominador, entonces deben multiplicarse el numerador y denominador de G(z) por un factor “z” con exponente correspondiente al negativo del exponente
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positivo más grande presente en el denominador. En estas condiciones, entonces decimos que una función de transferencia G(z), es realizable si no existen exponentes positivos (con cero incluido) en la variable z del numerador. Ejemplo Determinar si el siguiente proceso es realizable Aplicando TZ tenemos
Podemos deducir que el proceso no es realizable dado que posee potencia positiva de z en el numerador e) Respuesta a pulso de un proceso Es la evolución que experimenta la salida de un proceso frente a un pulso a la entrada del proceso, con condiciones iniciales cero
Señal de entrada pulso Ejemplo Sea un proceso dado por la siguiente ecuación de diferencia
Obtener los valores de y(k) para k = 0,1,2 y 3 cuando se le aplica un Delta de Kroneker a la entrada
f) Estabilidad Decimos que un proceso es estable si frente a un pulso en la entrada (ó condición inicial distinta de cero), la salida, luego de un transitorio, decae a cero. Condición de estabilidad Sabemos que el denominador de G(s) puede expresarse en factores de primer orden usando el método de fracciones parciales, consiguiendo con esto ser expresado en los polos del sistema. Por lo tanto si los polos del sistema continuo están en el semiplano derecho, el sistema es inestable. Por lo tanto G(z) es estable si posee todos sus polos dentro del circulo unitario y consecuentemente es inestable si posee al menos un polo fuera del circulo unitario. Mgter. Lucy Delgado
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Ejemplo Determine si el siguiente proceso es estable Despejando y(k), tenemos
vemos que el proceso es inestable porque y(k) crece hacia valor infinito cuando k
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