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Ingeniería Electrónica y Telecomunicaciones

Ing. Gustavo Paz Purizaca

Transformada rápida de Fourier Las fórmulas con la que MATLAB calcula la transformada rápida de Fourier Y =fft ( x x ) y la transformada inversa y =ifft ( X X ) son, respectivamente:

La transformada rápida de Fourier FFT es un algoritmo que reduce el tiempo de cálculo de n2 pasos a n·log2(n). El único requisito es que el número de puntos en la serie tiene que ser una potencia de 2 (2 n puntos), por ejemplo 32, 1024, 4096, etc.

Supongamos que tenemos una señal descrita por un conjunto de n (potencia de dos) pares de datos (t ( t j x , x j) igualmente espaciados en el tiempo, por un intervalo Δ t , desde t =0 =0 hasta t final =(n-1)Δt 1)Δt . La inversa del intervalo Δ t , se denomina frecuencia de muestreo f s. final=(n De modo que el vector de tiempos es t =(0:n =(0:n-1)/ f s La función fft de MATLAB convierte un vector de valores de la señal x en en función del tiempo t en un vector g en en función de la frecuencia ω. g =f f t (x )

g es un vector cuyos elementos son números complejos por que guarda información acerca de de la amplitud y de la fase. Ahora tenemos que asociar cada elemento del vector g con con una frecuencia, del mismo modo que hemos asociado cada elemento del vector x vector x con un tiempo. El intervalo de frecuencias es Δ ω=2π/(n =2π/(n·Δt ·Δt )=2π )=2π f s/n de modo que la mínima frecuencia es 0 y la máxima ωmax=2π f s(n-1)/n -1)/n. La resolución espectral Δ ω es inversamente proporcional al tiempo total n·Δt ·Δt de de recogida de datos en la serie temporal.

Alumno: Frank Frank Ronal Prieto Prieto Tejada Tejada

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Conocido el intervalo de tiempo Δ t o la frecuencia de muestreo Δt =1/f sy el número de pares de datos n (potencia de 2), creamos el vector de tiempos t y el vector de frecuencias angulares ω del siguiente modo: >> n=length(x); >> t=(0:n-1)*dt; >>dw=2*pi/(n*dt); >> w=(0:n-1)*dw; Podemos obviar la fase y concentrarnos en la amplitud, si calculamos y representamos el cuadrado de los elementos del vector g . A P se le denomina espectro de potencia (Powerspectrum) P =|g (ω)|2

Para ilustrar la aplicación de la función fft de MATLAB, vamos a analizar la señal formada por la suma de cuatro armónicos de frecuencias angulares ω=1, 3, 3.5, 4 y 6 rad/s x (t )=cos( t )+0.5·cos(3t )+0.4·cos(3.5 t )+0.7·cos(4t )+0.2·cos(6t )

Recordar que la transformada de Fourier de f (t )=cos(ω0t ) es F (ω)=π[δ (ω-ω0)+δ (ω+ω0)]. Dos funciones Delta de Dirac situados en +ω0 y en -ω0.

Alumno: Frank Ronal Prieto Tejada

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II.- PROCEDIMIENTO 1. La sintaxis típica para el cálculo de la TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT) de una señal es fft(x,N) donde x es la señal discreta de la forma x[n], que desea transformar, y N es el número de puntos de la DFT. N debe ser al menos tan grande como el número de muestras en x[n].


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2. En el último ejemplo, la longitud de x[n] se limita a un periodo de duración.Ahora, vamos a elegir un gran valor para N (para una transformación con muchos puntos ), y lo aplicaremos para diferentes periodos:


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3. Al utilizar la FFT para calcular la DFT de una señal discreta, observamos que directamente no nos da el espectro de una señal. Como hemos visto los dos últimos experimentos, la FFT puede variar enormemente dependiendo del número de muestras N de la FFT, y el número de períodos de la señal de que están representados. Hay otro problema también. La FFT contiene información que está entre 0 y la frecuencia de muestreo fs., sin embargo, sabemos que la frecuencia de muestreo debe ser de al menos dos veces el componente de mayor frecuencia. Por lo tanto, la señal del espectro debe estar por debajo de fs/2. Recordamos también que una verdadera señal presenta en su transformada una magnitud simétrica para las frecuencias positivas y negativas. Así que en vez de tener un espectro que va desde 0 a fs, sería más apropiado para mostrar el espectro de –fs/2 a fs/2. Esto puede ser logrado mediante el uso de Matlabfftshift:


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III.- CONCLUSIONES: 



La FFT es de gran importancia en una amplia variedad de aplicaciones, desde el tratamiento digital de señales y filtrado digital en general a la resolución de ecuaciones diferenciales parciales o los algoritmos de multiplicación rápida de grandes enteros. El algoritmo pone algunas limitaciones en la señal y en el espectro resultante. Sus aplicaciones más comunes son el Tratamiento de imagen (PNG) y audio (MP3), reducción de ruido en señales, como el ruido blanco y el análisis en frecuencia de cualquier señal discreta.


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