h. Teoria. Relaciones Binarias

Facultad Estudios Generales COMPLEMENTO MATEMÁTICO PARA INGENIEROS

PRODUCTO CARTESIANO Y RELACIONES BINARIAS.

PAR ORDENADO A expresión como la siguiente se denomina par ordenado

Ejemplo: Graficar los siguientes puntos. a) b) c) d)

(2, 6) (-3, -4) (4, -4) (-5, 2)

Solución

Departamento de Ciencias – UPNC

Ciclo Académico – 2019 2019 - I


IGUALDAD DE PARES ORDENADOS Si dos pares ordenados son iguales se cumple lo siguiente: (x, y) = (z, w)

Ejemplos:

⇔

a) (2x; 14) = (16, z)

b) (x+y, 6) = (20, x-y)

⇔

x=z

2x = 16 x=8

⇔

∧ ∧

y=w

14 = z

x+y = 20

∧

6 = x-y

Resolviendo: Resolviendo :

x = 13

∧

y=7

PRODUCTO CARTESIANO Si A y B son dos conjuntos, el producto cartesiano de A por B, denotado por AxB, es el conjunto conjunto siguiente: A x B = {(x {(x , y)/ x ϵ A

Ejemplo: a) Dados los conjuntos conjuntos A = { -1, 0, 1, 2} AxB

∧

y ϵ B}

y

B = {5 ,6}, determinar el producto cartesiano

Solución A x B= {(-1,5), (-1,6,), (0,5), (0,6), (1,5), (1,6), (2,5), (2,6)}

RELACIÓN BINARIA Una relación binaria R de A en B, es un subconjunto cualquiera del producto cartesiano A×B. Se denota R: A

B.



R = {(x, y) ϵ A x B / x R y } A es el conjunto de partida de la relación R y B es el conjunto de llegada de la relación R. correspondencia. NOTA: Los elementos de una relación binaria se obtienen según una regla de correspondencia

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN DOMINIO: Es el conjunto formado por las primeras componentes de la relación. RANGO: Es el conjunto formado por las segundas componentes de la relación.




Ejemplo: Para la siguiente relación binaria, hallar el dominio y el rango: R = {(x, y) ϵ RxR/ x2 - y2 = 4}

Solución Hallamos el Dominio: Despejamos “y” para hacer el análisis análisis de las “x” que conforman el dominio de la relación binaria. y2 = x2 - 4 Se tendrá soluciones reales si: x 2 - 4 ≥ 0 se tendría:

Resolviendo la inecuación cuadrática por puntos puntos críticos

x2 - 4 ≥ 0 factorizamos

(x +2)(x +2)(x – – 2) 2) ≥ 0

Determinamos los puntos críticos: x +2 = 0 x = -2

Dom(R)= (-∞, (-∞, -2]

∪

x – 2 2 = 0 x=2

[2, [2, ∞)

Hallamos el Rango: Despejamos “x” para hacer el análisis de las “y” que conforman que conforman el rango de la relación binaria. x2 = y 2 + 4 haciendo un análisis análisis se aprecia que la expresión se cumple para cualquier cualquier valor que toma la variable y Ran(R) = (-∞ (-∞, ∞) = R




EJERCICIOS RESUELTOS 1. Determinar los valores de x ; y 5x  4 y 5x  4 y  3 x  2 y   2 y  3x   2,  4    4,  4  3 3  3   3 

Solución

+ 

– 2 =

 − 

4

∧ 5−  ∧

4=

3x + 2y – 6 = 2y -3x + 12 3x – 6 = -3x + 12

∧

5+  

4

5x – 4y +12 =5x + 4y - 12

– 4y +12 = 4y - 12

3x + 3x = 12 + 6

12 + 12 = 4y + 4y

6x = 18

24 = 8y

X=3

3=y

2. Si: A = {1; 2: 3; 4; 5; 6} ;

B = {1; 4; 9; 16; 25; 3: 49}

y la relación R = {(x , y) ϵ AxB/ y = (2x + 1)2 }. Halle el dominio y el rango.

Solución Cada par ordenado (x ,Y) ϵ AxB lo que significa que: que: x ϵ A

∧

pero y = (2x + 1)2

yϵB

X = 1 → y = (2(1) + 1)2 = 9 ϵ B X = 2 → y = (2(2) + 1)2 = 25 ϵ B X = 3 → y = (2(3) + 1) 2 = 49 ϵ B X = 4 → y = (2(4) + 1)2 = 81

∉ ∉ ∉

B

X = 5 → y = (2(5) + 1)2 = 121

B

X = 6 → y = (2(6) + 1)2 = 169

B

Luego:




Dom(R)= {1; 2; 3} Ran(R)= {9; 25; 49}

3.

Sea la relación R= {(x , y) ϵ RxR / x2 y – 3x -4y + 3 = 0}. Determinar el dominio de la relación R. Solución Hallamos el dominio: Despejamos “y” para hacer el análisis de las “x”

x2 y -4y = 3x – 3 y(x2 -4) = 3x – 3

(−)– 

y=

para que la expresión exista el denominador debe ser distinto de cero:

  4   4  ≠ 4 x ≠ ±2

≠0 ≠0

Dom(R) = R – {-2, 2} 3.Dada la relación indicar el dominio, rango y gráfica.

R  x, yR x R/ y  2( x  3) 2



1

Solución Dominio: El dominio está conformado por todos los valores “x” que pertenecen al conjunto de los números reales, por tanto, se debe despejar “y” para hacer el análisis de las “x”

=2(3)

-1

Al remplazar cualquier valor real en “X” ya sea negativo, positivo o el cero siempre existe valor real para “y”

∴

Dom(R) = R




Rango: El rango está conformado por todos los valores “y” que pertenecen al conjunto de los números reales, por tanto, se debe despejar “x” para hacer el análisis de las “y”

=2(3)

-1 aplicando la propiedad simétrica de la igualdad se tiene:

2(3) 1= 2(3) =1 (3) =  2 1 3= √  2 1  = √  2 1  3

Para que la expresión exista en el conjunto de los números reales el radicando debe ser mayor o igual que cero, así:

 2 1 ≥ 0   1 ≥0(2) 1 ≥0  ≥ 1 Ran(R)= [-1; ∞)

Gráfica:



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