I.E.P.P. “THOR HERDAHL” - TÚCUME
Prof. Jesús C. Cubas Montalván
ALGEBRA:
RELACIONES BINARIAS Y FUNCIONES
RELACIONES BINARIAS
3. Diagrama de árbol
A. PAR ORDENADO El par ordenado es un ente matemático formado por dos elementos: primera y segunda componente; dotado de un orden que asigna el lugar de cada elemento. a, b a;a; b B. IGUALDAD DE PARES PARES ORDENADOS Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales, si y solo si, a = c y b = d . Simbólicamente: a, b c, d a c b d C. PRODUCTO CARTESIANO Sean A y B dos conjuntos no vacíos, el producto cartesiano A x B, se define por: A B a,b / a A b B Se observa que: Si A B A B B A A B B A A B n A B n A n B D. RELACIONES BINARIAS Dados dos conjuntos no vacíos A y B, un conjunto R de pares ordenados se llama relación de A en B, si es subconjunto cualquiera de A x B. R : A B
R A B R x, y A B / xRy
GRÁFICA
1. Diagrama de flechas
2. Diagrama cartesiano
F. DOMINIO Y RANGO RANGO DE UNA RELACIÓN El dominio de una relación es el conjunto de las primeras componentes de la relación, también llamadas preimágenes. preimágenes. El rango de una relación es el conjunto de las segundas componentes de la relación, también llamadas imágenes. imágenes. G. DIAGONAL DE UN CONJUNTO Dado un conjunto A, la diagonal del producto A x A que se denota D(A) se define por: D A x, y A A / x y H. RELACIÓN INVERSA Si R es una relación de A en B entonces R-1 es una relación de B en A llamado relación inversa de A. y, x R1 x, y R
A se llama conjunto de partida B se llama conjunto de llegada
E. REPRESENTACIÓN RELACIÓN
4. Tabla de doble entrada
DE
UNA
I. RELACIÓN COMPUESTA Dada las relaciones: R de A en B, y S de B en C , de denomina relación compuesta de S con R, y se denota SoR a la relación: So R : A C So R x, z A C / x, y R, y, z S J. PROPIEDADES DE LAS RELACIONES Sea R una relación de A en A (o en A2). 1. RELACIÓN REFLEXIVA x A x, x R 2. RELACIÓN SIMÉTRICA x, y R y, x R 3. RELACIÓN TRANSITIVA x, y R y, z R x, z R Página 1
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4. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Una relación es de equivalencia, si es reflexiva, simétrica y transitiva. 5. RELACIÓN ANTISIMÉTRICA a, b R a b b, a R 6. RELACIÓN DE ORDEN Una relación es de orden si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. * Una relación es estrictamente reflexiva , si es reflexiva, simétrica, transitiva, antisimétrica y de orden. K. RELACIONES DE R EN R El producto cartesiano R x R es el conjunto de todos los pares ordenados (x, x y)R tal y Rque . La gráfica cartesiana de R x R define el plano cartesiano. Una relación A : R Res un conjunto del producto cartesiano R x R = R2. Su gráfica es cualquier figura contenida en el plano cartesiano. L. INTERSECCIÓN DE RELACIONES Para hallar la intersección de relaciones, se resuelve el sistema de ecuaciones de x e y, las soluciones representadas por pares ordenados, indican la intersección. FUNCIONES A. FUNCIÓN Dados dos conjuntos no vacíos A y B, y una relación, f A B entonces f es una función de A en B si, y solo si para todos y cada uno de los elementos de x de A existe a lo más un elemento y de B que le corresponde a x. Matemáticamente se define por: f es funcion x, y f x, z f y z B. FUNCIÓN INYECTIVA Una función f es inyectiva, si cada elemento del rango de f es imagen de un solo elemento del dominio de f . Esto es, si f es una función univalente. Dada la gráfica de una función inyectiva, cualquier recta horizontal la corta en un solo punto. f x1 f x2 x1 x2 , x1 x2 Dom f FUNCIÓN SOBREYECTIVA Una función f de A en B es una función sobreyectiva o suryectiva, si el rango de f coincide con el conjunto de llegada. f : A B es suryectiva Ran f A
.
FUNCIÓN BIYECTIVA Una función f de A en B es una función biyectiva si f es inyectiva y suryectiva a la vez FUNCIÓN DE APLICACIÓN Una función f de A en B es una función de aplicación si Dom(f) = A.
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C. FUNCIÓN INVERSA Dada una función biyectiva f, se llama función inversa de f, que se denota por f-1 o f*, la función definida por: * 1 f f f x , x / x Dom f D. ÁLGEBRA DE FUNCIONES 1. IGUALDAD DE FUNCIONES Dos funciones son iguales si : i. Dom f Dom g ii. f x g x x Dom f
2. ADICIÓN Dom f
g Dom f Dom g
f g x f x g x 3. SUSTRACCIÓN Dom f g Dom f Dom g f g x f x g x 4. MULTIPLICACIÓN Dom f g Dom f Dom g
f g x f x g x , x Dom f g 5. DIVISIÓN f Dom Dom f x Dom g / g x 0 g f x f f g x g x , x Dom g EJERCICIOS NIVEL I 1. Si se cumple que: (4x+3y; 8y-3x) = (-2y-7; 10y +2x - 4) Determine: E = x-y + (-y)x a) 4 b) 17 c) 32 d) 57 e) 145 2. Dados los conjuntos: P = xZ / 2x2 + 3x = x3 Q = xN / 8 - x2 = 2x El número de posibles relaciones de P en Q es: a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64 3. Dada la relación: R = (a, b) N x N/a + b = 20 ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son no falsas? I. R es reflexiva II. R es simétrica III. R es transitiva a) Sólo I d) Todas
b) Sólo II e) Ninguna
c) I, III
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4. Dadas las relaciones: f = {(1,3), (2,4), (3,2), (1,4)} g = {(1,4), (2,2), (3,1)} h = {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3)} Son funciones: a) g y h b) f y g d) f e) h
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c) f y h
5. De las afirmaciones que a continuación se dan: 1. Toda función es una relación 2. Toda relación es una función 3. Todo conjunto de partida de una función es subconjunto del dominio de la función 4. (f g) (x) = f(x) g(x) Son verdaderas: a) 1, 2 y 3 b) 1, 3 y 4 c) 2, 3 y 4 d) 1 y 4 e) 3 y 4 6. Siendo A = x Z / 1 x 5 y la relación R definida por: R = (2;2), (2;1), (1;1), (4;4), (3;c), (a;b), (2;3), (c;b), (3;1) Si R es una relación de equivalencia; entonces el valor de: E = b ab bc b) 3 c) 4
a) 2
d) 5
e) 6
7. Dada la relación: R= (x;y) R2 / x2 + y2 - 8x + 4y + 11 0 Además: Dom (R) = a, b y Ran (R)= c, d Hallar: E = a + b + c + d a) -4 b) -2 c) 2 d) 4 e) 9 8. Sabiendo que: R = (x; y) R2 / y x2 T = (x; y) R2 / x2 + y2 25 Hallar el rango de: R T a) 0, 5 b) -5, 5 d) 0, 5 e) 5, 10
c) 0, 5
9. Sea: R1 = (x, y) R2 / x2 + y2 4 R2 = (x, y) R2 / y x - 1 La región R1 R2 está dada por: 2
2
a)
b) 2
1
2
-2
1
-2
2
relaciones
no
c) R3 y R4
11. Hallar: E = m + n + p + q; sabiendo que: f = (4m-7; 53), (3, log n ), (8,2p), (125, q+80) Es una función identidad. a) 100 b) 720 c) 836 d) 1020 e) 1063 12. Dadas las funciones: f = (0;2), (2;4), (4;5), (6;-1), (7;-2) g = (0;3), (1;2), (3,-4), (4;-1), (7;2) h = (0;1), (4;-3a), (7;4), (a+2;a-1), (4;10-a2) Hallar: R = suma de los elementos del rango de: (f + g) - (g.h) a) -11 b) -13 c) -15 d) -17 e) -19 13. Dadas las funciones: F = (x; y) R2 / y = G=
4 x 1
2
( x; y ) R / y x
Hallar: Dom (F + G) (x) a) -; 4 c) R - 2 e) -; -2 2; 4
2
4
b) -; 4 - 2 d) -; +
14. Dadas las funciones: f, g. R R, tales que. f (x - 1) = 3x2 + ax + 12 g (x+1) = 5x + 7 Hallar el valor de "a" tal que: fog(-2) = -4a a) 33 b) 43 c) 53 d) 63 e) 73 15. Si: f(x) = {(X,Y) / Y = / X – 1/ – 1}, el dominio y rango de f : R R , son respectivamente: a) R , R b) R – {1} , R c) Z ; 1 , d) R ; 1 , e) R ; , 1 16. La gráfica de la función: f(x) = -x + 1, es: a) b) c)
-2
2
10. ¿Cuáles de las siguientes representan a una función? R1 = (x; y) R2 / y = 2 R2 = (x; y) R2 / x = -3 R3 = (x; y) R2 / 2x = y - 1 R4 = (x; y) R2 / x2 = 4 - y2 R5 = (x; y) R2 / f(x) = -x2 + 3 a) R1 y R2 b) R2 y R3 d) R4 y R5 e) R2 y R4
2
c)
d) -2
1
2
-2
1
2
d) -2
e)
-2
e) Ninguna de las anteriores
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17. La gráfica de la función: f(x) = /x – 1/, es: a) b) c)
d)
21. Señale la gráfica que no corresponda a la función valor absoluto indicada: a) b) c)
e) f (X) / X 2 /
f (X) / X /
d)
f (X) / X / 2
e)
18. Dados los diagramas siguientes: A
B
A
B
1
2 3 4 8 9
2 4 6 8
1 2
3 5 9 (1)
3 7 8
(2)
f (X) / X 2 /
f (X) / X / 2
22. Sean:
A
x, y / y 2x
2
3
B x, y / y 4 / 5x 4
A
B
A
B
Una de las regiones sombreadas adjuntas representa: (A – B) (B – A)
a b c
a
a b c
a
a)
b
Y
b)
Y
b (4)
(3)
Representan una función: a) 1 y 2 b) 1 y 3 d) 1, 3 y 4 e) 1, 2 y 4 Y
Y
c)
19. De los siguientes diagramas:
X
X
c) 2 y 3
Y
d)
Y
4
e
3
d b a
2 1
X
X 1 2 3 4
1 2 3 4
Y
I
X
X
e)
II
Y
d c b a X 1 2 3 6 X
III
Representan una función: a) I b) III d) II y III e) Todas
c) I y III
20. Si a = 1/2, entonces la gráfica de la función: Y = f(X) = aX es: a) b) c)
23. A la relación: R x; y / x R, y 5 x ¿Cuál de los gráficos le corresponde? a)
b) 6
5
5
d) d)
e)
c) 5 6
6
e)
5
5
6
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24. Sean: f(x) = x2 + 6x – 7 , x 3, g(x) =
x
2
3x 2 4x 12 2
x6 Hallar: Ran (f) – Dom(g*) a) {0 , 1} b) x
d) {3 , -2}
c) {2 , 3}
e) N.A
25. Si: A= {1 , 3 , 5} y B = {2, 4 , 6} ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a una función biyectiva? I II
28. Sabiendo que: R 1 x, y / x R y R; y x 2 Calcular el valor de k si la relación R x, yx R E; y x k 2 Y Y la gráfica de R1 R2 es: a) -1 b) 1 c) 2 (2,4) d) 4 e) -2 (1,1)
X
29. Sea R x, yx R y R; 9 x 2 y 2 16 Calcular el dominio de R. a) 3,4 b) [9, 16] c) [-4, 4] d) 3,16 e) 4, 9 30. Sea la recta L cuya ecuación es y = (x + 4)/2. Determinar el área de la región sombreada de máxima superficie: Y
III
IV
a) II y III d) Sólo IV
b) II y IV e) Sólo III
L
X (5,1)
c) Sólo II
NIVEL II 26. La gráfica mostrada, representa la relación:
31. La gráfica que se muestra representa dos relaciones R1 y R2. : Hallar: Dom(R1 R 2 ) Ran(R1 R 2 ) a) [0, 4] b) [1, 4]
a) x 2 y2 0 b) x 2 y 2 0 c) x 2 y2 0 d) xx y 0 e) yx y 0 27. El gráfico:
a) 9 b) 27/8 c) 81/8 d) 10 e) 12
c) [1, 4] d) [1, 3] e) [1, 2] 32. Sean:
Y
7
x, y / x R, y ; x 2 y 2 9 0 R 2 x, y / x R, y R; 3x 2y 6 0 Calcular el rango de R1 R2 a) 3,3 b) 3,3 c) 3, 4 R1
7 7
X
7
Es la representación de la Relación R siguiente: a) R x, y / x R y R, x 2 y 2 49 0 b) R x, y / x R y R, x 2 y 2 49 0 c) R x, y / x R y R, x 2 y 2 49 0 d) R x, y / x R y R, x 2 y 2 7 0 e) R x, y / x R y R, x 2 y 2 7 0
d) 15 , 3 13
e) ,3
33. Hallar el área de la región limitada por: R 1 x, y R 2 / 0 y 3x 3 x, y R 2 / 0 y 2x 8 a) 36 b) 24 d) 30 e) 15 R2
c) 18
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34. La gráfica mostrada corresponde a: a) x y x 4 4 b) x 4 y x c) x 4 y x 4 4 d) x 4 y x 4 e) x 4 y x 4
39. Dadas las funciones f(x) = x 2 1 ; g(x) = x2 1 Entonces Dom f Dom g , es: a) , 1 b) 1 , d) Dom(f) e)
4
4
40. Indicar el dominio de: f(x) = a) , 0 U 5 ,
35. La gráfica mostrada corresponde a: a) b) c) d) e)
5
b)
2 x 5 2 y 5
2 xy 5
2
2 x y 5
5
2 xy 5
2
5
2
d)
U 5,
, 2 U 5 ,
e) , 0
2 x 52 y 5
x ( x 5)
, 0 U 5 ,
c) , 0
2
c) R
U 2,
5
36. Una relación se define en el conjunto de los números reales (R) mediante la expresión: f(x) =
x 3 7 x 2 14x 8 x
2
6x 8
Entonces de las afirmaciones siguientes acerca de f(x): 1) Es una función 2) Su dominio es: R - {-4 , -2} 3) Su rango es: R - {-9} Son ciertas: a) Sólo 1 d) 1 y 3
b) 1 y 2 e) Todas
c) 2 y 3
37. Hallar el rango de la función seccionada definida por: x 1 , si x 3 ,1 f (x) 0 , si x 1 , 2 2x 3 , si x 2 , 4
a) 0 , 4
5 ,
c) 4 , 0 e) N.A.
2 , 5
b)
2 , 0 2 , 4
d) 4 , 0
1 , 5
38. Sean los conjuntos: A = {x Z / X2 = 3X + 10} B = {x Z / x 2 1 } Se definan las funciones: f: A Z ; f(x) = x 1 g: B Z ; g(X) = 1 x Hallar: Ran(f) – Ran(g) a) {1,4} d) {2,5}
b) {-2,1} e) {4}
c) {1}
41. Dada la función: f(X) = 1 – 2 –X Su respectiva inversa y su dominio es: Log1 Y a) X ; Y 1 b)
X
c)
X
Log2 Log1 Y Log2
LogY 1 Log2
; Y 1
; Y
1
1 LogY ; Y Log2
d) X e) N.A.
42. Si f = {(X,Y) N / /X + Y/ < 3}, su inversa es igual a la función: a) b) c) d) e)
g = {(0 , 0) , (1 , 0) , (2 , 0) , (1 , 1) , (2 , 2 ) , (0 , 1)} h = {(0 , 1) , (2 , 0) , (1 , 1) , (1 , 2) , (3 , 3 ) , (0 , 0)} p = {(0 , 0) , (2 , 0) , (0 , 1) , (1 , 1) , (0 , 2 ) , (1 , 2)} j = {(0 , 0) , (0 , 1) , (0 , 2) , (1 , 0) , (1 , 1 ) , (2 , 0)} k = {(0 , 1) , (2 , 0) , (2 , 1) , (1 , 0) , (0 , 0 ) , (1 , 2)}
43. Sea la función f dada por la gráfica, entonces la f función inversa es: a) {(1,2) , (2,1) , (3,3)} b) {(1,1) , (2,2) , (3,3)} c) {(1,3) , (2,1) , (3,3)} d) {(1,2) , (2,3) , (3,1)} e) {(3,1) , (2,2) , (1,3)}
A
A
1
1
2
2
3
3
44. De las siguientes funciones: 3
x
g(x) =
1) 2 3 (x 1) 2
h(x) = k(x) =
3
6
(x
1 x (1 x)
x
5
f(x) = x -
20
x2
1 x
x2
2
x
Son funciones impares: a) f(x) y g(x) b) h(x) y k(x) d) f(x), g(x) y h(x) e) Sólo g(x)
c) f(x) y h(x)
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45. Dadas las siguientes funciones 1) f(x) = 2x – 1 2) g(x) =
2 x2 x
3) h(x) = x + x 2 16 Son inyectivas: a) 1 b) 1 y 2 d) 1 y 3 e) Ninguna 46. Dadas las siguientes funciones 1.- f(x) = x2 2.- g(x) = sen x 3.- h(x) =
c) 2 y 3
x 1 x 1
Son funciones sobreyectivas: a) 1 b) 2 d) 1 y 3 e) Ninguna
c) 3
47. Dadas las funciones: 1) f(x) = x3 x 1 , si 1 x 2(x 1) , si x 1 3) h(x) = 5x – 3
2)
g( x)
Son biyectivas: a) 1 d) 1 y 3
b) 2 e) 1, 2 y 3
c) 3
48. Si f y g son dos funciones y: f(x –1) = 3x+2 g(2x + 3) = 4x + 4 Hallar (g*o f) (x) a) 2x + 5 d)
1 2
(2 x 5)
b) 6x – 5
c)
1 2
(3x 7)
e) 6x + 2
49. Sean las funciones: f(x) = 3x + 4 , g(x) = x Con dominios en el intervalo 0 , . Entonces, de las afirmaciones siguientes, ¿cuáles son verdaderas? 1) f y g son inyectivas 2) Dom {f* o g*} = 0 , 3) (f* o g*) (1) = 1 a) 1 d) 1 y 2
b) 2 e) 1, 2 y 3
c) 3
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