matemáticas 2 para bachillerato

MATEMÁTICAS 2 Para bachillerato

Vivaldo Cuesta Sánchez

Derechos Reservados Publicaciones Matevivas 2005

Contenido Capitulo 1

Expresiones Algebraicas

1

Capitulo 2

Operaciones Operacione s con Polinomios

7

Capitulo 3

Potencias

17

Capitulo 4

Productos Notables

25

Capitulo 5

Binomio de Newton

29

Capitulo 6

Factorización

37

Capitulo 7

Radicales

47

Capitulo 8

Ecuaciones de Primer Grado

55

Capitulo 9

Sistemas de Ecuaciones Lineales 61

Capitulo 10

Números Complejos

89

Capitulo 11

Ecuaciones de Segundo Grado

105

Capitulo 12

Geometría

119

Bibliografía

147

Contenido Capitulo 1

Expresiones Algebraicas

1

Capitulo 2

Operaciones Operacione s con Polinomios

7

Capitulo 3

Potencias

17

Capitulo 4

Productos Notables

25

Capitulo 5

Binomio de Newton

29

Capitulo 6

Factorización

37

Capitulo 7

Radicales

47

Capitulo 8

Ecuaciones de Primer Grado

55

Capitulo 9

Sistemas de Ecuaciones Lineales 61

Capitulo 10

Números Complejos

89

Capitulo 11

Ecuaciones de Segundo Grado

105

Capitulo 12

Geometría

119

Bibliografía

147

Capitulo 1 EXPRESIONES EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1

Nacimiento del álgebra

Se dice que la diferencia entre álgebra y aritmética  aritmética  es que en álgebra se usan letras y en aritmética sólo números. En realidad, el uso de letras en matemáticas es muy antiguo; los griegos escribían los números con las letras de su alfabeto: α era 1, β era 2, γ era 3, … ; los romanos también empleaban letras para indicar números. Pero en ambos casos cada letra representaba un número bien específico. El álgebra comienza en realidad cuando los matemáticos se ocupan por las operaciones que se pueden hacer con cualquier número más que por los mismos números. Ese cualquier número se representa por una letra y así se pasa de la aritmética, que se interesa por los números en concreto, al álgebra. Poco a poco, los matemáticos se inventaron una especie de taquigrafía para decir en símbolos problemas que usaban muchas palabras: “Tres cosas valen el doble de otra más diez” se escribe ahora como "3x = 2 y + 10" El álgebra es sobre todo una invención de los árabes, y se expande en Europa en el siglo XII. Durante los siglos X al XIII, la ciudad de Toledo en España se convierte en el centro fundamental de atracción para la ciencia. En el siglo XIII, Alfonso X el Sabio constituyó en esa ciudad la Escuela de Traductores, desde donde la ciencia griega y árabe se esparce por toda Europa, pero se hacen pocas matemáticas. El principal tratado del siglo XIII sobre álgebra aparece en Italia y fue Liber quadratorum de quadratorum de Fibonacci, fuertemente influido por la cultura árabe. En realidad no es hasta el siglo XVI cuando despierta el álgebra en Europa y sus principales protagonistas son Scipione del Ferro, Tartaglia y Cardano en Italia y François Viète en Francia. Fue este último quien dio el primer paso decisivo de representar los números arbitrarios por letras en las ecuaciones y fórmulas algebraicas. Podemos decir que entonces nació el álgebra, cuando el hombre supo manipular las letras como representación de cualquier número.

1.2

Definiciones fundamentales

Una vez que conocimos y comprendimos los axiomas de campo en matemáticas 1, estamos listos para comenzar nuestro trabajo en álgebra. Las operaciones que se realizan en álgebra son las mismas que en aritmética

 Matemáticas 2

1

Expresiones Algebraicas

Expresión algebraica.- Es la forma escrita de representar en álgebra un valor, una operación o un conjunto de ellas. Se emplean signos, números y letras. Las letras en álgebra tienen la misma función que los números en aritmética, si queremos a representar el cociente de dos números cualesquiera, lo escribiremos así: . b

Otros ejemplos: Lenguaje común (vox populi)

Representación algebraica

La suma de dos números

a+b

El doble de un número

2a

La mitad de un número más tres

b

El cubo de la diferencia de dos números

(a − b )3

La raíz cuadrada del cubo de un número menos 4

2

2

 + 3

a3 − 4

Una vez que explicamos de manera sucinta el objetivo del álgebra, daremos las siguientes definiciones. La expresión algebraica más simple está formada por un solo término, término, el cual Definición.comprende un número real que se nombra coeficiente  coeficiente  y una o más letras  letras  ordenadas que pueden tener o no exponente, su  parte literal, exponente, las que determinan su parte literal, y a la izquierda de cada término se le asigna su signo. Cuando la expresión algebraica  algebraica  está formada por un solo término se le nombra Definición.monomio; monomio; si contiene dos o más se le nombra  polinomio,  polinomio, aunque es común que cuando contiene dos términos se le llama binomio y binomio y cuando contiene tres trinomio. trinomio. Ejemplo.La expresión 3x + 2y 2 − 5xy tiene 3 términos, por el cual puede recibir el nombre de bien polinomio.. trinomio o trinomio o bien polinomio Si analizamos el tercer término de la expresión anterior se tiene ↯ 

literales: x, y

↯

exponentes de las literales: 1, 1

↯

coeficiente: 5

↯

signo: negativo

Se llaman términos semejantes aquellos semejantes aquellos que tienen la parte literal idéntica y que su Definición.única variación se manifiesta en el coeficiente y el orden en que puedan escribirse las literales. Los términos Ejemplo.mismas literales.

4a

2

b y

− 3ba

2

son semejantes, ya que ambos términos tienen las

Grado de un término.- El absoluto es igual a la suma de los exponentes de sus literales. Asimismo, el grado de un monomio respecto a una de sus literales es igual al exponente de esa literal.

 Matemáticas 2

2

Expresiones Algebraicas

Ejemplo.-

El grado absoluto del término

15x

2

y 3 z 4 es

9 = 2+3+ 4

Cuando se da el grado respecto de una literal, se determina por el Grado de un polinomio.exponente mayor que tenga esa literal. En general, un polinomio debe representarse ordenado respecto de un literal, ya sea en forma creciente, creciente, es decir del menor al mayor exponente de esa literal, o bien decreciente, decreciente, del mayor al menor. Para determinar su grado absoluto se toma la literal de mayor grado absoluto, sin importar la literal que lo contenga ni el término. 7a

En el caso de que el polinomio contenga términos como suma de los exponentes de sus factores literales. Ejemplo.-

2

bc 3, el grado absoluto es la

Si calculamos de grado absoluto de 7 a 2 bc 3 es 2+1+3=6.

Ejemplo.El grado del polinomio 4x 5 − 3x + 2 + 6x 2 − 7x 7 respecto a la literal x es 7, ya que la mayor  potencia de x es 7. Ejemplo.Si ordenamos el polinomio 7 5 2 así: − 7 x + 4x + 6x − 3x + 2

5

4x − 3x + 2 + 6x

2

− 7x

7

en orden decreciente quedará

Clasificación de expresiones según su estructura. Término entero es el que no tiene denominador literal como

5a

3

,

3 4

ab 4 , 3xy 3 z 5 .

Término fraccionario o racional es aquel que tiene denominador literal como Término irracional es el que tiene radicales como

 Matemáticas 2

3

2xy

10x 3y

.

Expresiones Algebraicas

1.3

Ejercicios

1.a) b) c) d) e) f) g) h) i)  j) k) l) m) n) ñ)

Usa símbolos algebraicos para representar cada una de las siguientes oraciones: Un número a menos 7 El cuadrado del doble de un número Raíz cúbica de la tercera parte de la suma de dos números El cubo de la suma de dos números, menos 6 El producto de dos números, mas su suma. La mitad de la suma de un número con 7. Tres menos el cuadrado de la suma de x con y. Un tercio de la raíz cuadrada del doble producto de dos números El cuadrado de b por la suma de c más d. El triple de la suma de a con la raíz cuarta de b. La suma del doble de un número con el triple del cuadrado de otro El producto de dos números más el cociente de otros dos números La semisuma del producto de a con el cubo de b mas d. El producto de un número por el cuadrado de la suma de otros dos La raíz cúbica del cociente entre un número y el producto de otros dos.

2.-

Escriba al lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas. b b) 2(a + 3) a+ c

a)

(a + b )2

(a + b )4 + 5

1−

e)

2 a + 3ab

f)

g)

1 4

ab − 2

h)

x 2 + y 2 + z2

i)

1 3

a + 5b − 8

j)

(2a + 3b )

l)

2

(a + b )(a − b )

m)

3.a)

Evaluar las siguientes expresiones, para los valores indicados. a + b − 13 c 2 a = 1 , b = 3 , c = 12

b)

x(xy − 1) + 2y

c)

1 3

d)

1 7

c)

a 2 + 13 − b c

(a +

a+b

d)

4

e)

x = 12 at 2

 Matemáticas 2

)

+ v 0t

2 ab + a + b 3

2 2

4

ab(a + b )

x = 13 , y = 15 a = 6 , b = 4 , c = 10 a = 3 , b = 13 a = 9 , t = 2 , v0

4

=3

Expresiones Algebraicas

Siendo b  representa a un número entero, escríbase los dos números consecutivos 4.posteriores a b. 5.-

Siendo y un número par, escríbanse los tres números pares consecutivos posteriores a y.

6.-

La superficie de un campo rectangular es m m2 y el largo mide 14m. Expresar el ancho.

Carlos tiene 5q+1 monedas de 25 centavos y Ricardo tiene q+5. ¿Cuál es la diferencia de su 7.dinero en monedas de 10 centavos? ¿Cuántas horas toma un tren viajando a un promedio de velocidad de 40mph, si recorre r  8.millas y hace n paradas de m minutos cada una? Al hacer el corte de caja, un vendedor cuenta q  monedas de veinticinco centavos, d  9.monedas de diez centavos, n  monedas de cinco centavos y c  monedas de centavo. Más tarde descubre que  x monedas de cinco centavos fueron contadas como monedas de veinticinco centavos y que x monedas de diez centavos fueron contadas como monedas de centavo. Para corregir el total obtenido el vendedor debe hacer: A) disculparse B) restar 11 c/ C) restar 11 x c/ D) sumar 11 x c/ E) sumar x c/ Se quiere construir una caja sin tapa utilizando una lámina rectangular de metal cuyas 10.dimensiones son de 14cm por 10 cm. Se cortan cuadrados de lado x en cada esquina y se doblan las proyecciones resultantes para unirse y formar la caja. Encontrar la expresión algebraica que represente el volumen de caja. Si m  trabajadores hacen un trabajo en r   días, ¿cuántos días se necesitan para realizar el 11.mismo trabajo con m + s trabajadores? El precio de un artículo es incrementado  p%. Después el nuevo precio es rebajado  p%. Si el 12.último precio fue de 100 pesos. ¿Cuál fue el precio original? Se tiene r   onzas de agua s  % salada, ¿cuántas onzas de agua hay que quitar para que se 13.convierta en 2s % salada? Un campo rectangular tiene de ancho la mitad del largo y es completamente cercado por x 14.metros de la malla. Encontrar el área en términos de x. 15.-

K hace 30 minutos menos que el tiempo en el que hace M en recorrer 30 millas. K viaja a

1 3

de milla por hora más rápido que M. Si x  es la velocidad de K  en millas por hora, encontrar el tiempo en el que K recorre la distancia. 16.-

Dados dos enteros a y b con a  < b . Encontrar el porcentaje en el que a es menor que b.

Un conjunto de n números tiene como suma S. Cada número del conjunto se incrementa 17.por 20, se multiplica por 5 y disminuye en 20 unidades. Encontrar la suma de todos los números del nuevo conjunto.

 Matemáticas 2

5

Expresiones Algebraicas

Si x  hombres trabajando x  horas al día durante x  días producen x  artículos. ¿Cuántos 18.artículos producirán y hombres trabajando y horas al día durante y días? 19.-



Encontrar los siguientes datos para los polinomios dados No. de términos. Clase de expresión algebraica según el número de términos. Partes de cada término. Grado por literal de cada término. Grado absoluto de todo el polinomio. Término constante

a)

-2x2y3z4 - 3x2yz5 + 5xy4z

b)

a3b - a2b2 + ab3 - b4

c)

ab3c4 - 4ab2 + 2a2b2c5 - a2

d)

mn3 - 3m2n7 - 2ab3c3

e)

10a13 - 3ab11c3 + 2ac3

f)

a3b + a2c - ab3

g)

6a4b7 - 4a2x + ab9 - 5a3b8x6

h)

x4 + 4x3y - 6x2y4 - 4xy5

i)

m4n2 - mn6 + mx4y3 - x8 + y15 - m11

 j)

2ax2y3 - 3x2a2 + 5a6x4 + 3

    

k)

7x

4

 Matemáticas 2

5

8

− 2 x + 1 + 5x + 4 x

6

Capitulo 2 OPERACIONES CON POLINOMIOS

2.1

Reducción de términos semejantes

Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes. Ejemplo.Reducir 5x − 11y − 9 + 20x − 1 − y Solución.-  Agrupamos términos semejantes realizando las cuentitas: 5 20 9 −1 x+ x −11y − y − 1 4 24 3 1 2 3 1 4 24 3

semejantes semejantes semejantes =

25x − 11y − 10

Para reducir términos semejantes en expresiones que contienen paréntesis, es conveniente recordar dos propiedades que se derivan de los axiomas de campo. 1.Si a,b∈ℝ, a(b + c ) = ab + ac 2.-

Si a,b∈ℝ,

−

a(b + c ) = − ab − ac

Simplificar la expresión siguiente 2[x − 3(x − 2 y ) + 5y ] − 3[y + 2(x − 5y ) − 2x ]

Ejemplo.-

Suprimimos los paréntesis, recordar en matemáticas 1 la jerarquía de las Solución.operaciones. 2[x − 3(x − 2 y ) + 5y ] − 3[y + 2(x − 5y ) − 2x ] = 2[x − 3x + 6 y + 5y ] − 3[y + 2x − 10 y − 2x] = 2x − 6x + 12y + 10y − 3y − 6x + 30y + 6x = x − 64  x2 2 − 6x + 6x + 12 y + 10 y − 3y + 30 y = 144  44  4  3 semejantes = −4

2.2

144 4  244 4  3

semejantes

x + 49y

Suma de Polinomios

Los sumandos son polinomios, que cuando se escriben en forma horizontal, cada uno de ellos se agrupa dentro de un paréntesis; su resolución consiste en suprimir paréntesis y reducir términos semejantes. Sumar 3a 2 b + 5ab − 4ab 2 , 7 ab − 8a 2b − 2 ab 2 y 6ab 2 Planteamos lo siguiente:

Ejemplo.Solución.-

(3a b 2

 Matemáticas 2

+5

ab − 4ab 2

) (7ab +

−8

a 2 b − 2 ab 2

) (6ab +

2

7

+6

a 2b + 3ab

)

=

+

6a

2

b + 3ab

Operaciones con Polinomios

Agrupamos términos semejantes: 2 2 2 a 2 b −4  a 2 b4+4  b + 5ab + 7 ab + 3ab − 4ab 2 − 22 ab4 3 82 6a + 6ab = 144  4  3 144 244 3 144 4  4 4  3 semejantes

semejantes

semejantes

2

a b + 15ab Cuando se escribe en forma de suma vertical, cada polinomio, que ahora es un sumando, ocupa un renglón, pero de tal modo que se forman columnas en las que vayan términos semejantes. Ejemplo.-

Sumar 3a 2 b + 5ab − 4ab 2 , 7 ab − 8a 2b − 2 ab 2 y 6ab 2

Solución.-

Planteamos lo siguiente: 2 2 3a b + 5ab − 4ab −

8a

6a

2

2

+

6a

2

b + 3ab

b + 7 ab − 2ab 2

b + 3ab + 6 ab 2

a 2 b + 15ab

Si la reducción de los términos semejantes da por resultado un término nulo, no debe escribirse ningún resultado.

2.3

Resta o sustracción de Polinomios

Es la adición del polinomio minuendo  con el inverso aditivo o simétrico del polinomio sustraendo. Es importante reconocer el polinomio minuendo y sustraendo, para eso recordemos las siguientes definiciones. Definición.restar.

En una resta de polinomios, el minuendo es el polinomio al que le vamos a quitar o

Definición.- En una resta de polinomios, el sustraendo  es el polinomio que vamos a quitar o restar. Con este recordatorio, podemos distinguir fácilmente al minuendo y sustraendo con la simple lectura del ejercicio.

Ejemplo.-

Restar

15x

+

2y

−

9

de 4x + 16y − 7

Solución.De la lectura del enunciado anterior, podemos concluir que: I.El polinomio minuendo es 4x + 16y − 7 , ya que a éste le vamos a quitar II.El polinomio sustraendo es 15x + 2y − 9 , ya esta el la cantidad que vamos a quitar. Ahora ya estamos preparados para realizar las siguientes restas. Ejemplo 1.-

De 6x − 3y + 20 restar 2y − 3x + 12

Solución.1.-

Planteamos la siguiente operación: (6x − 3y + 20) − (2y − 3x + 12) = 14 4  244  3

14 4  244  3

min uendo

sustraendo

suprimimos paréntesis.

 Matemáticas 2

8

Operaciones con Polinomios

6x

−

3y

+

20 − 2y

+

3x

− 12 =

reducimos términos semejantes x2 6 + 3x −3y 1 4 4 3

−

2y + 20 − 12 1 4 24 3

=

1 4 24 3

semejantes semejantes semejantes 9x

Solución.2.-

−

5y

+

8

Planteamos la siguiente operación (vertical) minuendo sustraendo

6x − 3y + 20

(

x + 2y + 12)

− −3

suprimimos paréntesis: 6x − 3y

+

minuendo sustraendo

20

3x − 2 y − 12 9x − 5y

+

6

Ejemplo 2.-

Restar 4 a + 2b − 5c + 3 de 2a − 7b − 3c − 10

Solución.1.-

Planteamos la siguiente operación: (1 2a − 7b − 3c − 10) − ( 4a + 2b − 5c ) = 44  4  244  4  3 14 4  244  3 min uendo

sustraendo

suprimimos paréntesis. 2a

−

7b

−

3c

− 10 −

4a

−

2b

+

5c

=

reducimos términos semejantes a − 4 a −4 2 7b2 − 2b −3c + 5c 123 1 4 31 4 24 3

− 10 =

semejantes semejantes semejantes −2

Solución.2.-

a − 9b + 2c − 10

Planteamos la siguiente operación (vertical) 2 a − 7b − 3c − 10 −

(4a + 2b − 5c )

minuendo sustraendo

suprimimos paréntesis: 2a −

−

4a

7b

−

−

2b

3c

+

− 10

5c

minuendo sustraendo

- 2a − 9b + 2c − 10

 Matemáticas 2

9

Operaciones con Polinomios

2.4

Multiplicación de Polinomios

Se efectúa multiplicando todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, sumando los productos obtenidos. Es conveniente ordenar los polinomios según las potencias crecientes (o decrecientes) de una de las letras. x + 9 + x 2 por

Ejemplo.-

Multiplicar

Solución.-

Ordenado según las potencias decrecientes de x x 2 − 3x + 9 −x+3 −

x 3 + 3x 2 − 9x 3x

−

−3

2

−9

x + 27

3− x .

multiplicando por -x multiplicando por 3

x 3 + 6x 2 − 18x + 27

sumando

x + x 4 + x 2 + 1 − x 3 por x + 1 + x 2 .

Ejemplo.-

Multiplicar

Solución.-

Ordenado según las potencias decrecientes de x x4 − x3 + x2 − x +1

−

x2 + x +1 multiplicando por 1

x 4 − x3 + x 2 − x + 1

multiplicando por x

x5 − x4 + x3 − x 2 + x

multiplicando por x2

x6 − x5 + x4 − x3 + x 2 −

2.5

x6

+

x 4 − x3 + x 2

sumando

+1

División de Polinomios

La división es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). Para dividir dos polinomios se sugiere seguir los siguientes pasos: Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra. Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer término del cociente. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

 Matemáticas 2

10

Operaciones con Polinomios

Ejemplo.-

Dividir 3x 2 + 2x − 8 entre x + 2 .

Solución.-

Los polinomios ya están ordenados en forma descendente. 3x − 4 2 x + 2 3x + 2x − 8 x 2 − 6x − 4x − 8 + 4x + 8

−3

0

Ejemplo.-

Dividir 2xy 4 − x 4 y + 2x 2 y 3 − 4x 3 y 2

Solución.división.

Ordenamos los polinomios en forma descendente y aplicamos el algoritmo de la

−

y 5 + 2x 5 entre 2x 2

+

y 2 − 3xy .

x 3 + x 2 y − xy 2 2x

2

2x 5

xy + y 2

−3

−

2x

5

−

x 4 y − 4x 3 y 2

2

2x

+

y 3 + 2xy 4

−

y3

y5

x4y − x3y 2

+3

2x −

2x

4

4

y − 5x 3 y 2

y + 3x 3 y 2

+ −

2x

2

y 3 + 2xy 4

11

−

y5

x2y3

−

2x

3

y2

+

x 2 y 3 + 2xy 4

+

2x

3

y2

−3

−

y5

x 2 y 3 + xy 4

−

2x

2

y 3 + 3xy 4

−

y5

−

2x

2

y 3 − 3xy 4

+

y5

0

 Matemáticas 2

−

Operaciones con Polinomios

2.6

Ejercicios

1.a)

Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes. 2 2 2 2 2 4x + − x − xy + − 3y + 2xy − − 3x + y

b)

4m − 2m +

c)

2a

d)

6ab + 3 − 5 2 − 5 2ab + b

e)

−

f)

x2 −

g)

3x

h)

y − 4 − 3[6 − 2(− 1 + 5y ) + 3y − 2]

i)

2x

−

3y

 j)

2 g

−

5

(

) (

[

) (

)

(n − 3)] + [− 4n − (2m + 1)]

{3 − 4(2a + 5) + 3(6a − 3) + 7}

−

(

2

+

5a

)

+

2a − b

2

+

(

2 3 − 6a

)+9

{3a − 5[5 − 5(5 − 5a ) + 5(5 + 5a )] + 5} + 5a + 5

(

{

−7

2

−2

xy +

−

yz + y 2

+

[

6

−

y2 +

(

) 4(x −

−

2

x 2 + 3xy − 2y 2 −

y 2 − 3yz

)

+

)}

x2 + y2

x + 3(2x − 5y ) + x]

{h − 4[i + 2( g − h + 2i ) − g] + 2h} + 3i

{b − 2[c − 3b + 2(− a + c ) + b] − 2a}

k)

3a −

l)

1 2

m)

3 2 2 4 − + − 3 5 5 4

n)

−

ñ)

1 1 1 1 − − 3 3 3 3

o)

2 2 2 2 − − − 5 5 5 5

p)

2a − 5 4 − 3

q)

7q − 9 2 − 3 4 − 10q − p

2.a)

Sumar los siguientes polinomios 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y − 2xy − 7x y ; − 4x y − 5xy − 4x y ;

b)

3x

a − 25 (− 23 b + 17 a + 56 )+ 34

(

(

8 3 2 − − 3 4 5

[

 Matemáticas 2

3 2 − 3 5

(4a − 5b)

a + 17 b ) − 52 (13 a − 59 b ) − 34

3 1 − 2 5

(

2 7

a − 72 b)

a − 16 b )− 34 (13 b − 53 a )

(

1 3

(

2

−

a − 23 b ) − 23 (− 23 a − 13 b )] x − 35 y )− 35 (− 35 x + 25 y ) − 45 (x − y )

{

(a − 7b) − 6(8 − 9a ) − 3[4 − 5(12 − 8b ) − 7(4 − 11a )]}

[

(

−4

xy + 2y 2 ;

) − 4(8 p − 6q − 14)] − 4{3 − 5(1 − 2 p − 9q ) − 7(11 − p) − 2q}

−

xy − 2y 2 − 5x 2 ;

−4

2x

12

xy 2 + 9x 2 y − 2x 2 y 2

2

+

y 2 − 5xy

Operaciones con Polinomios

2

cx 3 ;

c)

−

d)

5 ab

e)

−

f)

m3 − n3 + 6m 2 n ;

g)

3x

h)

5

i)

2

 j)

2 ax + 2bx −

3bc

−3

m − n − p ;

6

3

2

−

3xy

a 2 + 15 ab − 12 b 2  ; −4

xy + y 2 ;

−4

+

−

2 ab

2

3de

5

a 2 − 101 ab + 16 b 2  ;

xy + 6x 2 − 3y 2 ;

−5

2n + 5m − 8

m3 − n 3 + 6mn 2

3x

2

+

2

1 5

y 2 − 8xy − 9x 2

9

a 3 + 65 ax 2 − 13 x 3  ;

−

l)

1 2

a + 34 b − 17 + 35 ab ;

1 3

m)

−3

n)

2 7

abc 2 − 13 a 2 bc + 25 ab 2c ;

−

7

ab 2c + 34 abc 2 − 3a 2 bc ;

o)

1 3

mn 2 − 5m + 25 n ;

−

2 3

m − 3mn 2 − 34 n ;

3

p)

1 7

a + 3b + 35 c − 8 ;

−

3 4

b − 2 a + 52 c + 73 ;

2−

q)

11

−

4 9

y + 34 x − 6 ;

x 2 yz + 2x − 3y + 4 ;

3

xy 2 + 2x − 72 y − 94 ;

3.-

Restar

a)

m 2 − n 2 − 3mn de

b)

7a

c)

5xy

d)

25x + 25x

e)

−

3a + 6b

f)

1 2

a + 34 b − 78 c + 89 d

3

a − 3 + 25 b − 72 ab ;

5

 Matemáticas 2

3y

−

3

−

2 z + 2x

de

x 2 − 11x 5 − 46

+

2a

2

−

yz − 9y − 11 ;

2 3

a 3 + 12 a 2 x − 14 ax 2

1 4

ab + 25 b + 72 − 75 a

− 10

y − 21x − 11 − x 2 yz abc 2 − 3a 2bc − ab 2c

5

n − 72 mn 2

x + 56 xy 2

6 5

−

+

1 7

b + 5c − 3d

7

m 2 − n 2 + 6mn

− 18

3c

2

3

2

−

−5

b + 5ab3 − 8a 2 b 2 + b 4 de −

a 2 x − 78 ax 2 − 19 x 3  ;

2x − 5x

1 a 2 + 20 ab − 13 b 2

12

2

3

5a −

4

+

9a

3

b − 40ab3 + 6b 4

x − 4y + 6z + 12xy x 3 − 6x 4 + 8x 2 − 9 + 15x

de

de

5b

de

−

3

7 20

+

6a

b+c

− 11

b + 18 c − 19 d + 78

13

x 2 y − xy 2 + 20x

xy

k)

7

y − 15x + 34y ;

1

−

−6

2

bc − 6cd − ab

3x

2 − 3

2 ax − 7bx −3

x − 17y + 4xy 2 ;

x 2 − 52 ;

−

;

n + 5mn 2 + n 3 ;

1 2

6

+

3

4cx

3 p − 6m + 4 ;

4m

−

y − 2x + 3y − 4xy 2 ;

2

4bc

m + 2n − 5 ;

x 2 − 32 xy + 5 ;

3x

bx 2 − 4cx 3 − 2ax ;

; 2bc + 2cd − 3de ;

4cd

+

−7

m

Operaciones con Polinomios

g) h)

2mn - 3m + 2n +5 2 3a − 7 a + 9b − 5

de de

a 3 + 65 ax 2 − 13 x 3

de

−

x 2 − 32 xy + 5

de

2

6

3

−3

k)

2 7

abc 2 − 13 a 2 bc + 25 ab 2c

de

−

7

l)

3 5

mn − 3m + 73 n + 53

de

−

m)

2x +

de

1 4

n)

4 7

de

3 13 − 4 5

i)

2

 j)

5

9

y2

1 4

−

2xy +

2 3

z

a + 56 b − 85 c − 11 2

4.-

De:

a)

5m

b)

3x

2

c)

−5

abc − 3bc + 2 ab + c restar

d)

−

e)

1− x 3

3

−9

+5

n 3 + 6m 2 n − 8mn 2 restar

y 3 − 11xy restar

2

+

a 2 + 13 ab − 53 b 2  restar

g)

−3

h)

2 3

a 2 + 15 ab − 12 b 2  restar

i)

−

2 5

−4

+

4 5

n2

−

2 3

5 14

l)

2z + 9x − 11y − 18

m)

1 2

n)

2u −

 Matemáticas 2

7 3

ab 2c + 34 abc 2 − 3a 2 bc

m − 25 n − 34 − 43 mn

x − 52 xy − 79 z − 73

2

4 c − 76 a + 11 b

−

21m

2

n + 5m3 − 18

c + 2bc − 8 ab + 17 abc −8

−

−

a 6 + 9b 6 − 11a5 b − 11ab 5 + 2

x 6 + 8x 4 − 30x 2 + 15x − 24

x 2 − 8xy − 7 y 2 + 15

−5

1 a 2 + 20 ab − 13 b 2

1 12

mn − 67  restar 2n 2 − 34 m 2 − 78 mn −

y2

− 11

1 2 − 3 4

4 3

y 3 − 12y + 3

+ 15

ab 2 − 11 a 2 b + 34 ab + 47 3

restar 9x − 10y + 18z − 90

a − 34 b − 75 c − 11  restar 5 3 5

5

− 23

ab 2 − 54 a 2 b − 3ab − 34  restar

2 5

x 2 + 15 xy

a 2 + 12 ab − 18

y 3 + 5y 2 − 11y − 4 restar

k)

a 2 x − 78 ax 2 − 19 x 3

x 2 + 9xy − 24y 3

xy − 2x 2 − 4y 2 − 11 restar

m2

7

− 11

x 4 − x 3 + 3x − 6x 5 restar

7

3

14mn

a 5 b + 6 a 3b 3 − 18ab 5 + 42 restar

f)

 j)

-7 + 2m - 7n + 18mn 2 4a − 11a − 10b + 6

3 8 − 5 7

a − 11 c + 15 b 9 2

6 v − 11 w − 94 x  restar 2w − 5u + 23 v + 35 − 18 x − 6 7 4 7

14

Operaciones con Polinomios

5.-

De la suma de 3a − 5b + c con a − b − 3c  restar la suma de 7 a + b  con

6.-

De la suma ab + bc + ac 3bc + 5 ac − ab .

7.-

Restar la suma de 7 a5 − 6 a 6 − 7 a + 3a 7 + 2 ; − 5a + 3a 5 + a 6 − 5a 7 7 5 6 5 6 7 − 3a + 3 − 25a + 9 a − 22 a con − 6 a − 3a + 12 − 2 a − 31a .

8.-

Restar la suma de 7 a5 − 6 a 6 − 7 a + 3a 7 + 2 ; − 5a + 3a 5 + a 6 − 5a 7 − 11 y − 11 + 4a − 12a 5 + 24a 6 − 8a 7 de la suma de − 3a 7 + 3 − 25a 5 + 9a 6 − 22a con − 6a 5 − 3a + 12 − 2a 6 − 31a 7 .

9.-

Restar la suma de

10.-

De

3 5

m2

−

4 7

n2

+

2 3

1 3

con

−7

bc + 8ac − 9

a + 53 b − 74 ab − 17  con

−

3 2 − 3 5

b − 3c .

−8

restar la suma de

4 ac

bc + 5ab

−3

con

de la suma de

− 11

a − 74 b − 53 ab

a − 12 b + 4ab  de

1 −3 5

mn − 11 restar la suma de 3m 2 − n 2 + mn con 2

−

2 7

n2

−

4 5

m 2 − 47 mn +

2 5

Un comerciante tenía 500 sacos de harina y vendió tres partidas; la primera de 72 sacos, la 11.segunda de a sacos y la tercera de (3a − 1)  sacos. ¿Cuántos sacos le quedan? En el piso bajo de un hotel hay  x   habitaciones. En el segundo piso hay doble número de 12.habitaciones que en el primero; en el tercero la mitad de las que hay en el primero. ¿Cuántas habitaciones tiene el hotel? 13.-

Calcular el beneficio de un comerciante que ganó

sábado y

3xy − 2x

2

pesos el lunes,

4x

2

−

24xy

el

xy + 2x 2 en el resto de la semana.

−5

Salí a comprar mis libros de texto con un billete de 7m pesos; el libro de álgebra me costo 14.(a − 3m ) pesos, el de biología costo 2 a pesos, el de ingles 5(m − 3a)  pesos, el de civismo costo 10a pesos, finalmente en transporte gaste 6 a pesos. ¿Cuánto me quedo? 15.-

Multiplicar:

a)

1 4

a 2 − ab + 23 b 2  por

b)

3

m 3 − 12 m 2 n + 25 mn 2 − 14 n 3  por

4

2

1 4

a − 32 b

x 3 + 12 xy 2 − 15 x 2 y  por

1

2 3

m2

+

5 2

n2

−

2 3

mn

x 2 − 23 xy + 56 y 2

c)

7

d)

3x

e)

x 4 − 3x 3 y + 2x 2 y 2 + xy 3 por

f)

m 4 − 2m3n + 3m 2 n 2 − 4n 4 por n 3 − 5mn 2 + 3m 2 n − m 3

g)

x 6 − 3x 4 y 2 − x 2 y 4 + y 6 por x 5 − 2x 3 y 2 + 3xy 4

3

 Matemáticas 2

−

4

a 3 + 2 ax 2 por 2 a 2 − x 2 − 3ax −

y 2 − xy − x 2

15

Operaciones con Polinomios

ax − 12 x 2 + 32 a 2  por

1

i)

x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 por x 3 − x 2 + x − 1

k)

10 a

l)

x 3 − xy 2

+

x 2 y − y 3 por 2x 2

m)

x5

−

2x

n)

8 p

3

4

−

+

4

2a

4x

4

3

3 2

x 2 − ax + 23 a 2

h)

b + 5a 2 b 2 − 7 ab 3 + 8b 4 por a 3 − 3a 2 b + 11ab 2 − 4b 3

3

+

7x − 3

xy + y 2

−3

por x 3 − 2x 2

+

5

 p 2 q 2 − 3 por 5 p 4 − 3 p 2 q 2 − 6

−9

Si se sabe que x 6 + 4x 5 + 6x 4 + 6x 3 + 4x 2 + 2x + 1 x 2 + ax + 1 x 4 + bx 3 + cx 2 + dx + 1 . ¿Cuál es el valor de a  + b ?

16.-

(

)(

)

17.-

Si R(x ) = 2x 4 − x 2 + 5x − 1 , realizar

18.-

Sea P(x ) = 2x 4

es el resultado de multiplicar

(x ) − x 3 − 2x R(x ) − 2x 4 .

2R

x 3 + 2x 2 − x − 10 y Q(x ) = 3x 3 − 8x 2 − 7x − 11 , encontrar P 2 (x ) , Q 2 (x ) ,

−5

[2P(x ) − 5Q(x )]2 , {3Q(x ) − 2[P(x ) − 5Q(x )]P(x )}Q(x ) , [P(x ) − Q(x )][P  (x ) + Q(x )] , [P(x ) + Q(x )]2 − 3P 2 (x ) . 19.a)

Dividir a 2 − 2a − 3 entre a + 1 .

c)

6x

e)

b)

x2

d)

3y

x 5 + y 5 entre x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4

f)

x9

g)

a10

h)

x11 + y 11 entre x + y

i)

m5 − 5m 4 n + 20m 2 n 3 − 16mn 4 entre m 2 − 2mn − 8n 2

 j)

2

16x 5

−

−

4

xy − 2y 2 entre y + 2x .

b 10 entre a + b

−

27 y

4

− 24

x entre

+ 15 − 8

5

+5

−

y 2 − 12y + 10 entre y 2

y 9 entre x − y

x 2 y 2 entre 8x 3 − 9y 3 + 6xy 2 − 12x 2 y

y − x 6 − 3x 2 y 4 − xy 5 entre x 4 − 3x 3 y + 2x 2 y 2 + xy 3

k)

2x

l)

a 6 + b 6 − a 5b − 4 a 4 b 2 + 6a 3b 3 − 3ab 5 entre a 2 − 2ab + b 2

m)

24x

5

n)

63 p

2

o)

2x

7

 Matemáticas 2

x 4 y + 38x 3 y 2 − 33x 2 y 3 − 26xy 4 + 4y 5 entre 8x 3 − 12x 2 y − 6xy 2 + y 3

− 52

q2

+

+

6x

2

27 p

4

q4

− 15 −

 p 6 q 2

− 69

27 x

3

+

x8

 p 4

− 63

+ 35

+ 18 +

x − 10x 6

+

40 p

8

27 x

16

4

entre 5 p 4 +

9x

5

3− x.

 p 2 q 2

−6−3

entre x 3 − 2x 2

+

5

+

2.

Operaciones con Polinomios

20.-

Si Q(x ) por

 Matemáticas 2

−2

x + 1 es igual a 7x 2 − 16x 4 − 14x + 2x 3 + 6 , hallar Q(x ) .

17

Capitulo 3 POTENCIAS

3.1

Definición de potencia

En álgebra frecuentemente nos encontramos con la multiplicación de un número por sí mismo varias veces; por ejemplo al calcular el volumen de un cubo de lado a  se presenta la situación antes descrita, ya que como es conocido por la matemática elemental, el volumen se calcula realizando el producto de a ⋅ a ⋅ a . Otra aplicación conocida es la utilización de las potencias para representar un número en sistema decimal, si el lector no se acuerda puede consultar en el libro de matemáticas 1. Ejemplo.-

El número 26578 puede representarse de la siguiente manera: = 20000 + 6000 + 500 + 70 + 8 26578 = 2 × 10000 + 6 × 1000 + 5 × 100 + 7 × 10 + 8 26578

26578 = 2 × 10

4

3

2

1

+ 6 × 10 + 5 × 10 + 7 × 10 + 8 × 10

0

Como una necesidad de compactar este producto se da la siguiente: Definición.-

Si x es un número real, x≠0 y n es un número natural, entonces: Kx x n = x1⋅ 4 x ⋅2 x ⋅4 3

n veces n

En la expresión x , x es llamada base, n exponente y la expresión completa es llamada “la nésima potencia de x”, también “x a la n” o simplemente “x elevado a la n”. Ejemplo.-

3

Ejemplo.-

4

= 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 , en este ejemplo, la base es 3, el exponente es 4 y se lee “3 elevado a la 4”.

r 6 = r  ⋅ r 4  ⋅ r 2 ⋅ r  ⋅ r 3 ⋅ r  [Aquí r  es la base y 6 es el exponente. ] 14 44  6

 factores

Ejemplo.-

(a + b )5 = (a + b )(a + b )(a + b )(a + b )(a + b ) [Aquí (a + b )  es la base y 5 es el exponente. ]

Notación.-

Cuando el exponente es 3, podemos decir “al cubo” además de “x a la tercera potencia”.

Ejemplo.cubo”.

5

3

= 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 [Aquí 5 es la base y 3 es el exponente. ], y puede leerse como “5 al

Notación. potencia”.

Cuando el exponente es 2, podemos decir “al cuadrado” además de “x a la segunda

Ejemplo.-

(− 4) 2 = (− 4)(− 4) = 16 puede leerse como “-4 al cuadrado”.

 Matemáticas 2

17

Potencias

Para poder simplificar o hacer operaciones con potencias es necesario conocer las propiedades de éstas, ya que con frecuencia se utilizan en la resolución de problemas.

3.2.-

Propiedades de las potencias

Teorema.-

Si a es un número real, a≠0 y n, m son números naturales, entonces: a n ⋅ a m = a n +m Demostración.- Sabemos por definición: Ka ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ K ⋅ a a n ⋅ a m = a1⋅ 4 a ⋅2 a ⋅4 3 142 4  43 4 

n veces

m veces

Si contamos todas las letras “a”, tendremos a n ⋅ a m = a1⋅ 4 a ⋅ a4  a2 ⋅K ⋅ a4 ⋅ a4  ⋅ a4  ⋅K ⋅ a = a n+ m 4  4  4  3 n +m  veces

8+5

⋅3 = 3 = 3 x 5 ⋅ x 4 = x 5+ 4 = x 9 8

5

13

Ejemplo.Ejemplo.-

3

Teorema.-

Si a es un número real, a≠0 y n, m son números naturales, entonces:

(a n )m = a nm Demostración.-Por definición se tiene:

(a n )m = (a n )(an )(a n ) (a n ) K 144  4  244  4  3

m veces

Si interpretamos cada paréntesis se obtiene:

(an )m = (a ⋅ a ⋅ a ⋅

a )(a ⋅ a ⋅ a ⋅

a )(a ⋅ a ⋅ a ⋅

a ) (a ⋅ a ⋅ a ⋅

a)

K K K K K 142 4  43 4  142 4  43 4  142 4  43 4  142 4  4 4  3

n veces

n veces

n veces

n veces

144 4 4 4 4 4 4 4  4  244 4 4 4 4 4 4 4 4  3

m veces

Si contamos todas las letras, habrá nm letras “ a ”. Es decir:

(an )m = a ⋅ a ⋅ a ⋅

a⋅a⋅a⋅a⋅

a⋅a⋅a⋅a⋅

a⋅

a⋅a⋅a⋅

a = a nm

K K K K K 144 4 4 4 4 4 4 4  4  244 4 4 4 4 4 4 4 4  3

nm veces

Ejemplo.Ejemplo.-

Teorema.-

(7 ) (y )

3 4

= 7 3⋅4 = 712

6 5

= y 6⋅5 = y 30

Si a y b son números reales, a, b ≠0 y n es número natural, entonces: (a ⋅ b )n = an ⋅ b n

Demostración.-Por definición se tiene: (a ⋅ b )n = (1 )(ab )(2 )K (4  ) ab4 ab4 ab 4  4  4  3 n veces

 Matemáticas 2

18

Potencias

Si quitamos paréntesis y asociamos todas las letras “ a ” y todas las “b ” (ab )n = (1 a ⋅42 a ⋅ a ⋅K a ) ⋅ (1 b ⋅42 b ⋅ b ⋅K b ) = a nb n 4  43 4  4  43 4  n veces

Ejemplo.-

(x

Ejemplo.-

(xyz)5 = x 5 y 5 z 5

2

y

) = (x ) (y )

3 4

2 4

3 4

n veces

= x 2⋅4 y 3⋅4 = x 8 y 12

Antes de mostrar la veracidad de las siguientes afirmaciones, recordemos la siguiente definición. Definición de división.denotamos así:

Para todo a, b  números reales, b ≠0, la división de a  entre b la a = a ⋅ b −1 b 7

7⋅2

−1

Ejemplo.-

En lugar de escribir

Ejemplo.-

En lugar de escribir

Teorema.-

Si a y b son números reales, b ≠0 y n, m son números naturales, entonces:

, podemos escribir

2

3 4

2

.

, podemos escribir 3 ⋅ 4 −2 .

an m

= a n −m

a Demostración.-Utilizando la definición anterior, se obtiene: an a

m

= a n ⋅ a −m

Aplicando el teorema 1, se obtiene: an a 6

Ejemplo.Ejemplo.-

11

3

m

= a n ⋅ a −m = a n + ( −m ) = a n − m

= 116−3 = 113

11

w6 w

9

= w 6−9 = w −3

Nota.- Tener mucho cuidado al aplicar esta propiedad, suele pasar que

Ejemplo.x14 −5

Simplifiquemos

x14 x −5

, uno “quedaría seducido” en dar la siguiente respuesta:

= x9

x Sin embargo, apliquemos el teorema anterior. x14 x

 Matemáticas 2

hacemos mal las cuentas.

−5

= x (14) −(−5) = x 14+ 5 = x 19

19

Potencias

Si a y b son números reales, a, b ≠0 y n es número natural, entonces:

Teorema.-

n

an ⎛ a ⎞ ⎜ ⎟ = n b ⎝ b ⎠ Demostración.-Aplicando la definición de división y las propiedades anteriores de potencias, se tiene: n

an ⎛ a ⎞ n n (−1)n −1 n −1 n = a n b −n = n ⎜ ⎟ = (a ⋅ b ) = a ⋅ (b ) = a b b ⎝ b ⎠ 4

Ejemplo.-

3 4 ⎛ x 3  ⎞ ( ) = x 3⋅4 = x12 x ⎜ ⎟ = ⎜ y5 ⎟ (y 5 )4 y 5⋅4 y 20 ⎝   ⎠

Ejemplo.-

y4 ⎛ y ⎞ = ⎜ ⎟ z4 ⎝  z ⎠

Teorema.-

Si a es un número real, a≠0 y n es un número entero, entonces:

4

a −n =

1

an Demostración.-Utilizando la definición de división es evidente. w −3 =

Ejemplo.-

x2

Ejemplo.-

x7

1

w3

= x 2 − 7 = x −5 =

1

x5

Si a es un número real, a≠0 , entonces:

Teorema .-

a0 = 1

Demostración.-Utilizando la siguiente expresión, se obtiene: an a

= 1 = a n −n = a 0

=1. y0 = 1.

Ejemplo.-

7

Ejemplo.-

3.3

n

0

Resolución de problemas utilizando potencias.

Hallar la 32ava parte de 2 2005 . 1.La 32ava parte de “una cantidad” es dividirla entre 32. Es decir hagamos la cuenta Solución.siguiente

2

2005

32

.

Para poder aplicar las propiedades de las potencias, es necesario que el denominador sea de la misma base. Como 32 = 25 , entonces hacemos la siguiente operación:

 Matemáticas 2

20

Potencias

2

2005

= 32

Por lo tanto la 32ava parte

2.-

Hallar k tal que

Solución.-

3

2

2005  

es

2

2000

3

k

5

= 2 2005−5 = 2 2000

.

 

Se sabe que

2005

2

(3 k + 3 k + 3 k ) = 3

k

2

2005

.

+ 3k + 3k = 3⋅ 3k

Aplicando esta igualdad y utilizando propiedades de potencias se obtiene: 3

k

(3 k + 3 k + 3 k ) = 3 k (3 ⋅ 3 k ) = 3 k (3 3 k ) = 3 k+ 1

Para que la última igualdad sea cierta, es necesario que Despejando se obtiene: k es 1002. 3.-

2k

2   1

= 3 2005

+ 1 = 2005 .

Aplicar las propiedades de potencias para simplificar la siguiente expresión: ⎧ ⎡ 5 7 6 4 6 4 ⎤5 ⎫ ⎪⎪ ⎢⎣(x y ) (x y ) ⎥⎦ ⎪⎪ ⎨ −4 ⎬ ⎪ ⎡(x −3 y 5 )4 (x 4 y 3 )2 ⎤ ⎪ ⎥⎦ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎢⎣

Solución.-

6

Aplicando propiedades de potencias, se obtiene la siguiente cadena de igualdades. 6

⎧ ⎡ 5 7 6 4 6 4 ⎤5 ⎫ 6 ⎧⎪ x 30 y 42 x16 y 24 5 ⎫⎪ ⎪⎪ ⎢⎣(x y ) (x y ) ⎥⎦ ⎪⎪ =⎨ ⎨ −4 ⎬ −4 ⎬ 4 2 3 5 4 3 − ⎪ ⎡(x y ) (x y ) ⎤ ⎪ ⎪⎩ x −12 y 20 x 8 y 6 ⎪⎭ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭

[ [

]

]

6

⎧ ⎡ 5 7 6 4 6 4 ⎤5 ⎫ 6 ⎧⎪ x 46 y 66 5 ⎫⎪ ⎪⎪ ⎢⎣(x y ) (x y ) ⎥⎦ ⎪⎪ =⎨ ⎨ −4 ⎬ −4 ⎬ 4 2 ⎪ ⎡(x −3 y 5 ) (x 4 y 3 ) ⎤ ⎪ ⎪⎩ x −4 y 26 ⎪⎭ ⎥⎦ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎢⎣

[ [

] ]

6

⎧ ⎡ 5 7 6 4 6 4 ⎤5 ⎫ 6 ⎪⎪ ⎢⎣(x y ) (x y ) ⎥⎦ ⎪⎪ ⎧⎪ x 230 y 330 ⎫⎪ = ⎨ 16 −104 ⎬ ⎨ −4 ⎬ ⎪⎩ x y ⎪⎭ ⎪ ⎡(x −3 y 5 )4 (x 4 y 3 )2 ⎤ ⎪ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭ 6

⎧ ⎡ 5 7 6 4 6 4 ⎤5 ⎫ ⎪⎪ ⎢⎣(x y ) (x y ) ⎥⎦ ⎪⎪ 6 6 230 −16 330− ( −104 ) 6 } = {x 214 y 330+104 } = {x 214 y 434 } y ⎨ ⎬ = {x 4 − ⎪ ⎡(x −3 y 5 )4 (x 4 y 3 )2 ⎤ ⎪ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭ 6

⎧ ⎡ 5 7 6 4 6 4 ⎤5 ⎫ ⎪⎪ ⎢⎣(x y ) (x y ) ⎥⎦ ⎪⎪ 214 434 6 1284   2604 ⎨ ⎬ = {x y } = x y 4 − 4 2 ⎪ ⎡(x −3 y 5 ) (x 4 y 3 ) ⎤ ⎪ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭

 Matemáticas 2

21

Potencias

3.4

1.-

Ejercicios

Aplicar las leyes de los exponentes para reducir las expresiones siguientes. ⎡x y ⎢⎣

(

a)

4

) (x

3 2

⎡x y ⎢⎣

2

y

) ⎤⎥⎦

4 3

( ) (xy ) ⎤⎥⎦ 2

2

3 3

3

b)

d)

⎧ ⎡ 3 5 2 6 ⎤3 ⎫ ⎪⎪ ⎢⎣(x ) (x ) ⎥⎦ ⎪⎪ ⎨ ⎬ 4 ⎪ ⎡(x 4 )2 (x 2 )2 ⎤ ⎪ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭

f)

⎧ ⎡ 3 5 2 6 ⎤3 ⎡ 6 3 8 5 ⎤7 ⎫ ⎪⎪ ⎢⎣(x ) (x ) ⎥⎦ ⎢⎣(x ) (x ) ⎥⎦ ⎪⎪ ⎨ ⎬ 4 5 ⎪ ⎡(x 4 )2 (x 2 )2 ⎤ ⎡(x −3 )5 (x −5 )3 ⎤ ⎪ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭

4

c)

⎧ ⎡ 4 3 5 3 3 4 4 ⎤5 ⎫ ⎪⎪ ⎢⎣(a b c ) (a b c ) ⎥⎦ ⎪⎪ ⎨ ⎬ 3 ⎪ ⎡(a 4 b 2 c )2 (a 2 bc 2 )3 ⎤ ⎪ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭

e)

⎧ ⎡ 3 − 4 4 3 −5 6 4 ⎤ 7 ⎫ ⎪⎪ ⎢⎣(a b c ) (a bc ) ⎥⎦ ⎪⎪ ⎨ −3 ⎬ ⎪ ⎡(a −3 b 6 c −5 )2 (a 9 b 4 c 7 )3 ⎤ ⎪ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭

g)

⎧ ⎡ 4 a +6b −3 3a −5b +5 2 2 a +8b −2 4 a+5b −3 3 ⎤ 4 ⎫ ) (x ) ⎥⎦ ⎪⎪ y y ⎪⎪ ⎢⎣(x ⎨ ⎬ 3 ⎡(x 2 a−b +9 y a −b )2 (x 4 a +5 y 3b −9 )3 ⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎢⎣ ⎥⎦

h)

⎧ ⎡ 3i + 2 j −8 5 2i −7 j +8 6 ⎤ 3 ⎡ 6i −4 j −13 3 8 j +7i −17 5 ⎤ 7 ⎫ ) (x ) ⎥⎦ ⎢⎣(x ) (x ) ⎥⎦ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎢⎣(x ⎨ ⎬ 4 5 ⎪ ⎡(x 4−8i +6 j )2 (x 12i −8 j −7 )2 ⎤ ⎡(x −3i +6 j +9 )5 (x −5+ 23i −7 j )3 ⎤ ⎪ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭

2.-

Hallar el cuadrado de la mitad de

1024

3.-

Hallar 25 veces la quinta parte de

625

4.-

Hallar la tercera parte de 81 veces la tercera parte de

5.-

Simplificar

6.-

Simplificar

7.-

Ordenar de mayor a menor las cantidades siguientes. 45 20 30 32 18 3 , 81 , 27 , 9 , 729 .

 Matemáticas 2

9

2005

3

(9

2005

(3

9

4

6

3

.

. 2187

+ 99 + 99 + 99 + 99 + 99 + 99 + 99 + 99 ) .

+ 3 2005 + 3 2005

1001

50

25

+3

1001

3

2005

)

1001 2

+3

3

⎧ ⎡ 2 4 2 3 3 4 2 ⎤5 ⎫ ⎪⎪ ⎢⎣(x y z ) (xy z ) ⎥⎦ ⎪⎪ ⎨ ⎬ 3 ⎪ ⎡(x 2 y 2 z 3 )2 (x 2 yz 3 )2 ⎤ ⎪ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭

4

.

22

45

.

3

3

Potencias

(5 k + 5 k + 5 k + 5 k + 5 k )

90

= 125 720 .

8.-

Encuentra el valor k en

9.-

Si

10.-

Encuentra n si

11.-

¿Cuál es el valor de n tal que

12.-

Si

13.-

Muestra que

14.-

Encuentra el valor de k si

15.-

Encuentra el valor de n en las igualdades siguientes.

a)

888 × 111 = 2 × 2 × n

(

(6

7 7

7

30

4⋅2

)2 y n es un entero positivo, encontrar el valor de n.

n −1

= 8n 2

n

= 4 4 ⋅ 88 ⋅1616 ?

+ 6 −30 )(6 30 − 6 −30 ) = 3 A 8 B − 3 − A 8 − B , encontrar  A + B . 7

m

+ 7m + 7m 1−m

3

= 21m .

(

3 15

  2005 + 15 k + 15 k + 15 k + 15 k ) = 3375

k

⎡ ⎢ ⎢⎣

2

1− 7 n

= 7 83

b)

(8

n

⋅4 32

(27 )

3 6

100

n

n

⋅ 2 ⋅ 5 = 100

100

d)

)

2 3

n

2

⋅ 16

2

⋅ 24

⎤ ⎥ = 1612 ⎥⎦

= 3 n +1

c)

10

16.-

Determine el número de dígitos de

17.-

De los siguientes números

18.-

¿Cuántos dígitos tiene el resultado de la siguiente operación? 2001 × 51950 2

  10000000

2

9

16

,

3

501

4

⋅ 625 500 .

5000000  

4

,

5

3000000  

,

7

2000000 

y

1000000

11

¿cuál es el mayor?

27

Un número de 4 dígitos es divisible por 5 pero no por 10. El dígito de las decenas es mayor 19.que 4 y es una potencia de 3. El dígito de las centenas es mayor que 4 y es una potencia de 2. El dígito de los millares es menor que 4 y es una potencia de 2 y 3. ¿Cuál es este número? k

= 55 ⋅ 25 25 ⋅ 125125 ⋅ 625 625 ?

20.-

¿Cuál es el valor de k tal que

21.-

Encontrar el mayor entero n tal que

22.al 20.

Encontrar el mayor entero m tal que

4

23.-

Encontrar el mayor entero k tal que

25

5

8

n

divida a

44

44

m

divida al producto de todos los números pares de 2

k

divida a

100!

Sea N  el producto de los primeros 200 enteros positivos, encuentra el mayor valor entero de 24.k tal que 3 k sea un factor de N .

 Matemáticas 2

23

Potencias

25.A) D)

Si 8 ⋅ 2 x = 5 y +8 , entonces, cuando y = −8 , x es igual a: -4 B) -3 4 E) 8

26.-

Si a x = c q = b y c y = a z = d entonces:

A)

xy = qz

B)

x q = y z

D)

x−y =q−z

E)

xy = qz

C)

0

C)

x+y =q+z

En la expresión xy 2 , los valores x e y se disminuyen en un 25%, entonces, el valor de la 27.expresión disminuye: A) en 50% B) en 75% C) en 37  de su valor 64 27 64

D)

en

 de su valor

E)

ninguna de éstas

28.-

Cuando se simplifica

A)

2

D)

7 8

29.A) D)

n+1

− 18

2

n+ 4

− 2(2 n )

( n+ )

22

3

 se obtiene:

B)

− 2 n+1

E)

7 4

Si 9 x+ 2 = 240 + 9 x , el valor de x es: 0.1 B) 0.4 E)

0.2 0.5

C)

1− 2

C)

0.3

n

Sea r el resultado de duplicar tanto la base como el exponente de a b , b ≠ 0 . Si r  es igual al 30.producto de a b por x b , entonces x es igual a: A) a B) 2ª C) 4a D) 2 E) 4

 Matemáticas 2

24

Capitulo 4 PRODUCTOS NOTABLES

4.1

Definición de producto notable

Se llama  productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Las fórmulas que se exponen a continuación son el resultado de algunos de los productos que con mayor frecuencia se presentan en el cálculo algebraico y con los que el alumno debe procurar familiarizarse en todo lo posible. La comprobación de dichos resultados se puede realizar efectuando las multiplicaciones correspondientes.

4.2

Binomio al cuadrado ( A + B)2 = ( A + B)( A + B) = A 2 + 2 AB + B2

(3a

)

2 2

Ejemplo.-

Desarrollar

Solución.-

Aplicamos la fórmula anterior y obtenemos.

(3a

+

2b

)

2 2

+

2b

 = (3a)2 + 2(3a)(2b 2 ) + (2b 2 )

2

(3mn

2

=

9a

2

+ 12

ab 2 + 4b 4

)

3 2

Ejemplo.-

Desarrollar

Solución.-

Primero aplicamos la definición de resta, para después aplicar la fórmula.

(3mn

2

−

2n

) (3mn [

3 2

2

=

+ −

−

2n

2n

3

]) (3mn ) 2

=

4.3

2 2

=

9m

2

+

(

2 3mn

)(− 2n3 ) + (− 2n 3 )

2

n 4 − 12mn 4 + 4n 6

Binomio al cubo ( A + B)3 = ( A + B)( A + B)( A + B) = A3 + 3 A2 B + 3 AB2 + B3 Desarrollar (2x 2 y 3 + y 4 ) Aplicamos la fórmula anterior y obtenemos. 3

Ejemplo.Solución.-

(2x

2

 Matemáticas 2

y3 + y4 )

3

=

(2x y ) 2

(2x y ) (y ) 3(2x y )(y ) (y ) 3(4x y )(y ) 3(2x y )(y ) y

3 3

2

+3

4

6

3 2

4

4

2

+

=

8x

6

y9 +

=

8x

6

y 9 + 12x 4 y10 + 6x 2 y11 + y12

+

2

3

25

4 2

3

8

+

12

+

4 3

Productos Notables

Desarrollar (3m 4 n 2 − 2m 3 ) Primero aplicamos la definición de resta, para después aplicar la fórmula. 3

Ejemplo.Solución.-

(3m n 4

2

−

2m

) (3m n [ 2m ]) (3m n ) 3(3m n ) ( 2m ) 3(3m n )( 2m ) ( 27m n 3(9m n )( 2m ) 3(3m n )(4m ) 8m

3 3

4

2

4

2 3

=

=

12

=

=

4.4

12

27m

n6

4

+

63

3

3

3

+ −

8

+

2 2

4

3

−

3

−

4

+

4

+

2

3 2

−

2

6

+ −

2m

)

3 3

9

−

m11n 4 + 36m10n 2 − 8m 9

− 54

Trinomio al cuadrado ( A + B + C )2 = A 2 + B2 + C 2 + 2 AB + 2 AC + 2BC 

Ejemplo.-

Desarrollar

Solución.-

(2x

2

y3 + y4

+

x

2 ab

3

2

=

4x

4

3 2

+

4 2

+

4 2

+

(

2 2x

3

y 3 )(y 4 ) + 2(2x 3 y 3 )(x 4 ) + 2y 4 x 4

y 6 + y 8 + x8 + 4x 3 y 7 + 4x 7 y 3 + 2x 4 y 4 2

Primero aplicamos la definición de resta y luego aplicamos la fórmula. −

b

) (a [ 2ab ] [ b ]) (a ) ( 2ab ) ( b )

4 2

=

2

=

3

+ −

2 2

=

4.5

2

Desarrollar (a 2 − 2ab 3 − b 4 )

Solución.−

)

y3 + y4 + x4

) (2x y ) (y ) (x )

Ejemplo.-

2

2

Aplicamos la fórmula anterior y obtenemos 4 2

=

(a

(2x

+ − 3 2

+ −

4

+ −

2

4 2

(a )(

2

+

2

−

2 ab

3

) 2(a )( +

2

−

b4

) 2( +

−

2 ab

3

)(

−

b4

)

a 4 + 4a 2 b 6 + b 8 − 4 a3b 3 − 2a 2 b 4 + 4ab 7

Binomios conjugados

Primero definimos lo que entendemos por binomios conjugados. Definición.Dos binomios son conjugados y si dos términos de ambos binomios son iguales y los otros dos son iguales excepto por el signo. Los binomios 3a + 5b y Ejemplo.signo del término 5b y −5b . Ejemplo.-

Los binomios

signo del término

−

1 3

x  y

1 3

−

1 3

b + 3a  son conjugados, ya que sólo son diferentes en el

−5

x − 25 y  y

1 3

x − 25 y  son conjugados, ya que sólo son diferentes en el

x.

El producto de dos binomios conjugados ( A + B)( A − B)  puede calcularse usando la fórmula

( A + B)( A − B) = A 2 − B2 siguiente: “El cuadrado del término idéntico menos el cuadrado del término que es diferente de signo”.

 Matemáticas 2

26

Productos Notables

(

3ab

2

)(

3ab

2

)

Ejemplo.-

Desarrollar

Solución.-

Aplicando la fórmula se obtiene.

(

−

3ab

2

+

2

)(

−

3ab

2

−

−

2

)

(

=

+

−

2

3ab

−

)

2 2

−

Desarrollar

Solución.-

(5x

2

yz

3

−

4.6

(5x

2

(2)2

−

=

{

1 4 24 3

9a

2

b4

−

4

término diferente en signo

ttérmino idéntico

Ejemplo.-

2

yz3 − 2a 4 b 5c )(5x 2 yz3 + 2a 4b 5c )

Aplicando la fórmula se obtiene 2a

4

5

)(

b c 5x 2 yz 3

+

2a

4

b 5c

) (5x =

2

yz 3

)

(2a b c )

2

4

−

5

2

1 4 24 3

1 4 24 3

término idéntico

término diferente en signo

Binomios con término común En este tipo de binomios, puede darse los siguientes casos:

I.II.III.IV.-

(x + a )(x + b ) = x 2 + (a + b )x + ab (x − a )(x − b ) = x 2 − (a + b )x + ab (x − a )(x + b ) = x 2 + (b − a )x − ab (x + a )(x − b ) = x 2 + (a − b )x − ab

Ejemplo.Solución.-

Desarrollar (x + 5)(x + 8) Aplicando la fórmula del caso I se obtiene. (x + 5)(x + 8 ) = x 2 + (5 + 8)x + 5 ⋅ 8 = x 2 + 13x + 40

Ejemplo.Solución.-

Desarrollar (x − 11)(x − 6 ) Aplicando la fórmula del caso II se obtiene. (x − 11)(x − 6) = x 2 − (11 + 6)x + 11 ⋅ 6 = x 2 − 17x + 66

Ejemplo.Solución.-

Desarrollar (x − 15)(x + 10) Aplicando la fórmula del caso III se obtiene. (x − 15)(x + 10) = x 2 + (10 − 15)x − 15 ⋅ 10 = x 2 − 5x − 150

Ejemplo.Solución.-

Desarrollar (x + 8)(x − 13) Aplicando la fórmula del caso IV se obtiene. (x + 8)(x − 13) = x 2 + (8 − 13)x − 8 ⋅ 13 = x 2 − 5x − 104

 Matemáticas 2

27

=

25x

4

y 2 z 6 − 4a8b10c 2

Productos Notables

4.7

Ejercicios

1.-

Desarrollar los siguientes productos notables:

1)

(3a − 2b )2

3)

(a b 2

4

5)

(an

+

bm

7)

(x

4

−

x3

9)

(a

2

−

2b

11)

(a bc

13)

(

15)

2)

(2a

4)

(x + 3)(x − 6)

6)

(m + 5)(m + 24 )

)

8)

(a

)

10)

(6x

)

12)

(

) 

14)

(3b

(x − 13)(x − 24)

16)

(

17)

(a

18)

(5ab

19)

(

20)

(

21)

(2x + 1)3

22)

(2a − 3b + 5ab )2

23)

(2x − 6)(2x + 9)

24)

(x − 14)(x + 49 )

25)

(a b

26)

(m n q

27)

(r  t

28)

(

29)

(5xy

30)

(2x a

+1

31)

(2a

)

32)

(4x

z4

33)

(x + 79)(x − 56)

34)

(m

35)

(9abc

36)

(4mx + 72)(4mx + 63)

37)

(1

38)

(5y

2

1 2

+

3

2 ab +3

6

−

)(

2a

b3

+

−

m

b

)

2

+

an )

2

+

3

a 2 b + b 2c 3

a n b m + a 3n b m

3

4

2

2

−1

b 4 )(2b 4 + a 3 )  

−2

z 3 + 54 z 5 )   2 2

3

2

3

6 2

−

−

2a

−

2r 

2

 Matemáticas 2

5

− 18

−8

2

ya

3

b2

)

2

t + r 9t 4

)(18

+4

2b

4

)(y a

2

xy 2 ) 

+5

ab − 3c 2

−

)

2

)

2

+4

) 

+1

28

1 2

1 3

2 3

4

7

+

2a

+

2

a2

+

2

)

3

)

−1

2

m 2 x )(− m 2 x + 6x 2 )

a 3 − 73 a 4 )

3

2

−9

)(3b

)

2

+ 13

xy 2 − 25 x 2 y 3 + y 4 )

2

4

an

4

c7 −

2

+

3a

3

b 2c 4

)

3

b 2n )(57 b 2n

5 7

4

+

m5n 6q 5

−3

2 3

)

3

ab + 2a3b 4 )(− 2a 3b 4

−3

2

2

2

−3

yb

−5

)

2

y 6z7

)(m

− 45

−3

2

)

3

− 39

an )

)

z − 18)(5y 2 z + 49 )

ab)

−3

Capitulo 5 BINOMIO DE NEWTON

5.1

Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal sirve para calcular los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio ( A + B)n . Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los números que se hallan en la fila horizontal en que después del 1 está el exponente del binomio. La literal  A inicia con la potencia del binomio y en los siguientes términos disminuye su exponente, mientras que la literal B  no aparece al principio del desarrollo pero sigue un orden creciente, hasta alcanzar la potencia del binomio. Ejemplo.Para desarrollar ( A + B)4 , los coeficientes son los números que están en la fila horizontal en que después del 1 está el 4, es decir, 1 4 6 4 1 . 1 1 1

2

1 1 1 1 1 1 1

8 9

4

6 28 36

3 6

10

21 56

1 4

10

15

84

1

3

5

7

1

20

35 126

5 15

35

70

1

56 126

1 6

21

1 7

28 84

1 8

36

1 9

1

Finalmente ( A + B)4 = A 4 + 4 A3B + 6 A 2 B2 + 4 AB3 + B4 Nota histórica.- El conocido “triángulo de Pascal” es una atribución equivocada, como suele ocurrir. En realidad, el filósofo y matemático Blaise Pascal usó este triángulo en el estudio de probabilidades, hay quienes afirman que Pascal padecía de dolor de muelas, y para olvidarse de este padecimiento solía buscar propiedades interesantes de este triangulito.

En realidad, el triángulo aparece en el texto El precioso espejo de los cuatro elementos, (o El espejo de jade de las cuatro incógnitas, como también se ha traducido) del matemático chino Zhu Shijie, aparecido en 1303. Otra versión del triángulo, utilizando coeficientes binomiales (recordar el capitulo de combinatoria de matemáticas 1) es:

 Matemáticas 2

29

 Matemáticas 2

30

Binomio de Newton

⎛ 0 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 0 ⎝   ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ . . ……………………………………….. Con esta nueva versión el binomio desarrollado anteriormente queda así:

( A + B)4 = A 4 + 4 A3B + 6 A 2 B2 + 4 AB3 + B4 ⎛ 4 ⎞

⎛ 4 ⎞

⎛ 4 ⎞

⎛ 4 ⎞

⎛ 4 ⎞

⎝ 0 ⎠

⎝ 1 ⎠

⎝ 2 ⎠

⎝ 3 ⎠

⎝ 4 ⎠

( A + B)4 = ⎜⎜ ⎟⎟ A 4 + ⎜⎜ ⎟⎟ A3B + ⎜⎜ ⎟⎟ A 2 B 2 + ⎜⎜ ⎟⎟ AB3 + ⎜⎜ ⎟⎟B 4

5.2

Sumatorias

En muchos procesos, trabajaremos frecuentemente con sumas de números y necesitaremos una notación simple para indicar una suma. Ejemplo.Consideremos la sucesión de números 1, 2, 3, 4, 5,… Y supongamos que deseamos la suma de los cuadrados de los cuatro primeros números de la sucesión. Usando sumatorias, esto se puede escribir en la forma siguiente. 4

∑i

2

.

i =1

La interpretación de esta notación es muy fácil. La letra griega

∑

(sigma mayúscula),

corresponde a la “S” del alfabeto español, esta letra “S” es la primera letra de la palabra “suma”. Es decir la letra sigma nos indica que debemos sumar los elementos de una sucesión. Un elemento típico de la sucesión o término genérico se da a la derecha del símbolo de sumatoria, y la variable de adición, se indica debajo de la sumatoria. En el ejemplo anterior. i 2 es el elemento típico o término genérico. i es la variable de adición. La posición del primer elemento de la suma se indica debajo del signo de sumatoria y el último encima. La suma incluye todos los elementos, procediendo en orden, desde el primero hasta el último.

 Matemáticas 2

30

Binomio de Newton

4

∑i

Ejemplo.-

= (1)2 + (2)2 + (3)2 + (4)2

2

i =1 5

∑ (k −

Ejemplo.-

) = (2 − 1) + (3 − 1) + (4 − 1) + (5 − 1)

1

k =2 6

∑ i=

Ejemplo.-

3

( ) + 3(3) + 3(4) + 3(5) + 3(6)

32

i= 2 7

∑ (  j ) = ( [ ] ) + ( [ ] ) + ( [ ] ) + ( [ ] ) + ( [ ] )

Ejemplo.-

2 2

2

2 2

23

24

2 2

2 2

25

26

2 2

27

2 2

 j=3

Observación.- El elemento típico o término genérico, es función sólo de la variable de adición. Todos los otros símbolos se consideran como constantes. 4

∑ (a − b) = (a − b) + (a

Ejemplo.-

i

1

2

− b) + ( a3 − b) + ( a 4 − b) .

i =1 3

∑ (r − i +

Ejemplo.-

2

) = (r − 1 + 2) + (r − 2 + 2) + (r − 3 + 2) .

i =1 5

∑y −

Ejemplo.-

1= 2+ 3+ 4 + 5

(

) −1 .

y =2 8

∑ (z + a − ) = (

Ejemplo.-

1

4+

a − 1) + (5 + a − 1) + (6 + a − 1) + (7 + a − 1) + (8 + a − 1) .

z=4

5.2.1

Propiedades de las Sumatorias

Teorema.-

Sea c una constante y sea i la variable de adición. Entonces,

n

∑ c = nc i =1 n

∑c = c + c + c +

Demostración.-

+ c = nc

K 144  244  3

i =1

n  veces

4

Ejemplo.-

∑

3a

= 3a + 3a + 3a + 3a = 12a

i =1 5

Ejemplo.-

∑

7

= 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 ⋅ 7 = 35

k =1

 Matemáticas 2

31

Binomio de Newton

Teorema.-

Sea c una constante, entonces.

n

∑

n

ca i = c

∑a

i =1

i

i =1 n

∑

Demostración.-

n

ca i = ca1 + ca 2 + ca3 + Kca n =c (a1 + a 2 + a3 + K + a n ) = c

∑a

i =1 4

∑

Ejemplo.-

3i

3

3

3

3

3

3

3

∑i

3

5

4k

k =2

=4

∑k k =2

n

Teorema.-

3

i =1

5

∑

4

= 3(1) + 3(2) + 3(3) + 3(4) = 3(1 + 2 + 3 + 4 ) = 3 3

i =1

Ejemplo.-

i

i =1

∑ (a

n

i

+ bi ) =

n

∑ a + ∑b i

i =1

i=

i

i =1

n

∑ (a + b ) = (a + b ) + (a

Demostración.-

i

i

1

1

+ b 2 ) + (a3 + b3 ) + K(a n + bn )

2

i =1 n

= (a1 + a 2 + a3 + K an ) + (b1 + b 2 + b3 + Kbn ) =

∑ ∑b i =1

4

4

∑( k + k )= ∑

Ejemplo.-

2

3

k =1

∑ (x

3k

+

k =1

3

Ejemplo.-

4

2

x =1

+ ax + 5) =

∑k

4

∑k + ∑k

k =1 3

k =1 3

2

k =1

3

3

3

∑ x +∑ ax +∑ = ∑ x +a∑ x + 2

x =1

2

5

x =1

i

i =1

4

=3

2

n

ai +

x =1

x =1

3 ⋅5

x =1

= (12 + 22 + 32 ) + a(1 + 2 + 3) + 15 = 29 + 6a

5.3

Binomio de Newton

Consideremos el binomio ( A + B)4  y desarrollemos usando el triángulo de Zhu Shijie (Pascal).

( A + B)4 = A 4 + 4 A3B + 6 A 2 B2 + 4 AB3 + B4 Si desarrollamos utilizando coeficientes binomiales, se obtiene. ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ( A + B)4 = ⎜⎜ ⎟⎟ A 4 + ⎜⎜ ⎟⎟ A3 B + ⎜⎜ ⎟⎟ A 2 B2 + ⎜⎜ ⎟⎟ AB3 + ⎜⎜ ⎟⎟B 4 ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ esta última expresión puede escribirse así: ⎛ 4 ⎞

⎛ 4 ⎞

⎛ 4 ⎞

⎛ 4 ⎞

⎛ 4 ⎞

⎝   ⎠

⎝   ⎠

⎝   ⎠

⎝   ⎠

⎝   ⎠

( A + B)4 = ⎜⎜ ⎟⎟ A 4−0 B 0 + ⎜⎜ ⎟⎟ A 4−1B1 + ⎜⎜ ⎟⎟ A 4− 2 B 2 + ⎜⎜ ⎟⎟ A 4−3 B3 + ⎜⎜ ⎟⎟ A 4−4 B 4 0 1 2 3 4

 Matemáticas 2

32

Binomio de Newton

Si utilizamos la notación de sumatorias, se obtiene. 4

( A + B)4 =

⎛ 4 ⎞

∑ ⎜⎜⎝ i  ⎠⎟⎟ A

4− i

Bi

i =1

De manera general se tiene. Teorema.-

Si a , b son números reales distintos de cero y n es un entero positivo, entonces. n

n

(a + b ) =

Desarrollar

Ejemplo.-

(2a

3

⎛ n ⎞ n−i i ⎜⎜ ⎟⎟ a b i i =1 ⎝   ⎠

∑

+ a 2b 5 )

6

Aplicando el binomio de Newton, se obtiene. 5 (2a3 + a 2 b 5 )5 = ⎛ ⎜⎜ 5i  ⎞⎟⎟(2a 3 )5−i (a 2 b 5 )i i =1 ⎝   ⎠

Solución.-

∑

5 −0 ⎛ 5 ⎞ a 2 b5 = ⎜⎜ ⎟⎟ 2a3 0 ⎝   ⎠

( ) ( )

0

5−1 1 5−2 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ a2b5 + ⎜⎜ ⎟⎟ 2a3 a 2b 5 + ⎜⎜ ⎟⎟ 2a3 1 2 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠

( ) ( )

( ) ( )

2

5−3 3 5−4 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ a 2b5 + ⎜⎜ ⎟⎟ 2a3 a 2 b5 + ⎜⎜ ⎟⎟ 2a3 3 4 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠

( ) ( )

( ) ( )

4

5 −5 5 ⎛ 5 ⎞ a 2b 5 + ⎜⎜ ⎟⎟ 2a3 ⎝ 5 ⎠

( ) ( )

= 1(2 a 3 ) 1 + 5(2a 3 ) (a 2 b 5 ) + 10(2a 3 ) (a 2 b 5 ) + 10(2 a 3 ) (a 2 b 5 ) + 5(2a 3 ) (a 2 b 5 ) + 1(2a 3 ) ( a 2 b 5 ) 5

4

1

3

2

2

3

1

4

0

5

= 1(32a15 )1 + 5(16a12 )(a 2 b 5 ) + 10(8a 9 )(a 4 b10 ) + 10(4a 6 )(a 6 b15 ) + 5(2a 3 )(a 8 b 20 ) + 1 ⋅ 1(a10 b 25 ) 1

= 32a15 + 80a14 b 5 + 80a13b10 + 40a12 b15 + 10a11b 20 + a10 b 25 Otra aplicación interesante del binomio de Newton, es que uno puede encontrar “cierto término” sin necesidad de realizar todo el desarrollo de un binomio, que a decir verdad, sería bastante engorroso.

Ejemplo.Solución.obtiene.

⎛  3  ⎞ ⎟⎟ Proporciónese el término que contiene x en la expansión de: ⎜⎜ 2x 3 − x ⎝   ⎠

Usando la definición de resta, la definición de radical y el binomio de Newton se

5 ⎛  ⎡ 3 ⎛  3 3  ⎞ ⎜⎜ 2x − ⎟⎟ = ⎜ 2x 3 + ⎢− ⎜ x  ⎠ ⎢⎣ x ⎝  ⎝ 

1 2

5

⎤ ⎞ ⎥ ⎟⎟ = ⎥⎦ ⎠

⎛ 5 ⎞ 3 5− i ⎛  3  ⎞ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟(2x ) ⎜ − ⎜ ⎟ i ⎝  x  ⎠ i =1 ⎝   ⎠ 5

∑

1

2

separamos el elemento típico o término genérico.

⎛ 5 ⎞ 3 5−i ⎛  3  ⎞ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟(2x ) ⎜ − ⎜ ⎟ ⎝ i  ⎠ x ⎝   ⎠

i

1 2

 Matemáticas 2

5

8

33

i

Binomio de Newton

Como estamos interesados en el comportamiento de x, separamos del término genérico aquello que influya en la potencia de x. Así separamos la expresión siguiente. i

i ⎛  1  ⎞ 1 1 x15−3i 15−3i 15−3i ⎜ ⎟ (x ) ⎜ ⎟ = x ⋅ i = x ⋅ i = i = x15−3i− i = x15− i ⎛  x x ⎝ x  ⎠ ⎜ x  ⎞⎟ ⎝   ⎠ Como queremos encontrar el término que contiene a x 8 , debe cumplirse la igualdad siguiente. 3 5− i

1

1

2

2

x Pero esto es posible si Despejamos i:

15 −

7 2

15−

7 2

i

1

1

2

2

1

7

2

2

= x8

i =8

15 − 8 = 7  = 7⋅2

7 2 7 2

i i

= 7i

14 = 7i 14 7

=i

i=2

Por lo tanto el término que contiene a x 8 es cuando i = 2 , es decir el tercer término que es 2

⎛ 5 ⎞ 3 5−2 ⎛  3  ⎞ ⎟ = 720x 8 ⎜⎜ ⎟⎟(2x ) ⎜⎜ − ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝  x  ⎠ 1 2

 Matemáticas 2

34

Binomio de Newton

5.4 1.-

Ejercicios Escríbase en forma explícita las siguientes sumas. 5

a)

∑

5

b)

i

i =1

∑

i

e)

h)

i =1

2.-

∑

100

n4 =

∑

i)

∑( i 4

2

− c + 3)

i =2

∑ (i + ) = ∑ i 1

∑

100

= 200

2

c)

i =1

99

2

e)

∑

100

(2 + i ) = 2 +

∑i

i =1

⎛ 100  ⎞⎛ 100 2 ⎞ i =⎜ i ⎟⎜ i ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ i =1 ⎝  i =1  ⎠⎝  i =1  ⎠

100

2

i =0

∑

∑ ∑

3

i =1

⎛  97  ⎞ i = ⎜ i⎟ ⎜ ⎟ i =1 ⎝  i =1  ⎠ 97

f)

∑

3

∑

3

Use las propiedades de las sumatorias para simplificar y evaluar las siguientes sumas. 5

d)

b)

n=1

i =1

a)

+ 3i 2 )

6

∑ (ai − ai−1 ) 200

n4

100

3.-

3

Decir si las siguientes igualdades son ciertas o falsas, argumentando su respuesta. n =0

d)

∑ (i i =1

i =8

100

a)

f)

8

(i − [i − 1])

i

5

r 2i −1

i =1

7

∑

∑

∑ r  i =1

4

a2

i =2

g)

c)

i =1

6

d)

∑

7

(6 − i )

∑ (x

2

5

+ 2i )

b)

∑ (x

i =1

y =0

4

7

∑ (a

i

− i)

e)

i =1

3

+ y2 )

2

c)

∑( i −t ) 2

3

f)

a)

(x + x )

d)

⎛ a 2 2  ⎞ ⎜ + ⎟ ⎜ 2 a2 ⎟ ⎝   ⎠

5.-

Determínese

e)

98

5

(s − s )

4 7

⎛  1  ⎞ ⎜ 2 − x5 ⎟ ⎝ x  ⎠

por desarrollo de

∑

3b

i =1

Desarróllense, usando el Binomio de Newton

5

+ 2ik )

k =0

4.-

b)

3

124

 j =3

3 6

∑ (k

(10

2

c)

(

f)

⎛   ⎞ 1 ⎜ ⎟ 2 xy + ⎜ ⎟ ⎜ x 2 y  ⎠⎟ ⎝ 

8

x −2

)

6

10

− 2)

5

Calcule los cuatro primeros términos del desarrollo binomial en cada uno de los binomios 6.siguientes. a)

7.-

(a + y )33

b)

(x − y )51

Encuéntrese el término que contiene

 Matemáticas 2

c)

x12y2 en

35

(y − 2y )

2 101

⎛  1  ⎞ la expansión de ⎜ x 2 y − 2 ⎟ ⎜ y  ⎠⎟ ⎝ 

8

Binomio de Newton

8.-

a)

Calcule el término especificado del desarrollo en cada uno de los siguientes problemas. el término independiente de x en:

⎛  2 xy ⎞ ⎜ 2x − ⎟ 2  ⎠ ⎝ 

x 14 en:

16

⎛ x y  ⎞⎟ ⎜ + ⎜ ⎟ x  ⎠ ⎝ y 1

1

2

3

2 3

3 2

9

b)

el término que contiene

c)

⎛ 2x 3y ⎞ el término que contiene y 4 en : ⎜⎜ + ⎟⎟ 3 2x ⎠ y ⎝ 

d)

El término central de:

e)

El término en el que aparece x 7 en:

(x + 2y )10

f)

El término en el que aparece y 4 en:

(3x − y )

9.-

⎛  2x 3  ⎞ Hallar el término independiente de x en ⎜ 3 − ⎟ ⎝ 16 2x ⎠

10

(x − 3y )

8

1

4

13

6

⎛   ⎞ ⎜ 1 3 ⎟ + xy ⎟ en la expansión de ⎜ ⎜ x 3y ⎟ ⎝   ⎠

10.-

Hallar el término que contiene y 20

11.-

1 ⎛  1 ⎞ Si ⎜ r + ⎟ = 3 , calcular el valor de r 3 + 3 r  ⎝  r  ⎠

60

2

El polinomio (x + y )9 es expandido en orden creciente según la literal x. El segundo y tercer 12.término tienen igual valor cuando son evaluados en x = p y y  = q , donde  p y q  son números positivos cuya suma es 1. ¿Cuál es el valor de  p?. 13.-

Deducir una fórmula para desarrollar (a + b + c )2

14.-

⎛  1  ⎞ ⎟⎟ , hallar el coeficiente de a − . En la expansión de ⎜⎜ a − a  ⎠ ⎝ 

15.-

En el desarrollo de (a + b )n  hay n + 1  términos distintos; ¿cuántos términos distintos tiene

7

1

2

(a + b + c )2005 ? 16.-

Hallar la suma de todos los coeficientes de la expansión

(3a

3

b − 2a

)

2005

.

Cuando (a − b )n , n ≥ 2 , ab ≠ 0 es expandido, se ha encontrado que para a = kb , k entero 17.positivo, la suma del segundo y tercer término es cero. Hallar n.

 Matemáticas 2

36

Capitulo 6 FACTORIZACIÓN 6.1

Introducción

Una parte considerable del capitulo 4 trató con el problema de encontrar los productos de factores, que llamamos productos notables. En este capitulo consideraremos el problema inverso: encontrar los factores dado el producto. Este proceso, llamado factorización, se usa ampliamente en las operaciones algebraicas. Definición.Factorizar   una expresión algebraica es representarla como el producto de factores primos, es decir, factores que a su vez ya no son factorizables.

La factorización en esta etapa se reduce usualmente a polinomios y factores cuyos términos tienen coeficientes enteros. Decimos que un polinomio está completamente factorizado cuando ninguno de sus factores puede ser factorizado. Cada factor, entonces, siendo expresable como 1 veces sí mismo o menos 1 veces su negativo, es llamado primo. En este curso solamente revisaremos 9 casos de factorización, a decir son: I.II.III.IV.V.VI.VII.VIII.IX.-

6.2

Factor común Factor común por agrupación de términos Trinomio cuadrado perfecto Diferencia de cuadrados Combinación del caso III y IV Trinomio de la forma x 2 + bx + c Trinomio de la forma ax 2 + bx + c Expresiones de la forma a n − b n Expresiones de la forma a n + b n

Factor común

La idea central de este caso de factorización es encontrar el término que es común en cada término. Para lograr esto se sugiere los siguientes pasos. a) b) c)

Hallar el máximo común divisor de los coeficientes. Hallar el máximo común divisor de cada literal. Aplicar la propiedad distributiva con el factor común.

Ejemplo.Factorizar la expresión 18x 3 y 5 − 42x 4 y 4 + 30x 6 y 6 Encontramos el máximo común divisor de los coeficientes y literales. Solución.Recordemos la notación para el máximo común divisor.

 Matemáticas 2

37

Factorización

Notación.M.C.D.(a, b).

En adelante denotaremos al máximo común divisor de las cantidades a, b por

Continuando con el ejercicio. M.C.D.(18, 42, 30) = 6 M.C.D. x 3 , x 4 , x 6 = x 3

( ) M.C.D. (y  , y  , y ) 5

4

6

=

y4

Por lo tanto, el factor común de la expresión 18x 3 y 5 − 42x 4 y 4 + 30x 6 y 6 es 6x 3 y 4 . Aplicando la propiedad distributiva se obtiene: 3 5 4 4 6 6 3 4 3 2 18x y − 42x y + 30x y = 6x y 3y − 7x + 5x y

(

6.3

)

Factor común por agrupación de términos Consiste en agrupar de manera adecuada aquellos términos que tengan algún factor en

común. Es importante aclarar que deben agruparse los términos de dos en dos, de tres en tres,…etc. Esta agrupación se hará según el número de términos del polinomio. Es decir: Si el número de términos del polinomio es 4, puede agruparse de dos en dos términos. Si el número de términos del polinomio es 6, puede agruparse de dos en dos ó de tres en tres términos. Si el número de términos del polinomio es 8, pueden agruparse de dos en dos ó de cuatro en cuatro términos. De manera análoga se hace para un polinomio de más términos, es importante aclarar que no se puede factorizar por agrupación de términos un polinomio que tenga un número impar de términos. Ejemplo.-

Factorizar la expresión 6am + 25n − 10m − 15an

Solución.Factorizamos por agrupación de términos, para eso podemos agrupar (dos en dos) de la siguiente manera. 6 am + 25n − 10m − 15an = 6 am − 10m − 15an + 25n = 2m(3a − 5 ) − 5n(3a − 5 ) = (3a − 5 )(2m − 5n ) Ejemplo.Factorizar la expresión 15 pr + 21 − 21 p + 10qr − 14q − 15r  Solución 1.Factorizamos por agrupación de términos, para eso podemos agrupar (dos en dos) de la siguiente manera. 15 pr + 21 − 21 p + 10qr − 14q − 15r  = 15 pr − 21 p + 10qr − 14q − 15r + 21 = 3 p(5r − 7 ) + 2q(5r  − 7 ) − 3(5r − 7 ) = (5r − 7 )(3 p + 2q − 3) Solución 2.Factorizamos por agrupación de términos, para eso podemos agrupar (tres en tres) de la siguiente manera. 15 pr + 21 − 21 p + 10qr − 14q − 15r  = 15 pr + 10qr − 15r − 21 p − 14q + 21 = 5r (3 p + 2q − 3) − 7 (3 p − 2q − 3) = (3 p + 2q − 3)(5r − 7 )

 Matemáticas 2

38

Factorización

6.4

Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)

Definición.-

Una cantidad es un cuadrado perfecto, si es el cuadrado de otra cantidad.

Ejemplo.Decimos que 169 es un cuadrado perfecto ya que es el resultado de elevar al cuadrado al número 13. Es decir 132 = 169 . Decimos que 4a 4 b 8 es un cuadrado perfecto, ya que dicha expresión es el resultado

Ejemplo.-

de elevar al cuadrado a 2a 2 b 4 . Es decir Definición.un binomio.

(2a b ) 2

4 2

=

4a

4

b8 .

Un trinomio es un cuadrado perfecto cuando es el resultado de elevar al cuadrado

2 4 2 Ejemplo.64 a b + 48ab + 9 es un trinomio cuadrado perfecto ya que es el resultado de elevar al cuadrado el binomio 8ab 2 + 3 .

Es decir

(8ab

2

)

+3

2

=

64a

2

b 4 + 48ab 2 + 9

Un trinomio ordenado respecto a una literal, es un cuadrado perfecto cuando el primero y tercero términos son cuadrados perfectos y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Factorizar 4a 2 + 9b 8 + 12ab 4 . Ordenamos de manera decreciente respecto a la literal a. 2 8 4 2 4 8 4 a + 9b + 12 ab = 4 a + 12 ab + 9b Luego extraemos la raíz cuadrada al primer y tercer término. Ejemplo.Solución.-

4a

2

9b

8

=

2a

=

3b

4

Calculamos el doble producto de las raíces, si coincide con el segundo término el trinomio será un TCP; en caso contrario el trinomio no es un TCP. 4 4 2(2a ) 3b = 12ab Luego podemos escribir:

( )

4a

6.5

2

+ 12

ab 4 + 9b 8

=

(2a

+

3b

)

4 2

Diferencia de Cuadrados

Recordemos que en el capítulo 4 aprendimos la definición de binomios conjugados, y más aún; descubrimos que el producto de binomios conjugados da como resultado una diferencia de cuadrados. Al factorizar una diferencia de cuadrados esperamos de manera intuitiva binomios conjugados. Para factorizar una diferencia de cuadrados podemos aplicar la regla siguiente: i) ii) iii)

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo Con las raíces obtenidas, se generan dos binomios conjugados. El resultado es el producto de estos binomios conjugados.

 Matemáticas 2

39

Factorización

Factorizar 121x 8 − 9y 6 . Extraemos las raíces cuadradas a los dos términos.

Ejemplo.Solución.121x 9y

6

8

= 11

x4

=

3y

3

Generamos dos binomios conjugados con estos términos y los multiplicamos. 8 6 4 3 4 3 121x − 9y = 11x + 3y 11x − 3y

(

6.6

)(

)

Combinación de los casos 6.4 y 6.5

Estudiaremos a continuación la descomposición de expresiones compuestas en las cuales mediante algún arreglo adecuado de sus términos se obtienen uno o dos trinomios cuadrados perfectos y descomponiendo estos trinomios se obtiene una diferencia de cuadrados. Ejemplo.-

Factorizar

25a

2

−

b 2 + 9 − 4mb − 30a − 4m 2

Solución.-

Podemos agrupar los términos de la manera siguiente. 2 2 2 2 2 25a − b + 9 − 4mb − 30a − 4m = 25a − 30 a + 9 − b − 4mb − 4m Observemos que pueden formarse dos TCP. Factoricemos estos dos trinomios cuadrados perfectos 2 2 2 2 2 2 25a − b + 9 − 4mb − 30a − 4m = 25a − 30 a + 9 − b − 4mb − 4m 2 2 2 2 2 2 25a − b + 9 − 4mb − 30a − 4m = 25a − 30a + 9 − b + 4mb + 4m 2

(

)

=

(25a

=

(5a − 3)2 − (b + 2m)2

2

−

30a + 9

) (b −

2

+

4mb + 4m

2

)

Ahora factorizamos la diferencia de cuadrados (5a − 3)2 − (b + 2m)2 = [(5a − 3) + (b + 2m)][(5a − 3) − (b + 2m)] Finalmente. 2 2 2 25a − b + 9 − 4mb − 30 a − 4m = [(5a − 3) + (b + 2m )][(5a − 3) − (b + 2m)]

6.7

Trinomio de la forma x

Definición.-

2

+

Un trinomio es de la forma x 2

+

bx + c bx + c si cumple las condiciones siguientes:

i) El coeficiente del primer término es 1. ii) La primera literal está elevada al cuadrado. iii) El segundo término tiene la misma literal que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad positiva o negativa. iv) El tercer término es constante. Para factorizar un trinomio de la forma x 2 + bx + c se utiliza la regla siguiente. a) El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio.

 Matemáticas 2

40

Factorización

b) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2º término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio. c) Si los dos factores binomios tienen en medio signos iguales  se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios. d) Si los dos factores binomios tienen en medio signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio. Ejemplo.-

Factorizar x 2

−

3x

−

88

Solución.El trinomio se descompone como el producto de dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x 2 o sea x. x 2 − 3x − 88 = (x )(x ) En el primer binomio después de x, escribimos el signo del segundo término del trinomio (-). En el segundo binomio después de x, escribimos el signo que resulte de multiplicar el signo del segundo y el tercer término, que en nuestro caso es (− )× (− ) = +

x 2 − 3x − 88 = (x − )(x + ) Como estos binomios tienen signo diferente, debemos encontrar dos números cuya diferencia sea (− 3) y cuyo producto sea igual a (−88) . Podemos aplicar las técnicas que aprendimos en matemáticas 1, y en especial el tema de factorización canónica de un número. Factorizando al número 88 se obtienen los números 8 y 11, que son los buscados. x 2 − 3x − 88 = (x − 11)(x + 8) Ejemplo.-

Factorizar x 2 − 7x + 12

Solución.-

El trinomio se descompone como el producto de dos binomios cuyo primer término 2

es la raíz cuadrada de x o sea x. x 2 − 7x + 12 = (x )(x ) En el primer binomio después de x, escribimos el signo del segundo término del trinomio (-). En el segundo binomio después de x, escribimos el signo que resulte de multiplicar el signo del segundo y el tercer término, que en nuestro caso es (− )× (+ ) = −

x 2 − 7x + 12 = (x − )(x − ) Como estos binomios tienen signos iguales, debemos encontrar dos números cuya sea (− 7 )  y cuyo producto sea igual a (12) . Factorizando al número 12 se obtienen los números −4  y −3 , que son los buscados. x 2 − 7x + 12 = (x − 4)(x − 3)

 Matemáticas 2

41

Factorización

Trinomio de la forma ax

6.8

2

+

bx + c

Definición.Un trinomio es de la forma ax 2 + bx + c si cumple las condiciones siguientes: El coeficiente del primer término es distinto de 1. i) ii) La primera literal está elevada al cuadrado. El segundo término tiene la misma literal que el primero con exponente 1 y su coeficiente es iii) una cantidad positiva o negativa. iv) El tercer término es constante.

Para factorizar un trinomio de la forma ax 2

+

bx + c se utiliza la regla siguiente.

a)

Se multiplica al trinomio por el coeficiente de x 2, es decir por la constante a.

b)

Escribir el nuevo polinomio en términos de ax

c)

Sustituir ax  por una nueva variable, a esto se le llama cambio de variable.

d) Una vez que el polinomio este escrito en términos de la nueva variable, se aplican las reglas de factorización del caso anterior, es decir de expresiones de la forma x 2 + bx + c . e) Al resultado de esta factorización se quitan los efectos del inciso c y a. Es decir se le sustituye por su variable original y luego se divide entre la constante a. Ejemplo.Solución.-

Factorizar 6x 2 − 11x − 10 Multiplicamos por el coeficiente de x 2 (6) 6x

2

x − 10 = 6(6x 2 − 11x − 10) = 6 2 x 2 − 6(11x ) − 60

− 11

Escribimos el nuevo polinomio en términos de 6x . 2 2 2 2 6 6x − 11x − 10 = 6 x − 6(11x ) − 60 = (6x ) − 11(6x ) − 60

(

)

Asignamos una nueva variable a 6x , es decir. Si  g = 6x , la expresión queda así. 6

2

x 2 − 6(11x ) − 60 = (6x )2 − 11(6x ) − 60 = g 2 − 11g − 60

Factorizamos la expresión  g 2 − 11g − 60 como el caso anterior.

 g 2 − 11 g − 60 = ( g − )(g + ) Buscamos dos números cuya diferencia sea igual a Los números buscados son −15 y 4  g 2 − 11 g − 60 = ( g − 15)(g + 4)

−11

 y cuyo producto sea

Regresamos a la variable original.  g 2 − 11 g − 60 = ( g − 15)( g + 4) = (6x − 15)(6x + 4) Dividimos entre 6 (6x − 15)(6x + 4 ) (6x − 15)(6x + 4 ) (6x − 15 ) (6x + 4 ) 6

 Matemáticas 2

=

3⋅ 2

=

42

3

⋅

2

=

−60

(2x − 5)(3x + 2)

Factorización

6x

Finalmente el resultado es:

2

x − 10 = (2x − 5)(3x + 2)

− 11

Expresiones de la forma a n

6.9

−

bn

Haciendo divisiones, puede demostrarse fácilmente las siguientes igualdades: I.-

Para toda n par o impar

an − bn

=

(a − b )(a n

II.-

Para toda n par

an − bn

=

(a + b )(a n

−1

−1

+

a n 2 b + a n 3b 2

+

an 4b3 + K+ b n

−

a n 2 b + a n 3b 2

−

an 4b3 + K− bn

−

−

−

−

−

−

−1

−1

) )

Factorizar x 5 − y 5 Para esta expresión sólo se puede aplicar la fórmula I puesto que n es impar

Ejemplo.Solución.-

x5 − y 5

=

(x − y )(x

4

+

x3y + x 2y 2

+

xy 3 + y 4 )

Ejemplo.Factorizar q 6 − p 6 Solución.Como n = 6 y obviamente es par, se pueden aplicar las dos fórmulas anteriores, es decir la expresión puede factorizarse de dos maneras:

q 6 − p 6 q 6 − p 6

=

=

(q − p )(q (q + p)(q

5

5

+

−

q 4 p + q 3 p 2

+

q 2 p 3 + qp 4 + p 5 ) , si aplicamos fórmula I

q 4 p + q 3 p 2 − q 2 p 3 + qp 4 − p 5 ) , si aplicamos fórmula II

Expresiones de la forma a n

6.10

+

bn

Haciendo divisiones, puede demostrarse fácilmente la siguiente igualdad: I.-

Para toda n impar

+

bn

=

(a + b )(a n 1 − a n 2 b + a n 3 b 2 − a n 4 b 3 + K + b n −

−

−

Factorizar m 7 + n 7 Aplicando la fórmula anterior se obtiene

Ejemplo.Solución.-

m7

an

+

 Matemáticas 2

n7

=

(m + n)(m 6 − m 5 n + m 4 n 2 − m 3 n 3 + m 2 n 4 − mn 5 + n 6 )

43

−

−1

)

Factorización

6.11

Ejercicios

1.-

Factorizar las siguientes expresiones:

1

14m

3

256a12 - 289b4m10

5

16x6 -

7

2

m − 10

2

a2x2 - 3bx2 + a2y2 - 3by2

4.-

z9

6

a3(a - b + 1) - b 2(a - b + 1)

c2 - 4c – 320

8

3x3 + 2axy + 2ay2 - 3xy2 - 2ax2 - 3x2y

9

4xm – 4xn + n – m

10

361x14 - 1

11

8x

12

20ax - 5bx - 2by + 8ay

13

100x10 - 60a4x5y6 + 9a8y12

14

x(a + 2) - a - 2 + 3(a + 2)

15

1-9a2b4c6d8

16

93a3x2y - 62a2x3y2 – 124a2x

17

3a3 - 3a2b + 9ab2 - a2 + ab - 3b2

18

1 + 14x2y + 49x4y2

19

m(a - b) + (a -b)n

20

4a 3x - 4a2b + 3bm - 3amx

21

1 − 1000x

22

x2 - 2x - 528

23

(3x+2)(x+y-z)-(3x+2)-(x+y-1)(3x+2)

24

36a2 - 25x6

25

a2b2c2 - a2c2x2 + a2c2y2

26

30x

27

3a2 - 7b2x + 3ax - 7ab2

28

196x2y4 - 225z12

29

m2 - 41m + 400

30

a2 - 10a + 25

31

625y

32

2a2x + 2ax2 - 3ax

33

y2 + 50y + 336

34

x6a-4 - y8b+2

35

20n

36

1 + 49a2 - 14a

37

m2 - 20m – 300

38

9a3x2 - 18ax3

39

100 - x2y6

40

n2x - 5a2y2 - n2y2 + 5a2x

41

a10 b 15 + 32c 20

42

343y

3

− 31

2x3y2 +

+

2

 Matemáticas 2

27y

12

y4 16

6

6

z4

− 81

n − 20

−9

44

−1

2

x − 10

+ 13

9

− 64

z15

Factorización

43 45

14x2y2 - 28x3 + 56x4 121 + 198x6 + 81x12

44 46

n2 + 43n + 432 a20 - a16 + a12 - a8 + a4 - a2

47

28 + a2 - 11ª

48

a10 - 49b12

49

a2 + 42a + 432

50

12m

51

256x

52

a8 + 18a4 + 81

53

12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 + 48m5n4

54

a 20 b 30

55

x2 + x – 132

56

4x2n - 81

57

15a

58

3ax - 2by - 2bx - 6a + 3ay + 4b

59

-104x2 + 16 + 169x4

60

x2 + 15x + 56

61

m 32 n 24 − r 40

62

x2

63

a2 - 24am2x2 + 144m4x4

64

100m

65

9a2 - 12ab + 15a3b2 - 24ab3

66

2x3 - nx2 + 2xz2 + nz2 - 3ny2 + 6xy2

67

12x

2

−7

x − 12

68

a2b3 - n4+a2b3x2 - n4x2 - 3a2b3x+3n4x

69

20 a

2

−7

a − 40

70

–70am3n2 + 49m6 + 25a2n4

71

x7

y 21

72

35m

73

4x

74

a 2 − 2 a 3 + 3a 4 − 4 a 5 + 6 a 6

75

1+

a10 − 2 a 5

76

9x

77

x 2 + 4x − 4896

78

9m

79

44n + 20n

80

1−

81

x 27 y 36 z 45 + 1

82

9 p

2

83

6m − 9n + 21nx − 14mx

84

7x

2

85

a 4 − a 2 b 2 + 14 b 4

86

x 2 − 9 a 4 + 6 a 2 b + 1 + 2x − b 2

87

3 + 11a + 10 a

88

m2 − x 2 − 2xy − y 2

2

8

y 16

+

−

8a

− 12

− 2187

2

 Matemáticas 2

+

25y

2

2

− 36 +

 

20xy

− 15

2

45

2

m − 35

− 13

c 50

+

x − 193440

+ 314

2

2

2

2

+

−

21m − 378

4y

−

a2

1 n 4 − 16 x8

2

a2

−

−

+

9n

2

a 2 − 12xy − 25b 2 − 10ab

2 acd

−

−

c 2d2

6 an

 pq 2

− 100 − 30

−

+ 100 −

+

25q

4

44 x − 35

60m

Factorización

2

89

13x

91

64 a

93

25y

95

6 am

97

24x

99

15x

101

1128a

103

324x

105

1 − 169 a

107

10x

109.-

x15 + y 15

2.-

Evaluar

3.A) D)

¿Cuál de los siguientes enteros no divide a 3 B) 7 127 E) 2047

4.-

Si a y b son números enteros tal que a 2 − b 2

5.-

Sean x , y números reales tal que x 2

6

x

b 4 + 81c 8 + 144a 3b 2c 4

8

2

z 4n

9 ar  − 12 mc

+

2

2

−

y2

90

− 96 − 148

− 16

bm − 24br  − 18cr 

92

x 2 − 28x + 160

94

 p 30 q 90 − z10

96

25 − z 2

4

+

4a

2

79x + 40

98

6m

−

27 x − 54

100

16xy

102

22b

104

9 − 20xb − 4x

b8

106

9m

x − 63

108

6axy − 5c

110

n2

− 106

−1

?

2

b 49

−

2187

y 2 + 9 − 108xy 6

− 17

 

100

2

− 99

2

+ 98

2

− 97

2

+

K − 32

(

+

−

2

2

−1

2

2

by − 24x − 15 + 27b + 10y

− 18

+

408b − 640

− 16

2

1650

25b

2

bn − 4n 2 − 30am − 16b 2 + 25a 2 2

xy + 5z 4

− 15

−2

az 4 + 2ac 2

n + 2584

C)

y 2 )(x 2

−

2

2

=

20 a

−

n3q + 24mn 4q − 9mn3q 2 − 3mn3q

−

21

21y − 442

+

2003 ,

−2

31

¿cuál es el valor de a 2 + b 2 ?

xy + y 2 ) = 3  y x − y = 1 . ¿Cuál es el valor de

xy ?

6.-

Suponga que ciertos números a, b y k se tiene la factorización siguiente:

x 4 + 2x 3 + kx 2 ¿Cuál es el valor de k?

7.-

−

x + 2 = (x 2 + ax + 1)(x 2 + bx + 2)

¿Cuál es el mayor número primo que divide a

2

16

− 16

?

8.-

Suponga que a y b son números enteros tal que b > a > 1 y b 2 valores posibles de ab .

9.-

¿Cuál de las siguientes expresiones no es un factor de x 6

A)

x −1

 Matemáticas 2

B)

x2

46

a2

= 187

?

−1

C)

−1

−

x2

+

x +1

. Encuentra los

Factorización

D)

x4

+

 Matemáticas 2

x2

+1

E)

Todos son factores

47

Capitulo 7 RADICALES

7.1

Definición de radical

Definición.-

Sean a y b números positivos, entonces: 2 a b  si y sólo si b 2

a

=

=

Al número b se le llama raíz cuadrada principal de a o simplemente raíz cuadrada. Ejemplo.Esto quiere decir que 2 9  y a 9 y 16, respectivamente. Definición.-

2

16

2

9

2

16

=

3,

=

4

ya que 3 2 = 9 , ya que 4 2 = 16

 no es otra cosa que los números 3 y 4, cuyos cuadrados son iguales

Sean a y b números positivos, entonces: 3 a b  si y sólo si b 3

a

=

=

Al número b se le llama raíz cúbica principal de a o simplemente raíz cúbica. 3

Ejemplo.-

3

8

=

125

2

, ya que

=

5,

2

3

ya que

=

5

8

.

=

125 .

3

Este concepto o definición se puede generalizar así: Definición.-

Si a y b son números positivos y n es un entero positivo, entonces: n

a

=

b  si y sólo si b n

=

a

Al número b se le llama raíz enésima principal de a o simplemente raíz enésima. n

Notación.radical.

En la expresión

Notación.-

Es común encontrar lo siguiente: 2

ya que

2

5

3

ya que

3

4

ya que

7

6

Ejemplo.-

5

32

Ejemplo.-

4

81

Ejemplo.-

6

117649

 Matemáticas 2

=

=

a , al número a se le llama

=

7

n

radicando y

1

a

=

an

=

32 ,

2 es raíz quinta de 32

=

81 ,

3 es raíz cuarta de 81

=

117649 ,

47

a n lo llamamos

7 es raíz sexta de 117649

índice del

Radicales

7.2

Aproximación de radicales.

Utilizando la definición de radical, se puede aproximar un radical hasta los decimales que nosotros queramos. Ejemplo.-

Aproximar a 2 decimales

4

12987

.

Solución.Tenemos que encontrar un número que “elevado a la cuarta potencia” nos de 12987 o lo más cercano posible. Para encontrar dicho número hacemos la siguiente tabla.

=1 2 = 16 4 3 = 81 4 4 = 256 4 5 = 625 4 6 = 1296 4 7 = 2401 4 8 = 4096 4 9 = 6561 4 10 = 10000 4 11 = 14641 4

1

4

Por lo tanto

4

12987

falta para 12987 falta para 12987 falta para 12987 falta para 12987 falta para 12987 falta para 12987 falta para 12987 falta para 12987 falta para 12987 falta para 12987 se pasa de 12987  es un número entre 10 y 11. (En vox populi: “10 y fracción”)

Ahora hacemos una tabla para calcular el primer decimal de nuestra aproximación. 4 10.1 = 10406.040 falta para 12987 4 10.2 = 10824.3216 falta para 12987 4 10.3 = 11255.0881 falta para 12987 4 10.4 = 11698.5856 falta para 12987 4 10.5 = 12155.0625 falta para 12987 4 10.6 = 12624.7696 falta para 12987 4 10.7 = 13107.9601 se pasa de 12987 Por lo tanto

4

12987

 es aproximadamente 10.6.

Ahora hacemos una tabla para calcular el segundo decimal de nuestra aproximación. 4 10.61 = 12672.4777 falta para 12987 4 10.62 = 12720.3208 falta para 12987 4 10.63 = 12768.2994 falta para 12987 4 10.64 = 12816.4135 falta para 12987 4 10.65 = 12864.6635 falta para 12987 4 10.66 = 12913.0495 falta para 12987 4 10.67 = 12961.5720 falta para 12987 4 10.68 = 13010.2310 se pasa de 12987

 Matemáticas 2

48

Radicales

Ahora tenemos que decidir la mejor aproximación entre 10.67 y 10.68, para esto calculamos las siguientes diferencias. 12987 − 12961.5720 = 25.428 12987 − 13010.2310

error de 25.428 error de 23.231

= −23.231

Por lo tanto la aproximación a 2 decimales es: 4

7.3

12987

≈ 10.68

Propiedades de los radicales.

Propiedad 1. Justificación.-

Ejemplo.-

Propiedad 2. Justificación.-

Ejemplo.-

Propiedad 3.-

Si a y b son positivos y n es un entero positivo 1

1

ab = (ab ) n = a n ⋅ b n = n a ⋅ n b

3

125a

= 3 125 ⋅ 3 a 3 = 5a

Si a es positivo y n es un entero positivo n

4

1

a n = (a n )n = a 16a

8

b12c 4 = 4

Ejemplo.-

Propiedad 4.-

n⋅ n1

Ejemplo.-

 Matemáticas 2

an = a .

n

= a n = a1 = a

(2a b c ) 2

4

3

n

1

a ⎛ a ⎞ n a n =⎜ ⎟ = = b ⎝ b ⎠ bn 1

8 3

m

6

3

= 3

8

=

m6

2

m2

n

a

n

b

= 2a 2 b 3c

Si a es positivo y n, m son enteros positivos n m

3 2

1

[ ] 1

a = n (a ) m = (a ) m 15625

n

a na = . b nb

.

1

 Justificación.-

n

Si a y b son positivos (b≠  0) y n es un entero positivo 1

 Justificación.-

ab = n a ⋅ n b .

1

n

3

n

n

1

⋅1

1

= a m n = a nm = nm a

= 6 15625 = 5 .

49

n  m

a = nm a

Radicales

(n a )n = a .

Propiedad 5.-

Si a es positivo y n es un entero positivo

 Justificación.-

(n a )n = ⎡⎢⎣a

Ejemplo.-

(

Propiedad 6.-

Si a es positivo y n, m (m≠  0) son enteros positivos, se tiene las siguientes igualdades.

3

2122

)

3

1

n

n

⎤ = a n ⋅n = a nn = a1 = a ⎥⎦ 1

 = 2122

(m a )n

n

a m = m an = n

 Justificación.- a m = a

n⋅ m1

2

Ejemplo.-

( )

= an

4 2 4 2 ⎛  ⎜ e  ⎞⎟ = e ⎝   ⎠

1

m

( )

2

n

(m a )n

= m a n = a n = ⎛  ⎜ a m  ⎞⎟ = ⎝   ⎠ 1

⋅n

1

= 4 e4 = e .

Estas propiedades pueden aplicarse para simplificar radicales

Ejemplo.-

Simplificar la siguiente expresión

2xy

Solución.-

2xy

2xy

2xy

2xy

Ejemplo.Solución.-

 Matemáticas 2

2xy

3

3

3

3

3

z5

18x

6xy

2

z5

18x

6xy

2

z5

18x

6xy

2

z5

18x

6xy

2

z5

18x

6xy

2

3

y 3 z5

z5 y 3 z5

=

z5

y 3 z5

z5

=

6xy

2

4

36 ⋅

2

3

y 3 z5

=

z5

6x

2

3

y 3z5

2

2

3

(x )

2 2

z3

1

a 4 b 7 ⋅ 2 ab

a 4 b 7 ⋅ 2 ab = (a 4 b 7 ) (ab) 3

1 2

50

z5

y 3z5

)

(y )

⋅

3

.

z3

= xy

z5

y 3 z5

y 6 z10

y 3 z5

6xy

3

z3

⋅

6xy

Simplificar a un solo radical 3

36x

6xy

3

18x

5

6xy

3

z5

(2xy z )(18x 3

=

3

3 2

2

z3

(z )

5 2

Radicales

3

3

3

7.4

2

a 4 b 7 ⋅ 2 ab = (a 4 b 7 ) (ab) 6

2⋅

3 6

1

a 4 b 7 ⋅ 2 ab = (a 4b 7 ) (ab )3⋅ 6

1 6

1

2 a b ⋅ ab = ⎡ a 4 b 7 ⎤ (ab)3 ⎢⎣ ⎥⎦ 4

7

) [

(

2

6

]

1 6

( ) ⋅ (ab) (a b ) (ab ) 2

3

a 4 b 7 ⋅ 2 ab = 6 a 4 b 7

3

a 4 b 7 ⋅ 2 ab = 6

3

a 4 b 7 ⋅ 2 ab = 6 a 8b14 a 3 b 3

3

a 4 b 7 ⋅ 2 ab = 6 a11b17

3

6

7 2

4

3

Racionalización

Definición.- Racionalizar el denominador de una fracción es convertir o transformar una fracción cuyo denominador es un radical a una fracción cuyo denominador no contenga radicales. Para racionalizar una expresión, se aplican además de las propiedades mencionadas en este capitulo, dos hechos importantes.

1.-

Al multiplicar a una fracción por el número 1, no afecta ya que 1 es neutro multiplicativo.

2.El número 1 puede escribirse de distintas maneras, la que nos convenga para alcanzar el objetivo de racionalizar. 3

Ejemplo.-

Racionalizar

Solución.-

Aplicando lo anterior, puede obtenerse. 3

=

2x

3

2x

⋅1

2x

El número 1 conviene escribirlo así

1=

2x 2x

Sustituyendo en la expresión inicial, se obtiene. 3

=

2x

3

3

⋅1 =

2x

2x

⋅

2x 2x

=

3 2x

(

2x

)

2

=

3 2x 2x

Se deja al lector justificar la razón de haber multiplicado por 4−

2

Ejemplo.-

Racionalizar el denominador de

Solución.-

Multiplicamos por 1 la expresión anterior. 4−

2

2+5 2

 Matemáticas 2

=

4−

2

2+5 2

2+5 2

⋅1

51

2x 2x

.

Radicales

Buscamos de manera adecuada la expresión para el número 1, para eso es importante tener claro los conocimientos del capitulo anterior. 4−

2

2+5 2

=

Como puede observarse,

4−

2

2+5 2

2+5 2

⋅

 y

2−5 2 2−5 2

2−5 2

 son binomios conjugados.

Luego multiplicando las fracciones anteriores se obtiene. 4−

2

2+5 2

=

4−

2

2+5 2

⋅

2 −5 2 2 −5 2

=

=

(4 − 2 )(2 − 5 2 ) (2 + 5 2 )(2 − 5 2 )

8 − 20

2

−2

2

( )

4− 5 2

=

=

=

=

=

8 − 22 2

+ 5(2) 4 − (25 ⋅ 2 )

18 − 22 2 4 − 50 18 − 22 2

− 46

(

− 2 11 2 − 9 − 2 ⋅ 23 11 2

−9

23

 Matemáticas 2

+5

52

)

2

( 2)

2

Radicales

7.5 1.a)

Ejercicios. Aproximar a 3 decimales las siguientes raíces. 3

26810

b)

4

89123678

c)

5

198765

d)

6

901209867

e)

4

123456789

f)

3

98766789

2.-

Simplificar las expresiones siguientes. 3

a) 3

4

3

d)

7

3

f)

3

20

3

45

j)

15

g)

2

3

9⋅

3

3

6

9⋅

27

3

3

Simplificar los radicales siguientes.

3

8x

3n

27 y

18x

6

3

4x

4

y 7 z9

50xy

 Matemáticas 2

3

3

z

yz 3

+ 4x 4 + 4x 4 + 4x 4 2x

28mns

50 a

b)

3xyz 12x

e)

12

27 12

6

30

24

6

h)

3

3

144

2

25

4

864

12

3

4

72 18

40

15

4

77

5

i)

c)

3

3

g)

a)

5929 847

e)

75 12

b)

2

c)

3.-

16

3

14m

7m 2

n 3s

5

n7 s5

3

b 7c

3

4

d)

40m 3

3

f)

20 a

7

2

63a

5

bc 3

50 ab

n 5 r 9 4 2 3

20mnr 

18 p

2

h)

53

144a

14 a 5

250mn 50m

2

c5

7

r 7

n 5 r 

q 4 r 4 3 12 p 4 q 8r 2

2 pqr  2 p

5

bc 3

3

bc 2 5 3ab

3

qr 

54a 2

c

7

b14c 3

2

b4

Radicales

4.-

Simplificar las siguientes expresiones.

a)

2  4

c)

5

e)

2  3

5.-

1)

7)

d)

2

a 3b 5c 7 ⋅ 4 ab 2c

x 2 yz 4 ⋅ 4  2 x11y 7 z 3

f)

−

5

3

−2

5

3

+

5n

2)

5

−

4)

3

2

6)

mn

3

a+ x

3

+

5

2

−

11

13

+

11

−

2

3+

2

2 2

+

5⋅

3

2− 2+

x

 Matemáticas 2

2

12)

14)

−

6

 

+

 

 

16)

18)

3

3

27 x

 

5

5

3x

10)

 

−

6

4

 

13

3

15)

8)

a+ x

2

13)

21)

x n y 2n z 3n ⋅ 5 x 4n y 8n z12n

15

11)

19)

m 5n 7 ⋅ 3 m 2 n

2 3

9)

17)

4

3  5

a 2b 6c 7 ⋅

4  3

ab 8 c 10

Racionalice el denominador en cada uno de los incisos siguientes.

3)

5)

b)

a12 b18

5

 

20)

22)

54

+

5

+2

5

2 7 7

14 7

−2

3

−

2

2a 2 ax

x − x −1 x + x −1 1+

2

1−

2

3 5

−2

13

7 5

+3

13

a+b − a−b a+b + a−b 3 2

+

3

−

5

3+ 2 3 3

+2

7 7

−

5 5

6

+

3+

2

6

+

3

−

2

Capitulo 8 ECUACIONES DE PRIMER GRADO

8.1

Definición de Ecuación

Definición: Ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas  y que sólo se verifican o es verdadera para determinados valores de las incógnitas.

Las soluciones de una ecuación se conocen también como raíces  de la ecuación y son los valores de las incógnitas que verifican la ecuación. En una ecuación, a la variable o variables se le asignan valores que son elementos de un conjunto dado y se dice que la ecuación está definida sobre ese conjunto. Si no se especifica el conjunto, se supone que éste es el conjunto de los números reales. Definición.Los elementos del conjunto en el cual está definida la ecuación se llaman valores  permitidos a la variable o variables. Definición.Se llama conjunto solución al conjunto formado por los valores permitidos que hacen cierta la ecuación.

Ejemplo.Consideremos la ecuación x 2 − 1 = 0 definida en Claramente las raíces de la ecuación son x = 1  y x = −1 El conjunto solución es S = {1 , − 1}

ℝ.

Consideremos la ecuación x 2 − 1 = 0 definida en ℕ. Ejemplo.La única raíz es x = 1 , ya que los valores permitidos son naturales. El conjunto solución es S = {1} Consideremos la ecuación x 2 + 1 = 0 definida en ℝ. Ejemplo.Es claro que ningún número real elevado al cuadrado nos de una cantidad negativa. Por lo tanto S=Ø

8.2

Ecuación lineal

Definición.-

Una ecuación de la forma a1x1 + a2 x 2 + K + an x n + an

+1

=

0

definida en ℝ se llama ecuación lineal en n variables. El conjunto solución es el conjunto formado por todas las n-adas ordenadas (r 1 , r 2 , r 3 ,K , r n )   tales que a1r 1 + a2 r 2 + K + an r n + an 1 = 0 sea verdadera. +

 Matemáticas 2

55

Ecuaciones de Primer Grado

2x − 3y − 5 = 0 es una ecuación lineal en x y y. El par ordenado de números (1, 1) no Ejemplo.es una solución, ya que 2(1) − 3(1) − 5 ≠ 0

En cambio (1 , −1) , (− 12 ,−2)  y (3 , 13 )  si son soluciones.

8.3

Ecuación lineal con una incógnita

Definición.- Una ecuación lineal con una incógnita o ecuación de primer grado con una incógnita definida en ℝ, es aquella que tiene la forma a1x1 + a2 = 0 o simplemente ax + b = 0 , a,b∈ℝ, a≠0.

Para hallar la solución de una ecuación lineal, transformamos la ecuación dada en ecuaciones equivalentes cada vez más simples, hasta obtener una ecuación de la forma x = c . Una vez obtenida esta igualdad, sabemos que el conjunto solución es S = {c}   ya que como son ecuaciones equivalentes tendrán el mismo conjunto solución. Para hallar ecuaciones equivalentes a la ecuación dada, podemos aplicar cualquier axioma de campo o de igualdad. Estos axiomas deberán ser recordados por los estudiantes, ya que se vieron en matemáticas 1. Ejemplo.-

Hallar el conjunto solución de la ecuación.

(x − 5) − 2[x − 3(4 − 2x )] = 1 − 2x

3

Usaremos el símbolo ⇔   para denotar equivalencia, éste símbolo puede leerse Notación.también como si y sólo sí. Solución.-

Hallamos ecuaciones equivalentes a la ecuación dada.

(x − 5) − 2[x − 3(4 − 2x )] = 1 − 2x

3

⇔

3x

− 15 − 2[x − 12 + 6x] = 1 − 2x

⇔

3x

− 15 − 2x + 24 − 12x = 1 − 2x

⇔

3x

− 2x − 12x − 15 + 24 = 1 − 2x

⇔ ⇔

−11x + 9 = 1 − 2x −11x + 2x = 1 − 9

⇔

−9x = −8

⇔

−9x −8 = −9 −9

⇔

x=

 Matemáticas 2

56

8 9

Ecuaciones de Primer Grado

Luego la última ecuación tiene como conjunto solución S = {89} Finalmente decimos: La solución de la ecuación es

Ejemplo.-

x=

8 9

, y su conjunto solución S = {89} .

Hallar el conjunto solución de la ecuación. −4

3x

−

1 − 5x

2

Solución.-

=2−

3 − 7x

4

3

Hallamos ecuaciones equivalentes a la ecuación dada 3x − 4 1 − 5x 3 − 7x − =2− 2

(

2 3x

⇔

4

3

− 4) − 1(1 − 5x )

6 − 1 3 − 7x

(

=

4

6x

⇔

3

− 8 − 1 + 5x

6 − 3 + 7x

=

4

3

11x − 9

⇔

=

3 + 7x

4

⇔

3 11x

⇔

33x

(

⇔

)

33x

3

− 9 ) = 4(3 + 7x )

− 27 = 12 + 28x

− 28x = 12 + 27

⇔

5x 5x

⇔

= 39 =

5

⇔

x=

39 5

39 5

Por lo tanto podemos decir: La raíz o solución de la ecuación es x = Ejemplo.-

39 5

⎧ 39 ⎫  y el conjunto solución es S = ⎨ ⎬ . ⎩5⎭

Hallar el conjunto solución de la ecuación.

(x − 7) 2 − 4(3 − 2x ) + 4 = (x + 4 )(x − 5) − 3(1 − 8x ) + 3 Solución.-

 Matemáticas 2

Hallamos ecuaciones equivalentes a la ecuación dada (x − 7) 2 − 4(3 − 2x ) + 4 = (x + 4 )(x − 5) − 3(1 − 8x ) + 3

57

Ecuaciones de Primer Grado

⇔

x 2 − 14x + 49 − 12 + 8x + 4 = x 2 − x − 20 − 3 + 24x + 3

⇔

x 2 − 14x + 8x + 49 − 12 + 4 = x 2 − x + 24x − 20 − 3 + 3

⇔

x 2 − 6x + 41 = x 2 + 23x − 20

⇔

x 2 − 6x − x 2 − 23x = −20 − 41

⇔

x 2 − x 2 − 6x − 23x = −61

⇔

−29x = −61

⇔

−29x −61 = − 29 − 29

⇔

x=

La solución o raíz de la ecuación es x =

 Matemáticas 2

61 29

⎧ 61 ⎫ , y el conjunto solución S = ⎨ ⎬ . 29 ⎩ 29 ⎭ 61

58

Ecuaciones de Primer Grado

8.4

Ejercicios

1.-

Encontrar el conjunto solución de 3x + y = 10  si la ecuación está definida para cualquier

2.-

Encontrar el conjunto solución de

2x + y

= 6   si la ecuación está definida para cualquier

ℕ ∪ {0} .

3.a) b) c) d) e)

Dada la ecuación x − 2y + 3z = 5 Verificar si (1, 1, 0) es solución o no. Verificar si (1, -2, 0) es una solución o no. Hallar todas las soluciones de la forma (x ,0 ,0) . Hallar cualquier solución (x , y , z) , en donde x = 2 , y = −1 Escribir tres soluciones de la forma (x , 5 , z)

4.1

Encontrar el conjunto solución de las ecuaciones siguientes. 3x + 101 − 4x − 33 = 108 − 16x − 100

2

8x

3

30x

− (− x + 6) + (− 5x + 4 ) = −(5x + 6 ) + (− 8 + 3x )

4

16x

− [3x − (6 − 9x )] = 30x + [− (3x + 2) − (x + 3)]

5

− {3x + 8 − [− 15 + 6x − (− 3x + 2) − (5x + 4 )] − 29} = −5

6

2( 3x

7

3x( x. − 3 ) + 5( x

8

( x + 1 )( 2x + 5 ) = ( 2x + 3 )( x − 4 ) + 5

9

5( x − 2 )

10

3( 2x + 1 )( − x + 3 ) − ( 2x + 5 )

11

12

13

14

− 15x − 30x − 51x = 53x + 31x − 172

3x 4

+ 3 ) − 4( 5x − 3 ) = x( x − 3 ) − x( x + 5 )

2

− 5( x + 3 ) 2 + ( 2 x − 1 )( 5x + 2 ) − 10 x 2 = 0

1

5

5

4

− + 2x =

x−

5x − 1 3

6x + 1

−

3 3x − 1 2

 Matemáticas 2

11x − 2

5x + 4 3

= − − {− 3( x + 5} + 10x 2

3x

−

20

= 4x −

9

−

+ 7 ) − x( x + 1 ) − 2( x 2 + 7 ) + 4 = 0

2

3 5

1

5

4

6

− ( 5x − 2 ) = ( 6x + 1 )

−

x+2 8

=

2x − 3 5

−

1 10

59

ℕ.

Ecuaciones de Primer Grado

15

16 17 18

5( x + 2 )

+

12

x−5

4

−

22 − x

9

−

36

4 − 8x

2

−

= 3x − 20 −

9x − 1

3

8−x

−

20 − 3x

12

18

= 2x − {3 − 2[5 − 7(9x + 4) − 3(1 − 14x )]}

5

(x − 19)(x + 5) − (x + 7)2 = 3 − 4[1 − 6(8 − 11x ) − 9(3x − 7 )] 3x − 8

−

5x − 17

4

−

2 3 − 15x

(

3

)

−

11 − 4x

2

6

=

3

−

7

8x − 3

−

2

19

(x − 5)3 − (x + 20)(x − 35 ) = x 3 − 3(4 − 23x ) − 11x − 6

20

2a −

5 − 7a 2

−

11 − 17 a 3

= 8a −

10 − 3a 2

−

21x − 4 5

13 − a 5

Encontrar el conjunto solución de las ecuaciones siguientes, estas ecuaciones son llamadas 5.ecuaciones literales. En estas ecuaciones la incógnita es x. a − x b − x 2( a − b ) 1 − = a b ab 2

3

4

5

6.-

x + m x + n m2 + n2 − = −2 m n mn 2( x − c ) 4x − b

=

2x + c 4( x − b )

x( 2x + 3b )( x + b ) = 2x 2 − bx + b 2 x + 3b x ⎞ 1 ⎛ x x ⎞ 5a + 13b ⎜ + ⎟ = ⎜ − ⎟+ a ⎠ 3 ⎝  b a ⎠ 4 ⎝  b 12a 3 ⎛ x

ax − 3a 2 − bx − 3b 2 = 0

 Matemáticas 2

60

Capitulo 9 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

9.1

Definición de sistemas lineales

Un conjunto de m  ecuaciones lineales con n  incógnitas se llama sistema lineal de Definición: ecuaciones. El conjunto solución del sistema es el conjunto de n-adas ordenadas que son soluciones de las m ecuaciones simultáneamente. ⎧3x + y + z = 5 ⎨ ⎩x − 2 y + z = 0

Ejemplo.-

Es un sistema lineal de 2 ecuaciones con tres incógnitas. La triada (1 ,1 ,1)  es una solución del sistema, sin embargo la triada (2 ,2 ,2)  no es solución del sistema.

9.2

Ecuaciones lineales simultáneas con dos incógnitas

Una expresión general de un sistema de dos ecuaciones lineales o de primer grado Definición.con dos incógnitas es. ⎧a11x + a12 y = c1 ⎨ ⎩a 21x + a 22 y = c 2

a11 ≠ 0 o a12 ≠ 0 a 21 ≠ 0 o a 22 ≠ 0

A este formato suele llamarse expresión canónica de un sistema lineal de

2× 2

Este sistema se puede resolver por cualquiera de los métodos siguientes: a) método de suma o resta b) método de igualación c) método de sustitución d) método de determinantes e) método gráfico

9.2.1

Método de suma o resta (eliminación)

Este método de solución requiere que cada ecuación se multiplique por un número diferente de cero, el cual se elige de tal manera que los coeficientes resultantes de una de las incógnitas difieran sólo en sus signos. En ocasiones basta multiplicar sólo alguna de las ecuaciones. La finalidad de este método es que una de las incógnitas se elimine al sumar las dos ecuaciones. Ejemplo.-

 Matemáticas 2

⎧5x − 3y = 13 Resolver por eliminación al sistema ⎨ ⎩7x + 2y = 12

61

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Si elegimos eliminar x, debemos multiplicar a la ecuación (1) por 7 y la ecuación (2)

Solución.por -5.

− 3y ) = 7 ⋅ 13 − 5(7x + 2y ) = (− 5)12 7 5x

35x − 21y

= 91 − 35x − 10y = −60

⇔

Si sumamos ambas ecuaciones, se elimina la incógnita x. 35x − 21y = 91 − 35x − 10y = −60 ⇔  __________   ______  − 31y = 31

⇔ ⇔

y=

31

− 31 y = −1

Luego sustituimos y = −1 en cualquiera de las dos ecuaciones, por ejemplo en la ecuación (1). 5x − 3

(−1) = 13

⇔ ⇔ ⇔

5x + 3 = 13

Por lo tanto, la solución es x = 2 , y = −1

9.2.2

= 10 x=2

5x

Método de igualación

Para resolver un sistema simultáneo de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método de igualación. a) Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. b) Se igualan los resultados. c) Se resuelve la ecuación resultante d) Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de los dos despejes. Ejemplo.-

⎧2x + 3y = −4 Resolver por igualación el sistema ⎨ ⎩3x + 8y = 1

Solución.-

Despejamos x en ambas ecuaciones.

Despejamos x en (1)

x=

Despejamos x en (2)

x=

 Matemáticas 2

−4 − 3y 2 1 − 8y 3

62

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Igualamos resultados

− 4 − 3y

=

1 − 8y

2

3

Resolvemos la ecuación resultante −4 − 3y

=

1 − 8y

2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

3

(− 4 − 3y ) = 2(1 − 8y )

3

−12 − 9y = 2 − 16y −9 y + 16y = 2 + 12 7 y = 14 y=2

Este resultado podemos sustituirlo en cualquiera de los despejes para encontrar la segunda incógnita. −4 − 3(2) −4 − 6 Sustituimos en el despeje de (1) x = = = −5 2

2

Por lo tanto la solución del sistema es x = −5 , y = 2

9.2.3

Método de sustitución

Para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución. a) Se despeja una de las incógnitas en cualquiera de las ecuaciones. b) Se sustituye en la otra ecuación el despeje anterior. c) Se resuelve la ecuación obtenida d) Se calcula el valor de la otra incógnita, en la ecuación que ya está despejada. Ejemplo.-

⎧5x + 7 y = 6 Resolver por sustitución el sistema ⎨ ⎩3x − 11y = 34

Solución.-

Despejamos x en la ecuación (1) x =

Sustituimos en la ecuación (2) ⎛ 6 − 7 y ⎞ ⎟ − 11y = 34 ⎝  5  ⎠

3⎜

Resolvemos la ecuación obtenida ⎛ 6 − 7 y ⎞ 3⎜ ⎟ − 11y = 34 ⎝  5  ⎠ 3 ⎛ 6 − 7 y ⎞ ⇔ ⎜ ⎟ − 11y = 34 1 ⎝  5  ⎠ 18 − 21y 11y ⇔ − = 34 5

 Matemáticas 2

1

63

6 − 7y 5

Sistemas de Ecuaciones Lineales

18 − 21y − 55y

⇔

= 34

5 18 − 76 y

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

= 34

5

18 − 76y

= 170 −76y = 170 − 18 −76y = 152

⇔

152

y=

− 76

Sustituimos y = −2 en el despeje x = x=

6−7

(−2)

= −2 6 − 7y 5

=

6 + 14

5

5

=

20

=4

5

La solución del sistema es x = 4 , y = −2 .

9.2.4

Método de Determinantes

Definición.-

El símbolo

a11 a 21

a12  formado por cuatro números reales a11 , a12 , a 21 , a 22 , representa a 22

un determinante de orden dos. Para calcular un determinante de orden dos usamos la siguiente regla: a11 a12 = a11 ⋅ a 22 − a 21 ⋅ a12 a 21 a 22 La dirección a11 → a 22 es llamada diagonal principal  del determinante y la Definición.dirección a 21 → a12 es llamada diagonal secundaria. Bajo esta definición, un determinante de orden dos se calcula encontrando la diferencia del producto de los números de la diagonal principal menos el producto de los números de la diagonal secundaria. Ejemplo.-

Solución.-

Calcular el determinante 2

7

3

−4

2

7

3

−4

.

= (2)(− 4) − (3)(7) = −8 − 21 = −29

La aplicación directa de los determinantes, es en la solución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Dado el sistema de ecuaciones ⎧a11x + a12 y = c1 ⎨ ⎩a 21x + a 22 y = c 2

 Matemáticas 2

a11 ≠ 0 o a12 ≠ 0 a 21 ≠ 0 o a 22 ≠ 0

64

Sistemas de Ecuaciones Lineales

La solución del sistema viene dado por las fórmulas siguientes:

x =

c1 c2

a12 a 22

a11 a21

a12 a22

,

a11 c1 a21 c 2

y =

a11 a21

a12 a22

Notación.-

Al determinante

c1 c2

a12  se le llama delta x, que denotamos por ∆ x . a 22

Notación.-

Al determinante

a11 c1  se le llama delta y, que denotamos por ∆ y . a 21 c 2

Notación.-

Al determinante

a11 a 21

a12  se le llama delta general del sistema, que denotamos por a 22

∆. Con esta notación podemos escribir la solución del sistema con el siguiente formato. x=

La única restricción es que

∆x , ∆

a11 a 21

y=

∆y ∆

a12 ≠ 0 , en caso contrario diremos que el sistema no tiene a 22

solución o es inconsistente.

Ejemplo.Solución.-

⎧7x − 3y = 33 Resolver por determinantes el sistema ⎨ ⎩5x + 2y = 7 Aplicando las fórmulas siguientes, se obtiene.

x =

x=

y=

33

−3

7

2

7

−3

5

2

7

33

5

7

7

−3

5

2

=

=

c1 c2

a12 a 22

a11 a21

a12 a22

y =

a11 a21

a12 a22

(33)(2) − (7 )(− 3) 66 + 21 87 = = =3 (7 )(2) − (5)(− 3) 14 + 15 29

(7 )(7 ) − (5)(33) 29

=

49 − 165 29

La solución del sistema es x = 3 , y = −4

 Matemáticas 2

a11 c1 a21 c 2

65

=

− 116 29

= −4

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Observación.- Para aplicar el método de determinantes, es necesario que el sistema de ecuaciones ⎧a x + a12 y = c1 tenga la forma ⎨ 11 . ⎩a 21x + a 22 y = c 2

En caso contrario, no puede aplicarse determinantes.

9.2.5

Método gráfico

Para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método  gráfico. a) Se trazan en un mismo sistema de coordenadas cartesianas ambas ecuaciones. b) Se busca en la gráfica, el punto de intersección de ambas rectas, las coordenadas del punto de intersección es la solución del sistema. ⎧3x + 2y = 5 Resolver por el método gráfico el sistema ⎨ ⎩5x − 2y = 19

Ejemplo.-

Primero trazamos ambas ecuaciones, para esto despejamos y en ambas ecuaciones y Solución.hacemos una tabulación con al menos dos datos. Despejamos y en la ecuación (1) y =

5 − 3x 2

Hacemos una tabulación. 5 − 3x y= 2

x 1 -1

y 1 4

Despejamos y en la ecuación (2) y =

19 − 5x

−2

Hacemos una tabulación. y=

19 − 5x

x 1 3

−2 y -7 -2

Trazamos ambas ecuaciones en un mismo sistema de coordenadas.

 Matemáticas 2

66

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Es fácil ver que la solución del sistema es x = 3 , y = −2 Observación.- Al resolver un sistema dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, puede darse los siguientes casos.

I.-

Las rectas se corten en un punto , como el caso anterior.

II.Las rectas sean paralelas, en tal caso el sistema no tiene solución (ya que las rectas paralelas no se cortan). III.Las rectas coinciden, en tal caso cualquier punto de las rectas es solución, es decir hay una infinidad de soluciones.

 Matemáticas 2

67

Sistemas de Ecuaciones Lineales

9.3

Ecuaciones lineales simultáneas con tres incógnitas

Una expresión general de un sistema de tres ecuaciones lineales o de primer grado Definición.con tres incógnitas es. ⎧a11x + a12 y + a13 z = c1 ⎪ ⎨a21x + a 22 y + a 23 z = c 2 ⎪a x + a y + a z = c 32 33 3 ⎩ 31

a11 ≠ 0 o a12 ≠ 0 o a13 ≠ 0 a 21 ≠ 0 o a22 ≠ 0 o a 23 ≠ 0 a31 ≠ 0 o a32 ≠ 0 o a33 ≠ 0

Este sistema se puede resolver por cualquiera de los métodos siguientes: a) método de suma o resta método de igualación b) c) método de sustitución método de determinantes d)

9.3.1

Método de suma o resta (eliminación)

Para resolver un sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas por el método de suma o resta. a) Se multiplican la primera y segunda ecuación por cantidades adecuadas de tal manera que los coeficientes de la misma incógnita tengan en las dos ecuaciones el mismo valor absoluto pero con diferente signo. b) Se suman las ecuaciones para eliminar dicha incógnita y así generar una ecuación con dos incógnitas. c)

Se hace lo mismo con la primera ecuación y la tercera o con la segunda y la tercera.

d) Se resuelve el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas obtenido en las eliminaciones anteriores. e) Se sustituyen los dos valores obtenidos en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de la tercera incógnita.

Ejemplo.-

⎧x + y − 2z = 13 ⎪ Resolver por eliminación el sistema ⎨x − 3y − z = −3 ⎪x − y + 4z = −17 ⎩

La incógnita que eliminaremos es x. Solución.a) Escogemos la ecuación (1) y (2), para eliminar x x + y − 2z = 13 x − 3y − z = −3 Para eso, multiplicamos la ecuación (2) por -1. y sumamos las ecuaciones. x + y − 2 z = 13 − x + 3y + z = 3  __________   ____ 4y − z = 16 A esta ecuación la llamamos ecuación (4)

 Matemáticas 2

68

Sistemas de Ecuaciones Lineales

b)

Escogemos la ecuación (2) y (3), para eliminar x x − 3y − z = −3 x − y + 4z = −17

Para eso, multiplicamos la ecuación (3) por -1. y sumamos las ecuaciones. x − 3y − z = −3 − x + y − 4z = 17  __________   ___  − 2y − 5z = 14 A esta ecuación la llamamos ecuación (5) Formamos un sistema lineal de dos ecuaciones con (4) y (5). ⎧ 4y − z = 16 ⎨ ⎩− 2y − 5z = 14

Al resolver este sistema por eliminación se obtiene y = 3 , z = −4 Estos valores se sustituyen en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de x. Al sustituir en la ecuación (1) se tiene x + 3 − 2(−4) = 13 Que al resolver se obtiene x = 2 Por lo tanto, la solución del sistema es x = 2 , y = 3 , z = −4

9.3.2

Método de igualación

Para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas por el método de igualación. a) Se despeja la misma incógnita en las tres ecuaciones. b) Se igualan pares de ecuaciones, es decir la primera con la segunda y la primera o la segunda con la tercera. c) Se resuelve el sistema que resulta d) Se sustituyen los valores obtenidos en cualquiera de las ecuaciones en que la incógnita restante está despejada.

Ejemplo.-

⎧ x + y − z = −7 ⎪ Resolver por igualación el sistema ⎨3x − 2y + 3z = 24 ⎪2x + 3y − 5z = −32 ⎩

Solución.-

Se despeja x en las tres ecuaciones.

Despejando x en la ecuación (1) x = −7 − y + z Despejando x en la ecuación (2) x =

Despejando x en la ecuación (3) x =

 Matemáticas 2

24 + 2 y − 3z 3

−32 − 3y + 5z 2

69

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Se igualan por pares, hay 3 opciones: (1) y (2), (1) y (3) o (2) y (3). Escogemos un par de estos, es importante escoger la que más convenga. Igualamos (1) y (2)

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

24 + 2 y

− 3z

3

(− 7 − y + z) = 24 + 2y − 3z

3

−21 − 3y + 3z = 24 + 2y − 3z −3y + 3z − 2y + 3z = 24 + 21 −5y + 6z = 45   (4)

Igualamos (1) y (3)

⇔ ⇔ ⇔

−7−y+z =

−7−y+z =

−32 − 3y + 5z 2

−14 − 2y + 2z = −32 − 3y + 5z −2y + +2z + 3y − 5z = −32 + 14 y − 3z = −18   (5)

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones lineales formado con la ecuación (4) y (5). ⎧− 5y + 6z = 45 ⎨ ⎩y − 3z = −18

Al resolver el sistema por igualación, se obtiene y = −3 , z = 5 Sustituimos estos valores en la ecuación (1) o en cualquiera de los tres despejes realizados anteriormente. x + (− 3) − ( 5) = −7 que al resolver se obtiene x = 1 Por lo tanto la solución del sistema es x = 1 , y = −3 , z = 5 .

9.3.3

Método de sustitución

Para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas por el método de sustitución. a) b) c) d)

Se despeja una de las ecuaciones en cualquiera de las ecuaciones. Se sustituye la incógnita cuyo valor se ha encontrado en las otras dos ecuaciones. Se resuelve el sistema que resulta. Se sustituyen esos valores en el despeje anterior y se obtiene la tercera incógnita.

Ejemplo.-

Solución.-

 Matemáticas 2

⎧x − y + 2 z = −3 ⎪ Resolver por sustitución el sistema ⎨4x − y − z = 3 ⎪3x + 2y + 3z = 4 ⎩

Despejamos x en la ecuación (1), esto se hace ya que así conviene. x = −3 + y − 2z

70

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sustituimos en las ecuaciones (2) y (3). Sustituyendo en (2)

4

⇔ ⇔

(− 3 + y − 2z) − y − z = 3

−12 + 4y − 8z − y − z = 3 3y − 9z = 15   (4)

(− 3 + y − 2z) + 2y + 3z = 4

Sustituyendo en (3)

3

⇔ ⇔

−9 + 3y − 6z + 2y + 3z = 4 5y − 3z = 13   (5)

Resolvemos el sistema lineal formado con las ecuaciones (4) y (5) ⎧3y − 9z = 15 ⎨ ⎩5y − 3z = 13

Al resolver por sustitución este nuevo sistema, se obtiene y = 2 , z = −1 . Sustituimos estos valores en el despeje x = −3 + y − 2z  y obtenemos x = 1 . Por lo tanto, la solución del sistema es x = 1 , y = 2 , z = −1 .

9.3.4

Método de Determinantes

Definición.-

a11 a12 El símbolo a 21 a 22 a31 a32

a13 a23  formado por nueve números reales a33

a11 , a12 , a13 , a 21 , a 22 , a 23 , a31 , a32 , a33 , representa un determinante de orden tres.

Para calcular un determinante de orden tres usamos la siguiente regla: a11 a12 a21 a 22 a31 a32

a13 a23 = a33

(a a a + a a a + a a a ) - (a a a + a a a + a a a ) 11

22

33

21

32

13

31

12

23

21 12

33

11

32

23

31

22

13

Una manera práctica para calcular un determinante, es la regla de Sarros. a) Copiar las dos primeras filas del determinante en la parte inferior. b) Observar que con eso se generar 3 diagonales principales y tres diagonales secundarias. c) Se suman los productos de los números de las diagonales principales. d) Se suman los productos de los números de las diagonales secundarias. e) Se resta los resultados, lo obtenido de las diagonales principales menos lo obtenido en las diagonales secundarias.

 Matemáticas 2

71

Sistemas de Ecuaciones Lineales

5

4

−3 −5

1

7

−2

2

Calcular el determinante

Ejemplo.-

6

Copiamos las dos primeras filas en la parte inferior del determinante. 2 −3 5 4 −5 6 1 7 −2

Solución.-

−3 5 4 −5 6 La primera diagonal principal contiene a los números (2 )(−5)(−2 ) = 20 . 2

2→

La segunda diagonal principal contiene a los números (4)(7)(5) = 140 . La tercera diagonal principal contiene a los números (1)(−3)(6 ) = −18 . La suma de los productos es:

−5 → −2 , que al multiplicarlos se obtiene

4→7

1→

→ 5 , que al multiplicarlos se obtiene

−3 → 6 , que al multiplicarlos se obtiene

20 + 140 − 18 = 142

La primera diagonal secundaria contiene a los números 1 → −5 → 5 , que al multiplicarlos se obtiene (1)(−5)(5 ) = −25 La segunda diagonal secundaria contiene a los números (2)(7)(6) = 84

2

La tercera diagonal secundaria contiene a los números obtiene (4)(−3)(−2 ) = 24

→ 7 → 6 , que al multiplicarlos se obtiene

4→

−3 → −2 , que al multiplicarlos se

La suma de estos productos es −25 + 84 + 24 = 83 Finalmente la resta de los resultados es 5

4

−3 −5

1

7

−2

2

Por lo tanto

6

142 − 83 = 59

= 59

Dado el sistema de ecuaciones

⎧a11x + a12 y + a13 z = c1 ⎪ ⎨a21x + a 22 y + a 23 z = c 2 ⎪a x + a y + a z = c 32 33 3 ⎩ 31

 Matemáticas 2

a11 ≠ 0 o a12 ≠ 0 o a13 ≠ 0 a 21 ≠ 0 o a 22 ≠ 0 o a 23 ≠ 0 a31 ≠ 0 o a32 ≠ 0 o a33 ≠ 0

72

Sistemas de Ecuaciones Lineales

La solución del sistema viene dado por las fórmulas siguientes:

x =

c1 c2 c3

a12 a 22 a32

a13 a 23 a33

a11 a 21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

,

y =

a11 c1 a 21 c 2 a31 c 3

a13 a 23 a33

a11 a12 a 21 a 22 a31 a32

a13 a23 a33

,

z =

a11 a 21 a31

a12 a 22 a32

c1 c2 c3

a11 a 21 a31

a12 a 22 a32

a13 a 23 a33

Notación.-

c1 Al determinante c 2 c3

a12 a 22 a32

a13 a 23  se le llama delta x, que denotamos por ∆ x . a33

Notación.-

a11 c1 Al determinante a 21 c 2 a31 c 3

a13 a 23  se le llama delta y, que denotamos por ∆ y . a33

Notación.-

a11 Al determinante a 21 a31

a12 a 22 a32

c1 c 2  se le llama delta z, que denotamos por ∆ z . c3

Notación.-

a11 Al determinante a 21 a31

a12 a22 a32

a13 a 23  se le llama delta general del sistema, que denotamos a33

por ∆ .

Con esta notación podemos escribir la solución del sistema con el siguiente formato. x=

∆x , ∆

a11 La única restricción es que ∆ = a 21 a31

y= a12 a 22 a32

∆y ∆

z=

∆z ∆

a13 a 23 ≠ 0 , en caso contrario a33

diremos que el sistema no tiene solución o es inconsistente

Ejemplo.-

 Matemáticas 2

⎧x + y + z = 6 ⎪ Resolver por determinantes el sistema ⎨x + y − z = 4 ⎪x − y + z = 2 ⎩

73

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Utilizando las fórmulas se tiene.

Solución.-

x=

y=

z=

c1 c2 c3

a12 a 22 a32

a13 a23 a33

a12 a 22 a32

a13 a 23 a33

a11 c1 a 21 c 2 a31 c 3

a13 a 23 a33

a11 a12 a 21 a 22 a31 a32

a13 a 23 a33

a11 a12 a 21 a 22 a31 a32

c1 c2 c3

∆x = ∆ a11 a21 a31

∆y ∆

=

∆z = a11 a12 ∆ a 21 a 22 a31 a32

a13 a 23 a33

=

=

=

6

1

1

4

1

−1

2

−1

1

1

1

1

1

1

−1

1

−1

1

1

6

1

1

4

−1

1

2

1

1

1

1

1

1

−1

1

−1

1

1

1

6

1

1

4

1

−1

2

1

1

1

1

1

−1

1

−1

1

=

− 12 =3 −4

=

−8 =2 −4

=

−4 =1 −4

Por lo tanto, la solución del sistema es x = 3 , y = 2 , z = 1 .

 Matemáticas 2

74

Sistemas de Ecuaciones Lineales

9.4

Ejercicios

1.- Resolver los sistemas siguientes, empleando el método de reducción

1.-

⎧15x − y = 40 ⎨ ⎩19x + 8y = 236

solución:

x = 4,

y = 20

2.-

⎧9x + 7 y = −4 ⎨ ⎩11x − 13y = −48

solución:

x = -2,

y=2

3.-

⎧12x − 17 y = 104 ⎨ ⎩15x + 19y = −31

solución:

x = 3,

y = -4

4.-

⎧3x − ( 4y + 6 ) = 2y − ( x + 18 ) ⎨ 2x - 3 = x − y + 4 ⎩

solución:

x = 3,

y=4

5.-

⎧3x − 4y = 41 ⎨ ⎩11x + 6y = 47

solución:

x = 7,

y = -5

6.-

⎧x − y = 10 ⎪ ⎨ 3x − 20 2x + 5y ⎪ 2 = 3 ⎩

solución:

x = 8,

y = -2

7.-

⎧⎪ 56 x + 14 y = 7 ⎨2 ⎪⎩ 3 x − 18 y = 3

solución:

x = 6,

y=8

8.-

⎧ 3x + 4 y + 2 ⎪⎪x − 7 = 3 ⎨ ⎪2y − 5x + 4 = x + 24 ⎪⎩ 11 2

solución:

x = 8,

y = 10

9.-

2 ⎧x + y ⎪x − y = − 7 ⎪ ⎨ ⎪ 8x + y − 1 = 2 ⎪⎩ x − y − 2

solución:

x = -5,

y=9

10.-

2y − 5 4x + 1 ⎧ ⎪⎪x − 9 = 3 ⎨ ⎪y − 3y + 2 = x + 18 ⎪⎩ 7 10

solución:

x = 2,

y=4

 Matemáticas 2

75

Sistemas de Ecuaciones Lineales

2.-

Resolver los siguientes sistemas, empleando el método de igualación

1.-

⎧3x − 2 y = −2 ⎨ ⎩5x + 8y = −60

solución:

x = -4,

y = -5

2.-

⎧6x = y + 10 ⎨ ⎩5x + 2y = 14

solución:

x = 2,

y=2

3.-

⎧7x + 9y = 42 ⎨ ⎩12x + 10y = −4

solución:

x = -12,

y = 14

4.-

⎧15x − 11y = −87 ⎨ ⎩− 12x − 5y = −27

solución:

x= −

y=7

5.-

⎧4x + y = 5 ⎨ ⎩2x − 3y = 13

solución:

x = 2,

y = -3

6.-

⎧ 3x + 1 3y + 2 ⎪⎪ 5 = 4 ⎨ ⎪ 2 x − 1 + 3y − 2 = 2 ⎪⎩ 5 4

solución:

x = 3,

y=2

7.-

⎧12( x + 2y ) − 8( 2x + y ) = 2( 5x − 6y ) ⎨ ⎩20( x − 4y ) = −10

solución

x=

,

y=

1 4

8.-

⎧x y 1 ⎪⎪ 8 − 5 = −1 10 ⎨ ⎪ x + y = −1 19 40 ⎩⎪ 5 4

solución:

x = -8,

y=

1 2

9.-

⎧x ⎪⎪ 3 + 3y = 7 ⎨ ⎪ 4x − 2 = 3y − 4 ⎪⎩ 5

solución:

x = 3,

y=2

10.-

⎧ 4 x + y 6 x − 3y ⎪⎪ 5 − 3 + 3 = 0 ⎨ ⎪ 8x + 5y − 10x − y + 4 = 0 ⎪⎩ 2 7

solución:

x=

1 2

2 3

73 44

,

y = − 333 44

3.- Resolver los sistemas siguientes, empleando el método de sustitución

1.-

⎧x + 3y = 6 ⎨ ⎩5x − 2y = 13

 Matemáticas 2

solución:

76

x = 3,

y=1

Sistemas de Ecuaciones Lineales

2.-

⎧10x + 18y = −11 ⎨ ⎩16x − 9y = −5

solución:

x = − 12 ,

y = − 13

3.-

⎧5x + 2y = −19 ⎨ ⎩y − x = 1

solución:

x = -3,

y = -2

4.-

⎧3y + 2x = 1 ⎨ ⎩3x + 4y = −1

solución:

x = -7,

y=5

5.-

⎧− 13y + 11x = −163 ⎨ ⎩− 8x + 7 y = 94

solución:

x = -3,

y = 10

6.-

⎧x − 3 y − 4 ⎪⎪ 3 − 4 = 0 ⎨ ⎪x − 4 + y + 2 = 3 ⎪⎩ 2 5

solución:

x = 6,

y=8

7.-

⎧ 3x + 2y ⎪ x + y − 15 = −9 ⎪ ⎨ ⎪ 4x − 5(y − 1) = −1 ⎪⎩ 3 8

solución:

x = 3,

y=9

8.-

⎧ x − y 25 x + y ⎪⎪ 2 = 6 − 3 ⎨ ⎪x + y − 9 − y − x − 6 = 0 ⎪⎩ 2 3

solución:

x = 4,

y = -5

9.-

⎧ 8x 59 3y ⎪⎪ 3 − 6 = 2 ⎨ ⎪ 3x = −2y − 9 2 ⎩⎪ 4

solución:

x = 2,

y = -3

10.-

⎧x( y − 2 ) − y( x − 3 ) = −14 ⎨ ⎩y( x − 6 ) − x( y + 9 ) = 54

solución:

x = -2,

y = -6

4.-

Resolver los siguientes sistemas, empleando el método de determinantes

1.-

⎧ 7 x + 8 y = 29 ⎨ ⎩5x + 11y = 26

solución:

x = 3,

y=1

2.-

⎧13x − 31y = −326 ⎨ ⎩25x + 37 y = 146

solución:

x =-6,

y=8

3.-

⎧x + 2y = 7 ⎨ ⎩x + y = 4

solución:

x = 1,

y=3

 Matemáticas 2

77

Sistemas de Ecuaciones Lineales

4.-

⎧3x + 2 y = 5 ⎨ ⎩5x − 2 y = 3

solución:

x = 1,

y=1

5.-

⎧15x − 6y = 69 ⎨ ⎩26x − 6y = 102

solución:

x = 3,

y = -4

6.-

⎧x + 2 y − 3 5 ⎪⎪ 3 − 8 = 6 ⎨ ⎪ y − 5 − 2x − 3 = 0 ⎪⎩ 6 5

solución:

x = -1,

y = -1

7.-

3y ⎧x 1 ⎪⎪ 4 − 8 = 2 − 8 4 ⎨ ⎪ y − x − 2x + y = − 17 ⎪⎩ 3 2 24

solución:

x=

8.-

⎧(x − y ) − (6x + 8y ) = −(10x + 5y + 3) ⎨ ⎩(x + y ) − (9y − 11x ) = 2y − 2x

solución:

x = 5,

y=7

9.-

3y + 3 ⎧ x = − ⎪⎪ 4 ⎨ ⎪ y = − 1 + 5x ⎪⎩ 4

solución:

x = -9,

y = 11

10.-

⎧ 2x + 5 ⎪⎪ 17 − (5 − y ) = −60 ⎨ ⎪ y + 62 − (1 − x ) = 40 ⎪⎩ 2

solución:

x = 40,

y = -60

1 2

,

y=

1 4

Resolver los siguientes sistemas, empleando el método  gráfico. Especificar en caso de que se 5.traten de rectas paralelas o coincidentes. 1.-

⎧3x + 4y = 10 ⎨ ⎩2 x + y = 0

solución:

x = -2,

y=4

2.-

⎧ 2x + 5y = 4 ⎨ ⎩3x + 2y = −5

solución:

x = -3,

y=2

3.-

⎧5x + 6y = −9 ⎨ ⎩4x − 3y = 24

solución:

x = 3,

y = -4

4.-

⎧2x − 3y = 10 ⎨ ⎩10x − 15y = 5

solución:

rectas paralelas

5.-

⎧5x − 2y + 14 = 0 ⎨ ⎩8x − 5y + 17 = 0

solución:

x =-4,

 Matemáticas 2

78

y = -3

Sistemas de Ecuaciones Lineales

6.-

⎧5x + 10y = 25 ⎨ ⎩x + 2 y = 5

solución:

rectas coincidentes

7.-

⎧x − 2 y − 3 ⎪⎪ 2 − 3 = 4 ⎨ ⎪ y − 2 + x − 3 = − 11 ⎪⎩ 2 3 3

solución:

x = 4,

y = -6

8.-

1 ⎧x y ⎪⎪ 2 − 3 = − 6 ⎨ ⎪x + y = − 7 ⎪⎩ 3 4 12

solución:

x = -1,

y = -1

9.-

⎧ x + 3y = 6 ⎨ ⎩3x + 9y = 10

solución:

rectas paralelas

10.-

⎧2 x + y = 7 ⎨ ⎩14x + 7 y = 49

solución:

rectas coincidentes

6.-

1.-

Resolver los siguientes sistemas literales de dos ecuaciones con dos incógnitas. ⎧x y b ⎪ − = solución: x = a + b, y=b ⎨a b a ⎪x − y = a ⎩

2.-

⎧ a2 + b 2 + = ⎪x y ⎨ ab   ⎪ax − by = 2b ⎩

solución:

x=

3.-

⎧x ⎪⎪ a + y = 2b   ⎨ ⎪x − y = a − b ⎪⎩ b

solución:

x = ab,

y=b

4.-

⎧⎪x + y = a + b ⎨ ⎪⎩ax + by = a 2 + b 2

solución:

x = a,

y=b

5.-

⎧⎪mx − ny = m 2 + n 2 ⎨ ⎪⎩nx + my = m 2 + n 2

solución

x = m + n,

y=m-n

6.-

⎧3x + ay = 3a + 1 ⎪   ⎨x + ay = 2 ⎪⎩ a

solución:

x = a,

y=

 Matemáticas 2

79

a+b , a

y=

a−b b

1

a

Sistemas de Ecuaciones Lineales

7.-

⎧x y ⎪⎪ a + b = 0   ⎨ 2 2 ⎪ x + 2 y = 2b − a ⎪⎩ b a ab

solución:

x = -a,

y=b

8.-

⎧x − y = 2b ⎪   y ⎨ x + = 2 ⎪a + b a − b ⎩

solución:

x = a + b,

y=a-b

9.-

⎧⎪ax + by = 2a 2 − 3b 2 ⎨ ⎪⎩x + 2y = 2 a − 6b

solución:

x = 2a,

y = -3b

10.-

⎧⎪(a + b )x − (a − b )y = 4ab ⎨ ⎪⎩(a − b )x + (a + b )y = 2a 2 − 2b 2

solución:

x = a + b,

y=a-b

7.- Resolver los siguientes sistemas, empleando el método de reducción ⎧x + 4 y − z = 6 ⎪ 1.sol.: x = 1, y = 2, ⎨2 x + 5 y − 7 z = −9 ⎪3x − 2y + z = 2 ⎩

z=3

2.-

6x − 19 ⎧ ⎪z − 4 + 5 = − y ⎪ x − 2z ⎪ = 2y − 1 ⎨10 − 8 ⎪ ⎪4z + 3y = 3x − y ⎪ ⎩

sol.:

x = 4,

y = 5,

z = -2

3.-

⎧x − y − z = 10 ⎪ ⎨3x + y + 2z = 0 ⎪4x + 2y − 3z = 8 ⎩

sol.:

x = 3,

y = -5,

z = -2

4.-

⎧x y z ⎪2 + 2 − 3 = 3 ⎪ ⎪x y z ⎨ + − = −5 ⎪3 6 2 ⎪x y z ⎪ − + =0 ⎩6 3 6

sol.:

x = 6,

y = 12,

z = 18

5.-

⎧x + y + z = 6 ⎪ ⎨x − y + 2 z = 5 ⎪x − y − 3z = −10 ⎩

sol.

x = 1,

y = 2,

z=3

 Matemáticas 2

80

Sistemas de Ecuaciones Lineales

6.-

⎧x − y + z = 2 ⎪ ⎨x + y + z = 4 ⎪2x + 2y − z = −4 ⎩

sol.:

x = -1,

y = 1,

z=4

7.-

⎧x + 2y − 4z = −4 ⎪ ⎨3x + 2y + 2z = 3 ⎪2x + y − 4z = 0 ⎩

sol.:

x = 2,

y = -2,

z=

8.-

⎧x + y + z = 12 ⎪ ⎨2 x − y + z = 7 ⎪x + 2 y − z = 6 ⎩

sol.:

x = 4,

y = 4,

z=5

8.-

1.-

Resolver los siguientes sistemas, utilizando el método de igualación ⎧2x + y − 3z = −1 ⎪ sol.: x =1, y = 3, ⎨x − 3y − 3z = −12 ⎪3x − 2y − z = −5 ⎩

1 2

z=2

2.-

⎧ 2 x + 3y + z = 1 ⎪ ⎨6x − 2y − z = −14 ⎪3x + y − z = 1 ⎩

sol.:

x = -2,

y = 3,

y = -4

3.-

⎧x y z ⎪ 3 + 4 + 3 = 21 ⎪ ⎪x y z ⎨ + − =0 ⎪5 6 3 ⎪x y z ⎪ + − =3 ⎩10 3 6

sol.:

x = 30,

y = 12,

z = 24

4.-

⎧x + y + z = −1 ⎪ ⎨3x − y − 5z = 13 ⎪5x + 3y + 2z = 1 ⎩

sol.:

x = 1,

y = 0,

z = -2

5.-

y+2 ⎧ ⎪x − 5 = z + 4 ⎪ z+4 ⎪ = x−6 ⎨y − 2 ⎪ ⎪ x−7 ⎪z − 3 = y − 5 ⎩

sol.:

x = 10,

y =8,

z=4

6.-

⎧3x − y − z = 7 ⎪ ⎨x − 3y − z = 21 ⎪x − y − 3z = 27 ⎩

sol.:

x = -2,

y = -5,

z = -8

 Matemáticas 2

81

Sistemas de Ecuaciones Lineales

7.-

⎧ x + 2 y − 3z = 5 ⎪ ⎨3x − 22y + 6z = 4 ⎪7x − 6y − 3z = 15 ⎩

sol.:

x = 1,

y = − 12 ,

z = − 53

8..-

⎧2x − 3y − 4z = −10 ⎪ ⎨3x + 4y + 2z = −5 ⎪4x + 2y + 3z = −21 ⎩

sol.:

x = -5,

y = 4,

z = -3

9.-

1.-

Resolver los siguientes sistemas, utilizando el método de sustitución ⎧3x + 4y − 16z = 0 ⎪ sol.: x = 4, y = 5, ⎨5x − 8y + 10z = 0 ⎪2x + 6y + 7 z = 52 ⎩

z=2

2.-

y+z ⎧ ⎪x − 3 = 4 ⎪ x+z ⎪ = 10 ⎨y − 8 ⎪ ⎪ y−x =5 ⎪z − 2 ⎩

sol.:

x = 10,

y = 12,

z=6

3.-

⎧5x − 2y + z = 24 ⎪ ⎨2x + 5y − 2 z = −14 ⎪x − 4y + 3z = 26 ⎩

sol.:

x = 3,

y = -2,

z=5

4.-

⎧ 4 x + 2 y + 3z = 8 ⎪ ⎨3x + 4y + 2 z = −1 ⎪2 x − y + 5 z = 3 ⎩

sol.:

x = 5,

y = -3,

z = -2

5.-

⎧3x + 4y + 5z = −21 ⎪ ⎨x + y − z = −11 ⎪y − 8z = −20 ⎩

sol.:

x = -5,

y = -4,

z=2

6.-

⎧x + 2y + 2z = 11 ⎪ ⎨2 x + y + z = 7 ⎪3x + 4 y + z = 14 ⎩

sol.:

x = 1,

y = 2,

z=3

7.-

⎧x + 3y + 4z = 14 ⎪ ⎨x + 2 y + z = 7 ⎪2 x + y + 2 z = 2 ⎩

sol.:

x = -2,

y = 4,

z=1

8.-

⎧3x − 2y = 0 ⎪ ⎨3y − 4z = 25 ⎪z − 5x = −14 ⎩

sol.:

x = 2,

y = 3,

z = -4

 Matemáticas 2

82

Sistemas de Ecuaciones Lineales

10.-

Resolver los siguientes sistemas, empleando determinantes

1.-

⎧x + y y + 4 ⎪ 7 = 5 ⎪ ⎪x − z y − 4 = ⎨ 5 2 ⎪ ⎪y − z x + 2 ⎪ 3 = 10 ⎩

sol.:

x = 8,

y = 6,

z=3

2.-

y−z ⎧ ⎪x − y + 2 = 3 ⎪ ⎪x − y x − z − =0 ⎨ 4 ⎪ 2 ⎪y − z ⎪ 2 − x = −5 ⎩

sol.:

x = 6,

y = 4,

z=2

3.-

⎧2y + z = 9 ⎪ ⎨z − 2 y = 1 ⎪x + y + z = 1 ⎩

sol.:

x = -6,

y = 2,

z=5

4.-

⎧7x + 10y + 4z = −2 ⎪ ⎨5x − 2y + 6z = 38 ⎪3x + y − z = 21 ⎩

sol.:

x = 8,

y = -5,

z = -2

5.-

⎧2x + 3y = 12 ⎪ ⎨3x + 2z = 11 ⎪3y + 4z = 10 ⎩

sol.:

x = 3,

y = 2,

z=1

6.-

⎧x ⎪ 3 + y = 2z + 3 ⎪ ⎨x − y = 1 ⎪ y ⎪x + z = + 11 4 ⎩⎪

sol.:

x = 9,

y = 8,

z=4

7.-

⎧x + 4y + 5z = 11 ⎪ ⎨3x − 2y + z = 5 ⎪4x + y − 3z = −26 ⎩

sol.:

x = -2,

y = -3,

z=5

8.-

⎧4x + 7 y + 5z = −2 ⎪ ⎨6x + 3y + 7 z = 6 ⎪x − y + 9z = −21 ⎩

sol.:

x = 5,

y = -1,

z = -3

 Matemáticas 2

83

Sistemas de Ecuaciones Lineales

11.-

1.-

Resolver los siguientes sistemas no lineales por el método d e cambio de variable. ⎧1 2 7 ⎪x + y = 6 ⎪ sol.: x = 2, y=3 ⎨ ⎪2 + 1 = 4 ⎪⎩ x y 3

2.-

⎧1 1 ⎪x + y = 5 ⎪ ⎪1 1 ⎨ + =6 ⎪x z ⎪1 1 ⎪y + z = 7 ⎩

sol.:

x=

1 2

,

y=

1

3.-

1 ⎧ 3 47 + ⎪10x 3y = 1 60 ⎪ ⎨ ⎪ 6 + 1 =24 5 ⎪⎩ 5x 4y

sol.:

x=

2 3

,

y=

1 4

4.-

⎧2 2 m + n ⎪ x + y = mn ⎪   ⎨ ⎪m − n = 0 ⎪⎩ x y

sol.:

x = 2m,

5.-

⎧6 8 ⎪ x − y = −23 ⎪ ⎨ ⎪ 4 + 11 = 50 ⎪⎩ x y

sol.:

x=

6.-

⎧a b ⎪x + y = 2 ⎪ ⎨ ⎪ 2 − 3b = 2 − 3a ⎪⎩ x y a

sol.:

x = a,

y=b

7.-

⎧3 7 2 ⎪ x − 3y = 3 ⎪ ⎨ ⎪ 1 + 8 = 103 ⎪⎩ 4x y 84

sol.:

x = 3,

y=7

8.-

1 11 ⎧2 − = − ⎪ 5x 3y 45 ⎪ ⎨ ⎪ 1 − 3 =4 ⎪⎩10x 5y 5

sol.:

x = − 12 ,

y = − 35

 Matemáticas 2

84

2 3

,

3

,

y = 2n

y=

1 4

z=

1 4

Sistemas de Ecuaciones Lineales

12.-

Resolver los siguientes problemas:

1.Un hacendado compró 4 vacas y 7 caballos por $ 514 y más tarde, a los mismos precios, compró 8 vacas y 9 caballos por $ 818. Hallar el costo de una vaca y de un caballo. 2.La suma de la cifra de las decenas y la cifra de las unidades de un número es 12, y si al número se resta 18, las cifras se invierten. Hallar el número. 3.Si un número de dos cifras se disminuye en 17 y esta diferencia se divide por la suma de sus cifras, el cociente es 5, y si el número disminuido en 2 se divide por la cifra de las unidades disminuida en 2, el cociente es 19. Hallar el número. 4.$2 ?

Se tienen $ 120 en 33 monedas de a $ 5 y de $ 2. ¿Cuántas monedas son de $ 5 y cuántas de a

5.Un granjero prepara una mezcla de avena y maíz para alimentar a su ganado. Cada onza de avena contiene 4 gramos de proteínas y 18 gramos de carbohidratos, mientras que cada onza de maíz contiene 3 gramos de proteínas y 24 gramos de carbohidratos. ¿Cuántas onzas de cada uno pueden usarse para cumplir con los requerimientos nutricionales de 200 gramos de proteínas y 1320 gramos de carbohidratos por comida? 6.El denominador de una fracción excede al numerador en dos unidades. Si cada término de la fracción se aumenta en cinco unidades, la nueva fracción es 45 . Hallar la fracción. 7.Una llave puede llenar un tanque en 2 horas, una segunda llave puede llenarlo en 3 horas, y otra llave puede vaciarlo en 6 horas. Si el tanque está inicialmente vacío y se abren simultáneamente las tres llaves, ¿cuánto tiempo se necesitará para llenar el tanque?  A puede pintar una casa en 8 días y B puede hacerlo en 6 días, ¿cuánto tiempo necesitará B 8.para terminar el trabajo después de que ambos han trabajado juntos durante tres días?

9.Un tanque contiene 100Kg de salmuera con un contenido de sal del 5 %. ¿Cuántos kilogramos de agua pura deben evaporarse para obtener salmuera con un contenido de sal del 8 %? 10.-

¿A qué horas entre las 3 y las 4 quedan sobrepuestas las manecillas de un reloj?

11.-

¿A qué horas entre las 4 y las 5 forman un ángulo recto las manecillas de un reloj?

12.Un niño tiene cierta cantidad de dinero. Si se compra 10 lápices le quedarán 10 centavos; si se compra 4 cuadernos le quedarán 20 centavos; y si se compra 4 lápices y 3 cuadernos le quedarán 10 centavos. ¿Cuánto dinero tiene? 13.Una suma de dinero se repartió en cantidades iguales entre cierto número de niños. Si hubiera habido dos niños más, cada uno habría recibido $ 1 menos; si hubiera habido dos niños menos, cada uno habría recibido $ 2 más. Hallar el número de niños y la cantidad recibida por cada uno. 14.Tres personas pueden limpiar los cuartos de cierto hotel en 8 horas, pero 2 personas necesitarían 12 horas para limpiar todos los cuartos. Un día dos personas iniciaron el trabajo a tiempo pero la tercera llegó 3 horas más tarde, ¿cuánto tiempo tomaron las tres personas para terminar la limpieza?

 Matemáticas 2

85

Sistemas de Ecuaciones Lineales

15.Un número de dos cifras es igual a 8 veces la suma de sus dígitos; si los dígitos se invierten, el número resultante es 45 unidades menor que el número original. Hallar el número original. 16.La suma de los dígitos de un número de tres cifras es 6. Si se intercambian los dígitos de las centenas y las decenas el número resultante es 90 unidades mayor que el número original. Si se intercambian los dígitos de las decenas y las unidades el número resultante es 9 unidades mayor que el número original. ¿Cuál es el número? 17.Un agricultor puede arar un campo en cuatro días empleando un tractor. Su peón puede arar el mismo campo en seis días utilizando un tractor más chico. ¿Cuántos días se requieren para el arado, si ellos trabajan juntos? 18.El Sr. Pérez fue multado por ir con 17 millas por hora de exceso de velocidad. Si su velocidad hubiera sido 18 millas por hora más, entonces la velocidad sería el doble que la velocidad permitida. ¿Cuál es la velocidad permitida? 19.Para una fiesta de caridad se vendieron 802 entradas a los precios de 5, 10 y 25.Si se vendieron 10 veces más entradas de $ 5 que de $ 10 y el total de la venta fue $ 5000, ¿cuántas entradas se vendieron? 20.¿Cuántos alumnos hay en una clase si la tercera parte de ellos están leyendo, la cuarta parte escribiendo y los otros 20 resolviendo problemas? 21.En dos disquetes de alta densidad y tres de doble densidad se almacenó un programa de 4960 kilobytes; también se almacenó un programa de 2840 kilobytes en uno de alta densidad y dos de doble densidad. ¿Cuál es la capacidad en kilobytes de los disquetes de alta densidad y cuál la de los de doble densidad? 22.La colecta de la Cruz Roja en una escuela fue de $ 4500, si había 650 niños y cada uno aportó una moneda de $ 5 o una de $ 10 encuentra cuántas monedas de cada valor se aportaron. 23.Una impresora de matriz de puntos gasta nueve cintas para imprimir tres libros y dos álbumes; la misma impresora gastó 19 cintas para imprimir cuatro libros y cinco álbumes. ¿Cuántas cintas se necesitan para imprimir un libro y un álbum? 24.De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando dos niños por cada niña. Después se retiran 45 niños y quedan entonces cinco niñas por cada niño. Encontrar el número de niñas al comienzo. 25.Pedro, Juan y Carlos hacen un recorrido de 100 kilómetros así: Pedro y Carlos parten en un automóvil a una velocidad de 25 km/h., al mismo tiempo que Juan sale, a pie, a 5 km/h. A cierta distancia, Carlos se baja del carro y continúa caminando a 5 km/h. Pedro se regresa, recoge a Juan y continúa la marcha llegando al lugar de destino al mismo tiempo que Carlos. Encontrar el número de horas que emplearon en el viaje. 26.Encontrar e1 número de onzas de agua que se necesita para rebajar al 30 % el contenido de alcohol de una loción de afeitar de 9 onzas que contiene 50 % de alcohol. 27.Enrique comienza un viaje cuando las manecillas del reloj están superpuestas entre las 8 y las 9 a.m. Llega a su destino entre las 2 y las 3 p.m., cuando las manecillas del reloj forman un ángulo de 180 grados. Encontrar el tiempo que tardó el viaje

 Matemáticas 2

86

Sistemas de Ecuaciones Lineales

28.Un tren después de partir tiene un accidente que lo demora media hora; parte con una velocidad 34  de la que traía y llega con 3 12  horas de retardo. Si el accidente hubiera sucedido 90 kilómetros más adelante, habría llegado con 3 horas de retardo. Encontrar cuál era la distancia del viaje. 29.Dos velas de igual altura se encienden simultáneamente; la primera vela se consume en cuatro horas y la segunda en 3 horas. Suponiendo que cada vela se quema a una razón constante, ¿cuántas horas después de haber encendido las velas, la altura de la primera es el doble de la altura de la segunda? 30.Encontrar a qué hora entre las 7 y las 8, las manecillas de un reloj forman un ángulo de 84 grados, con aproximación al minuto más cercano.

31.Juan le dice a Pedro, ¿Qué edad tengo, si tengo el doble de la que tú tenías cuando yo tenía la que tú tienes, sabiendo que cuando tú tengas la que yo tengo, entre los dos tendremos 63 años? 32.Un capitán ha colocado los soldados de su compañía en un cierto número de filas de igual número de hombres cada una, si hubiera formado una fila más tendría que haber puesto un hombre menos en cada fila, y, por el contrario, para hacer 3 filas menos tendría que haber puesto 5 soldados más en cada fila. Hallar el número de filas que formó y el número de soldados que formaban en cada fila. 33.Mi novia tiene tantas hermanas como hermanos, y mi amigo Diego, hermano de mi novia, tiene doble número de hermanas que de hermanos. ¿Cuántos cuñados y cuñadas tendré el día que me case, por parte de mi mujer? 34.Tenía en una vasija 3 litros de leche caliente, y añadí 4 litros de café, resultando la mezcla a una temperatura de 29 grados. En otra vasija que contenía 8 litros de leche a igual temperatura que la anterior, eché 6 litros del mismo café, y la temperatura resultante fue de 27 grados. ¿A qué temperatura estaban la leche y el café antes de ser mezclados? 35.Si al doble de la edad de  A se suma la edad de B, se obtiene la edad de C  aumentada en 32 años. Si al tercio de la edad de B se suma el doble de la de C , se obtiene la de  A aumentada en 9 años, y el tercio de la suma de las edades de  A y B es 1 año menos que la edad de C . Hallar las edades respectivas. 36.Un profesor, a fin de estimular a sus discípulos, les da cierta cantidad de dinero por cada problema de Geometría que sacan bien, y otra cantidad distinta por cada uno de Aritmética; pero con la condición de que por cada problema que no saquen pagarán ellos una cantidad igual a la que recibirían sacándole bien. Un día que puso 3 problemas de Aritmética y 2 de Geometría, un discípulo que no supo resolver uno de los de Geometría recibió $ 6, y otro que sacó uno de Aritmética y los dos de Geometría, no recibió nada. ¿Cuánto daba el profesor por resolver un problema de Aritmética y cuánto daba por uno de Geometría?

37.La suma de las edades de Eduardo y Juan es 70. Eduardo tiene el doble de la edad que Juan tenía cuando Eduardo tenía la mitad de la edad que Juan tendrá cuando Juan tenga el triple de la edad que Eduardo tenía cuando Eduardo tenía el doble de la edad de Juan. ¿Cuántos años tienen ahora Eduardo y Juan?

 Matemáticas 2

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

38.En una ocasión se le preguntó al matemático Alfa que cuántos alumnos había tenido en las tres universidades donde había dado clases antes de retirarse. Alfa contestó: “Sólo recuerdo que en la primera universidad donde trabajé tuve la décima parte de los alumnos que he tenido, en la segunda tuve varios séptimos del total y en la tercera universidad tuve 399 alumnos”. ¿Cuántos alumnos tuvo Alfa en total? 39.Una cinta de video se puede grabar en tres velocidades: SP, LP y EP. En cada una, la duración es de 2 horas, 4 horas y 6 horas; respectivamente. Si en una cinta se grabó 1 hora en SP y 30 minutos en LP, ¿cuánto le resta para grabar en i) EP? Si una cinta se grabó x horas en SP, x horas en LP y x horas en EP, ¿cuál es el valor de x? ii)

40. A, B y C  trabajando conjuntamente realizan una tarea de 6 horas. A y B pueden realizarla en 9 horas. B y C   pueden realizarla en 12 horas. ¿Cuánto tiempo tardará en realizar la misma tarea cada uno de los hombres trabajando solos? 41.Para el partido de fútbol entre “aguiluchos” y “pumas”, la entrada de estudiante cuesta $20 y la entrada general $35. Si se vendieron 418 entradas y se recaudaron $11960, ¿cuántas entradas se vendieron de cada tipo? 42.Juvenal trabaja en una empresa que fabrica camiones. Unos llevan 8 ruedas y 6 focos, otros llevan 6 ruedas y 4 focos. Sabiendo que este año han utilizado 170 ruedas y 120 focos. ¿Cuántos camiones de cada clase fueron producidos? 43.Calcular la medida de los tres lados de un triángulo, sabiendo que: la suma de esas longitudes dos a dos da: 25, 29 y 40 cm. 44.i) ii) iii)

Hallar un número natural de tres dígitos sabiendo que: La suma de sus dígitos es 19 El doble de la cifra de las centenas es igual a la de las unidades. Los dígitos correspondientes a decenas y unidad son consecutivos

45.La suma de las edades de Andrea, Beatriz y Carolina es 48 años. Además, la diferencia entre las edades de Beatriz y Carolina es igual a la diferencia entre las edades de Andrea y Beatriz. Si multiplicamos por 2 la edad de Carolina y a este resultado le sumamos la edad de Andrea, se obtiene 46. ¿Qué edad tiene cada persona? 46.En un juego de tiro al blanco se tienen tres zonas. Para cada juego el tirador dispone de 20 tiros. Se sabe que si pega: 10 tiros en A, 8 en B y 2 en C, su puntaje es 1440 puntos. 15 tiros en A, 5 en B y ninguno en C, su puntaje es 1750 puntos. 18 tiros en A, 1 en B y 1 en C, su puntaje es 1870 puntos. ¿Qué puntaje tiene cada zona?

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88

Capitulo 10 NÚMEROS COMPLEJOS 10.1

Introducción En el capítulo 8 al definir el concepto de ecuación, discutimos el siguiente ejemplo. Consideremos la ecuación x 2 + 1 = 0 definida en

Ejemplo.-

ℝ. ¿Cuál es el

conjunto solución?

Solución.Dado que ningún número real elevado al cuadrado nos da una cantidad negativa. El conjunto solución es S = Ø. Lo mismo sucede si intentamos resolver las siguientes ecuaciones. x2 + 4 = 0 x2 + 6 = 0 x2 + 8 = 0 x 2 + 100 = 0   etc. Para que dichas ecuaciones pudieran tener solución necesitamos “ampliar” a los números reales a un nuevo conjunto ℂ, llamado sistema de los números complejos. El conjunto ℂ con operaciones de suma y producto deberá cumplir con las condiciones siguientes: 1.-

El conjunto

ℂ contiene

operaciones usuales de 2.-

a

ℝ y

cuando restringimos las operaciones de

las

ℝ.

Toda ecuación x 2 + a = 0 con a > 0 tiene solución en

10.2

ℂ a ℝ obtenemos

ℂ.

Definición de número complejo

Definición.- Un número complejo Z  es un par ordenado de números reales ( a, b) y cada par ordenado es un número complejo Z. El conjunto de los números complejos, según esto puede escribirse así. ℂ = {Z/

(

2 ,7

Z=(a, b) y a,b∈ℝ}

), (−3.4 ,−12) , (8 ,8)  y ⎛ ⎜⎜

3 ,

2

+

5  ⎞

⎟  son números complejos. ⎟  ⎠

Ejemplo.-

(1, 2),

Definición.-

El número real a puede escribirse como (a ,0) , es decir a = (a ,0) .

 Matemáticas 2

⎝ 

89

3

Números Complejos

Definición.y b  = d .

Para cada Z1 , Z2 ∈ ℂ con Z1 = (a , b )  y Z2 = (c , d ) , entonces Z1 = Z 2 si y sólo si a = c

Ejemplo.-

(3 ,2 + 7 ) =

Ejemplo.-

Si (x ,5) = (2 , q ) entonces x = 2  y q = 5

10.3

9 ,9

 ya que 3 =

9

 y

2+7

=9.

Suma y Multiplicación de números complejos

Definición.-

Sean Z1 , Z 2 ∈ ℂ con Z1 = (a , b )  y Z2 = (c , d ) , entonces. Z1 + Z2 = (a , b ) + (c , d ) = (a + c , b + d )

Observemos que la suma de números complejos, está definida en términos de la suma de números reales. Ejemplo.-

Si Z1 = (3,2) y Z 2 = (− 5 ,7) , encontrar Z1 + Z2

Solución.-

Z1 + Z2 = (3 ,2 ) + (−5 ,7 ) = (3 + [−5] ,2 + 7 ) = (−2 ,9 ) .

Definición.-

Sean Z1 , Z 2 ∈ ℂ con Z1 = (a , b )  y Z2 = (c , d ) , entonces. Z1 ⋅ Z 2 = (a , b ) ⋅ (c , d ) = (ac − bd , ad + bc )

Observemos que el producto de números complejos, está dado en términos de dos operaciones con números reales, a decir suma y producto. Ejemplo.Solución.-

Si Z1 = (2 ,5) y Z 2 = (7 ,3) , encontrar Z1 ⋅ Z 2 Z1 ⋅ Z2 = (2 ,5) ⋅ (7 ,3) = (2 ⋅ 7 − 5 ⋅ 3 ,2 ⋅ 3 + 5 ⋅ 7 ) = (14 − 15 ,6 + 35 ) = (− 1,41)

Mostremos que cuando la suma y el producto de números complejos se restringen a números reales, dicha suma y producto es compatible con lo que ya conocemos. En efecto. I.-

Sean Z1 , Z2 ∈ ℂ con Z1 = (a ,0) y Z2 = (c ,0) , entonces. Z1 + Z 2 = (a ,0 ) + (c ,0 ) = (a + c ,0 + 0 ) = a + c

II.-

Sean Z1 , Z2 ∈ ℂ con Z1 = (a ,0) y Z2 = (c ,0) , entonces. Z1 ⋅ Z2 = (a ,0 ) ⋅ (c ,0 ) = (ac − 0 ⋅ 0 , a ⋅ 0 + 0 ⋅ c ) = (ac ,0 ) = ac

Mostremos ahora que la suma y el producto de números complejos cumplen con los axiomas de cerradura, conmutativa, asociativa y distributiva.

 Matemáticas 2

90

Números Complejos

10.3.1

Cerradura para la suma y multiplicación de números complejos

Afirmación.-

Sean Z1 , Z 2 ∈ ℂ con Z1 = (a , b )  y Z2 = (c , d ) , entonces.

1.-

Z1 + Z2 ∈ ℂ

2.-

Z1 ⋅ Z 2 ∈ ℂ

Demostración.1.Z1 + Z2 = (a , b ) + (c , d ) = (a + c , b + d ) = (e , f )∈ ℂ

ya que como a, b, c y d∈ℝ e = a + c ∈ ℝ y  f  = b + d ∈ ℝ. 2.-

Z1 ⋅ Z2 = (a , b ) ⋅ (c , d ) = (ac − bd , ad + bc ) = (e , f )∈ ℂ ya que como a, b, c y d∈ℝ e = ac − bd ∈ ℝ y  f  = ad + bc ∈ ℝ.

10.3.2

Conmutativa para la suma y multiplicación de números complejos

Afirmación.- Sean Z1 , Z 2 ∈ ℂ con Z1 = (a , b )  y Z2 = (c , d ) , entonces. 1.Z1 + Z2 = Z 2 + Z1 2.Z1 ⋅ Z2 = Z2 ⋅ Z1 Demostración.1.Z1 + Z 2 = (a , b ) + (c , d ) = (a + c , b + d ) = (c + a , d + b ) = (c , d ) + (a , b ) = Z2 + Z1

2.-

Z1 ⋅ Z2 = (a , b ) ⋅ (c , d ) = (ac − bd , ad + bc ) = (ca − db , da + cb ) = (ca − db , cb + da) = (c , d ) ⋅ (a , b ) = Z2 ⋅ Z1

10.3.3

Asociativa para la suma y multiplicación de números complejos

Afirmación.- Sean Z1 , Z2 y Z3 ∈ ℂ con Z1 = (a , b ) , Z2 = (c , d )  y Z3 = (e , f ) , entonces. 1.Z1 + (Z 2 + Z3 ) = (Z1 + Z 2 ) + Z3 2.Z1 ⋅ (Z 2 ⋅ Z3 ) = (Z1 ⋅ Z2 ) ⋅ Z3 Demostración.1.Z1 + (Z 2 + Z3 ) = (a , b ) + [(c , d ) + (e , f )] = (a , b ) + [(c + e , d +  f )] = (a + [c + e] , b + [d +  f ]) = ([a + c ] + e ,[b + d ] +  f ) = (a + c , b + d ) + (e , f ) = (Z1 + Z 2 ) + Z3

2.-

Z1 ⋅ [Z 2 ⋅ Z3 ] = (a , b ) ⋅ [(c , d ) ⋅ (e , f )] = (a , b ) ⋅ [(ce − df  , cf  + de)] = (a[ce − df ] − b[cf  + de] , a[cf  + de] + b[ce − df ]) = (ace − adf  − bcf  − bde , acf  + ade + bce − bdf ) = (ace − bde − adf  − bcf  , acf  − bdf  + ade + bce ) = ([ac − bd ]e − [ad + bc ] f  ,[ac − bd] f  + [ad + bc ]e ) = ([ac − bd ] , [ad + bc ]) ⋅ (e , f ) =  [( a , b ) ⋅ (c , d )]⋅ ( e , f ) = [Z1 ⋅ Z 2 ]⋅ Z3

 Matemáticas 2

91

Números Complejos

10.3.4

Distributiva de los números complejos

Afirmación.- Sean Z1 , Z 2 y Z3 ∈ ℂ  con Z1 ⋅ (Z 2 + Z3 ) = Z1 ⋅ Z 2 + Z1 ⋅ Z3

Z1 = (a , b ) ,

Z 2 = (c , d )

y

Z3 = (e , f ) ,

entonces

Demostración.-

Z1 ⋅ (Z 2 + Z3 ) = (a , b ) ⋅ [(c , d ) + (e , f )] = (a , b ) ⋅ [(c + e , d +  f )] = (a[c + e] − b[d +  f ] , a[d +  f ] + b[c + e ]) = (ac + ae − bd − bf  , ad + af  + bc + be ) = (ac − bd + ae − bf  , ad + bc + af  + be ) = (ac − bd , ad + bc ) + (ae − bf  , af  + be ) = (a , b ) ⋅ (c , d ) + (a , b ) ⋅ (e , f ) = Z1 ⋅ Z2 + Z1 ⋅ Z3

10.3.5

Existencia de neutro aditivo y multiplicativo

Afirmación.-

Sean Z1 ∈ ℂ con Z1 = (a , b ) entonces existe un número complejo único Z1∗ tal que

Z1 + Z1∗ = Z1 Demostración.- Consideremos a Z1∗ = (c , d ) , tal que Z1 + Z1∗ = Z1 , entonces:

Z1 + Z1∗ = (a , b ) + (c , d ) = (a + c , b + d ) = (a , b ) Pero esto es posible si y sólo si a + c = a y b + d = b , despejando c y d se obtiene c = 0 y d = 0 . Es decir Z1∗ = (0 ,0) . Por lo tanto el neutro aditivo de cualquier complejo Z es el número (0 ,0 ) .

Afirmación.-

Sean Z1 ∈ ℂ con Z1 = (a , b ) entonces existe un número complejo único Z1∗ tal que

Z1 ⋅ Z1∗ = Z1 Demostración.- Consideremos a Z1∗ = (c , d ) , tal que Z1 ⋅ Z1∗ = Z1 , entonces:

Z1 ⋅ Z1∗ = (a , b ) ⋅ (c , d ) = (ac − bd , ad + bc ) = (a , b ) ⎧ac − bd = a Pero esto es posible si y sólo si ac − bd = a  y ad + bc = b , resolviendo el sistema ⎨ para c y d ⎩ad + bc = b se obtiene c = 1 y d = 0 . Es decir Z1∗ = (1,0) .

Por lo tanto el neutro multiplicativo de cualquier complejo Z es el número (1 ,0 ) .

 Matemáticas 2

92

Números Complejos

10.3.6

Existencia de inverso aditivo y multiplicativo

Afirmación.-

Sean Z1 ∈ ℂ con Z1 = (a , b ) entonces existe un número complejo único Z1∗ tal que

Z1 + Z1∗ = (0 ,0 ) Demostración.- Consideremos a Z1∗ = (c , d ) , tal que Z1 + Z1∗ = (0 ,0)

Z1 + Z1∗ = (a , b ) + (c , d ) = (a + c , b + d ) = (0 ,0 ) Pero esto es posible si y sólo si a + c = 0  y b + d = 0 , despejando c y d se obtiene c = − a y d = −b . Es decir Z1∗ = (− a ,−b ) . Por lo tanto el inverso aditivo de cualquier complejo Z es el número (−a −  , b ) . Afirmación.-

(− a ,−b ) = (−1 ,0 ) ⋅ (a , b ) = −( a , b )

Demostración.(− 1 ,0) ⋅ (a , b ) = −(a , b ) = (− 1 ⋅ a − 0 ⋅ b ,−1 ⋅ b + 0 ⋅ a ) = (− a ,−b ) Esta afirmación nos dice que el inverso aditivo de Z1 = (a , b )   es el número complejo −Z1 = (− a ,−b ) = −(a , b )

Ejemplo.Solución.-

Encontrar el inverso aditivo de Z = (2  − , 4) El inverso aditivo de Z = (2  − , 4 )  es −Z = (−2 ,−[−4]) = (−2 ,4)

Afirmación.-

Sean Z1 ∈ ℂ con Z1 = (a , b ) entonces existe un número complejo único Z1∗ tal que

Z1 ⋅ Z1∗ = (1,0) Demostración.- Consideremos a Z1∗ = (x , y ) , tal que Z1 ⋅ Z1∗ = (1,0)

Z1 ⋅ Z1∗ = (a , b ) ⋅ (x , y ) = (ax − by , ay + bx ) = (1,0) ⎧ax − by = 1 Pero esto es posible si y sólo si ax − by = 1  y ay + bx = 0 , resolviendo el sistema ⎨ para x e ⎩bx + ay = 0 y se obtiene. a −b x= 2  , y= 2 2 a +b a + b2

− b  ⎞ ⎛  a  , 2 Es decir Z1∗ = ⎜ 2 ⎟. 2 ⎝ a + b a + b 2  ⎠ − b  ⎞ ⎛  a  , 2 Por lo tanto el inverso multiplicativo de cualquier complejo Z es el número ⎜ 2 ⎟. 2 ⎝ a + b a + b 2  ⎠ Notación.-

Z1−1 =

1

Z1

=

Al inverso multiplicativo del complejo − b  ⎞ ⎛  a =⎜ 2  , ⎟ (a , b ) ⎝  a + b 2 a 2 + b 2  ⎠

 Matemáticas 2

1

93

Z1 = (a , b )   lo

denotamos

como

Números Complejos

− 5  ⎞ ⎛  3 − 5 ⎞ ⎛  3  , 2 El inverso multiplicativo de Z = (3 ,5) es Z −1 = ⎜ 2 ⎟ = ⎜  , ⎟ .ya que 2 ⎝ 3 + 5 3 + 5 2  ⎠ ⎝ 34 34  ⎠

Ejemplo.-

Z ⋅ Z −1 = (1 ,0) . Verifiquemos que en efecto Z ⋅ Z −1 = (1 ,0 ) ⎛  3 − 5 ⎞ ⎛  ⎡ 3 ⎤ ⎡ − 5 ⎤ ⎡ − 5 ⎤ ⎡ 3 ⎤ ⎞ Z ⋅ Z −1 = (3 ,5) ⋅ ⎜  , ⎟ = ⎜⎜ 3⎢ ⎥ − 5⎢ ⎥ ,3⎢ ⎥ + 5⎢ ⎥ ⎟⎟ ⎝ 34 34  ⎠ ⎝  ⎣ 34 ⎦ ⎣ 34 ⎦ ⎣ 34 ⎦ ⎣ 34 ⎦ ⎠ ⎛  9 25 − 15 15 ⎞ ⎛ 34 0  ⎞ = ⎜ +  , + ⎟ = ⎜  , ⎟ = (1 ,0) ⎝ 34 34 34 34 ⎠ ⎝ 34 34 ⎠

Como ya sabemos encontrar el inverso aditivo y multiplicativo de un número complejo, podemos definir la resta y división de complejos.

10.4

Resta y División de números complejos

Definición de Resta.-

Sean Z1 , Z 2 ∈ ℂ con Z1 = (a , b )  y Z2 = (c , d ) , entonces.

Z1 − Z 2 = Z1 + [− Z 2 ] = (a , b ) − (c , d ) = (a , b ) + (− c ,−d ) = (a − c , b − d ) Ejemplo.-

Si Z1 = (7 ,8) y Z 2 = (3,−11) , encontrar Z1 − Z 2  y Z 2 − Z1 .

Solución.-

Z1 − Z 2 = (7 ,8) − (3 ,−11) = (7 − 3 ,8 − [−11]) = (4 ,19 )

Definición de División.-

Sean Z1 , Z2 ∈ ℂ con Z1 = (a , b )  y Z 2 = (c , d ) , c , d ≠ 0 entonces. Z1 = Z1 ⋅ Z 2−1 Z2 Z1 Z2

Ejemplo.-

Si Z1 = (5 ,3) y Z 2 = (1,3) , encontrar

Solución.-

Z1 − 3  ⎞ ⎛  1 ⎛  1 − 3 ⎞ = Z1 ⋅ Z2−1 = (5 ,3) ⋅ ⎜ 2 2  , 2 2 ⎟ = (5 ,3) ⋅ ⎜  , ⎟ Z2 ⎝ 10 10  ⎠ ⎝ 1 + 3 1 + 3  ⎠ ⎛  ⎡ 1 ⎤ ⎡ − 3 ⎤ ⎡ − 3 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎞ = ⎜⎜ 5⎢ ⎥ − 3⎢ ⎥ ,5⎢ ⎥ + 3⎢ ⎥ ⎟⎟ ⎝  ⎣10 ⎦ ⎣ 10 ⎦ ⎣ 10 ⎦ ⎣10 ⎦ ⎠ ⎛  5 9 − 15 3  ⎞ = ⎜ +  , + ⎟ ⎝ 10 10 10 10 ⎠ ⎛ 14 − 12 ⎞ = ⎜  , ⎟ ⎝ 10 10  ⎠ ⎛ 7 − 6 ⎞ = ⎜  , ⎟ ⎝ 5 5  ⎠

 Matemáticas 2

94

Números Complejos

10.5

Solución de la ecuación

x + a = 0

a>0

2

Primero resolvamos la ecuación x 2 + 1 = 0 . Como ya vimos anteriormente, dicha ecuación no tiene solución para el conjunto de los números reales, sin embargo después de conocer a los números complejos imaginemos que en este nuevo conjunto tal ecuación si tiene solución. Supongamos que la ecuación x 2 + 1 = 0 está definida para solución de tal ecuación.

ℂ,

es decir, sea x∈ℂ  con x = (a , b ) la

Como x = (a , b ) es la solución de x 2 + 1 = 0 , entonces x 2 = −1 , es decir x 2 = (a , b ) ⋅ (a , b ) = (− 1 ,0 ) . Realizando el producto de complejos. x 2 = (a , b ) ⋅ (a , b ) = (− 1 ,0) = (a ⋅ a − b ⋅ b , ab + ba ) = (− 1 ,0)

(

)

= a 2 − b 2 ,2ab = (− 1 ,0) Esta igualdad de complejos nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones ⎧⎪a 2 − b 2 = −1 ⎨ ⎪⎩2ab = 0 Este sistema lo resolvemos por casos, ya que 2 ab = 0  si y sólo si a = 0  o b = 0 . Caso 1.-Si a = 0 , entonces 0 2 − b 2 = −1, de donde b = 1 y el complejo solución es x  = (0 ,1) . Caso 2.-Si b = 0 , entonces a 2 − 0 = −1, de donde a 2 = −1 y como ya vimos esta igualdad no tiene sentido para los números reales, ya que recordemos que a, b∈ℝ. Por lo tanto la solución para x 2 + 1 = 0 es el complejo x = (0 ,1) . Definición.-

Al complejo (0 ,1 ) lo llamaremos unidad imaginaria i. i. Es decir i  = (0 ,1) donde

i 2 = (0 ,−1) = −1 . Probemos que el complejo complejo −i , también también es solución de la la ecuación. ecuación. Para esto basta con con verificar verificar que que 2 (− i ) = (0 ,−1) = −1 . En efecto: (− i )2 = [− i] ⋅ [− i] = [− (0 ,1)] ⋅ [− (0 ,1)] = (0 ,−1) ⋅ (0 ,−1) = (0 ⋅ 0 − [− 1][− 1] ,0[− 1] + [− 1]0 ) = (0 − 1 ,0) = (− 1,0 ) = −1 Es decir, las soluciones de la ecuación x 2 + 1 = 0 son x = i  y x = −i De este hecho se tiene lo siguiente. 1.i 2 = −1 (− i )2 = −1 2.-

 Matemáticas 2

95

Números Complejos

Si aplicamos la definición de radical, quiere decir que i  y −i son raíces cuadradas de −1 , es decir. ⎧i −1 = ⎨ ⎩− i

Eso significa que las raíces cuadradas de números negativos ya tiene sentido en los números complejos. Para cualquier número real a, a > 0 las dos raíces cuadradas de − a son i a y

Afirmación.-

−i a Demostración.- Para probar la afirmación, basta con mostrar las siguientes igualdades.

1.2.-

(i a ) = −a (− i a ) = −a 2

2

( )

En efecto. i a

2

= i2

( a)

2

(

= −1⋅ a = − a  y − i a

)

2

 ( a )

= (− i )2

Ejemplo.-

Hallar las raíces cuadradas de -16.

Solución.-

Por la afirmación anterior se tiene

2

= −1⋅ a = − a

⎧⎪i 16 = 4i − 16 = ⎨ ⎪⎩− i 16 = −4i

Ahora podemos resolver la ecuación x 2 + a = 0 . Para eso podemos despejar x y queda x 2 = − a , y esta igualdad implica encontrar un número complejo que elevado al cuadrado nos de − a . Por la afirmación anterior, las soluciones de la ecuación son los números complejos i a  y − i a .

10.6

Forma rectangular del número complejo (a , b )

En ocasiones es útil representar a un número complejo (a , b ) en la forma a + bi , que es llamada  forma rectangular  del  del número. Afirmación.Demostración.-

Para cada Z = (a , b ) ∈ ℂ, Z = (a , b ) = a + bi

(a , b ) = (a + 0 , b + 0 ) (a , b ) = (a + 0 ,0 + b ) (a , b ) = (a ,0 ) + (0 , b ) (a , b ) = a + (0 , b ) (a , b ) = a + b ⋅ (0 ,1)

(a , b ) = a + bi

 Matemáticas 2

96

Números Complejos

Ejemplo.-

(3 ,2) = 3 + 2i (−4 ,−5) = −4 − 5i ⎛ 2  ⎞ 2 ⎜  , 3 ⎟ = + i 3 ⎝ 3  ⎠ 3 (7 ,0) = 7 + 0i = 7 (0 ,6 ) = 0 + 6i = 6i

Definición.-

1.2.-

Sea Z = a + bi , se tiene lo siguiente.

Si b = 0 , Z = a y es llamado número real puro. Si a = 0 , Z = bi y es llamado número imaginario puro.

Definición.- Dado el número complejo Z = a + bi , a es llamada  parte real de Z y a b la  parte imaginaria del número. Notación.-

La parte real del número Z = a + bi  lo denotamos Re Z = a .

Notación.-

La parte imaginaria de Z = a + bi  lo denotamos Im Z = b

Una de las ventajas de escribir los números complejos en forma rectangular es que la suma, resta y multiplicación se pueden efectuar sin referirse en términos de pares ordenados, es decir se pueden realizar exactamente como si estuviésemos trabajando con expresiones que representasen números reales. Ejemplo.a) b) c)

Sean Z1 = (2 ,5) y Z 2 = (−3,7 ) .encontrar.

Z1 + Z 2 Z1 − Z 2 Z1 ⋅ Z 2

Solución.-

Escribimos a Z1 y Z 2 en su forma rectangular Z1 = 2 + 5i Z2 = −3 + 7i

a)

Z1 + Z2 = (2 + 5i ) + (−3 + 7i ) = 2 + 5i − 3 + 7i = 2 − 3 + 5i + 7i = −1 + 12i

b)

Z1 − Z2 = (2 + 5i ) − (− 3 + 7i ) = 2 + 5i + 3 − 7i = 2 + 3 + 5i − 7i = 5 − 2i

c)

Z1 ⋅ Z2 = (2 + 5i )(− 3 + 7i ) = 2(− 3) + 2(7i ) + (5i )(− 3) + (5i )(7i ) = −6 + 14i − 15i + 35i 2 = −6 + 14i − 15i + 35(− 1) = −6 + 14i − 15i − 35 = −6 − 35 + 14i − 15i = −41 − i

Para dividir números complejos introducimos un nuevo concepto, llamado complejo conjugado.

 Matemáticas 2

97

Números Complejos

Z = a + bi   es

Definición.- El conjugado del número complejo a + (−b )i = a − bi .

el número complejo

Notación.-

El conjugado del número complejo Z se representa por Z . Es decir Z = a − bi

Afirmación.-

Sea Z ∈ ℂ con Z = a + bi , entonces Z ⋅ Z = a 2 + b 2

Demostración.- Para probar la afirmación, calculemos el producto propuesto. Z ⋅ Z = (a + bi )(a − bi ) = a 2 − abi + abi − b 2i 2

= a 2 − abi + abi − b 2 (− 1) = a 2 − abi + abi + b 2 = a 2 + b 2 − abi + abi = a2 + b2 Para realizar la división de dos complejos, recordemos que la definición de división. Sean Z1 , Z2 ∈ ℂ con Z1 = (a , b )  y Z 2 = (c , d ) , c , d ≠ 0 entonces. Z1 = Z1 ⋅ Z 2−1 Z2

Definición de División.-

− d  ⎞ ⎛  c  , 2 Pero el inverso multiplicativo de Z 2 es Z 2−1 = ⎜ 2 ⎟. 2 ⎝ c + d c + d 2  ⎠ Si escribimos esta expresión en su forma rectangular queda así. − d  ⎞ c di ⎛  c − 2 Z 2−1 = ⎜ 2  , 2 ⎟= 2 2 2 2 c + d2 ⎝ c + d c + d  ⎠ c + d Y manipulando esta expresión, queda la expresión siguiente. Z2−1 =

c c +d 2

2

−

Finalmente la división

Z2 1 ⎛  1  ⎞ =⎜ 2 ⋅ Z2 = ⎟(c − di ) = 2 c +d Z 2 ⋅ Z2 Z2 ⋅ Z2 ⎝ c + d  ⎠ di

2

2

Z1 Z2 Z ⋅Z = Z1 ⋅ Z 2−1 = Z1 ⋅ = 1 2 Z2 Z 2 ⋅ Z2 Z2 ⋅ Z 2

Z1  puede encontrarse así Z2

Esta última igualdad nos permite calcular la división de dos complejos de manera más sencilla, basta con multiplicar al numerador y denominador por el conjugado del denominador. Z1 Z  y 2 . Z2 Z1

Ejemplo.-

Sean Z1 = 2 + 5i y Z 2 = −3 + 7i , calcular

Solución.-

(2 + 5i )(−3 − 7i ) 2(−3) + 2(−7i ) + (5i )(−3) + (5i )(−7i ) Z1 2 + 5i = = = Z2 − 3 + 7i (− 3 + 7i )(− 3 − 7i ) (− 3)2 + (7 )2 − 6 − 14i − 15i − 35i 2 − 6 − 29i − 35(− 1) − 6 − 29i + 35 = = = 9 + 49 58 58 1 1 −6 + 35 − 29i 29 − 29i 29 29 = = = − i= − i 58

 Matemáticas 2

58

58

58

98

2

2

Números Complejos

10.7

Representación geométrica de

Llevó más de doscientos años el que los matemáticos aceptaran completamente el concepto de número complejo como algo lógicamente ortodoxo. Aunque dichos números fueron analizados en un libro de álgebra, publicado en 1572, no fue sino hasta alrededor de 1800 cuando se les dio una interpretación geométrica, que estos entes “místicos” o “imaginarios” fueron entendidos como objetos cuya existencia podía ser justificada plenamente. La idea de representar geométricamente a un número complejo es muy simple, podemos establecer una correspondencia uno a uno con los puntos del plano de acuerdo con el esquema siguiente. Número complejo (a , b ) = a + bi

Punto del plano P = (a , b )

↔

Definición.- El plano completo en el cada punto se usa para representar un número complejo se conoce con el nombre de  plano complejo. El punto P = (a , b )   se llama  gráfica del número complejo (a , b ) = a + bi . En la figura siguiente se muestran las gráficas de los números complejos 3 + 2i , 5 − 3i , −1 − 4i , 6 + 0i y 0 − 2i

El número real a se ha identificado con el número complejo (a ,0 ) = a + 0i Nota.- Observemos que cada número complejo (a ,0)  debe ser un punto del eje X . Análogamente, cada número imaginario puro (0 , b ) = bi   corresponde a un punto del eje Y . Es por eso que en el plano complejo al eje X   se le llama eje de los reales o simplemente eje real, en tanto que al eje Y   se le llama eje de los imaginarios o eje imaginario. Definición.-

Consideremos al complejo Z = (a , b ) = a + bi . La distancia desde el origen hasta el

punto (a , b )  se llama valor absoluto de

 Matemáticas 2

a + bi  y se denota por

99

Z = a + bi

Números Complejos

Afirmación.-

Para toda Z ∈ ℂ, si Z = (a , b ) = a + bi , entonces el valor absoluto de Z, que se denota

por Z  puede encontrarse mediante la expresión siguiente. Z = a + bi = a 2 + b 2 Demostración.- Utilizando el teorema de Pitágoras para el punto (a , b )  es fácil probar la afirmación.

El valor absoluto de Z, representa la magnitud del segmento trazado desde el origen (0 ,0 ) al complejo (a , b ) = a + bi . Esto lo ilustramos en la gráfica siguiente.

 Matemáticas 2

100

Números Complejos

10.8 1.-

a)

Ejercicios En los siguientes ejercicios, hallar los valores de m y n que hagan cierta la proposición dada. ⎛ m n ⎞ m , n = (3 ,1) b) ⎜  , ⎟ = (− 1 ,2) ⎝  3 3 ⎠

(

c)

(m ,2n + m) = (1,5)

2.-

Efectuar las operaciones indicadas. ⎛ 7 2 ⎞ ⎛  − 3 1 ⎞ ⎜  , ⎟ + ⎜  , ⎟ ⎝ 8 3 ⎠ ⎝  4 3 ⎠

a)

)

d)

(4m + 3 , n − 6) = (m ,−n )

b)

(

) + (−

2 ,−3

)

2 ,3

c)

(− 4 ,3) + [(− 5 ,6 ) + (5 ,−6)]

d)

(1 ,3) ⋅ (−1,−3)

e)

(2 , )⋅ ( 4 ,−6)

f)

(2 ,−1) ⋅ [(1 ,0 ) ⋅ (− 12 ,1)]

g)

(4 ,−2) ⋅ [(3 ,−1) + (− 2 ,1)]

h)

(2 ,3)2

i)

(1 ,2 ) ⋅ (0 ,1)2

k)

(3 ,0) ⋅ (− 1,−4 )3

1 2

En los siguientes ejercicios, hallar los inversos aditivo y multiplicativo de los números 3.complejos dados. En cada caso, dar los resultados en la forma (a , b ) . (1 , −1) (0 ,1) a) b) c)

(a ,0) , a ≠ 0

d)

(

e)

(  ,− )

f)

k + 1 , k

4.-

Comprobar que la multiplicación de los complejos (1 ,3)  y (4 ,2 )  es conmutativa.

5.-

Demostrar que (2 ,0) ⋅ [(4 ,1) + (3 ,−2)] = [(2 ,0) ⋅ (4 ,1)] +  [(2 ,0) ⋅ (3,−2)] .

6.-

Demostrar que si Z1 , Z2 y Z3 ∈ ℂ con Z3 ≠ (0 ,0 ) Z1 ⋅ Z3 = Z2 ⋅ Z3 entonces Z1 = Z 2 .

1 2

1 2

3 ,− 2

) 2

, k≠0

En los siguientes ejercicios, hallar los valores de m y n,  en donde m , n ∈ ℝ,  que hacen 7.verdadera la proposición dada. (4m + n ) + (m − n )i = 5 a) 2m + ni = 4 − 4i b) c)

(3 + 2i ) + (m − 4ni ) = 3 − 2i

8.-

En los siguientes ejercicios, indicar si la proposición dada es verdadera o falsa.

a)

1 6i

=−

 Matemáticas 2

i 6

d)

b)

101

(m − 3i ) − (4 + ni ) = 0

6 + 4i 2

= 3 + 2i

Números Complejos

c)

e)

g)

Z Z 1

= −1 , Z ≠ 0

= −i

i

1+ i

= −1

1− i

d)

Z = −1 , Z ≠ 0 −Z

f)

i 27 = i 31

h)

Z+Z=Z+Z

9.-

Efectuar las operaciones indicadas, expresar el resultado en forma rectangular.

a)

(3 − i ) + 6i − 4(2 + 3i )

b)

2 3 + 6i

c)

(3

d)

(7 − 2i ) − (7 + 2i )

e)

3 + 4i 2 − i

)

f)

4i

g)

(

5

)

h)

(1 + i 3 )⋅ (1 − i 3 )

i)

(12 + 5i ) ⋅ ⎛  ⎜ −

 ⎞ i⎟ 13  ⎠

j)

 ⎞ (3 − 4i ) ⋅ (4 + i ) ⋅ ⎛  ⎜ + i⎟

k)

⎛  ⎜ ⎜ ⎝ 

l)

(1 + i )3

m)

(3 − 2i )4 − i 2

n)

i 5 ⋅ (2 − 3i )2

o)

q)

s)

u)

w)

y)

2

) (4

+ 5i −

(

5

)(

−i ⋅

+i

12

⎝ 13

3 2

 ⎞ + i⎟ 2 ⎟  ⎠

3 −i

r)

3+ i 3

6

t)

i6 − i7 −

2 1− i

i 24 − i13 − 1 1− i

45

2 + 5i 1 − 3i

 Matemáticas 2

)

p)

2−i

1+ i

5

−i

+i +

) + 3(2 − i )

+ 2(3 − 2i ) − i (1 − i )

3

4

⎝ 5

5

 ⎠

3

1

1

4

2

(

20

1 − 2i 2 + 3i

v)

2−i

i i 1+ i

(1 − i )2 1+ i 2i 2−i

+

i 1 − 2i ⎛ 2 + 3i

x)

(2 − 3i ) ⋅ ⎜⎜

z)

(3 − 2i )⋅ (4 + 2i )

102

⎝ 

5−i

−

2 − i ⎞ 1+

⎟ i  ⎠⎟

Números Complejos

10.-

Sea S = x 2 − i , hallar S  si:

a)

x=−

11.a)

Dar la expresión más simple de cada una de las siguientes. i 31 b) i 221

c)

i 4n +1 , n∈ℕ

2

−

i

2

2

x=

b)

2

2

+

i

2

2 2

i 4n +16 , n∈ℕ

d)

Resolver las ecuaciones dadas en los siguientes ejercicios, Z ∈ ℂ. Expresar los resultados en 12.forma rectangular. a) 2Z + 3i = Z + (2 − i ) b) 3Z + 4i = 3 − 2i c) e)

Zi +  2 = i 2Z

i

+ 4i = 6

6

+

2

6

−

2

Z ⋅ (1 − i ) = Z + i

f)

Z 2 + =3 1− i i

13.-

Si Z =

a)

Z2

b)

Z6

c)

Z 24

d)

Z 60

14.-

¿Con respecto a qué operaciones es cerrado el conjunto siguiente {i ,−i ,1, −1} ?

15.-

Demostrar que para todo Z1 , Z2 ∈ ℂ, se cumple Z1 + Z2 = Z1 + Z2

16.-

Demostrar que para todo Z1 , Z2 ∈ ℂ, se cumple Z1 ⋅ Z2 = Z1 ⋅ Z2

17.-

Demostrar que para todo Z1 , Z2 ∈ ℂ, se cumple Z1 ⋅ Z2 = Z1 Z2

18.-

Demostrar que para todo Z ∈ ℂ, Z ≠ 0  se cumple Z −1 = Z

19.-

Demostrar que para todo Z1 , Z2 ∈ ℂ, Z2 ≠ 0  se cumple

20.-

Demostrar

Z1 − Z 2

21.-

2

+

d)

4

+ Z1 + Z 2

4

que 2

(

si 2

i , hallar.

Z1 , Z2 ∈ ℂ,

= 2 Z1 + Z 2

2

entonces

)

Mostrar que Z ∈ ℂ, Z ≠ 0 entonces Z −1 = Z

 Matemáticas 2

103

−1

se

−1

Z1 Z1 = Z2 Z2 cumple

la

igualdad

siguiente

Números Complejos

22.-

Dado los números complejos Z = 3 + 4i , W  = 2i , U  = 5 − i , hallar:

a)

Z − W  − U 2

b)

Z 3 ⋅ W 2

c)

U  − Z

d)

Z 3U  ⋅ W  − U  Z

23.-

Sean a, b, c∈ℝ con a ≠ 0 , b ≠ c y Z ∈ ℂ, encontrar Z 2  si

24.-

Sean Z = 3 + 4i , W  = 2i y U  = 5 − i . Encontrar x, y∈ℝ tales que 2x − iy = ZW 2 + U − 7ix . s t U  = Encontrar s, t∈ℝ tales que + . Z W  W  + 1

a) b)

1

Z − ci

=

1

a + bi

−

1

a + ci

.

25.-

Si a, b∈ℝ con a ≠ b , Z = x + iy .y Z + ai = Z + bi  entonces 2y = −(a + b ) .

26.-

Mostrar que si Z ∈ ℂ, entonces Re Z =

27.-

Si Z = − +

28.-

Si Z = − −

29.-

Se tiene un sucesión de números complejos definida por Z1  = 0 , Zn+1 = Zn2 + i para n ≥ 1 .

1 2

1 2

3 2

3 2

Z+Z 2

 y Im Z =

Z−Z 2i

(

)(1 − Z )(1 − Z ) = 9

(

)(1 − Z )(1 − Z ) = 9

i  mostrar que (1 − Z ) 1 − Z 2

i  mostrar que (1 − Z ) 1 − Z 2

4

4

8

5

Calcular Z111 . Si Z1 = 1 − i , Z 2 = −2 + 4i y Z3 = 3 − 2i , hallar el valor numérico de cada una de las 30.siguientes expresiones. Z1 + Z 2 + 1 2 Z12 + 2Z1 − 3 a) b) c) 2Z 2 − 3Z1 Z1 − Z 2 + i Z  ⎞ ⎜ + 3⎟ ⎟ 2⎜Z ⎝  3 Z3  ⎠

(Z

g)

Re 2Z13 + 3Z22 − 5Z33

31.a) d)

Trazar en el plano complejo, la gráfica de los siguientes números. 3 + 4i b) −4 + 5i c) −6 − 2i (4 ,0) 5 − 3i e) −10i f)

2 − Z3

{

)

1 ⎛ Z3

d)

5

}

e)

Z1 ⋅ Z2 + Z2 ⋅ Z1

f)

h)

⎧Z ⋅ Z ⎫ Im⎨ 1 2 ⎬ ⎩ Z3 ⎭

i)

2Z1

− Z3 + Z 22

Cuatro números complejos son los vértices de un cuadrado en el plano complejo. Tres de 32.los vértices son 1 + 2i , −2 + i y −1 − 2i . Encontrar el cuarto número. 33.-

2

El número complejo Z satisface la ecuación Z + Z = 2 + 8i . Encontrar el valor de Z .

 Matemáticas 2

104

Capitulo 11 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

11.1

Introducción

En muchas aplicaciones de la matemática a las ciencias es necesario encontrar el conjunto solución de una ecuación cuadrática o determinar una o más propiedades de alguna función cuadrática. El presente capítulo se dedica al estudio de tales ecuaciones.

11.2

Definición de ecuación de segundo grado

Definición.- Cualquier ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0 donde a, b, c∈ℝ a ≠ 0 , se llama ecuación cuadrática o de segundo grado.

Según esto 3x 2 + 7x − 6 = 0 y x 2 + 1 = 0 son ecuaciones cuadráticas para x .

Ejemplo.-

En general, al resolver una ecuación cuadrática, supondremos que el conjunto satisfactor de la variable es el conjunto

ℂ de los números

complejos.

Definición.- Cuando una ecuación cuadrática está dada en la forma ax 2 + bx + c = 0 o en la de una ecuación equivalente de esta forma, diremos que la ecuación está escrita en  forma canónica.

⎛  1 ⎞ Consideremos la ecuación (2x + 1)2 = x⎜ x + ⎟ , haciendo uso de lo aprendido en los ⎝  2 ⎠ capítulos anteriores, dicha ecuación puede escribirse así 3x 2 + 72 x + 1 = 0   o en su equivalente Ejemplo.-

+ 7x + 2 = 0 . Ambas ecuaciones están en forma canónica, aunque por lo regular se ocupa 6x + 7 x + 2 = 0 ya que facilita los cálculos. 6x

2 2

11.3

Solución de ecuaciones cuadráticas por factorización Recordemos que si a, b, c∈ℝ a ≠ 0   y si x  no tiene un valor dado, podemos considerar a

ax + bx + c como un polinomio cuadrático sobre ℝ. De manera análoga si a, b, c∈ℂ a ≠ 0 se dice que ax 2 + bx + c es un polinomio cuadrático sobre los complejos. Cuando existen números 2

complejos d, e, f  y g tales que ax 2 + bx + c = (dx + e )( fx + g ) , decimos que ax 2 + bx + c está factorizada sobre los números complejos. Una vez que encontramos los factores complejos de ax 2 + bx + c , el conjunto solución de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 es fácil encontrarlo. Esto se puede por las propiedades siguientes de los números complejos.

 Matemáticas 2

105

Ecuaciones de Segundo Grado

Teorema.Si Z1 , Z2 ∈ ℂ, entonces Z1 ⋅ Z2 = 0  si y sólo si Z1  = 0 o bien Z2 = 0 . Demostración.-Se deja al lector.

Resolver la ecuación 2x 2 + 5x + 2 = 0

Ejemplo.-

Aplicando las técnicas de factorización de expresiones algebraicas vistas en este Solución.libro, se tiene lo siguiente. 2 2 x + 5x + 2 = 0 (2x + 1)(x + 2) = 0 ⇔ Por el teorema anterior (2x + 1)(x + 2 ) = 0  si y solo sí,

2x + 1 = 0

o

x + 2 = 0

Resolviendo estas ecuaciones de primer grado se tiene que x=−

1 2

x = −2

 o

Lo que significa que si x = −

1 2

o x = −2 entonces

2x

2

+ 5x + 2 = 0 en consecuencia éstas son las

raíces de la ecuación y {− 12 ,−2}  es el conjunto solución de la ecuación. Ejemplo.-

Resolver la ecuación x 2 + 4 = 0

Solución.-

Factorizando la expresión se tiene. x2 + 4 = 0 x 2 + (− 4)(− 1) = 0

↔

x 2 − 4i 2 = 0   ( x + 2i )(x − 2i ) = 0 x − 2i = 0 o x + 2i = 0 x = −2 i o x = 2i 2 Por tanto el conjunto solución de x + 4 = 0 es {2i ,−2i} ↔ ↔ ↔ ↔

2x

2

−1 =

2x + 4

Ejemplo.-

Hallar el conjunto solución de

Solución.↔ ↔ ↔

Simplificando la ecuación se obtiene 2x 2 − 3x − 2 = 0 2 2x − 3x − 2 = 0 (2x + 1)(x − 2 ) = 0 o 2x + 1 = 0 x − 2 = 0

↔

x=−

1 2

x−2

x−2

x=2

 o

De estas dos raíces x = 2 no puede ser solución, ya que para este valor el denominador de 2x + 4

x−2

 en la ecuación original no tiene sentido.

Por tanto el conjunto solución de

 Matemáticas 2

2x

2

x−2

−1 =

2x + 4

x−2

⎧ 1⎫  es ⎨− ⎬ . ⎩ 2⎭

106

2x

2

x−2

 y

Ecuaciones de Segundo Grado

11.4

Solución de ecuaciones cuadráticas completando cuadrados

En la práctica, el método de factorización se usa muy raras veces para r esolver una ecuación cuadrática, a menos que, cuando la ecuación esté escrita en forma canónica, el polinomio se pueda factorizar sobre los enteros. Algunos polinomios cuadráticos son trinomios cuadrados perfectos (TCP). x 2 + 6x + 9 = (x + 3)2

Ejemplo.-

9x

2

− 30x + 25 = (3x − 5)2

Es importante aclarar que si la expresión cuadrática es un TCP, la ecuación ax 2 + bx + c = 0 puede resolverse fácilmente. Ejemplo.Solución.↔

Resolver 9x 2 − 30x + 25 = 0 2 9x − 30x + 25 = 0 (3x − 5)2 = 0

↔ ↔

3x − 5

= 0 3x − 5 = 0

↔

x=

5 3

⎧5 ⎫ El conjunto solución de 9x 2 − 30x + 25 = 0 es ⎨ ⎬ . ⎩3⎭

La idea fundamental es transformar la expresión cuadrática a un TCP, para después resolver la ecuación.

11.4.1 Completando el cuadrado Será necesario trabajar con expresiones de la forma x 2 + kx 2

⎛ k ⎞ Si se suma ⎜ ⎟ , se obtiene. ⎝ 2 ⎠ 2

2

⎛ k ⎞ ⎛  k ⎞ x + kx + ⎜ ⎟ = ⎜ x + ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝  2 ⎠ A este proceso se le llama completar el cuadrado, y para efectuarlo se necesita que el coeficiente de x 2 sea 1. 2

Ejemplo.Solución.-

Resuelva la ecuación x 2 − 6x + 2 = 0 completando el cuadrado. x 2 − 6x + 2 = 0 ↔ x 2 − 6 x = −2 2

↔

⎛ 6 ⎞ ⎛ 6 ⎞ x − 6x + ⎜ ⎟ = −2 + ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ x 2 − 6 x + 9 = −2 + 9 (x − 3) 2 = 7

↔

x −3= ±

↔

x = 3±

↔ ↔

 Matemáticas 2

2

2

7 7

107

Ecuaciones de Segundo Grado

Por lo tanto las raíces de la ecuación x 2 − 6x + 2 = 0 son x = 3 + solución es

3+

7 ,3 −

7

7

y x = 3−

7

  y el conjunto

.

Ejemplo.Resolver la ecuación 4x 2 + 4x + 10 = 0 , completando el cuadrado. Como el método de completar el cuadrado es necesario que el coeficiente de x 2 sea Solución.1, dividimos la ecuación por 4 y obtenemos. x2 + x + ↔

10

=0

4

x2 + x = −

10 4 2

↔

10 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ x2 + x + ⎜ ⎟ = − + ⎜ ⎟ 4 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

↔

x2 + x +

1

=−

10

4

+

4

2

1 4

2

↔

9 ⎛  1 ⎞ ⎜x + ⎟ = − 4 ⎝  2 ⎠

↔

x+

↔ ↔ ↔

x+

1

=± −

2 1 2

9 4

= ±i

3 2

1

3

2

2

x = − ±i 1

3

2

2

x=− + i

o

1

3

2

2

x=− − i

1 3 ⎫ ⎧ 1 3 De ahí que el conjunto solución buscado es ⎨− + i ,− − i ⎬ . 2 2 ⎭ ⎩ 2 2 Notemos que las raíces de esta ecuación son números complejos conjugados.

11.5

La fórmula cuadrática.

Hemos visto que el método de completar cuadrados puede aplicarse para resolver cualquier ecuación cuadrática o de segundo grado. Si aplicamos esta técnica a la ecuación. a, b, c∈ℂ a ≠ 0 ax 2 + bx + c = 0 , Se obtiene las siguientes equivalencias.

↔ ↔

ax 2 + bx + c = 0 dividiendo entre a. b c x2 + x + = 0 a a b c x2 + x = − a a 2

↔

 Matemáticas 2

b c ⎛  b  ⎞ ⎛  b  ⎞ x + x+⎜ ⎟ = − +⎜ ⎟ a a ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠ 2

108

2

Ecuaciones de Segundo Grado

↔

b b2 c b2 x + x+ 2 =− + 2 a a 4a 4a

↔

− 4ac + b 2 b  ⎞ ⎛  ⎜x + ⎟ = 2 4a ⎝  2a ⎠

↔

b  ⎞ b 2 − 4ac ⎛  ⎜x + ⎟ = 2 4a ⎝  2a ⎠

↔

x+

b b 2 − 4ac =± 2 2a 4a

↔

x=

−b b 2 − 4ac ± 2a 2a

↔

x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

↔

x=

− b + b 2 − 4ac 2a

2

2

2

x=

o

− b − b 2 − 4ac 2a

Puesto que cada uno de los pasos anteriores son equivalencias, se sigue que el conjunto solución de ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 es. ⎧⎪ − b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac ⎫⎪  , ⎨ ⎬ 2 2a a ⎪⎩ ⎪⎭ Es decir, las soluciones de cualquier cuadrática ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0  en donde a, b y c son constantes complejas, y x ∈ ℂ, están dadas por la fórmula x =

− b ± b 2 − 4 ac . 2a

Esta fórmula, que es una de las más importantes de toda la matemática elemental, se llama fórmula cuadrática. Se recomienda al lector recordar esta fórmula y usarla siempre que la factorización no sea conveniente. Ejemplo.x 2 + x −1 = 0 . Solución.-

Usar la fórmula general o cuadrática para encontrar el conjunto solución de En esta ecuación a = 1 , b = 1  y c = −1 , aplicando la fórmula. x= ↔ ↔ ↔

x= x= x=

−1±

2

1

− 4(1)(− 1)

()

21

−1±

1+ 4 2

−1 ±

5

2

−1 +

5

o

2

x=

−1−

El conjunto solución de la ecuación x + x − 1 = 0 es. ⎧⎪ − 1 + 5 − 1 −  , ⎨ 2 ⎪⎩ 2

5

2

2

 Matemáticas 2

109

5⎫ ⎪

⎬ ⎪⎭

Ecuaciones de Segundo Grado

Definición.-

Las soluciones de una ecuación también se suelen llamar sus raíces. Si llamamos r 1 y

r 2 a las raíces de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 , podemos escribir r 1 =

− b + b 2 − 4ac 2a

y

r 2 =

− b − b 2 − 4ac 2a

Si sumamos las dos raíces se obtiene. 2 2 ⎛  ⎜ − b + b − 4ac ⎞⎟ + ⎛  ⎜ − b − b − 4ac ⎞⎟ − 2b − b  ⎠ ⎝   ⎠ = = r 1 + r 2 = ⎝  2a 2a a Si multiplicamos las dos raíces, se obtiene. 2 2 ⎛  ⎜ − b + b − 4 ac ⎞⎟ ⋅ ⎛  ⎜ − b − b − 4ac ⎞⎟ b 2 − (b 2 − 4 ac ) 4ac c  ⎠ ⎝   ⎠ = = 2 = r 1 ⋅ r 2 = ⎝  2 2 a 4a 4a 4a Luego hemos probado el siguiente teorema. Si r 1 y r 2 son las raíces de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 , entonces: b c y r 1 + r 2 = − r 1 ⋅ r 2 = a a b c Si la ecuación ax 2 + bx + c = 0 es dividida por a ≠ 0 , se obtiene: x 2 + x + = 0  y se observa a a lo siguiente: Teorema:

1.2.-

El coeficiente de x está ligado a menos la suma de las raíces. El término constante está ligado al producto de las raíces Es decir ax 2 + bx + c = 0

↔

b c x2 + x + = 0 a a

b c Como r 1 + r 2 = −  y r 1 ⋅ r 2 = a a x 2 − (r 1 + r 2 )x + (r 1r 2 ) = 0 ↔ Este teorema tiene las siguientes aplicaciones.

a).Hacer una comprobación rápida de las soluciones de una ecuación cuadrática. Con frecuencia, esto es más fácil que sustituir cada una de las supuestas raíces en la ecuación original. ⎧3 + i 3 − i ⎫ 2  , Comprobar que ⎨ ⎬  es el conjunto solución de 2x − 6x + 5 = 0 2 2 ⎩ ⎭ En esta ecuación a = 2 , b = −6  y c = 5 Solución.3+ i 3−i 3+ i +3−i 6 −(−6) −b + = = =3= = 2 2 2 2 2 a 2 2 c 9 − (− 1) 10 5 ⎛ 3 + i ⎞⎛ 3 − i ⎞ 3 − i = = = = ⎜ ⎟⎜ ⎟= a 4 4 4 2 ⎝  2  ⎠⎝  2  ⎠ ⎧3 + i 3 − i ⎫ 2  , Se concluye que ⎨ ⎬ es el conjunto solución de 2x − 6x + 5 = 0 . 2 ⎭ ⎩ 2 Ejemplo.-

 Matemáticas 2

110

Ecuaciones de Segundo Grado

Es útil para construir una ecuación cuadrática cuyo conjunto solución {r 1 , r 2 }   este dado. ⎛  b ⎞ ⎛ c ⎞ Esto es posible ya que ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 , es equivalente a x 2 − ⎜ − ⎟ + ⎜ ⎟ = 0 ⎝  a ⎠ ⎝ a ⎠ b)

Ejemplo.-

Escribir una ecuación cuadrática cuyas raíces sean

Solución.-

r 1 + r 2 =

2+

5

+

2

⎛ 2 + r 1 ⋅ r 2 = ⎜ ⎜ 2 ⎝ 

2−

5

=

2+

5

+2−

2 5  ⎞

⎛  ⎟⋅⎜ 2 − ⎟ ⎜  ⎠ ⎝  2

5

2 5  ⎞

⎟= ⎟  ⎠

2

2

2

4

4

=2=

2

( 5)

−

=

=

4−5 4

=

2+

5

2

 y

2−

5

2

.

−b a

−1 4

=

c a

Por lo tanto la ecuación buscada es: ⎛  − 1 ⎞ x 2 − (2)x + ⎜ ⎟ = 0 ⎝  4  ⎠

↔ ↔

x 2 − 2x − 4x

2

1

=0

4

− 8x − 1 = 0

Si la suma de las raíces de 2x 2 + 3kx − 7 = 0 es 6, encontrar el valor k.

Ejemplo.-

En la ecuación 2x 2 + 3kx − 7 = 0 a = 2 , b = 3k  y c = −7 −b −3k −3k =  de aquí se tiene = 6  y k = −4 . r 1 + r 2 = 6 = a 2 2

Solución.-

11.6

Tipo de raíces de una ecuación cuadrática.

− b ± b 2 − 4 ac , se Definición.- La expresión b − 4ac , que está bajo el radical en la fórmula x = 2a llama discriminante de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 . El discriminante de una ecuación tiene un importante significado cuando los coeficientes a, b y c son números reales. Podemos considerar los siguientes casos. 2

I.-

Si b 2 − 4 ac = 0 , entonces

r 1 =

b 2 − 4 ac = 0  y

−b+ 2a

0

=

−b− 2a

Las raíces de la ecuación son reales e iguales.

II

.-

Si b 2 − 4 ac > 0 , entonces

b 2 − 4ac  es un número real positivo y

− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac ≠ = r 2 r 1 = 2a 2a Las raíces de la ecuación son reales y diferentes.

 Matemáticas 2

111

0

= r 2

Ecuaciones de Segundo Grado

III.-

Si b 2 − 4ac < 0 , entonces como ki. . Es decir:

b 2 − 4ac  es un número imaginario puro, que puede representarse

− b + i b 2 − 4ac − b − i b 2 − 4ac ≠ = r 2 r 1 = 2a 2a Las raíces de la ecuación son complejos no reales conjugados.

Ejemplo.Solución.-

Decir que tipo de raíces tiene la ecuación 3x 2 − 2x + 9 = 0 Sustituimos los valores a = 3 , b = −2  y c = 9 en b 2 − 4 ac . b 2 − 4ac = (− 2 ) 2 − 4(3)(9) = 4 − 108 = −104 < 0 , de aquí de afirma: Las raíces de la ecuación 3x 2 − 2x + 9 = 0 son complejos no reales conjugados.

Ejemplo.Solución.-

Decir que tipo de raíces tiene la ecuación 4x 2 − 5x − 1 = 0 Sustituimos los valores a = 4 , b = −5  y c = −1 en b 2 − 4 ac . b 2 − 4ac = (− 5) 2 − 4(4)(− 1) = 25 + 16 = 41 > 0 , de aquí de afirma: Las raíces de la ecuación 4x 2 − 5x − 1 = 0 son reales y diferentes.

Ejemplo.Solución.-

Decir que tipo de raíces tiene la ecuación 4x 2 − 20x + 25 = 0 Sustituimos los valores a = 4 , b = −20  y c = 25 en b 2 − 4ac . b 2 − 4ac = (− 20) 2 − 4(4 )(25) = 400 − 400 = 0 , de aquí de afirma: Las raíces de la ecuación 3x 2 − 2x + 9 = 0 son reales e iguales.

 Matemáticas 2

112

Ecuaciones de Segundo Grado

11.7

Ejercicios

1.a)

Hallar el conjunto solución de cada ecuación cuadrática por factorización. b) x 2 + 3x − 10 = 0 x(x − 2) = 15

c)

x 2 − 12 = x

e)

9y

d)

4x

2

− 16ix = 0

− 25 = 0

f)

4y

2

+ 4y + 1 = 0

g)

x 2 + 3x − 70 = 0

h)

x 2 − 5x = 336

i)

25x

x 2 + (2 − i )x − 2i = 0

k)

13x

m)

2

2

+ 4 = 20x

j)

2

− 30 = 6(1 + x )2 + 63

l)

3

x−3 2

1

−

=

20

3

y −1 1

n)

x

+

10

+ t − 35 = 0

p)

11x

= 55y − 42

r)

7x

t)

30x

o)

6t

q)

8y

s)

14m

u)

t 2t 1 + =− t + 1 4t − 1 t +1

w)

2

2

2

+ 55m = 36

3x − 5

= 2−

5

+

3

6

t + 20

3 2y + 5

=

5

t

+ 45 = −104x

− 125x − 300 = 0 2

t+2

− 97x + 77 = 0 +

2

2 y − 11

x)

x+2

2

3t

v)

6

2

5

=

y −8

t

−

+

5

=0

2

y −1 2

=

5

y −8

2.En los siguientes ejercicios, hallar el término que se debe sumar a la expresión dada para convertirla en un cuadrado perfecto y después escribir la expresión resultante, como el cuadrado de un binomio. 8

a)

x 2 + 10x

b)

x 2 − 2x

c)

x2 + x

d)

y 2 − 3y

e)

x2 + x

f)

x2 − x

g)

x 2 − 3ix

h)

x2 +

x

i)

b x2 + x a

 j)

x2 + x

k)

13x

− 5x

l)

 Matemáticas 2

7 4

113

2

m 2

3

1

2

1 2

3

x2 − x 5

Ecuaciones de Segundo Grado

En los siguientes ejercicios, hallar el conjunto solución de cada ecuación por el método de 3.completar cuadrados. y 2 − 2y − 1 = 0 a) b) x 2 + 2x − 1 = 0 c)

x 2 + 2 = 6x

d)

4x + 16 =

e)

x 2 + 6x + 10 = 0

f)

y2 + y +1 = 0

g)

2y

+ 2y − 1 = 0

h)

2y

2

+ y +1 = 0

i)

x2 + 2

j)

2x

2

+ 3ix + 2 = 0

k)

ix 2 − 4x + 5i = 0

l)

x 2 + 2x − 1 = 0

n)

2

p)

x 2 + ax + 4a 2 = 0 , a ∈ ℝ

m) o)

2

2x 2x + 1

2x − 2

+

3

x −1

=0

=0

x 2 + 4ax + a 2 = 0 , a ∈ ℝ

6

=

x

2

−

x2

5

x

En los siguientes ejercicios, hallar la solución de cada ecuación cuadrática mediante la 4.fórmula. Escribir cualquier solución compleja no real en forma rectangular y simplificar simplificar radicales. a) b) x 2 − 2x − 1 = 0 x 2 − 2x + 10 = 0 c)

3x

+x=2

d)

y2 + 2 = 2

e)

y 2 + 2y + 5 = 0

f)

2 + 2x = 3x

g)

2z

+ 1 = 2z

h)

15x

i)

2

2

2

+y=

2

3y 2

− 14x + 3 = 0

2

+2

3x +

2

j)

k)

x 2 + 2ix − 1 = 0

l)

y 2 − 3y 1 −1 = y y

m)

x 2 − (2 − 2i )x − (4 + 2i ) = 0

n)

2 + 3ix + 2x

o)

3x

+ 5ix = 0

p)

q)

x2 − x +1 = 0

r)

x 2 − 3x + 4 = 0

s)

5x

2

+ 6x + 3 = 0

t)

3x

2

− 2x + 10 = 0

u)

2x

2

− 6x + 5 = 0

v)

9x

2

− 12x + 5 = 0

w)

x 2 − 6ix − 13 = 0

x)

x 2 + 10ix − 26 = 0

2y

2

 Matemáticas 2

114

2x

1 2+x

=

1 2

+

2

2

=0

1

x

=0

Ecuaciones de Segundo Grado

En los siguientes ejercicios, determinar la suma y el producto de las raíces de cada ecuación. 5.Expresar cualquier resultado complejo no real en la forma rectangular y simplificar los radicales. 2 − y 2 + 5y = 3 2 y − 3y + 1 = 0 a) b) x 2 − 3 = 7x

c)

(2 − i )x 2 + ix + (− 1 + i ) = 0

d)

En los siguientes ejercicios, construir una ecuación cuadrática que tenga el conjunto 6.solución dado. Dar los resultados finales en la forma ax 2 + bx + c = 0 , a>0, y ningún coeficiente fraccionario. ⎧5 2 ⎫ ⎧3 3 ⎫ ⎧3⎫ a) b) c) ⎨  ,− ⎬ ⎨  ,− ⎬ ⎨ ⎬ ⎩3 3⎭ ⎩2 2 ⎭ ⎩2⎭

d)

{2 + i ,2 − i}

g)

1+

2 ,1 −

3

e)

⎧⎪1 + i ⎨ ⎪⎩ 2

h)

1 ⎫ ⎧ 1 ⎨1 − i ,1 + i ⎬ 3 ⎭ ⎩ 3

2 1− i

 ,

2

2⎫ ⎪

⎬ ⎪⎭

f)

⎧⎪ 1 ⎨− + ⎪⎩ 3

i)

{−3 , −6}

3 2

1

 ,− − 3

3⎫ ⎪ 2

⎬ ⎪⎭

7.-

Si una raíz de x 2 + 3x + k = 0 es 2, hallar la otra raíz. ¿Cuál es el valor de k?

8.-

Una raíz de x 2 − kx + 1 − i = 0 es

9.de m.

Si una de las raíces de 2x 2 + x − 18 = mx es el negativo de la otra, hallar las raíces y el valor

i . Hallar la otra raíz y el valor de k.

Hallar el valor de la constante m tal que una de las soluciones de x 2 − mx + 27 = 0 sea el 10.triple de la otra. 11.-

La suma de dos números es 8 y su producto es 17. Hallar tales números.

Sin resolver la ecuación, hallar la suma de los inversos multiplicativos de las raíces de 12.2 2x − 3x + 5 = 0 . En la ecuación 2x 2 − hx + 2k = 0 , la suma de las raíces es 4 y el producto de las raíces es -3. 13.Hallar los valores de h y k. 14.-

Si r  y s son las raíces de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 , demostrar que el valor de

b 2 − 2ac c2

1

r 2

+

1

s2

 es

.

Al resolver un problema que se reduce a una ecuación cuadrática, un estudiante comete un 15.error con el término constante de la ecuación y obtiene por raíces 8 y 2. Otro estudiante comete un error con el coeficiente del término de primer grado y obtiene por raíces -9 y −1 . Hallar la ecuación correcta. 16.Encontrar la relación entre a, b y c para que las raíces de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 sean recíprocas.

 Matemáticas 2

115

Ecuaciones de Segundo Grado

En los siguientes ejercicios, utilizar el discriminante para determinar k  de modo que la 17.ecuación dada tenga raíces iguales. 2 2 a) b) 3x − 2 kx + 3 = 0 3x − 7 x − k = 0 c)

4x

− 4kx + 5k = 0

2

d)

kx 2 + 8x + 2 k = 0

Hallar el valor de la constante  p  en las ecuaciones siguientes para que se satisfaga la 18.condición que se indica.  px 2 − x + 5 − 3 p = 0 a) tenga una raíz igual a 2. b)

(2 p + 1)x 2 + px + p = 4( px + 2)

c)

3x

2

+ p(x − 2) + 1 = 0

una de sus raíces sea el recíproco de la otra.

d)

2x

2

− px + 4 = 0

tenga una raíz igual a −3 .

e)

( p + 2)x 2 + 5x + 2 p = 0

f)

2x

g)

2 px

h)

3x

la suma de sus raíces sea igual a su producto.

el producto de sus raíces sea igual a

− 12x + p + 2 = 0

2

2

3

.

la diferencia de sus raíces sea 12.

+ px + 2x = x 2 + 7 p + 1

la suma de sus raíces sea igual a −

+ ( p + 1)x + 24 = 0

2

2

4 3

.

una de las raíces sea el doble de la otra.

Hallar el valor k  de las ecuaciones cuadráticas siguientes de forma que se cumpla la 19.condición dada. (2k + 2)x 2 + (4 − 4k )x + k − 2 = 0 a) una de las raíces sea el recíproco de la otra. kx 2 − (1 + k )x + 3k + 2 = 0 b) producto.

la suma de sus raíces sea igual al doble de su

c)

(x + k )2 = 2 − 3k

tenga raíces iguales.

d)

(2k + 1)x 2 − 4kx = 1 − 3k

tenga raíces iguales.

e) suma.

2 kx

2

− 4kx + 5k = 3x 2 + x − 8

el producto de sus raíces sea igual al doble de su

Si x es un número complejo tal que x 2 + x + 1 = 0 . Encontrar el valor numérico de la 20.siguiente expresión: 2

2

2

1  ⎞ ⎛  27 ⎛  1 ⎞ ⎛  2 1  ⎞ ⎛  3 1  ⎞ ⎜ x + ⎟ + ⎜ x + 2 ⎟ + ⎜ x + 3 ⎟ + K + ⎜ x + 27 ⎟ x  ⎠ ⎝  x  ⎠ x  ⎠ ⎝  x ⎠ ⎝  ⎝ 

 Matemáticas 2

116

2

Ecuaciones de Segundo Grado

21.-

Encontrar el valor de m tal que la ecuación

22.-

Encontrar el tipo de raíces de la ecuación

x (x − 1) − (m + 1) x =  tenga raíces iguales (x − 1)(m − 1) m x + 4 − x − 3 +1 = 0 .

Consideremos ecuaciones de la forma x 2 + bx + c = 0 . ¿Cuántas ecuaciones de esta forma 23.tienen raíces reales, donde b y c son seleccionados del conjunto {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6} ? 24.-

Encontrar el menor valor entero de k tal que 2x(kx − 4) − x 2 + 6 = 0  no tenga raíces reales.

25.a)

Resolver las siguientes ecuaciones definidas en b) x + x − 2  = 4 15

c)

x −4 2

−

2

x−2

=1

d)

ℂ 5x − 1 +

x−

7

x −3

e)

x+2 + x+7 = 5

f)

1+

g)

x−

h)

x+3 +

1− x

+ x =1

x −1 = 2

= 3−

3+

7

x −3

6x

2−x

26.-

Resolver los problemas siguientes.

1.-

Hallar dos números cuya suma sea 8 y cuyo producto sea -33.

=2 − x+8 = 0

2.Hallar un par de números que difieran en 3 y cuyo producto sea 108. ¿Hay un segundo par de números que satisfagan dicha condición? Si lo hay, encontrarlo. 3.-

Hallar dos enteros positivos consecutivos cuyo producto sea 210.

4.-

La suma de un entero y su inverso multiplicativo es

13 6

. ¿Cuál es el número?

5.La suma detrás números positivos es 16. Hallar dichos números si el segundo es el doble del cuadrado del primero y el tercero es el triple del primero. 6.Hallar dos números reales cada uno de los cuales sea 56 unidades menos que su propio cuadrado. 7.El área de un rectángulo es 120 m 2 . Su largo es 7 m  mayor que su ancho. Hallar sus dimensiones. 8.¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo que tiene un perímetro de 44 cm y un área de 2 85 cm ? 9.-

La suma S   de los primeros n  enteros positivos 1, 2, 3, …, n,  está dada por la fórmula n(n + 1) . ¿Cuántos enteros, empezando por 1, hay que sumar para que la suma sea 465? S= 2

 Matemáticas 2

117

Ecuaciones de Segundo Grado

10.-

La suma de los enteros consecutivos desde 4 hasta n es 345. Encontrar n.

11.El dígito de las decenas de cierto número es 3 más que el dígito de las unidades. La suma de los cuadrados de los dos dígitos es igual a 117. Hallar el número. 12.El dígito de las decenas de cierto número es 4 más que el dígito de las unidades. La suma de los cuadrados de los dos dígitos es igual a 26. Hallar el número. 13.Calcular las dimensiones de un triángulo rectángulo si su área es de 84 m 2 y uno de los catetos es 3 unidades más que el triple del otro. 14.La longitud de un terreno rectangular es el doble que el ancho. Si la longitud se aumenta en 40 m, el área se hace doble. Hallar las dimensiones del terreno. 15.-

Un número positivo es

3 5

 de otro y su producto es 2160. Hallar los números.

16.Floripondia tiene 3 años más que Felipa y el cuadrado de la edad de Floripondia aumentado en el cuadrado de la edad de Felipa equivale a 317 años. Hallar ambas edades. 17.Los gastos de una excursión son $900. Si desisten de ir 3 personas, cada una de las restantes tendría que pagar $10 más. ¿Cuántas personas van en la excursión y cuánto paga cada una? 18.Un campamento de niñas está ubicado a 300 metros a la derecha de un camino. En ese mismo camino está localizado un campamento de niños a 500 metros del campamento de niñas. Se desea construir en el camino un campamento de provisiones, de tal manera que se encuentre a la misma distancia de cada campamento. Encontrar la distancia del nuevo campamento a cada uno de los otros dos. 19.Un tren emplea cierto tiempo en recorrer 240 km. Si la velocidad hubiera sido 20 Km. por hora más que la que llevaba hubiera tardado 2 horas menos en recorrer dicha distancia. ¿En qué tiempo recorrió los 240 Km.? 20.¿Cuántas personas hubo en una fiesta si se sabe que se saludaron de mano todos los asistentes y que hubo 190 apretones de mano?

 Matemáticas 2

118

Capitulo 12 GEOMETRÍA 12.1

Antecedentes históricos

Recibe el nombre de Geometría Euclidiana la rama de la Matemática que trata acerca del estudio del espacio, de sus propiedades y de las formas que en él se encuentran. Se supone, basándose en los escritos de Herodoto, que sus iniciadores fueron los egipcios y que el rey Sesostris dividió las tierras en parcelas cuadrangulares que se repartía entre sus súbditos. Si el Nilo crecía y se llevaba alguna parte de ellas, los agrimensores evaluaban la parte arrastrada y decidían, según lo que quedaba, cuánto debía pagar el dueño de la parcela por concepto de impuesto. La aplicación de los conocimientos geométricos a la medida de la Tierra fue la causa de que se diera a esta parte de la Matemática el nombre de Geometría, que significa “medida de la Tierra”. Los documentos más antiguos de la Geometría egipcia que se conocen fueron escritos en papel papiro alrededor del año 1550 A.C. por Aãhmesu, comúnmente llamado Ahmes. Este manuscrito, copiado de otro más antiguo y que fue escrito alrededor del año 2300 A.C., contenía fórmulas para calcular volúmenes de graneros, áreas de figuras rectilíneas y el área del círculo. Desde Egipto y quizás Babilonia esta Geometría de medición fue llevada a Grecia y Asia Menor por Tales de Mileto, quien hizo muchas contribuciones a la Geometría mediante sus teoremas. El más grande discípulo de Tales fue Pitágoras, quien nació aproximadamente hacia el año 580 a. de C., y quien dejó múltiples pruebas de los teoremas de la Geometría. Después de la muerte de Pitágoras los griegos siguieron estudiando y practicando la Geometría. Algunos de estos estudiosos fueron Platón, Aristóteles e Hipócrates. Desde el año 600 A.C. hasta el año 300 A.C., el estudio de la Geometría consistió en investigación, descubrimiento y prueba. Fue hasta el año 300 A.C que Euclides, uno de los maestros de Matemáticas de la Universidad de Alejandría, dio a la Geometría un orden lógico y sistemático en su libro Los Elementos. Después de Euclides, varios geómetras han enriquecido a la Geometría con sus aportaciones, entre éstos destacan Arquímedes, Apolonio, Hiparco y Herón. Desde la caída del Imperio Romano hasta el Renacimiento las Matemáticas sufren un notable estancamiento, hasta que a fines del siglo XVI se abre una nueva era de progresos importantes en la ciencia de la Geometría siendo la obra de Descartes, Geometría Analítica, fértil hermanamiento entre el Álgebra y la Geometría, la obra más representativa. Hacia 1800 aparecen las Geometrías no Euclídeas causa una verdadera revolución. Gauss y Riemann sentaron la base de lo que hoy se conoce como Geometría Diferencial que aplica el cálculo diferencial al estudio de los espacios de varias dimensiones y juega un papel muy importante en la teoría de la relatividad, y motivaron un renacimiento de la Geometría Proyectiva.  Matemáticas 2

119

Geometría La labor de dos grandes matemáticos- el ruso Lobatschewski y el húngaro Bolyai abrió una profunda huella en la unidad de las geometrías precedentes y dieron origen a la serie de geometrías llamadas no Euclidianas, que tanta importancia han tenido en la resolución de problemas actuales y sobre las que se basó Einstein para describir el universo utilizándolas en su Teoría de la Relatividad. Esto provocó una radical transformación del antiguo concepto de la Geometría, relacionándola íntimamente con otras ramas de la Matemática, de modo que dejó de ser una ciencia autónoma. La distinta naturaleza de las propiedades estudiadas y la variedad de criterios han dado lugar a la existencia de un gran número de tipos de Geometrías, bien diferenciadas entre sí.

12.2

Definiciones fundamentales

Punto.- Configuración geométrica fundamental sin extensión (dimensión cero). Un punto sólo tiene posición. No tiene longitud, anchura o grosor. Se representa al punto por medio de un punto “dibujado”. No debe olvidarse, sin embargo, que el “punto dibujado” representa al concepto de punto.

Notación.-

Se designa al punto conceptual por medio de una letra mayúscula junto al punto dibujado, esto es:

Línea.- Una línea tiene longitud pero no anchura o grosor. Una línea puede representarse por medio de un gis en una pizarra o por una banda de caucho estirada. Una línea puede ser: recta, curva, o una combinación de ambas.

Línea recta.-

Es la línea más corta que une dos puntos cualesquiera en un espacio geométrico. Es también una sucesión no interrumpida de puntos que siguen la misma dirección. La línea recta no tiene origen ni fin, se extiende indefinidamente en ambos sentidos.

Notación.ella:  AB

Una línea recta se designa con letras mayúsculas en dos puntos cualesquiera sobre

Segmento de recta.-

Si sobre una recta se señalan dos puntos  A y B , se llama segmento de recta al conjunto de puntos situados entre  A y B, incluyendo el origen  A y el extremo B.

Notación.-

Con el símbolo  AB  denotamos al segmento que comienza en  A y termina en B.

Semirrecta.-

Si sobre una recta se señala un punto  A, se le llama semirrecta o rayo al conjunto de puntos formado por A y todos los que le sigan.

 Matemáticas 2

120

Geometría

Notación.-

Con el símbolo  AB  denotamos a la semirrecta que comienza en  A y pasa por B.

Rectas Paralelas.-

Se dice que dos rectas son paralelas cuando al prolongarse no tienen ningún punto en común.

Notación.-

Con el símbolo  AB CD   denotamos al hecho de que la recta  AB   es paralela a la

recta CD .

Son dos recta que se cortan formando un ángulo de 90 0. Rectas Perpendiculares.Con el símbolo  AB ⊥ CD  denotamos al hecho de que la recta  AB  es perpendicular Notación.a la recta CD .

Rectas Oblicuas.Notación.recta CD .

Son aquellas que se cortan formando un ángulo diferente de 90 0.

Con el símbolo  AB / CD  denotamos al hecho de que la recta  AB  es oblicua a la

Ángulo.Es la abertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto llamado vértice. A cada semirrecta se le llama lado o rayo.

Notación.-

 Matemáticas 2

Para denotar al ángulo de la figura, usaremos las siguientes igualdades:

∠BAC = ∠α  = α 

121

Geometría

Congruencia de segmentos.-

Dos segmentos de recta son congruentes cuando coinciden por superposición directa o indirecta, es decir si tienen la misma medida.

Notación. AB ≅ CD .

Para denotar la congruencia del segmento  AB   con el segmento CD   usamos

Uso de marcas.-

Usamos ciertas marcas en los segmentos cuando éstos son congruentes.

Congruencia de ángulos.-

Decimos que dos ángulos son congruentes cuando tienen la misma

medida.

Notación.-

Para denotar la congruencia del ángulo ∠ A  con el ángulo ∠B  usamos ∠ A ≅ ∠B .

Uso de marcas.-

12.3

Usamos ciertas marcas en los ángulos cuando éstos son congruentes.

Clasificación de ángulos

Ángulo de cero grados o ángulo nulo.- Es aquel que mide cero grados. Ángulo recto.- Es aquel que mide 90 0. ∠ A = 90 0

Ángulo llano (colineal).-

 Matemáticas 2

Es aquel que mide 180 0.

122

Geometría

Ángulo perígono.-

Es aquel que mide 360 0.

Ángulo agudo.-

Es aquel que cumple con la relación:

Ángulo obtuso.-

Es aquel que cumple la relación:

Ángulo entrante.-

Es aquel que cumple con la relación:

12.4

90

0

0

0

< α  < 90 0

<  β  < 1800 .

180

0

< α  < 360 0

Pares de ángulos

Ángulos complementarios.∠α  + ∠β  = 900 .

Los ángulos α y β  son complementarios  si se cumple la relación:

Ángulos suplementarios.∠α  + ∠β  = 1800 .

Los ángulos α y β  son suplementarios  si se cumple la relación:

 Matemáticas 2

123

Geometría

Ángulos conjugados.- Diremos que los ángulos α y β  son conjugados si cumplen la relación: ∠α  + ∠β  = 3600 .

Ángulos adyacentes.- Los ángulos α y β son adyacentes cuando comparten un lado y un vértice.

12.5

Ángulos asociados a 2 rectas y una secante

 Ángulos correspondientes

∠a y ∠e ∠b y ∠f ∠c y ∠g ∠d y ∠h

 Ángulos alternos internos

∠c y ∠e ∠d y ∠f

 Ángulos alternos externos

∠a y ∠g ∠b y ∠h

 Ángulos colaterales internos

∠c y ∠f ∠d y ∠e

 Ángulos colaterales externos

∠a y ∠h ∠b y ∠g

 Matemáticas 2

124

Geometría

Teorema Fundamental del Paralelismo.-

Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante,

si y sólo si: a) b) c) d) e)

Los ángulos correspondientes son iguales. Los ángulos alternos internos son iguales. Los ángulos alternos externos son iguales. Los ángulos colaterales internos  son suplementarios. Los ángulos colaterales externos  son suplementarios.

12.6

Triángulo

Definición.-

Es una figura geométrica determinada por tres rectas que se cortan en tres puntos

diferentes.

Notación.Definición.-

∆

12.6.1.-

Clasificación

 ABC . ∆ ABC  =  AB ∪ BC ∪ AC 

Según sus lados.

Equilátero.-

Cuando sus lados son iguales, es decir: ∆ ABC es equilátero si.

 AB ≅ BC ≅ CA ∠BAC ≅ ∠ ACB ≅ ∠CBA

Isósceles.-

Tiene al menos dos lados iguales: ∆ ABC  es isósceles si:

 AC  ≅ BC  ∠CAB = ∠ ABC , ∠CAB ≠ ∠BCA , ∠ ABC ≠ ∠BCA

 Matemáticas 2

125

Geometría

Escaleno.-

Tiene sus lados diferentes ∆ ABC  es escaleno si:

 AB ≠ BC ≠ CA ∠BAC ≠ ∠ ACB ≠ ∠CBA

Según sus ángulos:

Triángulo rectángulo.-

Definición: Catetos.Hipotenusa.-

Es aquel que tiene un ángulo de 900

Son los lados del triángulo que forman al ángulo recto (90 0) Es el lado opuesto al ángulo recto

Triángulo acutángulo.-

Es aquel que tiene sus tres ángulos menores de 90 0  (ángulos

agudos)

Triángulo obtusángulo.-

 Matemáticas 2

Es aquel que tiene un ángulo mayor de 90 0.

126

Geometría

12.6.2.-

Rectas y puntos notables en el triángulo

Mediana En un triángulo, es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. La intersección de las tres medianas recibe el nombre de baricentro.

Mediatriz Es la recta perpendicular que divide a un segmento en partes iguales. En un triángulo, la intersección de las tres mediatrices es un punto llamado circuncentro.

Bisectriz Es la semirrecta que parte del vértice de un ángulo y lo divide en dos exactamente iguales. En un triángulo, la intersección de las tres bisectrices es un punto llamado incentro.

 Matemáticas 2

127

Geometría

Altura de un triángulo Es la perpendicular trazada desde un vértice de un triángulo al lado opuesto o a su prolongación. La intersección de las tres alturas es un punto llamado ortocentro.

Recta de Euler.-

Une cincuncentro (mediatrices), baricentro (medianas) y ortocentro (alturas). No existe en los triángulos equiláteros.

 Matemáticas 2

128

Geometría

12.7

Congruencia de Triángulos

Definición.

Se dice que dos figuras son congruentes cuando pueden hacerse coincidir en todos

sus puntos.

Partes homólogas Se llaman partes homólogas en dos figuras iguales o de una misma forma a las que son correspondientes. Pueden ser ángulos o lados y se señalan con un número igual de marcas.

Notación.-

∆ ABC ≅ ∆RST 

Esta notación sirve para establecer las siguientes relaciones de congruencia:  AC  ≅ RT  y BC  ≅ ST   AB ≅ RS ,

∠ ABC  ≅ ∠RST  ,

∠BCA ≅ STR  y ∠CAB ≅ ∠TRS

12.7.1 Postulados de congruencia 1.-

L.A.L.

2.-

 A.L.A.

3.-

L.L.L.

Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo, los dos triángulos son congruentes. Dos triángulos son iguales si tienen iguales respectivamente un lado y los ángulos adyacentes a ese lado. Si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro, los triángulos son iguales.

12.8

Semejanza de Triángulos

Llámese triángulos semejantes aquellos cuyos ángulos son iguales respectivamente y cuyos lados son proporcionales.

Definición.-

Notación. Matemáticas 2

∆ ABC  ∆RST  .

129

Geometría

Razón de semejanza. Es el cociente entre dos lados homólogos cualquiera de dos triángulos semejantes, esta proporción es la que nos permite realizar cálculos con los lados del triángulo.

Es decir si ∆ ABC  ∆RST  entonces ~

 AB  AC  BC  = = = k , donde k  es llamada razón de RS RT  ST 

semejanza. Nota.- Es muy importante escribir de manera adecuada la semejanza de triángulos, para lograr esto es sólo hay que escribir los ángulos congruentes en cada triángulo.

Teorema básico de proporcionalidad. Toda paralela a un lado de un triángulo forma con los otros dos lados un triángulo semejante al primero.

Como ∆ ABC  ∆ MNC  se tiene:

 AB BC   AC  = =  MN  CN   MC 

12.8.1 Postulados de Semejanza 1.-

L.L.L.

2.-

 A.A.A. Si dos triángulos son mutuamente equiángulos (todos los lados iguales), son

Si los tres lados de un triángulo son respectivamente proporcionales a los del otro triángulo, los dos triángulos son semejantes.

semejantes.

3.-

L.A.L. Si dos triángulos tienen un ángulo igual comprendido entre lados proporcionales,

los dos triángulos son semejantes.

 Matemáticas 2

130

Geometría

12.9

Teoremas importantes en el triángulo

Teorema.(Suma de los ángulos en un triángulo): La suma de los ángulos internos en un triángulo es 180º.

∠α  + ∠ β  + ∠γ  = 1800

En cualquier triángulo  ABC  se tiene que el ángulo externo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes a el.

Teorema.-

∠ β  = ∠ + ∠γ 

Teorema.-

Dos alturas correspondientes cualesquiera de dos triángulos semejantes están en la misma razón o proporción que los lados correspondientes.

Teorema de la bisectriz.-

La bisectriz de un ángulo interior de un triángulo divide al lado opuesto en partes proporcionales a los lados adyacentes.

 AC  BC  =  AD BD

Teorema.-

Si una recta biseca un lado de un triángulo y es paralela a otro lado, biseca también

el tercer lado.

Teorema.-

La recta que une los puntos medios de lados de un triángulo es paralela al tercer lado e igual a la mitad de ese lado.

Teorema.-

Dos triángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos o perpendiculares

son semejantes.

 Matemáticas 2

131

Geometría

Teorema.-

(Teorema de Pitágoras)

“En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

b2 = a2 + c 2

Teorema.C1.C2.C3.-

Del teorema de Pitágoras, se derivan los siguientes criterios:

Un triángulo es acutángulo si b 2 < a 2 + c 2 siendo b el lado mayor. Un triángulo es obtusángulo si b 2 > a 2 + c 2 siendo b el lado mayor. Un triángulo es rectángulo si b 2 = a 2 + c 2 siendo b el lado mayor.

Teorema (Desigualdad triangular).-

La suma de dos lados cualquiera de un triángulo es mayor que el tercer lado; y la diferencia, menor.

a) b) c)

b+c > a, a+c > b, a+b >c,

b−c < a a−c < b a−b < c

Teorema.-

En un triángulo rectángulo cualquiera, la altura correspondiente a la hipotenusa divide al triángulo en otros dos que son semejantes entre sí y semejantes también al triángulo original

Teorema.-

En un triángulo rectángulo la mediana trazada a la hipotenusa es igual a su mitad

Teorema.-

Si los lados de un triangulo son a, b y c; la mediana

mide mc =

 Matemáticas 2

2

a 2 + 2b 2 − c 2 2

132

m

c

trazada hacia el lado c,

Geometría

12.10 Ejercicios 1.a) b) c) d) e) f) g) h) i)

Realizar las siguientes conversiones: 10º 23´ 15´´ a radianes 256.68º a grados, minutos y segundos. a grados, minutos y segundos. 3 − 1 rad. π  7

rad.

34º 45´23´´ 123.45º 543º 24´35´´ 134.678º 3 4

rad.

a grados a decimal a grados, minutos y segundos a radianes a radianes a grados, minutos y segundos

2.-

Hallar dos ángulos tales que sean complementarios y la medida del menor es 40 0  menor que la medida del mayor.

3.

Hallar dos ángulos tales que sean suplementarios y la medida del menor es la mitad de la medida del mayor.

4.-

Hallar dos ángulos que sean adyacentes y forman un ángulo que mide 140 0. La medida del menor es 280 menor que la medida del mayor.

5.-

Hallar dos ángulos tales que sean complementarios. Uno mide 10 0 menos que tres veces el

otro.

6.Sobre un segmento  AB = 2 a , tomado como base, se construyen tres triángulos isósceles  ACB, AC´B y AC”B, de alturas respectivas a , 2 a y 3a . Demostrar que C + C ′ + C ′′ = 180º . 7.-

Si ∠ A es cuatro veces ∠B, y el complemento de ∠B es cuatro veces el complemento de ∠ A.

Hallar ∠B Encontrar un punto  M , en la recta L tal que d( MA) = d ( MB) . ( d( MB)  significa la distancia del punto B a la recta L.

8.-

9.-

Se quiere instalar una estación de servicio sobre la ruta R de manera que equidiste de las ciudades A y B.

.  Matemáticas 2

133

Geometría

10.-

Construir un triángulo sabiendo que a = 9cm , b = 6cm  y c = 5cm .

11.-

Trazar un triángulo rectángulo que tenga: un cateto de 4 cm. y el otro de 5 cm.

12.-

Trazar un triángulo rectángulo que tenga: un cateto de 5cm. y la hipotenusa de 7cm.

13.-

Construir un triángulo isósceles conociendo: conociendo: la base de 4cm. y la altura de 6cm.

14.i.ii.-

Construir dos cuadrados: De 4cm. de lado. Conociendo su diagonal de 6cm

15.-

Ubicar en el dibujo un farol F, que equidiste de las calles A, B y C.

16.-

Realizar el bosquejo de un parque en forma rectangular, de 6m de ancho por 10m de largo, donde se plantarán tres árboles según las indicaciones siguientes: Un pino, que debe estar a 3m de la esquina A y a 2m del lado AB. i.Un cedro que debe estar a igual distancia de las esquinas C y D y a 5m del lado AB. ii.Un sauce que deberá estar a 2m del lado BC y a igual distancia de los lados DC y BC. iii)

17.-

Ubicar un punto P, que equidiste de los puntos A y B  y de las rectas M y N respectivamente.

18.i.ii.iii.-

Se desea construir una plaza con las siguientes indicaciones: En forma triangular de lados 7m, 6m y 5m con un foco de luz L, en cada esquina. Una fuente F, que se encuentre a igual distancia de cada foco. Tres asientos S, que se encuentran cada uno a 2m del camino que une cada foco.

Construir un triángulo sabiendo que a = 6cm , m A = 2cm  y c = 3cm ; m A significa la medida de la mediana trazada desde el vértice  A.

19.-

Construir un triángulo sabiendo que a = 7cm , b = 5cm  y h A = 3cm ; h A significa la medida de la altura trazada desde el vértice  A.

20.21.-

Construir un triángulo sabiendo que a = 5cm , m A = 2cm  y h A = 2cm .

 Matemáticas 2

134

Geometría

22.a) d) g)

Construir los siguientes ángulos con regla y compás: 90º b) 60º 30º e) 45º 150º h) 15º

23.-

Construir un triángulo rectángulo que tenga un cateto de 4cm y el ángulo adyacente de 30º.

24.-

Construir un triángulo isósceles conociendo la base de 6cm y un ángulo adyacente de 30º.

25.-

Construir un triángulo conociendo:

a = 6cm

∠C  = 30º

∠B = 45º

26.-

Construir un triángulo conociendo:

a = 8cm

m A = 10cm

∠B = 45º

27.-

Construir un triángulo conociendo:

b = 6cm

h B = 5cm

∠B = 45º

28.-

Construir un triángulo conociendo:

a = 4cm

b = 6cm

∠C  = 60º

29.-

Construir un triángulo conociendo:

b = 5cm

∠ A = 90º

∠C  = 30º

c) f) i)

105º 120º 75º

Considera el paralelogramo  ABCD  con los puntos P, Q y R indicados. Si ∠ ARQ = 150º , 30.∠QPC = 35º y ∠PCB = 45º . ¿Cuánto vale ∠PQR ?

En un triángulo  ABC ,  AB = AC , ∠ A = 40 0 . Un punto O  se encuentra en el interior del triángulo de tal manera que ∠OBC = ∠OCA . Hallar el número de grados del ∠BOC  .

31.32.-

En la figura  AB = AC , ∠BAD = 300, y  AE = AD . Hallar el valor del ángulo x.

33.-

En el diagrama las longitudes SP, SQ y SR son iguales y el ángulo SRQ es de xº. Encontrar el valor en grados del ángulo PQR .

 Matemáticas 2

135

Geometría En la siguiente figura, los segmentos  AY  y  y BX  son  son perpendiculares a los segmentos BC  y  y AC  respectivamente. Si el ángulo ∠ ABC   mide 500  y el ángulo ∠BAC   mide 600. ¿Cuánto mide el ángulo ∠BTY ?

34.-

Si en el triángulo  ABC ,  AC  = 35. = CD y ∠CAB − ∠ ABC = 30º , encuentra el valor en grados del ∠BAD .

En el triángulo adjunto  ADE, se dibujan EB y EC . ¿Cuáles de las siguientes relaciones entre ángulos son verdaderas?

36.A) B) C) D) E)

x+ z = a+b y + z = a+b m+x = w+n x+z+n = w+c+m x+y+n= a+b+m

En el triángulo  ABC ,  AB =  AC  y ∠ A = 80 0 . Si D, E y F se encuentran en los lados BC , AC   37. = BD . Hallar ∠EDF  y  AB respectivamente, y CE = CD , BF  =

 de  ABD es un triángulo rectángulo con ángulo recto en B. En  AD se encuentra un punto C  de tal manera que  AC  =  = CD y  AB = BC  . Encontrar la magnitud del ángulo DAB.

38.-

 Matemáticas 2

136

Geometría Demostrar que si en el triángulo PQR, RS es la bisectriz del ángulo R, PQ se extiende hasta 39.D y el ángulo n es recto, entonces ∠m = 12 (∠ p + ∠q )

En el triángulo  ABC , se tiene que CA = CB . En el lado CB es construido un cuadrado BCDE fuera del triángulo. Si x  es el número de grados del ángulo DAB. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? I.x depende del triángulo  ABC . II.x es independiente del triángulo  ABC . III.x puede ser igual al ángulo CAD. IV.x nunca puede ser igual al ángulo CAB. V.x es mayor que 45 0 pero menor que 90 0.

40.-

41.-

En la figura siguiente, hallar el valor del ángulo x

42.-

Dos paralelas son atravesadas por dos transversales de manera que se intersectan con los ángulos marcados en la figura. ¿Cuánto mide el ángulo x?

43.-

En la figura la recta rs ⎜⎜ qt , encontrar los ángulos: ∠a , ∠b  y ∠c .

 Matemáticas 2

137

Geometría

En la figura siguiente  ABCD es un paralelogramo, ∠ ADB = 30 0 y ∠ ABD = 180 . Encontrar los ángulos ∠a , ∠b , ∠c , ∠d .

44.-

45.-

Hallar los valores x e y en la siguiente figura, sabiendo que las rectas rs ⎜⎜ qt .

46.-

Hallar los valores x e y en la siguiente figura, sabiendo que las rectas rs ⎜⎜ qt .

47.-

¿Cuál es el número de triángulos escalenos que tienen en todos los lados valores enteros y perímetro menor que 13?

48.-

¿Cuántos triángulos diferentes pueden hacerse utilizando cinco varillas de longitud 2, 3, 4, 5 y 6 si se escogen tres de éstas? Si ∆ ABC   es un triángulo equilátero y PQR los puntos medios de los lados. ¿Qué tipo de triángulo es PQR?

49.-

 Matemáticas 2

138

Geometría

En un triángulo  ABC ,  AB = 12 ,  AC = 7 y BC = 10 . Si los lados  AB y  AC   se duplican mientras que BC  permanece constante. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? I.El área se duplica. II.La altura se duplica. III.El área es cuatro veces el área original. IV.Las medianas permanecen sin cambio. V.El área del triángulo es cero.

50.-

51.-

En la figura  AD ⊥ AC  , BC  ⊥  AC   y BD  biseca a  AC .Muestre que ∆ AED ≅ ∆CEB .

52.-

Demuestra que si una línea es bisectriz de un ángulo de un triángulo y es perpendicular al lado opuesto, entonces ésta biseca ese lado.

53.-

Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan entre sí, entonces sus lados opuestos son congruentes.

54.-

Sea  ABCD  un paralelogramo. Se construyen triángulos equiláteros  ABF  y  ADE  hacia el exterior de ABCD. Prueba que el triángulo FCE es equilátero.

55.-

La perpendicular a la bisectriz de un ángulo de un ángulo forma con los lados un triángulo isósceles.

56.-

Si dos perpendiculares se bisecan entre sí, todo punto de una cualquiera de ellas equidista de los extremos de la otra. Dos rectas perpendiculares entre sí cruzan los lados  AB, BC , CD y  AD del cuadrado  ABCD en los puntos E, F , K , L, respectivamente. Demostrar que EK  = FL .

57.-

De B se traza una perpendicular a la bisectriz del ángulo  A del triángulo  ABC . Sean X  su pie, e Y  el punto en que BX  encuentra AC o su prolongación. Demuéstrese que BX  = XY .

58.-

 Matemáticas 2

139

Geometría

59.-

Si del punto en que la bisectriz de un ángulo de un triángulo encuentra el lado opuesto se trazan paralelas a los otros dos lados, limitadas por los lados del triángulo, estas paralelas son iguales.

60.-

Si de uno de los vértices de un cuadrado se trazan rectas a los puntos medios de los lados del ángulo opuesto, estas rectas son iguales.

61.-

En la figura tenemos que AC = AB y ∠α = ∠β. Probar que  MP = PN  y  AM  =  AN  .

Sea  ABC un triángulo equilátero. M es el punto medio del segmento  AB y N   es el punto medio del segmento BC . Sea P  el punto exterior a  ABC   tal que el triángulo  ACP es isósceles rectángulo en P. PM  y AN  se cortan en I . Probar que CI  es la bisectriz del ángulo  MC 

62.-

63.-

El ángulo B del triángulo  ABC   es trisecado por BD y BE donde D y E son puntos en  AC . Mostrar que es válida la siguiente igualdad.

 AD ( AB)(BD) = EC  (BE)(BC )

Considere un triángulo  ABC  y D es el punto medio de BC . Si una paralela a  AD corta a  AB 64.en D, a AC  en Q y a la paralela a BC  por A en M . Pruebe que M  es el punto medio de PQ. Sean  ABC y DEF dos triángulos tales que  AB es perpendicular a DE, BC es perpendicular a 65.EF y CA es perpendicular a FD. Demostrar que los triángulos  ABC y DEF son semejantes.

66.-

Mostrar que si proporcionales.

∆ ABC  ∼ ∆ A′B′C ′ , entonces las alturas de estos triángulos son

Un rectángulo inscrito en un triángulo tiene su base sobre la base b del triángulo. Si la altura del triángulo es h, y la altura x del rectángulo es la mitad de la base del rectángulo, muestra que

67.-

x=

bh 2h + b

68.-

Demostrar que las medianas en el triángulo se intersectan en un punto y se dividen por éste en razón 1:2. Los lados del triángulo  ABC   son BC  = a , CA = b y  AB = c . Determinar la relación, en la cual el punto de intersección de las bisectrices divide la bisectriz del ángulo B.

69.70.-

Demostrar que la suma de las distancias desde cualquier punto de la base del triángulo isósceles hasta sus lados es igual a la altura del triángulo trazada a uno de los lados iguales.

 Matemáticas 2

140

Geometría

71.-

Demostrar que la bisectriz del ángulo recto de un triángulo rectángulo divide por la mitad el ángulo entre la mediana y la altura bajadas sobre la hipotenusa.

72.-

Hallar la longitud del segmento de una recta paralela a las bases de un trapecio, la cual pasa por el punto de intersección de las diagonales, si las bases del trapecio son a y b. En ∆ ABC , Z es cualquier punto en la base  AB . CZ  es dibujado. Una línea es dibujada a través de A paralela a CZ  e intersecta a la prolongación de BC  en X . Una línea es dibujada a través

73.-

de B paralela a CZ  e intersecta a la prolongación de  AC  en Y . Probar que

1

+

1

=

1

 AX  BY  CZ

.

Considere el triángulo  ABC  con ángulo recto en C ;  AC  = 3  y BC  = 4 . El triángulo ABD con ángulo recto en A y  AD = 12 . Los puntos C  y D están en lados opuestos de  AB. Un línea trazada desde D y paralela a  AC  encuentra a la extensión de CB en E.

74.-

Encuentre el valor de m y n tal que

DE m =  y (m , n ) = 1 DB n

75.En el triángulo ABC, ∠ ABC  = 120º ,  AB = 3 y BC  = 4 . Si se construyen perpendiculares a  AB  en A y a BC  en C , de tal manera que se intersectan en D. Encuentre CD 76.-

Dos postes de 20 y 80 unidades de longitud se encuentran separados 100 unidades. Encontrar la altura del punto de intersección de las líneas que unen lo alto de cada poste con el pie del poste opuesto.

 Matemáticas 2

141

Geometría

En la figura se da el ángulo C  = 90º  AD = DB , DE ⊥ AB ,  AB = 20 y  AC = 12 . Calcular el área del cuadrilátero ADEC .

77.-

Sea ABCD un paralelogramo con ∠ ABC  = 120º ,  AB = 16  y BC  = 10 . Se prolonga CD a través del punto D hasta E de tal manera que DE = 4 . Si BE  intersecta a  AD  en F , calcular el valor de FD.

78.-

79.-

En el triángulo  ABC , AL biseca al ángulo  A y CM  biseca al ángulo C . Los puntos L y M  están

sobre BC  y  AB, respectivamente. Los lados del triángulo  ABC  son a, b y c. Si

 AM  CL , encontrar =k  MB LB

el valor de k. Sea ∆ ABC    un triángulo rectángulo y h  una altura sobre la hipotenusa  AB. Si esta altura divide a la hipotenusa  AB en dos segmentos, p y q donde p = 5 y q = 2. ¿Cuánto mide h?

80.-

En el triángulo rectángulo  ABC; BC  = 5 ,  AC = 12  y  AM  = x ;  MN  ⊥  AC , NP ⊥ BC  y N  está 81.en  AB. Si y = MN + NP   y es la mitad del perímetro del rectángulo  MCPN,  mostrar que y = 121 (144 − 7x ) .

82.-

Si los lados de un triángulo rectángulo son b y c, mostrar que

bc 2  es la longitud de la b+c

bisectriz del ángulo recto. En el triángulo ABC , AB = 3, BC = 4 y ∠ ABC  = 900 . Un punto Q se encuentra en el segmento 83. AC . Sea P un punto fuera del triángulo  ABC   tal que el segmento PQ sea paralelo a  AB y PQ = 1. ¿Cuál es el área del triángulo  APC ?.

 Matemáticas 2

142

Geometría Un punto F  es tomado en la extensión del lado  AD del paralelogramo  ABCD. BF  intersecta a la diagonal AC  en E y al lado DC  en G. Si EF = 32  y GF  = 24 , calcular la magnitud de BE.

84.-

La bisectriz interior de ∠B, y la bisectriz exterior de ∠C  de ∆ ABC   se cruzan en D. A través del punto D, una línea paralela a CB   intersecta a  AC  y  AB en L y  M   respectivamente. Si las medidas de LC   y  MB  del trapecio CLMB son 5 y 7 respectivamente, encontrar la medida de LM .

85.-

86.-

En el triángulo  ABC , el ángulo  A  es dos veces mayor que el ángulo B. Si los lados del

triángulo son a, b y c, mostrar que: a = b 2 + bc

87.-

Un cuadrado pequeño es construido dentro de un cuadrado de área 1 al dividir cada lado del cuadrado unitario en n  partes iguales y al unir los vértices del cuadrado con los puntos de división del lado opuesto como se muestra en la figura. Encontrar el valor de n para que el área del 1 cuadrado pequeño sea 2005 .

}

1 n

Una mesa tiene un hoyo circular de 12 cm  de diámetro. Descansando en el hoyo se encuentra una esfera de 20 cm de diámetro. Si la mesa tiene 30 cm de altura. ¿Cuántos centímetros de distancia hay desde el punto más alto de la esfera hasta el piso?

88.-

 Matemáticas 2

143

Geometría

89.-  AB es la hipotenusa de un triángulo rectángulo  ABC , la mediana  AD = 7   y la mediana BE = 4 . Calcular la longitud de  AB. 90.-

En lugar de caminar a lo largo de dos lados adyacentes de un campo rectangular, un chico toma un atajo a lo largo de la diagonal del campo y ahorra una distancia igual a ½ del lado más largo del campo. Encontrar la razón entre el lado menor y el lado mayor del rectángulo.

91.-

Encontrar el radio del círculo más pequeño que contiene a la figura simétrica formada por 3 cuadrados unitarios.

92.-

Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene 10 centímetros y el radio del círculo inscrito tiene 1 centímetro; calcular el perímetro del triángulo.

93.-

¿Cuál es el área del mayor triángulo equilátero que puede ser inscrito en un cuadrado de

lado a? El lado  AC   del triángulo  ABC   se divide en 8 partes iguales. Siete segmentos de recta paralelos a BC   se dibujan desde los puntos de división. Si BC  = 10 , encuentra la suma de las longitudes de los siete segmentos.

94.-

95.-

En un triángulo  ABC  tenemos que P es el punto medio de AB y Q es el punto medio de  AC . Si el área de PQC  es 1, ¿cuál es el área de  ABC ?

 ABCD es un trapecio de bases  AB = 10 y CD = 6 . La altura mide 4. Sea P  el punto medio del lado AD y Q el punto medio de PB. Hallar el área del triángulo PQC . 96.-

97.-  ABCD  es un rectángulo tal que  AB = 5 y CB = 3 . Si DN   es perpendicular a  AP, calcular  AP ⋅ DN  .

 Matemáticas 2

144

Geometría Un cuadrado BCDF  de lado 6 es dibujado en el triángulo  ACE tal que F  está en AE. Si AE es de longitud 20, ¿cuál es el perímetro del triángulo  ACE?

98.-

99.-

El cuadrado mostrado tiene lados de longitud 2. ¿Cuál es el radio del círculo?

100.-

 ABCDE  es un pentágono regular, P  es un punto dentro de  ABCDE  tal que PED  es un triángulo equilátero. ¿Cuál es la medida del ángulo  APB? 101.-

PQRS es un rectángulo, y  M  es un punto de su diagonal. ¿Qué proporción guardan las dos

superficies grises? A) La de arriba es más grande B) La de abajo es más grande C) Son iguales D) Sólo son iguales si  M es el punto medio E) No hay suficientes datos

102.- El largo de un rectángulo  ABCD es de 5 unidades y su ancho es de 3 unidades. La diagonal  AC  es dividida en tres segmentos iguales por los puntos E y F . ¿Cuál es el área del triángulo BEF ? 103-

Un tanque cilíndrico de aceite, tendido horizontalmente, tiene una longitud de 10 metros y un diámetro interior de 6 metros. El aceite que contiene determina una superficie rectangular de 40 metros cuadrados, la profundidad del aceite es:

104.-

Un triángulo equilátero de lado 2, se divide en un triángulo y un trapecio al dibujar una recta paralela a uno de los lados. Si el área del trapecio es igual a la mitad del área del triángulo original, entonces la longitud de la base media (media aritmética) del trapecio es:

 Matemáticas 2

145

Geometría

105.-

Un triángulo equilátero de lado 2, se divide en un triángulo y un trapecio al dibujar una recta paralela a uno de los lados. Si el área del trapecio es igual a la mitad del área del triángulo original, encuentra la longitud de la base media (media aritmética) del trapecio.

106.-

Dos triángulos congruentes (30º-60º-90º) son colocados de tal manera que se sobreponen parte de ellos y sus hipotenusas coinciden. Si la hipotenusa de cada triángulo es 12, calcula el área común de ambos triángulos. En un triángulo  ABC , C  es el ángulo recto. La altura CH  y la mediana CM  trisecan al ángulo recto. Si el área del ∆CHM  es K , encuentra el área del ∆ ABC   en términos de k.

107.-

108.- El segmento AC  es perpendicular al segmento CE. Se une el punto  A con el punto medio D de CE y unimos E con el punto medio B de AC . Si AD y EB se intersectan en F y BC  = CD = 15 , ¿cuál es el área del triángulo DFE? Las medianas AD y CE del triángulo  ABC  se intersectan en  M . El punto medio de  AE es N  y el área del triángulo  MNE es K  veces el área del triángulo ABC . Encuentra el valor de K .

109.110.-

450 uno

111.-

Encuentre el área común de dos cuadrados de lado 1, donde uno se obtiene del otro al girar sobre un vértice del otro.

450 uno

Encuentre el área común de dos cuadrados de lado 1, donde uno se obtiene del otro al girar sobre un vértice del otro.

112.-

Encuentra La suma de los ángulos del 1 al 6 de la siguiente figura.

113.-

En la figura X  e Y  son puntos medios,  AB = 15 y BC = 14. ¿Cuánto vale ZY + XZ ?

114.-

En el triángulo ABC, sean D y E puntos en los lados BC y AB respectivamente. Sea F un punto en el lado AC tal que EF ⎜⎜BC y sea G un punto en el lado BC tal que EG ⎜⎜AD. Si M y N son los puntos medios de AD y BC, demuestre que

EF  EG + =1. BC   AD

 Matemáticas 2

146

Bibliografía 1.-

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Florence M. Lovaglia Álgebra Harla México, 2000

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 Matemáticas 2

147