TEORÍA DE LAS RENTAS

UNIVERSIDAD SAN PEDRO

FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES Y ADMINISTRATIVAS

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CONTABILIDAD

Matemática FINANCIERA

Teoría de las Rentas y sus Aplicaciones

Lic. Herrera Vega, Héctor Alexis

2010

Teoría de las Rentas

ÍNDICE Pág. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1. Renta. Renta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 2. Element Elementos os de la Renta. Renta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 2.1 Término Término de la la Renta Renta 2.2 Periodo o intervalo de pago 2.3 Plazo Plazo de la Renta Renta 3. Clasific Clasificaci ación ón de las las Rentas. Rentas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.1 Rentas Rentas Cierta Ciertass 3.2 Rentas Inciertas Inciertas o Contingentes Contingentes 4. Rentas Rentas Tempora Temporales les Vencid Vencidas as u Ordinar Ordinarias. ias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.1 Fórmulas Fórmulas Básica Básicass 4.2 Simb Simbolog ología ía 4.3 Fórmulas Complementarias Complementarias 4.4 Observac Observacione ioness 5. Rentas Rentas Tempora Temporales les Antic Anticipad ipadas as o Imposic Imposicione iones. s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Problemas de Aplicación I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 6. Rentas Rentas Tempora Temporales les Diferi Diferidas. das. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6.1 Rentas Temporales Temporales Diferidas Diferidas de Pago Vencido Vencido 6.2 Rentas Temporales Temporales Diferidas de Pago Pago Anticipado Anticipado 6.3 Observac Observación ión Problemas de Aplicación II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 7. Rentas Rentas Perpetu Perpetuas. as. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 7.1 Rentas Perpetuas Vencidas 7.2 Rentas Perpetuas Anticipadas Anticipadas 7.3 Rentas Perpetuas Diferidas 7.4 Costo Costo Capital Capitalizad izadoo Problemas de Aplicación III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Ejercicios Ejercicios Propuestos I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ejercicios Propuestos II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ejercicios Propuestos III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Lic. Herrera Vega, Héctor

2


INTRODUCCIÓN La costumbre de pagar, por hacer uso de un dinero prestado, tiene su razón de ser en el sistema económico en que vivimos. Por ejemplo, los ingresos de los bancos se derivan principalmente de préstamos e inversiones; asimismo, las compañías de seguro y las compañías inversionistas son empresas que desaparecerían si las leyes no reconocieran e hicieran cumplir la obligación de pagar el uso del dinero. Debido a la interacción entre las finanzas y las matemáticas, muchas situaciones financieras implican una sucesión de pagos iguales a intervalos regulares como: Depósitos semanales en una cuenta de ahorro, pagos mensuales de una hipoteca o de un automóvil, etc. Todo esto ha representado una fuente de formación de conceptos y fórmulas matemáticas que han dado origen a la teoría de rentas.

Lic. Herrera Vega, Héctor

3


TEORÍA DE LAS RENTAS

1. RENTA Una renta o anualidad es una serie de pagos o cobros efectuados en periodos regulares de tiempo. Son ejemplos de rentas el alquiler mensual de una vivienda, los depósitos semanales en una cuenta de ahorros, la pensión que cada mes cobra un jubilado, los pagos anuales para devolver progresivamente un préstamo; etc. 2. ELEMENTOS DE LA RENTA 2.1 Término de la Renta Es el importe de cada pago o cobro que se efectúa periódicamente. Al de la renta

también se le conoce como pago periódico o simplemente

término

renta.

2.2 Periodo o intervalo de pago Es el tiempo transcurrido entre dos términos de renta consecutivos. 2.3 Plazo de la renta Es el tiempo transcurrido entre el inicio del primer periodo y el final del último periodo de la renta. Se puede decir, que el plazo de una renta es igual al número de periodos. 3. CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS 3.1 Rentas Ciertas Son aquellas cuya duración o plazo está definido. Este tipo de rentas es materia de estudio de la Matemática Financiera. 3.2 Rentas Inciertas o Contingentes Son aquellas cuya duración o plazo no está definido, dependiendo de circunstancias como por ejemplo la vida de una o varias personas. Constituyen el fundamento de la Matemática Actuarial o Matemática de los Seguros.


4


A continuación se presenta un diagrama general de la clasificación de las rentas. RENTAS

CIERTAS

TEMPORALES

INCIERTAS

PERPETUAS

INMEDIATAS

DIFERIDAS

VENCIDAS

ANTICIPADAS

CONSTANTES

VARIABLES

SIMPLES

GENERALES

También tenemos un esquema de los diagramas correspondientes a las rentas ciertas: a) Renta temporal vencida u ordinaria R

R

R

R

R

4

n-1

n

R

R

R

... 0

1

2

3

b) Renta temporal anticipada o imposición R

R

R

R

... 0


1

2

3

4

n-1

n

5


c) Renta temporal vencida diferida 2 periodos R

R

R

R

n-1

n

... 0

1

2

3

4

d) Renta temporal anticipada diferida 2 periodos R

R

R

R

... 0

1

2

3

4

n-1

n

R

R

R

R

R

e) Renta perpetua vencida R

... 0

1

2

3

4

n-1

n

R

R

R

R

R

n-1

n

R

R

n-1

n

∞

f) Renta perpetua anticipada R

R

... 0

1

2

3

4

∞

g) Renta perpetua vencida diferida 2 periodos R

R

... 0

1

2

3

4

∞

h) Renta perpetua anticipada diferida 2 periodos R

R

R

R

R

n-1

n

... 0

1

2

3

4

∞

4. RENTAS TEMPORALES VENCIDAS U ORDINARIAS Son aquellas en donde las rentas se efectúan al final de cada periodo estipulado 4.1 Fórmulas Básicas Monto o valor futuro: (1 + i) n −1 S = R   i  

Valor presente : Lic. Herrera Vega, Héctor

6


 (1 + i) n −1 P = R  n   i(1 + i)  4.2 Simbología S:

Valor Futuro o Monto

P:

Valor Presente

R:

Renta

n:

Número de periodos o plazo de la renta

i :

Tasa efectiva de interés por cada periodo

4.3 Fórmulas Complementarias a) En función del Valor Futuro o Monto Renta Vencida.   i  n (1 + i) −1

R = S

Número de periodos :

 Si +1  R   n= Log (1 + i) Log 

b) En función del Valor Presente Renta Vencida:

 i(1 + i) n  R = P   n  (1 + i) −1 Número de periodos:  

  R  n =− Log (1 + i) Log 1 −

Pi

4.4 Observaciones: Factor de Capitalización de la Serie (FCS) En la fórmula del monto, el término entre corchetes es conocido como factor de capitalización de la serie uniforme. FCS i ;n

=

(1 + i)

n

−1

i

Factor de Actualización de la Serie (FAS)


7


En la fórmula del valor presente, el término entre corchetes es conocido como factor de actualización de la serie uniforme.

FAS i;n

=

(1 + i) n

−1

i(1 + i)

n

Factor de Depósito al Fondo de Amortización (FDFA) En la fórmula de la renta vencida en función del valor futuro, el término entre corchetes es conocido como factor de depósito al fondo de amortización. FDFA

i ;n

=

i (1 + i) n

−1

Factor de Recuperación del Capital (FRC) En la fórmula de la renta vencida en función del valor presente, el término entre corchetes es conocido como factor de recuperación del capital.

FRC i;n

=

i(1 + i) n (1 + i) n

−1

5. RENTAS TEMPORALES ANTICIPADAS O IMPOSICIONES


8


Son aquellas en donde las rentas se efectúan al inicio de cada periodo estipulado. Fórmulas Monto de una renta anticipada (1 +i)n −1 S = R(1 + i)  i  

 S  i R=   (1 + i) (1 + i)n −1

n

=

 Si  +1 Log  R(1+ i)  Log (1 + i)

Valor presente de una renta anticipada

P

R

=

=R

(1 + i)n −1 (1 + i) n  + i ( 1 i )  

P  i(1 + i)n    (1 + i) (1 + i)n −1

n

=−

 

 R(1 + i)   Log (1 + i)

Log 1 −

Pi

Simbología S

: Valor Futuro o Monto

P

: Valor Presente

R

: Renta anticipada o imposición

n

: Número de Periodos o plazo de la renta

i

: Tasa efectiva de interés por cada periodo

1) Industrias del Mar S.A. (Indumar) y Peruexport han celebrado un contrato por medio del cual la primera le alquila a la segunda un terreno por un periodo de dos


9


años y por una renta de $500 mensuales, los cuales deberá depositar a fin de cada mes en una cuenta bancaria que le reportará a Indumar una TEM del 1,5%. Asumiendo que Peruexport cumplirá con su compromiso. ¿Qué importe habrá acumulado Indumar al finalizar el contrato de alquiler?

Rpta. $ 14 316,76

2) ¿Qué monto se habrá acumulado con imposiciones trimestrales iguales de S/. 500 durante 18 meses, si se colocan en un banco que paga una tasa del 1% mensual con capitalización bimestral?

Rpta. S/. 3 332,97

3) Un local es alquilado por 5 meses con pagos anticipados de S/. 500 ¿Cuál es el valor actual del contrato de arriendo, aplicando una TEM del 3%?

Rpta. S/. 2 358,55

4) Calcule el importe por depositar hoy en un banco que paga una TNC del 12% capitalizable mensualmente, el cual permitirá retirar 5 rentas de 900 u.m cada una al final de cada mes.

Rpta. 4 121,74 u.m.

5) Aplicando una TEM de 4%, calcule el valor presente de una serie compuesta de 20 rentas uniformes vencidas de S/. 2 000 cada una; si la primera renta se pagará dentro de tres meses y las siguientes en periodos de 3 meses cada una. Rpta: S/. 14 494,80 6) Diego tiene en una libreta de ahorros, un importe de S/ 3 000; de la cual piensa retirar, a inicios de cada mes y durante 4 años, una determinada renta constante. Calcule el importe de la renta considerando que el banco paga una tasa nominal bimestral del 2% con capitalización trimestral.

Rpta. S/. 78,05

7) ¿Con cuántos depósitos trimestrales anticipados de S/. 400 se podrá acumular un monto de S/. 4 720 asumiendo una TEC de 4%?

Rpta. 10 depósitos

8) Se necesita adquirir una máquina valorizada en $ 8 000. ¿Dentro de que tiempo podrá disponerse de ese importe ahorrando, cada fin de mes, la suma constante de $ 1 800 en una institución financiera que paga una tasa de interés compuesto del 2% mensual?

Rpta. 4 meses, 9 días

6. RENTAS TEMPORALES DIFERIDAS


10


Son aquellas que consideran un plazo previo, llamado plazo diferido, en el que no se realiza ningún pago, luego del cual se efectúa una renta de pago vencido o anticipado. 6.1. Rentas Temporales Diferidas de Pago Vencido 0

1

2

k-1

k

R

R

R

R

R

1

2

3

n-1

n

Plazo Diferido

Plazo de la Renta Vencida

(k periodos)

(n periodos)

Plazo de la Renta Diferida (n + k periodos) Fórmulas: Monto de una renta vencida diferida “k” periodos

•

(1 + i ) −1 S = R   i   n

Valor presente de una renta vencida diferida “k” periodos

•

 ( 1 + i ) n − 1 P =   (1 + i ) k  i (1 + i ) n  R

6.2. Rentas Temporales Diferidas de Pago Anticipado 0

1

2 Plazo Diferido

k-1

R

R

R

R

R

k

1

2

3

n-1

n

Plazo de la Renta Anticipada

(k periodos)

(n periodos) Plazo de la Renta Diferida (n + k periodos)

Fórmulas •

Monto de una renta anticipada diferida “k” periodos (1+ i) n −1 S = R(1 + i)   i  

•

Valor presente de una renta anticipada diferida “k” periodos  (1 + i) n − 1 R P=   (1 + i) k −1  i(1 + i) n 

6.3. Observación


11


En las Rentas Temporales Diferidas Vencidas o Anticipadas, el plazo diferido (k) afecta el cálculo del Valor Presente (P) mas no del Monto (S)

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1) Hoy día recibo un préstamo por el cual, luego de medio año (periodo de gracia), debo pagar una cuota de S/.150. al final de cada mes, durante los tres años siguientes y a una TEA del 6%. ¿Cuál es el monto al final del tiempo estipulado? ¿Qué cantidad de dinero recibí hoy día? Rpta. S/. 5 886,41 y S/. 4 800,43 2) La compañía AEDO solicita al Banco del Sur un préstamo de 10 000 u.m para cancelarlo en el plazo de un año con cuotas trimestrales anticipadas; el banco cobra una TNA de 20% capitalizable trimestralmente. Si la gerencia de AEDO consigue diferir las dos primeras cuotas sin variar el plazo del crédito, ¿A cuánto ascenderá el importe de las cuotas restantes? Rpta. 5 646, 95 u.m 3) Un empleado estatal recibe por compensación S/. 3 350,64 depositándolo en una cuenta de ahorros que devenga intereses de 1,5% mensual compuesto; para que una vez que su hijo concluya sus estudios secundarios, pueda retirar cada fin de mes S/. 200 durante dos años. Determine el tiempo que falta al hijo para que concluya sus estudios secundarios. Rpta. 1 año. 4) Si hoy día se deposita $ 8 000 en una cuenta de inversiones que paga una TNA de 6% capitalizable mensualmente. ¿Cuántos retiros mensuales anticipados de $500 se podrán hacer comenzando dentro de 6 meses? Rpta. 17,16 retiros

7. RENTAS PERPETUAS Lic. Herrera Vega, Héctor

12


Son aquellas en las cuales el número de rentas no tiene un fin determinado; es decir, el horizonte temporal tiende al infinito. Las rentas perpetuas pueden ser: Vencidas, Anticipadas y Diferidas Observación: Como los términos de la renta perpetua se pagan durante un número infinito de periodos, el Monto (S) es imposible de ser calculado. 7.1. Rentas Perpetuas Vencidas R

R

R

R

n-1

n

R

R

R

... 0

1

∞

3

2

Fórmula del Valor Presente:

P

= R i

7.2. Rentas Perpetuas Anticipadas R

R

R

R

... 0

1

∞

3

2

Fórmula del Valor Presente:

n-1 P

=

R i

n

(1+ i)

7.3. Rentas Perpetuas Diferidas 7.3.1. Rentas Perpetuas Diferidas de pago vencido ... 0

1

2

k -1

R

R

R

1

2

3

k

...

R

R

n -1 1

n

∞

Fórmula del Valor Presente de una Renta Perpetua Vencida Diferida P

“k” periodos:

=

R i(1 + i)

k

7.3.2. Rentas Perpetuas Diferidas de pago anticipado

0

... 1

2

R

R

R

R

R

...

k -1 1

1

k

2

3

n -1 1

R ∞

n

Fórmula del Valor Presente de una Renta Perpetua Anticipada Diferida “k” periodos:

P

= R 1 + ki i(1 + i) (

)

7.4. Costo Capitalizado


13


El costo capitalizado de una activo fijo está constituido por su costo inicial más el valor presente de las infinitas renovaciones para poseerlo permanentemente. Costo Capitalizado = Costo Inicial + Valor Presente Observación: las renovaciones de activos fijos permanentes se producen necesariamente al final de su vida útil.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN III 1)

Con el objeto de apoyar los trabajos de investigación que realiza el

Instituto Americano de Dirección de Empresas, la Fundación GBM decidió donarle a perpetuidad un importe de 10 000 u.m, al final de cada año lectivo. Calcule el valor presente de la donación con una TEA de 6,25% Rpta: 160 000 u.m 2)

Acogiéndose al programa de incentivos por renuncia voluntaria, un

trabajador cobró su indemnización ascendente a S/. 16 700. Si decide colocar esta cantidad en una institución financiera que paga una TEM de 3%, para percibir una renta perpetua al inicio de cada quincena; ¿Cuál será el importe de dicha renta? Rpta: S/. 245 3)

La fundación Pascal ofrece una donación a perpetuidad a la Universidad

San Pablo, estipulando que el primer importe de 10 000 u.m, que se efectuará a inicios importes de

del primer año, se destine a la adquisición de libros y los siguientes 5 000 u.m (entregados anualmente de forma indefinida) sean para el

mantenimiento de la Institución. Calcule el valor presente de esa donación con un costo de oportunidad del capital equivalente a una TEA de 10%. Rpta: 60 000 u.m


14


4)

La construcción y equipamiento de un laboratorio se realizará en dos

años, siendo necesario S/. 1 000 000. El mantenimiento mensual en el futuro asciende a

S/. 100 000. La institución interesada en contar con el laboratorio

decide financiarlo en su integridad, ¿Por cuánto debería ser el financiamiento a una TEM de 2%? Rpta: S/.4 108 607, 44 5)

Hace poco se terminó de construir el puente colgante que une Nueva

Esperanza con San Fernando y se estima que se deberá reemplazarse cada 15 años con una inversión de 20 000 u.m. Calcule el importe que deberá depositarse hoy, para formar un monto que asegure a perpetuidad los reemplazos futuros del puente, si dicho capital percibe una TEA de 10%. Rpta: 6 294, 76 u.m 6)

La canalización de las riberas del río Rimac, en la zona del centro de

Lima, tuvo un costo de $. 40 000. Los técnicos estimaron que cada 15 años debía limpiarse y reforzarse los muros de contención a un costo aproximado de $. 15 000. Calcule el costo capitalizado dada una TEA de 8%. Rpta: $. 46 905,54 7)

Calcule el costo capitalizado de cada poste de madera, utilizados por una

compañía de teléfonos, cuyo precio de adquisición es $. 3 000 cada uno y tienen una vida útil de 5 años; además el costo de sus futuros reemplazos es similar al original. Considere una TEA de 8%. Rpta: $. 9 392,12 8)

Las alfombras de un hotel tienen un costo de S/. 240 por metro cuadrado

y se renuevan cada dos años. Un fabricante ofrece alfombras a S/. 300 el metro cuadrado, con una garantía de tres años. Determinar si a una tasa efectiva de 8%, la nueva oferta es conveniente.


15


1.

Roberto Villanueva es un atleta

efectiva anual.

que considera que su carrera durará 7

S/. 937,43

años. Preparándose para su futuro,

6.

Rpta:

Un empleado se propone viajar,

deposita S/. 22 000 al final de cada año

dentro de dos años, a los Estados Unidos;

en una cuenta que paga una TEA del 6%.

se estima que el viaje costará $. 6 000. Si

¿Cuánto tendrá en su cuenta al finalizar el

puede hacer depósitos bimestrales en un

sétimo año?

banco que paga una TEA de 8.5%.

Rpta: S/. 184 664,43

¿Cuánto debe depositar durante esos dos 2.

Una persona realiza depósitos de

años, al final de cada bimestre, para

S/. 600 el primer día de cada mes. Si sus

acumular dicha cantidad?

depósitos están sujetos a una TEM de

Rpta:

$. 463,46

2.5%. ¿Cuál es su saldo al final del mes 8? 3.

Rpta: S/. 5 372, 71

7.

uniforme que se debe pagar por un

Encontrar el monto de una serie de

préstamo bancario de 8 000 u.m,

10 pagos semestrales vencidos de

amortizable durante un año con pagos

S/.3 000 cada uno, sujetos a una TNA de

mensuales anticipados? Se sabe que el

36% capitalizable trimestralmente.

préstamo genera una TNC del 12%

Rpta: S/. 73 435,58 4.

capitalizable

6 años, para participar en una

excavación

arqueológica.

8.

Quiere

que al venderse al crédito se realizó

trimestre para juntar esa cantidad.

con 12 cuotas mensuales anticipadas de

Encuentre el importe de cada depósito si

S/. 200 cada una.

Rpta: S/. 2 157,37

una tasa del 8% anual

capitalizable trimestralmente.

Rpta: $.

262,97 5.

Utilizando una TEM del 2%; calcule el precio al contado de una maquinaria,

depositar pagos iguales al final de cada

el banco paga

mensualmente.

Rpta: 780,29 u.m

Luis Arce necesita $. 8 000, dentro de

¿Cuál es el importe de la cuota

9.

En el proceso de adquisición de una maquinaria se han recibido las siguientes

El Sr. García desea saber cuánto debería depositar al inicio de cada mes

propuestas: a)

S/. 10000 al contado

para obtener, a fines del mes 10, un monto de S/. 10 000; si la tasa es del 15%


16


b)

Al crédito con una cuota diariamente, Hallar el número de meses inicial

de S/. 2 000 y seis cuotas que deben transcurrir.

mensuales vencidas de S/. 1 500.

13. ¿Qué opción escogería usted, si el costo del dinero es del 5% efectivo mensual? 10.

El ingeniero Pedro Osorio debe ausentarse del país durante medio año por motivos de trabajo (ha sido destacado al Canadá temporalmente). Para evitarse problemas

de

correo

desea

¿Cuántos depósitos mensuales vencidos de S/. 500 serán necesarios ahorrar, para acumular un monto de S/. 5 475 en un banco que paga una TNA de 24%

capitalizable

14.

¿En cuánto tiempo podrá acumularse un monto de S/. 2 000 efectuando depósitos quincenales anticipados de

asegurado el presupuesto familiar que se

S/. 150? El banco paga una TNA de 24%

estima en S/. 2 700 mensuales (cada fin

capitalizable mensualmente.

de mes, pues las compras son al crédito).

Rpta: 12,47 Quincenas

Para ello realizará un depósito en una

11.

15.

¿Cuántas

cuotas

mensuales

3% mensual, de donde su esposa realizará

anticipadas de S/. 1 486 serán necesarias

los retiros mensuales vencidos que

para cancelar un préstamo de S/. 8 500?

cubren el presupuesto familiar. Calcular

La deuda ha sido contraída en un banco

el depósito que deberá hacer hoy el

que cobra una TNA de 24% con

ingeniero Osorio

capitalización trimestral.

Rpta: S/ 14 626, 42

Rpta: 6

Un automóvil, cuyo precio al cash es de $. 10 000, es vendido al

16.

¿En cuántas cuotas de S/. 1 576,14

crédito con una cuota inicial del 35% y

pagaderas cada fin de mes se podrá

12 cuotas mensuales uniformes vencidas.

amortizar un préstamo de S/. 8 000?. La

Calcule el importe de cada cuota si por el

entidad financiera cobra una TEM de

financiamiento cobran una TEM de 5%

5%.

Rpta: $. 733,37 12.

mensualmente?

Rpta: 10

dejar

financiera que paga una tasa efectiva del

Rpta: 14 meses

17.

Rpta: 6 cuotas

La cuota mensual, en la adquisición

Paúl desea realizar depósitos de

de un automóvil, es de $. 500. Si una

S/. 450 cada fin de mes, hasta reunir un

persona decide efectuar en un banco

monto de S/. 6525. Si estos depósitos

depósitos vencidos uniformes cada tres

ganarán una tasa de 6.5% capitalizable

días percibiendo una TEA del 10%,


17


¿Cuál será el importe del depósito que lecontado de S/.3 964,88; al crédito exige una cuota inicial de S/.3 000 y el saldo lo negocia de

permita acumular dicha cuota?

Rpta: $. 49,82acuerdo con las propuestas del comprador, 18.

cobrando una TEM de 5%: Si un cliente solicita

Calcule el importe de los intereses pagar la diferencia en cuatro cuotas fijas acumulados durante 8 meses conmensuales vencidas, empezando desde el tercer imposiciones uniformes bimestrales demes; entonces ¿Cuál será la cuota fija? S/. 1 000; colocadas en una financiera

Rpta. S/. 300

que paga una TNA de 18% capitalizable trimestralmente.

Un activo fijo es adquirido con una

Rpta: S/ 306,79cuota inicial de S/.3000 y cuatro cuotas mensuales vencidas de S/. 300 cada una, las

1)

Un gran hotel estará terminado dentro cuales se deberán empezar a amortizar desde el de un año, luego del cual proyecta por 10 años tercer mes. Si la TEM es de 5%, ¿Cuál sería el tener ingresos, cada fin de mes, de $ 2 000. Calcule el valor presente de esos ingresos, considerando una TEA de 20%.

Para

Rpta. S/. 3 964,88

Rpta.

$. 91 282, 76

2)

precio al contado de dicho activo?

6) que

conviene con su acreedor cancelar su deuda

la instrucción superior de su

efectuando un pago inicial de S/. 2 000

decide colocar hoy un

y S/.1 000 al comienzo de cada mes,

determinado capital con el objeto que después

empezando a inicios del sexto mes y durante

de tres años, al comienzo de cada mes de los

10 meses consecutivos. Si el cliente decide

siguientes cinco años, le permita retirar S/. 250.

efectuar todo el pago al contado, ¿Qué

Si la tasa que puede percibir es una TNB de 1,5%

importe debe cancelar, considerando una

capitalizable cuatrimestralmente. ¿Cuál debe ser

TEM de 3%?

demanden

cubrir

hijo, un padre

las

pensiones

En una transacción comercial un cliente

Rpta. S/.9 578,97

el importe del capital?

7)

Rpta. S/. 9 320,35

3)

entonces luego de 5 años ¿Por cuánto tiempo

Halle el importe de la cuota trimestral

se podrá cobrar S/.1 000 000 al final de cada

vencida a pagar en un financiamiento de S/.10

trimestre si la tasa efectiva anual es de 55%?

000 a una TEA de 40%; el cual debe ser amortizado en

Rpta 2,5 años

4 periodos trimestrales, de los

cuales los dos primeros son diferidos.

Rpta.

S/. 6 705, 76

4)

Si hoy se deposita S/.64 2580,17;

8)

La construcción de una carretera se realizará en 2 años siendo necesario $. 1

vende

000 000. Si después de construirla se decide

compresoras, modelo T230, a un precio al

cobrar derecho de peaje, durante los

“Máquinas

Industriales”

próximos Lic. Herrera Vega, Héctor

5 años. ¿A cuánto asciende el 18


ingreso mensual por peaje, considerando una

una tasa de 9% anual capitalizable

TEM de 1,5% ?

diariamente.

Rpta. 36

Rpta. S/. 19 129, 68

299,98

10) 9)

Calcule el plazo diferido a otorgar en un

Hoy día se realizará un único depósito

financiamiento de S/. 11 166,33 cobrando

con la finalidad de poder realizar 14 retiros

una TEM de 5% para reembolsarse con

mensuales vencidos de S/. 1 500 cada una; el

8 cuotas mensuales vencidas de S/. 2000

primero de ellos será en el sexto mes.

cada una.

Rpta. 3 meses

Determinar dicho depósito, si éste ganará

1)

2)

La Garita de Peaje a Pucusana recauda, en promedio, el importe de S/. 10 000 mensual. ¿Cuál es el valor presente de esas rentas, considerando una TEM de 0,5%.? Rpta: S/.2 000 000 La gran compañía Hacienda S.A, tiene terrenos alquilados en forma indefinida, que le aseguran rentas de $. 500 a inicios de cada mes. ¿Cuál es el valor presente de esos activos considerando una TEM de 1%? Rpta: $. 50 500

3)

Diego Kendal y sus socios han decidido vender su S.R.L, por tal motivo se encuentran estimando cual será el importe a solicitar como precio base. Del análisis de los estados financieros comprueban que la empresa reportaba una utilidad neta trimestral de $. 5 000. Calcule el precio base a discutir por los socios, si la rentabilidad promedio de las inversiones similares es de 40% efectivo anual. Rpta: $. 56 975, 31

4)

Una persona, que en la fecha recibió su liquidación por compensación de tiempo de servicios, decide abrir una cuenta en el Banco Americano que remunera los ahorros con una TEA de 7,45%. El objetivo de este ahorro es retirar, a fin de cada mes, un


importe de 500 u.m, durante un horizonte de tiempo ilimitado. Calcule la cantidad necesaria para aperturar dicha cuenta. Rpta: 83 251,24 u.m El gobierno se comprometió que a inicios de cada año y de forma indefinida, desembolsará un importe de $. 20 000 para mantener la carretera Lima Paramonga. Calcule el valor presente de esta perpetuidad con una TEC de 1,5%. Rpta: $ 457 843,95 Calcule el valor presente de una perpetuidad cuya renta trimestral anticipada es de 300 u.m. La Rpta: 6 TEA aplicable es 20%. 732,92 u.m 7) El directorio de la Fundación GBM ha decidido entregar a la Universidad San Pablo $. 8 000 a inicios del primer año y de allí en adelante un importe de $. 5 000 anualmente. ¿Cuál será el valor presente de esta donación, considerando una TEA de 10%? Rpta: $.58 000 8)

El testamento de una persona recién fallecida establece una donación, para un asilo de ancianos de $. 3 000 inmediatamente después de acaecido su deceso y de allí en adelante $. 2 000 anualmente en forma indefinida. Hallar el valor actual de la donación considerando una TES de 5%. 19


Rpta: $.22 512,20

de $. 150 000, del mismo modo, la pintura cada 5 años cuesta $. 65 000, si la ciudad espera que el estadio dure indefinidamente, ¿Cuál sería el costo capitalizado? Considere una TEA de 12% Rpta: $. 12 364 827,11

9)

El valor presente de una perpetuidad compuesta de rentas mensuales vencidas es de S/. 10 000. Calcule el importe de cada renta considerando una TEA de 20%. Rpta: S/. 153,09

10)

Una persona decidió abrir una cuenta colocando un importe de 8 000u.m, en un banco que remunera los ahorros con una TEA de 6%; su objetivo es retirar indefinidamente una renta uniforme bimestral. Calcule el importe de dicha renta. Rpta: 78,07 u.m

11)

El precio actual de un pozo petrolero es de $. 400 000. Calcule el importe de la renta mensual anticipada a pagar, por la concesión de ese pozo, a un plazo indefinido. La TEA exigida por los dueños es de 40%. Rpta: $. 11 059,96

12)

Una ciudad planea construir un nuevo estadio de fútbol con un costo de $.12 millones. El costo anual de mantenimiento se estima en $. 25 000; además, el césped artificial debe reemplazarse cada 10 años a un costo BIBLIOGRAFÍA 1. ALIAGA VALDEZ, Carlos. Manual de Matemática financiera: Problemas y casos. Primera Edición. Editorial ECITEC. Lima 2008. 2. ANDÍA VALENCIA, Walter. Matemática Financiera y Evaluación de Proyectos. Segunda Edición. CICE. Lima 2007. 3. DIAZ MATA, Alfredo y AGUILERA GÓMEZ, Víctor. Matemáticas Financieras. Cuarta Edición. Mc Graw-Hill. México 2008. 4. LINCOYAN, Portus. Matemáticas Financieras. Editorial Mc Graw-Hill. México 2003


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5. VENTO ORTIZ, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Sétima Edición. Centro de investigación de la Universidad del Pacífico. Lima 2005.


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TEORÍA DE LAS RENTAS

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