http://download262.seambooks.org/pdf/ec uaciones-diferenciales-y-c-aacute-lculo variacional-_23smhn.pdf Teora de la estabilidad estabilidad estudia la estabilidad de las soluciones En matemáticas matemáticas,, la teoría de estabilidad estudia de ecuaciones diferenciales y diferenciales y sistemas dinámicos, dinámicos , es decir, examina cómo difieren las soluciones bajo pequeñas modificaciones de las condiciones iniciales. La estabilidad es muy importante en física y ciencias aplicadas, aplicadas , ya que en general en los problemas prácticos las condiciones iniciales nunca se conocen con toda precisión, y la predictibilidad requiere que pequeñas desviaciones iniciales, no generen comportamientos cualitativamente muy diferentes a corto plao. !uando la diferencia entre dos soluciones con valores iniciales cercanos puede acotarse mediante la diferencia de valores iniciales se dice que la evolución temporal del sistema presenta estabilidad. Índice "ocultar # •
$Estabilidad de ecuaciones diferenciales
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%Estabilidad num&rica
•
'Estabilidad de sistemas dinámicos
•
()ipos de estabilidad
"stabilidad de ecuaciones diferenciales diferenciales"editar # *ebido a que toda ecuación diferencial puede diferencial puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales de diferenciales de primer orden equivalente, el estudio de la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales puede reducirse al estudio de la estabilidad de los sistemas de ecuaciones diferenciales. !onsideremos por ejemplo un sistema de ecuaciones autónomo no lineal dado por+
*onde es el vector de estado del sistema, un conjunto abierto que contiene al origen y una función continua. in p&rdida de generalidad, se puede asumir que el origen es un punto de equilibrio -si el punto de equilibrio fuera otro punto se puede acer un cambio de variable y redefinir la función f para para que coincida con el origen/+
$. El punto origen es estable en el sentido de Lyapunov, si para cada existe un cualquier
tal que, si
, entonces
, , para
.
%. El punto origen es estable asintóticamente si es estable en el sentido de Lyapunov y existe
tal que si
, entonces
.
'. El punto origen es estable exponencialmente si es asintóticamente estable y si existen
tales que si
entonces
, , para
.
!onceptualmente, las definciones anteriores se pueden interpretar como que+ $. La estabilidad en el sentido de Lyapunov de un punto de equilibrio significa que las soluciones que empiean 0suficientemente cerca0 de un punto de equilibrio -a una distancia de ellos/ permanecen 0suficientemente cerca0 para siempre -como muco a una distancia la una de la otra/. 1ótese que esto debe ser cierto para cualquier que uno escoja. %. La estabilidad asintótica significa que soluciones que empiean suficientemente cerca, no sólo permecen cercanas sino que eventualmente acaban convergiendo al mismo equilibrio. '. La estabilidad exponencial significa que las soluciones no sólo convergen, sino que además convergen al menos tan rápido como
.
"stabilidad num#rica"editar # Artículo principal: Estabilidad num&rica
La estabilidad num&rica t&cnicamente no forma parte de la teoría de la estabilidad, puesto que no analia la estabilidad de soluciones de un sistema de evolución temporal, sino la estabilidad del algoritmo usado para encontrar una de las soluciones de dico sistema. in embargo, el propio algoritmo num&rico de resolución puede ser visto a veces como un sistema dinámico discreto.
"stabilidad de sistemas din$micos "editar # La estabilidad de los sistemas dinámicos se refiere a que pequeñas perturbaciones en las condiciones iniciales o en alguna de las variables que intervienen en la ecuación del movimiento produca un comportamiento suficientemente similar al comportamiento sin dicas perturbaciones. 2ara sistemas deterministas descritos por ecuaciones diferenciales la estabilidad del dico sistema de ecuaciones obviamente implica la estabilidad del sistema.
Tipos de estabilidad"editar # •
Estabilidad de Lyapunov
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Estabilidad estructural -matemática/
"stabilidad de %yapunov En matemáticas, la noción de estabilidad de Lyapunov se da en el estudio de los sistemas dinámicos. *e manera esquemática, diremos que un punto de equilibrio omog&nea un entorno de
de la ecuación diferencial
es estable si todas las soluciones a la ecuación que parten en se mantienen cerca de para todo tiempo posterior.
Esta definición de estabilidad lleva el nombre de 3le4sandr Liapunov, quien publicó en $56% su tesis de doctorado El problema general de la estabilidad del movimiento , donde define este concepto. 7ndice •
$*efinición
•
%Ejemplos
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'El caso lineal
•
(3lgunos resultados o
(.$El teorema de 8artman9:robman
o
(.%;unciones de Lyapunov
•
<=&ase tambi&n
•
>?ibliografía
&efinici'n "editar # ea un campo de vectores en una variedad diferenciable @. !onsideremos la ecuación diferencial ,
tal que es+
que
-es decir, un punto de equilibrio de la ecuación/. *iremos
$. estable en el sentido de Lyapunov si para todo si
, existe
es solución de la ecuación con
tenemos
tal que
, entonces para
.
%. asintóticamente estable si cumple con el punto anterior y además el puede elegirse de manera que
.
"(emplos "editar # -1/ ea la ecuación diferencial en . El A es un punto de equilibrio de la ecuación. =eamos que es asintóticamente estable. i
entonces la solución de la ecuación con condición
es . Es fácil ver que para todo es decreciente y tiende a A cuando . 2or lo tanto, dado
, tomando
entonces
para
-2/ 2ara la ecuación estable. i
.
el A tambi&n es un punto de equilibrio. =eamos que no es
entonces la solución a la ecuación con condición .
)omando
tenemos que ningBn
que
se cumple+ si
y
es
dado
tendremos que esa solución
la solución
sirve para la definición de estabilidad+ verifica
pero existe
tal
.
-3/ ea la ecuación , donde . =eamos que el origen es un punto de equilibrio estable pero no asintóticamente estable. 2ara ello mostremos que si entonces constante+
es solución a la ecuación
es . 2or lo tanto, toda
solución que parte a distancia r del origen se mantendrá a distancia r siempre. Esto implica que el origen es estable pero no asintóticamente.
"l caso lineal"editar # 2ara el caso de ecuaciones en del tipo , donde , se conoce una clasificación completa de los casos en que el origen es un punto de equilibrio estable o asintóticamente estable, estudiando sus valores propios. i tiene todos sus valores propios con parte real negativa entonces el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable. i la matri tiene algBn valor propio con parte real positiva entonces el origen no es estable. 2ara el caso en que tenga valores propios con parte real nula se sabe que el origen no es asintóticamente estable. 2ara ver si es estable debemos estudiar las multiplicidades geom&tricas de dicos valores propios. !uando la matri tiene valores propios con parte real menor o igual a cero tendremos que+ el origen es estable si y solo para todo valor propio con parte real A se tiene que la multiplicidad algebraica de es igual a la geom&trica.
)lgunos resultados"editar # El teorema de 8artman9:robman [editar ] ea una función diferenciable. El teorema de 8artman9 :robman indica que para estudiar la estabilidad de un punto de equilibrio de la ecuación
puede utiliarse su aproximación lineal en algunos casos. @ás
en concreto+ sea tal que y sumatri jacobiana no tiene valores propios con parte real nula, entonces es -asintóticamente/ estable si y solo si el origen es -asintóticamente/ estable para la ecuación
.
;unciones de Lyapunov[editar ] ea
una función de clase
ecuación ea
. upongamos
un entorno de p,
, Lyapunov. 2ara es
. !onsideremos la verifica
.
derivable tal que
. 3 una función así la llamaremos función de solución a la ecuación diferencial, la derivada de .
Existen dos resultados debidos a Lyapunov que conciernen este tipo de funciones+ $. si
entonces p es estableC
%. si
entonces p es asintóticamente estable.
*#ase tambi#n"editar # •
;unción de Lyapunov
+ibliografa "editar # •
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otomayor, Dorge -$66/. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias -en portugu&s/. Fío de Daneiro+ G@23 -2rojeto Euclides/. :il, Hmar -%AA%/. IEcuaciones diferenciales ordinarias+ teoría básicaJ. Curso introductorio a las ecuaciones diferenciales. @ontevideo+ G@EFL -;acultad de Gngeniería, Kniversidad de la FepBblica/. pp. %(<%%. Gma, !arlosC =orel, Mdene4 -$6>5/. IEl problema de estabilidadJ. Ecuaciones diferenciales ordinarias -primera edición/. @&xico *.;.+ Limusa9Niley .3. pp. $%' $<>. Lyapunov, 3le4sandr -$66%/. !e general problem of stabilit" of motion -en ingl&s/ -primera edición/. Londres+ )aylor O ;rancis.
