Caderno RQ1 Teoria dos Conjuntos Conjuntos Numéricos

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Caderno RQ1 Teoria dos Conjuntos Conjuntos Numéricos

Prof. Milton Araujo

2016 INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegral.com.br

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Sumário 1

INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................4

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FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO ..........................................................................5 2.1 2.2 2.3

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POR ENUMERAÇÃO DOS ELEMENTOS .................................................................................................5 POR COMPREENSÃO ......................................................................................................................5 POR DIAGRAMA DE EULER-VENN .....................................................................................................5

SUBCONJUNTOS ..............................................................................................................................5 3.1

NÚMERO DE SUBCONJUNTOS ..........................................................................................................6

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RELAÇÃO ENTRE ELEMENTO E CONJUNTO ......................................................................................7

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RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS..........................................................................................................7

6

OPERAÇÕES .....................................................................................................................................8 6.1 UNIÃO .......................................................................................................................................8 6.1.1 Palavras-chave: "ou", "pelo menos" ....................................................................................8 6.1.2 Símbolo: ...........................................................................................................................8 6.2 INTERSEÇÃO ................................................................................................................................9 6.2.1 Palavra-chave: "e" ...............................................................................................................9 6.2.2 Símbolo: ...........................................................................................................................9 6.3 DIFERENÇA .................................................................................................................................9 6.3.1 Palavras-chave: "somente", "apenas" ...............................................................................10 6.3.2 Símbolo: ..........................................................................................................................10 6.4 COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO .................................................................................................11 6.4.1 Símbolo: A' ........................................................................................................................ 11

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CONJUNTOS NUMÉRICOS ..............................................................................................................13 7.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ............................................................................................. 13 7.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ..............................................................................................13 7.2.1 Conjunto dos números Inteiros Não negativos ...................................................................13 7.2.2 Conjunto dos números Inteiros Positivos ............................................................................13 7.2.3 Conjunto dos números Inteiros Não positivos ....................................................................13 7.2.4 Conjunto dos números Inteiros Negativos ..........................................................................13 7.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ............................................................................................ 14 7.3.1 Transformando número decimal em fração decimal ..........................................................14 7.3.2 Encontrando a fração geratriz de uma dízima periódica ....................................................15 7.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ..........................................................................................17 7.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS: ..................................................................................................17 7.6 REPRESENTAÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS POR DIAGRAMAS DE EULER-VENN....................................17 7.7 OPERAÇÕES ARITMÉTICAS NOS CONJUNTOS NUMÉRICOS.....................................................................18

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ...............................................................................................................18

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TÓPICOS ESPECIAIS ........................................................................................................................24 9.1 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) ............................................................................................ 24 9.1.1 Aplicações do MMC ...........................................................................................................24 9.2 MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)................................................................................................26

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9.2.1 Aplicações do MDC ............................................................................................................27 9.3 QUANTIDADE DE DIVISORES POSITIVOS DE UM NÚMERO .....................................................................29 9.4 DIVISIBILIDADE ..........................................................................................................................30 9.4.1 Por 2..................................................................................................................................30 9.4.2 Por 3..................................................................................................................................30 9.4.3 Por 4..................................................................................................................................30 9.4.4 Por 5..................................................................................................................................31 9.4.5 Por 6..................................................................................................................................31 9.4.6 Por 9..................................................................................................................................31 10

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ...............................................................................................................31

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS ...............................................................................................................33

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INSTITUTO INTEGRAL EDITORA - CATÁLOGO ................................................................................47

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CURRÍCULO INFORMAL .................................................................................................................54


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Alertamos para o fato de que nosso material passa por constantes revisões, tanto para a correção de erros, quanto para a inclusão de novos conteúdos ou questões resolvidas, ou para melhorar as explicações em alguns tópicos. Tudo baseado nas centenas de dúvidas que recebemos mensalmente. Não é necessário imprimir o material a cada revisão. Apenas baixe a versão corrigida e consulte-a no caso de encontrar alguma inconsistência em sua cópia impressa. Devido à quantidade e à frequência de nossas revisões, é impossível "marcar" ponto a ponto as alterações introduzidas em cada versão. Contamos com a compreensão e, se possível, com a colaboração de todos para alertar-nos sobre erros porventura encontrados. Obrigado! Mantenha seu material didático sempre atualizado! Consulte periodicamente nossa pasta pública, na qual todo o nosso material didático é mantido: http://www.facebook.com/groups/souintegral/. Cadastre-se também aqui: http://edu.institutointegral.com.br/cadernodetestesanpad e receba, via e-mail, informações e atualizações em primeira mão. Por gentileza, repasse esse material para seus melhores amigos. Obrigado! Participe do nosso projeto: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/payit-forward-corrente-do-bem.html


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1 Introdução “Cuidado com quem tem a língua doce e espada na cintura. Inimigo declarado é perigoso, mas falso amigo é bem pior.” [Chinês]

A Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos. Conjuntos são coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das vezes a elementos que são relevantes para a matemática. A linguagem da teoria dos conjuntos pode ser usada nas definições de quase todos os elementos matemáticos. O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantor e Richard Dedekind em 1870. Esta teoria ficou conhecida como "teoria ingênua" ou teoria intuitiva por causa da descoberta de várias antinomias (ou paradoxos) associados à ideia central da própria teoria, que levaram à proposição de numerosos sistemas de axiomas no início do século XX.

Bons Estudos!

O autor.


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2 Formas de Representação de um Conjunto Um conjunto é nomeado por uma letra maiúscula e deve ser representado por uma das três formas mostradas a seguir. 2.1 Por enumeração dos elementos Exemplo: A = {0, 1, 2, 3} 2.2 Por compreensão Exemplo: A = {x ∊ N / x ≤ 3} 2.3 Por diagrama de Euler-Venn Exemplo:

3 Subconjuntos Exemplo: Dado o conjunto: C = {a, b, c}, tem-se os seguintes subconjuntos: { }; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a, b, c} Observações: (1) O conjunto vazio, representado como { } ou conjunto.

é subconjunto de qualquer

(2) O próprio conjunto é subconjunto de si mesmo.


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3.1 Número de subconjuntos O número de subconjuntos de um conjunto qualquer sempre será dado pela expressão

onde: k é o número de subconjuntos, e n é o número de elementos do conjunto. Exemplo 1: Quantos subconjuntos tem o conjunto: C = {a, b, c}? Solução: O conjunto C tem 3 elementos, isto é, n = 3

Resposta: O conjunto C tem 8 subconjuntos. Exemplo 2: Com as frutas abacaxi, banana, maçã, laranja e pera, deseja-se preparar saladas de frutas. Quantas saladas distintas se podem fazer, desde que cada uma delas tenha pelo menos duas frutas distintas? [Fonte: banco de questões do autor]

Solução/Comentários: São 5 frutas, ou seja, n = 5 Se desejássemos formar todos os subconjuntos (todas as saladas possíveis, com qualquer quantidade de frutas), teríamos:

Como o enunciado da questão cita que deve haver pelo menos duas frutas distintas em cada salada, é necessário retirar do total calculado os seguintes subconjuntos: Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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{ }, {abacaxi}, {banana}, {maçã}, {laranja}, {pera} Assim: 32 - 6 = 26. Resposta: com as cinco frutas disponíveis é possível fazer 26 saladas de frutas com pelo menos das frutas distintas em cada uma. Há uma outra forma de se resolver esta questão, que envolve Análise Combinatória (capítulo que será visto mais adiante).

4 Relação entre elemento e conjunto A relação entre elemento e conjunto é estabelecida somente através dos símbolos (pertence) (não pertence) Exemplo: Dado o conjunto C = {a, b, c}, tem-se: a b c d

C C C C

5 Relação entre conjuntos Entre conjuntos, usam-se os símbolos (está contido); (não está contido); (contém); (não contém) Exemplo: Dado o conjunto C = {a, b, c}, tem-se: Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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{a} C {c} C {a, b, k} C C {a, b} Observação: (1) A “boca” dos símbolos mostrados acima sempre ficará aberta para o lado do maior conjunto.

6 Operações 6.1 União Consiste em reunir TODOS os elementos dos conjuntos envolvidos em um só conjunto. 6.1.1 Palavras-chave: "ou", "pelo menos" 6.1.2 Símbolo:

Exemplo: Determine a união dos conjuntos: A = { 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}. Solução: A

B = {3, 4, 5, 6, 7}

Em diagrama de Euler-Venn:


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A região sombreada na figura identifica a união entre os conjuntos A e B. Em outras palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. 6.2 Interseção Consiste em se tomar os elementos comuns de todos os conjuntos envolvidos na operação. 6.2.1 Palavra-chave: "e" 6.2.2 Símbolo:

Exemplo: Determine a interseção dos conjuntos: A = { 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}. Solução: A

B = {5, 6}


A região sombreada na figura acima identifica a interseção entre os conjuntos A e B. Em outras palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. 6.3 Diferença


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Consiste em se tomar elementos que pertencem exclusivamente a um dos conjuntos envolvidos na operação. 6.3.1 Palavras-chave: "somente", "apenas" 6.3.2 Símbolo:

Exemplo 1: Dados os conjuntos: A = { 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7 . etermi e A

.

olu o A B = {3, 4} Em diagrama de Euler-Venn:

A re i o sombreada da i ura acima ide ti ica a di ere a A B. Em outras palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que pertencem somente ao conjunto A Exemplo 2: Dados os conjuntos: A = { 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7 . etermi e olu o

A.

A = {7}


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A re i o sombreada da i ura acima ide ti ica a di ere a A. Em outras palavras, na região sombreada da figura acima estão os elementos que pertencem somente ao conjunto B 6.4 Complemento de um conjunto Tomam-se aqueles elementos que pertencem exclusivamente ao conjunto universo. 6.4.1 Símbolo: A'

[Nota] O símbolo da operação de Complemento é um apóstrofe. Há outro símbolo para representar o complemento de um conjunto, mas não é adotado pelas bancas do Teste ANPAD. Observação: A operação de Complemento só estará definida quando o conjunto a ser complementado for subconjunto de outro. O conjunto que contém aquele que será complementado é chamado de conjunto universo. Exemplo: Dados os conjuntos:  = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = { 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}, determine o complemento do conjunto A (A’). [Nota] Representou-se o conjunto universo através da letra grega ômega:  Solução: Primeiro, precisamos verificar se o conjunto A é subconjunto do conjunto universo . Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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O complemento do conjunto A é dado por:

A’= {-3, -2, -1, 0, 1, 2} Em diagrama de Euler-Venn:

A região sombreada na figura acima identifica a operação de complemento A’. [Nota] Em havendo a operação de complemento, ocorrerá que Observação: O conjunto B do exemplo acima não tem complemento, visto que


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7 Conjuntos Numéricos 7.1 Conjunto dos Números Naturais  = {0, 1, 2, 3, ...} * = {1, 2, 3, ...} Observação: o asterisco (*) exclui o zero do conjunto: N* = N− {0} [Nota] No blog http://profmilton.blogspot.com.br/ há uma seção com dicas (sob o título de "Pílulas"). Uma dessas Pílulas traz importantes observações sobre o zero. Vale a pena conferir! 7.2 Conjunto dos Números Inteiros Ζ = {...,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} Ζ* = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...} [Nota] Ζ* = Ζ −{0} 7.2.1 Conjunto dos números Inteiros Não negativos

= {0, 1, 2, 3, ...} 7.2.2 Conjunto dos números Inteiros Positivos

= {1, 2, 3, ...} 7.2.3 Conjunto dos números Inteiros Não positivos

= {..., -3, -2, -1, 0} 7.2.4 Conjunto dos números Inteiros Negativos

= {..., -3, -2, -1} Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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7.3 Conjunto dos Números Racionais

Observação: um número racional é aquele que pode ser representado por meio de uma razão matemática . Neste conjunto se incluem as dízimas periódicas e os números decimais. Exemplos:

etc. 7.3.1 Transformando número decimal em fração decimal

Exemplo: Transformar o número decimal 0,125 em fração decimal. Solução: (1) Retire a vírgula do número: 125. Tem-se aqui o numerador da fração decimal; (2) O denominador é formado pelo algarismo "1" seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número. No caso do exemplo, o denominador será 1000, pois o número 0,125 tem três casas decimais; (3) Simplifique a fração, até torná-la irredutível.

Resposta: Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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7.3.2 Encontrando a fração geratriz de uma dízima periódica

Primeiramente, devemos aprender a identificar uma dízima periódica! Exemplo: O número é uma dízima, pois há nele uma vírgula e os três pontinhos à sua direita. Esta dízima é periódica, pois, à esquerda dos três pontinhos há um fator (13), chamado de período, que aparece pelo menos três vezes. Veja que nem toda dízima é periódica! Veremos essa sutil diferença mais adiante... Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica procedemos do seguinte modo: (1) Colocamos o período no numerador da fração geratriz; (2) No denominador da fração geratriz colocamos um nove para cada algarismo do período Assim:

Resposta:

é a fração geratriz da dízima periódica

Observações: (1) O número 0,131313 é decimal! Veja que não há nele os três pontinhos, logo, não pode ser considerado uma dízima... (2) O número 0,1313... é uma dízima, pois tem os três pontinhos. Entretanto, esta dízima não é periódica pois, à esquerda dos três pontinhos não há um fator que se repita pelo menos três vezes. Em outras palavras, não se pode identificar o período da dízima. Outro exemplo: Encontrar a fração geratriz da dízima 0,12324324324... Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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Solução: A dízima é periódica. O período é 324. Mas há um 12 entre a vírgula e o início da dízima! O que fazer? O modo correto para se resolver é o seguinte: Separe o número: 0,12 + 0,00324324324...

Um atalho para se chegar, rapidamente, à solução do exemplo acima é o seguinte: (1) a partir da vírgula selecione o número formado pelo "estranho" ao período e o período. No exemplo acima seria: 0,12324324324..., ou seja, 12324; (2) subtraia deste número o "estranho" ao período: 12324 - 12 = 12312; (3) no passo anterior determinamos o numerador da fração geratriz; (4) o denominador da fração geratriz e formado por um nove para cada algarismo do período, seguidos de um zero para cada algarismo do "estranho" ao período. No exemplo acima: 99900 (5) chegamos, assim, à fração geratriz:

Lembre-se de que a fração poderá ser simplificável, como é o caso do exemplo, no qual a resposta final será:


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7.4 Conjunto dos Números Irracionais O conjunto dos números irracionais reúne todas as dízimas não periódicas. Dízimas não periódicas são as raízes não exatas e outros números, tais como:

Observações: (1) (2) (3) e é o número de Euler. (4) Nenhum número irracional pode ser representado na forma

. Em

outras palavras, os conjuntos dos números racionais (Q) e irracionais (I) são ditos disjuntos.

7.5 Conjunto dos Números Reais: O conjunto dos números Reais surge da união entre os conjuntos dos números Racionais e Irracionais:

7.6 Representação

dos

Conjuntos

Numéricos

por

Diagramas de Euler-Venn


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7.7 Operações Aritméticas nos Conjuntos Numéricos Não abordaremos aqui as operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação e divisão) nos Conjuntos Numéricos, por se tratar de assunto conhecido e já dominado pelo leitor. Havendo dúvidas sobre esse assunto, o leitor poderá encaminhá-las para ser tratada pontualmente, ou por meio de uma das Pílulas no blog. A propósito deste assunto, consulte o seguinte link: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-raciocinio-quantitativo-3.html

8 Exercícios Resolvidos 1) ANPAD-2004. A Empresa DoenVax detectou que seus funcionários contraíram três tipos de doenças, D1, D2 e D3, durante o ano de 2003. Num levantamento realizado na empresa com todos os funcionários, constataram-se os seguintes resultados: Doença

D1

D2

D3

D1 e D2

D1 e D3

D2 e D3

D1, D2 e D3

Nenhuma das três

Número de funcionários

95

70

200

30

40

25

5

125

A porcentagem aproximada de funcionários que contraiu pelo menos uma das três doenças é a) 33% b) 35% c) 40% d) 63% e) 68% Solução: Em questões desse tipo, a melhor forma para se resolver é através de diagramas de Euler-Venn O preenchimento do diagrama começa pela região sombreada na figura a seguir, isto é, pela interseção de todos os conjuntos.


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Caso essa informação não esteja presente, insere-se, primeiro o valor externo aos diagramas. No exemplo dado, este valor é 125.

Como ambos os valores foram fornecidos, eles foram inseridos juntos. A cor vermelha é para dar destaque e para lembrar o leitor do ponto de partida para a solução da questão. A seguir, preenchem-se as regiões das interseções entre os diagramas. Lembre-se o leitor de que já inserimos 5 em todas elas.


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Agora podemos preencher o restante dos diagramas, lembrando sempre de que já há valores inseridos em cada diagrama.

Na união dos diagramas D1, D2 e D3 da figura acima, contam-se 275 elementos. Somando-se a estes os 125 elementos que estão apenas no diagrama D, tem-se o total de funcionários da empresa DoenVax, que é 400. Assim, a resposta da questão será:


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Resposta: alternativa E. 2) ANPAD-2003. Considere os conjuntos X e Y, e as afirmações a seguir: I. II. III.

e X ∩Y = X , e t o X Y. X = . Se A X e A Y , então A

X ∩Y

O valor lógico de cada afirmação forma, respectivamente, a seguinte sequência a) V, V, V b) V, F, V c) V, F, F d) F, V, V e) F, F, V Solução/Comentários: I.

e X ∩Y = X , e t o X

Y. (VERDADEIRO)

A região sombreada identifica a interseção entre os conjuntos X e Y. II.

X

Correção: X

= . (FALSO) = X.

[Nota] O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.


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III.

Se A

XeA

Y , então A

X ∩Y (VERDADEIRO)

Resposta: Alternativa B. 3) ANPAD-2002. Sejam os conjuntos definidos por: A = {pessoas que trabalham na empresa XX}; B = {pessoas que trabalham como diretor na empresa XX}; C = {pessoas que trabalham como secretária na empresa XX}; D = {pessoas que trabalham somente como faxineira na empresa XX}. Sabendo-se que: • Maria é axi eira e secretária da empresa XX; • Ricardo é diretor da empresa XX; • Paula é secretária da empresa XX. Analise as afirmativas abaixo: I. II. III. IV. V. VI.

Maria D. Ricardo A. ∩A= . {Maria, Paula} Maria C. Paula A.

C.

Sobre a veracidade das afirmativas acima, pode-se afirmar que a) todas são verdadeiras. b) somente a última é falsa Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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c) II, IV e VI são falsas d) III, IV e V são verdadeiras e) todas são falsas Solução/Comentários: I. Maria D. (FALSO) Justificativa: D = {pessoas que trabalham somente como faxineira na empresa XX}. • Maria é axi eira e secretária da empresa XX. (Revise as palavras-chave das operações com conjuntos!) II. Ricardo A. (FALSO) Justificativa: Ricardo é um elemento do conjunto A. Correção: Ricardo A. (Revise os símbolos relacionais dos tópicos 4 e 5.) III. ∩ A = . (VERDADEIRO) Justificativa: A = {pessoas que trabalham na empresa XX} B = {pessoas que trabalham como diretor na empresa XX} B A, logo, ∩ A = . IV. {Maria, Paula} C. (VERDADEIRO) Justificativa: C = {pessoas que trabalham como secretária na empresa XX} • Maria é axi eira e secretária da empresa XX. • Paula é secretária da empresa XX. V. Maria C. (VERDADEIRO) Justificativa: C = {pessoas que trabalham como secretária na empresa XX} • Maria é axi eira e secretária da empresa XX. VI. Paula A. (FALSO) Justificativa: A = {pessoas que trabalham na empresa XX} Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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• Paula é secretária da empresa XX. Resposta: Alternativa D.

9 Tópicos Especiais [Nota] Número primo é aquele que tem apenas dois divisores positivos: 1 e o próprio número. Conjunto dos números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...} 9.1 Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Dado um conjunto de números, o menor múltiplo comum desse conjunto será dado pela decomposição simultânea desses números em fatores primos. Exemplo: Encontrar o MMC do conjunto {24, 30; 36} Solução: 24 12 6 3 1 1 1

30 36 2 15 18 2 15 9 2 15 9 3 5 3 3 5 1 5 1 1 360

O processo é encerrado pela multiplicação de todos os fatores primos empregados: 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 360 Resposta: MMC(24, 30, 36) = 360 9.1.1 Aplicações do MMC

 Aplica-se MMC para se reduzir frações ao mesmo denominador em operações de adição ou subtração. Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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Exemplo:

MMC(3, 4, 5) = 60

Operações: divide-se o MMC pelo antigo denominador de cada fração e multiplica-se o resultado pelo antigo numerador.  Aplica-se MMC em situações nas quais há "ciclos" (geralmente, de tempo). Exemplos: (1) Uma pessoa precisa tomar 5 remédios, da seguinte forma: Remédio A: de 2 em 2 horas Remédio B: de 3 em 3 horas Remédio C: de 5 em 5 horas Remédio D: de 6 em 6 horas Remédio E: de 8 em 8 horas Se essa pessoa toma todos os remédios às 10 horas de uma terça-feira, quando tomará todos juntos novamente? [Fonte: banco de questões do autor]

Solução: MMC(2, 3, 5, 6, 8) = 120 horas = 5 dias Resposta: A pessoa tomará todos os cinco remédios juntos novamente às 10 horas de domingo. (2) Numa estação rodoviária há três ônibus estacionados nos boxes A, B e C, prontos para partirem. Do box A parte um ônibus a cada 12 horas; do box B parte Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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um ônibus a cada 15 horas; do box C parte um ônibus a cada 18 horas. Se os três partem juntos às 10 horas de uma terça-feira, quando partirão juntos novamente? [Fonte: banco de questões do autor]

Solução: MMC(12, 15, 18) = 180 horas = 7,5 dias Resposta: Os três ônibus partirão juntos novamente às 22 horas da próxima terçafeira. (3) Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada 72 segundos e um carrinho azul dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois carrinhos partiram juntos, quantas voltas terá dado o mais lento até o momento em que ambos voltarão a estar lado a lado no ponto de partida? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 [Fonte: banco de questões do autor]

Solução: Precisamos encontrar o MMC entre 72 e 80. MMC(72, 80) = 720 O carrinho mais lento é o azul. Assim, 720/80 = 9 voltas. Resposta: Alternativa D. 9.2 Máximo Divisor Comum (MDC) Dado um conjunto de números, o maior divisor comum desse conjunto será dado pela decomposição simultânea desses números em fatores primos. Neste caso, só podem ser usados fatores primos que dividam todos os números do conjunto, simultaneamente. Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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Exemplo: Encontrar o MDC do conjunto {48, 60; 72} Solução: 48 60 72 2 24 30 36 2 12 15 18 3 4 5 6 12 Observação: Como não fator primo que divida simultaneamente os números 4, 5 e 6, encerra-se o processo, multiplicando-se todos os fatores primos empregados. Resposta: MDC(48, 60, 72) = 12 9.2.1 Aplicações do MDC

MDC se aplica a toda situação em que se deseja dividir, distribuir, ou separar quantidades em proporções menores e de mesmo valor, com a exigência de que as quantidades menores sejam de maior valor possível. Exemplos: (1) Comprou-se um lote de arroz de três qualidades: o primeiro veio em sacas de 60kg; o segundo em sacas de 48 kg; e o terceiro, em sacas de 72 kg. Desejando embalá-los em sacas menores, de igual peso, sem misturar as qualidades e sem sofrer qualquer perda, então o maior peso possível para essas sacas é a) 6. b) 8. c) 10. d) 12. e) 14. Solução/Comentários: Note o leitor que destacamos as palavras-chave no enunciado da questão: embalá-los em sacas menores = dividir de igual peso = comum Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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o maior peso possível = máximo Devemos calcular o MDC(48, 60, 72) 48 60 72 2 24 30 36 2 12 15 18 3 4 5 6 12 Resposta: cada saco terá 12 kg. Alternativa D. (2) Num orfanato há 35 crianças. Pedro deseja distribuir balas para todas elas. No supermercado, Pedro encontra pacotes de balas de três marcas: a marca A vem em pacotes contendo 48 balas, a marca B vem em pacotes com 60 balas, e a marca C tem pacotes com 72 balas. Pedro deverá colocar todas as balas em pacotes menores, com igual quantidade em cada um e o maior número de balas possível em cada pacotinho. Sabe-se que Pedro comprou pelo menos um pacote de cada uma das três marcas. Para que não faltem nem sobrem balas, quantos pacotes de cada uma das três marcas ele comprou? [Fonte: banco de questões do autor]

Solução/Comentários: Observe o leitor que os dados são praticamente os mesmos da questão anterior. A solução também não ficará longe do que fizemos na questão (1) acima. Pedro deverá encontrar o MDC de 48, 60 e 72, a fim de descobrir qual será a quantidade máxima de balas que cada pacote terá, ou seja, MDC(48, 60, 72): 48 60 72 2 24 30 36 2 12 15 18 3 4 5 6 12 Agora Pedro já sabe que cada pacotinho de balas conterá 12 balas cada um. Em outras palavras, cada criança do orfanato receberá um pacotinho com 12 balas. O problema é que a situação acima só atende 15 crianças. Senão, vejamos:


29

Com um pacote da marca A, podemos atender 48/12 = 4 crianças. Com um pacote da marca B, podemos atender 60/12 = 5 crianças. Com um pacote da marca C, podemos atender 72/12 = 6 crianças. Mas o orfanato tem 35 crianças... Se Pedro adquirir 2 pacotes da marca A, 2 da marca B e 2 da marca C, conseguirá atender 30 crianças. Falta atender mais 5 crianças. Para que não sobrem nem faltem balas, Pedro deverá adquirir mais um pacote da marca B. Agora Pedro tem a solução para o seu problema: com 2 pacotes da marca A, 3 pacotes da marca B e 2 pacotes da marca C será possível dar um pacotinho com 12 balas para cada criança do orfanato, e não haverá sobras nem faltarão balas. 9.3 Quantidade de Divisores Positivos de um Número Para se encontrar a quantidade total de divisores positivos de um número natural, procede-se do seguinte modo:    

decompõe-se o número em fatores primos; escreve-se o número sob a forma de potências de números primos; soma-se 1 a cada expoente; multiplicam-se os resultados encontrados no passo anterior.

Exemplo: Quantos divisores positivos tem o número 600? Solução: 600 300 150 75 25 5 1

2 2 2 3 5 5


30

Os expoentes são: 3, 1 e 2 Somando-se 1 em cada um deles: (3 + 1) = 4 (1 + 1) = 2 (2 + 1) = 3 Multiplicando-se os resultados encontrados: 4 . 2 . 3 = 24 Resposta: O número 600 tem 24 divisores positivos. 9.4 Divisibilidade 9.4.1 Por 2

Todo número par é divisível por 2. Exemplo: 4832. 9.4.2 Por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é múltipla de 3. Exemplo: 57324 é divisível por 3, pois 5 + 7 + 3 + 2 + 4 = 21, que é um número múltiplo de 3. 9.4.3 Por 4

Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4. Exemplo: os dois últimos exemplos 4832 e 57324 são números divisíveis por 4.


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9.4.4 Por 5

Um número será divisível por 5 quando o algarismo da casa da unidade desse número for 0 ou 5. Exemplos: 48370, 7835. 9.4.5 Por 6

Um número será divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3. Exemplo: 57324 é um número par, portanto, é divisível por 2. Além disto, 5 + 7 + 3 + 2 + 4 = 21, que é um número múltiplo de 3. Assim sendo, o número 57324 é divisível por 6. 9.4.6 Por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é múltipla de 9. Exemplo: 45738 é divisível por 9, pois 4 + 5 + 7 + 3 + 8 = 27, que é um número múltiplo de 9.

10 Exercícios Resolvidos 1) O número 88888...8888 é formado por 100 algarismos 8. Dividindo-se este número por 6, tem-se como resto da divisão a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 5.


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Solução/Comentários: O número 88888...8888 é par, portanto, é divisível por 2. Entretanto, a soma dos algarismos é 800, que não é um número múltiplo de 3. Daqui depreende-se que o resto da divisão não é zero. Note que 8 não é divisível por 6, pois dá resto 2. 88 também não é divisível por 6, pois 8 + 8 = 16, que não é múltiplo de 3. Mas 888 é divisível por 3, pois 8 + 8 + 8 = 24. Desse modo, a cada 3 algarismos 8, teremos resto zero na divisão. Como há 33 "trincas" de 8 no número dado, vê-se que até o 99º algarismo 8 tínhamos uma divisão exata. Fica apenas o último 8 para ser dividido, resultando um resto igual a 2. Resposta: Alternativa C. 2) Dividindo-se por 9 o número 1234567812345678...12345678, que é formado por 10 sequências iguais a 12345678, tem-se como resto da divisão a) 0. b) 1. c) 3. d) 5. e) 8. Solução/Comentários: O número 12345678 é divisível por 9, pois 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36, que é um número múltiplo de 9. Assim, o número dado é divisível por 9 e o resto da divisão é 0. Resposta: Alternativa A.


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11 Exercícios Propostos 1) ANPAD-2009. Todos os funcionários da empresa EMGar trabalham em exatamente dois turnos, não necessariamente consecutivos. Sejam dados os seguintes conjuntos: M = {x é u cio ário da Empresa EMGar │x trabalha o tur o da ma h T = {x é u cio ário da Empresa EMGar │x trabalha o tur o da tarde N = {x é u cio ário da Empresa EMGar │x trabalha o tur o da oite A = {x é u cio ário da Empresa EMGar │x trabalha no turno da noite e da tarde} = {x é u cio ário da Empresa EMGar │x trabalha o tur o da ma h e da tarde} Logo, pode-se afirmar que a) A ∩ = {x é u cio ário da Empresa EMGar │x trabalha o tur o da oite . b) A – B = {x é funcionário da Empresa EMGar │x trabalha o tur o da oite e da tarde}. c) M – T = {x é u cio ário da Empresa EMGar │x trabalha some te o tur o da manhã}. d) M A = {x é u cio ário da Empresa EMGar │x trabalha o tur o da ma h e da noite}. e) T ∩ A = {x é u cio ário da Empresa EMGar │x trabalha o tur o da tarde ou da noite}. 2) ANPAD-2009. De 100 candidatos que, durante o ano de 2006, solicitaram emprego de enfermeiro em um hospital, 30 possuíam formação universitária em Enfermagem, 45 possuíam formação técnica em Enfermagem e 15 possuíam tanto formação universitária quanto formação técnica em Enfermagem. A probabilidade de um candidato escolhido aleatoriamente não possuir formação técnica nem formação universitária em Enfermagem é igual a a) 40%. b) 30%. c) 20%. d) 10%. e) 5%. Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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3) ANPAD-2009. Em uma sala com 30 alunos, somente 20 participam das aulas extras de Raciocínio Lógico, e destes, 17 também participam das aulas extras de Raciocínio Quantitativo. Logo, pode-se afirmar que a) pelo menos 27 alunos participam das aulas extras de Raciocínio Quantitativo. b) pelo menos 17 alunos participam das aulas extras de Raciocínio Quantitativo. c) pelo menos 10 alunos participam somente das aulas extras de Raciocínio Quantitativo. d) somente 27 alunos participam ou das aulas extras de Raciocínio Lógico ou de Raciocínio Quantitativo. e) somente 17 alunos participam ou das aulas extras de Raciocínio Quantitativo ou de Raciocínio Lógico. 4) ANPAD-2009. Sobre os conjuntos A, B e C, têm-se algumas afirmações a A, b A, c B, f B, g B, C, #A = 5, #B = 8 e #C = 4, em que #X é o número de elementos de X. Assim, pode-se garantir que a) os conjuntos A e B são disjuntos. b) o complemento de A é o conjunto B. c) o conjunto A está contido no complemento de B. d) o conjunto C não pode ser escrito como A ⋂ B. e) o conjunto C está contido na união de A com B. 5) ANPAD-2007. Considere as seguintes informações sobre uma prova de concurso composta de dois problemas, X e Y: • 923 candidatos acertaram o problema X. • 581 erraram o problema Y. • 635 acertaram X e Y. O número de candidatos que erraram os problemas X e Y é a) 183. b) 293. c) 342. d) 635. e) 689.


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6) ANPAD-2006. Numa sala de aula que conta com 48 alunos, 30 usam calças jeans e 13 usam tênis. Se 12 alunos não usam calças jeans nem tênis, o número de alunos que usam calças jeans e não usam tênis é a) 5. b) 17. c) 18. d) 23. e) 30. 7) ANPAD-2006. Num grupo de pessoas, detectou-se que 19 são fumantes, 37 tomam café e todos os fumantes tomam café. Oito pessoas não têm apetite porque fumam e outras duas porque só tomam café. O número de pessoas não fumantes, consumidoras de café e que têm apetite é a) 8. b) 16. c) 18. d) 21. e) 37. 8) ANPAD-2005. Os estudantes praticantes de esportes da Escola Aprender (EA) foram classificados, segundo seus hábitos desportivos, em quatro grupos, identificados pelas letras P, F, V e N, respectivamente. Os que praticam pinguepongue; os que praticam futebol; os que praticam vôlei; e os que praticam natação. Com essa classificação, obteve-se o seguinte diagrama:

A partir do estudo deste diagrama, pode-se concluir que Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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a) se a região preenchida por traços representa um conjunto vazio, então nenhum praticante de futebol é, também, praticante de vôlei. b) se a se te a “Todo estuda te da EA que pratica utebol pratica também pingue-po ue” or verdadeira, e t o a re i o pree chida por quadrados do diagrama representa um conjunto vazio. c) se a região do diagrama preenchida por círculos representar um conjunto vazio, então todo estudante que pratica futebol e vôlei pratica, também, natação. d) se as regiões preenchidas por triângulos e por círculos representarem, ambas, co ju tos ovazios, e t o é verdadeira a se te a “Todo estuda te que pratica pingue-po ue pratica, também, vôlei ou ata o”. e) se as regiões preenchidas por triângulos e por círculos representarem, ambas, conjuntos nãovazios, então algum estudante que pratica natação pratica também pingue-pongue. Representação diagramática da alternativa C (região amarela da figura a seguir):

Observe que todos os elementos que estão nos conjuntos F e V, também estão no conjunto N. 9) ANPAD-2004. Em uma festa, foram servidos dois tipos de bebidas alcoólicas: vinho e cerveja. Sabe-se que havia 55 pessoas, das quais 30 tomaram cerveja, 15 tomaram vinho e 20 tomaram apenas refrigerante. Sabe-se que todos tomaram uma das três bebidas. Então, o número de pessoas que tomaram cerveja, mas não tomaram vinho é a) 5. b) 10. c) 15. d) 20. e) 25.


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10) ANPAD-2004. Uma pesquisa entre 1.000 consumidores, sendo 400 homens e 600 mulheres, mostrou os seguintes resultados: • o total de pessoas e trevistadas 650 assinam o jornal A. 430 têm curso superior. 300 assinam o jornal A e têm curso superior. • o total de mulheres entrevistadas: 300 assinam o jornal A. 270 têm curso superior. 150 assinam o jornal A e têm curso superior. Portanto, o número de homens entrevistados que não assinam o jornal A e não têm curso superior é a) 40. b) 80. c) 120. d) 180. e) 200. 11) ANPAD-2003. Se r é o raio de um círculo, então a sua área é dada por . Se o raio de ambos os círculos da figura dada é 6 u. c. (unidades de comprime to) e a área da i terse o dos dois círculos é 26π u. a. (u idades de área), então a área da região hachurada é

a) 10π u. a. b) 20π u. a. c) 36π u. a. d) 46π u. a. e) 56π u. a. Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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12) ANPAD-2002. Dados dois conjuntos quaisquer, A e B, é correto afirmar que a) Se (A B) = B, então A b) Se (A B) = A, então A c) e (A ∩ ) = , então (A d) e (A ∩ ) = , então A = e) e (A ∩ ) = , e t o A

B. B. B) = . ou B = . B.

13) ANPAD-2002. Num grupo de brasileiros, 65% falam inglês, 50% falam italiano e 65% falam francês. Se cada elemento do grupo fala pelo menos dois idiomas, sendo um deles o português, e apenas 10% falam os quatro idiomas, então posso afirmar que a) exatamente 55% do grupo falam somente português e inglês. b) no máximo 40% do grupo falam somente português e italiano. c) no máximo 5% do grupo falam francês e italiano. d) exatamente 15% do grupo falam inglês, italiano e francês. e) no mínimo 55% do grupo falam português e francês. 14) ANPAD-2002. Sendo o conjunto universo ; ;

; e

; considere as seguintes

sentenças: I. II. III.

A∩ (A A−

possui eleme tos que s o úmeros racio ais. ) ∩ C possui só eleme tos que s o úmeros irracio ais. = {0, π .

IV.

(A ∩ C) ∩ ( ∩ C)

Então, a respectiva sequência formada pelos valores verdades (V, se verdadeira; F, se falsa) dessas sentenças é a) F, F, F, F. b) V, F, V, F. c) F, F, V, V. d) V, V, V, V. e) F, F, V, F. Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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15) ANPAD-2002. Dados os conjuntos A, B e C, representados pelo diagrama abaixo, e sabendo-se que A’ represe ta o compleme tar de A, ’ representa o compleme tar de e C’ o compleme tar de C.

Então a área hachurada representa o conjunto a) A − C. b) B (A ∩ C). c) ∩ A'. d) A' ∩ ' ∩ C'. e) ( ∩ C) − A. 16) ANPAD-2002. O número máximo de conjuntos A que satisfazem a condição {1, 2} A {1, 2, 3, 4} é a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 17) ANPAD-2002. Considere os conjuntos A e B, não vazios, e as seguintes proposições: I. II. III. IV.

e A ∩ = A, e t o A B. A = Se x A e x B, então x (A ∩ ). Se y (A B), então y A e y B.

Pode-se afirmar que as proposições VERDADEIRAS são: Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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a) I e II. b) III e IV. c) I e III. d) I, II e IV. e) II, III e IV. 18) ANPAD-2002. Cem pessoas responderam um questionário formado por 3 perguntas. Cada pergunta devia ser respondida por sim ou não, sendo que apenas uma das respostas era correta. Sabendo que • 8 pessoas respo deram corretame te todas as per u tas; • 9 pessoas respo deram corretame te some te a primeira e a segunda; • 11 pessoas respo deram corretame te some te a primeira e a terceira; • 6 pessoas respo deram corretame te some te a se u da e a terceira; • 55 pessoas respo deram corretame te pelo me os a primeira per u ta; • 32 pessoas respo deram corretame te pelo menos a segunda pergunta; • 49 pessoas respo deram corretame te pelo me os a terceira per u ta. Então o número de pessoas que não responderam corretamente a pergunta alguma é a) 0. b) 6. c) 8. d) 16. e) 26. 19) ANPAD-2003. O máximo divisor comum, o menor divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos números 4, 8 e 12 são, respectivamente, a) 2, 1 e 12. b) 4, 2 e 12. c) 4, 1 e 24. d) 12, 2 e 24. e) 12, 4 e 48.


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20) ANPAD-2003. Ao corrigir uma prova com apenas duas questões, um professor constatou que dos seus 43 alunos, 28 acertaram a primeira questão, 13 acertaram todas as questões e ninguém acertou somente a segunda questão. Quantos alunos erraram todas as questões? a) 2. b) 8. c) 15. d) 28. e) 30. 21) ANPAD-2002. Num clube de apenas 800 associados, é sabido que 200 deles jogam basquete, 300 jogam vôlei e 430 não jogam nem basquete nem vôlei. Quantos associados jogam basquete e vôlei? a) 65. b) 70. c) 130. d) 270. e) 300. 22) ANPAD-2001. Considere as seguintes proposições: I. Se dois conjuntos V e W são limitados, então a união desses conjuntos é limitada. II. Se dois conjuntos V e W são limitados, então a interseção desses conjuntos é limitada. II. Se dois conjuntos R e S são ilimitados, então a união desses conjuntos pode ser limitada. IV. Se dois conjuntos R e S são ilimitados, então a interseção desses conjuntos é sempre ilimitada. A sequência de valores verdades dessas proposições é, respectivamente: a) F, F, F, F. b) F, F, V, V. c) V, V, V, F. d) V, V, F, V. e) V, V, F, F. Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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23) ANPAD-2001. Considere as seguintes proposições sobre conjuntos: I. Seja A um subconjunto de B . Então a interseção de A com B é precisamente B. II. Seja A um subconjunto de B . A união de A com B é precisamente B . III. Seja A um subconjunto de B . Então o complemento de A , A' é um subconjunto do complemento de B , B'. IV. eja A um subco ju to de . A u i o de A e de ( − A) é precisame te . As proposições VERDADEIRAS são a) II e IV. b) I e III. c) III e IV. d) I e IV. e) II e III. 24) ANPAD-2001. Seja A um subconjunto de B e seja B um subconjunto de C . Suponha que a A, b B e c C, e, ainda, que d A, e B , f C. Considere as seguintes proposições: I. II. III. IV. V. VI.

a C. b A. d B. c A. e A. f A.

A(s) proposição(ões) sempre VERDADEIRA(S) é(são): a) I, II e V. b) I, III e VI. c) II, III e IV. d) I, V e VI. e) somente I. 25) ANPAD-2009. Uma empresa está fazendo entrevista para contratar uma pessoa para o cargo de secretário executivo. Dos 500 candidatos, 240 têm curso Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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superior em Secretariado Bilíngüe, 180 têm curso de Informática e 120 possuem os dois, ou seja, têm formação em Secretariado Bilíngüe e em Informática. Se um, dentre os 500 candidatos, for escolhido ao acaso, a probabilidade de que ele não possua nenhum dos dois cursos, isto é, não tenha curso em Secretariado Bilíngüe nem curso de Informática, é de a) . b) . c)

.

d) e)

.

26) ANPAD-2009. Em uma pesquisa, constatou-se que 48% das pessoas torcem pelo Flamengo e 40% são torcedoras do Corinthians. Sabe-se ainda que 12% torcem pelos dois times. Então, a razão do número de pessoas que não torcem pelo Flamengo para o número de pessoas que não torcem pelo Corinthians é a) b) c) d) e) 27) ANPAD-2010. Sejam os conjuntos dos números Inteiros Z, dos Racionais Q e dos Reais R. Então, pode-se afirmar que o conjunto (R – Q) Z é a) igual ao conjunto dos números Irracionais. b) um conjunto enumerável (contável). c) um conjunto do qual os Irracionais são subconjuntos. d) um subconjunto dos Irracionais. e) igual ao conjunto dos números Inteiros. 28) ANPAD-2004. Deseja-se dividir dois rolos de fita medindo 72 m e 104 m, cada um. Se os pedaços de fita devem ser todos de mesmo comprimento e o maior possível, então a soma da quantidade de pedaços dos dois rolos é Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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a) 18. b) 20. c) 22. d) 24. e) 36. 29) ANPAD-2004. Comprou-se um lote de arroz de três qualidades: o primeiro veio em sacas de 60kg; o segundo em sacas de 48 kg; e o terceiro, em sacas de 72 kg. Desejando embalá-los em sacas menores, de igual peso, sem misturar as qualidades e sem sofrer qualquer perda, então o maior peso possível para essas sacas é a) 6. b) 8. c) 10. d) 12. e) 14. 30) ANPAD-2003. 03. Hoje A e B estão de folga do trabalho. Sabendo-se que A tem folga de 6 e 6 dias e B, de 4 em 4 dias e que a folga dos dois coincide a cada x dias, pode-se concluir que o valor de x é a) 4. b) 6. c) 10. d) 12. e) 18. 31) ANPAD-2003. Laura quer decorar toda a parede retangular de dimensões 4,40 m por 2,75 m, dividindo-a em quadrados de tamanhos iguais. Então o menor número total desses quadrados que a parede poderá conter é a) 16. b) 30. c) 40. d) 55. e) 88.


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32) ANPAD-2003. Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por a) 1/125. b) 1/8. c) 12,5. d) 80. e) 125.


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[Nota] Para outras questões sobre esse tópico, consulte o Índice de Questões por Assunto no livro "500 questões resolvidas". Baixe o caderno de provas anteriores da ANPAD no Grupo Sou Integral! http://www.facebook.com/groups/souintegral/

Gabarito: 1-C 2-A 3-B 4-E 5-B 6-D 7-B 8-C 9-D 10-A 11-D 12-A 13-B 14-E 15-E 16-D 17-C 18-B 19-C 20-C 21-C 22-E 23-A 24-D 25-A 26-E 27-C 28-C 29-D 30-D 31-C 32-D Atenção! Nosso material didático passa por constantes revisões e atualizações, seja para corrigir erros, seja para melhorar as explicações em alguns tópicos. Isto é feito com base nas centenas de dúvidas e sugestões que recebemos mensalmente. Mantenha seu material didático sempre atualizado!

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LANÇAMENTO EXCLUSIVO! Aprenda Raciocínio Lógico Formal com Flash Cards Alguns tópicos abordados neste livro: - O que é um flash card? - Como confeccionar um flash card? - Como memorizar o conteúdo de um flash card? - Uso de flash cards nas operações lógicas - Aplicações dos flash cards nas operações lógicas - - Aplicações dos flash cards no argumento lógico dedutivo - Uso dos flash cards nas equivalências lógicas notáveis - Uso de flash cards em Tautologias, Contradições e Contingências - Uso dos flash cards nas negações: Leis de De Morgan Negação da Condição Negação da bicondição Negação das proposições categóricas: todo, nenhum, algum, algum não é

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13 Currículo Informal Sempre tive facilidade em aprender Matemática. Fui fortemente influenciado por minha mãe, que fazia cálculos de cabeça e com uma velocidade impressionante. Em 1972, aos 12 anos, fui convidado por uma professora a auxiliar os colegas em dificuldades com a matéria. Éramos um grupo de 4 e todos passaram por média. Ali nasceu o gosto por ensinar... Aos 14 anos, comecei a reunir grupos em casa para estudar Matemática. Minha mãe dizia que eu estava dando aulas particulares. Eu dizia que os colegas iam lá para saborear os quitutes que ela fazia. Como descendente de italianos e espanhóis, minha mãe era especialista em massas, pães, bolos e outros quitutes deliciosos e irresistíveis. Quando terminei o (antigo) segundo grau, virei professor particular de Matemática, Estatística e Matemática Financeira. Entrei na faculdade de Engenharia Elétrica da UFJF em 1979. Ainda em Juiz de Fora-MG, ministrei aulas de Matemática no curso VIP (pré-vestibular) de um professor amigo, durante o ano de 1980. Em 1981 fui morar em Brasília-DF, e comecei a estudar Raciocínio Lógico Formal por conta própria, mas tive muita dificuldade em entender as sutilezas conceituais do assunto. Em 1983 comecei a faculdade de Matemática na Católica de Brasília-DF. Foi aí que as portas da Lógica Formal se abriram para mim, pois conheci o Padre Chico. Antes de prosseguir, preciso contar brevemente a história e a influência que o Padre Chico teve sobre o meu aprendizado de Lógica Formal. O Padre Chico Padre Chico era alem o. “Chico” era só um apelido que ele recebeu por ter um nome impronunciável em português.


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Na faculdade, ele lecionava Cultura Religiosa I, mas logo no primeiro dia de aula, descobri que ele, além de Teólogo, também era Filósofo e mais meia dúzia de outras formações. Falava 8 idiomas fluentemente. Um gênio! Na Segunda Guerra, Padre Chico estudava Teologia em um seminário em Berlim (Alemanha). Certo dia, ele vinha pela rua com um colega de seminário, quando seu colega foi jogar um papel dentro da lata de lixo, e, ao levantar a tampa, uma granada explodiu, matando o seu colega instantaneamente e ferindo o Padre Chico gravemente. Por consequência, ele mancava de uma perna. Primeira Lição Terminada a primeira aula de Cultura Religiosa I, fui conversar com o Padre Chico a respeito da Lógica Formal. – “E t o o se hor se i teressa por Ló ica Formal?” per u tou Padre Chico, com sua peculiar cordialidade. – “ im!”, respo di, “mas estou te do di iculdades para captar as sutilezas conceituais. Os conceitos parecem extremamente simples, mas, no momento de aplicá-los, tudo ica muito co uso!”, completei. – “Pois bem!”, retrucou Padre Chico, “o problema reside o ato de estares raciocinando como matemático e Lógica Formal não é matemática! É puramente filosófica... Filosofia é a ciência de todas as ciências. Cuidado com a arrogância na qual incorrem muitos matemáticos, ao tentarem igualar a Matemática com a Filosofia. Pior ainda é quando se tenta colocar a Matemática acima da Filosofia. Acima da Filoso ia, só há eus...”, completou. “Como bom padre que é, ele está puxando a brasa para o seu churrasco.”, pensei. – “Matematizar a Ló ica Formal é arro â cia!”, co ti uou Padre Chico, “Aristóteles, o ‘Pai da Ló ica Formal’, era um ilóso o re o, discípulo de Platão, que viveu entre 384 e 322 a.C. Em nenhum momento, ele pensou matematicamente para propor os conceitos e regras da Lógica Formal. Essa Acompanhe a série de atalhos, dicas e macetes no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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confusão faz com que muitos continuem sem entender Lógica Formal, ou i terpreta do erro eame te seus co ceitos.” ... Preciso interromper aqui, senão transformarei essa breve história em livro... Um dia, pretendo contar essa e outras histórias em um livro. Em 1984, mudei-me de Brasília-DF para Porto Alegre-RS. Abandonei a faculdade de Matemática e me concentrei em concluir a Engenharia Elétrica/Eletrônica na UFRGS. Por motivos de saúde, este curso foi interrompido, e só foi concluído em 1998. Entre 2003 e 2005 cursei Mestrado na UFRGS. De 1985 até 2001, ministrei aulas de Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística em diversos cursos preparatórios para concursos públicos. Em 2000 iniciei as atividades do Instituto Integral, com o propósito de preparar candidatos ao Teste ANPAD (prova de proficiência para quem vai cursar Mestrado ou Doutorado em Administração de Empresas). De 2007 a 2012 fui professor universitário na UFRGS, na Decision-FGV, na Esade e na Unifin. Fui examinador de concursos públicos de 2007 a 2014 nas Organizadoras FAURGS, FDRH e FUNDATEC, tendo elaborado mais de 1.000 questões de Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para diversos concursos no RS, tais como: Banrisul 2010, SEFAZ-RS (Auditor e Técnico) 2014, SUSEPE 2014, IGP 2011, SEPLAG 2011, etc. Também sou ex-funcionário concursado da Petrobrás, do Banrisul e da Caixa Federal. Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/4955422465156693


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