Teoria de armónicas y series de fourier

INTRODUCCIÓN Una interpretación simple del teorema de Fourier es que cualquier función que cumpla ciertas condiciones se puede expresar como una combinación lineal de senos y cosenos !s"# estas combinaciones se pueden con$ertir en un instrumento que permitan anali%ar el comportamiento de funciones que de otr otro modo modo ser" ser"a a comp complic licad ado o &ace &acerr 'in 'in emba embar( r(o o se debe debe estu estudi diar ar adecuadamente el teorema de Fourier relacion)ndolo con los temas $istos anteriormente *ste *ste traba+ traba+o o tiene tiene el ob+eti ob+eti$o $o de resum resumir ir y expon exponer er una in$est in$esti(a i(ació ción n biblio(r),ca de tres temas que permiten comprender me+or del teorema de Fourier- funciones de periodo . π  # funciones pares e impares# armónicas pares e impares y aplicaciones /rimeo se desarrollar) el tema de funciones de periodo . π    que son funciones cuya frecuencia fundamental fundamental es i(ual a 0 1ue(o# se abordar)n abordar)n las funciones pares e impares# que re,eren a funciones con comportamientos sim2tricos y anti sim2tricos respecto del e+e $ertical del ori(en Como tercer punto# las armónicas pares e impares que son los t2rminos del desarrollo desarrollo de la serie de Fourier y por tanto son m3ltiplos de la fundamental4 asimismo se abordan aplicaciones en in(enier"a del estudio de las armónicas en los sistemas el2ctricos !s" tambi2n# se desarrollaran los e+ercicios propuestos 5#6# 7 y 8 de la sección correspondiente a 'eries de Fourier en el libro  Análisis Matemático III del In( 9oracio Urtea(a : teniendo en cuenta los conocimientos adquiridos con esta in$esti(ación Finalmente# es importante se;alar que como complemento en la reali%ación de este este trab traba+ a+o o se &an &an empl emplea eado do los los soft softatlab

0

0 FUN FUNCIO CION*' N*' D* D* /*RIOD /*RIODO O .? 00

FUNCION /*RIODIC!-

'e dice que una función @TA tal que-

  f   :  R →  R

 es periódica# si existe un n3mero positi$o

  f  (t ) =   f  (t  + T ), ∀t  ∈ R

Dónde- T recibe el ombre de periodo de la función

 f  (t )

BFunción periódica

Frecuenciaω 

1a frecuencia de lon(itud

 es el n3mero de ciclos completos &ec&os en un inter$alo

2π  

OBSERVACION: 1as funciones 2π  

 sen (t )  y cos (t )

 son periódicas y de periodo

 'u frecuencia es y su frecuencia circular es 0

.

*Función seno

'i el periodo T de una función periódica  f  (t ) =

I de,nida por

1 2

a0

an

bn

=

1 π  

=

1 π  

∞

∞

n =1

n =1

ω 

es .? entonces

=

1

 y la serie

+ ∑ a n cos nω t  + ∑ bn sennω t 

 f  (t ) =

Donde los coe,cientes

 f  (t )

1 2

a n ∧b n

a0

se con$ierte en-

∞

∞

n =1

n =1

+ ∑ an cos nt  + ∑ bn sennt 

est)n dados por-

d +T 

∫   f    (t ) cos ntdt 

;

∀n = 0,1,2,3,...

d 

d +T 

∫   f    (t ) sen ntdt 

;

∀n = 0,1,2,3,...

d 

Ejemplo N°1.- Hallar la expansión de la serie de o!rier de la  f  (t )

"!n#ión periódi#a   f  (t ) = t  ; 0

〈

t 

〈

$ de periodo %&$ de"inida por:

2π  

'olución-

E

 f  (t )

0 *n la ,(ura ,(ura se muest muestra ra la (r),ca (r),ca de de la función función  sobre el inter$alo − 4π  〈t 〈 4π    Como la función es periódica solo necesitamos dibu+ar un periodo y el patrón se repetir) en otros periodos

. 9allemos 9allemos los los coe,cien coe,cientes tes de Fourie Fourierr a0

an

=

=

1 π  

1 π  

2 π  

1  t 2    π    2  0

∫   f  (t )dt  = ∫ tdt  = π  

0

0

= 2π  

2π  

∫   f  (t ) cos ntdt 

-

2π  

2π  

1

a0  y a n

∀n = 0,1,2,3,... ⇒

;

an

=

0

1 π  

2π  

∫ t cos ntdt  0

E Inte(ran Inte(rando do por por parte partess obtenem obtenemososan

=

1  tsen nt  π  



n

+

cos nt 

2π  

1 2π   1 cos 0   =     sen 2nπ   + 2 cos 2nπ   − 2  ⇒ a n = 0 π     n n n  

 0

n2

*n este caso obser$amos la necesidad de resol$er an de bn  9all 9alle emos mos bn

=

1 π  

2π  

∫   f  (t ) sen ntdt 

;

∀n = 0,1,2,3,... ⇒

0

bn

=

1 π  

a0

 separadamente

2π  

∫ tsen ntdt  0

5 Inte(ran Inte(rando do por por parte partess obtenem obtenemososbn

2π  

t   sen nt  1 2π     = − cos nt  + 2  =    − cos 2nπ    π    n n  0 π     n   1

 f  (t ) =

6 1ue(o e(o dede-

1 2

a0

∞

∞

n =1

n =1

bn

=−

2 n

+ ∑ an cos ntdt +  ∑ bn sen ntdt 

 f  (t ) = π  −

serie de Fourier es-

⇒

∞

 # la expansión en

2

∑ n ( sen nt ) n =1



O# en su forma expandida-

   

 f  (t ) = π  − 2 sen t  +

 sen 2t   sen 3t 

+

2

3

+ ... +

 sen nt  n

+ ...    

 f (t ) = t 2 + t , − π  〈 t 〈 π  Ejemplo N°%.- 'ada la "!n#ión periódi#a

$ de

[ − 3π ,3π ]

2π  

periodo $ (ra")*!ela en el in+er,alo expansión en serie de o!rier.

 l!e(o alle s!

'olución-

 f  (t )

0 (ra,ca de la función

 en el inter$alo GE? H t H E?

. Calculo de los coe,cientes de la serie de Fouriera0

an

=

=

1 π  

1 π  

π  

1

π  

∫   f  (t )dt  = ∫ (t  π  

−π   π  

2

+ t ) dt  =

−π  

1

π  

∫   f  (t ) cos ntdt = ∫ (t  π  

−π  

2

1  t 3

 π    3

2π  

 +  ⇒ a0 = 2 0 t 2

+ t ) cos ntdt 

;

2

π  

2

3

∀n = 0,1,2,3,...

−π  

Inte(rando por partes obtenemos-

 1  t 2 2t  2 t  1  sen nt   sen nt   sen nt   sen nt  cos nt  + − + +   π    n n n2 n3 n2 −

π  

an

an

=

=

= π  

1 4π   π  

n2

cos nπ  

4 ( − 1) n 2 n

9allemos

bn

-

5

bn

=

π  

1

π  

1

∫   f  (t ) sen nt  dt  = ∫ (t 

π  

2

π  

−π  

+ t ) sen nt  dt 

∀n = 1,2,3,...

;

−π  

Inte(rando por partes obtenemosbn

bn

 t 2 = − π    n

 cos nt  + 2  sen nt  + 3 cos nt  − cos nt  + 2  sen nt  n n n n −

1

2t 

2

π  

1

t 

π  

= − 2 cos nπ   ⇒ bn = − 2 ( − 1) n n

n

Finalmente la expansión en serie de Fourier de f t est) dada por f  (t ) =

1

π 

∞

+∑

2

3

n =1

4 n

( − 1) 2

n

cos nt  −

∞

∑ n2 ( − 1)  sen nt  n

n =1

O en forma expandida f  (t ) =

1

π 

3

2

cos 2t  cos 3t   sen2t   sen3t  + 4  − cos t  + 2 − 2 + ...  + 2  sent − 2 + 2 + ...   2 3 2 3        

E >2todo alternati$o- usando an

an

+  jbn =

+  jbn =

π  

1 π  

∫   f  (t )e

dt  =

−π  

2 1     t 

π  

 jnt 

   

+ t 

 jn

1 π  

e   jn t 

π  

∫ (t 

2

+ t )e jnt dt 

−π  

 2t  + 1  jnt    1  t 2 + t   jnt  2t  + 1  jnt  2e  jnt       − ∫   jn e dt  = π     jn e − (  jn ) 2 e + (  jn ) 3     −  −    

π  

π  

e

 jnt 

π  

π  

e  jnt  = cos nπ  +  j  sen nπ  = ( − 1)

Como-

 n

e  jnt  = cos nπ  −  j  sen nπ  = ( − 1)

 n

1 = − j  j

( − 1) n

2

+ π 

an

+  jbn =

an

4 2 +  jbn = (−1) n   2 −  j    n    n

π 

−  j

π 

n

+

2π  + 1

n2

+  j

2

n

+  j 3

π 

2

− π  n

−

1 − 2π 

n2

−  j

2

n3

I(ualando la parte real e ima(inaria lle(amos a los resultados anterioresan

=

4 n

2

( − 1) n

∧

bn

2 = − ( − 1) n n

.G FUNCION*' CONTINU!' /OR TR!>O' 'O:R* UN /*RIODO 6

 f  (t )

Una función periódica puede estar especi,cada por tramos sobre un periodo o# inclusi$e# puede ser continua por tramos sobre un periodo# como se muestra en la (r),ca

/ara calcular los coe,cientes de Fourier# en tales casos# es necesario descomponer el inter$alo de inte(ración utili%ando fórmulas de *uler4 para que correspondan a las distintas componentes de la función /or e+emplo la función inter$alo

− π   〈 t  〈 π  

 f  (t )

# de la ,(ura anterior# est) de,nida en el

 # por-

 f  1 (t ) , - π   〈 t  〈− p   f  (t ) =  f  2 (t ) , -  p 〈 t  〈− q   f   (t ) , q 〈 t  〈 π    3

 es periódica de periodo

2π  

1as fórmulas de *uler para los coe,cientes de Fourier del tema anterior# se con$ierten enan

q − p  =  ∫  f  1 (t ) cos ntdt + ∫  f     2 (t ) cos ntdt  + ∫  f  3 (t ) cos ntdt  π    −  − p q π  

1

π  

bn

q − p  =  ∫  f  1 (t ) sen ntdt  + ∫  f     2 (t ) sen ntdt + ∫  f  3 (t ) sen ntdt  π   −  − p q π 

1

π 

7

 f  (t )

Ejemplo N°1.- /na "!n#ión periódi#a

 de periodo

2π  

es+0

0 〈 t  〈 2π  

denida$ den+ro del periodo

$ por:

 t  , 0 ≤ t  ≤ π   2  π  π  ≤ t  ≤ π  ,  f  (t ) =  2 2  t  π  − , π  ≤ t  ≤ 2π   2 − 2π   ≤ t  ≤ 3π  

 f  (t )

2ra*!e la "!n#ión en serie de o!rier.

 para

  en#!en+re s! expansión

'olución  f  

0 =ra,ca de la función

-

. 9allemos los coe,cientes de Fouriera0

an

an

an

an

 2 = ∫  f  (t )dt   ∫ t  dt  + π   π    0 0 1

=

1 π  

2π 

1

π 

π  

∫2

π 

 π   − t   dt  = 5 π   ∫   2     8

2π 

dt  +

2

π 

2π  

∫   f  (t ) cos ntdt 

∀n = 0,1,2,3,...

;

0

 2 =  ∫ t cos ntdt  + π    0 1

π 

π 

π 

π  

∫2

π 

 π   − t   cos ntdt   ∫   2    

2π 

cos ntdt +

2

π 

π  

2

=  t   sen nt  + cos2nt  +  π    sen nt  π    n n  0  2n  1

nπ  = 2   2 cos − 3 + cos nπ     ⇒ 2 2π n     1

an

π  

π  

−  +  2π   t  sen nt  + cos nt  2  n 2n   2 2

 1 [( − 1) n 2 − 1]  2 = π n 2 − 2 ,  π n

,

2π  

π  

 si n es  par 

 si n es impar 

8

bn

9allemos

=

bn

1

-

2π  

∫   f  (t ) sen ntdt 

π  

0

 2 =  ∫ tsen ntdt + π   0 π 

1

bn

∀n = 0,1,2,3,...

;

π 

π 

∫2

π 

 π  − t    sen ntdt   ∫   2    

2π 

 sen ntdt +

2

π 

π  

2

π   t   sen nt  = − cos nt  + 2  +  − cos nt  π    n n  0  2n 

1

bn

=

bn

1 n2

 sen(

π  

nπ   2

)

⇒

bn

 0 =  ( − 1) ( n−1) 2  π  n 2

π  

π  

t  − 2π   cos nt   sen nt  +  − 2 n 2 n 2   2

2π  

π  

,  si n es  par  ,  si n es impar 

E 'e(3n la ecuación $ista en el tema de funciones de periodo .?# la expansión en serie de Fourier de   f  (t ) = 1

5 6

 sent  −

π  

π  

 f  (t )

 esta dada por-

2 cos 3t  cos 5t    2  cos 2t  cos 6t  cos10t  + ... + −    cos t  + 2 + 2 + ... −  2 + 2 +   π     3 5 6 10 2   π     2  

 sen3t   sen5t   sen7t  32

+

52

−

72

+ ...

J

E '*RI*' D* FOURI*R /!R! FUNCION*' /!R*' * I>/!R*' D*'!RRO11O CO'*NOID!1 O '*NOID!1 E0 FUNCION*' /!R*' * I>/!R*' *n el mane+o de series de Fourier es muy 3til obser$ar dos tipos de funciones con las que podemos &acer simpli,caciones de las fórmulas de *uler K Fourier *stas son las funciones pares e impares que (eom2tricamente se caracteri%a por la propiedad de simetr"a con respecto al e+e y al ori(en# respecti$amente

E00 FUNCIÓN /!R 'e dice que una función f  : R → R # es par si satisface la condición f  ( −t ) =f  ( t ) , ∀ t ∈ R  1a (ra,ca de una función par es sim2trica respecto del

e+e @yA *+emplos4 2 a f  ( x )= x − x + 7

=r),ca

b f  ( x )=cos  ( x ) =r),ca

0L

E0. FUNCION I>/!R 'e dice que una función f  : R → R # es impar si satisface la condición f  ( −t ) =−f  ( t ) , ∀ t ∈ R  1a (ra,ca de una función par es sim2trica respecto

del ori(en *+emplos3 a f  ( x )= x

=r),ca

b f  ( x )= sen( x ) =r),ca

00

E. /RO/I*D!D*' D* 1!' FUNCION*' /!R*' * I>/!R*' a3 4a s!ma de dos "!n#iones impares es !na "!n#ión impar.

Demostración 'i f  ( x ) y f  ( x ) sonimpares y ademas g ( x )= f  ( x )+ f  ( x ) entonces, g ( x ) es impar 1

2

*n efecto si

1

2

g ( x ) es impar se debe cumplir que-

g (− x ) =− g ( x )

g (− x ) = f 1 (− x ) + f 2 (− x )

/ero como f 1 ( x )+ f 2 ( x )  son impares g (− x )=− f 1 ( x )− f 2 ( x ) f  [¿ ¿ 1 ( x )+ f 2 ( x )]=−g ( x ) g (− x )=−¿

53 El prod!#+o de dos "!n#iones pares es !na "!n#ion par

Demostración f 1 ( x ) y f 2 ( x ) son pares y ademas g ( x ) =f 1 ( x )∗f 2 ( x ) entonces , g ( x ) es par

'i g ( x ) es una función impar se debe cumplir que- g (− x )= g ( x ) g (− x ) = f 1 (− x )∗f 2 (− x )

/ero como f 1 ( x )+ f 2 ( x )  son pares 0.

g (− x ) = f 1 ( x )∗f 2 ( x ) f  [¿ ¿ 1 ( x )∗ f 2 ( x ) ]= g ( x ) g (− x )=¿

#3 El prod!#+o de dos "!n#iones impares es !na "!n#ión par

Demostración f 1 ( x ) y f 2 ( x ) sonimpares yademas g ( x ) = f 1 ( x )∗f 2 ( x ) entonces,g ( x ) es par

'i g ( x ) es una función par se debe cumplir que- g (− x )= g ( x ) g (− x ) = f 1 (− x )∗f 2 (− x )

/ero como f 1 ( x )+ f 2 ( x )  son impares g (− x ) =−f 1 ( x )∗− f 2 ( x ) f  [¿ ¿ 1 ( x )∗ f 2 ( x ) ]= g ( x ) g (− x ) =−−¿

d3 El prod!#+o de !an "!n#ión impar  !na par es !na "!n#ion impar

Demostración f 1 ( x ) es impar y f 2 ( x ) es par y g ( x ) =f 1 ( x )∗f 2 ( x ) entonces , g ( x ) es par

'i g ( x ) es una función par se debe cumplir que- g (− x )= g ( x ) g (− x ) = f 1 (− x )∗f 2 (− x )

/ero como f 1 ( x ) es impar y f 2 ( x ) es par g (− x ) =−f 1 ( x )∗f 2 ( x )

[

]

g (− x ) =− f 1 ( x )∗f 2 ( x ) =− g ( x )

e3 4a deri,ada de !na "!n#ión par es !na "!n#ión impar

0E

Demostración /ara demostrar esta propiedad utili%amos la re(la de la cadena 'ea f  ( x )  una funcio par entonces- f  ( x )= f  (− x ) Deri$ando

[ f  ( x ) ]' =[ f  ( − x ) ]'  → f ' ( x )=1 [ f  ( − x ) ] ∗−f ' ( x ) 0

f  ( x )=−f  ( x ) ' 

' 

"3 4a deri,ada de !na "!n#ion impar es !na "!n#ion par.

Demostración /ara demostrar esta propiedad utili%amos la re(la de la cadena 'ea f  ( x )  una función impar entonces- −f  ( x ) =f  (− x ) Deri$ando

[−f  ( x ) ] = [ f  ( − x ) ] ' 

' 

f ' (− x )=1 [ f  ( − x ) ]

0

∗−f ' ( x )

f  (− x )=− f  ( x ) ' 

(3 Si la "!n#ión a

a

−a

−a

f  : R → R es par se #!mple:

∫ f  ( t ) dt = 2∫ f  ( t ) dt  Demostración!plicando la propiedad de inte(ral inde,nidaa

0

a

−a

−a

0

∫ f  ( t ) dt =∫ f  ( t ) dt +∫ f  ( t ) d t … … … … … … … (1) 9aciendo t M Gx# en la primera inte(ral0

0

0

a

−a

a

a

0

∫ f  ( t ) dt =∫ f  (− x ) (−dx) =−∫ f  (− x ) dx=∫ f  ( x ) dx Como f  ( t ) es par, es decir f  (− x )= f  ( x ) ,dedonde 0

0

a

a

a

−a

0

0

0

∫ f  ( t ) dt =∫ f  (− x ) dx =∫ f  ( x ) dx =∫ f  ( t ) d t … … … … … … . (2 ) !l reempla%ar dos . en 0 se tiene a

0

a

a

a

a

−a

−a

0

0

0

0

∫ f  ( t ) dt =∫ f  ( t ) dt +∫ f  ( t ) dt =∫ f  ( t ) dt +∫ f  ( t ) dt =2∫ f  ( t ) dt  a

a

−a

0

∫ f  ( t ) dt = 2∫ f  ( t ) dt 

3 Si la "!n#ión

f  :  R → R  es imapar se #!mple:

a

∫ f  ( t ) dt = 0 −a

Demostración !plicando la propiedad de la inte(ral inde,nida a

0

a

a

a

−a

−a

0

0

0

∫ f  ( t ) dt =∫ f  ( t ) dt +∫ f  ( t ) dt =∫ f  ( t ) dt +∫ f  ( t ) d t … … … … … … .. (1 ) Como f  ( t )  es impar entonces f  ( −t ) =−f  ( t ) . !l reempla%ar . en 0 se obtiene a

0

a

a

a

a

a

−a

−a

0

0

0

0

0

∫ f  ( t ) dt =∫ f  ( t ) dt +∫ f  ( t ) dt =∫ f  ( −t ) dt +∫ f  ( t ) dt =−∫ f  ( t ) dt +∫ f  ( t ) dt  a

∫ f  ( t ) dt = 0 −a

EE '*RI* D* CO'*NO' 1

Usando las propiedades anteriores y &aciendo d = 2 T  an =

2

T 

en la ecuación

d + T 

∫ f  ( t ) cosnωdt  d

 tenemos-

'i f  ( t )  es una funcion periodica par# de periodo T# entonces05

an =

bn =

T / 2

2

∫

T −T / 2

f  ( t ) cos nωtdt→an =

4

T / 2

 ∫ fcosnωtdt 

T 

0

T / 2

2

∫

T −T / 2

f  ( t ) sennωtdt →b n=0

/or la tanto la expresión en serie de Fourier de una funcion periódica par# de periodo T# consiste de t2rminos en cosenos solamente y se(3n1

f  ( t )= a 2

0

∞

∞

n=1

n =1

+ ∑ ( an cosnωt ) + ∑ bn sennωt 

*st) dada por∞

1

f  ( x )= a + 2

∑= a cos nωt  n

n 1

0

Donde an =

4

T / 2

 ∫ f  ( t ) cos nωtdt; ∀ n =0,1,2,3 … .

T 

0

E '*RI* D* '*NO' 'i f  ( t )  es una funcion periodica impar# de periodo T# entoncesan =

bn =

2

T / 2

∫

T −T / 2 2

f  ( t ) cos nωtdt =0

T / 2

∫

T −T / 2

f  ( t ) sen nωtdt →b n=

4

T  / 2

T 

∫ f  ( t ) sennωtdt  0

/or la tanto la expresión en serie de Fourier de una funcion periódica par# de periodo T# consiste de t2rminos en cosenos solamente y se(3n∞

1

f  ( x )= a + 2

0

∞

∑= ( a cosnωt ) +∑= b sennωt  n

n 1

n

n 1

*st) dada por-

06

∞

f  ( t )=

b ∑ = n

n

sennωt 

1

Donde bn =

4

T / 2

 ∫ f  ( t ) sen nωtdt ; ∀ n=0,1,2,3 … .

T 

0

Ejemplo N° 1: 2 Dada la funcion periódica f  ( t )=t  con periodo 2 π   # de,nida dentro del

periodo −π < t < π   4 &alle su expansion en serie de Fourier Sol!#ión 13 2ra#a de la "!n#ion:

%3 *n el (ar,co se aprecia que la funcion

f  ( t )  es una funcion par# por lo

tanto su expasión en serie de Fourier consta de t2rminos con la presencia de cosenos solamente 9aciendo T =2 π  # con lo cual ω =1  la expansión en serie de Fourier est) dada por∞

f  ( t )=

a cos nt  ∑ = n

n 1

Donde-

07

3

2

t  dt = ¿

 2 π  3

; ∀ n =1,2,3, … ..

f  ( t ) dt = ¿ a0 =

2

π 

 2

∫¿

π  0 π 

∫¿

π  0

[

]

2

2 t  2 t  t  cos ntdt =¿  sennt + 2  cosnt − 3 sennt  π  n n n  2

2

f  ( t ) cos ntdt =¿ an =

an =

(

)

2 2 π 

π  n

2

  cosnt  =

 4

n

2

2

π 

∫¿

π  0

π 

∫¿

π  0

 (−1 )n

2

1ue(o la expasión de Fourier de f  ( t )  es1

∞

f  ( t )= π  + 4 3

2

∑=

n 1

( −1 ) n n2

  cosnt 

 !R>ÓNIC!' *l concepto de armónico se puede deducir del Teorema de Fourier se(3n el cual ba+o ciertas condiciones anal"ticas# una función periódica cualquiera puede considerarse inte(rada por una suma de funciones seno o coseno# incluyendo un t2rmino constante en caso de asimetr"a respecto al e+e de las abscisas 1a se;al fundamental# del mismo periodo y frecuencia que la función ori(inal es la primera armónica y el resto ser)n funciones cuyas frecuencias son m3ltiplos de la fundamental que son denominadas armónicas de la función periódica ori(inal

0 !R>ONIC!' /!R*' * I>/!R*' 00 !R>ONICO' /!R*' 08

@Son los términos del desarrollo de una serie de Fourier que tienen frecuencias que son múltiplos pares del componente fundamental” 

•

(

'i f(t) es una función periódica tal que-

)

1

f  t + T  =f  ( t ) 2

*ntonces tiene periodo T / 2 y frecuencia ω =2 ( 2 π / T ) y sólo las armónicas pares est)n presentes en su expansión en serie de Fourier /ara n par tenemosan =

bn =

4

T / 2

 ∫ f  ( t ) cos ( nωT ) dt 

T  4

0

T / 2

 ∫ f  ( t ) sen ( nωT ) dt 

T 

0

0. !R>ONICO' I>/!R*' Son los términos del desarrollo de una serie de Fourier que tienen frecuencias que son múltiplos impares del componente fundamental”  •

(

'i f(t) es una función periódica tal que-

)

1

f  t + T  =−f  ( t ) 2

*ntonces tiene periodo T / 2 y frecuencia ω =2 ( 2 π / T ) y sólo las armónicas impares est)n presentes en su expansión en serie de Fourier /ara n impar tenemosan =

bn =

4

T / 2

 ∫ f  ( t ) cos ( nωT ) dt 

T  4

0

T / 2

 ∫ f  ( t ) sen ( nωT ) dt 

T 

0

B1as ondas sim2tricas contienen 3nicamente amónicos impares# mientras que para ondas asim2tricas existir)n tanto armónicas pares como impares **>/1O 0J

C0l#!lo de las armóni#as de !na se6al #!adrada

*sta se;al est) de,nida por f  ( t )=−1 ,− π ≤ t ≤ −

f  ( t )=1 ,−

π  2

≤t≤

π  π  2

˄

2

≤t ≤π 

 π  2

B!nda cuadrada ("A) que alterna su #alor entre dos #alores e$ternos% Se emplea &eneralmente para la &eneración de pulsos eléctricos %

!l anali%ar la se;al se obser$a que

T =2 π  # adem)s

( )=−  ( )  sobre

f  t +

T 

f  t 

2

el inter$alo mostrado /or tanto# solo las armónicas impares est)n presentes en la expansión en series de Fourier Calculamos los coe,cientes de la serie•

/ara esta se;al se cumple-

a0 = 0 bn = 0 •

an

/or tanto# solo calculamos an =

2

π 

∫ f  (t ) cos ( nωt ) dt  T  − π 

 

Donde

ω0 =

2 π 

2 π 

T 

2 π 

=

=1

.L

an =

an =

1

π 

[

2

−π 

π 

2

2

]

π 

∫ −cos ( nt ) dt + ∫ cos ( nt ) dt +∫−cos ( nt ) dt  −π 

an =

−π 

π 

2

2

( ( )−

∗2 2 sen

π 

nπ  2

sen ( nπ )

)

n

− ( ) ( = 2 2 sen

an

∫ f  (t ) cos ( nt ) dt 

T −π 

1

→

π 

nπ  2

sen ( nπ )

n

)=

{

 1

∗4 sen

π 

n

( ) nπ  2

 

,sinesimpar

0 , sin es par

*$aluando lo t2rminos de la serie4

1

1

1

f  ( t )=  [ cos ω 0 t − cos3 ω0 t + cos5 ω0 t − cos7 ω 0 t + … ] π  3 5 7

Interpretación 1a interpretación de esta serie es la si(uiente# la se;al cuadrada mostrada en la ,(ura tiene EEP del EQ armónico# .LP del 5Q armónico# 0.JP del 7Q armónico# etc 1a comparación en porcenta+es espectro de onda de las ma(nitudes de los armónicos con respecto a la ma(nitud fundamental se muestra a continuación-

.0

B'a composición de frecuencias de una seal e$presada por la serie de Fourier se llama espectro de frecuencias de la seal% ste espectro se &ra+ca con las frecuencias armónicas en el e,e de las a-scisas . sus amplitudes en las ordenadas%

. !/1IC!CION*' .0 !R>ONICO' R*D*' *1CTRIC!' 1a ener("a el2ctrica com3nmente se (enera en las (randes centrales utili%ando m)quinas rotatorias s"ncronas cuyo campo es excitado con un $olta+e de CD corriente directa e impulsado mec)nicamente por una turbina# produciendo una tensión senoidal trif)sica en las terminales de su armadura Dic&a forma de onda es caracter"stica del dise;o de la m)quina y de la disposición de sus de$anados Cuando un $olta+e senoidal  es aplicado a un circuito lineal las corrientes que Suyen en el sistema y ca"das de $olta+e tambi2n son senoidales% Cuando la onda de corriente o de tensión medida en cualquier punto de un sistema se encuentra distorsionada con la relación a la onda senoidal que idealmente deber"amos encontrar# se dice que se trata de una onda contaminada con componentes armónicos

..

*!nda de #olta,e senoidal ideal

.00 Distorsión armónica Cuando las armónicas se combinan con la frecuencia fundamental# ocurre la distorsión de la onda 1a distorsión armónica es causada por dispositi$os no lineales conectados al sistema de potencia# en los cuales la corriente no es proporcional a la tensión aplicada Cuando se &acen mediciones de las ondas de corriente o $olta+e utili%ando anali%adores de armónicas# el equipo efect3a inte(raciones mediante la t2cnica de la trasformada r)pida de Fourier# dando como resultado la serie de coe,cientes !& que expresadas con relación a la amplitud !0 de la fundamental# constituye el espectro de corrientes armónicas relati$o a la onda medida Un e+emplo de este espectro fue $isto en el e+emplo anterior

.E

*!nda fundamental . sus ondas armónicos/ 01 (234 56) 71 (044 56) . 81(9:4 56)

*!nda sumada con sus componentes armónicos (distorsionada)% "uando una onda periódica no tiene forma sinusoidal se dice que tiene un contenido armónico lo cual puede alterar su  propio #alor pico .;o #alor
.

*n circuitos# para caracteri%ar la distorsión su distorsión armónica# se aplica una se;al sinodal a la entrada y se mide el contenido armónico de la se;al a la salida

Formas de >edir la distorsión armónica 1a distorsión armónica se mide con los si(uientes par)metros-

a Distorsión total armónica T9D 1a distorsión armónica causada por un circuito o dispositi$o electrónico se de,ne como la relación de la poción total de la se;al de salida producida por la armónica con respecto a la proporción de la se;al de salida producida por la frecuencia fundamental

THD =

√ !made c!adrados detodas "as amp"it!des arm#nicas ∗  $mp"it!d f!ndamenta"

100

a0  T9D olta+e e intensidad de corriente •

Cuando se trata de armónicos de tensión# la expresión para la distorsión armónica total se con$ierte en-

√ % 2 +% 3 + % 4 + … 2

THD% =

•

2

2

% 1

∗100

'i se traba+a con armónicos de intensidad de corriente-

√  & 2 + & 3+ & 4 + … 2

THD & =

2

2

 & 1

∗100

Ejemplo:

De la onda distorsionada (ra,cada anteriormente# podemos obtener el si(uiente an)lisis para la THD%  -

!rden de armónicas

Frecuencia (=6)

Amplitud de onda fundamental

Fundamental EQ 5Q 7Q

6L 08L ELL .L

..L 7EEE  E0.J .5

2 2 2 73.33 + 44 + 31.429 √  ∗100 THD% =

220

THD% =41.27

/or tanto# la onda distorsionada de la ,(ura contiene un 0.7 P de distorsión armónica en $olta+e Ejemplo

Un conductor conduce E ! a 6L 9%# 0#5 ! en la EQ4 .#0 ! en la 5Q4 0#7 ! en la 7Q y 0#L ! en la 00Q armónica Cual es la distorsión armónica total en corriente en el conductorV-

√  &  + &  + &  + … ∗ = 2 3 4 2

THD & 

2

2

100

 & 1

√ ( 1.5 ) +( 2.1 ) +( 1.7 ) +( 1.0 ) ∗100 THD = 2

2

 & 

THD & =

2

2

34

√ 10.55 ∗ 34

100

THD & = 9.55

B!tra forma de medir la distorsión armónica es cuanti+car la resultante del #olta,e o intensidad de corriente de las diferentes frecuencias armónicas% armonicos  & ¿

•

Corriente Total e,ca% -

¿ ¿2 ¿ n

∑= ¿  1

 & tota" =√ ¿ •

olta+e total e,ca%

.6

armonicos % ¿

¿ ¿2 ¿ n

∑= ¿  1

% tota"=√ ¿

Ejemplo

Un conductor conduce E ! a 6L 9%# 05 ! en la Ea armónica# .0 ! en la 5ta# 07 ! en la 7a y 0L ! en la 00$a armónica Cual es la corriente armónica total en el conductorVarmonicos  & ¿

¿ ¿2 ¿ n

∑= ¿  1

 & tota" =√ ¿  & tota" = √ 34 + 15 + 21 + 17 + 10 2

2

2

2

2

 & tota" =√ 221  & tota" = 47.02

. FU*NT*' D* !R>ÓNICO' 1os armónicos son el resultado de car(as no lineales# las cuales ante una se;al de tipo sinusoidal presentan una respuesta no sinusoidal 1as principales fuentes de armónicos son•

9ornos de arco y otros elementos de descar(a de arco# tales como l)mparas Suorescentes 1os &ornos de arco se consideran m)s como (eneradores de armónicos de $olta+e que de corriente# apareciendo t"picamente todos los armónicos .W# EW# W# 5W#  pero predominando los impares con $alores t"picos con respecto a la fundamental de-

G .LP del Eer armónico .7

G 0LP del 5W G 6P del 7W G EP del JW •

•

•

•

• •

• • •

N3cleos ma(n2ticos en transformadores y m)quinas rotati$as que requieren corriente de tercer armónico para excitar el &ierro 1a corriente Inrus& de los transformadores produce se(undo y cuarto armónico Controladores de $elocidad a+ustables usados en $entiladores# bombas y controladores de procesos '
 *F*CTO' N*=!TIO' D* 1O' !R>ONICO' *n (eneral las armónicas presentan los si(uientes efectos0 'obrecar(a en bancos de capacitores *l esfuer%o diel2ctrico es proporcional al $olta+e de cresta# el cual puede aumentar o disminuir por los $olta+es armónicos . Interferencia en el ran(o de audiofrecuencias con se;ales de control y l"neas de ener("a E Corrientes armónicas en motores de inducción y sincrónicos que causan p2rdidas adicionales de ener("a y calentamiento *stos efectos son# en su mayor parte# atribuibles a armónicas de orden menor y altas ma(nitudes de amplitud  Inestabilidad diel2ctrica de cables aislados como resultado de sobreG $olta+es del sistema 5 Interferencia inducti$a con los sistemas de comunicación# que resulta del acoplamiento inducti$o entre las frecuencias armónicas y las l"neas de comunicación 6 *rrores en los equipos de medición# debido a que (eneralmente los dise;os consideran se;ales senoidales puras 1a presencia de armónicas (enera un torque electroma(n2tico adicional que puede causar operación errónea 7 1a utili%ación de dispositi$os tanto capaciti$os como inducti$os en sistemas de distribución que est2n contaminados de distorsión armónica pro$oca el fenómeno de la resonancia# teniendo como resultado $alores extremadamente altos o ba+os de impedancia *stas $ariaciones modi,can la corriente y la tensión en el sistema de distribución

.8

5 UI1ID!D D* 1! DI'TOR'IÓN !R>ÓNIC! 1os circuitos que producen distorsión armónica con todo propósito se emplean como• • • •

>ultiplicadores de frecuencia Circuitos sintoni%adores 'inteti%adores de frecuencias =eneradores de funciones de alta frecuencia

5 **RCICIO' /RO/U*'TO' 73 Una función periódica de periodo 0 ≤t ≤ 2 π 

f  ( t )=

{

2 π 

 est) de,nida# en el inter$alo

# por t  π 

2−  , 0 ≤t < π 

t   , π ≤ t <   2 π  π 

 =ra,que ft en el inter$alo G   π ≤ t ≤ 4 π   y &alle su

expansión en serie de Fourier .J

1ue(o reempla%ando# en la respuesta# t por

t − π / 2  demuestra que la

( ) π 

función periódica f  t − 2 −3 / 2  est) representada por una serie de senos# de armónicas impares

'O1UCIÓN f  ( t )=

{

 t  π 

2−  , 0 ≤t < π 

t   , π ≤ t <   2 π  π 

*X/!N'IÓN *N '*RI*' D* FOURI*R

( n ( t ) +b n sen ( n ( t ) 0

0

an cos ¿

¿ ¿

f  ( t )=

a0 2

∞

+∑ ¿ n=1

*!1U!CIÓN D* 1O' CO*FICI*NT*' → a0=

2

T / 2

∫

T − T /2

f  ( t ) dt 

/ara la función T =2 π  a0 =

2

π 

∫ f  ( t ) dt 

2 π −π 

EL

[∫

]

π 

0

t + 2 π   t  a0 = dt + 2 −  dt  π  −π  π  π  0 1

∫

[( ) )( [(

]

2

t  −2 t  0 +( 2 t −t 2 / 2 π ) π  a0 = −π  π  2 π  0 1

a0 =

1

0−

π 

π 

π 

2

2

+ 2 π  + 2 π − −0

a0 =

1

)]

 [ 3 π ]

π 

a0 = 3 → an =

2

∫

T − T /2

an =

[∫

T / 2

2

f  ( t ) cos ( n ( 0 t ) dt 

π 

∫ f  ( t ) cos ( n ( t ) dt  0

2 π −π 

π 

∫(

0

]

)

( t  + 2 ) cos ( n ( 0 t ) dt + 2− t  cos ( n (0 t ) dt  , (0= 2 π  =1 an = 2 π  π  − π  π  π  0 1

[∫

π 

0

∫(

]

)

( t  + 2 ) cos ( nt ) dt + 2 − t  cos ( nt ) dt  an = π  − π  π  π  0 1

cos ( nt ) + n (t + 2 π ) sen ( nt )

¿

cos ( nt ) + ntsen ( nt )−2 πn

¿

(−(¿ n π ¿ ) ] π 

2

0

0

(¿ n2 π ¿ )−π +¿ ¿ ¿ 1 an=  ¿ π 

an =

1

[

π 

−( cos ( nπ ) + nπsen ( nπ )−1) −(cos ( nπ ) +nπsen ( nπ )−2 n2 π 2−1) + 2 2 n π 

an =

1

π 

n π 

[

−( cos ( nπ ) + nπsen ( nπ )−1) 2

n π 

]

] E0

−1 ¿ (¿¿ n −1) ¿ −2 ¿ a n=¿ → bn =

2

T / 2

∫

T − T /2

f  ( t ) sen ( n (0 t ) dt 

[∫

π 

∫(

0

)

]

 t   t  (  + 2 ) sen ( nt ) dt + 2− sen ( nt ) dt  bn = π  − π  π  π  0 1

bn =

1

 [ 0 ]

π 

bn =0

1ue(o-

−1 ¿ (¿¿ n−1 ) ¿ ( nt ) −2 (¿ n2 π ¿ ) cos ¿ ¿ ¿ 3

f  ( t ) = + 2

∞

¿ ∑ = n 1

6 9alle la expansión en serie de Fourier de la función periódica f  ( t )=t , −" < t < " ; f  ( t + 2 " )= f  ( t )

'O1UCIÓN *X/!N'IÓN *N '*RI*' D* FOURI*R

( n ( t ) +b n sen ( n ( t ) 0

0

an cos ¿

¿ ¿

f  ( t )=

a0 2

∞

+∑ ¿ n=1

E.

*!1U!CIÓN D* 1O' CO*FICI*NT*' → a0=

2

T / 2

∫

T − T /2

f  ( t ) dt,T =2 "

a0 =

2

"

∫ f  ( t ) dt 

2 " −"

a0 =

a0 =

1

"

1

"

[∫ ] [( ) ]

a0 =

"

tdt 

−"

2

t 

"

2 −"

1

"

 [ 0 ]

a0 =0 → an=

2

T / 2

∫ T 

− T / 2

f  ( t ) cos ( n ( 0 t ) dt,( 0=

an =

an =

1

"

[(

1

"

[∫

2

2"

"

]

t cos ( n (0 t ) dt 

−"

2

= 2 π  = π 

T 

"

cos ( nt( )

n (

2 π 

tsen ( nt( ) + n(

an =

)] "

, (0 = (

−"

1

"

 [ 0 ]

an =0

→ bn =

2

T / 2

∫

T − T /2

f  ( t ) sen ( n (0 t ) dt 

EE

bn =

bn =

bn =

[∫

"

π 

[(

"

[

tsen ( n (0 t ) dt  , (0= (

−"

1

1

]

"

1

sen ( nt( ) tcos ( nt( ) + 2 2 n( n (

2 sen

bn =

)] "

−"

( n(" )− 2 n("cos ( n(" ) 2

n ( 2 sen ( n(" ) 2

"n (

2

−

2

]

2cos ( n(" )

n(

1ue(o-

(

+

2 sen ( n(" ) 2

"n (

2

−

2cos ( n(" )

n(

)

sen ( n(t )

0¿

¿ ¿

∞

0

f  ( t )= + 2

∑= ¿ n 1

Donde ( 0 =( =

π  " ∞

∑=

→ f  ( t ) =

n 1

(( 0+

2 sen ( nπ ) 2

"n

() π  "

2

sen (

2cos ( nπ ) nπ  nπ  t )− sen ( t ) 2 " " π  "

)

/ara n par o impar ∞

f  ( t ) =

∑ = n 1

(

−2cos ( nπ ) sen (

Como

nπ −t  ) "

2

π  / " cos ( nπ )=[ −1 ]

)

n

E

{(

∞

f  ( t )=

∑= n 1

∞

∑=

(

2 sen (

nπt  )" " 2

π 

−2 sen

( )

nπt  " "

2

π 

n 1

)

)

 ,n par

, ∧nimpar

7 Una función periódica de periodo 0L est) de,nida en el periodo −5 ≤ t ≤ 5 # por-

{

f  ( t )= 0 ,−5 < t < 0 3 , 0 < t < 5

9alle su expansión en series de Fourier e ilustre (r),camente para −12 < t < 12

'O1UCIÓN 'e sabe por dato de problema que T M 0L *X/!N'IÓN *N '*RI*' D* FOURI*R

( n ( t ) +b n sen ( n ( t ) 0

0

an cos ¿

¿ ¿

f  ( t )=

a0 2

∞

+∑ ¿ n=1

E5

→ a0=

1

T / 2

∫

T − T /2

f  ( t ) dt 

a0 =

[∫ 0

1 10

a0 =

10

a0 =

→ an =

1

an =

10

[

∫ T 

[

1

5

5 0

]

 [ 15 + c ] 1

10

−5

0

]

2 π  10

∫ 0 dt +∫ 3cos ( n ( t ) dt  , ( = 22 π π =1 0

1 10

an =

[

c2+

1 10

[

0

3 sen ( 5 n (0 )

n(0

c2 +

an =

→ bn=

c 1+ ( 3 t )

f  ( t ) cos ( n ( 0 t ) dt,( 0=

0

an =

1

0

T / 2

−T / 2

1

∫ 3 dt 

0 dt +

−5

1

]

5

3 sen ( nπ )

n 2 π  10

1

]

]

 [ c ]

10

2

T / 2

∫

T − T /2

f  ( t ) sen ( n (0 t ) dt 

E6

bn =

[∫ 0

1 10

]

5

∫ 3 sen (n ( t ) dt 

0 dt +

−5

3 +¿

0

0

 3 −3cos ( 5 n ( 0 )

n(0 c¿ bn=

3 +¿

1 10

 ¿

 3 −3cos ( nπ )

n

 π  5

c¿ bn =

Como

1 10

 ¿

cos ( nπ )=[ −1 ]

n

n

3 +¿

 3 −3 (−1 )

 π  n 5

c¿

¿ 1 bn= ¿ 10

1ue(o-

[ 15 + c ] + 1

f  ( t )=

10

[ 15 + c ] + 10

∞

n

∑ = n

∑=

1

∞

1

(

 c 2 10

1

(

 cos

 c 2 10

cos

 c 3

( n ( t ) + 10 sen ( n ( t ) 0

1

( n ( t ) + 10 0

Donde

0

[

c3+

( 0=

30 2 π 

]

)

,n par

)

sen ( n (0 t ) ,∧ nimpar

2 π  10

O simplemente quedar"a-

[ 15 +c ] + f  ( t )= 1

10

∞

∑ = n 1

(

 c 2 10

cos ( n (0 t ) +

1 10

[

n

c 3+

3 −3 (−1)

nπ  5

] ) sen ( n (0 t )

E7

8 !l pasar u $olta+e senoidal  $ senωt , a tra$2s de un recti,cador de media onda se produce una onda como la que se indica en la ,(ura 9alle la expansión en serie de Fourier

'O1UCIÓN DatosT =

2 π 

ω

f  ( t )=

{

0,∧−π 

ω

≤t≤0

 π   $sen ( ωt ) , 0 ≤t ≤ ω

*X/!N'IÓN *N '*RI*' D* FOURI*R

( n ( t ) +b n sen ( n ( t ) 0

0

an cos ¿

¿ ¿

f  ( t )=

→ a0=

1

a0 2

∞

+∑ ¿ n=1

T / 2

∫

T − T /2

f  ( t ) dt 

a0 =

1

T 

[

0

π  ω

−π 

0

]

∫ 0 dt +∫ $sen (ωt ) dt  ω

E8

a0 =

1

T 

a0 =

a0 =

1

[ ] [+ ] [+ ]

T 

c1 +

c1

2 $

ω

2a

ω

2a  ω c1 ω 2 π 

EJ

→ an =

T / 2

1

∫ T 

f  ( t ) cos ( n ( 0 t ) dt,( 0=

− T /2

2 π 

=ω

2 π 

ω

an =

an =

ω 2 π 

[

0

π  ω

−π 

0

0

ω

[ [(

 1  ω c2 + 2 π  ω

an =

ω c2 2 π 

+

]

∫ 0 dt +∫ $sen(ωt )cos ( n ( t ) dt  , ( = 22 π π =1 0

)

$ $ $ $ − − cos ( πn )+ 2 ( n + 1 ) 2 ( n −1 ) 2 ( n + 1 ) 2 ( n −1 )

[(

)

$ 1 1 1 1 − (−1 )n + − 2 π  2 ( n+ 1 ) 2 ( n− 1 ) 2 ( n + 1 ) 2 ( n− 1 )

an =

ω c2 2 π 

(

)

(

)

]]

]

1 1 $ (−1n + 1 ) − 2 π  2 ( n + 1 ) 2 ( n−1 )

+

{

ω c 2  $ 1 1 + − ,n par 2 π  π  2 ( n + 1 ) 2 ( n −1 ) an = ω c2 ,∧ nimpar 2 π 

→ bn =

bn =

ω 2 π 

3

[

T / 2

1

∫

T − T /2

f  ( t ) sen ( n (0 t ) dt 

π  ω

0

]

∫ 0 dt +∫ $sen (ωt ) sen(n ( t ) dt  0

− π 

0

ω

+¿  $

ω

((+) 1

2

n

1

−

1 2

( n −1 )

)

sen ( nπ )

c¿ ω bn=  ¿ 2 π 

/ara n par o impar bn =

ω c3 2 π 

1ue(oL