Unidad 5 Series
De Fourier
Serie de Fourier Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para p ara analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en u na suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y co senos con frecuencias enteras). El no mbre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fo urier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. ca lor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Areas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora portador a del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros. Las series de Fourier tienen la forma: Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función
5.1
Funciones ortogonales.
INTRODUCCION.
Los polinomios de Legendre y las funciones de Bessel están dentro de un grupo de funciones que satisfacen una propiedad que se llama ortogonalidad y que es de una importancia fundamental en las matemáticas de ingeniería. DEFINICION: Ahora definiremos el concepto de ortogonalidad de funciones. Sean
(x) y
(x) dos funciones reales que están definidas en un
intervalo a x b, de tal manera que la integral de el producto
(x)
(x) existe
en el intervalo. Denotaremos esta integral por (
,
). Entonces:
(1 )
Se dice que las funciones
y son ortogonales en el intervalo
a
x
b
si
Relaciones de Ortogonali dad Existen muchos tipos de series de Fourier. Las mas sencillas son las Series de Fourier Trigonométricas. Un ejemplo es la serie de Fourier del seno
Se vera que las series de Fourier tienen interpretaciones físicas importantes en las aplicaciones. Sin embargo, las series de Fourier están basadas en un tipo distinto de teoría a las familiares series de potencias. De manera equivalente, una función diferenciable f(x) es una función tal que en cualquier intervalo finito se puede dividir en un número de partes, cada una de las cuales es continua y tiene derivada continua. Además, las únicas discontinuidades de F8x) y f¶(x) son discontinuidades de salto. Ejemplo Funciones Ortogonales
Las dos funciones f(x) = x y g(x) = x2 son ortogonales en el intervalo [-1,1] puesto que
Sistemas
de funciones ortogonales
trabajamos con funciones:
(a veces:
o
) podemos escribir una función funciones
siendo
como combinación lineal lineal de una colección de
tomado de un conjunto de índices finito o infinito
p.ej.: series de Fourier Por qué? y
a lo mejor se puede encontrar para un problema fácilmente soluciones para las funciones
y con esas soluciones se puede derivar una solucion para
p.ej.: filtro lineales, si se sabe la respuesta del filtro para los
, se puede
derivar su compartamiento para
y
a lo mejor ciertas características de la función coeficientes
se puede observar mejor entre los
(y aprovechar de ello)
p.ej.: o
Qué frecuencias están ``dentro'' de una señal acustica?
o
Tiene una imagen cierta textura?
o
Tiene
o
... otras preguntas parecen interesante:
discontinuidades?
5.1
y
Cuáles de las posibles funciones
y
Son los coeficientes coeficient es
únicos?
y
Cómo se calcula los
(dados los
se puede representar de tal forma?
y
)?
FUNCIONES ORTOGONALES
Producto interno Funciones ortogonales Conjunto ortogonal Nora Norma cuadrada Conjunto ortonormal Ortogonalidad con respecto a una función peso Serie de Fourier generalizada En matemáticas superiores se considera que una función es la generalización de un vector. En esta sección veremos cómo los dos conceptos vectoriales de producto interno (punto) y ortogonalidad se pueden ampliar para abarcar las funciones. Supongamos que u y v son vectores en el espacio tridimensional. El producto interno (u, v) de los vectores, que también se escribe u · v, posee las propiedades siguientes: i) (u, v) = (v, u) ii) (ku, v) = k(u, v), donde k es un escalar iii) (u, u)= 0, si u= 0,y (u,u)>0 si u 0 iv) (u + v, w) = (u, w) + (v, w). Esperamos que una generalización del concepto de producto interno debe tener las mismas propiedades. Producto interno Supongamos ahora que 1 y 2 son funciones definidas en un
intervalo [a, b].* Como una integral del producto 1(x) 2(x) definida en el intervalo también posee las propiedades i) a iv), siempre y cuando existan las integrales, podemos enunciar la siguiente definición:
DEFINICIÓN 5.1 Producto interno
El producto interno de dos funciones 1 y 2 en un intervalo [a, b] es el número
Funciones ortogonales Dado que dos vectores u y v son ortogonales cuando su
producto interno es cero, definiremos las funciones ortogonales en forma semejante:
DEFINICION 5.2
Funciones ortogonales
Dos funciones 1 y 2 son ortogonales en un intervalo [a, b] si (1) A diferencia del análisis vectorial, en donde la palabra ortogonal es sinónimo de "perpendicular", en el presente contexto el término ortogonal y la condición (1) no tienen significado geométrico. EJEMPLO 1 Funciones ortogonales
Las funciones 1 (x) = x2 y 2 (x) = x3 son ortogonales en el intervalo [-1, 1] porque
Conjuntos
5.2
ortogonales
y
conjuntos
ortonormales. Sean (x) y intervalo
(x) dos funciones reales que están definidas en un
a x b , de tal manera que la integral de el producto en el intervalo. Denotaremos esta integral por (
,
(x)
(x) existe
). Entonces:
(1 )
Se dice que las funciones y son ortogonales en el intervalo a x b si
Un conjunto de funciones reales (x), (x), (x), ... es llamado conjunto ortogonal de funciones en el intervalo a x b si todas están definidas en el intervalo y si todas las integrales ( para todos los pares distintos de funciones.
,
)existen y son cero
La raíz cuadrada de ( denotada por ||
,
)es llamada norma de
y es generalmente
|| ; entonces
(2)
Es claro que, un conjunto ortogonal (x), (x), (x), ... en el intervalo a x b cuyas funciones tienen norma 1 satisfacen la condición
Dicho conjunto es llamado conjunto ortonormal de funciones en el intervalo a x b. Obviamente, de un conjunto ortogonal podemos obtener un conjunto ortonormal dividiendo cada función entre su norma.
DEFINICIÓN DE CONJUNTOS ORTONORMALES Y CONJUNTOS ORTOGONALES:
Se dice que las funciones y son ortogonales en el intervalo a
x
b
si
Un conjunto de funciones reales (x), (x), (x), ... es llamado conjunto ortogonal de funciones en el intervalo a x b si todas están definidas en el intervalo y si todas las integrales ( para todos los pares distintos La raíz cuadrada de ( denotada por ||
,
)es llamada norma de
,
)existen y son cero
de
funciones.
y es generalmente
|| ; entonces
(2 )
Es claro que, un conjunto ortogonal (x), (x), (x), ... en el intervalo a x b cuyas funciones tienen norma 1 satisfacen la condición
Dicho conjunto es llamado conjunto ortonormal de funciones en el intervalo a x b . Obviamente, de un conjunto ortogonal podemos obtener un conjunto ortonormal dividiendo cada función entre su norma.
En un conjunto de vectores S de el espacio vectorial V es producto interno es ortogonal si cada vector de y seria espacio ortonormal si cada vector S es unitario. Es ortonormal si < vi, vj > = 0 i " j y || vj || = 1 donde i = 1, 2, 3, ..., n y es ortonormal si < vi, vj > = 0 i " j donde vi, vj pertenecen al conjunto s = { v1, v2, ..., vn } Un conjunto ortogonal es linealmente independiente si s es un conjunto de vectores diferentes de cero y que pertenecen al espacio v con producto interno. Proceso para ortonormalizar de Gram - Schmidt:
Ver si la base tiene producto interno (como ya lo vimos). Convertir la base a una base ortogonal. Sea B = { v1, v2, ..., vn } w1 = v1 w2 = v2 - proyw1 v2 wn = vn - proyw1 v3 - « - proyw(n-1) vn B' = { w1, w2, ..., wn } y para ortonormalizar ui = wi / ||wi|| donde I = 1, 2, ..., n. Donde B'' = { u1, u2, ..., un } es un abase ortonormal
5.3
Serie
Definición de series de Fourier . de Fourier generalizada Supongamos que {Øn(x)} es un conjunto infinito
ortogonal de funciones en un intervalo [a, b]. Nos preguntamos: si y = (x) es una función definida en el intervalo [a, b], ¿será posible determinar un conjunto de coeficiéntes cn, n = 0, 1, 2, . . .,para el cual (6)(x)=c0Ø0(x) + c1 Ø1(x) + ... + c n Øn(x) + ...? Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos determinar los coeficientes c n mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación (6) por Øm(x) e integrar en el intervalo [a, b] se obtiene
Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m = n. En este caso tendremos
Entonces, los coeficientes que buscamos son
En otras palabras,
('7) en la que
(8)
La ecuación (7), en notación de producto interno (o producto punto), es (9)
Vemos así que esta ecuación es el análogo funcional del resultado vectorial expresado en la ecuación (5).
Serie de Fourier
El análisis de Fourier es una herramienta matemática utilizada para analizar funciones periódicas a traves de descomponer dicha función en la suma infinitesimal de funciones senoidales mucho mas simples. Areas de aplicación incluyen la ingeniería, análisis vibratorio , acustica, óptica, procesamiento de imágenes y señales,y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a traves del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros. En matemáticas, se llama serie de Fourier , a aquellas series que tienen la forma:
donde an y bn se denominan coef icientes de Fourier de la serie de Fourier de la función y(x). Jean-Baptiste Joseph Fourier fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Función ortogonal
En matemática, se dice que dos funciones f y g son ortogonales si su producto interno
es nulo. Que dos funciones particulares sean ortogonales depende
de cómo se haya definido su producto interno. Una definición muy común de producto interno entre funciones es:
con límites de integración apropiados y donde * denota complejo conjugado. Véase también espacio de Hilbert para más detalles. Las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones de borde pueden escribirse como una suma pesada de funciones solución ortogonales (conocidas también como funciones propias). Ejemplos de conjuntos de funciones ortogonales: y
Polinomios de Hermite
y
Polinomios de Legendre
y
Armónicos esféricos
y
Funciones de Walsh
Introducción Si no tienes unas nociones previas, puede ser complicado comprender el concepto de "representación en frecuencia de una señal". Básicamente la Transformada de Fourier se encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su antitransformada y volver al dominio temporal. Estudiaremos a lo largo de este trabajo la Serie de Fourier , Ejercicios referentes al seno y coseno , las Transformadas de Fourier, propiedades e interpretación. SERIE
DE FOURIER
Sea una función f(t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar por la serie trigonometrica
donde
0
/T.=2
Una serie como la representada se llama serie trigonometrica de Fourier. Esta serie también se puede representar así:
Ejemplo 1: Deducir la forma
de y expresar Cn y
Se puede expresar así
se utiliza la entidad trigonométrica
donde
por consiguiente,
ó También si se hace
Se Obtiene
n
en términos de a n t bn.
Es obvio que la representación de Fourier de una función periódica, representa la función como la suma de componentes sinusoides que tienen diferentes frecuencias. La componente senosiudad de frecuencia
se denomina la enésima armónica de la
función periódica. La primera armónica comúnmente se conoce como la componente fundamental porque tiene el mismo período de la función y como la frecuencia angular fundamental. Los coeficientes C n y los ángulos
se conoce n
se conocen
como amplitudes armónicas y ángulos de fase, respectivamente.
Introducción
El integral de convolucion es una expresión fundamental que relación la entrada y la salida de un sistema LTI. Sin embargo, tiene tres problemas: 1. Puede ser tediosa para calcular. 2. Ofrece una interpretación física limitada de lo que el sistema esta realmente hacienda. 3. Da muy poca información de como diseñar sistemas para lograr ciertas funciones. Las series de Fourier , junto la transformada de Fourier y la transformada de La Place, provee una manera de resolver estos tres puntos. El concepto de eigenfuncion (o eigenvector ) es esencial para todos estos métodos. Ahora veremos como podemos reescribir cualquier señal f (t ) , en términos de exponenciales complejos. De hecho, al hacer nuestras anotaciones de señales y sistemas lineares menos matemáticas, podemos extraer paralelos entre señales y sistemas con y algebra linear .
Una primera visita a las series de Fourier Universidad de Granada
Departamento de Análisis Matemático Fco. Javier Pérez González
[email protected]
Aproximación por polinomios trigonométricos Un polinomio trigonométrico de orden n es una función de la forma
donde
son números
reales llamados coeficientes del polinomio. Aquí tienes algunos ejemplos de polinomios trigonométricos y sus gráficas.
Como acabas de ver, los polinomios trigonométricos pueden tener gráficas con muy distintos aspectos. Parece razonable conjeturar que, eligiendo los coeficientes de forma adecuada, podremos conseguir una buena aproximación de una función dada por medio de polinomios trigonométricos. Recuerda que ya sabes cómo aproximar localmente funciones derivables por sus polinomios de Taylor. El problema que nos planteamos ahora es parecido: se trata
de calcular el polinomio trigonométrico de orden n que apro x ima mejor a una función dada f . Se impone precisar el tipo de aproximación que vamos a considerar. Teniendo en cuenta que los polinomios trigonométricos tienen período 2, trataremos de aproximar la función
f
en el intervalo [-, ]. Supondremos solamente que f es
continua en dicho intervalo. Como puedes apreciar, a diferencia de los polinomio de Taylor que permiten una aproximación local para una función que tenga n derivadas, ahora queremos una aproximación global, válida en todo un intervalo, para funciones continuas. Todavía queda por aclarar lo más importante: ¿de qué manera vamos a medir l a aproximación entre la función
f y
un polinomio trigonométrico
T ?
Pues bien,
vamos a considerar la aproximación en media cuadrática . Esto quiere decir
que entre todos los polinomios trigonométricos, T , de orden n vamos a calcular aquél que haga mínima la cantidad
. Dicho polinomio se llama
polinomio de Fourier de orden n de la función f . Pongamos calculemos los coeficientes de T forma que Desarrollando el cuadrado, tenemos que:
y sea mínima.
Teniendo en cuenta, como fácilmente puedes comprobar con ,
M athematica,
y, para
que
,
. Y poniendo , resulta
Expresión que, evidentemente, es mínima cuando . Por tanto el polinomio de Fourier de orden n de trigonométrico
,y f es
el polinomio
cuyos coeficientes,
llamados coef icientes de Fourier de f , vienen dados por:
Los
se llaman coef icientes coseno y los
se llaman coef icientes seno. Es
importante que te des cuenta de que en ningún momento hemos usado la supuesta continuidad de
f
y que lo único necesario para poder hacer los cálculos
anteriores es que las integrales que en ellos aparecen estén definidas, para lo cual
es suf iciente que la función f sea integrable. En particular, tiene perfecto sentido hablar de los coeficientes de Fourier de una función monótona o de una función acotada con un número finito de discontinuidades.
5.4
Convergencia de una serie de Fourier .
CONVERGE NCIA
DE LA SER IE DE FOUR IER
Al igual que la serie de Taylor, la serie de Fourier depende de ciertos valores de la variable independiente x, para que converja o no. En esta sección, veremos condiciones sobre
para saber a qué converge su serie de Fourier.
Definición.
( Función continua por partes)
Decimos que una función es contínua por partes en el intervalo si: i) está definida y es contínua en , excepto quizás en un número finito de puntos. ii)
y
exiten y son finites. iii)
En cada punto
iv) v) vi)
donde no es continua, y
vii)
existen y son finitos.
Graficamente, una función es contínua por partes si tiene solamente un número finito de discontinuidades y además, estas discontinuidades no so n infinitas. Así, una gráfica típica de una función contínua por partes se ve co mo sigue:
Puesto que vamos a usar mucho los límites laterales, es conveniente introducir una noación especial:
Ejemplo 5.
La función definida como:
es continua por partes, como puede verificarse fácilmente con la gráfica.
Definición. (Función suave por partes)
Una función
es suave por partes en el intervalo
si
y partes en
son funciones continuas por .
Ejemplo 6.
La función del e jemplo 5, es suave por partes en que de hecho
ya
es:
Claramente esta última es contínua por partes en
.
Con estas dos definiciones, estamos en condiciones para dar nuestro primer teorema de convergencia para series de Fourier, el cual enunciamos sin demostración ya que ésta se sale de
los ob jetivos del curso. Primer Teorema de Convergencia
Sea
una función suave por partes en . Entonces la serie de Fourier de
punto
Es decir, la serie de Fourier converge al promedio de los límites laterales.
converge en cada al valor:
Observaciones:
1.
Si
es continua en
entonces la
serie de Fourier converge a
. De hecho este es el valor al cual
esperábamos que conver ja la serie (recuérdese el problema planteado al inicio de esta unidad), pero vemos que solamente se logra en los puntos donde la función es continua.
2.
Si
es discontinua en
la serie de Fourier no converge a
entonces , pero si al punto medio
entre los límites laterales. 3.
El Primer Teorema de Convergencia no nos da información sobre los puntos extremos del
intervalo. El siguiente criterio de convergencia, me jora este defecto, aunque cambian las hipótesis.
Ejemplo 7.
Sea
la misma función del e jemplo 1. Claramente es suave por partes, y de hecho,
intervalo
es continua en todo el . Por lo tanto, aplicando el primer teorema de
covergencia, podemos concluir que la serie de Fourier converge a
, .
Esto significa que, la función es igual a su serie de Fourier en el intervalo abierto:
,
Ejemplo 8.
Sea
la misma función del e jemplo 2. Claramente es suave por partes en el intervalo
el intervalo
y continua en . Por lo tanto, aplicando el primer teorema de
covergencia, podemos concluir que la serie de Fourier converge a
, .
Esto significa que, la función es igual a su serie de Fourier en el intervalo abierto:
,
Ejemplo 9.
Consideremos la función definida en el e jemplo 5. Ya vimos que esta función es suave por partes. Aquí,
no es continua en el intervalo abierto . De hecho, vemos que las discontinuidades de son:
Los extremos
no los tomamos en
cuenta, ya que el Primer Teorema de Convergencia no nos da información sobre ellos. Analicemos entonces los valores restantes. En
,
Por lo tanto, en
la serie de Fourier de
converge a:
En
se tiene que:
Por lo tanto, en
la serie de Fourier de
converge a:
En los demás valores del intervalo
, la serie de Fourier converge a
Por lo tanto, sin calcular la serie de Fourier de converge a:
, por la continuidad.
, podemos decir que
5.5
Series de Fourier de una función de período
arbitrario.
Introducción Uno de los descubrimientos más importantes en la historia de la matemática aplicada lo hizo Jean Baptiste Fourier (1768-1830), quien demostró que casi toda función periódica se puede representar mediante una sumatoria de funciones seno y coseno. Estas sumatorias se conocen como las series de Fourier. Por e jemplo, en el análisis de vibraciones es común encontrar sistema masa resorte amortiguador, excitados por una fuerza periódica, cuya forma es algunas veces complicada. Mediante la descomposición de esta fuerza en funciones seno y coseno se pueden solucionar estos problemas de forma sencilla. El desarrollo en series de Fourier se basa en la propiedad de ortogonalidad de la funciones seno y
coseno. Las series de Fourier son en cierta forma más generales que las series de Taylor, ya que pueden representar funciones periódicas discontinuas que pueden ser de gran interés práctico. La complicación más importante es que se mane jan sumatorias infinitas y en algunos casos la convergencia puede ser un problema. Varias extensiones de las Fourier también son importantes como la transformada de Fourier y la transformada de Laplace, que se estudiarán más adelante. La teoría de Fourier ha sido aplicada con éxito en la solución de ecuaciones diferenciales, el estudio de vibraciones y ondas, procesamiento de señales, compresión de datos, procesamiento digital de imágenes y en muchos otros campos. En este capítulo se estudiarán los conceptos básicos, los hechos y técnicas relacionadas con las
series de Fourier. Se incluirán algunas aplicaciones importantes en la ingeniería.
Funciones Periódicas y Series Trigonométricas Se dice que una función f ( x ) es periódica si está definida para toda x real y si existe algún número positivo T de manera que:
El número T recibe el nombre de periodo de f ( x ). La gráfica de una función de este tipo se obtiene
mediante una repetición periódica de la gráfica correspondiente a un periodo T (Figura 2.1).
De la ecuación (2.1) se sigue que, si n es un número entero cualquiera se cumple que:
de modo que nT también es periodo de la función f ( x ). Además si f(x ) y g( x ) tienen periodo T entonces la función:
también tiene periodo T . Ejemplos familiares de las funciones periódicas son las funciones seno y coseno. Note también que
la función f = c = cte también es una función periódica de acuerdo a la definición dada en (2.1 ). Una serie trigonométrica es la sumatoria de funciones seno y coseno de la siguiente forma:
donde a , a , a , , b , b , son constantes reales que reciben el nombre coeficientes de la serie. 0
1
2
1
2
Se puede observar que los términos de la serie (2.4) tienen periodo 2, por lo tanto, si la serie converge, su suma será una función periódica con periodo 2. El proceso para hallar los coeficientes de la serie (2.4) para representar funciones de periodo 2 se explicará en la siguiente sección, mientras que el procedimiento para representar funciones de periodo arbitrario se presentará en una sección posterior.
serie de f ourier de funciones pares e impares (desarrollo cosenoidal o senoidal) 5.6
FUNCIONES PARES E IMPARES
Definición. Una función
se llama f unción par en el intervalo si
cumple
que
, .
Graficamente, una función es par si es simétrica respecto al e je
. Así, una gráfica típica de
una función par, se ve como sigue:
Algunos e jemplos clásicos de funciones pares son:
1. intervalo
es una función par en cualquier .
2.
es
una función par en el intervalo
.
El nombre de función par es debido a que todas las funciones de la forma
, donde k
es un número natural par, son funciones pares.
De la propiedad geométrica de las funciones pares, es claro que si calculamos
, estamos calculando el area ba jo la curva, y puesto que la función es simétrica respecto al e je y , entonces esta integral equivale a dos veces el valor de
. Una prueba formal de este resultado se da en los cursos de Cálculo.
LEMA.
Si
es una función par en el intervalo entonces:
Pasemos ahora a las funciones impares.
Definición.
Una función
se llama f unción impar en el intervalo si cumple que , .
Graficamente, una función
es impar si es simétrica respecto al origen.
Así, una gráfica típica de una función impar, se ve como sigue:
Algunos e jemplos clásicos de funciones impares son:
1. intervalo
es una función impar en cualquier .
2. una función impar en el intervalo
es .
El nombre de función impar es debido a que todas las funciones de la forma
donde k es un número natural impar, son funciones impares.
,
De la propiedad geométrica de las funciones impares, vemos que el valor de
y el valor de
difieren por un signo y por lo tanto el valor total de
se anula. Una prueba formal se da en los cursos de Cálculo.
LEMA.
Si
es una función impar en el intervalo entonces:
Al combinar ba jo productos funciones pares e impares , éstas se comportan como cuando multiplicamos números positivos y negativos, siguiendo las ley es de los signos.
Informalmente hablando, tenemos las siguientes propiedades: y
( par )( par ) = par
y
( par )(impar ) = impar
y
(impar )(impar ) = par
La demostración de estas propiedades es muy simple. Pongamos por e jemplo, que
es una función par y
es una función impar. De aquí tenemos que:
lo que demuestra que
es una función
impar. Pasemos a ver el resultado que nos indica qué sucede con los coeficientes y la serie de Fourier de funciones pares e impares.
T EOREMA.
Sea
integrable en el intervalo
. Entonces:
i ) Si
es una función par, entonces la serie de Fourier de en
donde:
es:
,
ii ) Si
es una función impar, entonces la serie de Fourier de en
es:
donde:
,
Demostración. i ) Supongamos que
es par. Entonces por las
propiedades de las funciones pares e impares, es par, anteriores, se sigue que:
, y por uno de los lemas
También,
es impar, , y por el otro lema se sigue que,
ii ) Es completamente análogo al inciso (i ).
Ejemplo 3.
Calcular la serie de Fourier para la función , en el intervalo
.
Solución. Sabemos que
los coeficientes
es par, y por lo tanto, solamente calculamos y
. Tenemos que:
Por lo tanto, la serie de Fourier de es:
Ejemplo 4.
Calcular la serie de Fourier de la función definida como:
en
Solución. De la gráfica de la función,
vemos que se trata de una función impar. Por lo tanto, para calcular su serie de Fourier, únicamente calculamos los coeficientes
:
Por lo tanto la serie de Fourier de
en
es:
De hecho, observamos que si
,
entonces , mientras que si entonces . Por lo tanto, la serie de Fourier se puede escribir como:
,
SERIES
DE FOURIER DE COSENOS Y DE SENOS
Funciones pares e impares Propiedades de las funciones pares e impares Series de Fourier de cosenos y de. senos Sucesión de sumas parciales
Fenómeno de Gibbs Desarrollos en mitad de intervalo Funciones pares e impares El lector recordará que se dice que una función ¦ es
EJEMPLO 1 Funciones pares e impares
Como se ilustra en las figuras 10.3 y 10.4, la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y y la de una función impar lo es con respecto al origen. EJEMPLO 2 Funciones pares e impares
Como cosí (-x) = cos x y sen(-x) = -sen x, el coseno y el seno son función par e impar, respectivamente. Propiedades de las funciones pares e impares El teorema que sigue menciona algunas propiedades de las funciones pares e impares. TEOREMA 10.2 Propiedades de las funciones pares e impares a) El producto dé dos funciones pares es par. b) El producto de dos funciones impares es par. c) El producto de una función impar y una función par es impar. d) La suma o diferencia de dos funciones pares es par. e) La suma o diferencia de dos funciones impares es impar:
DEMOSTRACIÓN DE b) Supongamos que ¦ y g son funciones impares. En ese caso tendremos que, entonces
Si definimos el producto de
Esto demuestra que el producto F de dos funciones impares es una función par. Las demostraciones de las demás propiedades se dejan como ejercicios. (Problemas 45 a 49 de los ejercicios 10.3.) Series de senos y de cosenos Si ¦ es una función paren (-p, p), entonces, en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9), (10) y (11) de la definición mencionada en la sección 10.2 se transforman en
En forma parecida, cuando ¦ es impar en el intervalo (-p, p),
Resumiremos los resultados en la definición siguiente. DEFINICIÓN 10.6 Series de Fourier de cosenos y serie de senos i) La serie de Fourier de una, función par en el intervalo (-p, p) es la serie de cosenos
en que (1) (2) (3) ii) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p, p) es la serie de senos
en donde
(4) (5)
EJEMPLO 3 Desarrollo en una serie de senos Desarrolle ¦ (x) = x, -2 < x < 2 en forma de una serie de Fourier . SOLUCIÓN Desarrollaremos f como una serie de senos porque al ver la figura 10.5 advertiremos que la función es impar en el intervalo (-2, 2). Hacemos que 2p = 4, o p = 2, y podemos escribir la ecuación (5) como sigue:
Integramos por partes para obtener
Por consiguiente,
(6)
erie de Fourier en medio inter valo.
5.7 S
¿Qué es la Serie de Fourier ? En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de Joseph Fourier (1768-1830), es una representación de una función periódica como una suma de funciones periódicas de la forma
que son armónicos de ei x; Fourier fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Este área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Muchas tipos de otras transformadas relacionadas con la de Fourier han sido definidas desde entonces. Def inición de la serie de Fourier Supongamos que es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Nos preguntamos: si y= f (x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será posible determinar un conjunto de coeficientes
0, 1, 2,..., para el cual
Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos determinar los coeficientes multiplicar la ecuación anterior por
mediante el producto interno. Al
e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene:
Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m=n. En este caso tendremos
Entonces los coeficientes que buscamos son
En otras palabras,
(1)
En la que
(2)
La ecuación 2, en notación de producto interno ( o producto punto ), es
(3) El con junto de funciones
(1) es ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que f es una función definida en el intervalo [-p,p] que se puede desarrollar en la serie trigonométrica
(2) Entonces, los coeficientes pueden determinar tal como describimos para la serie de Fourier generalizada en la sección anterior.
Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde ±p hasta p, se obtiene
(3) Como cada función , n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho de (3) se reduce a un solo término y, en consecuencia,
Al despejar
se obtiene
(4) Ahora multipliquemos la ecuación (2) por
e integremos:
(5) por la ortogonalidad tenemos que
y
Entonces la ecuación 5 se reduce a
Y así
(6)
Por último si multiplicamos a (2) por
, integramos y aplicamos los resultados
llegamos a
(7)
La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (-p,p) es
(8)
(9)
(10)
(11) Series
de Fourier de cosenos y de senos
Si f es una función par en (-p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9),(10) y (11) se transforman en
. En forma parecida, cuando f es impar en el intervalo (-p,p),
, n=0,1,2,..., Resumen de las constantes de la series de Fourier
a. La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos
en que
b) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie de senos
en donde
5.8
Forma comple ja de la serie de Fourier .
Def inición.
( Serie de Fourier Compleja ).
Sea
con período p sea . Definimos la serie de Fourier compleja de
como sigue:
donde:
También se tiene el criterio de convergencia correspondiente.
Def inició.
(E spectro de Frecuencias ).
El espectro de f recuencias de una función periodica es una gráfica de los puntos para «
Ejemplo 1. Calcular la serie de Fourier compleja de la siguiente función, y tambien dibujar el espectro de frecuencias.
6
-8
0
8
Solución.
Tenemos que para
y . De aquí que:
Como
, entonces:
Por lo tanto, la serie de Fourier Comple ja de f(x) es:
La cual converge converge a:
Y por ser f(x) periódica, tiene el mismo comportamiento en los intervalos , , El espectro de frecuencias se ve como sigue:
Cálculo de C n: