Indikator Hasil Belajar
1. Memahami konsep Fungsi Bloch 2. Menganalisis munculnya konsep pita energi 3. Memahami pita energi dan energi electron dalam atom
152
BAB VII TEORI PITA ENERGI
A. Teori Pita Energi Dan Teorema Teorema Bloch Bloch
Daya hantar listrik (konduktivitas) zat padat merupakan salah satu besaran fisik dengan selang harga yang terpanjang. Harga itu hampir meliputi 27, dari logam dengan σ ≈ 108 mho/m. sampai pada σ ≈ 10 16 mho/m. tidak banyak besaran fisik yang mempunyai selang harga sebesar itu. Pengklasifikasian zat padat berdasarkan daya daya hantar listriknya adalah sebagai berikut. 1. Logam dan semi logam, dengan σ > 10 5 mho/m. 2. Semikonduktor, dengan σ antara 10 -5 mho/m sampai dengan 10 5 mho/m. 3. Isolator dengan σ ≤ 10 -5 mho/m Secara umum untuk logam dan semi logam, tahanan jenis (resistivity : ohm) meningkat dengan kenaikan suhu, Semikonduktor tahanan jenisnya menurun bila suhunya dinaikkan, Isolator sama sifat perubahan tahanan jenisnya dengan suhu, tetapi tidak sekuat semikonduktor. Hamburan komprehensif mengenai sifat listrik untuk tiga kategori zat padat tersebut diatas, tentu sangan berfaedah. Teori pita energi zat padat mengandaikan asumsi-asumsi sebagai berikut tentang elektron dalam kristal : a. Ada energi potensial periodik
⃗ yang tidak sama dengan hal didalam kristal
dengan keberkalaan kisi kristal b. Fungsi gelombang
ψ⃗ dibuat berdasarkan kisi yang sempurna, tidak mengenal
cacat geometrik, tidak mengenak ketidakmurnian, dan dimana dianggap bahwa kisi tidak melakukan getaran termal. c. Teori pita energi dikembangkan berdasrkan teori elektron tunggal, dimana ditelaah perilaku satu elektron dibawah pengarah potensial periodik
⃗ yang
merepresentasikan semua interaksi, baik dengan ion-ion kristal, maupun semua elektron lain. d. Teori
elektron
tunggal
berarti
schroedinger untuk satu elektron :
153
bahwa
dapat
dipergunakan
persamaan
ℏ ∇ ψ εψ⃗r 2 ψ⃗r v⃗rΨ⃗r = εψ e. Dengan
ketentuan
bahwa
pengisian
elektron
status
yang
diperoleh
menggunakan distribusi Fermi-Dirac Bloch mempelajari bentuk-bentuk solusi untuk persamaan Schoedinger elektron yang berada dalam potensial berkala. Dalam penelahaanya itu potensial
⃗ merupakan
superposisi dari dua bagian : a. Potensial berkala yang berasal dari kisi gugus-gugus atom b. Potensial yang berasal dari semua elektron terluar atom-atom; dianggap bahwa rapat muatan elektron-elektron termaksud mempunyai kerja rata-rata yang identik untuk setiap sel satuan dalam kristal
Substitusi
⃗ yang diatas ke persamaan schroedinger untuk elektron tunggal memberikan
fungsi gelombang yang juga memiliki keberkalaan kisi :
Ψ ⃗ = Μ ⃗ . ⃗ dengan
μ ⃗ merupakan suatu fungsi yang yang juga memiliki keberkalaan kisi kristal Metode Bloch ini dibahas secara sederhana, dengan menalaah suatu kristal linier
dengan ion-ion identik. Jarak antara ion-ion dalam kristal ini adalah a. Potensialnya dinyatakan dengan v (x), sehingga energi potensial elektron adalah – v(x). Sketsa tentang potensial v (x) diberikan gambar 7.1:
Gambar 7.1 Potensial Kristal
154
Potensial v(x) mempunyai keberkalaan kisi dengan periode a, artinya untuk setiap hara ga x berlaku V(x) = v(x+a)
Kita perhatikan persamaan schroedinger untuk satu elektron dalam potensial seperti diatas, maka
ℏ ψ vxψx = εψx 2 Hal-hal berikut dapat disimpulkan mengenai solusinya: a. Apabila Ψ(x) merupakan solusi persamaan Schroedinger untuk energi E, maka mengingat bahwa v(x+a) = v(x), Ψ (x+a) juga merupakan solusi dengan energi E. maka hubungan sederhananya yaitu
Ψ (x+a) = λ Ψ(x) b. Apabila syarat batas siklus dari Born Von Karman diterapkan disini maka,
Ψ (x+Na) = Ψ(x) Ψ (x+Na) = λ N Ψ(x) Untuk setiap harga x. Syarat batas siklus Born Von Karman menyatakan bahwa harga Ψ akan berulang setelah N buah satuan. Maka mengingat butir a diatas: λ N = 1 λ N = ei2πn dengan n = 0, ±1,±2,…. Bataskan k ≡2πn/N A maka: Ψ (x+a) = eika Ψ(x)
c. Untuk elektron yang bebas berlaku fungsi gelombang Ψ (x) = eikx Karena v(x) ≡ 0 untuk potensial berkala kita, diinginkan pula suatu fungsi gelombang yang mirip, yaitu : Ψ (x+a) = eikx µk (x)
dimana µk (x) merupakan fungsi yang tidak berubahcepat dengan perubahan π Bagaimanakah sifat µk (x)? 155
Ψ (x+a) = eika Ψ(x),
menurut butir b
Tetatpi juga Ψ (x+a) = eik(x+a) µk (x+a)
menurut butir c
Oleh karena itu: Ψ (x+a) = eik(x+a) µk (x+a) = eixa eikx µk (x)
dari mana dapat disimpulkan sifat µ k (x) yaitu dari : µk (x+a) = µk (x) d. Karena v (x) berharga riil, maka v(x) = v(x)
ℏ 2 Ψ∗ v∗xΨ∗x = EΨ∗x ℏ 2 Ψ∗ v∗xΨ∗x = EΨ∗x Untuk setiap E senantiasa ada dua fungsi gelombang yang memenuhi persamaan Schroedinger, yaitu Ψ*(x) dan Ψ(x). Untuk k = 0
Ψ0*(0) = Ψ0(x),
karena λ *=λ = 1 Ψ (x) = eikx µk (x) Ψ* (x) = e-ikx µk *(x) sehingga E(k) = E(-k)
e. Vektor gelombang k dan vektor kisi resiprok mempunyai dimensi dan ukuran yang sama. Untuk kristal linier dengan jarak anatara tetangga terdekat sebesar a, berlaku
G.a = m 2π
; m = 0.±1, ±2, . . .
G = 2πm/a andaikanlah ada suatu elektron state dengan vektor vektor gelombang sebesar G, maka dpat ditulis bahwa : ΨG(x+a) = eiGa ΨG(x) = ΨбGx)
Andaikan sekarang bahwa suatu elektron state mempunyai vektor gelombang : k' = G + k 156
dengan G suatu vektor kisi resiprok, dan k suatu vektor gelombang yang lain. Maka, Ψk’(x+a) = ei(G+k)a Ψk’(x) = eiGa eikaΨk’(x) = eika Ψk’(x) Ungkapan diatas menyatakan bahwa Ψ k’(x) memenuhi teorema Bloch seolah-olah vektor gelombangnya k. karena memenuhi hubungan diatas sesuai dengan butir b adalah fungsi gelombang Ψ k (x) Ψk (x+a) = eika Ψk (x)
Bagaimanakah dibataskan secara tunggal (unique) vektor gelombang suatu elektron state? Diketahui bahwa Gm = 2πm/a, sedangkan : k’ = Gm + k, jadi k’ = 2πm/a + k Dibataskan letak k dalam daerah antara k = -π/a dan π/a, semua harga yang lain dapat dikembalikan ke daerah –π/a ≤ k ≤ -π/a tersebut. Selang ini dinamakan daerah Brilloun Perrtama.
Teorema Bloch untuk satu dimensi,menyatakan ciri-ciri fungsi gelombnag untuk suatu potensial berkala dalam ruang satu dimensi. Hal ini dapat diluaskan untuk ruang dimensi tiga, jadi berlaku umum.
‘’ Teorema Bloch hanya menyatakan sifat Ψ (x), dan tidak menyelesaikan persamaan schroedinger untuk elektron dalam suatu zat padat’’
B. Model Kronig-Penney
Model Kronig-Penney (1930) yang menelaah perilaku elektron dalam kristal linier sederhana, memberikan ciri-ciri yang pokok tentang perilaku elektron dalam potensial yang periodik. Modelnya sangat sederhana, tetapi essensi tentang gerak eleketron dalam potensial berkala.
157
Pandang potensial periodic seperti pada gambar 7.2
Gambar 7.2 Potensial Periodik
V(x) mempunyai periode (a+b) , dengan perincian potensial sebagai berikut : V = 0 didaaerah 0< x < a V = v0 didarah – b < x < 0 Persamaan Schroedinger untuk elektron tunggal adalah sebagai berikut :
ℏ ψ =
εψ
x ; didaerah 0 < x < a
ℏ Vψx = εψx didaerah – b < x < 0 ψ
Kita membatasi diri pada solusi dengan energi e < v 0. Untuk dapat menelaah selajutnya kita bataskan dua bilangan riil, α dan β:
≡ ℏ , dan ≡ ℏ+ Teorema Bloch dapat diterapkan dengan solusi berbentuk : Ψ (x) = eikx µk (x), s sehingga persamaan Schroedinger diatas menjadi :
μ
2ik α kμ = 0 ; 0 < x < a
μ
2ik β kμ = 0 ; -b < x < 0
μ
μ
158
yang mempunyai solusi μ1 = A ei(α-k)x+Bei(α+k)x μ2 = C e(β -ik)x+De-(β+ik)x dengan A, B, C, dan D tetapan. Tetapan tetapan tersebut harus dipilih sedemikian rupa sehingga : μI (0) = μ2 (0)
μI (a) = μ2 (-b)
μI’ (0) = μ2’ (0)
μI’ (a) = μ2’ (-b)
Perangkat + persamaan diatas memberikan solusi hanya apabila determinan dari koefisien A, B, C, dan D sama dengan 0. Penyelesaian determinan tersebut mempersyaratkan bahwa:
− sinhβb sinαa + coshβb cosαa = cos k(α+β) Untuk menagnani hal tersebut terutama menyederhanakannya, Kronis-Renney mengambil kedaan dimana potensial penyekat (tinggi v 0 dan lebar b) merupkan fungsi δ, dengan v 0 menuju : dan b menuju 0, tetapi v 0 b = berhingga Untuk keadaan sedemikian syarat bahwa determinan sama dengan 0, menjadi
ℏ sinαa + cos αa = cos ka Dengan betanian
≡ ℏ, persamaan tersebut menjadi
+ cos αa = cos ka Hal mana secara grafik digambarkan dalam sketsa pada gambar 7.3
159
Gambar 7.3 dalam grafik diatas lengkung yang terlihat menggambarkan
sinαa + cosαa sebagai fungsi
dari αa, dan pula tertera dengan dengan garis putus -putus, harga maksimum yang dapat dimiliki oleh cos ka adalah +1, sedangkan harga minimum yang dapat dimiliki oleh cos ka adalah -1. Sehingga secara grafis dapat diperoleh daerah-daerah αa untuk mana ada solusi untuk :
sinαa + cosαa = cos ka dan daerah-daerah dimana tidak ada solusinya. Daerah untuk mana
sinαa + cosαa = cos ka Tidak mempunyai solusi, adalah daerah terlarang, daerah dimana persamaan schroedinger tidak memberikan solusi Ψ(x). Energi yang sesuai dengan daerah αa yang terlarang itu, merupakan pula harga energi yang terlarang. Dari gambar dapat ditarik kesimpulan-kesimpulan penting berikut: a. spektrum energi elektron terdiri dari beberapa pita energi (daerah energi) yang diperkenankan dan beberapa terlarang. b. Lebar pita energi yang diperkenankan bertambah lebar dengan meningkatnya harga αa, jadi dengan energi yang meningkat. c. Lebar pita energi tertentu yang diperkenankan mengecil apabila P bertambah, artinya mengecil apabila “energi ikatan” makin naik.
160
Apabila P ∞, maka hanya ada solusi apabila sinαa = 0, artin ya αa = ± nπ karena
= ℏ , maka
= ℏ , apabila P ∞ ini sama dengan enerhi partikel dalam kotak potensial. Daerah pita yang diperkenankan dan yang dilarang diperlihatkan dalam gambar 7.4, untuk elektron bebas v(x) ≠ 0, maupun elektron dalam potensial berkala satu dimensional
Gambar 7.4 Zone Brilioun dan Pita Energi
Model Kronig-Pnney meramalkan adanya pita-pita untuk harga energi elekron yang bergerak dalam potensial berkala satu dimensional. Elektron yang berada pada daerah zone Brillouin hanya mampu melakukan gerak bebas pada daerah zone Brilloin tersebut. Kondisi inilah yang menghasikan pita-pita energi yaitu merupakan kumpulan energi-energi elektron yang berada pada daerah yang diijinkan. Anatar daerah-daearh energi yang diijinkan terdapat daerah energi yang tidak diijikan bagi elektron untuk berada pada daerah energi tersebut, yang disebut energi gap. Pita energi merupakan kumpulan elektron-elektron yang memiliki tataran energi yang sama, sehingga lebih tepat dikatakan sebagai kelompok elektron dengan tataran energi yang
161
sama. Untuk menentukan kecepatan elektron dalam pita energi adalah lebih tepat memperhitungkan dalam kecepatan kelompok yang dinyatakan dengan v g = d/dk dan E = ,
maka kecepatan elektron dalam pita energi adala h
v
1 d E
d k
Kecepatan elektron dalam zone Brillouin pertama adalah berubah-ubah, seperti ditunjukkan gambar 7.5. v
a v = k / m k
-/a
0
k
/a
-/a
Gambar 7.5 Kecepatan Elektron Dalam
/a
Gambar 7.6 Percepatan yang dialami
Zone Brillouin Pertama
Elektron Dalam Zone Brillouin
Gaya luar yang dialami elektron adalah F, usaha yang dikerjakan gaya tersebut adalah Fv d t. Hasil ini mengubah energi elektron sebesar dE, sehingga dapat dituliskan F v d t = d E = (d E/d k).d k. maka gaya yang bekerja pada elektron selama geraknya dalam Zone Brillouin adalah
F=
d k d t
Gambar 7.5 dan gambar 7.6 menjelaskan bahwa dalam zone Brillouin saat harga k naik kecepatan elektron mengalami kenaikan oleh percepatan tetap, tetapi begitu k mendekati harga
/a, elektron mengalami percepatan balik yang sangat besar sehingga kecepatan
elektron menjadi berlawanan arah dan begitu seterusnya sampai haga k mendekati harha - /a elektron akan mengalami pembalikan arah gerak.
162
Pada zone Brillouin kedua dilukiskan pada gambar 7.7 (a) dan (b) berikut. a v
-2/a
-/a
0 -/a
2/a
k
-2 /a
-/a
(a)
0
/a
2/a
(b)
Gambar 7.7 (a) Kecepatan elektron pada zone Brillouin kedua, (b) Percepatan elektron pada zone Brillouin kedua
C. Pita Energi Dan Energi Elektron Dalam Atom
Dari model sederhana yang dipergunakan oleh Kronig dan Penny, diperoleh gambaran tentang harga energi elektron dalam suatu potensial yang berkala. Ternyata bahwa diperoleh daerah-daerah energi yang boleh dimiliki oleh elektron (pita yang diperkenankan) dan daerah-daerah yang tidak diperkenankan untuk energi elektron. Yang terakhir ini dinamakan pita-pita yang terlarang. Gambar 7.4 merupakan pola harga energi elektron untuk sistem dengan potensial berkala adalah keadaan antara model elektron bebas dan kotak potensial. Polanya terletak antara harga energi elektron dalam logam dan atom yang terisolasi. Andaikanlah kita mempunyai suatu susunan atom inti terisolasi. Maka hal itu dapat kita gambarkan sebagai kumpulan atom-atom dengan jarak antar atom yang tidak terhingga besarnya. Dalam keadaan seperti itu energi elektron dalam setiap atom diskrit, dan sesungguhnya atom-atom dalam keseluruhannya tidak merupakan suatu sistem fisik. Setiap atom merupakan sistem tersendiri, tanpa interaksi dengan atom lain. Apabila kemudian atomatom tersebut saling diinterkasikan, maka interaksi antar atom terjadi apabila jaraknya cukup dekat. Maka kerja energi elektron dalam atom-atom tersebut juga dipengaruhi oleh atomatom yang lain.
163
Dalam keadaan yang demikian itu atom-atom secara keseluruhan tersusun menjadi satu sistem fisik dan harus mengikuti kaedah-kaedah yang menyangkut sistem fisik. Antara lain larangan Pauli, bahwa dalam satu sistem tidak ada 2 elektron atau lebih kerja energi yang tepat sama. Oleh karena itu terjadi pelepasan dari kerja diskrit energi elektron (atom terisolasi) menjadi pita-pita kerja energi elektron. Hal tersebut hal tersebut digambarkan dalam sketsa gambar 7.7.
Gambar 7.7 Tingkat energy Atom Terisolasi dan Pita Energi Atom-atom yang terisolasi satu dengan yang lain memiliki banyak elektron statis yang sama energinya (tetapi diskrit). Apabila atom-atom tersebut menyebar meliputi suatu daerah kerja energi. Pada setiap pita tersedia sejumlah elektron states yang sama banyaknya dengan elektron states pada atom-atom yang terpisah
D. Metoda L in ear Combin ation of Atomic Or bitals
Metode LCAO adalah cara menghitung tingkat energi elektron dalam kristal dengan menganggap bahwa elektron terikat kuat pada atom. Pendekatan ini sangat berbeda dengan pendekatan elektron bebas. Dalam pendekatan elektron bebas diandaikan bahwa energi potensial elektron karena tarikan atom hanya merupakan bagian yang sangat kecil saja dari energi potensialnya. Atom-atom dianggap demikian berdekatan sehingga fungsi gelombang elektron dari atom yang berdekatan saling tumpah tindih. Interaksi atar atom yang bertetangga cukup besar, sehingga tingkat-tingkat energi elektron untuk kristal secara keseluruhan sangat berbeda dari tingkat energi elektron dalam atom-atom masing-masing.
164
Untuk beberapa macam kristal pendekatan elektron bebas cukup memadai untuk menerangkan sifat-sifat fisiknya; tetapi untuk berbagai kristal lain pendekatan itu kurang memadai. Pendekatan ikatan kuat ( strong binding approximation), atau pendekatan LCAO
adalah pendekatan yang digunakan untuk menentukan energi elektron kristal. Pendekatan ikatan kuat beranjak dari pandangan yang sangat berbeda dari model elektron bebas. Dalam pendekatan ini energi potensial elektron merupakan bagian yang dominan dari energi totalnya. Sedangkan harga energi elektron yang diperkenankan merupakan pita-pita yang sempit apabila dibandingkan dengan daerah-daerah harga yang tidak diperkenankan. Fungsi gelombang elektron dari pendekatan ikatan kuat didasarkan pada fungsi gelombang elektron dalam atom yang terisolasi dan disusun dari fungsi gelombang elektron yang dimaksud. Andaikan potensial untuk suatu atom terisolasi adalah vo (r ) . Maka solusi untuk energi elektron dalam atom untuk memenuhi persamaan schrödinger;
2mo
2 vo (r ) E
dengan; (r ) = fungsi gelombang elektron E = energi elektron He =
2mo
2 vo (r )
Apabila sejumlah atom seperti di atas disusun menjadi susunan kristal, tetapi sedemikian rupa sehingga harga potensial di daerah tiap atom dimana o cukup besar tidak dipengaruhi terlalu banyak, maka fungsi gelombang elektron di dalam kristal secara keseluruhan dapat ditulis sebagai:
(r ) an o (r r n ) n
Penjumlahan dilakukan melalui semua posisi atom r n dalam kristal.
165
r
O
r r n
Atom ke-n
r n
Gambar 7.6 Posisi Atom Dalam Kristal
Jadi (r ) untuk elektron di seluruh kristal merupakan kombinasi linear dari fungsi gelombang atom-ataom yang lain di titik r itu. Karena potensialnya periodik maka berdasarkan teori Qoch fungsi gelombang elektron dalam kristal tertulis sebagai:
k (r ) e i k .r o (r r n ) n
n
dengan;
d e * k
i k .( r n r m )
k
n
m
(r r ) (r r )d * o
m
o
n
Seluruh kristal = N (jumlah ataom dalam kristal) Karena
(r r ) (r r )d tidak nol apabila r r * o
m
o
n
n
m
karena tidak ada variabel t.
Potensial kristal adalah W( r ), maka persamaan schrödinger untuk elektron tunggal adalah:
2
2mo
2 k (r ) W (r )k (r ) E k (r )
dengan; k ( r ) adalah fungsi gelombang dalam kristal. Untuk selengkapnnya:
H
2
2mo
2 W (r )
166
Tetapi H dapat pula ditulis sebagai:
2 2 H vo (r r n ) W (r ) vo (r r n ) 2mo
H o
H '
disingkat; H=Ho+ H ' Untuk jelasnya maka potensial-potensial di atas ditunjukkan oleh Gambar 7.6.
r r n
vo (r r n )
W (r )
Gambar 7.6. Variasi energi potensial sebuah elektron
vo (r r n ) adalah potensial atom terisolasi di r r n
W (r ) adalah potensial kristal; jadi paduan dari potensial atom-atom. Persamaan Schrödinger menjadi:
H k (r ) E k (r ) Atau selengkapnya:
H o k (r ) H ' k (r ) E k (r ) darimana didapat harga ekspetasi energi:
E
1 k * (r ) E k (r )d N
1 1 k * (r ) H o k (r )d k * (r ) H ' k (r )d N N
Evaluasi integral-integral di atas: a.
1 N
* k (r ) H o k (r )d
1
e N n
i.k .( r n r m )
m
(r r ) H (r r )d * o
m
o
o
E o nm 167
n
b.
1 N
1
E
N
1 1 k * (r ) ' k (r )d N N
n
e
i . k . ( r n r m )
E o nm
m
o
E o
n
e n
i.k .( r n r m )
m
(r r ) ' (r r )d * o
m
o
n
Misalnya disederhanakan, ialah bahwa integralnya tidak nol hanya untuk tetangga terdekat saja. Maka penjumlahan di atas hanya meliputi n=m, dan hanya meliputi tetangga terdekat saja, yang diberi indeks j, sehingga:
1 N
e n
1 N
m
i.k .( r n r m )
* o (r r m ) H ' o (r r n )d
o* (r r n ) H ' o (r r m )d e n
i . k . ( r n r m )
n
o* (r r n ) H ' o (r r n )d e
i . k . ( r n r j )
n
(r r ) H ' (r r )d * o
j
o
n
(r r ) H ' (r r )d * o
j
o
n
Tidak nol hanya untuk tetangga terdekat saja Buktikan;
o* (r r n ) H ' o (r r n )d
o* (r r j ) H ' (r r n )d Maka energi elektron dalam kristal adalah:
e
E ( k ) E o
i k .( r n ' r j )
j
r j adalah kedudukan atom-atom di sekitar atom r n '
dan positif karena H’ itu negatif
168
E. Refleksi Bragg Dan Jurang Energi
Daerah terlarang untuk energi elektron yang bergerak dalam suatu kristal memisahkan dua pita yang diperkenankan. Jarak energi yang memisahkan dua pita yang diperkenankan dinamakan jurang energi. Andaikanlah ada suatu kristal linier mono atomik, dan sutau elektron yang bergerak dalam sistem tersebut. Sebagaimana yang diperoleh dari model Kronig-Penney, maka jurang jurang energi terjadi pada kerja k = nπ/2; n = ±1, ±2, . . . Dalam pembahasan moda getar kisi, diperoleh bahwa untuk kristal linier diatomik besarnya kecepatan kelompok (Vg = grand velocity) menjdai sama dengan nol, masingmasing dibatas zona (k = ± π/2a), untuk cabang akustik maupun cabang optik Hal yang sejalan juga berlaku untuk elektron yang bergerak dalam potensial berkala pada batas-batas daerah batas. Ditempat-tempat itu (dalam ruang k), fungsi Bloch merupakan gelombang tegak dan bukan gelombang berjalan, karena elektron dengan harga k sedemikian rupa memenuhi syarat difraksi Bragg. Bahwa:
= ℎ Karena
|′| = ||, maka syarat bragg tersebut dapat dinyatakan juga sebagai ⃗ . ⃗ 2.⃗ = 0
Dikembalikan kepada kristal linier mono-atomik dengan jarak atom a, hal ini menjadi k = ± G/2 = ± π/a gelombang yang dipantukan oleh dua atom yang bersebelahan be rbeda fase : π, sehingga superposisi gelombang datang dan terpantul: Ψe(x) = μe(x) [eiπx/a + e-iπx/a] Ψe(x) = 2μ e(x) cos (πx/a) Rapat arus listrik untuk masing-masing kasus diatas : a. Ψe(x), genap 169
-e| Ψe |2 = -e|2μe|2 cos2 (πx/a) yang berharga maksimum pada setiap saat k = am, m merupakan bilangan bulat, jadi pada setiap lokasi atom kolom kristal b. Ψe(x), ganjil -e| Ψe |2 = -e|2iμe|2 cos2 (πx/a)
yang berharga nol pada setiap lokasi atom dalam kristal linier Oleh karena itu, maka suatu elektron dengan harga vektor gelombang k = ± π/a, dapat direpresentasikan sebagai: a. Fungsi gelombang yang selama sebagian besar dari waktunya berada didekat inti atom (π = ma), atau b. Fungsi gelombang yang selama sebagian terbesar dari waktunya berada dalam ruang di antara inti-inti atom(jauh dari inti atom). Energi potensial v(x) berharga positif disetiap kedudukan atom, tetapi karena muatan elektron berharga negatif, maka dengan mengingat hasil a dan b diatas, dibuat kesimpulan sebagai berikut a. Energi yang diperlukan untuk elektron yang direpresentasikan oleh Ψ e(x) lebih rendah daripada untuk elektron yang direpresentasikan oleh Ψ a(x). b. Jadi potensial berkala v(x) menciptakan pemisahan energi elektron di kotak zona, k = ± π/a, yang tidak dijumpai dalam elektron bebas Penggunaanya dalam kisi kubik sederhana
Dalam setiap kisi kubik sederhana, setiap titik kisi mempunyai 6 tetangga terdekat, sehingga.
(r n r j ) : a i , -a i , a j , -a j , a k , -a k Maka:
E (k ) E o 2 (cos k x A cos k y A cos k z A Kesimpulan yang dapat diambil:
E (k ) periodic terhadap
k
170
Harga maks. (xjz) E (k ) tergantung dari dari harga cosines, oleh karena itu:
E dasar E o 6 E puncak
E o 6
E dasar dan E punca k masing-masing harga energi elektron pada dasar dan pada puncak dari pita energi.
Untuk harga
k
sangat kecil:
E (k ) E o 6 A 2 k 2 Karena:
cos k x A 1
k 2 a 2 z !
F. Kecepatan Kelompok Dan Massa Efektif
Andaikanlah dari suatu elektron yang bergerak dalam kristal diketahui energinya sebagai fungsi dari vektor gelombang
k ,
jadi:
E E (k x , k y , k z ) Kecepatan kelompok Vg dari suatu gelombang dalam kristal dapat diperoleh dari hubungan dispersinya: Vg k (k )
dengan
k i Gerak
j k x y z
suatu elektron dalam kristal tersebut dapat divisualisasikan
sebagai suatu paket
gelombang yng merupakan superposisi gelombang dari berbagai frekuensi ω. Kecepatan kelompok paket gelombang tersebut adalah: Vg k (k )
Untuk elektron termasuk energinya dan frekuensinya terlihat melalui hubungan Planck 171
E h
sehingga diperoleh bahwa:
1
Vg
Oleh karena itu perubahan
dt A i A x j A y k A z
dA x dt dA x dt
k E (k )
Vg dengan waktu t adalah:
d Vg
Perhatikanlah vektor
1 d
dt
k E (k )
, maka.
A x dk x A x dk y A x dk z k x dt k y dt k z dt
d dt k
k A x .
A Ini berlaku untuk setiap komponen vektor , oleh karena itu :
d A d k k A . dt dt dA x Setiap komponen perkalian vektor tersebut memberikan hubungan seperti untuk dt di atas.
d Vg Diterapkan pada dt , maka penerapan hubungan vektor di atas akan menghasilkan: d Vg dt Sedangkan gaya luar
F
1
k
cari melalui hubungan energi waktu
t pada elektron adalah :
E F Vg karena
E k E k
k F t
Darimana diperoleh hubungan yang sangat penting dalam dinamika elektron dalam Kristal, yaitu bahwa:
F 172
d k dt
Harus diingat bafwa
F
d Vg disini adalah gaya luar. Oleh karena itu maka ungkapan untuk dt
menjadi:
d Vg 1 2 k ( k E ). F dt Hubungan diatas mengkaitkan percepatan elektron dan gaya luar yang bekerja padanya, jadi dengan menarik analogi dengan hokum II Newton dapat kita definisikan massa “ffektip m” .
1 1 2 k ( k E ) atau (m ) 2 [ k ( k E )]1 m 1 Dari hubungan diatas terlihat bahwa m adalah dasar simetrik, artinya: 1 1 m m
Jadi apabila
E E (k )
1 diketahui maka diperoleh m . Gaya-gaya pada medan kristalyang
berasal dari atom-atom tidak dianggap sebagai gaya luar Untuk elektron bebas dalam ruang, maka:
E (k )
2
2mo
(k x2 k y2 k z 2 )
Maka menurut apa yang diperoleh diatas, maka 2 1 1 1 2 mo m xz mo
1 0 m xy 1 1 1 1 Menurut kesetangkapan : m xx m yy m zz mo ,
173
1 1 1 1 sedangkan m xy m yz m zx mo Sehingga :
1 m 1 0 m 0
0 1 m 0
0
0 1 m
Persamaan Newton dalam hal ini menjadi,
ax 1 0 0 Fx ay 1 0 1 0 Fy m o az 0 0 1 Fz Yang dalam hal ini menjadi hubungan vektor, yang memang telah dikenal. Gerak elektron dalam suatu kristal kubik sederhana, khusunya apabila
k
sangat kecil
terhadap 1/a; a = rusuk kubus.
E k E o 6 a 2 (k x2 k y2 k z 2 )
1 tidak mempunyai elemen di luar diagonalnya; * m
Terlihat bahwa
Sedangkan elemen-elemen diagonalnya adalah
2 a 2
2
, jadi,
1 0 0 2 1 2 a 2 0 1 0 m 0 0 1 Massa effektipnya ternyata isotropic, oleh karena itu dapat dipresentasikan dengan scalar:
m
174
2
2 a 2
Kasus elektron bebas, massa elektron sama dengan mo. masa elektron tersebut diperoleh ari energi elektron bebas
E E (k )
2
2mo
k 2
Pada kasus yang kedua, yaitu elektron dalam kisi kristal yang berupa kubik sederhana, massa effektifnya sebagai yang diperoleh dari E E (k ) , adalah:
m
2
2 a 2
k
Karena sifat dari fungsi E vs
, maka massa effektif itu adalah sebuah scalar. Dalam hal ini m
massa effektip itu adalah sebuah scalar. Dalam hal ini massa effektip
tidak perlu sama
dengan mo . ini dapat diterangkan sebagai berikut. Pada saat dibuat intepretasi dari:
d Vg dt
1
2
k ( k E ). F
Yang dianalogikan dengan hukum II Newton:
a
1 m
F
F
Diandaikan bahwa
k
yang menghasilkan perubahan dari vektor gelombang
d k F dt ,
, adalah gaya luar yang bekerja pada elektron. Dalam gaya luar ini tidak termasuk gaya-gaya yang dialami elektron dalam kisi kristal. Gaya-gaya dari kisi kristal sudah diperhitungkan
d Vg
E E (k ) penjarahnya dalam penetapan
. Jadi apabila
dt adalah percepatan elektron yang
F
teramati (disebabkan oleh gaya luar
F
dan gaya medan Kristal), sedangkan
hanya gaya
m
luar saja, maka didapatkan bahwa
bukan massa yang sesungguhnya (m o) dari oleh karena
175
itu dipergunakan istilah massa efektif. Jelas bahwa untuk elektron bebas m* = m 0, karena tidak ada gaya kisi yang bekerja pada elektron. Gerak elektron sangat ditentukan oleh permukaan-permukaan dengan harga yang tetap untuk energi dalam ruang (k x, k y, k z). Ini terlihat dari hubungan:
= 1ħ ∇ Apabila permukaan dengan harga energi tetap itu berupa permukaan bola, maka arah
dalam ruang (k x, k y, k z) adalah radial. Apabila permukaan berenergi tetap bukan
merupakan bola maka
tidak radial. Ilustrasi tentang hal itu diterangkan pada Gambar 7.7
di bawah:
Ky
Ky
Vg
Vg Kx
Kx E 1
E 1
Gambar 7.7
radial dan tidak radial.
Apabila suatu elektron dalam kristal tidak dipengaruhi gaya luar, maka dia bergerak dalam suatu lintasan yang lurus dalam ruang nyata dengan kecepatan tetap k z) hal tersebut dipresentasikan dengan satu vector
. Dalam ruang (k , k , x
y
yang tetap, tidak berubah dengan
waktu. Apabila terjadi hamburan, maka karena baik energy maupun vector gelombang dapat
berubah, representasi elektron itu dalam ruang - pindah dari satu kedudukan (mula) ke suatu kedudukan yang lain (akhir). Energy elektron dalam kisi yang berbentuk kubik sederhana:
( ) = ∝ 2cos cos cos 176
Untuk menggambarkan permukaan dengan energy elektron yang tetap dalam ruang - , untuk ka << 1, maka:
( ) ≅ ∝6 , atau ( ) ≅ ∝6
Merupakan bola dalam ruang - , karena
0∝6 2 2 2 = 2 2 =
Apabila E( tetap. Energi maksimum diperoleh apabila
cosh x a cosh y a cosh z a 1
sehingga:
E tot E 0 6
;
k x k y k z
yaitu apabila
a
Titik dalam ruang k ' untuk hal tersebut adalah pada titik-titik ujung zona Brillourn. Dilihat dari titik ujung ini di dekat E
top,
bentuk permukaan dengan energi tetap juga
merupakan pola dengan ujung-ujung zona Brilloum sebagai titi k pusatnya (lakukan
saja transformasi dari
k x ke k x '
kx a Permukaan dengan energi yang tetap untuk kasus
elektron dalam kisi kristal yang kubik sederhana dijabarkan oleh gambar 7.8 di bawah ini.
a
ky
a
a
kx
a Gambar 7.8 Bentuk Permukaan Pada Kisi Kristal Kubik Sederhana
177
Lengkung-lengkung dengan energy tetap dalam zona Brilloum, pertama yang digunakan adalah adalah fungsi gelombang dasar dan hanya memperhitungkan interaksi tetangga terdekat.
G. Pengaruh Medan Listrik Pada Kecepatan Elektron Dalam Kristal
Apabila elektron-elektron valensi dari atom-atom suatu kristal mengisi pita energi hingga penuh, maka kristal tersebut adalah suatu isolator. Suatu medan listrik luar dalam kristal tersebut tidak akan menghasilkan rapat arus muatan netto. Kemudian apabila pita yang penuh itu terpisah dengan jarak d E yang sangat besar, maka tak ada jaln yang dapat ditempuh untuk mengubah momen kristal elektron-elektron tersebut.
d P F dt merupakan persamaan dua Newton, yang dalam hal elektron dalam kristal sebaiknya ditulis sebagai:
d k F dt
Di bawah pengaruh gaya luar F , momen kristal k senantiasa akan meningkat sampai harga
k tersebut mencapai batas done Brilloun pertama. Pada saat itu terjadilah overlap. Gerak
kemudian mulai lagi dari batas baru zone. Hal tersebut dapat dilihat pada gambar 7.9.
ky
a
t
0
a
Gambar 7.9 Pergerakan k Pada Zone Brillioun Pertama
178
Telah diketahui bagaimana Vg beda batas zona untuk suatu kristal linier dalam ikatan yang lemah antara elektron dan atom-atom Kristal ( model elektron bebas). Diperoleh bahwa Vg = 0 untuk k x =
.
Diinterpretasikan bahwa kolom ini bisa
berhadapan dengan gelombang tesah. jarak antara atom yang bersebelahan adalah a. Jika energy elektron berbentuk:
→ = 2[cos cos cos ] Dalam pendekatannya dianggap bahwa elektron hanya searah dalam arah x, sedangkan baik kordinat y maupun z tetap. Dalam hal ini bentuk fungsi di atas menjadi:
= 2 Dapat disingkat saja:
= 2cos Kecepatan kelompok dalam arah x:
( )=
ℏ = ℏ sin
kx
a
0
a
E i
k
a
0
a
Gambar 7.10 Kecepatan Group Pada Zone Brillioun Pertama
Terlihat bahwa pada k x =
, energy elektron besarnya maksimum dan (V y)x juga
sama dengan nol. Ini hanya dapat diinterpretasikan sebagai gelombang tejah di batas zona. Saat elektron mencapai batas zona maka terjadi unklopp, dan elektron muncul di sisi yang dihadapkan dalam batas zona. Apabila medan listrik luar dalam kristal cukup besar, maka tidak mustahil bahwa ketika elektron sampai di batas zona (satu azimuth) k x = 179
,
elektron dapat meloncat ke pita yang lebih tinggi. Andaikanlah bahwa jurang energy itu adalah sebesar ∆E. Andaikan pula bahwa medan listrik luar itu kuatnya gerak elektron dalam kristal linier. .Di bawah medan
dan kita berhadapan dengan
luar, vektor gelombang k
x
akan
berubah dengan Kristal. Sedangkan pada grafik E(k) elektron berubah energinya sesuai dengan lintasan. 0 A
A
B
C
dst.
Dalam erfended scheme, atau 0
A
A
l
0
dst dalam reduced bone scheme.
E (k )
Ex c
k
0
a
2
3
a
a
a
Gambar 7.11 Reduced Bone Scheme
Dalam ruang nyata (satu dimensi x) perjalanan sebagai fungsi waktu t dapat digambarkan sebagai berikut.
t
D
C
B
A x
0
xo
Gambar 7.12 Perjalanan Vs Waktu
180
Dalam kristal linier itu elektron hanya bolak-balik antara x=0 sampai x=x0 setiap kali elektron berada dikedudukan x=x0 energinya berada pada puncak peta konduksi di mana kemudian terjadi refleksi Bragg. Titik-titik O,A,B,C dst dalam grafik x=x(t) hanya menunjukkan situasinya dalam grafik E=E(k). Apabila kuat medan E k cukup besar, maka dapat terjadi loncatan elektron ke pita yang di atasnya. Perhatikanlah sketsa dibawah ini.
E(A)
A” ΔE A k
0
Gambar 7.13 Loncatan Elektron ke Pita Konduksi
Apabila elektron di A memperoleh energy sebesar ∆E maka elektron dapat meloncat dari pita konduksi ke pita yang di atasnya (dari A
All). Ini dapat terjadi apabila pada saat elektron
sampai di A, ia tidak dipantulkan tetapi berkesempatan menempuh jarak ekstra d, sedemikian hingga :
∆ = Dalam hal seperti inilah terjadi loncatan dari A ke A ll. Ini diramalkan “tunneling” (tuned=terowongan); syaratnya adalah bahwa: d << terhadap panjang gelombang de Broglie dai elektron, dari yang kecil terhadap jarak α
181
