MAKALAH
TEORI PITA ENERGI
MUHAMMAD AMIN SAID
161050801013
KELAS A
PROGRAM STUDI PENDIDKAN FISIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2017
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Model elektron bebas dapat memberikan penjelasan yang baik terhadap kapasitas panas, hantaran listrik dan kalor, kelemahan magnet dan elektrodinamika logam Namun model ini tidak bisa memberikan penjelasan terhadap berbagai masalah seperti:
Perbedaan di antara logam-logam, semi-logam, semi-konduktor dan isolator
Terjadinya harga koefisien Hall yang positif
Hubungan antara elektron konduksi dalam logam terhadap elektron valensi atom-atom bebas
Banyak sifat-sifat transport terutama mengenai magneto transport
Daya hantar listrik superkonduktor saat 1 K, < 10-10 Ω-cm sedangkan daya hantar listrik dari isolator yang baik adalah > 1022 Ω-cm. Sifat tahanan listrik ini dipengaruhi oleh suhu.
Untuk dapat menerangkan sifat daya hantar listrik zat padat diperlukan sebuah model. Model yang dikembangkan adalah model elektron hampir bebas dan teori pita energi.
Tujuan
Mempelajari teori pita energi
Mempelajari asal mula serta besar dari celah energi
Mempelajari fungsi Bloch dan model Kronigg-Penny
Mempelajari fungsi gelombang elektron dalam potesial periodik
Mempelajari jumlah orbital di dalam sebuah pita
BAB II
KAJIAN TEORI
Model elektron Hampir Bebas
Dari bab 6 telah diketahui bahwa persamaan distribusi energi model elektron bebas adalah:
k= h22m(kx2+ky2+kz2) k= h22m(kx2+ky2+kz2)........ 1........ 1
k= h22m(kx2+ky2+kz2)
k= h22m(kx2+ky2+kz2)
........ 1
........ 1
Dimana kondisi batas pada kubus dengan sisi L adalah:
kx, ky, kz=0 ; ±2πL; ±4πL;… kx, ky, kz=0 ; ±2πL; ±4πL;… ........ 2........ 2
kx, ky, kz=0 ; ±2πL; ±4πL;…
kx, ky, kz=0 ; ±2πL; ±4πL;…
........ 2
........ 2
Fungsi gelombang elektron bebas
φkr=expik.r;φkr=expik.r;........ 3........ 3
φkr=expik.r;
φkr=expik.r;
........ 3
........ 3
Teori elektron bebas memiliki kegagalan dalam menjelaskan perbedaan antara konduktor, semikonduktor dan isolator. Oleh karena itu, agar kita dapat memahami perbedaan tersebut, kita menggunakan teori yang mirip dengan teori elektron bebas tetapi sedikit dimodifikasi, yaitu model elektron hampir bebas.
Gambar 1 kurva a. Energi sebagai fungsi vektor gelombang k menurut model elektron bebas.Gambar 1 kurva a. Energi sebagai fungsi vektor gelombang k menurut model elektron bebas.
Gambar 1 kurva a. Energi sebagai fungsi vektor gelombang k menurut model elektron bebas.
Gambar 1 kurva a. Energi sebagai fungsi vektor gelombang k menurut model elektron bebas.
Gambar 2 kurva b. Kurva energi (E) sebagai fungsi vektor gelombang (k) dalam sebuah kristal monoatomik satu dimensi dengan konstanta kristal sebesar a. Celah energi Eg yang ditunjukkan terjadi pada k = ± /a. Celah energi lainnya ditemukan pada ± n /a, untuk nilai integral dari n.Gambar 2 kurva b. Kurva energi (E) sebagai fungsi vektor gelombang (k) dalam sebuah kristal monoatomik satu dimensi dengan konstanta kristal sebesar a. Celah energi Eg yang ditunjukkan terjadi pada k = ± /a. Celah energi lainnya ditemukan pada ± n /a, untuk nilai integral dari n.
Gambar 2 kurva b. Kurva energi (E) sebagai fungsi vektor gelombang (k) dalam sebuah kristal monoatomik satu dimensi dengan konstanta kristal sebesar a. Celah energi Eg yang ditunjukkan terjadi pada k = ± /a. Celah energi lainnya ditemukan pada ± n /a, untuk nilai integral dari n.
Gambar 2 kurva b. Kurva energi (E) sebagai fungsi vektor gelombang (k) dalam sebuah kristal monoatomik satu dimensi dengan konstanta kristal sebesar a. Celah energi Eg yang ditunjukkan terjadi pada k = ± /a. Celah energi lainnya ditemukan pada ± n /a, untuk nilai integral dari n.
syarat terjadinya difraksi Bragg adalah ( k + G )2 = k2.
k= ±12G= ±nπ/a,k= ±12G= ±nπ/a,Dalam satu dimensi, persamaan tersebut menjadi:
k= ±12G= ±nπ/a,
k= ±12G= ±nπ/a,
........ 4........ 4
........ 4
........ 4
dimana G = 2nπ/a adalah vektor kisi resiprok dan n adalah bilangan bulat. Celah energi pertama terjadi untuk nilai k = + π/a. Ingat bahwa daerah antara - π/a dengan + π/a disebut daerah Brillouin pertama. Celah energi-celah energi yang lainnya terjadi untuk nilai-nilai k yang merupakan kelipatan dari + π/a.
Fungsi gelombang di titik k = + π/a merupakan fungsi gelombang hasil interferensi antara gelombang yang berjalan ke kanan dan ke kiri. Hal ini dapat terjadi jika syarat difraksi Bragg terpenuhi oleh fungsi gelombang k. Hasilnya, fungsi gelombang di titik k = + π/a merupakan gelombang berdiri.
Fungsi gelombang berdiri tersebut terdiri atas dua macam, yaitu fungsi gelombang yang saling menguatkan dan fungsi gelombang yang saling melemahkan. Secara matematik, kedua fungsi gelombang berdiri tersebut dapat dibentuk dari fungsi gelombang yang berjalan ke kanan dan ke kiri, yaitu sebagai berikut:
φ+=expiπxa+exp-iπxa=2cos (πxa)φ+=expiπxa+exp-iπxa=2cos (πxa)
φ+=expiπxa+exp-iπxa=2cos (πxa)
φ+=expiπxa+exp-iπxa=2cos (πxa)
........ 5........ 5
........ 5
........ 5
φ-=expiπxa-exp-iπxa=2i sin (πxa)φ-=expiπxa-exp-iπxa=2i sin (πxa)
φ-=expiπxa-exp-iπxa=2i sin (πxa)
φ-=expiπxa-exp-iπxa=2i sin (πxa)
Asal Celah Energi
Asal mula adanya celah energi yaitu kedua fungsi gelombang φ (+) dan φ (-) (seperti persamaan 5) menumpukkan elektron di dua tempat yang berbeda, dan karena itu, kedua kelompok elektron itu memiliki nilai energi potensial yang berbeda.
Kerapatan muatan pada kedua gelombang berdiri tersebut adalah:
ρ+= φ+2 cos2πx/aρ+= φ+2 cos2πx/a
ρ+= φ+2 cos2πx/a
ρ+= φ+2 cos2πx/a
Persamaan di atas akan menumpukkan elektron di atas ion-ion positif yang dipusatkan di titik-titik x = 0, + a, + 2a, + 3a, dst. Lihat gambar 3, kelompok elektron ini berada di daerah yang berenergi potensial rendah.
ρ-=φ(-)2 sin2πx/aρ-=φ(-)2 sin2πx/a
ρ-=φ(-)2 sin2πx/a
ρ-=φ(-)2 sin2πx/a
Persamaan di atas akan menumpukkan elektron-elektron tersebut di tengah-tengah antara ion-ion positif tersebut, sehingga elektron-elektron ini memiliki energi potensial yang tinggi.
Gambar 3
Fungsi gelombang di titik A tepat di bawah celah energi pada gambar 2 di atas adalah φ (+) sedangkan di titik B tepat di atas celah energi adalah φ (-).
2 cos πx/a2 cos πx/aBesar Celah Energi
2 cos πx/a
2 cos πx/a
2 sin πx/a2 sin πx/aFungsi gelombang pada batas zona Brillouin k = π/a adalah dan yang dinormalisasikan.
2 sin πx/a
2 sin πx/a
Kita misalkan energi potensial sebuah elektron di titik x dalam kristal itu sebagai:
Ux=Ucos2πx/aUx=Ucos2πx/a
Ux=Ucos2πx/a
Ux=Ucos2πx/a
Maka kita dapat menentukan nilai energi celah, Eg (yaitu perbedaan energi antara kedua gelombang berdiri) sebagai berikut:
........ 6........ 6Eg= 01dx U(x)φ(+)2- φ(-)2
=2dx Ucos2πx/acos2πx/a-sin2πx/a=U
........ 6
........ 6
Jadi, nilai energi celah ini sama dengan komponen dari deret Fourier energi potensial.
Fungsi Bloch
Fungsi Bloch membuktikan perlunya teorema bahwa solusi dari persamaan Schrodinger untuk potensial periodik harus dalam bentuk khusus.
........ 7........ 7Ψkr= ukrexpik.rΨkr= ukrexpik.r
........ 7
........ 7
Ψkr= ukrexpik.r
Ψkr= ukrexpik.r
ukr = periode kisi kristal
ukr= ukr+T
Teorema Bloch:
Fungsi eigen dari persamaan gelombang untuk suatu potensial periodik adalah hasil kali antara suatu gelombang bidang expik.r dengan suatu fungsi ukr dengan periode sifat kisi kristal.
ψkψk
ψk
ψk
ψkψkFungsi Bloch berlaku ketikatidak berdegenerasi, yaitu ketika tidak ada fungsi gelombang lain dengan energi sama dan vektor gelombang sebagai .
ψk
ψk
N = kisi kristal pada lingkaran Na
Energi potensial dalam a, dimana U (x) = U (x + sa), dimana s adalah bilangan bulat. Maka solusi dari fungsi gelombang adalah:
........ 8........ 8ψx+a=Cψxψx+a=Cψx
........ 8
........ 8
ψx+a=Cψx
ψx+a=Cψx
Dimana C adalah konstan, maka kejadian di sekitar lingkaran Na adalah:
ψx+Na=ψx=CNψx
karena ψx harus bernilai tunggal.
C=expi2πs/N; s=0, 1, 2, ….., N-1C=expi2πs/N; s=0, 1, 2, ….., N-1........ 9........ 9
C=expi2πs/N; s=0, 1, 2, ….., N-1
C=expi2πs/N; s=0, 1, 2, ….., N-1
........ 9
........ 9
ψk= ukx expi2πsx/Naψk= ukx expi2πsx/NaMaka kita dapat melihat bahwa:
ψk= ukx expi2πsx/Na
ψk= ukx expi2πsx/Na
........ 10........ 10
........ 10
........ 10
Dimana:
ukx= ukx+a
k=2πs/Na
Model Kronig-Penney
Potensial periodik yang merupakan persamaan gelombang dapat diselesaikan dalam fungsi dasar seperti pada gambar 4. Persamaan gelombangnya adalah:
- 22md2ψdx2+Uxψ=ϵψ- 22md2ψdx2+Uxψ=ϵψ
- 22md2ψdx2+Uxψ=ϵψ
- 22md2ψdx2+Uxψ=ϵψ
........ 11........ 11
........ 11
........ 11
Dimana:
ϵϵU(x) = energi potensial
ϵ
ϵ
= nilai eigen energi
Model ini menjelaskan tingkah laku elektron dalam sebuah energi potensial yang periodik, dengan menganggap energi potensial periodik itu merupakan deretan sumur energi potensial persegi seperti ditunjukkan dalam gambar 4 di bawah ini.
Gambar 4 Energi potensial periodik satu dimensi yang digunakan oleh Kronig dan Penney.
Di dasar sumur, yaitu untuk 0 < x < a, elektron dianggap berada di sekitar sebuah inti atom (atau diantara dua inti atom), dan energi potensialnya dianggap nol, sehingga di daerah ini elektron bertingkah sebagai elektron bebas. Sebaliknya, di luar sumur, yaitu untuk –b < x < 0, energi potensial elektron dianggap sama dengan U0.
Fungsi-fungsi gelombang elektron diperoleh dari persamaan Schrodinger untuk kedua daerah (yaitu daerah 0 < x < a, dan daerah –b < x < 0) sebagai berikut:
Wilayah 0 < x < a saat U = 0, eigenfunction adalah kombinasi linear
........ 12........ 12ψ=AeiKx+Be-ikxψ=AeiKx+Be-ikx
........ 12
........ 12
ψ=AeiKx+Be-ikx
ψ=AeiKx+Be-ikx
ϵ= 2K2/2mϵ= 2K2/2mBidang gelombang berjalan ke kanan dan ke kiri, dengan energi:
ϵ= 2K2/2m
ϵ= 2K2/2m
........ 13........ 13
........ 13
........ 13
Dalam daerah –b < x < 0 solusi penghalangnya berbentuk
ψ=CeQx+De-Qxψ=CeQx+De-Qx........ 14........ 14
ψ=CeQx+De-Qx
ψ=CeQx+De-Qx
........ 14
........ 14
Uo-ϵ= 2Q2/2mUo-ϵ= 2Q2/2m........ 15........ 15
Uo-ϵ= 2Q2/2m
Uo-ϵ= 2Q2/2m
........ 15
........ 15
Dengan
Solusi dari persamaan (7) pada wilayah a < x < a + b harus dikaitkan dengan solusi persamaan (14) pada wilayah –b < x < 0 dengan teorema Bloch:
ψa
ψa
ψa
........ 16
........ 16
dψ/dxdψ/dx
dψ/dx
dψ/dx
Konstanta A, B,C, D dipilih sehingga ψ dan kontinu pada x = 0 dan x = a.
........ 17........ 17Saat x = 0
........ 17
........ 17
........ 18........ 18A + B = C + D
........ 18
........ 18
iK(A – B) = Q(C – D)
Saat x = a
Dengan menggunakan persamaan 16, didapat:
........ 19........ 19Aeika+Be-ika= Ce-Qb+DeQbeika+bAeika+Be-ika= Ce-Qb+DeQbeika+b
........ 19
........ 19
Aeika+Be-ika= Ce-Qb+DeQbeika+b
Aeika+Be-ika= Ce-Qb+DeQbeika+b
iKAeika-Be-ika=QCe-Qb-DeQbeika+biKAeika-Be-ika=QCe-Qb-DeQbeika+b........ 20........ 20
iKAeika-Be-ika=QCe-Qb-DeQbeika+b
iKAeika-Be-ika=QCe-Qb-DeQbeika+b
........ 20
........ 20
Keempat persamaan linier yang homogen ini (Persamaan 17 sampai 20) akan memiliki solusi jika determinan dari koefisien-koefisien A, B, C, dan D adalah sama dengan nol. Atau jika
Q2-K2/2QKsinhQbsinKa+coshQbcosKa=cosk(a+b)Q2-K2/2QKsinhQbsinKa+coshQbcosKa=cosk(a+b)........ 21 a........ 21 a
Q2-K2/2QKsinhQbsinKa+coshQbcosKa=cosk(a+b)
Q2-K2/2QKsinhQbsinKa+coshQbcosKa=cosk(a+b)
........ 21 a
........ 21 a
........ 21 b........ 21 b Hasilnya akan menjadi sederhana, ketika batasnya b = 0 dan U = ~ menjadi Q2ba/2 = P. Dalam batas ini Q > K dan Qb < 1. Kemudian 21a mereduksi menjadi:
........ 21 b
........ 21 b
(P/Ka) sin Ka + cos Ka = cos ka
Gambar 5
Fungsi Gelombang Eletron Dalam Potensial Periodik
Deret Fourier untuk energi potensial:
........ 22........ 22Ux=GUG eiGxUx=GUG eiGx
........ 22
........ 22
Ux=GUG eiGx
Ux=GUG eiGx
Fungsi nyata dari UG adalah:
........ 23........ 23Ux=G>0UGeiGx+e-iGx=2G>0UGcos GxUx=G>0UGeiGx+e-iGx=2G>0UGcos Gx
........ 23
........ 23
Ux=G>0UGeiGx+e-iGx=2G>0UGcos Gx
Ux=G>0UGeiGx+e-iGx=2G>0UGcos Gx
Secara eksplisit, persamaan gelombang adalah:
12m p2+ Uxψx= 12mp2+ GUG eiGx ψx= eψ(x) 12m p2+ Uxψx= 12mp2+ GUG eiGx ψx= eψ(x)
12m p2+ Uxψx= 12mp2+ GUG eiGx ψx= eψ(x)
12m p2+ Uxψx= 12mp2+ GUG eiGx ψx= eψ(x)
........ 24........ 24
........ 24
........ 24
Fungsi gelombang ψ(x) dapat dinyatakan sebagai deret Fourier
........ 25........ 25Ψ =kCkeikxΨ =kCkeikx
........ 25
........ 25
Ψ =kCkeikx
Ψ =kCkeikx
Dimana
k = bilangan real (k = 2πn/L)
n = bilangan bulat
Untuk menyelesaikan persamaan gelombang, kita subtitusikan persamaan 25 ke dalam 24.
Energi Kinetik
12m p2 ψx= 12m (-iħddx)2 ψx= -ħ22m d2ψdx2= ħ22m kk2Ckeikx
Energi Potensial
GUG eiGx ) ψx= GKUGeiGxC(k)eikx
Persamaan gelombang merupakan jumlah dari energi kinetik dan energi potensial:
kħ22m k2Ckeikx + GkUGCkei(k+G)x= kCkeikxkħ22m k2Ckeikx + GkUGCkei(k+G)x= kCkeikx
kħ22m k2Ckeikx + GkUGCkei(k+G)x= kCkeikx
kħ22m k2Ckeikx + GkUGCkei(k+G)x= kCkeikx
........ 26........ 26
........ 26
........ 26
λk-ϵCk+GUGCk-G=0λk-ϵCk+GUGCk-G=0........ 27........ 27Setiap komponen Fourier harus memiliki koefisien yang sama pada kedua sisi persamaan ini
λk-ϵCk+GUGCk-G=0
λk-ϵCk+GUGCk-G=0
........ 27
........ 27
Dengan notasi
........ 28........ 28λk=ħ2k2/2mλk=ħ2k2/2m
........ 28
........ 28
λk=ħ2k2/2m
λk=ħ2k2/2m
Pernyataan Ulang Teorema Bloch
Bila kita menentukan C pada persamaan 27, persamaan gelombang pada persamaan 25 menjadi:
Ψkx=GCk-Gei(k-G)x Ψkx=GCk-Gei(k-G)x ........ 29........ 29
Ψkx=GCk-Gei(k-G)x
Ψkx=GCk-Gei(k-G)x
........ 29
........ 29
Menurut aturan
Ψkx=GCk-Ge-iGx eikx=eikxuk(x)
Dengan
ukx GCk-Ge-iGx
Karena uk (x) adalah deret Fourier vektor kisi resiprok dan T adalah translasi kisi kristal, maka uk (x) = uk (x + T). Maka:
ukx+T=Ck-Ge-iGT(x+T)= e-iGTΣ C(k-G)e-iGx=e-iGTuk (x)
Karena exp (-iGT) = 1, maka uk (x + T) = uk (x). Ini merupakan bukti dari teorema bloch yang berlaku bahkan saat ψk berdegenerasi.
Momentum Kristal Sebuah Elektron
Arti penting dari k vektor gelombang digunakan untuk label fungsi Bloch:
Dalam translasi kisi kristal yang membawa r pada r + T, kita mempunyai
Ψkr+T=eikTeikrukr+T=eikTΨkrΨkr+T=eikTeikrukr+T=eikTΨkr........ 30........ 30
Ψkr+T=eikTeikrukr+T=eikTΨkr
Ψkr+T=eikTeikrukr+T=eikTΨkr
........ 30
........ 30
Karena uk (r + T) = uk (r) dengan demikian exp (ik.T) adalah faktor fase dimana fungsi Bloch dikalikan ketika kita membuat translasi kisi kristal.
Jika potensi kisi hilang, persamaan pusat mengurangi ke (λk – ε)C(k) = 0, sehingga semua C (k - G) adalah nol kecuali C (k), dan dengan demikian uk (r) adalah konstan. Kami memiliki ψk(r) = ikr , seperti untuk elektron bebas.
k masuk dalam hukum yang mengatur peristiwa tabrakan dalam kristal.
Solusi dari Persamaan Pusat
Persamaan 27 disebut persamaan pusat
λk-ϵCk+GUGCk-G=0λk-ϵCk+GUGCk-G=0
λk-ϵCk+GUGCk-G=0
λk-ϵCk+GUGCk-G=0
........ 31........ 31
........ 31
........ 31
Persamaan tersebut merupakan satu set persamaan linear yang menghubungkan koefisien C(k – G) untuk semua vektor resiprok G. Persamaan ini akan konsisten jika determinan dari koefisien sama dengan 0.
Kita asumsikan bahwa energi potensial U (x) hanya mengandung satu komponen Fourier Ug = U-g yang dinotasikan oleh U. Koefisien determinannya:
........ 32........ 32
........ 32
........ 32
Dengan k yang diberikan, setiap akar E atau Ek terletak di sebuah pita energi yang berbeda, kecuali dalam kasus kebetulan.
Model Kronig-Penny Dalam Ruang Kisi Balik
Persamaan 31 diselesaikan dengan model Kronig Penney pada delta periodik-fungsi potensial.
Ux=2G>0UGCos Gx=Aasδx-saUx=2G>0UGCos Gx=Aasδx-sa........ 33........ 33
Ux=2G>0UGCos Gx=Aasδx-sa
Ux=2G>0UGCos Gx=Aasδx-sa
........ 33
........ 33
Dimana A adalah konstan dan a adalah kisi spasi. Jumlah yang lebih dari semua bilangan buat s antara 0 dan 1/a. Syarat batas berkala atas cicin satuan panjang, yang berarti lebih dari 1/a atom. Dengan demikian koefisien fourier potensial adalah:
UG=01dxUxcosGx=Aas01dxδx-sacosGxUG=01dxUxcosGx=Aas01dxδx-sacosGx
UG=01dxUxcosGx=Aas01dxδx-sacosGx
UG=01dxUxcosGx=Aas01dxδx-sacosGx
........ 34........ 34
........ 34
........ 34
=AascosGsa=A=AascosGsa=A
=AascosGsa=A
=AascosGsa=A
Kami tulis persamaannya dengan k sebagai indeks Bloch, ini menjadi:
........ 35........ 35(λk-ϵ)C k+AnCk-2πn/a=0
........ 35
........ 35
Di mana λk= 2k2/2m dan jumlah yang lebih dari semua bilangan bulat n, kita ingin memecahkan persamaan diatas untuk ϵ(k) kita mendefinisikan
........ 36........ 36fk=nCk-2πn/a
........ 36
........ 36
Maka persamaannya menjadi
........ 37........ 37Ck=-2mA 2f(k)k2-(2mϵ 2)
........ 37
........ 37
Karena jumlah persamaan 36 adalah semua koefisien C, kita memiliki untuk setiap n yaitu:
........ 38........ 38fk=f(k-2πna)
........ 38
........ 38
Hubungan ini dapat dituliskan
........ 39........ 39Ck-2πn/a=-2mA 2f(k)k-2πn/a2-2mϵ/ 2-1
........ 39
........ 39
Jumlah kedua belah pihak untuk mendapatkan semua n, menggunakan persamaan 36 dan menghilangkan f(k) dari kedua belah pihak
........ 40........ 40 2/2mA=-nk-2πn/a2-2mϵ/ 2-1
........ 40
........ 40
penjumlahan dapat dihitung dengan bantuan hubungan standar
........ 41........ 41ctn x=n1nπ+x
........ 41
........ 41
........ 42........ 42setelah manipulasi trigonometri di mana kita menggunakan hubungan untuk selisih dua cotangents dan produk dari dua sinus, jumlah pada persamaan (40) menjadi
........ 42
........ 42
a2sinKa4Ka (coska-cosKa)
Dimana K2=2mϵ/ 2
........ 43........ 43Hasil dari persamaan (40) adalah
........ 43
........ 43
(mAa2/2 2)Ka-1sin Ka+cos Ka=cos Ka
yang sesuai dengan hasil Kronig-Penney (21b) dengan P ditulis untuk mAa2/2 2.
Pendekatan Kisi Kosong
Struktur pita yang sebenarnya biasanya dipamerkan sebagai bidang energi berlawanan dengan vektor gelombang di zona Brilouin pertama. Ketika vektor gelombang diberikan di luar zona pertama, mereka dibawa kembali ke dalam zona pertama dengan mengurangi vektor kisi cocok timbal balik.
Ketika energi pita yang diperkirakan cukup baik dengan energi elektron bebas ϵk= 2k2/2m, disarankan untuk memulai perhitungan dengan melakukan energi elektron bebas kembali ke dalam zona pertama. Prosedur ini cukup sederhana sekali Anda dapat menguasainya. Cari nilai G sehingga k' di zona pertama dapat ditentukan.
k'+G=k
di mana k tidak terbatas dan merupakan vektor gelombang elektron bebas dalam kisi kosong.
Jika kita menjatuhkan K sebagai bagasi yang tidak perlu, energi elektron bebas selalu dapat ditulis sebagai
ϵkx, ky,kz= 22mk+G2
= 22m[kx+Gx2+ky+Gy2+kz+Gz2]
Dengan K di zona pertama dan G diizinkan untuk menjalankan lebih dari titik-titik kisi timbal balik. Misalkan, kita ingin menunjukkan energi sebagai fungsi dari K dalam bidang arah [100] . Untuk, pilih unit tersebut bahwa 22m=1. Kami menunjukkan beberapa dataran rendah di pita ini pendekatan kisi kosong dengan energi mereka ϵ000 di k = 0 dan ϵkx00 panjang sumbu kx di zona pertama.
Pita-pita elektron bebas diplot pada Gambar 8.
Gambar 8
Perkiraan solusi Dekat Batas Zona
Vektor gelombang pada batas zona 1/2G, yaitu pada /a.
sehingga pada batas zona energi kinetik dari dua komponen gelombang K= 1/2G adalah sama.
Jika C (1/2G) adalah koefisien penting dalam 29 orbital pada batas zona, daripada C (-1/2G) juga merupakan koefisien penting. Hasil ini juga mengikuti dari disscussion dari 5. Kami retaint hanya persamaan dalam persamaan pusat yang mengandung kedua koefisien C (1/2G) dan C (-1/2G), dan mengabaikan semua koefisien lainnya.
........ 44........ 44Satu persamaan 31 menjadi, dengan K = 1/2G dan
persamaan dari 31 menjadi
........ 44
........ 44
........ 46........ 46........ 45........ 45
Ini dua persamaan memiliki solusi trivial untuk koefisien benar jika e energi memenuhi
........ 46
........ 46
........ 45
........ 45
........ 47........ 47ketika
........ 47
........ 47
Energi ini memiliki dua akar, satu lebih rendah dari energi kinetik elektron bebas oleh U, dan satu yang lebih tinggi dengan U. Jadi energi potensial 2 U cos Gx telah menciptakan sebuah energi gap 2U pada batas zona. Rasio C mungkin dari 44 atau 45:
........ 48........ 48
langkah terakhir menggunakan persamaan 47. Jadi ekspansi Fourier pada batas zona memiliki solusi dua.
........ 48
........ 48
Kami menggunakan pendekatan yang sama untuk komponen, sekarang dengan fungsi gelombang dari formulir.
........ 49........ 49
Sebagaimana diarahkan oleh persamaan 31:
........ 49
........ 49
dengan λk didefinisikan sebagai . persamaan ini memiliki solusi jika energi satis sebuah
........ 50........ 50Ketika
Energi ini memiliki dua akar:
........ 50
........ 50
........ 51........ 51
Dan setiap akar menggambarkan sebuah pita energi, diplot pada gambar 9. Hal ini mudah memperluas energi, dalam hal K kuantitas (tanda atas K disebut tilde), yang mengukur perbedaan wavevector antara K dan batas zona.
........ 51
........ 51
Di wilayah . Berikut seperti sebelumnya.
Gambar 9
dua akar batas zona 47 sebagai kita dapat menulis persamaan 51 sebagai:
........ 52........ 52
Ini adalah akar untuk energi ketika wavevector sangat dekat dengan batas zona di 1/2G.
........ 52
........ 52
Jumlah Orbital Dalam Sebuah Pita
Mempertimbangkan kristal dibentuk dari bilangan genap N dan kisi konstan. Nilai-nilai yang diperbolehkan dari gelombang elektron vektor k di zona Brilouin pertama adalah:
........ 53........ 53k=0, ± 2πL, ± 4πL, …. NπL
........ 53
........ 53
Kami memotong rangkaian di Nπ/L=π/a, ini adalah batas zona.
Titik -Nπ/L=-π/a tidak akan dihitung sebagai titik independen karena terhubung dengan vektor kisi timbal balik dengan π/a,yaitu jumlah total sel N. Setiap sel berkontribusi hanya satu nilai independen k untuk setiap kisi energi. Hasil ini membawa lebih ke dalam tiga dimensi. dengan pertimbangandua orientasi independen dari spin elektron, ada 2N orbital independen dalam setiap kisi energi.
Ada atom tunggal valensi satu di setiap sel, kisi ini dapat setengah diisi dengan elektron. Jika setiap atom memberikan kontribusi dua elektron valensi untuk kisi, kisi ini bisa diisi penuh. Jika ada dua atom valensi satu di setiap sel, kisi ini juga dapat diisi penuh.
Logam dan Isolator
Jika elektron valensi mengisi satu atau lebih kisi dan yang lain kosong maka disebut isolator. Medan listrik eksternal tidak akan menimbulkan aliran arus pada isolator. Kristal dapat menjadi isolator jika jumlah elektron valensi dari kristal adalah bilangan bulat.
Logam-logam alkali dan logam-logam mulia memiliki 1 elektron valensi per sel, sehingga mereka disebut logam. Logam alkali tanah memiliki 2 elektron valensi, mereka bidsa menjadi isolator. Berlian, Silikon dan Germanium masing-masing memiliki 2 atom valensi 4, sehingga ada 8 elektron valensi per sel.
BAB III
PENUTUP
ψkr=eik.ruk(r),ψkr=eik.ruk(r),Kesimpulan
ψkr=eik.ruk(r),
ψkr=eik.ruk(r),
Solusi dari persamaan gelombang dalam kisi kristal dari Bloch
dimana uk (r) adalah sama dalam translasi kisi kristal.
Ada daerah energi yang bukan solusi dari fungsi Bloch. Energi ini membentuk daerah terlarang dimana fungsi gelombang yang teredam dalam ruang-ruang dan nilai-nilai k yang kompleks, seperti pada gambar di bawah ini.
Adanya daerah energi terlarang merupakan syarat terjadinya isolator
Pita energi dapat didekati dengan satu atau dua bidang gelombang, contoh
dekat dengan daerah batas dekat dengan daerah batas ψkx Ckeikx+Ck-Geik-Gx ψkx Ckeikx+Ck-Geik-Gx 12G 12G
dekat dengan daerah batas
dekat dengan daerah batas
ψkx Ckeikx+Ck-Geik-Gx
ψkx Ckeikx+Ck-Geik-Gx
12G
12G
Jumlah orbital dalam pita adalah 2N, dimana N adalah jumlah sel dalam specimen
Saran
Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kami mengharapkan kritik dan saran demi perbaikan di masa yang akan datang.
DAFTAR PUSTAKA
Charle Kittel, Introduction to Solid State Physics, sixth ed., John Wiley & Sons, Inc., New York, 1996.
