STATISTIKA II 3 SKS
Cindy Cahyaning Astuti, S.Si, M.Si
(Ya Allah Tambahkanlah aku ilmu, Dan berilah aku karunia untuk dapat memahaminya)
(Ya Allah Tambahkanlah aku ilmu, Dan berilah aku karunia untuk dapat memahaminya)
TEORI PENDUGAAN PARAMETER STATISTIK
Cindy Cahyaning Astuti, S.Si, M.Si
Pendugaan Titik Salah satu metode terbaik untuk memperoleh pendugaan titik adalah menggunakan metode MLE (Maksimum Likelihood Methods /Metode Kemungkinan Maksimum). Metode ini dikembangkan oleh Fisher. Metode Kemungkinan Maksimum memperoleh memperoleh penduga (estimator) dengan cara memaksimumkan fungsi likelihood.
Pendugaan Titik
Pada pendugaan titik, kita mengenal dua parameter yaitu μ dan σ2 . Penduga tak bias bagi parameter μ 2 2 s adalah X dan σ adalah
s 2
X
1
n
X n i 1
1
n
n 1
(Xi X)2
i 1
i 2 n n 2 X i X i / n i 1 i 1 2 s n 1
SIFAT-SIFAT PENDUGA Penduga Tidak Bias
Penduga titik dikatakan tidak bias (unbiased estimator ) jika di dalam sampel random yang berasal dari populasi, rata-rata atau nilai harapan (expexted value, X ) dari statistik sampel sama dengan parameter populasi () atau dapat dilambangkan dengan E( X ) = .
E( X ) = 6
E( X )
SIFAT-SIFAT PENDUGA
Penduga Efisien Penduga yang efisien (efficient estimator ) adalah penduga yang tidak bias dan mempunyai varians terkecil (sx2) dari penduga-penduga lainnya.
sx12 sx12 < sx22 sx22
7
SIFAT-SIFAT PENDUGA
Penduga Konsisten Penduga yang konsisten (consistent estimator ) adalah nilai dugaan ( X ) yang semakin mendekati nilai yang sebenarnya dengan semakin bertambahnya jumlah sampel (n).
n tak terhingga n sangat besar
n besar n kecil
PENDUGAAN INTERVAL
Pendugaan Interval
Pendugaan interval menyatakan jarak dimana suatu parameter populasi mungkin berada.
PENDUGAAN INTERVAL UNTUK RATA-RATA
Pendugaan Interval untuk Rata-rata P( X Z /2 /
n X Z /2 /
n ) 1
dimana: X Rata-rata sampel dengan ukuran n
2
V arians (ragam) sampel
Standart Deviasi sampel
n Ukuran sampel (Banyaknya sampel) Z /2 = Nilai distribusi normal baku, dengan ditentukan Tingkat
Kesalahan
Nilai Distribusi Normal Baku (Titik Kritis Z)
ingkat Kepercayaan Nilai Titik Kritis Z
0,99
2,575
0,98
2,33
0,95
1,96
0,9
1,645
0,85
1,44
0,8
1,28
Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata
Seorang teknisi dalam pengendalian mutu suatu perusahaan yang memproduksi minuman ringan, mengamati kekuatan botol minuman ringan untuk menahan tekanan dari dalam. Diketahui bahwa tekanan tersebut tersebar dengan ragam 900 psi contoh acak sebesar 25 botol, diperoleh rata-rata kekuatan tekanan adalah 278 psi. Tentukan selang kepercayaan : a. 90% b. 95%
Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata
P( X Z /2 /
n X Z /2 /
a. Selang kepercayaan 90% Diketahui : X 278 psi
30 psi
n 25 Z 0,05 = 1, 645
n) 1
Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata P( X Z /2 /
n X Z /2 /
B1 X Z /2 /
n
=278 (1, 645)(30 / 25)
=268,18
B2 X Z /2 /
n)
=278 (1, 645)(30 / 25)
=287,84
n) 1
Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata
Jadi selang kepercayaan 90 % untuk rata-rata kekuatan tekanan botol adalah P (268,18 287,84) 0,90
Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata
b. Selang kepercayaan 95%
X 278 psi
30 psi
n 25 Z 0,025 = 1, 96
Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata
P( X Z /2
/
n X Z /2
B1 X Z /2 /
n
=278 (1, 96)(30 / 25)
=266,24
B2 X Z /2 /
n)
=278 (1, 96)(30 / 25)
=289,76
/
n ) 1
Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata
Jadi selang kepercayaan 95 % untuk rata-rata kekuatan tekanan botol adalah P (266, 24 289, 76) 0,95
PENDUGAAN INTERVAL UNTUK RATA-RATA (RAGAM POPULASI TIDAK DIKETAHUI)
Pendugaan Interval untuk Rata-rata (Ragam Populasi Tidak Diketahui) P( X t( /2,n 1) s /
n X t( / 2, n1) s /
n ) 1
dimana: X Rata-rata sampel dengan ukuran n s V arians (ragam) sampel 2
s Standart Deviasi sampel n Ukuran sampel (Banyaknya sampel) t ( / 2,n1) = Nilai distribusi t, dengan ditentukan Tingkat
Kesalahan
Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata (Ragam Populasi Tidak Diketahui) Suatu percobaan dilakukan untuk mempelajari pengaruh pemberian obat terhadap laju jantung 13 ekor kucing. Setiap kucing diberikan 10 mg obat. Setelah beberapa menit tekanan jantungnya diukur, laju jantung 13 ekor kucing tersebut adalah sebagai berikut : 170 138
126 105 135 186 198 140 160 120 150 168 123
Tentukanlah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata laju jantung!
Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata (Ragam Populasi Tidak Diketahui) X
1
n
X n
i
i 1
X
1
13
(170 126 ... 168 123) 147, 6 13 i 1
2 2 X X / n 1 1 n 1 2 292323 (1919 / 13) 754,09 n
n
i
s
2
s
2
i
i
i
12
Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata (Ragam Populasi Tidak Diketahui) Diketahui
X 147,6 s 27,46 n 13 t (0,025;12) = 2,179
Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata (Ragam Populasi Tidak Diketahui)
P( X t( /2,n1) s / n X t( /2,n1) s / n ) 1 B1 X t( /2,n1) s /
n
=147,6 (2,179)(27, 46 / 13)
=131
B2 X t( /2, n1) s /
n
=147,6+(2,179)(27, 46 / 13)
=164,2
Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata (Ragam Populasi Tidak Diketahui)
Jadi selang kepercayaan 95% untuk rata-rata laju jantung adalah P (131, 0 164, 2) 0,95
PENDUGAAN INTERVAL UNTUK PROPORSI (RAGAM POPULASI TIDAK DIKETAHUI)
Pendugaan Interval untuk Proporsi
P( p Z / 2
p(1 p) ˆ
ˆ
ˆ
p p Z /2
p(1 p) ˆ
ˆ
ˆ
n
n
) 1
dimana: p Nilai proporsi sampel ˆ
n Ukuran sampel (Banyaknya sampel) Z /2 = Nilai distribusi norml baku, dengan ditentukan Tingkat
Kesalahan
Contoh Pendugaan Interval untuk Proporsi
Misalkan dari contoh acak berukuran 450 orang yang diamati, diketahui bahwa 120 orang diantaranya adalah perokok. Tentukanlah selang kepercayaan 95% untuk p!
Pendugaan Interval untuk Proporsi
Diketahui
p
X
ˆ
n
12
Z (0,025) = 1,96
Pendugaan Interval untuk Proporsi
P( p Z /2
p(1 p) ˆ
ˆ
ˆ
B1 p Z / 2
p p Z /2
ˆ
ˆ
ˆ
n p (1 p) ˆ
ˆ
ˆ
n
=0,267 (1,96)
=0,23
B2 p Z / 2
p(1 p)
0,267(1 0,267) 450
p (1 p) ˆ
ˆ
ˆ
=0,267+(1,96)
=0,31
n
0,267(1 0,267) 450
n
) 1
Contoh Pendugaan Interval untuk Proporsi
Jadi selang kepercayaan 95% untuk p adalah
P (0, 23 0,31) 0,95
PENDUGAAN INTERVAL UNTUK SELISIH RATA-RATA
Pendugaan Interval untuk Rata-rata
2
P (( X 1 X 2 ) Z /2
1
n1
2
2 n2
2
( X 1 X 2 ) Z /2
1
n1
dimana: X 1 X 2 Selisih
rata-rata sampel
2
(ragam) sampel 1
2
(ragam) sampel 2
1 V arians 1 V arians n
Ukuran sampel (Banyaknya sampel)
Z /2 =
Nilai distribusi normal baku, dengan ditentukan
Tingkat
Kesalahan
2
2 n2
) 1
Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata
Ujian metematika diberikan kepada 75 siswa lakilaki dan 50 siswa perempuan. Nilai rata-rata siswa laki-laki adalah 82 dengan simpangan baku 8 dan nilai rata-rata siswa perempuan adalah 76 dengan simpangan baku 6. Tentukanlah selang kepercayaan 96% untuk selisih rata-rata !
Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata
2
P(( X 1 X 2 ) Z / 2
1
n1
2
2
n2
2
( X 1 X 2 ) Z / 2
Diketahui : X 1
X 2
2 1
64
2 2
36
n1 n2
82 76
75 50
Z 0,02 =
2,05
6
1
n1
2
2
n2
) 1
Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata 2
1
P(( X 1 X 2 ) Z / 2
B1
(X1
X
2
=6 (2, 05)(
=3,42
=6+(2, 05)(
=8,58
X
2
64 75
) Z
B2
64 75
/2
36 50
/2
2 1
n1
50
( X 1 X 2 ) Z / 2
2 2
n2
)
2 1
n1
36
2
n2
) Z
X1
n1
2
2
)
2 2
n2
1
n1
2
2
n2
) 1
Contoh Pendugaan Interval untuk Rata-rata
Jadi selang kepercayaan 96% untuk selisih ratarata
P (3, 42 8,58) 0,96
