Mod 04 Teori Pendugaan Statistik

MODUL 10 Teori Pendugaan Statistika LEARNING OBJECTIVES Mahasiswa dapat menerapkan teori pendugaan dalam melakukan penelitian bisnis dan ekonomi. OUTLINE MATERI • Pendugaan Titik • Pendugaan Interval untuk Distribusi Normal dan Nilai σ diketahui • Pendugaan Interval untuk Distribusi Normal dan Nilai σ tidak diketahui • Pendugaan Interval untuk Proporsi dengan Populasi Terbatas • Pendugaan Interval untuk Proporsi dengan Populasi Tak Terbatas • Interval Keyakinan untuk Selisih Rata-rata • Interval keyakinan untuk Proporsi rata-rata Pendugaan adalah suatu dugaan dari suatu pertanyaan atau dugaan yang di duga yang diharapkan mendapatkan jawaban yang mendekati kebenaran. Permasalahannya adalah bagaimana pendugaan tersebut mendekati kebenaran. Untuk mencapai tujuan tersebut, Statistika Induktif mengembangkan teori pendugaan dan pengujian hipotesis. Teori pendugaan adalah suatu proses dengan menggunakan statistika sampel untuk menduga parameter populasi, sedangkan pengujian hipotesis adalah proses untuk memutuskan apakah hasil dugaan tersebut diterima atau ditolak. Melalui sampel yang diambil dari populasi kita berusaha membuat kesimpulan tentang populasi yang bersangkutan. Caranya adalah dengan melakukan percobaan atau penelitian terhadap sampel sehingga diperoleh rata-rata sampel (besaran statistik) lalu dari rata-rata sampel kita tarik kesimpulan tentang rata-rata populasi (besaran parameter). Kesimpulan demikian mungkin dapat membentuk pendugaan satu atau beberapa parameter atau mungkin juga berhubungan dengan persoalan menerima atau menolak suatu hipotesis. Ada dua metode untuk menduga suatu penelitan yaitu Pendugaan Titik dan Pendugaan Interval Keyakinan. Cara pendugaan dan interval keyakinan dari hasil dugaan sangat penting untuk melihat apakah sampel tersebut mewakili masyarakat atau populasi yag diwakilinya.

‘12

1

Statistika Viciwati STL., M.Si

Pusat Pengembangan Bahan Ajar Universitas Mercu Buana

Pendugaan Titik Parameter Populasi Pendugaan/estimasi Titik hanya akan menghasilkan satu nilai tunggal yang berasal dari suatu sampel dan digunakan untuk memperkirakan populasi. Rumus : X = 1/n ∑Xi = 1/n ( X1 + X2 + …..+ Xi) Sedangkan Standar Deviasi adalah: s2 = 1

∑ (Xi – X)2

n-1 = 1

∑ { (X1 – X)2 + (X2 – X)2 + ……… + (Xi – X)2}

n-1 Syarat-syarat Penduga yang baik sebaiknya adalah: 1. Penduga Tidak Bias Misalkan adalah penaksir dengan nilai taksiran dari parameter populasi yang tidak diketahui μ. Kita menginginkan distribusi sampling X mempunyai rataan sama dengan parameter yang ditaksir. Penaksir yang memiliki sifat seperti ini disebut dengan tak bias (unbiased). 2. Penduga Efisien

Jika kita mengumpulkan semua penaksir tak bias yang mungkin dari parameter X, maka salah satu yang memiliki variansi terkecil dikatakan penaksir yang paling efisien dari X. 3. Penduga konsisten Penduga yang konsisten adalah nilai dugaan ( X) yang semakin mendekati nilai

yang sebenarnya dengan semakin bertambahnya jumlah sampel (n). Pendugaan Interval Bila nilai parameter X dari populasi hanya ditaksir dengan memakai beberapa nilai statistik yang berada dalam suatu interval, maka statistik disebut penaksir selang (interval). Contoh: rata-rata tinggi orang Indonesia dapat ditaksir berada dalam selang 160 sampai 166 cm, di antara kedua nilai ini terdapat rata-rata sesungguhnya. Nilai ujung selang 160 dan 166 tergantung pada rataan sampel X. Bentuk umum interval keyakinan adalah sebagi berikut: ‘12

2



(S - Zsx < P < S + Zsx) = C Dimana: S

= Statistik yang merupakan penduga parameter populasi (P)

P

= Parameter populasi yang tidak diketahui

sx

= Standar Deviasi distribusi sampel statistic

Z

= Nilai yang didapat dari tabe nilai Z dibawah kurva normal berdasarkan besarnya probabilitas penelitian.

C

= Probabilitas atau tingkat keyakinan yang sudah ditentukan dahulu.

S - Zsx = Nilai batas bawah penelitian S + Zsx = Nilai batas atas penelitian Nilai C berkisar antara nilai 0 sampai dengan 1 dimana jika nilai C mendekati 1 maka akan semakin baik interval keyakinannya. Contoh: jika ditentukan probilitas keyakinan C=95, berarti 95% interval yang disusun untuk rata-rata hitung X akan sama dengan parameter µ yang sedang diduga. Kesalahan Standar dari Rata-rata Hitung Sampel (Standar Error of Sample Mean) Kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel adalah standar deviasi distriusi sampel dari rata-rata hitung sampel yang gunanya untuk menghitung seberapa baik sample mean menggambarkan population mean.Kesalahan standar dari rata-rata hitung diperoleh dengan rumus sebagai berikut untuk N>30: a. Untuk populasi yang tidak terbatas n/N < 0,05 sx = σ / √n b.

Untuk populasi yang terbatas n/N > 0,05 sx = σ . √((N-n)/(N-1)) √n

Dimana: σ

: Standar deviasi populasi

sx

: Standar error/ kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel

n

: Jumlah atau ukuran sampel

N

: Jumlah atau ukuran populasi

Menyusun Interval Keyakinan Rata-rata Interval Keyakinan rata-rata hitung dapat dirumuskan sebagai berikut: X + Zσ/2 s/√n ‘12

3



Adapun nilai Z untuk beberapa nilai C adalah sebagai berikut: Tingkat Keyakinan 0.99 0.98 0.95 0.90 0.85 0.80

C/2 0.4950 0.4900 0.4750 0.4500 0.4250 0.4000

Nilai Terdekat 0.4951 0.4901 0.4750 0.4505 0.4251 0.3997

Nilai Z 2.58 2.33 1.96 1.65 1.44 1.28

Interval Keyakinan untuk N>30 1. Interval keyakinan 99% X + 2.58 s/n 2. Interval keyakinan 98% X + 2.33 s/n 3. Interval keyakinan 95% X + 1.96 s/n 4. Interval keyakinan 90% X + 1.65 s/n 5. Interval keyakinan 85% X + 1.44 s/n 6. Interval keyakinan 80% X + 1.28 s/n Jika nilai Standar deviasi dari populasi tidak diketahui maka nilai standar deviasi dapat dihitung dari standar deviasi sampel yang diketahui hanya sampel saja (n) maka rumus standar deviasi sampel adalah: S = √ (∑ (X – X)2 / (n -1)) Sehingga untuk mencari nilai standar error dari sampel penelitian menjadi: 1. Untuk populasi yang tidak terbatas n/N < 0,05 sx = s / √n 2. Untuk populasi yang terbatas n/N > 0,05 sx = s. √((N-n)/(N-1)) √n Dimana: s

: Standar deviasi sampel

sx

: Standar error/ kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel

n


Apabila sampelnya N<30 maka untuk melihat nilai C digunakan nilai t-student dengan derajat bebas n-1. Adapun nilai t-student untuk beberapa nilai C yaitu: n

2 5 10 ‘12

4

Df=n-1

1 4 9


Nilai t

Nilai t

C=95

C=99

n/2=0,025 12.7062 2.7765 2.2622

n/2 0,005 63.6559 4.6041 3.2496 Pusat Pengembangan Bahan Ajar Universitas Mercu Buana

15 25

14 24

2.1448 2.0639

2.9768 2.7970

Macam-macam Pendugaan Interval Rata-rata a. Pendugaan Interval untuk Distribusi Normal dan Nilai σ diketahui Contoh : Departemen Perindustrian dan Perdagangan ingin mengetahui pendapatan rata-rata dari usaha UKM di Jawa Barat tahun 2003. Dari total 660 UKM di bawah bimbingan Departemen, diambil sampel 120 UKM yang terdapat di Bogor, Cirebon, Tasikmalaya dan Cianjur. Rata-rata pendapatan perbulannya ternyata meningkat menjadi 2,1 juta dengan standar deviasi populasinya 0,8 juta. Dengan tingkat keyakinan 95%, buatlah interval ratarata kenaikan pendapatan UKM di Jawa Barat! Jawab: Diketahui N= 660, n= 120, X = 2.1, σ= 0,8 rasio n/N= 120/660= 0,18 dan > dari 0,05 sehingga termasuk populasi yang terbatas. Sehingga Standar error = σx =σ/√n x √(N – n)/(N-1) = 0,8/√120 x √(660-120)(660-1) = 0.07303 x 0.90522= 0.066=0.07 Nilai Z dengan probabilitas= 0,95/2= 0,4750= 1,96 Interval keyakinan: (μx-Z α/2 . σ/√n< μ < (μx+Z α/2 .σ/√n) = (2,1 - 1,96.0,07< μ <(2,1 +1,96.0,07) = 1.96<μ<2,24 Jadi rata-rata kenaikan pendapatan UKM di Jawa Barat berkisar antara 1.96 juta sampai 2,24 juta. b. Pendugaan Interval untuk Distribusi Normal dan Nilai σ tidak diketahui Contoh: Industri reksadana semakin berkembang di Indonesia karena mampu memberikan hasil yang lebih tinggi dibandingkan dengan suku bunga bank. Survei yang dilakukan terhadap 9 perusahaan dari 59 perusahaan reksadana ternyata mampu memberikan hasil investasi rata-rata 13,17% dengan stadar deviasi 1.83%. Dengan tingkat kepercayaan 95% buatlah interval keyakinan untuk rata-rata hasil investasi reksadana tsb!. Jawab: n=59

n=9

s=1,83% σ=95% X = 13,17% n/N=9/59 =0,15 >0.05 tak terbatas

sehingga standar error = sx = s. √((N-n)/(N-1)) √n ‘12

5



= 1.83 /√9 x √{(59-9)/(9-1)} = 0.5083 Derajat bebas (df) = n-1 = 9 -1 =8 dengan α=1-C=0.95=0.05 sehingga α/2 = 0,025. Perpotongan antara df dengan α/2 pada tabel t-student adalah 2.3060. Sehingga Interval Keyakinan menjadi: (X – tα/2sx< μ < X – tα/2sx) = {13,17 – (2.3060 x 0,5083) < μ < 13,17 + (2.3060 x 0,5083} = 13,17 – 1,172 < µ < 13,17 + 1,17) = 11,98 < μ < 14,342 Jadi rata-rata hasil investasi di perusahaan reksadana 95% akan berada pada interval 11,98% sampai dengan 14,342%..

Interval Keyakinan untuk Proporsi Kesalahan standar dari rata-rata hitung diperoleh dengan rumus sebagai berikut untuk N>30: a. Untuk populasi yang tidak terbatas n/N < 0,05 Sp= √p(1 - p) √N - n n -1

N-1

b. Untuk populasi yang terbatas n/N > 0,05 Sp= √p(1 - p) n -1 Interval keyakinan menjadi: Probabiitas (p – Zα/2.Sp < P < p + Zα/2.Sp) Dimana: P

: Proporsi sampel

Sp

: Standar error/ kesalahan standar dari proporsi

n


Z

: Nilai Z dari tingkat keyakinan

C

: Tingkat keyakinan

σ

:1-C

Macam-macam Pendugaan Interval Proporsi a. Pendugaan Interval untuk Proporsi dengan Populasi Terbatas Contoh :

‘12

6



Bagi pemerintah daerah Kepulauan Riau sangatlah sulit untuk mendapatkan data dari seluruh penduduk yang sangat tersebar dari sekitar Riau sampai Kalimantan Barat. Pemerintah ingin mengetahui berapa interval penduduk yang tidak tamat wajib belajar. Dari survei di beberapa tempat terhadap 500 orang ternyata 130 orang tidak tamat wajib belajar. Dengan tingkat kepercayaan 99%, buatlah interval proporsi penduduk yang tidak tamat SMU tersebut. Jawab: Jumlah sampel 500 dari jumlah penduduk suatu propinsi dapat dianggap dari suatu populasi yang terbatas. Proporsi = 130/500 = 0,26 > 0.05 Jadi standar errornya untuk populasi yang tidak terbatas adalah = Sp= √p(1 - p) = √ 0,26(1 - 0,26)/500 - 1 = 0,02 n -1 Nilai Z untuk probabilitas =0,99/2= 0,4950 adalah 2,58 Interval keyakinan adalah sebagai berikut: (p – Zα/2.Sp < P < p + Zα/2.Sp) (0,26 – 2,58.0,02 < P < 0,26 + 2,58.0,02) (0,21< P <0,31) Jadi proporsi jumlah penduduk yang tidak tamat wajib belajar adalah antara 2% sampai 31% dari jumlah penduduk. b. Pendugaan Interval untuk Proporsi dengan Populasi Tidak Terbatas Contoh : PT Jaya Abadi merasa bahwa produknya terlalu konvensional. Untuk itu perusahaan ingin mengetahui apakah konsumen masih menyukai produk tersebut atau tidak. Dari 400 pelanggan diambil sampel 15 orang dan ternyata 80% dari sampel masih menyukai produk tersebut. Buatlah interval keyakinan tentang kesukaan pelanggan dengan menggunakan tingkat keyakinan 99%. Jawab: Proporsi pelanggan yang masih menyukai 0,8. Jumlah N= 400, n=15 jadi n/N= 0,0375 < 0,05 berarti populasinya tidak terbatas, jadi standar error pada populasi terbatas adalah: Sp= √p(1 - p) √N - n= √0,8 (1 - 0,8) √400 -15= 0,105 n -1

N-1

15 -1

400 -1

Nilai Z untuk probabilitas =0,99/2= 0,4950 adalah 2,58 Interval keyakinan adalah sebagai berikut: (p – Zα/2.Sp< P < p + Zα/2.Sp) (0,8 – 2,58.0,105< P < 0,8 + 2,58.0,105) (0,53< P <1.0) ‘12

7



Jadi interval keyakinan bahwa pelanggan masih menyukai produk tersebut adalah 52.9% sampai 100% c. Interval Keyakinan untuk Selisih Rata-rata Interval keyakinan untuk selisih rata-rata adalah sebagai berikut: Probabilitas {(X1 – X2) – Zα/2Sx1-x2) < (μ1 - µ2)< ((X1 – X2) + Zα/2Sx1-x20)} Dimana standar error dari nilai selisih rata-rata populasi adalah:

σx1-x2= √(σ2x1 /n1 + σ2x2 /n2) Apabila standar deviasi dai populasi tidak ada maka dapat diduga dengan standar deviasi sampel yaitu:

sx1-x2= √(s2x1 /n1 + s2x2 /n2) Dimana: σx1-x2 σ

2 x1

= Standar error selisih rata-rata populasi σ

2 x2

= standar deviasi dari dua populasi

sx1-x2

= Standar error selisih rata-rata sampel

s2x1 s2x2

= standar deviasi dari dua sampel

n1n2

= Jumlah sampel tiap populasi

Contoh: Investor pada saat ini dapat memilih investasi dalam bentuk deposito dan reksa dana. Survei terhadap 18 bank sampel dari 138 bank menunjukkan hasil deposito sebesar 7.71% dengan standar deviasi 0.73%. Sedang hasil reksadana pada 11 perusahaan dari 58 perusahaan adalah 13,17% dan standar deviasi 1,83%. Dengan menggunakan tingkat kepercayaan 95%, buatlah interval keyakinan dari selisih rata-rata tersebut. Jawab: Diketahui, X1 = 13,17 X2 =7,71 sx1 = 1,83

sx2 = 0,73 n1=11 n2= 18

sx1-x2= √(1,832x1 /11 + 0,732x2 /18) = 0,584 X1 - X2 = 13,17 - 7,71 = 5,46 Nilai Z pada probabilitas = 0.95/2 = 0,4750 = 1.96 Interval keyakinan adalah: {(X1 – X2) – Zα/2Sx1-x2) < (μ1 - µ2)< ((X1 – X2) + Zα/2Sx1-x20)} (5,46 – 1.96x0,584) < < (μ1 - µ2)< (5,46 + 1,96x0,584) 4,32 < < (μ1 - µ2)< 6,61

‘12

8



Jadi perbedaan hasil antara investasi dalam bentuk deposito dengan reksadana berkisar antara 4,32% sampai dengan 6,61% d. Interval Keyakinan untuk Selisih Proporsi Interval keyakinan untuk selisih rata-rata adalah sebagai berikut: Probabilitas {(P1 – P2) – Zα/2Sp1-p2) < (P1 - P2)< ((P1 – P2) + Zα/2Sp1-p2)} Standar error dari nilai selisih proporsi adalah: Sp1-p2 = √p1(1-p1) + p2(1-p2) n1-1

n2-1

dimana: p1, p2

: Proporsi sampel dari dua populasi

Sp1-p2

: standar error selisih proporsi dari dua sampel

n1,n2

: Jumlah sampel setiap populasi

Contoh: Kontroversi tentang artis Inul daratista mendorong sebuah tabloid membuat jejak pendapat. Dari 700 orang yang terdiri 400 pria dan 300 wanita. Ternyata 180 pria dan 250 wanita menyukai penampilan Inul. Berapa beda proporsi antara pria dan wanita yang menyukai Inul dengan menggunakan tingkat kepercayaan 95%? Jawab: P1(wanita) = 250/300 = 0.83, P2(pria) = 180/400 = 0,45 Nilai selisih proporsi = 0.83 – 0,45 = 0,38 Nilai Z dengan probabilitas= 0.4750 (0,95/2)=1,96 NIlai Standar error populasi: Sp1-p2 = √0,83(1-0,83) + 0,45(1-0,45) 300-1

400-1

= 0,033 Interval beda Proporsi: {(P1 – P2) – Zα/2Sp1-p2) < (P1 - P2)< ((P1 – P2) + Zα/2Sp1-p2)} = 0,38 – 1,96x0,033 < P1 - P2 < 0,38 + 1,96x0,033 = 0,32 < P1 - P2 < 0,44 Jadi perbedaan proporsi antara pria dan wanita yang menyukai inul berkisar antara 32% sampai dengan 44%

‘12

9



‘12

10



Mod 04 Teori Pendugaan Statistik

Recommend Documents