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Profesor Juan Huapaya Camacho
[email protected] Profesor de las Secciones de Ing. Electrónica e Ing. de Telecomunicaciones Telecomunicaciones
Lima, agosto de 2012 Prof. Juan Huapaya
Ingeniería de las Telecomunicaciones
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Sistema de muestreo ideal, una señal f(t)
limitada a f Hz se muestrea en el límite de Nyquist con un tren de impulsos periódicos de frecuencia igual a f Hz. Describa la recuperación de f(t) a partir de sus muestras e indique las limitaciones de éste sistema denominado “sistema de muestreo ideal”. m
o
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Ingeniería de las Telecomunicaciones
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Sistema de muestreo ideal f(t)
fs(t) = f(t). δT(t)
δT(t)
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Tren de impulsos: +∞
δ
T
(t) =
∑
δ(t −
kT )
k = −∞
δT(t)
(1) …
… -2T
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-T
0
T
2T
t
Ingeniería de las Telecomunicaciones
������� �� �������� �� ������� F(w) de una señal periódica: +∞
f ( t ) = f ( t + T ) ↔ 2π ∑ Fn .δ( w − nw o ) n = −∞ + T / 2
1 − inw o t Fn = f ( t ). e dt ∫ T − T / 2
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wo =
2π T
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������� �� �������� �� ������� Aplicando al tren de impulsos δT(t): δT(t)
(1) …
−T / 2
-2T
1 Fn = T
+
T / 2
∫ f ( t ). e
−
− inw o t
T / 2
Por tanto:
-T
0
1 dt = T
+
T
2T
T / 2
∫
δ ( t ). e
−
T / 2
2π δT (t) ↔ T
+∞
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…
+T / 2
∑ δ( w
− inw o
−
t
t
1 dt = T
0+
∫
0−
δ ( t ). e
−
0
dt =
1 T
nw o )
n = −∞
Ingeniería de las Telecomunicaciones
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Señal muestreada: +∞
∑ fk .δ( t − kT )
fs ( t ) = f ( t ).δ T ( t ) =
k = −∞
fs(t) (fk) …
0
T
2T
T =
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3T
4T
5T
6T
t=kT
1 2 fm
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������� �� �������� �� ������� Teorema de convolución en la frecuencia: f ( t ).g( t ) ↔
Aplicando a f s(t):
1 F( w ) * G( w ) 2π
fs ( t ) = f ( t ).δ T ( t ) ↔ Fs ( w ) =
1 F( w ) * ℑ[ δ T ( t )] 2π
1 2π +∞ 1 +∞ Fs ( w ) = F( w ) * ∑ δ( w − nw o ) = T ∑ F( w ) * δ( w − nw o ) 2π T n= −∞ n = −∞
Aplicando propiedad del impulso: f(t)* δ(t-to)=f(t-to)
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Ingeniería de las Telecomunicaciones
������� �� �������� �� ������� F(w) de la señal muestreada f s(t): 1 +∞ Fs ( w ) = F( w − nw o ) ∑ T n = −∞
wo =
2π = 2w m T
Fs(w) FPBideal T 1/T
…
… -3wo
-2wo
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-wo
-wm 0
wm
wo
2wo
3wo
w
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������� �� �������� �� ������� Limitaciones del muestreo ideal: • Ancho • •
•
de banda ilimitado: Btx=+∞ Para recuperar f(t) se requiere de un FPB ideal que no existe Peligro de aliasing (‘overlaping’, ‘crosstalk’ o cruce espectral) por limitaciones del canal de transmisión Energía necesaria ilimitada: Etotal =+∞
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Reconstrucción de f(t): Gráficamente
F(w) = Fs(w). HFPB(w)
donde
Utilizando teorema de convolución en el tiempo: f ( t ) * g( t ) ↔ F( w ).G( w )
Tenemos:
f ( t ) = f s ( t ) * ℑ −1 HFPB ( w )
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������� �� �������� �� ������� Hallando inversa del filtro FPB: H FPB ( w ) = T .P2 w m ( w )
T
-w m Sea el par de transformadas: Prof. Juan Huapaya
+wm
w
p τ ( t ) ↔ τSa( wτ / 2) Ingeniería de las Telecomunicaciones
������� �� �������� �� ������� Utilizando propiedad de dualidad o simetría:
f (t ) ↔ F( w ) Tenemos: Si τ=2wm:
entonces F(t ) ↔ 2πf (−w )
τSa ( t.τ / 2 ) ↔
2 π.Pτ ( − w )
2 w m Sa ( w m .t ) ↔ 2 πP2 w m ( w ),
Simplificando: Como wmT=π: Prof. Juan Huapaya
w m .T π
ℑ
(xT)
Sa( w m t ) ↔ T.P2 w m ( w ),
−1
HFPB ( w ) = Sa( w m t ) Ingeniería de las Telecomunicaciones
������� �� �������� �� ������� Señal reconstruida: f ( t ) = fs ( t ) * ℑ [HFPB ( w )] = fs ( t ) * Sa( w m t ) = −1
+∞
∑ fk .δ( t − kT ) * Sa( w mt ) k = −∞
+∞
f (t ) =
+∞
∑ fk .Sa(w m ( t − kT )) = ∑ fk .Sa(w m t − kw mT ) k = −∞
k = −∞
+∞
Por tanto:
f(t) =
∑ f k .Sa (w m t − k π ) k = −∞
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������� �� �������� �� ������� Señal reconstruida:
f(t) fk …
0
T
2T T =
3T 4T
5T
6T
t=kT
1 2 f
m
Prof. Juan Huapaya
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“Una señal f(t) finita (limitada en el tiempo) con f(t) = 0 cuando |t| ≥ T queda determinada en forma única por las muestras de su espectro de frecuencias en intervalos uniformes menores de 1/2T Hz (π /T rad/seg) ”.
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������� ��� �������� �� �� ���������� F(w) f(t)
-T
T
t
0 ∆f ≤
1 2T
f Hz
La recuperación de F(w) a partir de sus muestras F está dada por: +∞ n
F( w ) =
∑ F(
n = −∞
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nπ )Sa( wT − nπ) T
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