Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon
Función Función de interpolación interpolación g(t) para F s=44100 =44100 muestras muestras por segundo segundo (estándar (estándar CD-A CD-Aud udio io). ). Exce Except pto o para para t=0, t=0, el inte interv rval alo o entr entre e paso pasos s por por cero cero (lín (línea eas s verticales verdes) representa el intervalo entre muestras (~22,68 µs para este ejemplo).
teorema de muestreo muestreo de Nyquist-S Nyquist-Shann hannon on, tambié El teorema también n conoci conocido do como como teorem teorema a de muestr muestreo eo de Whitt Whittake aker-N r-Nyqu yquist ist-Ko -Koteln telniko ikov-S v-Shan hannon non, criterio de Nyquist o teorema de Nyquist, es un teorema fundamental de la teoría de la información, información , de especial interés en las telecomunicaciones telecomunicaciones.. Este teorema fue formulado en forma de conjetura por primera vez por Harry Nyquist en 1928 (Certa (Certain in topics topics in telegr telegraph aph transm transmiss ission ion theory theory), ), y fue demostrado formalmente por Claude E. Shannon en 1949 (Communication in the presence of noise). El teorema trata con el muestreo muestreo,, que no debe ser confundido o asociado con la cuantificación cuantificación,, proceso que sigue al de muestreo en la digitalización de una seña señall y que, que, al cont contra rari rio o del del mues muestr treo eo,, no es reve reversi rsibl ble e (se (se prod produc uce e una una pérdida de información en el proceso de cuantificación, incluso en el caso ideal teórico, que se traduce en una distorsión conoci conocida da como como error error o ruid ruido o de cuantificación y que establece un límite teórico superior a la relación señalruido). Dicho de otro modo, desde el punto de vista del teorema, las muestras discretas de una señal son valores exactos que aún no han sufrido redondeo o truncamiento alguno sobre una precisión determinada, esto es, aún no han sido cuantificadas. Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógica y la señal se muestrea a una tasa
, entonces
es se puede
recuperar totalmente a partir de sus muestras mediante la siguiente función de interpolación:
Ejemplo de reconstrucción de una señal de 14,7 kHz (línea gris discontinua) con sólo cinco muestras. Cada ciclo se compone de sólo 3 muestras a 44100 muestras por segundo. La reconstrucción teórica resulta de la suma ponderada de la función de interpolación g(t) y sus versiones correspondientes desplazadas en el tiempo g(t-nT) con , donde los coeficientes de ponderación son las muestras x(n). En esta imagen cada función de interpolación está representada con un color (en total, cinco) y están ponderadas al valor de su correspondiente muestra (el máximo de cada función pasa por un punto azul que representa la muestra). Así,
Donde
se puede expresar como:
son las muestras de
.
Hay que notar que el concepto de ancho de banda no necesariamente es sinónimo del valor de la frecuencia más alta en la señal de interés. A las señales para las cuales esto sí es cierto se les llama señales de banda base, y
no todas las señales comparten tal característica (por ejemplo, las ondas de radio en frecuencia modulada).
Errores de interpretación frecuentes en relación con el teorema y el proceso de muestreo Es un error frecuente y extendido creer que, una vez satisfechos los criterios del teorema (criterios de Nyquist), la calidad de la reconstrucción de una señal en toda su banda (lo que excluye el uso de técnicas de Noise Shaping para alterar selectivamente la distorsión consecuencia del proceso de cuantificación en señales completamente digitalizadas, esto es, muestreadas y cuantificadas) es función de la tasa de muestreo empleada en el proceso de muestreo. Esto es totalmente falso desde la perspectiva matemática del teorema y un error, una vez consideradas las limitaciones prácticas, en el ámbito práctico de la física o la ingeniería. 1 El proceso de muestreo (que no debe ser confundido con el de cuantificación) es, desde el punto de vista matemático perfectamente reversible, esto es, su reconstrucción es exacta, no aproximada. Dicho de otro modo, desde el punto de vista matemático al que se refiere el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, la reconstrucción de una señal periódica con componentes de hasta 10 kHz es idéntica tanto si se obtiene de una tasa de muestreo de 25000 muestras por segundo como de una de 50000 muestras por segundo. Matemáticamente, no aporta nada incrementar la tasa de muestreo una vez que esta cumple el criterio de Nyquist: la información necesaria para su reconstrucción total existe desde que la tasa cumple el criterio. También son errores frecuentes y extendidos, relacionados directamente con lo expuesto en este párrafo, creer que los puntos que resultan del proceso de muestreo se unen en la reconstrucción mediante rectas (interpolación lineal) formando dientes de sierra en las frecuencias representadas por pocas muestras o que existe un proceso de cálculo que realiza la interpolación de manera predictiva. En resumen, el teorema de muestreo demuestra que toda la información de una señal contenida en el intervalo temporal entre dos muestras cualesquiera está descrita por la serie total de muestras siempre que la señal registrada sea de naturaleza periódica (como lo es el sonido) y no tenga componentes de frecuencia igual o superior a la mitad de la tasa de muestreo. En la práctica y dado que no existen los filtros analógicos pasa-bajo ideales, se debe dejar un margen entre la frecuencia máxima que se desea registrar y la frecuencia de Nyquist (frecuencia crítica) que resulta de la tasa de muestreo elegida (por ejemplo, para CD-Audio la frecuencia máxima de los componentes a registrar y reproducir es de 20 kHz y la frecuencia crítica de la tasa de 44100 muestras por segundo empleada es de 22,05 kHz; un margen del 10% aproximadamente para esta aplicación). Pero este margen es una necesidad que resulta de las limitaciones físicas de un filtro de reconstrucción (o filtro antialiasing) real, y no una consideración que contemple (o deba contemplar) el teorema, que pretende establecer el marco teórico (matemático) en el que se deben fundamentar los profesionales que tratan con el procesamiento digital de señales.
Nuevos formatos y su relación con las interpretaciones erróneas sobre el teorema y su utilidad práctica La aparición reciente de nuevos formatos de audio (denominados frecuentemente formatos de alta resolución) para usuario final que contienen señales muestreadas con tasas más elevadas a la empleada en CD-Audio han contribuido a extender la idea errónea de que la calidad en la reconstrucción de una señal en toda su banda (hasta la frecuencia crítica) es función directa de la tasa de muestreo empleada. En todo caso, parece evidente que el potencial para registrar y reproducir ultrasonidos no forma parte de los mensajes de mercadotecnia que pretenden promocionar estos en el mercado. Un argumento que suele tener la forma general de "si los nuevos formatos de alta resolución registran señales con tasas de muestreo más elevadas para la reconstrucción de señales con el mismo ancho de banda es porque el teorema de muestreo no aplica/no es válido/es erróneo y esta mayor tasa contribuye a una mejora en la calidad". Los nuevos formatos de audio que recientemente han aparecido (aunque con escaso éxito comercial) que emplean Modulación por impulsos codificados (PCM) sin pérdida por compresión con tasas de muestreo más altas a las empleadas en el CD-Audio, (DVD-Audio, por ejemplo) para registrar y reproducir señales de idéntico ancho de banda se justifican porque permiten el empleo de filtros de reconstrucción más benignos, sencillos y económicos sacrificando un recurso cada vez más económico y de menor trascendencia (la capacidad de almacenamiento, un recurso crítico en el pasado) y porque, además, satisfacen simultáneamente las expectativas de un mercado como el audiófilo, caracterizado por dogmas 2 entre los que se encuentra muy extendida la falsa creencia de que esto representa una mejora en la calidad de la señal reconstruida (en particular, de sus componentes de alta frecuencia). La elevada tasa de muestreo de otro formato de audio de reciente aparición, el SACD o Super Audio CD, es una consecuencia del uso de una tecnología denominada comercialmente Direct Stream Digital™ (DSD) basada en un tipo de codificación digital denominado Modulación por densidad de impulsos (PDM). Si bien la tasa de muestreo es 64 veces la del CD-Audio, es necesario tener presente que se trata de una cuantificación de 1 bit (en lugar de los 16 empleados en el CD-Audio) y basado en técnicas de Noise Shaping (modelado de ruido). No es posible, por tanto, establecer comparaciones superficiales con el PCM de CD-Audio ó DVD-Audio (ambos PCM), ya que en este caso la relación señal-ruido no es constante respecto de la frecuencia 3 (en CD-Audio el ruido de cuantificación es independiente de la frecuencia y sólo depende de los intervalos de amplitud empleados en el proceso de cuantificación, es decir, es de unos 98,09 dB 4 constantes para los 16 bits de este estándar CD-Audio en todo el espectro útil). Un SACD puede registrar y reproducir señales con componentes de hasta 33 kHz con una relación señal-ruido equivalente al de un CD-Audio (aunque 33 kHz está casi una octava por encima del máximo audible y, por tanto, una ventaja sobre el CD-Audio de dudosa utilidad práctica) y mantener una relación señal-ruido de aproximadamente 122 dB para el espectro audible (un potencial, el equivalente aproximado a 20 bits, también
de dudosa utilidad práctica como formato final de usuario considerando los medios y entornos de reproducción de este formato). Se han publicado trabajos experimentales rigurosos que concluyen que no existen diferencias audibles entre los formatos denominados de alta resolución y el tradicional soporte de audio digital CD-Audio (PCM 16 bits; 44100 muestras/s).
TEORIA DE SHANNON Teoría creada en 1940 por el por el ingeniero Claude E. Shannon, Los problemas que plantea Shannon, tienen que ver con la cantidad de información, la capacidad del canal de comunicación, el proceso de codificación que puede utilizarse para cambiar el mensaje en una señal y los efectos del "ruido". Pero no se refiere a las personas como protagonistas de la comunicación, sino al proceso desde la perspectiva de: • •
•
Sus aspectos medibles. A las condiciones idóneas información entre máquinas.
de
transmisón
de
Al cálculo de la pérdida de información transmitida a través de un canal.
Su teoría se utiliza para medir la información y su contenido. El contenido de la información de un suceso = una función decreciente de la probabilidad de su aparición. Shannon utilizo el algoritmo de la inversa de la probabilidad.
TEORIA DE NYQUIST El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon es un teorema fundamental de la teoría de la información, utilizada en las telecomunicaciones, también conocida como teorema de muestreo de Whittaker-Nyquist-KotelnikovShannon, o simplemente criterio de Nyquist. Fue formulado por primera vez por Harry Nyquist en 1928 ("Certain topics in telegraph transmission theory"), y fue probado por Claude E. Shannon en 1949 ("Communication in the presence of noise"). Este teorema asegura que cuando se muestrea una señal, la frecuencia de muestreo debe ser mayo que el doble del ancho de banda de la señal de entrada , para poder reconstruir la señal original. Si B es el ancho de banda de la señal y Fm es la frecuencia de muestreo, el teorema puede expresarse del siguiente modo: 2B < Fm Nos dice que debe existir una separación mínima entre impulsos. Esta separación mínima depende del ancho de banda. El criterio de Nyquis establece la separación mínima que debe existir entre dos pulsos, de forma que no se produzca la interferencia intersimbolo.
