TEOREMA DE GREEN
Ante Antess de enun enunci ciar ar el teor teorem ema a de Gree Green n co conv nven endr dría ía prec precis isar ar que que entendemos por una curva cerrada simple orientada positivamente. Sabemos ya que toda curva simple tiene dos posibles orientaciones, y que ´estas son invariantes por reparametrizaciones cuyas funciones de cambio de variables tiene derivada positiva. Ahora bien, ¿como disti disting ngui uirr entr entre e un una a y otra otra orie orient ntac ació ión? n? ¿Que ¿Que ha hace cerr para para varios ios privilegiar y reconocer una de las dos? Hay var
procedimientos para conseguir esto. Quizá el más intuitivo sea el siguiente, que presenta el concepto de normal unitaria exterior a una curva.
En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D.
Si C es una curva cerrada simple regular a trozos en parametrizada Por por
,
el vector vector normal normal unitar unitario io exteri exterior or a C se define
Nótese que N es ortogonal al vector tangente o velocidad de la curva, V (t) =(x0(t), y0(t)). Consideremos estos vectores sumergidos en R3 (con coordenada z = 0). Diremos que C esta orientada positivamente si el producto vectorial N × V (que tiene la dirección del eje z en este caso) tiene coordenada z Positiva (es decir, N × V apunta hacia arriba arriba)) para para cada cada t. Esta Esta defini definició ción n Corres Correspon ponde de intuit intuitiva ivamen mente te a decir que C se recorre en el sentido contrario al De las agujas del reloj, o bien que si recorremos C con la orientación positiva Entonces N apunta hacia afuera de la región interior a C, y que dicha región interior queda siempre a mano izquierda segun se va recorriendo C. Sea C una curva dada por la parametrización:
Se dice que la curva es cerrada si r(a)=r(b). C se dice que es una curva simple si r es inyectiva en (a,b), es decir, si
Por convenio, para las curvas cerradas la orientación positiva se define como el sentido anti horario.
Sea un abierto simplemente conexo y una función vectorial derivable con continuidad. Entonces, si un camino cerrado y llamamos S a la unión de con su interior se tiene que;
es
APLICACIÓN
1. Hallar integrales de línea sobre caminos cerrados por medio de integrales dobles: Para ello basta con aplicar directamente la formula que nos da el teorema de GreenRiemann. 2. Hallar integrales dobles por medio de integrales curvilíneas: Si es un recinto acotado y positivamente, entonces:
es la frontera de S orientada
INTRODUCCION
El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de teoremas resulta muy útil porque, dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad más simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre en recinto que delimita la curva. Por otro lado, la relación así establecida entre la integral de línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior a ésta permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un recinto a partir del comportamiento de la función sobre la frontera de dicho recinto. Ilustraremos mas adelante las diversas posibilidades y aplicaciones de este tipo de resultados, que generalizaremos a integrales sobre superficies en .
EJEMPLO
1) Transformación de una integral de línea en una de área. Evaluar x 4 dx + xydx ∫ , donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0), C (0;1) y (1;0), orientada positivamente.
SOLUCIÓN: y
1
y=1 x
La gráfica indica la región encerrada por la curva C. Tenemos:
x
1
P ( x; y ) = x 4 ⇒ Q( x; y) = xy ⇒
∂ P ∂ y ∂Q ∂ x
=0 = y
Por lo tanto:
∫
x 4 dx
C
1 1− x 1 1 1−x ∂Q ∂ P 2 1 1 (1 − x ) 2 dx = + xydx = ∫∫ − = = = dA y dydx y dx 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ 0 0 0 0 0 ∂ x ∂ y D
= − 16 (1 − x ) 3
1 0
=
1 6
Nótese que si hubiéramos hecho la integral de línea habríamos tenido que hacer 3 integrales con las correspondientes parametrizaciones. ν
EJERCICIOS
TALLER MATEMATICAS III
DANIEL FELIPE SAENZ SANTOS COD: 4007026177 ALEXANDER PERDOMO CENTENO COD: 4007026348
CORPORACION UNIVERSITARIA CORHUILA METEMATICAS III TERCER SEMESTE INGENIERIA INDUSTRIAL NEIVA 2009 OBJETIVOS •
GENERALES:
•
Incrementar mi capacidad de análisis Capacidad para resolución de problemas.
ESPECIFICOS:
Aplicar el conocimiento investigado y adquirido en la solución de un problema que se nos presente en la vida real.
Enriquecerme por medio de la obtención de un conocimiento el cual contribuirá en mi desarrollo profesional.