TEOREMA DE GREEN
En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C . El teorema de Green se llama así por el científico científ ico británico George Green y es un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma: Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C . Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D ,
A veces la notación
se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (anti horaria) de la curva cerrada C . RELACIÓN CON EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
El teorema de Green es equivalente a la siguiente analogía bidimensional del teorema de Stokes:
donde
es el versor normal versor normal saliente en la frontera. fr ontera.
Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva C está orientada de manera positiva (es decir, en contra del sentido de las agujas del reloj) a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser . El
módulo
de
este .
vector
Tomando los componentes de
es
.
Por
lo
tanto
, el lado derecho se convierte en
que por medio del teorema de Green resulta:
TEOREMA DE STOKES
El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thompson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes.
INTRODUCCIÓN
El teorema fundamental del cálculo establece que la integral de una función f en el intervalo [a , b ] puede ser calculada por medio de una anti derivada F de f :
El teorema de Stokes es una generalización de este teorema en el siguiente sentido:
Para la F elegida, . En el lenguaje de las formas diferenciales es decir que f (x ) dx es la derivada exterior de la 0-forma (como por ejemplo una función) F : dF = f dx . El teorema general de Stokes aplica para formas diferenciales mayores ω en vez de F . En un lenguaje matemático, el intervalo abierto ( a , b ) es una variedad matemática unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los dos puntos a y b . Integrar f en ese intervalo puede ser generalizado como integrar formas en una variedad matemática de mayor orden. Para esto se necesitan dos condiciones técnicas: la variedad matemática debe ser orientable, y la forma tiene que ser compacta de manera que otorgue una integral bien definida. Los dos puntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto. Más genéricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M con frontera. La f rontera ∂M de M es una variedad en sí misma y hereda la orientación natural de M . Por ejemplo, la orientación natural del intervalo da una orientación de los dos puntos frontera. Intuitivamente a hereda la orientación opuesta a b , al ser extremos opuestos del intervalo. Entonces, integrando F en los dos puntos frontera a , b es equivalente a tomar la diferencia F (b ) − F (a ).
Por lo que el teorema fundamental relaciona la integral de una función sobre un intervalo, con una integral o suma de la primitiva de la función en los límites que encierran dicho intervalo:
Por otro lado el teorema de Green hace algo similar en dos dimensiones, relaciona la integral a lo largo de una curva simple con la integral de una combinación de derivadas sobre un área limitada por la curva simple:
Similarmente el teorema de la divergencia relaciona la integral de una función sobre una superficie con la integral de una combinación de derivadas sobre el interior del conjunto:
El teorema de Stokes generaliza todos estos resultados, relacionando la integral sobre una frontera con la integral de una función "derivada" sobre el interior de la región limitada por la frontera. FORMULACIÓN GENERAL
Sea
diferenciable por trozos orientada compacta y sea ω una forma diferencial en M de grado n -1 y de clase C¹. Si ∂ M denota el límite de M con su orientación inducida, entonces M
una variedad de dimensión
n
aquí d es la derivada exterior, que se define usando solamente la estructura de variedad. El teorema debe ser considerado como generalización del teorema fundamental del cálculo y, de hecho, se prueba fácilmente usando este teorema. El teorema se utiliza a menudo en situaciones donde
M es
una subvariedades
orientada sumergida en una variedad más grande en la cual la forma ω se
define. El teorema se extiende fácilmente a las combinaciones lineales de las subvariedades diferenciables por trozos, las, así llamadas, cadenas. El teorema de Stokes demuestra entonces que las formas cerradas definidas módulo una forma exacta se pueden integrar sobre las cadenas definidas módulo borde. Ésta es la base para el apareamiento entre los grupos de homología y la cohomología de de Rham. El clásico teorema de Kelvin-Stokes
que relaciona la integral de superficie del rotacional del campo vectorial sobre una superficie Σ en el 3-espacio euclidiano a la integral de línea del campo vectorial sobre su borde, es un caso especial del teorema de Stokes generalizado (con n = 2) una vez que identifiquemos el campo vectorial con una 1-forma usando la métrica en el 3-espacio euclidiano. Asimismo el teorema de Ostrogradsky-Gauss o Teorema de la divergencia:
es un caso especial si identificamos un campo vectorial con la n -1 forma obtenida contrayendo el campo vectorial con la forma de volumen euclidiano. El teorema fundamental del cálculo y el teorema de Green son también casos especiales del teorema de Stokes generalizado. La forma general del teorema de Stokes que usa formas diferenciales es de más alcance que los casos especiales, por supuesto, aunque los últimos son más accesibles y a menudo son considerados más convenientes por físicos e ingenieros. Otra forma de escribir el mismo teorema es la siguiente:
Donde
es un campo vectorial cualquiera.
Establece que la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie abierta es igual a la integral (curvilínea) cerrada del campo vectorial a lo largo del contorno que limita la superficie.