FACULT FA CULTA AD DE INGENIERÍ INGENIERÍA, A, ARQUITECTURA ARQUITECTUR A Y URBANISMO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL Curso: Matemática II
Docene: Idrogo Burga, Edinzon
C!c"o: III
Secc!#n: A
Te$%: Teorema de Green
Ine&r%nes: -Agip Alvarado, Dayana -Bravo Cabanilla, Manuel -Garc!a C"umacero, #illiam $a%l -$enilla &au, 'aula Ale(andra -)alazar 'retel, Tatiana Maril% -)andoval Bance *analy -Tenorio De &a Cruz M+nica
'imentel 'er%
TABLA DE CONTENIDO IT$.D/CCI0111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111112 IT$.D/CCI0 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111112
TE.$EMA DE G$EE11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111113 )E DE4IE E &. )IG/IETE111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111113 DEM.)T$ACI0 DE& TE.$EMA DE G$EE 'A$A /A $EGI0 )IM'&E51111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111116 E*E$CICI.) DE A'&ICACI01111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111117 C.C&/)I.E)1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111182 BIB&I.G$A49A11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111183
2
INTRODUCCI'N El preente in:orme dearrolla la demotraci+n y aplicaci+n del teorema de Green, el cual e muy báico e importante por;ue no :acilita el cálculo de integrale de l!nea cuando tenemo una curva cerrada1 En el in:orme e preentan cuatro e(ercicio de aplicaci+n con u repectivo dearrollo de :orma clara y encilla1
3
TEOREMA DE GREEN SE DEFINE EN LO SIGUIENTE )ea Donde
∫ F . dr
F = P ( x , y ) i + Q ( x , y ) j
)ea C una curva imple cerrada, uave por tramo con orientaci+n poitiva en el plano, y ea D la regi+n ;ue delimita C 1 )i P y Q tienen derivada parciale contin%a obre una regi+n abierta ;ue contiene a D, entonce5
DONDE:
< d=1dy NOTA:
Alguna vece, la notaci+n e e=preará a!5
DONDE:
< )e ua para e>alar ;ue la integral de l!nea e calcula uando la orientaci+n poitiva de la curva cerrada C1
4
DEMOSTRACI'N DEL TEOREMA DE GREEN PARA UNA REGI'N SIMPLE: .berve ;ue el teorema de Green etará demotrado i podemo demotrar ;ue5 8?
@?
Demotraremo la ecuaci+n 8 e=preando D como una regi+n del tipo I5
Donde g8 y g@ on :uncione continua1 Eto no permite calcular la integral doble del egundo miembro de la ecuaci+n 8 como igue5
2?
Donde del %ltimo pao e in:iere del teorema :undamental del cálculo1 A"ora calculamo el primer miembro de la ecuaci+n 8 decomponiendo C como la uni+n de cuatro curva C(, C), C* y C+ motrada en la :igura 21 )obre C( tomamo como el parámetro y ecribimo la ecuacione paramtrica cuando5
5
POR TANTO:
.berve ;ue C * va de derec"a a iz;uierda, pero -C * va de iz;uierda a derec"a, de modo ;ue ecribimo la ecuacione paramtrica de -C * como5
POR TANTO:
)obre C ) o C + cual;uiera de la cuale e podr!a reducir a +lo un punto?, x e contante, de modo ;ue dx < 1
DONDE OBTENEMOS QUE: 6
Al comparar eta e=prei+n con la de la ecuaci+n 2, vemo ;ue5
&a ecuaci+n @ e puede demotrar cai de la mima manera al e=prear a D como una regi+n del tipo II1 A continuaci+n, al umar la ecuacione 8 y @, obtenemo el teorema de Green1
E.ERCICIOS DE APLICACI'N (/ E0%"1e ∫ c X dx + xy dy , 2on2e C es "% cur0% r!%n&u"%r 3ue 4
cons!se 2e "os se&$enos rec!"4neos 2e 56, 67 % 5(, 67, 2e 5(,67 % 56, (7 8 2e 56, (7 % 56, 67/
&a ecuaci+n de una l!nea recta5 •
Y9 % ;
Cuando <8 y <, reemplazamo en la ecuaci+n de la recta
Y9 % ;
6 9 % 5(7 ; %;96
Cuando =< y y<8, reemplazamo en la ecuaci+n de la recta
7
Y9 % ;
( 9 % 567 ; ;9(
Entonce obtenemo5
%9 -(
8
;9 (
$eemplazamo en la ecuaci+n de la recta
Y9 -< ( Y9 ( = < Derivamo5 X
∂P ∂Y
<
F<
∂Q ∂ X
<
'<
4
Aplicaremo el Teorema de Green5
1 1− x
<
∫ ∫ y dy dx 0
0
8
Aplicaremo cambio de variable5
u9 ( = 9 −dx
du
−du 9 dx 1
1
∫ u / 2
9
2
−du
0
−1
9
2
1
∫u
2
du
0
9
9
2
[
0
[ ] 3
−1 u
3
1
3
−1 ( 1− x )
9
2
]
1
[ ]
−1 2
3
0
0−
1 3
1 6
@1 E0%"ue
∮c
sin x 4 5*8 - e 7 dx 5> √ y +1 ¿ dy , 2on2e C es "%
2 c!rcun?erenc!% x y 9@/ 2
C5
2
2
2
2
x + y ≤ 9
C5 x + y r<2
≤3
2
,2?
9
-2,?
2,?
,-2?
Coordenada polare5
=< r
cos θ
=< 2
y< r
sin θ
y< 2
'< 2y -
e
dA =rdrdθ
cos θ
θ= [ 0,2 π ]
sin θ
r< [ 0.3 ]
sin x
4 y +1 √ F< 7=
Derivamo5 ∂P =3 −0 =3 ∂y
sin x
'< 2y
e
F< 7=
√ y +1
∂Q =7 + 0=7 ∂x
4
&uego aplicamo el Teorema de Green5
7-2?
dA
10
2 π 3
< ∫∫ 4 rdrdθ 0
0
2 π
9 dθ ∫ 3 2
<
0
2 π
<
18
∫ dθ 0
<
[ 18 θ ]20 π
<
8H@? 2
∫ y
*/ E0%"1e
c
2
dx + 3 xy dy , 2on2e C es e" "!$!e o ?roner% 2e "% re&!on
se$!%nu"%r D enre "os c!rcu"os
2
2
x + y =1
8
2
2
x + y =4 en e"
se$!"%no suer!or/ 2
2
x + y =1 2
r =1 r =1 2
2
x + y =4 2
r =4 r =2
r ∈ [1,2 ] θ ϵ [ 0, π ] D= {r , θ ∕ 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π }
Teorema de Green 11
∫ y
2
dx + 3 xy dy
C
∬ D
[
]
∂ ( 3 xy )− ∂ ( y 2 ) dA ∂x ∂y
∬ (3 y −2 y )dA D
∬ y dA D
π 2
∫∫ ( rsenθ ) rdrdθ 0
1
π
2
∫ senθdθ∫ r 0
[ −cos θ ]
2
dr
1
[ ]
π 1 0
3
r
2
3
1
1
+/ Deer$!n%c!#n 2e un re% $e2!%ne un% !ne&r%" 2e "4ne%/ Deer$!ne e" re% 2e "% re&!#n "!$!%2% or "% !oc!c"o!2e 3ue !ene "% ecu%c!#n 0ecor!%" r57 9 cos* ! sen* , 6
)
y 1
So"uc!#n:
-1
1
-De la parametrizaci+n de la curva tenemo5 x < co2t ⇒ x @J2 < co@t
x
-1
y < en2t ⇒ y @J2 = en@t
-)umando miembro a miembro tenemo5 12
x
2/3
+ y
2/3
= 1 ⇒ y = ±(1 − x
)
2/3 3/ 2
1
+ (1− x 2 / 3 )
⇒ A = ∫−1 ∫ −(1− x
)
3/ 2
2/ 3 3/ 2
dydx
1
= ∫ −1 2(1 − x 2 / 3 )
3/ 2
dx
-Ete cálculo, e(ecutado como integral de área, e muy complicado1 El teorema de Green no permite tran:ormar eta integral en una de l!nea, uando como trayectoria la "ipocicloide del enunciado y de:iniendo una :unci+n apropiada para la integraci+n1 Keamo5 A
= ∫∫ 1dA D
-El área de una regi+n D viene dada por
1 'or lo tanto, para aplicar
∂Q ∂ P − =1 ∂ x ∂ y Green deber!amo encontrar :uncione P, Q / 1 /n par de :uncione encilla ;ue cumplen eta condici+n on P < , Q < x 1 )i recordamo la parametrizaci+n, ecribimo5 x < co2t ⇒ dx < -2 co@t ent dt y < en2t ⇒ dy < 2 en @t cot dt
-&uego5 2 2 ∂Q ∂ P 3 2 dA Pdx Qdy t sen t tdt − = + = = cos 3 cos 3 cos 4 tsen 2 tdt = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∂ x ∂ y 0 0 D C 2 2 2 2 1 + cos 2t sen 2t 2 2 sen 2t dt = 3∫ dt = 83 ∫ ( sen 2 2t + sen 2 2t cos 2t )dt = = 3∫ 0 cos t 0 0 4 2 4 2 3 2 1 − cos 4t sen4t sen 2t 3 = 83 ∫ 0 + sen 2 2t cos 2t + = π dt = 83 12 t − 8 6 8 2 0 π
A =
π
π
π
π
π
π
CONCLUSIONES •
•
•
El teorema de Green e importante por;ue no :acilita el cálculo de integrale de l!nea1 El teorema de Green e encillo de aplicar y reolver1 Contamo con el teorema de Green como una "erramienta %til para obtener el área de la regi+n encerrada por una curva cerrada, permitiendo tran:ormar integrale de área a integrale de l!nea1
13
BIBLIOGRAFÍA •
•
E(ercicio aplicativo, Teorema de Green1 $ecuperado de "ttp5JJLLL1youtube1comJLatc"v<4;n6(g#$M1 Teorema de Green1 $ecuperado de LLL1mtm1u:c1brJNdanielJem8O6JpugeoJgreen
14
