a Lista de Exerc´ 5¯ Exerc´ıcios de C´ alculo alculo II: Integrais de Linhas e Teorema de Green
1. Calcul Calculee C (x + y)ds onde C ´e o segmento de reta x = t, y = (1 (0, (0, 1, 0) a (1, (1, 0, 0).
2. Calcul Calculee C (x y + z de (0, (0, 1, 1) a (1, (1, 0, 1).
− t), z = 0, de
− 2)ds 2)ds onde c ´e o segmento de reta x = t, y = (1 − t), z = 1,
−
−→
−→
−→
3. Um campo de for¸cas cas F ( ao fun¸c˜ coes o˜es F (x, y) = P ( P (x, y ) i + Q(x, y) j , onde P e Q s˜ao 2 definidas num aberto A do R , denomina-se conservativo se existe um campo escalar R tal que ϕ:A ϕ(x, y) = F ( F (x, y ) em A.
→
−→
Uma tal fun¸c˜ c˜ao ao ϕ, quando existe, denomina-se fun¸c˜ cao a˜o potencial associada ao campo cas dado conserv conservativ ativo? o? Justifique. Justifique. F . F . O campo de for¸cas
−→
−→ −→ −→ −→ −→ −→ b) F ( F (x, y) = y i − x j −→ −→ (x + 2y −→ c) F ( 2y) j F (x, y) = y i + (x −→ −→ − → x i + y j d) F ( F (x, y) = (x + y ) −→ −→ −→ e) F ( F (x, y) = 4 i + x j −→ −→ −→ f ) F ( (2x i − 2y j ) F (x, y) = ex + y (2x −→ −→ −→ 4. Seja F ( cas com P e Q cont´ co nt´ınua ınuass no F (x, y) = P ( P (x, y) i + Q(x, y) j um campo de for¸cas aberto A ⊂ R . Seja γ (t) = (x ( x(t), y(t)), )), t ∈ [a, b], uma curva de C , com γ (a) = γ (b) ( γ ´e uma curva curva fechada). Suponha que, para todo t ∈ [a, b], γ (t) ∈ A. Prove Prove que que − → se F for conservativo ent˜ao ao −→ F ( F (γ (t)) · γ (t)dt = 0. a) F ( F (x, y) = x i + y j
2
2 3/2
2
2
2
2
1
b
a
Uma tal fun¸c˜ c˜ao ao ϕ, quando existe, denomina-se fun¸c˜ cao a˜o potencial associada ao campo cas dado ´e conservativo? co nservativo? Justifique. Justifiqu e. F . F . O campo de for¸cas
−→
x (0, 0). j , (x, y) = (0, (x2 + y2 ) (x2 + y 2 ) a) Verifique que, para todo (x, ( x, y ) = (0, (0 , 0),
−→
5. Seja F ( F (x, y) =
−y −→i +
−→
∂P ∂Q = ∂y ∂x 1
onde P (x, y) = b) Calcule
−→
−y
(x2 + y2 )
e Q(x, y) =
x . (x2 + y 2 )
−→F (γ (t)) · γ (t)dt, onde γ (t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π]. 2π 0
c) F conservativo? Por quˆe?
−→
−→
− → −→ −→ − − → −→
6. Seja F (x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j um campo de for¸cas com P e Q definidas e cont´ınuas no aberto A de R2 . Se F for conservativo ent˜ao existir´a uma fun¸ca˜o escalar U (x, y) definida em A tal que F = U em A. Uma tal fun¸ca˜o denomina-se fun¸c˜ao energia potencial associada ao campo F . Determine, caso exista, a fun¸ca˜o energia potencial associada ao campo F dado e satisfazendo a condi¸ca˜o dada.
− → −6x−→i − 2y−→ j e U (0, 0) = 0. −→ −→ −→ b) F (x, y) = x i + y j e U (0, 0) = 0. −→ −→ −→ c) F (x, y) = x i − xy j e U (0, 0) = 1.000. a) F (x, y) =
7. Calcule
F.dr sendo dados γ
(a) F (x,y,z) = x i + y j + k e γ (t) = (cos t, sin t, t), 0 t 2π. y) = x2 j e γ (t) = (t2 , 3), 1 t 1. (b) F (x, y) = x2 (c) F (x, i + (x y) j e γ (t) = (t, sin t), 0 t π. (d) F (x,y,z) = x2 i + y2 j + z 2 k e γ (t) = (2cos t, 3 sin t, t), 0 t
−
− ≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤ 2π.
8. Uma part´ıcula desloca-se em um campo de for¸cas dado por F (x,y,z) = ( y,x,z). no deslocamento da part´ıcula de γ (a) at´e γ (b), Calcule o trabalho realizado por F sendo dados
−
(a) γ (t) = (cos t, sin t, t), s = 0 e b = 2π. (b) γ (t) = (2t + 1, t 1, t), a = 1 e b = 2. (c) γ (t) = (cos t, sin t), a = 0 e b = 2π.
−
9. Verifique se a forma diferencial dada ´e exata. Justifique. (a) xdx + ydy + zdz (b) 2xydx + x2 dy (c) yzdx + xzdy + xydz (d) (x + y)dx + (x
− y)dy (e) (x + y)dx + (y − x)dy 2
(f) ex
+y 2
(xdx + ydy)
(g) xydx + y2 dy + xyzdz
2
10. Mostre que existem naturais m e n para os quais a forma diferencial 3xm+1 yn+1 dx + 2xm+2 yn dy ´e exata. 11. Determine u(x, y), que s´o dependa de x, tal que (x3 + x + y)u(x, y)dx seja exata.
− xu(x, y)dy
12. Determine u(x, y), que s´o dependa de y, de modo que (y2 + 1)u(x, y)dx + (x + y2
− 1)u(x, y)dy
seja exata. 13. Calcule a ´area da regi˜ao limitada pela curva x = t e pelo eixo Ox.
− sin t, y = 1 − cos t, 0 ≤ t ≤ 2π
14. Nos exerc´ıcios abaixo, mostre que as formas diferenciais nas integrais s˜ao exatas e depois calcule as integrais. (2,3,−6)
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)
2xdx + 2ydy + 2zdz
(0,0,0) (3,5,0)
yzdx + xzdy + xydz
(1,1,2) (1,2,3)
2xydx + (x2
(0,0,0) (3,3,1)
2xdx
(0,0,0) (0,1,1)
2
− z )dy − 2yzdz
− y dy − 1 −4 z 2
dz
2
sin y cos xdx + cos y sin xdy + dz
(1,0,0) (1, 2 ,2) π
2cos ydx +
(0,2,1) (1,2,3)
(1,1,1)
1
− 2x sin y y
z2 3x dx + dy + 2z ln ydz y 2
(2x ln y
− yz)dx +
x
1 dx + y
1
dy
(1,2,1)
(i)
(1,1,1)
15. Calcule
1 dy + dz z
2
(2,1,1)
(2,2,2)
− z
x y2
y
− xz
dy
− xydz
− zy dz 2
2
x dx + y dy, sendo γ dada por x = t γ
3
e y = sin t, 0
≤ t ≤ π/2.
17. Calcule x dx + y dy + z dz, sendo γ o segmento de reta de extremidades (0,0,0) e (1,2,1) percorrido no sentido de (0,0,0) para (1,2,1). 18. Calcule x dx + dy + 2dz, sendo γ a interse¸ca˜o do parabol´ oide z = x + y com 16. Calcule γ x dx +y dy, sendo γ o segmento de extremidades (1,1) e (2,3) percorrido no sentido de (1,1) para (2,3). γ
2
γ
2
o plano z = 2x + 2y 1, o sentido de percurso deve ser escolhido de modo que a proje¸ca˜o de γ (t), no plano xy, caminhe no sentido anti-hor´ario.
−
19. Calcule γ 2x dx dy em que γ tem por imagem x2 + y2 = 4, x sentido de percurso ´e de (2,0) para (0,2).
20.
≥0
e y
≥ 0, o
z dy, em que γ tem por imagem 4x2 + y2 = 9, o sentido de 2 2 2 2 4x + y γ 4x + y percurso ´e anti-hor´ario.
−y
−
dx +
21. Seja γ (t) = (R cos t, R sin t), 0 depende de R > 0.
−y γ x2 +y 2
≤ t ≤ 2π. Mostre que
dx +
x x2 +y 2
dy n˜ao
√
dy em que γ ´e o quadrado centrado na origem e lado 2 2 1 + y γ percorrido no sentido anti-hor´ario.
22. Calcule
3
x dx +
2
F.dr em que F (x, y) = (0, x + y ) e γ ´e a curva do exerc´ıcio anterior. 24. Calcule (x − y)dx + e dy, em que γ ´e a fronteira do triˆangulo de v´ertices (0,0), (0,1) e (1,2), orientada no sentido anti-hor´ario. 23. Calcule
γ
x+y
γ
(3,4)
25. (a) Demonstrar que
(1,2)
(6xy2
3
2
− y )dx + (6x
y
2
− 3xy )dy ´e independente do
caminho de (1,2) a (3,4). (b) Calcule a integral do item anterior. = (2xz 3 + 6y) 26. Provar que F i + (6x 2yz) j + (3x2 z 2 prov´em de um potencial. isto ´e, F
−
− y ) k ´e um campo conservativo, 2
F.dr em que γ ´e um caminho entre (1,-1,1) e (2,1,-1). independe do caminho determinando uma fun¸ca˜o potencial f para 28. Mostre que F 27. Calcular
F :
γ
γ
y) = (3x2 y + 2) (a) F (x, i + (x3 + 4y3 ) j y) = (2xsin y + 4ez ) (b) F (x, i + (x2 cos y + 2) j y) = (2y3 sin x) (c) F (x, i + (6y2 cos x + 5) j
4
29. Comprovar o Teorema de Green nos casos abaixo, isto ´e, verifique que
P dx + Qdy =
γ
k
∂Q ∂x
−
∂P ∂y
(a) γ (2xy x2 )dx + (x + y2 )dy sendo γ a curva fechada do dom´ınio limitado entre y = x2 = x. = xy D ´e o retˆangulo 1 x 2, 0 y 3. (b) F i 2xy j, = ex sin y D ´e 0 y π/2 (c) F i + ex cos y j, = ( 2 x2 y) D ´e o triˆangulo de v´ertices (0,0),(1,0),(1,1). (d) F i + x2 y2 j, 3
−
−
≤ ≤ ≤ ≤
−
≤ ≤
30. Usando o Teorema de Green, calcule: (a) ex sin ydx + ex cos ydy sobre o retˆangulo de v´ertices: (0, 0), (1, 0), (1, π/2) e (0, π/2) (b) γ 2x2 y 3 dx + 3xydy em que γ ´e o c´ırculo x2 + y2 = 1.
31. Usando integral de linha, calcule a ´area da regi˜ao delimitada pelas curvas y = x + 2 e y = x2 . 32. Usando integral de linha, calcule a ´area da regi˜ao no primeiro quadrante delimitada pelas curvas 4y = x, y = 4x e xy = 4.
xdx + ydy
, em que C ´e o arco de par´abola y = x2 1, 1 2 + y2 x C seguido pelo segmento de (2,3) a (-1,0). Aplicar o Teorema de Green).
33. Calcule
− − ≤ x ≤ 2,
34. Calcule 2
2
(x + y )ds, em que γ (t) = (t, t), −1 ≤ t ≤ 1. (2xy + y )ds, em que γ (t) = (t + 1, t − 1), 0 ≤ t ≤ 1. xyzds, em que γ (t) = (cos t, sin t, t), 0 ≤ t ≤ 2π. (x + y + z)ds, em que γ (t) = (t, 2t, 3t), 0 ≤ t ≤ 1. F .T ds, em que T ´e o vetor unit´ario tangente `a curva C , nos seguintes 35. Calcule (a) (b) (c) (d)
γ
2
γ
γ
γ
C
casos: = xy (a) F i y j + k, C ´e o segmento de reta de (0,0,0) a (1,1,1). = x (b) F i y j + z k, C ´e dada por x = cos θ, y = sin θ, z = πθ , 0
− −
≤ θ ≤ 2π.
1 (x i + y j + z k) ´e o gradiente de alguma fun¸ca˜o 2 2 2 + + x y z escalar no paralelep´ıpedo 1 x 2, 1 y 3, 2 z 4.
= 36. Verifique se o campo F
≤ ≤
≤ ≤
5
≤ ≤
