116
Unidad 6 : ELEMENTOS DE CÁLCULO VECTORIAL Tema 6.4 : Teorema de Green (Estudiar la Sección 16.4 en el Stewart 5ª Edición,; Hacer la Tarea No. 26)
Teorema de Green: Sea C una
C
curva cerrada simple, orientada positivamente, y sea R la región limitada por C, entonces:
∫
Pdx + Qdy =
C
∫∫
R
R
∂Q ∂P dA − ∂ ∂ x y
Ejemplo 1: Evalúe la integral de línea
∫ (3 y − e )dx + (7 x + senx
C
2
2
de la curva C : x + y = 9 Solución:
∫
(3 y − e )dx + (7 x + senx
C
14 4 244 3
P
Q
∫∫
(7 − 3)dA = 4
R
=4
)
4
y + 1 dy =
1 4 24 3
∫∫
2π
dA = 4
∫
2π 0
3
r 2 36 2 d θ = 2 0
∫ ∫ r dr d
θ
0
R
3
2π
∫ d
0
2π
[ ]
θ = 18 θ
0
Ejemplo 2: Evalúe la integral
∫ ( y
2
− tan
−1
x )dx + (3 x + seny )dy ,
C
en donde C es la frontera de la región limitada por la parábola 2 y = x , y la recta y = 4
= 36π 0
)
4 y + 1 dy a lo largo
117
Solución:
∫ ( y
2
− tan
−1
x )dx + (3 x + seny )dy =
=
∫
∫ ∫ −2
C
2
2
4
[3 y − y ] 2
−2
dx = x
∫
2
64
=
= −8−8+
− 160 + 64
5
[(12 − 16) − (3 x
x
2
2
(3 − 2 y )dydx =
− x
4
)]dx =
−2
2
5 x 3 = − 4 x − x + 5 −2
= −32 +
2
4
=
5
32
5
− 96
5
Para la próxima clase estudiar las secciones 16.4 Teorema de Green
Tarea para entregar la próxima clase Tarea No. 26 Teorema de Green
− 8+8−
32 5
=
118
∫
Demostración del Teorema de Green
Pdx + Qdy =
∫∫
C
∫
Pdx = −
C
y
∫∫
∂P ∂ y
R
∫
dA
R
a
∫∫
∂ y
b
∫∫ a
R b
=
∫ ∫[ ( ∫( ∫( ∫ ( ∫
g 2 ( x )
∂P ∂ y
g1 ( x )
=
∫∫
dy dx
=−
=−
=
dA =
∫∫ c
∂Q ∂ x
h1 ( y )
dx dy
[Q( x, y )] x x == hh (( y y))dy 2
1
d
=
Q h2 y , y − Q h1 y , y dy
c
b
∫ ( ( )) ( )) ∫ ( ( )) ( )) ∫ ( ( )) ∫ ∫
P x, g1 x dx
a
d
=
a
P x, g1 x dx −
P x, g 2 x dx
a
b
a
=
P x, g 2 x dx
a
b
Pdx +
Pdx = − P dx
C 2
d
Q h2 y , y dy −
Q h1 y , y dy
c
c
d
P x, g1 x dx +
C1
h2 ( y )
d
∫ ∫ [ ( ( ) ) ( ( ) )] ∫ ( () ) ∫ (() ) ∫ ( () ) ∫ (() ) ( ( ) ∫ ( ( ) ) ∫ ∫ ∫ ∫ c
P x, g 2 ( x )) dx −
=−
∂ x d
y = g 2 ( x ) y = g1 ( x ) dx
a
b
∂Q
R
P x, g 2 ( x )) − P( x, g1 ( x ))] dx
b
C1 : x=h1(y)
x
a
b
R
x
b
=
dA
c
[P( x, y )]
a
∂ x
C2 : x=h2(y)
C1 : y=g1(x)
dA =
∫∫
∂Q
y d
b
Qdy =
C
C2 : y=g2(x)
∂P
∂Q ∂P ∂ x − ∂ y dA
=+
c
Q h2 y , y dy +
Q h1 y , y dy
c
d
c
d
Q h1 y , y dy +
Q h2 y , y ) dy
d
c
=+
Qdy +
C1
Qdy =
C 2
Q dy
119
Ma-817 : Matemáticas III para Ingeniería Unidad 5: Campos Vectoriales e Integrales de Línea Trayectorias Abiertas
Trayectorias Cerradas
Sección 16:2 Integrales de Línea
Sección 16.4 Teorema de Green
El Campo
∫
no es Conservativo
b r
F ( x, y ) ⋅ d r = r
a
∫
b
∫
Pdx + Qdy a
La evaluación de la integral requiere de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria
r
F ( x. y ) ⋅ d r = r
∫∫
∂Q ∂P ∂ x − ∂ y dA
La evaluación de la integral requiere de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria
Sección 16:3 Teorema Fundamental de las Integrales de Línea El Campo si es
∫
b r
F ( x, y ) ⋅ d r = r
a
∫
b
∇ f ( x, y ) ⋅ d r = r
a
∫
b
df = f (b) − f ( a) a
Conservativo El valor de la integral es independiente de la trayectoria
∫
r
F ( x, y ) ⋅ d r = 0 r
120
Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA Tarea No 26 : Teorema de Green (Sección 16.4 del Stewart 5ª Edición)
En los problemas 1 al 5 utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva dada, positivamente orientada. P1:
∫
Evalúe
e y dx + 2 xe y dy , en donde C es el cuadrado con
C
R1 : e − 1
lados x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 P2 Evalúe
∫ ( y + e )dx + (2 x + cos y )dy , en donde C es la x
2
C
R 2 :
frontera de la región limitada por las parábolas
y = x P3:
2
; x = y
Evalúe
∫
1 3
2
y 3 dx − x 3 dy en donde C es el círculo R3 :
C
− 24π
x 2 + y 2 = 4 P4 : :
Evalúe
∫
xydx + 2 x 2 dy en donde C está formada por el
C
R 4 : 0
segmento de recta de (− 2,0) a (2,0) y la mitad superior del 2
2
círculo x + y = 4 P5:
Evalúe
∫
r
r
F .d r , en donde
C
F ( x, y ) = ( y 2 − x 2 y )iˆ + xy 2 ˆj , y C está formada por el r
círculo x + y = 4 de (2,0 ) a 2
de recta de
2
(
(
)
R5 :
π +
2 , 2 y los segmentos
16 1
− 1 3 2
)
2 , 2 a (0,0 ) y de (0,0) a (2,0)
Use el Teorema de Green para calcular el trabajo r 2 realizado por la fuerza F ( x, y ) = x( x + y )iˆ + xy ˆj al mover P6:
una partícula desde el origen, a lo largo del eje x hasta (1,0) , luego a lo largo del segmento de recta hasta (0,1) , y finalmente de regreso al origen, a lo largo del eje y.
R6 :
−
1 12
