64
CAPÍTULO IV TEOREMA DE BERNOULLI Y APLICACIONES DEL BALANCE DE ENERGÍA AL FLUJO DE FLUIDOS 4.1. Relaciones entre la Energía y la Ecuación de Bernoulli La energía total de un fluido en movimiento consiste de las siguientes formas: Energía Interna, Energía Potencial, Energía de Presión y Energía Cinética. Cada uno de estos términos de energía debe ser co nsiderado con respecto a un nivel arbitrario. También es apropiado efectuar los cálculos en base a l a unidad de masa del fluido.
− Energía Interna.- Esta energía está asociada al estado f ísico del fluido; por ejemplo, la energía de los átom os y moléculas como consecuencia consecuencia de su movimiento y configuración. configuración. La energía interna es una función de la temperatura. Se le representa representa por por U y y representa la energía en referencia por unidad de masa del fluido.
− Energía Potencial.- Esta es la energía que posee el fluido como consecuencia de su posición en el campo gravitacional de la tierra. El trabajo requerido para para levantar la masa de fluido a la altura altura “z ” por encima del nivel base seleccionado anteriormente es zg , en donde “g ” es la aceleración aceleración de la gravedad. gravedad. Este trabajo es es igual a la energía potencial de la unidad de masa de fluido por encima del nivel base.
− Energía de Presión.- Esta es la energía o el trabajo requerido para introducir al fluido dentro del sistema sin un cambio de volumen. volumen. Si “P ” es la presión y “ V ” es el volumen de la masa “m ” de un fluido, entonces PV/m es la energía de presión por unidad de masa de fluido. La relación m /V es la densidad “ ” del fluido. Por lo tanto, la energía de presión por unidad de masa de fluido está representada por P/ .
− Energía Cinética.- Es la energía del fluido en movimiento. La energía cinética de la unidad de masa del fluido 2
/2 , en donde “v ” es la velocidad del fluido relativa a un cuerpo fijo. es v
Energía Total.- La energía “E ” por unidad de masa de fluido estará dada por la ecuación: 2
E = U + zg +P/ + + v /2
(4-1) 1
En donde cada término tiene las dimensiones de fuerza por longitud sobre unidad de masa .
! #$%&' ()*+ ,-./0 " = (
)(
)=
Considerando a la unidad de masa de un fluido fluyendo del punto (1) (1) al punto (2). Entre estos dos puntos se introduce una determinada cantidad de energía calorífica q , como se observa en la figura:
Fig. 4.1. Balance de Energía de un fluido en movimiento. Consideremos también que se efectúa un trabajo W 1 sobre el fluido y que el fluido produce a su vez una cantidad de trabajo W 2 sobre sus alrededores. alrededores. Entonces podemos escribir el el balance de energía para una unidad de de masa de fluido de la siguiente manera:
1
E 1 + !W 1 + !q = E 2 2 + !W 2 2 , o como E 2 2 " E 1 = !q + !W 1 " !W 2 2 :
(4-2)
Un fluido en movimiento efectúa trabajo para vencer las fuerzas viscosas de fri cción de tal forma que en la práctica el término W 2 es siempre positivo y es igual a cero sólo en el caso teórico de que el fluido sea ideal, es decir, con viscosidad igual a cero. El trabajo W 1 puede ser efectuado por una bomba, blower, etc. situado entre los puntos 1 (1) y (2).
1
2
2 -2
W = (F*L)/M (Trabajo por unidad de masa); p. ej.: z*g = L* L/T = L T .
65 Si la temperatura del fluido en movimiento permanece constante (proceso isotérmico), la energía interna no cambia. Si el sistema no recibe energía calorífica, q = 0 . Para estas condiciones las ecuaciones (4-1) y (4-2) se combinan para obtener: E 2 – E 1 = !W 1 - !W 2
2345 8679 :;<=> ?@AB CEDF GHI J 1 K > 1 MNOP SQRT UVWX > YZ[\ ]_^` abc d +
+
+
2
+
=
2
W
L
W
(4
>
3)
(4
>
4)
>
5)
Para un fluido ideal en el que no se introduce trabajo (como el de bombeo por ejemplo), se tiene:
+
+
+
2
+
2
= 0
La ecuación (4-4) se le conoce con el nombre de “Ecuación de Bernoulli”. En la ecuación (4-3) podemos dividir ambos miembros por g:
efg jhkil mnpoq> rst wuxvy z{}| ~ 1 • > 1 +
+
+
2
+
=
2
W
!
W g
(4 2
En donde cada término tiene dimensiones de longitud, L . En la ecuación (4-5) los términos z , P/ g y v /2g se les conoce también con el nombre de cargas o alturas de potencial, de presión y de velocidad, respectivamente. En el componente energía de presión para convertir las unidades de masa de la densidad a unidades de fuerza, podemos dividir por g c y se obtendrá:
"#$% &'( 123 45 HIJ KL UVW
)
En estos términos, siendo:
678 9: MNO XY ]^_a > bcd Z[\ `
= =
+
*+,./0 (
,
+
2
=
;<=>?@ABC DEFG PQRST ef jkln o > pq rstuvw xyz{|}~•!"# $%&'()*+,-. ghi m í
+
+
)
=
2
(
ó
)
(4
>
6)
En donde Pe es el peso específico y H la carga impartida por la bomba sobre el fluido, h f es la pérdida de carga debido a la fricción. El término H , se le conoce también como l a carga total de la bomba. La ecuación (4-6) es un balance de energía escrita por conveniencia en términos de longitud. Los diversos tipos de energía son intercambiables y la ecuación está capacitada para el cálculo de estos cambios en un sistema dado. La ecuación de Bernoulli (4-4) y la ecuación modificada de Bernoulli (4-6) sólo son aplicables para el caso en que el flujo se conduzca por una “vena de flujo” o “vena de tubo” (Un tubo imaginario dentro del mismo fluido cuyas paredes son el mismo fluido). Para flujo constante en una tubería o conducción, la ecuación (4-6) deberá ser escrita de la siguiente forma:
/01 45236 7:;89<= > >?@ CDABE FIJGHKL +
+
2
+
+
2
=
M > pN
(4
>
7)
En donde v , es la velocidad media lineal en la tubería y es un factor de corrección adimensional cuyo valor depende de la distribución de velocidades a trav és del tubo. Para un tubo de sección circular, tiene un valor de ½ para flujo laminar y es aproximadamente igual a 1 para flujo turbulento.
4.2. Aplicaciones de la Ecuación de Bernoulli. 4.2.1. Bombeo de Líquidos. Las bombas son mecanismos que suministran energía o carga a un líquido que fluye para que pueda vencer la pérdida de carga o altura debido a la fricción, y también, si es necesario para elevar a un líquido a un nivel más alto, o para elevar su nivel de descarga. La carga o altura impartida a un líquido por una bomba se conoce con el nombre de Carga Total “H ” (total head en inglés). Si una bomba es colocada entre los puntos (1) y (2) de una tubería para flujo constante, las diferentes cargas están relacionadas por la ecuación (4-7), en donde z, P/Pe ,
66 v /2g son: la carga estática (potencial), la carga de presión y la carga de velocidad, respectivamente, y h f como se sabe es la pérdida de carga debido a la fricción. 2
4.2.1.1. Cargas del Sistema. Las cargas más importantes a considerar en un sistema de bombeo, son:
− − −
La carga de succión, La carga de descarga; y 2 La carga neta de succión positiva.
Las siguientes definiciones están dadas en referencia al sistema típico de bombeo o mostrado en la figura (4-2), en donde se ha seleccionado como línea de referencia a la que pasa por el eje de succión de la bomba:
4.2.1.1.1. Carga de Succión, h s :
PQ TURS YVWZX [ > p\] 4.2.1.1.2. Carga de Descarga, : p^ _` cdab hefZg i pjk pO
= ±
+
+
2
(4
>
8)
(4
>
9)
h d
=
+
+
2
+
Fig. 4-2. Sistema Típico de Bombeo En la ecuación (4-8), h fs , es la pérdida de carga debida a la fricción; z ; es la carga estática y P s , es la presión del gas (o vapor) por encima del líquido contenido en el tanque. Todos estos términos están referidos al sistema de tuberías de la succión de la bomba, (indicados con el subíndice “s”). Si el nivel de líquido se encuentra por debajo de la línea de referencia que pasa por el eje de succión de la bomba, z s es negativo. En la ecuación (4-9), h f d es la pérdida de carga debido a la fricción, z d es la carga estática y P d es la presión del gas o vapor por encima del nivel del líquido contenido en el tanque. Todos estos términos están referidos al sistema de descarga de la bomba, (indicados con el subíndice “d ”). 2
NPSH, Net Positive Succión Head, que se analizará más adelante.
67
4.2.1.1.3. Carga Total en un sistema de Bombeo. Sistema en proyecto La carga total H que la bomba requiere para mover al fluido es la diferencia entre las cargas correspondientes a la descarga y la de succión. H = h d
(4-10)
h s
La ecuación (4-10) es la diferencia de las ecuaciones (4-8) y (4-9); sustituyendo:
l mn > op
(± ) +
=
Siendo que z d + z s = z Es t :
" = #$%& +
('(
(
>)
qr > st uv
*)
+,
+
)
1 2-
w Z xy z > {|} p~• p 1
+
Z
(
2
(./ 0
) +
>1
2
3 ) +
+
!
(4
>
11)
p p 45
+
67
En donde las pérdidas de carga o altura por fricción están dadas por las siguientes ecuaciones:
=>? @ ABC (DEF )G MNO @ PQR = 21.74 IJKL (STU )V
18 1H p 1Z[X
9:;< = 21.74
(4 (4
> >
12) 13)
Y
W =
En las ecuaciones anteriores L es y L ed son las longitudes totales (longitud propia + longitud equivalente) tanto en el sistema de tuberías de la succión como de la descarga, y d is y d id los diámetros interiores de las tuberías de succión y descarga respectivamente.
Sistema de Operación. La carga total de un sistema real puede calcularse de acuerdo a las lecturas manométricas (en las bridas de 3 succión y descarga de la bomba, a la distancia “Y ”)* entre los centros de los manómetros de succión y descarga y de acuerdo a las v elocidades promedio del flujo tanto en la tubería de succión como de la descarga; (Figura 4-2). La ecuación para efectuar este cálculo es:
\ =
( ]^
>_
`)
ab
+ c +
( de f
>g
h
2j
i)
,
p
k
l 0
(4
>
14)
4.2.1.1.4. Carga Neta de Succión Positiva (CNSP ó NPSH ) La operación óptima de una bomba centrífuga es imposible si se produce la cavitación. La cavitación, erosión producida en la turbina de la bomba y en la carcasa de la misma por pequeñas burbujas de vapor que giran junto con el fluido a una alta velocidad dentro del cuerpo interno de la bomba. La cavitación se debe a la formación de vapor en las inmediaciones de la succión de la bomba y esto como consecuencia de que en esta región se produce un considerable descenso de la presión que en magnitud es inferior a la presión de vapor o presión de saturación P va p correspondiente a la temperatura del líquido en ese instante. La cavitación no sólo se manifiesta en la erosión de turbina y carcasa de la bomba centrífuga, sino también en una considerable disminución de la capacidad de la bomba (por la formación de vapor); esto es, no sólo acorta su período de vida sino también su capacidad. El punto de presión mínima, como se indicó anteriormente se produce en las inmediaciones de la turbina o impulsor de la bomba, cerca de los bordes de los álabes. En la figura (4-3 ) la caída de presión que se produce entre la brida de succión de l a bomba y este punto. Para prevenir la formación de vapor en la región indicada, la presión absoluta en la brida de succión de la bomba deberá ser siempre mayor que la presión de saturación del líquido bombeado, por lo menos en una cantidad c, llamada la carga neta de succión mínima o requerida.
3
*
Siempre que el eje del manómetro P 2 esté nivelado con la tobera de descarga.
68 La carga neta de succión positiva se le define como la carga o altura que obliga al líquido a fluir a través de la tubería de succión de la bomba para finalmente ingresar al impulsor. Hay dos valores de la carga neta a considerar: La Carga Neta de Succión Positiva Requerida (Net Positive Suction Head Required ) NPSH R , que es una función del diseño interno de la bomba y que varía dentro de una misma bomba con respecto a su capacidad y velocidad de operación. El fabricante proporciona estos valores para cada bomba específica. La Carga Neta de Succión Positiva Disponible, NPSH D , que es una función del sistema de tuberías de la succión en el que opera la bomba. Este valor se evalúa para cada instalación. Para que una bomba pueda trabajar en condiciones óptimas, la NPSH debe ser igual o mayor a la NPSH en las D R condiciones de operación.
Fig. 4-3. Distribución de la Presión en una Bomba Centrífuga. Cálculo de la NPSH Disponible. Con referencia a la fig. (4-2), para un sistema en proyecto:
mnopq =
1
rs
(tu + vw
> xy
) + z± {|
>p • }~
(4
>
15)
>
16)
Para un sistema existente:
!"#$
=
/0 + )* > +,) + -. + '( 22 %& 1
(
1
(4
En estas fórmulas, además de la simbología ya adoptada, se tiene la siguiente:
− Pa , es la presión atmosférica − Ps , es la presión m anométrica − Pv , es la presión de v apor del líquido transportado a la temperatura de operación − P 1 , es la presión indicada por el manómetro de succión − Y 1 , es la altura entre el manómetro de succión (eje de la aguja indicadora) y la línea de referencia que pasa por
−
el eje de succión de la bomba. (es una distancia negativa si el manómetro se encuentra por debajo de la línea de referencia, y positiva, sí el manómetro se encuentra por encima). Pe , es el peso específico del líquido.
69 La carga neta de succión positiva disponible, NPSH d , tiene unidades de metros de fluido si las diversas presiones 2 3 se expresan en Kg/cm , las diversas distancias en metros y el peso específico en Kg/m siempre que el término 4 encerrado dentro paréntesis (suma de presiones) sea multiplicado por el factor 10 .
4.2.1.2. Cálculo de la Potencia requerida para el Bombeo. La ecuación básica es:
9 345 = 6671208 :; O también:
B <=> = 4?@560A CD En la que:
− − − − −
P KW , es la potencia requerida en Kw P HP , es la potencia requerida en HP H , es la carga total del sistema de bombeo Ef , es un factor de eficiencia = Eficiencia en % / 100 3 Q , es el flujo volumétrico en m /min.
A partir de las fórmulas anteriores se puede calcular la eficiencia. El cálculo de la potencia, y de la eficiencia se realiza en forma práctica con ayuda de los cuadros de performance suministrados por los fabricantes.
Problema Nº 1 Se dispone de 9 rociadores de agua como se aprecia en la figura adjunta. La presión del agua en el punto “ A ” 2 (manómetro) es 2 Kg/cm manométrico. La cantidad de agua por rociador es de 20 galones/min. Calcular la potencia requerida por la bomba y la NPSH disponible. La temperatura del agua es 18ºC y la instalación se 2 encuentra en un lugar en el que la presión atmosférica es 420 mm de Hg. (0.57 Kg/cm ). La eficiencia de la bomba es 70%, la tubería es de 3” diámetro nominal, catálogo Nº 40 y es de acero comercial nueva.
Solución: 1. Cálculo del flujo por el sistema de tuberías: Q = 9 rociadores x 20 Gal/min = 180 Gal/min 3
3
Q =. 180 Gal/min x 0.003785 m /Gal = 0.683 m /min. 2. Velocidad del fluido: d i = 3.068 pulg
70
E = 32.89 GFH I = 32.89 0.683 = 2.38 J.L K . 9.413
(el sistema no está diseñado para mantener una velocidad práctica, seguramente porque las longitudes de tubería son muy cortas). 3. Número de Reynolds:
MN =
835.7
WX =
835.7
OPQR S TU V
1000 = Y 0.683 Z 3.068 1
[
1.86 10\
4. Factor de Fricción. 5
Para Re = 1.86 x 10
] = _.`abc ^ d.efg
y
= 0.00059
En el diagrama de Moody se encuentra, f = 0.0195. 5. Pérdida de carga (altura) en 100 m. de tubería:
1hijk 1rstu
p~•
6.
lmno pq = 21.74 v 0.0195 w = 21.74
!"
1
=
#$%& '(
(0.683)x (1000) = 0.727 271.8
L 2 345 67L8
).*+, -. /01
=
9
yzL{|}
L
: 10 000 ;<= >? = 7.27 @.
7. Longitud total para efectos de evaluar hf Succión: -
Longitud propia: 0.50 + 1.50 + 2.00
-
Longitud equivalente:
= 4.0 m.
A Una válvula de compuerta (T.A.)
= 1.1 m.
A Un codo de 90º de radio largo
= 1.5 m.
A Una entrada (forma de corneta)
= 1.2 m.
Longitud Total en Succión
7.8 m.
Descarga (hasta el manómetro): -
Longitud propia
=
-
Longitud equivalente: A Una válvula de globo (T.A.) 60º
Longitud Total
2.5 m.
= 13.7 m.
16.2 m.
8. Cálculo de h f En succión:
p
BC
En descarga:
=
p
DEFG
H IJ
100
=
7.27 K 7.8 = 0.57 L. MN OPQRST 100
71
p
=
UV
WXYZ[ \ ]^
=
_`a
b.cd e fg.h ijk
= 1.18 l. mn opqrst.
9. Cálculo de la carga total H (aplicación del teorema de Bernoulli entre A y B )
p
= ± vw +
u
p > # =
xy z{
+
|} ~
Z >p
!"
2•
$$5 (0.57 + 0) $4 0 % 10& + 1.5 + 1000 2 ' 9.8
> 0.57 =
3.63 (. )* +,-./0.
h d como el eje del manómetro que registra P 2 no está nivelado con la tobera de descarga de la bomba, procedemos a corregir esta presión (referida al punto “B ” con la expresión):
12 = 34 ±
56 78
(Y es “positiva” si el manómetro está por encima de la tubería y es
10 000
“negativa“ si está por debajo).
1000 ; 0.5 10 000
9: = 2 +
L
= 2.05 <= >? @
Luego:
p p
A
O
DE HI J = BC + + + 2K L FG
Z
= 0
p
MN
(2.05 + 0.57) P 10Q (2.38)R + + 1.18 = 27.67 T. 1 000 2 S 9.80
$6 +
Luego, H = h d
h s
H = 27.67
>
3.63 = 24.04 m. de líquido.
10. Cálculo de la potencia de la bomba:
XY Z [ 4 560 \] 1 000 ` 0.683 a 24.04 = 5.14 ^_ = 4 560 b 0.7 fg h i cde = 6.120 jk 1 000 n 0.683 o 24.04 lm = = 3.83 6 120 p 0.7
UVW =
11. Cálculo de la NPSH disponible. De la ecuación:
qrstu =
$%&'(
=
1
vw
(xy + z{
>
> |}) + ~± • > p!"#
(0.57+0 0.022) 1000
) 10* +
> >
( 1.50
+ ,- ./01.
0.57) = 3.41 .
En consecuencia, se deberá seleccionar una bomba con una capacidad de 180 galones por minuto, con una altura o carga total de 25 m. de columna de agua, deberá tener a la capacidad de operación una NPSH R de por lo menos 3.50 m. de agua; y tendrá un motor de 7.5 HP , y se estima un consumo de energía eléctrica de 3.83 Kw , por hora de funcionamiento.
4
* la presión P deberá ser absoluta. 5 ** La velocidad de ascenso (en este caso) o de descenso del nivel de líquido en la descarga (cuando la superficie libre del líquido es grande). 6 . * el punto “B ” está contenido en la línea de referencia, por este motivo z d = 0
72
Problema Nº 2. Calcule la carga total y la potencia en HP (El conjunto bomba-motor tiene una eficiencia de 40%) requeridos por una bomba centrífuga instalada en un tanque de lixiviación. Además calcule la carga neta de succión positiva, NPHS d , del sistema.
Datos: -
Tubería de plástico de 2” (diámetro interior: 2.03 pulg.) Flujo: 80 galones por minuto. 2 Pérdida de presión en el lecho de sólidos: 0.6 Kg/cm . 2 Pérdida de presión en el rotatómetro (medidor de flujo): 0.01 Kg/cm . 3 Densidad de la solución lixiviante: 1 058 Kg/m . Viscosidad de la solución lixiviante: 15 centipoises. 2 Presión de vapor de la solución lixiviante a la temperatura de operación P v = 0.0752 Kg/cm . 2 Presión atmosférica: 576 mm de Hg: 0.785 Kg/cm .
Nota.- La pérdida de presión en las válvulas de diafragma puede asumirse igual a la presentada por válvulas de compuerta. El nivel de solución lixiviante en el tanque está por encima de los 0.30 m. con respecto a la tubería de descarga que ingresa al tanque (ver Figura.)
Solución: 3
3
1. Cálculo del flujo: 80 GPM x 0.003785 m /Gal. = 0.3028 m /min. 2. Cálculo de la velocidad:
2 =
32.89
3 = 45
32.89
0.3028 = 2.42 (2.03)6
7L89:.
3. Cálculo del número de Reynolds:
;< =
835.7
=>?@ A BC D
EF =
835.7
G 0.3028 H 2.03
1 058 = 8 792.3 15
4. Rugosidad relativa: la correspondiente a tuberías lisas. 5. Cálculo del factor de fricción: En el diagrama de Moody para /d = tuberías lisas y para Re = 8792.3, se encuentra un factor de fricción de, f = 0.032.
73 6. Cálculo de la pérdida de carga en 100 m. de tubería.
1IJKL = 21.74 MNQORP = 21.74 S TUV W XcYZ[\de f] ^ _ `ab = 1.958 gh/ ijk p 1 1.958 vwLxyz qrs plmno = tu = 1 058 {|L}~ • 10 000 !"L#$ = 18.5 %.&' (í )*+,.
( .
)
( .
)
7. Longitud total para efectos de evaluar hf Succión: -
Longitud propia Una válvula de diafragma *(T.A.) Una salida B.C.
= 2.50 m. + = 0.70 m. = 1.40 m.
Longitud Total en Succión
4.60 m.
Descarga: -
Longitud propia: 3 + 2.50 Tres válvulas de diafragma Dos tees, flujo derecho Una salida B.C. Un codo de 90º Radio largo
= = = = =
Longitud Total en Descarga
5.50 m. + 2.10 m. 2.20 m. 2.70 m. 1.10 m.
13.60 m.
8. Cálculo de h f En tubería de succión:
p./
=
0 1 23456 7 4.60 89: ;<=>?í @
18.50 . í 100 .
En el lecho de sólidos:
pBC
=
1DE FG
=
HILJKL Q R100 STVW = 1U MNLOP
0.6 = 1 058
A
0.85 .
X
5.67 .
______________________________________________________________________ Total hfs = 6.52 m. ______________________________________________________________________ En tuberías de descarga:
pYZ
=
[ \ ]^_`a b 13.60 c defghí i
18.50 . í 100 .
=
j
2.52 .
En el rotatómetro:
pkl
=
1mn op
qrLstu z {100 |}• = 1~ vwLxy
0.01 = 1 058
0.09 !.
______________________________________________________________________
Total hfd = 2.61 m. ______________________________________________________________________ 9. Cálculo de la Carga Total H (Se aplica el teorema de Bernoulli con respecto al nivel de l a solución lixiviante)
p
%&
)* +
Z >p
+ " = ± #$ + ./ '( 2, (0.785 + 0) 0 1 102 + 0 = + 3.30+ 1 058 2 3 9.80
p
>
6.52 = 4.20 4. 56 7í 89:;<.
74
p p
@A DE + BC 2G
Z
>? +
=
=
K
= + 3.30+
+ H
p
IJ
(0.785 + 0) 0 + 2.61 = 13.33 O. PQ Rí STUVW. L 10M + 1 058 2 N 9.80
Luego, como: H = h d H = 13.33
F
>
h s
4.20 = 9.13 m. de líquido.
10. Cálculo de la Potencia de la Bomba (Motor):
efg =
[\ ] ^ _.`ab cd
XYZ =
1 058 h 0.3028 i 9.13 = 1.60 4 560 j 0.4
11. Cálculo de la NPSH d :
klmno = ~•!"# =
1
pq
(rs + tu
>
> vw) + x± y > p z
(0.785 + 0 0.075) $ 10% + (3.30 1 058
{| }
>
6.52) = 3.49 &. '( )í *+,-..
