Existen dos formas para determinar un conjunto: por extensión y por comprensión. 1. POR EXTENSIÓN. Un conjunto se determina cuando se indican uno por uno los elementos del conjunto. Así tenemos:
HABILIDADES LÓGICO MATEMÁTICAS DOCENTE : Mg. MIRTHA MENDOZA SÁNCEZ
Tema 05: CONJUNTOS
Ejemplo. Sean los conjuntos: R = {este, oeste, norte, sur } S = { a, e, i, o , u } T = {1; 3; 5; 7; 9; ...}
NOCIÓN DE CONJUNTO
Por conjunto entendemos como: una colección, agrupación de objetos denominados elementos del conjunto, los cuales (los elementos), pueden ser de naturaleza real o material (carpetas, libros, alumnos, etc.) y abstracta o inmaterial (puntos, rectas, ideas, etc.). Así tenemos los ejemplos siguientes:
2. POR COMPRENSIÓN. Un conjunto se determina por comprensión cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Así tenemos: Ejemplo Considerando el conjunto:A = {x / x es P } Se lee: El conjunto de todos los elementos x, tales que x es P (P es la propiedad)
Ejemplo 1. “La colección de estudiantes de tu grupo”. Cada elemento es un estudiante. Ejemplo 2. “La colección de estados de la materia”. Sus elementos son: sólido, líquido, gaseoso.
NOTACIÓN DE UN CONJUNTO
Sea le conjunto V = { x Z / x = a +2 a < 5 }
Solución: Para determinar los elementos de V, analizamos las condiciones que presenta: Como a es menor que 5; toma los siguientes valores: 0; 1; 2; 3; 4 Para hallar los valores de x, reemplazamos los valores de a en x = a +2; así:
Para representar un conjunto se ha convenido emplear llaves { }, dentro de las cuales se nombran los elementos del conjunto, unos a continuación de otros. Dichos elementos, se denotan por letras minúsculas, gráficas, nombres, números, que van separados por comas y punto y coma (;). Finalmente para dar nombre al conjunto e identificarlo fácilmente se emplea o denota por letras mayúsculas. Así tenemos:
Valores
Ejemplo 1. Sea el conjunto: A = {Teresa, Nelly, Carmen, Adelina} Se lee: “A es el conjunto cuyos elementos son: Teresa, Nelly, Carmen, Adelina”.
Si a = 0 Si a = 1 Si a = 2 Si a = 3 Si a = 4
Ejemplo 2. Sea el conjunto: B = {2; 4; 6; 8} Se lee: “B es el conjunto cuyos elementos son: 2; 4; 6; 8”
x=a+2 x=0+2=2 x=1+2=3 x=2+2=4 x=3+2=5 x=4+2=6
Por lo tanto, el conjunto V está conformado de la siguiente manera: V = { 2; 3; 4; 5; 6 }
RELACION DE PERTENENCIA
Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto, se escribe el símbolo y en caso contrario se escribe el símbolo. Así tenemos: ”……pertenece a….”: ”….no pertenece a….”: Ejemplo: } }} 2C 8C {1;2}C 5C
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS Los conjuntos se representan gráficamente, haciendo uso de regiones planas, cerradas que tienen diferentes formas: ovaladas, triangulares, rectangulares, circulares, dentro de las cuales se ubican los elementos que le pertenecen al conjunto, y fuera, los elementos que no le pertenecen. A esta representación gráfica de los conjuntos se llama diagramas de Venn, en honor al matemático John Venn, quien sistematizó su empleó.
NUMERO CARDINAL Se denomina número cardinal al último elemento, después de contar los elementos del conjunto, es decir, se refiere al número de elementos del conjunto. Notación | | : Número de elementos diferentes } Aplicación: Halle el cardinal de: } Rpta: 13
Ejemplo 1. Representa gráficamente los siguientes conjuntos: U = {2; 3; 5; 7; 9} A = {2; 5; 7; 9}
U
2
A
7
5 9
3
Se lee: “A es el conjunto cuyos elementos son: 2; 5; 7; 9. Además observamos: 2A ; 5A 7A ; 3A
NUMERO ORDINAL
Se llama número ordinal, al número natural que corresponde a cada elemento del conjunto. Notación Ord(x): número ordinal de x } Ord(a)=2 Ord( )=3
Ejemplo 2. Gráficamente representa los siguientes conjuntos:
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Determinar un conjunto, es indicar o señalar en forma clara y precisa, cuáles son los elementos que forman dichos conjuntos.
A = { 1; 3; 5; 6; 8; 10 } B = {7; 5; 3; 9; 10 } 1
C = {9; 8; 5; 3; 11 }
B = { x / x es una vocal } B
1
A
10 3
6
2. Conjuntos Iguales. Dos conjuntos son iguales si sus elementos son los mismos. Ejemplos: M = { 1; 3; 5; 7 } N = { 2x – 1 / x Z ,1 x < 5}
7
5
8
9 11
C
M y N son dos conjuntos iguales. 1 A 7 B 11 C
10 A B 9 BC 8 AC
7 A 8B 1C
3. Conjuntos Diferentes. Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no tiene el otro. Ejemplos: A = { 3; 4; 5 } B = {3; 4; 5; 6 }
CLASES DE CONJUNTOS Entre las principales clases o tipos de conjuntos, de acuerdo al número de elementos, se pueden considerar los: conjuntos finitos y conjuntos infinitos.
6 es elemento del conjunto B, pero no es elemento A A B. 4. Conjunto Equivalente. Dos conjuntos son equivalentes o equipotentes( <>), si tienen el mismo número de elementos o el mismo cardinal. Ejemplos:
1. Conjunto Finito. Es el conjunto cuyos elementos se pueden contar de uno en uno desde el primero hasta el último. Ejemplos:
A = {a , e, i, o, u } B = { 1; 2; 3; 4; 5 }
E = { x / x es un día de la semana } F = { 3; 6; 9; 12; ...; 2 505 }
Analizando los ejemplos, tenemos que:
Dentro el conjunto finito tenemos los siguientes tipos de conjuntos: conjunto nulo o vacío y conjunto unitario .
Card(A) = 5 ó n(A) = 5 Card(B) = 5 ó n(B) = 5 Como n(A) = n(B) = 5 A <> 5
CONJUNTO VACÍO.- Es el conjunto que carece de elementos, y se denota por el siguiente símbolo o { }. Ejemplos:
5. Conjunto de Conjuntos. Es aquel conjunto, donde al menos uno de sus elementos es un conjunto a su vez. Así tenemos:
M = {hombres que viven en Marte} N={x/xZ, x>8,X<7}
Ejemplo 1. Sean los conjuntos siguientes: CONJUNTO UNITARIO.- Es el conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos
a) M = { { 5; 4}, { 7}, }
C = { El alcalde actual de tu ciudad } D={x/xN ,7
Analizando el conjunto de conjuntos, observamos que: M = { {5; 4}, {7} , }
2. CONJUNTO INFINITO. Cuando en el proceso de contar, no se puede llegar al último elemento. Ejemplo.
conjunto vacío conjunto con 1 elemento conjunto con 2 elementos
R = { 0; 1; 3; 5; 7; .. } S = { x / x es una estrella del universo }
Entonces M es una familia de conjuntos.
El conjunto infinito puede clasificarse como: numerable o innumerable.
b) N = { { 1; 2} ; {4; 3}; 9 : }
CONJUNTO INFINITO NUMERABLE.- Se denomina así, al conjunto cuyos elementos se pueden enumerar consecutivamente, aunque no en su totalidad. Ejemplos.
Entonces N no representa a una familia de conjuntos, pero si es un conjunto de conjuntos. Ejemplo 2. Sean los conjuntos:
A = {2x – 1 / x Z+} B = { 2 ; 4; 6; 8; 10; ... }
A = { 3; 4; {5 }; 1} B = { {Ana}, {Dora, María }, {Rosa} }
CONJUNTO INFINITO INNUMERABLE.- Se llama así al conjunto cuyos elementos no se pueden enumerar consecutivamente. Ejemplo:
C = { {2; 4; 6}; {a, b, c };7 ; 8 } D = { {e, f }, {0; 1; 3}
A={x/5x7,xR} B = { x / x Q}
Es importante saber que cuando todos los elementos de un conjunto, son conjuntos; recibe el nombre de familiade conjuntos. Así tenemos en el ejemplo anterior.
OTROS TIPOS DE CONJUNTOS. 1.
A, B, C, D son conjuntos de conjuntos B, D son familia de conjuntos
Conjuntos Disjuntos. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elemento común alguno. Ejemplos:
5. Conjunto Potencia. Se llama el conjunto potencia de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y se le
A = { 2 ;4 ; 6; 8 } 2
denota como P(A). El número de elementos de P(A) o número de subconjuntos de A, está dado por:
B = {i, o, u } A .a
n[P(A)]=2n n: representa el número de elementos Ejemplo: Dado:
del conjunto A.
.e
Cuando dos conjuntos en referencia no tienen ningún elemento común, reciben el nombre de conjuntos disjuntos. Ejemplo. Sean los conjuntos: M = { 4; 6; 8 } N = { 5; 7; 9 } M
Ejemplo:Sean los conjuntos A = { Aves } B = {peces } C = [ mamíferos} Analizando los conjuntos, concluimos que el conjunto universal está formando por todos los animales, es decir:
NOTA: Para que quede claro la relación entre conjuntos, es importante definir un subconjunto. Subconjunto. Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento de A está en B. Simbólicamente se denota : A B.
peces
Aclarando el concepto, sabemos que: si A es un subconjunto de B, decimos que A es parte de B, que A está incluido en B, o que B contiene a A.
U
Ejemplo: Sean los conjuntos: A = { a, b, c, d } B={b,d}
1. Relación de Inclusión. Se dice que un conjunto A está incluido en B, cuando todos los elementos del conjunto A, están contenidos en el conjunto B; es decir, es un subconjunto. Simbólicamente se denota: A B o también BA.
Luego los elementos b y d de B están en A, entonces B A. Si A no es subconjunto de B, se escribe A B; se lee: A no es subconjunto de B A no es parte de B A no está incluido en B
Ejemplo: Sean los conjuntos: A = { 1; 2; 3 } ; B = {1; 2; 3; 4; 5}
Subconjunto Propios. Dado un conjunto A, su número de subconjuntos será: 2n-1. No se considera el mismo conjunto A.
Se verifica que A es subconjunto de B, es decir, que el conjunto A está contenido en B. Aplicando el Diagrama de Venn se tiene: B
Ejemplo: .1
Sea el conjunto A={2; 4; 6}, los subconjuntos propios de A serán: {2},{4},{6},{2;4},{2; 6},{4; 6}, No es subconjunto propio de A:{2; 4; 6}
.2 .4
.3 .5
A B ó B A Se lee : “A es subconjunto de B” “A está incluido en B” ó “B incluye a A” “B contiene a A”
PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN La inclusión goza de las siguientes propiedades: reflexiva, conjunto vacío y transitiva.
2. Relación de no inclusión. Esta relación se presenta, cuando un conjunto no es subconjunto de otro. Se presenta dos casos:
.7 .9
Verificamos que M y N son conjuntos disjuntos, porque M y N no tienen ningún elemento que se repite o común.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
A
.5 .6
B
mamíferos
N .4
.8
U = { los animales } Su diagrama correspondiente es el siguiente:
C
.u
A B
6. Conjunto Universal. Es el conjunto referencial que nos permite identificar a otros conjuntos incluidos en él. Se denota por la letra U y su gráfico se realiza preferentemente en un rectángulo; así tenemos:
aves
.i .o
A = { 14; 17} n[P(A)] = 22 = 4 Su conjunto potencia será : P(A)={ {14}, {17}, {14;17}, }
A
B
Cuando los dos conjuntos en referencia tienen algún elemento en común, se tiene una relación de intersección. Ejemplo. Sean los conjuntos:
*
Reflexiva. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo; es decir : A A
*
Conjunto Vacío. Es subconjunto de cualquier conjunto; o sea: A Transitiva. Si un conjunto está incluido en otro, y éste en un tercero, entonces el primer conjunto está incluido en el tercer conjunto. Es decir, se cumple:
* A = { a, e, o} 3
Ejemplo: Si consideramos los conjuntos de la operación anterior, entonces la diferencia A-B es el conjunto siguiente:
Si A B y B D A D
A – B = {e,o}
Relación de Igualdad. Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos. Si: A=BAB BA
Por Diagramas de Venn se tiene: A
B .e
.i .a
.o
4. Relación de Coordinabilidad de conjuntos Dos conjuntos son coordínales cuando tienen el mismo número de elemento: A ={ 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10} B ={ a ; e ; i ; o ; u }
Por otra parte verifica que:
Graficando, tenemos: B
.2 .4
a. e.
.6 .8
i. o.
.10
u.
B – A = {i, m}
4. Diferencia Simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por la diferencia de AB y A B. Simbólicamente se denota así: A B. }
Son coordinables
A
.m
Ejemplo: Si seguimos considerando los conjuntos anteriores, entonces A B es el siguiente conjunto. A B = {e, o, i, m} Gráficamente tenemos: A
B .e
.i .a
OPERACIONES CON CONJUNTOS
.o
A continuación te presentamos en forma resumida, las principales operaciones como conjuntos: Intersección, reunión, diferencia simétrica y complementación.
5. Complemento: Dado el conjunto universal o referencial U y un subconjunto A. Entonces el complemento de A está formado por los elementos que pertenecen a U, pero que no pertenecen a A. Simbólicamente se denota por A’, que se lee: “complemento de A”. }
1. Intersección: La intersección de dos conjunto A y B es otro conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos. Simbólicamente se representa: A B. }
Ejemplo: Dados los conjuntos: U={1;2;3;4;5;6,7} y A={2;4;6}, entonces el complemento de A es el siguiente: A’ = {1;3;5;7}
Ejemplo: Dado los conjuntos: A = {1,2,3} y B={3,4,5}, su intersección es:A B = {3} Por Diagramas de Venn se tiene: A
Gráficamente se representa los diagramas:
B .1
.1
U
.4
A
.3 .2
.m
.2
.3
.4
.5
.7 .6 .5
2. Reunión o Unión: La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por todos los elementos comunes y no comunes a ambos conjuntos. Simbólicamente se denota así: A B. }
LEYES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS En cada una de las operaciones se cumplen las siguientes leyes: 1. Idempotencia: a) A A = A b) A A = A
Ejemplo: Dados lo conjuntos: A= {a,e,o} y B={m,i,a}, su unión es: A B = {a, e, i, o, u} Por Diagramas de Venn se tiene: A
2. Conmutativa: a) A B = B A b) A B = B A
B .i
.e
3. Asociativa: a) (A B) C = A (B C) b) (A B) C = A (B C)
.a .o
.m
4. Distributiva: a) A (B C) = (A B) (A C) b) (A (B C) = (A B) (A C)
3. Diferencia: La diferencia de dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. Simbólicamente se denota así: A – B. }
5. Complemento: 4
a) A A’ = U c) ’ = U e) U’ = 6. Identidad: a) A = A c) A =
b) A A’ = d) (A’)’ = A
06. Dados los conjuntos A y B disjuntos y equivalentes. Calcular n(A) ; Si se sabe que: n (A) + n ( B) + n(AUB) = 60 a) 12
b) A U = U d) A U = A
07.
7. De Morgan: a) (A B)’ = A’ B’ b) (A B)’ = A’ B’
B
U
.7
a) 4
a) 7
C={
III. {5,7} M V. M
c) 6
b) 15
2 2z 1 / 3
a) 11
e) 5
d) 2
b) 5
d) 7
e) 8
c) 31
d) 63
e) 127
z B }
Hallar : n(A) + n(B) – n(C) b) 10
c) 9
d) 12
e) 14
13. Un colegio tiene 38 futbolistas, 15 pimponista y 20 tenistas. Si el número total de jugadores es 58 y sólo tres de ellos practican los tres deportes. ¿Cuántos jugadores practican sólo un deporte?. a) 7
14.
e) 5
b) 15
c) 31
d) 63
e) 46
Hallar el número de subconjuntos propios de:
T = { 2; 6; 12; 20; .....; 110 }
05. Se tiene A={2, 5, 7, 9 } ; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Calcule: n [ (A U B)- (A B)] c) 6
e) N.A.
A = { ( 2x – 1 )/x N 2 < x < 10 } B = { y 3 / y A }
04. Sea el siguiente conjunto: A = {4,3, {4,3},{4},}¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? 1. A A 2. {4,3} A {4,3} A 3. n(A) = n(P(A)) - 27 4. {{4}} P(A)
b) 5
d) 127
12. Dados los conjuntos A; B; C subconjuntos del conjunto de los números naturales.
03. Dado el conjunto: M={2; 3; {5; 7}}. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?
d) 2
c) 112
11. Si A y B son 2 conjuntos disjuntos, tales que n(A)=3 y n(B)=4. ¿Cuántos subconjuntos propios tendrá la unión de los 2 conjuntos?
a) A B b) B = B – A c) A = A – B d) B = A’ e) (A B)’ (A B)
c) 6
e) N.A.
10. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A, sabiendo que tiene 63 subconjuntos propios?
02. Sean A y B dos conjuntos, incluidos en el conjunto universal U, si : (A - B) (B - A)=A B. Determina la proposición falsa:
d) 4
d) 12
} } Entonces P(A ) 09. Si: A={ } } }} a) {{ } b) { } c) { }} } { }} } d) { e) {
a) A’ = B b) A B B U A U c) B {7; 8} d) {7; 8} U e) N.A.
c) 3
c) 16
a) 119 b) 120
.8
I. 5 M II. 7 M IV. {2,3} M
b) 14
08. Hallar la suma de los elementos del siguiente conjunto: G={(2x - 1) / xN x 6}
A
a) 4
Sabiendo que:
a) 13
01. ¿Cuál de las siguientes proposiciones se cumple, en base al presente diagrama?
b) 3
e) N.A.
Halla el valor de: n(A) + n(B)+ n(C)
PRACTICA DE CLASE
a) 4
d) 10
Además: n(A) + n(B)= n(C)
9. Adicional: a) A - B = A B’ b) (U)’ = c) ()’ = U
b) 2
c) 15
n[P(A)] . n[P(B)] . n[P(C)]=4096
8. De Absorción: a) A (A B) = A b) A (A B) = A
a) 1
b) 14
a) 1023
b) 511
c) 127
d) 9
e) N.A.
15. Sabemos que el conjunto A es unitario. Hallar: a2 + b2 A = { a + b; a + 2b – 3; 12 }
e) 7
5
a) 80
b) 74
c) 104
d) 90
e) N.E. 25. De los 32 alumnos de una clase, se sabe que 18 no pintan, 21 no cantan y que 13 ni pintan ni cantan. ¿Cuántos alumnos cantan y no pintan?.
e) 39
16. Hallar el cardinal del conjunto N; sabiendo que tienen 2016 subconjuntos más que el conjunto M, que tiene 5 elementos. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) N.A.
a)
5
b) 10
c) 11
d) 12
e) N.A.
26. Dado un conjunto A. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuales son falsas?
17. ¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura?
I. II.
A C
III. IV. a) (B A) C b) (A B) C c) (A B) C d) (A B) C’ e) Alternativas c y d 18. Si : A = {1,2,3,4} B = {3,4,5} C = {4,5} ¿Cuáles son los elementos que deben estar en la parte sombreada?
( [
)
]
a) FVFV d) VVFF
b) FVFF e) VVVF
c) FFVF
27. Si se cumple que: } } Determine la suma de elementos de
.
B
a) 3,4,5
a) 47
C
A
b) 4,5
c) 3,4
d) 3,5 e) 2,3,4
n(A B) = 30, n(A B) = 12, n(B A) = 10 Hallar n(A) + n(B) b) 38
c) 36
d) 25
Fórmula para el N° Cardinal de tres conjuntos A, B y C.
:
22. Sean los conjuntos: A = {1,2,3,4} B = {3,4,5,6} S = {(a,b) A x B / b = a + 3} Calcule: n(S) c) 4
d) 8
e) N.A.
Nos corresponde en esta oportunidad aplicar los conocimientos de la teoría de conjuntos a situaciones problemáticas. Para ello se sugiere precisar bien los datos de los problemas; para luego plasmarlo en los diagramas de Venn Euler.
e) 37
21. Si: n(A B)=30, n(AB)=12 y n(B A) = 8 Hallar: 5[n(A)] 4[n(B)] a) 38 b) 60 c) 48 d) 70 e) 100
b) 3
d) 50
TEMA N°06: PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS
20. Si: n[P(A)] = 128 , n[P(B)] = 16 n[P(A B)] = 8 Hallar n[P(A B)] a) 128 b) 32 c) 256 d) 1024 e) 512
a) 5
c) 49
28. Sean A y B dos conjuntos comparables y deferentes del vacío. Además el número de subconjuntos propios del conjunto potencia de A es 258. ¿Cuántos subconjuntos propios y diferentes del vacío tendrá B, si tiene 3 elementos más que A? a) 62 b) 14 c) 30 d) 126 e) 6
19. Los conjuntos A y B son tales que:
a) 22
b) 48
n(AUBUC) = n(A)+n(B) + n(C) – n(AחB) – n(A חC) – n(B חC ) +n(AחBחC)
1.- De 30 estudiantes referentes a sus inclinaciones deportivas de fútbol y básquet se tiene la siguiente información en el gráfico adjunto:
B=16 U=30
F=18
e) 2
11
23. ¿Cuál de los siguientes es falsa? a) A U A¡ = U b)AU=A c) A A¡ = U d)A ¡=
7
9 3
24. Si Si: A = { ;{ } { { }} } Entonces P(A )
De acuerdo al gráfico; completa: ¿Cuántos juegan fútbol? . . . . . . . . . ¿Cuántos juegan sólo fútbol? . ... ¿Cuántos juegan básquet? . . . . . . . . . ¿Cuántos juegan sólo básquet? ....
a) {{ ;{ } } b) {{ } , { ;{ } } c) { ;{ } , ;{ },{{ } },A } d) { ;{ },{{ } },{ ;{ } , ;{ },{{ } A } 6
54 papas (P): 66 verduras (V); 23 arroz y papas; 22 arroz y verduras 28 papas y verduras; y 8 arroz, papas y verduras. Responde: a) ¿Cuántos cultivan sólo arroz? b) ¿Cuántos sólo verduras? c) ¿Cuántos se dedican a un solo cultivo? d) ¿Cuántos realizan sólo dos de estos cultivos? e) ¿Cuántos no cultivan papas? f) ¿Cuántos no realizan ninguno de estos cultivos?
¿Cuántos juegan fútbol y básquet? . . . ¿Cuántos juegan sólo un deporte? ... ¿Cuántos no juegan ? . . . . .
2.- De 42 estudiantes referentes a sus inclinaciones académicas de matemática, Comunicación y Ciencias Sociales se tiene la siguiente información en el grafico adjunto:
C=19 U=42
M=17 3
8 4
2
9 4. En un grupo de niños 70 comen manzanas, 80 comen peras y 50 comen peras y manzanas. ¿Cuántos son los niños del grupo? a) 50 b) 80 c) 100 d)120
5
10
1
CS=21
5. De un grupo de 50 personas 28 conocen Arequipa, 32 conocen Lima y 15 ambas ciudades. ¿Cuántos no conocen ninguna de estas ciudades? a) 3 b) 4 c) 5 d)6
De acuerdo al gráfico; completa: ¿Cuántos se inclinan por matemática? . . ¿Cuántos se inclinan por Comunicación? . .. ¿Cuántos se inclinan por CC.SS? . . . . ¿Cuántos se inclinan sólo por matemática? . ¿Cuántos se inclinan sólo por Comunicación? . ¿Cuántos se inclinan sólo por CC.SS? . .. ¿Cuántos se inclinan matemática y ciencias sociales? ¿Cuántos se inclinan comunicación y ciencias sociales? ¿Cuántos se inclinan matemática y comunicación? . ¿Cuántos se inclinan sólo por matemática y ciencias sociales? ¿Cuántos se inclinan sólo por comunicación y ciencias sociales? . .. . . . ¿Cuántos se inclinan sólo por matemática y comunicación? . . ¿Cuántos se inclinan por los tres cursos? . .. . . ¿Cuántos se inclinan sólo por dos cursos? . .. ¿Cuántos se inclinan sólo por un curso? . . . . . ¿Cuántos se inclinan como máximo por dos cursos? . . ¿Cuántos se inclinan como mínimo por dos cursos? .. ¿Cuántos no se inclinan por alguno de estos cursos? . .
6. De un grupo de 100 alumnos, lo que usan sólo lápiz, es igual a los que usan sólo lapicero, e igual a los que usan lápiz y lapiceros. Si 4 no usan ni lápiz ni lapicero ¿Cuántos usan lápiz? a) 52 b) 48 c) 64 d) 72 7. De 80 integrantes de un club deportivo, se sabe que 34 practican fútbol, 29 básquet, 26 vóley, 12 fútbol y básquet, 12 básquet y vóley, 11 fútbol y vóley y 7 practican los tres deportes. ¿Cuántos no practican ninguno de los deportes mencionado?. a) 16 b) 19 c) 18 d) 15 8. De un grupo de 22 estudiantes, hay 13 que practican natación y 10 practican atletismo, además se sabe que 2 alumnos no practican ningún deporte. ¿Cuántos practican solo atletismo? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 9. De un grupo de 40 personas, se sabe que: 15 de ellas no estudian ni trabaja, 10 personas estudian y 3 personas estudiaban y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan sólo una de las dos actividades? a) 32 b) 28 c) 22 d) 25
ACTIVIDAD N°01 En cada uno de los ejercicios dados, aplica la información teórica recibida
10. Durante el mes de julio, una señora compro 15 días carne de res, 22 días de pollo y 13 de pescado, 5 de carne y pescado, 7 días pollo y pescado; y 12 días carne de res y pollo ¿Cuántos días compro las tres especies ?
1. De los 40 alumnos de un aula, 30 tienen libro de matemática y 18 de matemática y CTA. a) ¿Cuántos tienen sólo libro de matemática? b) ¿Cuántos tienen libro de CTA? …………….. c) ¿Cuántos sólo de CTA? … d) ¿Cuántos un solo libro? …………………
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
11. De un conjunto de 25 alumnos se sabe que 5 no estudian ni hacen deporte, 13 personas estudian y 5 personas estudian y hacen deporte. ¿Cuántos de ellos realizan solo una de las actividades a) 6 b) 7 c) 12 d) 15
2. En una encuesta realizada a 150 alumnos egresados de una Institución Educativa arroja que: 95 estudian, 30 trabajan y 20 estudian y trabajan a) ¿Cuántos sólo estudian? b) ¿Cuántos sólo trabajan? c) ¿Cuántos realizan una de estas actividades? D) ¿Cuántos no estudian ni trabajan?
12. En una tribu de 100 nativos, 38 comen carne cruda, 48 comen carne cocida. Si 21 son vegetarianos. ¿Cuántos de estos nativos comen carne cruda y cocida a la vez ? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9
3. En un valle de la costa, un ingeniero agrónomo hizo una encuesta a 124 agricultores para saber el número de los que cultivan arroz, papa y verduras, obteniendo que: 40 cultivan arroz (A); 7
13. En un Salón de clases de 40 alumnos, se observó que 25 aprobaron Matemática , 15 aprobaron lenguaje y 10 no aprobaron ninguno de los dos cursos ¿Cuántos aprobaron los dos cursos ? a) 8 b) 10 c) 12 d) 15
23. De 55 alumnos, 32 estudian Matemática, 22 estudian inglés, 45 estudian CTA, y 5 estudian los tres cursos. ¿Cuántos alumnos estudian sólo dos de los cursos? a) 29 b) 23 c) 18 d) 32 e) 34 24. Del Conjunto de los 20 profesores de un colegio: 10 enseñan matemáticas, 9 física y 7 química, 4 enseñan matemática y física pero ninguno enseña matemática y química ¿cuántos profesores enseñan sólo física? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
14. De los 60 alumnos de un aula, 50 tienen libro de Matemática y 15 de matemática y CCSS. ¿Cuántos tienen un sólo libro? a) 25 b) 45 c) 35 d) 40 ACTIVIDAD N°02:
16. En una encuesta realizada entre 120 personas se supo que: 75 estudian; 35 trabajan y 20 estudian y trabajan. ¿Cuántos solamente estudian y cuántos no estudian ni trabajan? a) 55 y 30 b) 29 y 20 c) 55 y 39 d) 29 y 30 e) NA
25. En un aula de 50 alumnos; aprueban matemática 30, física 30, castellano 35, física y matemática 18; física y castellano 19, matemática y castellano 20, 10 los tres cursos, se deduce: a) 2 solo aprueban física b) 2 no aprueban ningún cursos c) 5 aprobaron matemática solamente d) 6 aprueban matemática y física solamente. e) N.A. 26. En un grupo de 70 estudiantes de la academia Galileo, se sabe que 42 alumnos les gusta la aritmética, a 45 la geometría y a 20 el álgebra. A 11 álgebra y geometría; a 17 aritmética y geometría; y a 16 álgebra y aritmética. ¿A cuántos les gusta los 3 cursos? a) 5 b) 2 c) 3 d) 7
17. De 82 personas que toman gaseosas, la preferencia es la siguiente: 43 toman Coca Cola; 47 Pepsi; 58 Fanta; 19 Coca Cola y Pepsi; 28 Coca Cola y Fanta; 30 Pepsi y Fanta; 11 las tres gaseosas. ¿Cuántas personas toman una sola gaseosa? a) 27 b) 20 c) 11 d) 9 e) 7
27. De un grupo de personas se sabe que 19 hablan alemán, 23 hablan francés, 25 hablan castellano, 5 hablan alemán y francés, 7 hablan francés y castellano; y de los que hablan castellano ninguno habla alemán. ¿Cuántas personas forman el grupo? a) 58 b) 59 c) 54 d) 55
18. De 60 deportistas se observa que 24 de ellos practican fútbol, 26 practican básquet y 25 practican Vóley, 13 practican fútbol y básquet, 10 practican básquet y vóley, 9 practican fútbol y vóley. Si 6 practican los 3 deportes. ¿Cuántos no practican ninguno de estos deportes? a) 11 b) 12 c) 13 d) 10 e) 15
28. De un grupo de 72 personas, se sabe que 25 de ellos leen revistas; 7 revistas y periódicos; 8 revistas y libros; 15 solamente libros; 2 revistas, periódicos y libros. Y el número de personas que sólo leen libros y periódicos, es la tercera parte de las personas que sólo leen periódicos. ¿Cuántos leen periódicos?. a) 26 b) 29 c) 31 d) 39
15. Una fábrica produce semanalmente 2000 camisas; 1800 pantalones; 500 camisas y pantalones. ¿Cuántas camisas produce solamente y cuál es la producción semanal? a) 1500 y 2800 b) 1500 Y 3300 c) 1200 y 2600 d) 1500 y 3200 e) NA
19. En una encuesta realizada a 60 alumnos 20 tienen radio, 42 tienen televisor y 3 no tienen radio ni televisor ¿Cuántos tienen solamente radio? a) 5 b) 25 c) 18 d) 15 e)12
29. Un grupo de 110 alumnos de la UNI llegó para su inscripción y se observó que: . 50 se matricularon en matemática II . 60 se matricularon en Física II . 70 se matricularon en Química II . 30 en Matemática II y Física II . 32 en Física II y Química II . 35 en Matemática II y Química II . 20 en los tres cursos. ¿Cuántos no se matricularon en Matemática II, Física II y Química II? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
20. En una encuesta a 60 personas se recogió la siguiente información: 7 personas consumen el producto A y B pero no C; 6 personas consumen el producto B y C pero no A; 3 personas consumen el producto A y C pero no B; 50 personas consumen al menos uno de estos productos, y 11 personas consumen el producto A y B ¿Cuántas personas consumen solamente un producto? a) 34
b) 39
c) 23
d) 30
e) 10 30. De 360 personas que siempre desayunan, se observa que: 180 toman leche, 160 toman chocolate y 220 toman avena. El triple de los que toman leche, chocolate y avena; toman chocolate y leche. El cuádruplo de los que toman leche, chocolate y avena; toman leche y avena . Y el doble de los que toman leche, chocolate y avena; toman chocolate y avena. Si 40 de ello sólo toman café. ¿Cuántos toman leche, chocolate y avena? a) 20 b) 25 c) 30 d) 35
21. Tengo 100 amigos de los cuales 86 juegan fútbol y 35 juegan básquet. ¿Cuántos juegan ambos deportes a la vez, si todos juegan por lo menos algún deporte? a) 25 b) 24 c) 34 d) 21 e) Enunciado absurdo 22. De un total de 319 personas, 78 juegan tenis, 61 juegan básquet, y 213 no juegan nada. ¿Cuántos juegan sólo básquet? a) 33 b) 28 c) 61 d) 29 e) NA
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