Tema 2AE. Estabilidad. Cinematica

Profa: Karla Pacheco

Universidad Nacional Experimental politécnica de Maracaibo Departamento de construcción civil An á l is is es tr uc t ur a l Tema 2. Estabilidad cinemática de estructuras

1. Chapas: Cada uno de los planos infinitamente delgados que representan las formaciones rígidas que se pueden definir en un sistema estructural. La formación rígida elemental constituye una barra continua de cualquier forma y dimensión. El símbolo

β es utilizado para identificar a la i

chapa i (Figura 1):

Figura 1. Idealización de una chapa 2. Grado de libertad: Numero de parámetros independientes de un sistema estructural necesario para especificar la posición de cualquiera de sus puntos en su configuración desplazada. Toda chapa aislada en el plano posee 3 grados de libertad, Es decir, puede trasladarse respecto a dos ejes X e Y y rotar respecto a un centro. Si los grados de libertad son notados por la letra g, una chapa en completa libertad de movimiento tiene un g = 3. Para que la barra o chapa se encuentre en equilibrio estático se deberá restringir o anular sus grados de libertad a través de vínculos o apoyos.

1


3. Vínculos: La vinculación externa de una chapa, se define como aquella que restringe posibilidades de movimiento absoluto de los puntos de la chapa, entendiendo como movimientos absolutos

β

aquellos referidos al sistema, la tierra ( t ) tomado como fijo. Según el vínculo externo o absoluto, restrinja una, dos o las tres posibilidades de movimiento que posee la chapa en libertad de movimiento, el vínculo será de primera, segunda, o tercera especie respectivamente.



Vínculo externo de 1ra especie: Este vínculo le restringe a la chapa la posibilidad de movimiento absoluto, en la dirección de la barra rígida y le permite trasladarse en dirección perpendicular a la barra y rotar alrededor del punto i. el cual, como se indica, restringe una posibilidad de movimiento absoluto y permite dos. Ver figura 2.

Figura 2. Vínculo externo de 1ra especie.

Nota: Se debe tener presente que un vínculo externo de 1ra especie no define el polo de rotación de la chapa, suministra una dirección para su ubicación. 

Vínculo externo de 2da especie: Este vínculo restringe las dos traslaciones absolutas y le permite rotar en forma absoluta alrededor de O, con respecto al sistema de referencia fijo

β Este vínculo define el polo de rotación de la chapa (Figura 3). t.

Figura 3. Vínculo externo de 2da especie. 2


Otro vínculo externo de 2da especie se presenta cuando las barras rígidas son paralelas. Esto impone desplazamientos a los puntos i, j en dirección perpendicular a ellas. Ver figura 4.

Figura 4. Otro vínculo de 2da especie. 

Vínculo externo de 3ra especie: Este vínculo fija la chapa ya que restringe sus tres posibilidades de movimientos. Ver figura 5. Algunas consideraciones a continuación:

Figura 5. Vínculo externo de 3ra especie. - Tres barras concurrentes no fijan la chapa, le permiten la rotación alrededor de O:

- Tres barras paralelas no fijan la chapa, le permiten la traslación en dirección perpendicular a las barras como se indica: Cuando la chapa está vinculada externamente mediante tres barras que se intersectan o son paralelas, ellas son inefectivas como vínculo, pues no la fijan. Este tipo de vinculación recibe el nombre de

. Algunos ejemplos se ilustran a

continuación en la figura 6.

Figura 6. Vínculos aparentes. 3


-Es posible encontrar también la vinculación conocida como continuación en la figura: La chapa

β

, que se presenta a

con las tres barras rígidas b 1, b2 y b3

está fija, por lo que la barra b 4, no se requiere para fijarla; ésta barra es redundante. Note que los vínculos redundantes, son las cantidades de vínculos en exceso sobre las necesarias y suficientes para fijar la chapa. Figura 7.

Figura 7. Vínculos redundantes

Por lo analizado anteriormente, pueden plantearse las siguientes conclusiones relacionadas con la ubicación de los polos de rotación de las chapas, a partir de la vinculación externa:

- Para todo vínculo de 1ra especie, rodillo o biela, el polo de rotación se encuentra en la dirección de la barra que lo define. -Todo empotramiento de 1er grado genera gen era polos impropios. - Todo apoyo fijo es un polo de rotación. - Todo empotramiento deslizante, móvil o sobre rodillo, define un polo de rotación en el infinito, es decir, un polo impropio, en dirección perpendicular al permitido, o lo que es equivalente, en la dirección de las barras que lo definen. - Toda chapa empotrada está fija. 4. Desplazamientos finitos de una chapa en su plano Para estudiar, los desplazamientos que experimenta una chapa

β en su plano, considere

primero, la chapa mostrada en la figura siguiente en su configuración inicial, donde se destacan los puntos i, j y en su configuración desplazada, donde los puntos i, j han pasado a las posiciones

i’j’. Figura 8.

Figura 8. Rotación de una chapa en su plano 4


Una chapa puede experimentar otro tipo de desplazamiento, que se manifiesta cuando todos los puntos de ella se desplazan la misma cantidad y en una misma dirección, es decir, experimentan desplazamientos paralelos e iguales, como se indica en la figura siguiente:

Figura 9. Traslación de una chapa en su plano. En este caso el segmento i'j' es paralelo y se orienta en el mismo sentido que el segmento ij, entonces se tiene que ii' = jj'. Trazando mediatrices a los puntos medios de esos segmentos, resultan rectas paralelas que se cortan en el infinito. A este tipo de desplazamiento experimentado por la chapa se le conoce como traslación; es decir, movimiento que a una rotación alrededor de un polo impropio en el infinito, en dirección perpendicular a la de traslación.

Alternativamente, de ahora en adelante, cuando una chapa tenga su polo en el infinito, se dirá que ella se traslada en dirección perpendicular al polo en el infinito y además, todos los puntos de la chapa que se traslada se desplazan en dirección perpendicular a su polo en el infinito, la misma cantidad y en la l a misma dirección y sentido.

5. Rotación infinitesimal de una chapa Para analizar la rotación infinitesimal de una chapa, supóngase una chapa que tiene un polo de rotación O, alrededor del cual rota una cantidad infinitesimal

α, como se aprecia en la

figura siguiente.

5


Figura 10. Rotacion infinitesimal de una chapa.

α impuesta a la chapa β, un punto cualquiera i, separado de O auna distancia ρ , se desplaza a lo largo de un arco de circunferencia de centro en O y radio ρ , Por efecto de la rotación i

i

pasando a la posición i'. Cuando se consideran desplazamientos infinitésimos la cuerda ii', el arco

≈i’ y la tangente (normal al radio O ) i≈i" se confunden por ser infinitésimos equivalentes, es decir, i≈i’ = ii' = ii". Se considera entonces que: i

i

“Para rotaciones infinitesimales los desplazamientos que experimentan los puntos de una chapa se tomarán en dirección normal a las rectas determinadas por los puntos y el polo de rotación o

radios de giro y en el sentido de la rotación”, como se muestra en la figura 11:

Figura 11. Desplazamientos de los puntos de una chapa que rotan

“los de rotación absolutos (solo gira) y relativos (gira y desplaza). Los desplazamientos son siempre perpendiculares a la línea imaginaria que une el polo absoluto de la chapa con el punto que se desplaza”.

6


6. Desplazamiento relativos entre dos chapas: Teorema 1: Los polos absolutos de dos chapas y el polo relativo entre ellas. Están alineados. Figura 12.

Figura 12. Teorema 1. Teorema 2: Si una chapa

β

1

polo absoluto de rotación de

esta fija, el polo relativo que la vincula con la chapa

β

2. Figura

β

2

pasa a ser el

13.

Figura 13. Teorema 2. Teorema 3: Los polos relativos entre tres chapas están también están alineados. Figura 14.

Figura 14. Teorema 3 Teorema 4: Cualquier chapa en el plano que posea dos polos de rotación distintos esta fija (indesplazable). Teorema 5. Cualquier chapa que posea un polo absoluto y una dirección definida de otro polo adicional que no pase por el anterior también esta fija.

7


7. Vinculación interna entre chapas La vinculación interna entre dos chapas, sé estudia a partir de las restricciones de movimiento relativo, impuestas a los puntos de una de las chapas respecto a la otra, considerada fija. 

Vínculo interno de 1ra espec

ie: La rigidez de β , le impide a la chapa β 1

2

la traslación

relativa en su dirección y le permite moverse en dirección perpendicular a ella y rotar

relativamente respecto a β

1. Ver

figura 15.

Figura 15. Vínculo interno de 1ra especie 

Vínculo interno de 2da especie: Las chapas se vinculan internamente por dos barras rígidas que se cortan en un lugar propio. Este vínculo

permite a β respecto de β solo la 2

1

rotación y restringe las dos traslaciones. Figura 16.

Figura 16. Vínculo interno de 2da especie

Se nota que la intersección de esas barras puede ocurrir dentro o fuera del dominio de las chapas, así como se indica en la figura 17:

Figura 17. Vínculo interno ficticio propio de 2da 2d a especie A este vínculo interno de 2da especie se le conoce como

8


Este tipo de vinculación interna se presenta también cuando las chapas se vinculan mediante una articulación interna propia o articulación real, como se muestra en la figura 18:

Figura 18. Vínculo interno propio de 2da especie Otro tipo de vinculación interna de 2da especie se presenta cuando las dos barras rígidas

β1 y β2 son paralelas. En este caso, β2 sólo puede trasladarse relativamente con respecto a β1 en dirección perpendicular a las barras rígidas, quedándol e impedidas la traslación en dirección de las barras rígidas y la rotación relativa. Figura 19.

Figura 19. Vínculo interno Ficticio impropio de 2da especie

β

β

Visto, que 2 sólo se traslada relativamente con respecto a 1, puede afirmarse que el polo relativo de rotación entre las dos chapas vinculadas por dos barras paralelas, se encuentra en el infinito, en dirección perpendicular a la de traslación o lo que es equivalente, en la dirección de las barras que definen este tipo de vinculación interna de segunda especie. A este vínculo interno de 2da especie también se le conoce como vínculo ficticio impropio, o .



Vínculo interno de 3ra especie: se define cuando las dos chapas son vinculadas mediante tres barras rígidas que no sean las tres ni paralelas, ni concurrentes como se muestra en la figura 20.

9


Figura 20. Vínculo interno de 3ra especie

β a β1, es decir, la fija. Por tal razón; cuando dos chapas se vinculan internamente mediante tres

Esta vinculación le restringe a 2 todas las posibilidades de movimiento relativo respecto

barras rígidas, que definen una vinculación interna de tercera especie efectiva, se establece que ellas forman una sola chapa una sola formación rígida. Figura 21:

Figura 21. Tres chapas triarticuladas forman una sola chapa, Cuando las tres barras rígidas son las tres concurrentes o paralelas, la chapa impedida de moverse con respecto a

β2 no está

β1 quedando representada en este caso una vinculación

interna aparente como se muestra en la figura 22.

Figura 22. Vinculación interna aparente.

10


8. Clasificación De cadena de chapas Las cadenas de chapas, según el contorno de las chapas, pueden clasificarse en; abiertas, cerradas y mixtas. Se muestran a continuación en forma esquemática algunas cadenas abiertas, cerradas y mixtas. Ver figura 23.

Cadenas abiertas

Cadenas cerradas

Cadena mixta Figura 23. Clasificación de cadena de chapas

A partir de la definición de cadenas de chapas, se derivan algunos aspectos resaltantes, relacionados con la identificación de las cadenas de chapas, en las cuales deben considerarse las chapas vinculadas por vínculos internos de segunda especie. Así, una barra rígida, no cargada, que ha sido definida como vínculo interno de primera especie, debe ser considerada como una chapa; tres barras no paralelas ni concurrente, que definen un vínculo interno de tercera especie entre dos formaciones rígidas forman con ellas una sola chapa.

11


Es importante tener presente, que una barra para ser considerada vínculo, debe ser rígida y no puede estar cargada. La cadena cerrada más pequeña y simple, es la de tres chapas; pero es necesario, aclarar que ese conjunto se constituye en una sola chapa rígida, con un g= 3, siempre que las articulaciones entre ellas no estén en línea recta (alineadas), como se muestra a continuación:

Lo expresado anteriormente se demuestra, aplicando el procedimiento cinemático indicado a continuación, en vista de que estudio cinemático de la formación, depende del movimiento independiente de cada chapa. Considérese una de las tres chapas fijas, sí a partir de esta consideración es posible fijar las restantes, encontrando dos polos por chapa, entonces, el sistema está fijo y forma una sola chapa:

“Tres chapas en cadena cerrada, cuyos polos relativos no estén alineados, forman una chapa rígida que tiene tres grados de libertad”. Grados de libertad de una cadena de chapas: En secciones anteriores, se ha determinado y considerado el número de grados de libertad que posee una chapa en completa libertad de movimientos, (g = 3). Interesa establecer el número de grados de libertad g, que posee una cadena de chapas, formada por m chapas, bajo cualquier configuración y en completa libertad de movimiento. Para ello, se propone determinar, una expresión general, que sea válida para cualquier tipo de cadena. Se define:

=   12


Donde: g: Número de grados de libertad de la cadena m: Número de chapas de la cadena a: Número de articulaciones en la cadena mi Número de chapas que concurren a cada articulación. Para ilustrar su aplicación, se considera el siguiente ejemplo:

Figura 24. Ejemplo 1.

Al aplicar la fórmula general de la ecuación (2.15), para determinar así el número de grados de libertad que la cadena mostrada posee, se tiene entonces: m=9 m=8 mi = 2+2+2+3+2+2+2+2 = 17

–

g = 3*9+2 * 8 2(17) = 9 A partir de lo visto anteriormente, es posible utilizar dos expresiones particulares muy sencillas, que pueden utilizarse en el caso de cadenas abiertas y cerradas, bajo la estricta consideración de que a todas las articulaciones de la cadena, sólo se vinculen dos chapas.

Para cadenas abiertas g = m+2 Para cadenas cerradas g = m

13


9.

Determinación cinemática de un sistema En la sección anterior, se estableció la manera de calcular los grados de libertad de

cualquier cadena de chapas. Ahora bien, esas cadenas de chapas, que se han considerado sin restricción de movimientos impuestas por vinculación externa, en realidad está n vinculadas externamente al sistema de referencia fijo la tierra, como se indica esquemáticamente:

Cada vínculo externo o apoyo, suministra un número de restricciones según sea su especie; al número total de restricciones impuestas por la vinculación externa se le denota como

“r” y su determinación se realiza por simple conteo. Entonces, en un sistema definido por una chapa o una cadena de chapas cualquiera, conocidos sus grados de libertad g y determinado r, por simple conteo de restricciones impuestas por la vinculación externa, puede evaluarse la relación g

– r, cuyo resultado puede ser mayor, igual o menor que cero, esto es: Sistema cinemáticamente indeterminado g-r>=0 Sistema cinemáticamente determinado g-r=0 Sistema cinemáticamente sobredeterminado g-r<0

“Se necesitan como mínimo, tantas condiciones de vínculo externo para estabilizar el sistema, como grados de libertad tenga, pero esto no implica necesariamente estabilidad; de allí que ésta sea considerada condición necesaria, pero no suficiente para la estabilidad

del sistema.”

Esto permite establecer que sistemas con: g

– r > 0 = > Inestables 14


g

– r ≤ 0 = > Aparentemente estables

10. Estabilidad cinemática de un sistema Los sistemas considerados se definen como cinemáticamente estables, cuando cumpliendo con la condición necesaria, se encuentren fijos o estabilizados. Si el sistema está formado por una sola chapa, se considera fijo si tiene dos polos de rotación. Por consiguiente, si se trata de una cadena de chapas, para que sea estable todas y cada una de sus chapas, deben tener dos polos rotación, o sea, todas deben estar fijas. Esta representa la condición suficiente para la estabilidad del sistema.

Todo lo expuesto hasta ahora, permite en forma general establecer algunos pasos que deben seguirse para determinar la estabilidad cinemática de las estructuras: 

Identificar el sistema (chapa o cadena de chapas), tratando de configurar el menor número de chapas, y clasificar el tipo de formación de acuerdo ésta ést a configuración.



Determinar los grados de libertad g del sistema, haciendo uso de la ecuación



Contar las restricciones impuestas por la vinculación externa y calcular la diferencia g r.



Clasificar cinemáticamente el sistema a la diferencia g-r

–

10.1.

Estabilidad cinemática de cadenas abiertas

En una cadena cinemática abierta aparentemente estable, se asegura su estabilidad estudiando los polos de rotación:



Cadenas cinemáticas abiertas inestables: Cuando sólo se puede conseguir un polo absoluto de rotación, para cada chapa de la cadena o no logran fijarse todas las chapas. Si al menos una chapa de la cadena está en condición inestable, como lo postulado, no es aplicado solo a una parte de la estructura sino a toda ella en conjunto, la estructura es inestable.



Cadenas cinemáticas abiertas estables: Cuando se consigue más de un polo de rotación para todas y cada una de las chapas de la cadena.

15


10.2. Estabilidad cinemática de cadenas cerradas y mixtas Una cadena cinemática cerrada o mixta aparentemente estable como condición necesaria, pero no suficiente, será estable cuando se consiga más de un polo de rotación para todas sus chapas, en el caso contrario será inestable. Alternativamente, la estabilidad de estos tipos de cadenas se puede estudiar buscando un solo polo de rotación para cada chapa, cosa que no implica inestabilidad en la cadena, y comprobando compatibilidad de movimientos. Según esto, se tendrá:



Cadena cinemática cerrada o mixta inestable: Cuando es aparentemente estable, se consiga un polo de rotación para cada chapa y la cadena tenga compatibilidad de movimientos (dirección, sentido, magnitud).



Cadena cinemática cerrada o mixta estable: Cuando es aparentemente estable, se consiga un polo de rotación para cada chapa y la cadena tenga incompatibilidad de movimientos.

Se insiste en el hecho que si una cadena cinemática cerrada o mixta, tiene más de un polo de rotación, para cada chapa no es necesario el estudio de la compatibilidad de movimientos para decretarla estable, como se indicó inicialmente.



Estudio de la compatibilidad del movimiento: Debido a que la estabilidad de las cadenas cerradas y mixtas, puede estudiarse como se ha indicado, buscando un polo por chapa y comprobando la compatibilidad de movimientos, resulta inmediato aclarar el significado y procedimiento para realizar el chequeo de esa compatibilidad de desplazamientos en la cadena:

Una vez hallado un polo de rotación para cada chapa, por ser una formación cerrada o mixta (que tiene parte cerrada) puede hablarse de un punto de cierre P. C., el cual es ubicado apropiadamente en un polo relativo; seguidamente se imprime una rotación infinitesimal, alrededor de su polo a una de las chapas de la cadena vinculada al P.C.

16


Al observar cómo se desplaza el P.C., debido a esa rotación. Inmediatamente, se traslada el desplazamiento a través de la cadena, se distinguen especialmente los desplazamientos de los polos relativos, hasta llegar en formación cerrada al desplazamiento experimentado por el P.C., debido a la rotación de la otra chapa vinculada con él. Entonces podrá establecerse si en el P.C. se produce incompatibilidad o compatibilidad de desplazamientos. Debe recordarse que cualquier tipo de incompatibilidad se traduce en estabilidad de la cadena y la compatibilidad de desplazamientos manifiesta en el P.C., en dirección, sentido y magnitud, indica que la cadena tiene posibilidades de movimiento, luego es inestable desde el punto de vista cinemática.

Este procedimiento alternativo para cadenas cerradas o mixtas, puede resumirse en los siguientes pasos: 

Buscar un polo por chapa



Definir el punto de cierre (P.C.)



Dar rotación infinitesimal a una de las chapas vinculadas al P.C., e indicar el desplazamiento experimentado por el P.C., debido a esa rotación.



Trasladar los desplazamientos en formación cerrada y secuencia contraria a la chapa vinculada al P.C.



Indicar el desplazamiento producido en el P. C., debido a la rotación de la otra chapa vinculada a él.



Observar los desplazamientos en el P. C. incompatibilidad de desplazamientos en dirección o sentido

cadena estable. Compatibilidad de desplazamientos en dirección y

sentido, no implican necesariamente inestabilidad de la cadena, debe chequearse las magnitudes. Si los desplazamientos en el P. C., resultan compatibles, también en magnitud, entonces existe compatibilidad de desplazamientos

cadena inestable.

17

Tema 2AE. Estabilidad. Cinematica

Recommend Documents