Tarea del 3er Parcial de Teoría Electromagnética Prof: Dr. Osvaldo Carvente Muñoz Alumno: Medina Carrillo Benjamin Mayo-2014
Ejercicio 8.7.- Una carga lineal de densidad lineal de carga λ, constante y de longitud L, está sobre el primer cuadrante del plano xy, con uno de sus extremos en el origen. Forma un ángulo α con el eje x positivo. Encontrar Q, P y todas las . Expresar el término cuadripolar del potencial debido a esta distribución de cargas en función de las coordenadas rectangulares del punto de campo. *Solución: Para resolver este problema, se inicia con encontrar la Q total de esta carga para lo cual se utiliza esta fórmula: ∫
( )
En base al ejercicio, sabemos que la densidad constante, por lo tanto el valor de Q, queda: |
∫
es
Siendo esta la respuesta a este inciso.
Para encontrar el momento dipolar “P”, se utiliza la siguiente formula: ∫
( )
Siendo r’, con respecto a la imagen lo siguiente: ⏞
⏞
Sustituyendo en la ecuación anterior, tenemos: ∫
(
⏞
Para encontrar todas las
⏞)
(
⏞
⏞)|
, se aplica la siguiente formula: ∫ (
)
(
⏞
⏞)
Para la cual se deben hacer las siguientes consideraciones: { Entonces aplicando la fórmula: ∫ (
)
∫ (
)
(
∫(
)
∫(
)
(
∫(
)
∫
∫(
)
∫(
∫(
)
∫(
)
)|
(
)
(
)|
)
|
)
(
)|
(
)
Siendo las expresiones anteriores la respuesta de este inciso. Para expresar el término cuadripolar, se aplica la siguiente formula: ( )
( *∑∑
Aplicando a este caso, quedaría de la siguiente manera: ( ) ( )
* ( (
(
) )
( )
Siendo esta la respuesta la conclusión del ejercicio.
)
(
)+
Ejercicio 8.8.- Una esfera de radio “a” posee una densidad superficial de carga dada en coordenadas esféricas donde Y el origen se encuentra en el centro de la esfera. Encontrar Q, P y todas las . Expresar (8-47) para esta distribución de carga en función de las coordenadas esféricas de un punto de campo situado fuera de la esfera. *Solución: Para comenzar con la solución, se debe encontrar Q, para lo cual se utiliza la siguiente formula: ∫
( )
Sustituyendo en base al problema tenemos que: ∫
∫
(
|
)|
Siendo esta la respuesta del inciso. Para hallar el momento dipolar “P”, se utiliza la siguiente formula: ( )
∫
Para este problema, tenemos que: ⏞
⏞
⏞
Entonces sustituyendo en la formula tenemos: ∫
∫
(
⏞
⏞
⏞)
Siendo esta la respuesta del inciso. Para encontrar todas las
, se aplica la siguiente formula: ∫ (
)
Para la cual se deben hacer las siguientes consideraciones:
⏞
{ Entonces aplicando la fórmula: ∫(
)
∫ ∫(
)
∫(
)
∫ ∫(
)
∫(
)
∫ ∫(
)
∫(
)
∫ ∫(
)
∫(
)
∫ ∫(
)
∫(
)
∫ ∫(
)
Para expresar (8-47) primero pondremos la fórmula: ( )
⏞
(
∑
)
Analizando el problema, nos damos cuenta que no existe el monopolo, ni el cuadripolo, por lo tanto esta expresión se reduce a: ( )
(
⏞
Sustituyendo en base al problema tenemos que:
)
( )
( (
⏞
⏞) (
⏞
⏞
* )
Siendo esta la respuesta del inciso.
Ejercicio 8.13.- Un dipolo puntual “P”, está situado en el origen pero no tiene ninguna orientación particular con respecto a los ejes coordenados (Por ejemplo, P, no es paralelo a ninguno de los ejes). Expresar su potencial en un punto r en coordenadas rectangulares y encontrar las componentes rectangulares de E. Demostrar que E puede expresarse en la forma: ( )
[ (
⏞) ⏞
]
*Solución: Para iniciar, se utiliza la siguiente formula a consideración a fin de poder expresar el potencial en un punto r en coordenadas rectangulares: ⏞
Ahora en base a la imagen podemos ver que un dipolo se puede ver como la suma de dos potenciales de dos monopolos distintos, por lo tanto: ( Ahora si consideramos que (⁄ ) Considerando que:
Por lo tanto el potencial es:
* tenemos:
(⁄ )
Donde podemos determinar que: ⏞ Con esto terminamos el primer inciso del problema. Para la demostración, tenemos que:
Sabiendo además que:
Tenemos que en base a nuestro problema, quedaría: (
*
En base a análisis vectorial podemos efectuar el gradiente correspondiente: (
)
(
)
( *
Desarrollando: ( ) (
)
(
) (
(
*
⏞) ⏞
Siendo esta la demostración del ejercicio.
Ejercicio 8.17.- Un dipolo puntual, P, en r se encuentra en el campo de una carga puntual, q, situado en el origen. Encontrar la energía de P, el momento de torsión y la fuerza neta que actúan sobre él.
*Solución: Para iniciar tenemos que hacer las siguientes consideraciones: (
) ̂
Tenemos por formula que: ⃗ ( ⃗⃗ ) Por tanto: ( ⃗⃗⃗⃗
̂)
Al igual por formula tenemos que:
Por tanto: ⃗⃗⃗⃗
̂
Ahora, para encontrar la (
:
)
Sustituyendo en cuestiones de este problema tenemos que: [
̂
̂
(
̂ )
]
Por análisis vectorial tenemos que: (
)
(
)
Entonces podemos reescribir (
*
(
)
:
Desarrollando:
(
)
Por análisis vectorial tenemos que: ( ( *
)
( *
Por lo tanto: ( )
(
[
*
(
⏞) ]
Entonces: [
(
̂) ̂]
Lo cual es la respuesta al problema.
Ejercicio 8.19.- Un dipolo puntual, P1, está situada en r1, y otro dipolo, P2, que se encuentra en r2. Demostrar que la energía de P2 en el campo de P1 está dada por la energía de interacción dipolo-dipolo. ((
)
Donde R=r2-r1 *Solución: Por formulas tenemos lo siguiente:
Sustituyendo en el problema que nos compete: (
*
Desarrollando (
)
(
)
( *
Por análisis vectorial tenemos que: ⃗
( * (
)
Sustituyendo en el problema:
(
⏞) (
⏞ )*
( (
)
⃗) ⃗
Sustituyendo tenemos: *
(
⃗⃗ ) ⃗⃗
)
+
Desarrollando, la parte de análisis vectorial: ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗)
⃗⃗
( (
)(
)
( (
) )
Por lo tanto la respuesta a este problema: (
)
(
̂ )(
̂)
Ejercicio 9.1.- La superficie de separación entre las regiones 1 y 2 en un ⏞ ⏞ ⏞, encontrar los plano cuya ecuación es 2x+y+z=1. componentes normal y tangencial de E1
*Solución: Tenemos en base al problema:
̂
̂
̂
̂
̂
Tenemos, que respecto al plano:
El vector normal del plano es: ( ) Sabemos que:
Despejando tenemos:
̂
̂
̂
Siendo esa la respuesta al problema.
Ejercicio 9.3.- Una esfera de radio “a” tiene su centro en el origen. Dentro de la esfera, el campo ⏞ ⏞ ⏞, donde eléctrico está dado por: Existe una densidad superficial de carga sobre la superficie de la esfera, dada en coordenadas esféricas por donde . Encuentre E2 en todos los puntos justo afuera de la esfera y expréselo en coordenadas rectangulares. *Solución: ̂
̂
̂
Condiciones de frontera:
Vector normal cartesiano:
̂
̂
̂
̂
Componente tangencial:
Componente normal en ̂
̂
̂
:
̂
Normal en ̂
̂
̂
̂
Por lo tanto:
⃗⃗
⃗⃗
̂
⃗⃗
̂
(
)̂
Sustituyendo:
)( ̂
=( =(
)̂
(
̂
̂)
)̂
̂
(
) ̂
Si A=
⃗⃗
(
)̂
(
)̂
(
̂
)
̂
⃗⃗
