Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Cómputo EXAMEN DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA 3ER PARCIAL TIPO B PROFESOR: ALFREDO RANGEL GUZMAN ALUMNOS: ANTONIO CADENA, CORCINO PRIETO, ROSSELLO ROMERO. GRUPO: 2CV7 FECHA: 20 – DICIEMBRE – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. La densidad conjunta para las variables aleatorias (X, Y), donde X es el cambio de la temperatura unitario y Y es la proporción de desplazamiento espectral que produce cierta partícula atómica es
f ( x )=
{
10 x y 2 0< x < y <1 0 en cualquier otro caso
a) Encuentre las densidades marginales g(x), h(y) y la densidad condicional f(y|x) b) Encuentre la probabilidad de que el espectro se desplace más de la mitad de las observaciones totales, dado que la temperatura aumenta a 0.25 unidades. 2. Suponga que la vida útil en años, de cierto producto alimenticio perecedero empacado en recipientes de cartón es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad está dada por
f ( x )=
{
e−x , x >0 0, en cualquier otro caso
Si X1, X2 y X3 representa la vida útil para tres de estos recipientes seleccionados en forma independiente, encuentre
P( x 1< 2,1< x 2 <3, x 3 >2) 3. Se supone que cada rueda trasera de un avión experimental se llena a una presión de 40 libras por pulgada cuadrada (psi). Sea X la presión real del aire para la rueda derecha y Y la presión real del aire de la rueda izquierda. Suponga que X y Y son variables aleatorias con la densidad conjunta
{
2 2 f ( x )= k ( x + y ) 30 ≤ x ≤ 50 ;30 ≤ y ≤50 0 en cualquier otro caso
a) Encuentre k
P(30 ≤ X ≤ 40 y 40 ≤ Y ≤ 50)
b) Encuentre
c) Encuentre la probabilidad de que ambas ruedas no contengan la suficiente cantidad de aire. 4. Se lanzan dos veces una moneda. Sea Z el número de caras en el primer lanzamiento y W el número total de caras en los dos lanzamientos. Si la moneda no está balanceada y una cara tiene una probabilidad de ocurrencia de 40%, encuentre a) La distribución de probabilidad conjunta de W y Z; b) La distribución original de W; c) La distribución marginal de Z; d) La probabilidad de que ocurra almenos 1 cara.
Problema 1. a) ∞
1
g ( x ) =∫ f ( x , y ) dy =∫ 10 x y 2 dy =10 x x
−∞
¿
y3 1 1 x3 ∨ =10 x − 3 x 3 3
(
)
10 3 x ( 1−x ) 0< x <1 3 ∞
y
h ( y )=∫ f ( x , y ) dx=∫ 10 x y 2 dx=10 0
−∞
x2 2 y y ∨ =5 y 4 0< y <1 2 0
Entonces tenemos que
f ( y∨x ) =
f (x , y) 10 x y 2 3 y2 = = 0< x< y <1 3 g( x ) 10 ( 3 ( ) 1−x x 1−x ) 3
b) Para el inciso be tenemos que saber
3 y2 1 dy= 3 ( 1−0.25 ) 63 64
( )
1
1
1 2
2
y 3∨ 1 ∫ 3 y 2 dy =¿ 64 63 1
f ( y|x=0.25 ) dy =¿∫ ¿ 1 2
1
( |
P Y>
1 X=0.25¿=∫ ¿ 2 1 2
¿
64 1 64 7 8 1− = = 63 8 63 8 9
( ) ()
Problema 2. Por ser independientes: x1 ¿ x3 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) =f ¿ x 1> 0, x 2 >0, x 3 >0, y
para
f ( x 1 , x 2 , x 3 ) =0 en cualquier otro caso
Como si son independientes, podremos calcular la probabilidad… 3 2
∫∫ e−x e−x e−x d x 1 d x 2 d x 3=¿ 1
2
3
1 0
∞
P ( x 1 <2, 1< x 2 <3, x3 >2 ) =∫ ¿ 2
−e 3
∫ (¿ ¿−2+ 1) e−x e− x d x 2 d x 3 2
1 ∞ 3
¿∫ ∫ −e 2 1
−x1
∨2 e 0
3
∞ −x 2 −x 3
e
d x 2 d x 3=∫ ¿ 2
−e −e −e −e −3 −2 (¿ ¿−1−e ) e =0.0372 (¿¿−2+1) ¿ (¿ ¿−1−e−3)e−x d x 3=¿ ¿ (¿¿−2+1) ¿ ¿ 3
∞
¿∫ ¿ 2
Problema 3.
2
y dy 50 50 ∗104 =1 ∫ x 2 dx+∫ ¿= 392k 3 30 30 ¿ ( x 2+ y 2 ) dx dy=k (50−30)¿ 50
∫¿ 30 50
k∫ ¿ 30
Solucion :k =
3
a)
3 ∗10 4 392
3
40 −30 3 ¿ 40 50 3 3 3 49 2 2 −3 +50 −40 ∫ x dx+∫ y dy= 392 ∗10 ( 3 ¿)= 196 30 40 ( X 2 +Y 2 ) dy dx= 3 ∗10−3 ¿ 392 50
∫¿ 40
40
3 P ( 30 ≤ X ≤ 40, 40 ≤ Y ≤50 ) = ∗10−4∫ ¿ 392 30
40 3−303 3
40
b)
40
∫ ( X 2+Y 2) dy dx=2 3 ∗10−4 ( 40−30 )∫ x2 dx= 3 ∗10−3 (¿)= 37 . 392
30
30
196
196
40
P ( 30 ≤ X ≤ 40,30 ≤ Y ≤ 40 )=
3 ∗10−4 ∫ ¿ 392 30
Problema 4. Sea C la probabilidad de obtener cara y + el evento de obtener cruz P(C) = 0.4 P(+) = 0.6 S= { CC, C+, +C, ++} DONDE: C es cara & + es Cruz Sea (W, Z) representan un resultado típico del experimento. El resultado particular (1, 0) que indica un total de 1 cara y cero cruces, en el primer lanzamiento corresponde al evento +C. Por lo tanto:
+¿ P(C)=(0.6)(0.4 )=0.24 . f ( 1,0 ) =P ( W =1, Z=0 )=P (+ C )=P ¿ ++¿ ¿ +¿=(0.6)(0.6)=0.36 . +¿ P ¿ f ( 0,0 )=P (W =0, Z =0 )=P ¿ C +¿ ¿ + ¿=(0.6)(0.4)=0.24 +¿ P ¿ f ( 1,1 )=P ( W =0, Z=0 )=P ¿ f ( 2,1 )=P ( W =0, Z=0 )=P ( CC )=P(C ) P(C )=( 0.4)(0.4)=0.16
Algunos cálculos similares para los resultados (0, 0), (1, 1) y (2, 1) conducen a la siguiente
distribución de probabilidad conjunta:
2
0.24 0.24
0.16
0
f (w , z) Z
W 1
0 1
0.36
a) Sumando las columnas, la distribución marginal de W es:
w
0
1
2
g(w)
0.36
0.48
0.16
b) Sumando las filas, la distribución marginal de Z es:
z
0
1
h(z)
0.60
0.40
c) La probabilidad de que ocurra al menos 1 cara.
P (W ≥ 1 )=f ( 1, 0 ) + f ( 1, 1 ) +f ( 2 , 1 )=0 . 24+0 . 24+ 0 .16=0 . 64
