U NIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE I NGENIERÍA I NGENIERÍA I NDUSTRIAL IND 2220 FINANZAS EMPRESARIALES - SEMESTRE II/2013
TERCER EXAMEN TERCER EXAMEN PARCIAL 13 DE DICIEMBRE DE 2013
Estudiante, Estudiante, trabaje tra baje con limpieza, orden y honradez 1. La acción de la empresa A se está transando a $10. Se sabe que el precio aumentará o caerá en un 20% para cada uno de los próximos dos años. La tasa de interés anual es de un 10% (simple). ¿Cuál es el precio de una call europea europea a dos años sobre la acción de A que tiene un precio de ejercicio de $8? (10 Pts.) SOLUCIÓN
Aquí el truco es como se entendió el tema de las pseudoprobabilidades o probabilidades intrínsecas. El valor de q fue calculado considerando una capitalización continua, pero el ejercicio nos dice que el interés es SIMPLE, por lo que la fórmula original queda como sigue: q
r ( simple) d u d
;
Entonces, a partir de esto puedo calcular q: cu q
cuu q cud ( 1 q)
1 r c q cdd ( 1 q) cd ud 1 1 r c q cd (1 q) c u 1 r
1,1 0, 8 fór mulas: 0,75 y aplicando las fórmulas: 1, 2 0, 8
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Fórmulas presentes en el documento: Mascareñas, J. (2012) Mercados derivados financieros: Futuros y opciones, pág. 42.
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2. Considere un portafolio compuesto por dos opciones escritas en la misma acción: 1) Posición larga (compradora) en una call europea, 2) Posición corta (vendedora) en una put europea, ambas con la misma fecha de expiración, T, y el mismo precio de ejercicio, K. (20 Pts.) 2.1.¿Cuál es el pago de este portafolio en T, como función del precio de la acción en T? 2.2.¿Qué otro derivado tiene la misma función de pago? SOLUCIÓN
¿Cuál es el pago de este portafolio en T, como función del precio de la acción en T?
¿Qué otro derivado tiene la misma función de pago?
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3. El precio actual de la acción de la empresa “FCO” es $40. Se sabe que el próximo período el precio de la acción puede aumentar en un 10.6% o caer en un 9.6%. La tasa de interés libre de riesgo es de un 8% anual. (20 Pts.) SOLUCIÓN
Derive un modelo binomial de tres períodos para el precio de "FCO" (esto es, use un mes para cada rama del árbol).
q q
Resumen: t0
t1
t2
t3 Souuu Souu
54,1159606
48,92944 Sou
Souud
44,24
44,2322138
So
Soud 40
39,99296 Sod
Soudd 36,1536358
36,16
Sodd 32,68864
Soddd 29,5505306
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4. El día 21/03/2012 una institución desea calcular la prima de no arbitraje de una opción de venta tipo europeo. Dicha opción tiene un strike de 16$ y vence a un mes (30 días). La tasa de interés libre de riesgo es de 3%. El precio actual de la acción es de 15$. Con la finalidad de la valuación, el tiempo restante hasta el vencimiento se divide en 30 intervalos. En cada intervalo el precio de la acción puede subir un 12%. Deje expresado el valor de la prima como una función binomial de múltiples pasos (si puede calcularlo mucho mejor!). (20Pts.) SOLUCIÓN
Datos: Precio de ejercicio K
= 16$
So
= 15$
T
= 30 días
δ
= 0,03
n
= 30
u
= 1,12
d
= 0,892
Calculando la pseudo probabilidad:
q
q
t
365
e
d
u d 0,03
1 365
0,892 1,12 0, 892
e
q 0,472
El valor de q’ se calcula a partir de:
q' e
t
365 uxq
0,03
q' e
1 365
(1,12 x0, 472)
q ' 0,5286
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K ln So d n a 1 u ln d 16 ln 15(0,892)30 1 a 1,12 ln 0,892 a 15 1 a 16
Fo Ke Fo Ke
T a 1
365
0 ( K S u d o
z
n z
a 1 n z n n z ) q (1 q) So q 'z (1 q ')n z z 0 z z
T
365
Bin( a 1, n, q) So Bin( a 1, n, q ')
F o 4,289$
K
T 16
Q
rf 30
q'
0,47205998 0,52866372
n
u
0,03
30
a
d 1,12 0,892857143
B(a-1,n,q) 15
delta t So
B(a-1,n,q')
0,688268882 0,446406556 15,96059654 4,289083593
6
15
1
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5. El día 21/03/2012 una institución desea calcular el valor de la prima de una opción call europea, asumiendo que son eliminadas las oportunidades de arbitraje. La opción tiene un strike 15$ y vence después de dos meses (61 días). La tasa de interés libre de riesgo es 2,5%. El valor de mercado de la acción en la fecha de valuación es 13$, y en dos meses puede tomar únicamente los valores de 20$ y 10$. Calcule el valor de la opción haciendo uso de las pseudo probabilidades detrás del modelo binomial. (20 Pts.) SOLUCIÓN
Se tiene el valor de u = 20/13 = 1,538; d=10/13=0,769 Inicialmente, el valor de las pseudo probabilidades (intrínsecas) será:
q
q
t
365
e
d
u d 0,025
61 365
0,769 1,538 0,769
e
q 0,305
Entonces, el valor de la opción podría calcularse desde:
Vo e Vo e
t
365
0,025
F u q F d (1 q) 61 365
(20 15) * 0, 305 (0)(1 0, 305)
V o 1,527$
rf
u
d
0,025 1,53846154 0,76923077 q
Prima 0,30544287 1,52700515
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6. Considere un contrato a término realizado entre dos instituciones, con vencimiento en tres meses y con un precio de entrega de 430$. Al momento de vencimiento, el activo subyacente cotiza en el mercado a un precio de 417$. Bajo estas condiciones, explique (10 Pts.): 6.1.¿Quién obtendría una ganancia y de que magnitud, aquel de posición corta o larga? 6.2.Realice el diagrama de Pay off de la posición corta en el contrato a término, esta última como una función lineal decreciente del precio del subyacente al momento de la entrega. SOLUCIÓN
¿Quién obtendría una ganancia y de que magnitud, aquel de posición corta o larga? Bajo estas condiciones, la institución que tomó la posición vendedora (corta) obtendría una ganancia. La ganancia sería de magnitud 430$-417$=13$. Realice el diagrama de Pay off de la posición corta en el contrato a término, esta última como una función lineal decreciente del precio del subyacente al momento de la entrega. La ganancia máxima que puede obtener sería K, mientras que la pérdida potencial teórica será ilimitada.
K K
St
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PREGUNTA EXTRA (25 Pts.). Una institución financiera desea calcular el valor de la prima de una opción put europea el día 23/12/12. El strike de la opción es de 50$ y vence luego de tres meses (92 días). La tasa de interés libre de riesgo es 3%. El precio actual de la acción es 60$. La volatilidad en el precio de la acción es 35%. Deje expresada la prima como función de distribución normal. Datos: Precio de ejercicio K
= 50$
So
= 60$
T
= 92 días
δ
= 0,03
σ
= 0,35
Las fórmulas se resumen en:
d 1
d 2
2 T So ln 2 365 K
T /365
2 T So ln 2 365 K
T /365
Fo Ke T Normal ( d2 ) So Normal( d 1 )
d 1
0, 352 92 60 ln 0, 03 2 365 50
1,16 0, 35 92 / 365 0,352 92 60 ln 0, 03 2 365 50 d 2 0,99 0, 35 92 / 365 0,03(92) Fo 50e Normal (0,99) So Normal ( 1,16) F o 0,6818$
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K
So
T
50 d1 -1,16847392
interes
60
92
d2 -0,99275621
Normal (-d1) Normal (-d2) 0,12130783
0,16041439
Fo=prima 0,68182864
10
sigma 0,03
0,35
