Examen Proba 3er Parcial

PIOTR MARIAN WISNIEWSKI PRZYKUCKA

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 13.11 Supóngase que el error de fase de un dispositivo de rastreo tenga la siguiente densidad de probabilidad

 π  c ox s0 < x < 2  f (x) =     0 p a l ar d as e xm a s Calcúlese la probabilidad de que el error de esta fase este: π a) entre 0 y 4 π b) mayor que 3 Respuesta: π

a)

4

∫cos xdx =senx

π 4 0

=0.707

0

( x )= P ( X < x ) b) F   π π PX  > =1−PX  <    3 3 π =1−F  3 π =1−s e n =0 .1 3 3 9 3 π b

3

a

0

Donde F(x)= ∫ f(x)d x = ∫cos xdx 13.17 La producción de artículos en gran escala siempre ocasiona una variación aleatoria, debida a influencias que son impredecibles e incontrolables. Así, en la producción de pernos, el diámetro X(cm) de los mismos se debe considerar como una variable aleatoria. Suponga que la distribución de X tiene densidad:

 k(x − 0.9) (1.1− x) 0.9 < x < 1.1   f (x) =    0 p a r ala sd e m ax s  Determinar k y encontrar

µy σ

Respuesta: a) k=750 b) EX= 1;

σ=0 .0 4 4 7

DISTRIBUCION BETA 17.16 El porcentaje de impurezas por unidad de producción en un cierto producto quimico es una variable aleatoria x que tiene una dicción de densidad:

 1 x2 2 (1 − x ) 0 < x < 1   f (x) =    0 p a lr a ads e m x a s  No es posible vender una unidad de producción con más de 40% de impurezas. ¿Cuál es la probabilidad de que una unidad de producción seleccionada al azar no pueda venderse por demasiadas impurezas? Respuesta: α=3 β =2 0 .4

P (X>0 .4 )= 1 −P (X<0 .4 )= 1 − 1 2∫x2( 1 −x)d x 0 0 .4 x3 x4 = 1 2∫( x2−x3) d x= 1 2 −  = 1 − 0 .1 7 9 2 =0 .8 2 0 8 3 4 0 0 0 .4

DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA O RECTANGULAR 1362 Los tranvías llegan a cierta plaza en la ciudad polaca de Krakow (Cracovia) a la hora prefijada, con un margen de retraso X, que se distribuye uniformemente en el intervalo (0;5) minutos. Halle la probabilidad de que el tranvia llegue a la plaza con un retraso que oscile entre 2 y 5 minutos:

Respuesta: (0;5) minutos

P ( 2 < X < 5 ) = F ( 5 ) − F ( 2 )

1 − 0 .4 = 0 .6

14.9 La cantidad diaria en litros de café despachada por una maquina ubicada en la sala de espera de un aeropuerto es una variable aleatoria X, la que tiene una distribución uniforma continua con a=7 y b=10. Encuentre la probabilidad de que en un determinado día la cantidad de café despachada por esta maquina sea: a) cuando mucho 8.8 litros b) más de 7.4 litros, pero menos de 9.5 c) al menos 8.5 litros Respuesta: x− a 8 .8 − 7 1 .8 (X < 8 .8 )= = = = 0 .6 a) P b − a 1 0− 7 3 ( 7 . 4 < X < 9 . 5 ) = F ( 9 . 5 ) − F ( 7 . 4 ) = 0 . 8 3 3 − 0 . 1 3 3 = 0 . 7 b) P

( X ≥ 8 . 5 ) = 1 − P ( X < 8 . 5 ) = 1 − F ( 8 . 5 ) = 0 . 5 c) P 14.11 Se fabrica una barra de un largo especifico. En el supuesto de que el largo verdadero X (en centímetros) es una variable aleatoria distribuida uniformemente en (10,12), si se fabrican 10 barras de este tipo, calcular la probabilidad de obtener exactamente cinco barras de longitud menor que 10.5cm y exactamente 2 de longitud mayor que 11.8cm. Respuesta

A 1 0.5 {< } 1=X A 1 0 .5 ≤ X < 1 1 .8 { } 2= A 1 1.8 {> } 3=X

P (A )= 0 .2 5 1 P (A )= 0 .6 5 2 P (A )= 0 .1 3 Por distribución multinomial: 1 0 ! 5 3 2 P ( X 5 ,X 3 ,X 2 )= ( 0 .2 5 ) ( 0 .6 5 ) ( 0 .1 ) = 0 .0 0 6 7 1= 2= 3= 5 ! 3 ! 2 !

DISTRIBUCION EXPONENCIAL Y GAMMA 16.29 El tiempo de paro semanal, en horas, para una línea de producción tiene

= β= 2 distribución gamma con α . Calcular la probabilidad de que el tiempo de paro para una semana dada no sea mayor que 10 horas.

Respuesta:

α = β= 2

1 ∞ 2−1 −2 − 5 P (X< 1 0)= 1 −2 x ed x= 1−e =0 .9 9 3 2 ∫ 2Γ (2 )1 0 x

16.27 El kilometraje (en miles de kilómetros) que alcanzan los automovilistas con cierto tipo de neumático es una variable aleatoria con densidad de probabilidad:

 1 −x  e 2 0x>0  2 0 f (x) =     0 p a l ar d as e xm a s

Calcule las probabilidades de que uno de los neumáticos dure: a) a lo sumo 10 mil kilómetros b) entre 16 mil y 24 mil kilómetros c) al menos 30 mil kilómetros Respuesta: 1

− a) P (X< 1 0)= 1 − e2=0 .3 9 3 4

b) 0.1482 c) 0.2231 DISTRIBUCION NORMAL 15.46 Sea X una variable aleatoria con distribución N(1.5;2). Calcular las probabilidades: a) P(X < 2.5) b) P(X > -0.5) c) P(0.5 < X < 2) d) P(|2X-1| < 1) e) P(|X| > 0.5) Respuesta: a) b) c) d)

0.6915 0.8413 0.2902 0.1747

e) 0.8502 15.21 Supóngase que la temperatura t durante el mes de agosto está distribuida normalmente con media de 38ºC y varianza de 9. Encuentre la probabilidad de que la temperatura sea mayor que 40ºC. Respuesta: µ = 38 σ2 = 9 σ =3 P (X>4 0)=1−P (X<4 0) =1−P (Z<0 .6 6)=1−0 .7 1 5 4 =0 .2 5 4 6

BINOMIAL POR NORMAL 65% por TV p=65 q=35 n=80

( 2 5≤ X ≤ 4 0 ) a) P (X ≤ 6 0) b) P