UNIVER UNI VERSIDA SIDAD D ABIE ABIER RTA PARA ADULTOS (UAPA UAPA))
ASIGNATURA: Matemática en la Educacin Bá!ica II TEMA: Razones, proporciones y porcentajes
"A#ILITADOR Alcibíades Méndez
PARTI#IPANTE:
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MATRI#ULA:
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Estudie el tema Razones, proporciones y porcentajes en el libro de texto básico, luego: 1. Elabore un resumen del tema. Requisitos para el resumen. Debe tener solo una página Debe ser diferente al resumen que plantea el autor del libro en esta unidad. i usted tiene dificultades para elaborar un resumen, le recomiendo !er el siguiente !"deo:
#. Realiza los ejercicios impares planteados al final de la unidad. Requisitos para los ejercicios: Deben estar debidamente desarrollados. i usted no sabe escribir el desarrollo de los ejercicios a computadora , $ágalos en el cuaderno, $ágale fotograf"as y páguelas en el documento. %uedo a la espera de su trabajo.
Razones y proporciones
1. Razones y proporciones Tarea de la unidad IV Una razón entre dos cantidades es una coparación entre las cantidades !ue se realiza ediante un cociente a " b, y se lee a es a b.
&or ejemplo, si las edades de 'arlos y (rancisco son 1# y 1) a*os, entonces la raz+n entre sus edades es: 1#: 1) o
. i simplificamos la fracci+n obtenemos:
e denomina proporci+n a la igualdad de dos razones. &or ejemplo, la igualdad entre las razones anteriores:
Es una proporci+n, lo que se puede constatar porque los productos cruzados son iguales: 1# ) - 1) &or lo tanto, la propiedad fundamental de las proporciones es:
1.1. #roporcionalidad directa $os %ariables est&n en proporcionalidad directa si su cociente peranece constante"
/ es la constante de proporcionalidad. El gráfico de dos !ariables en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. 0nalizando el gráfico se !isualiza que si una magnitud aumenta, la otra tambin aumenta.
'jeplo"
2n !e$"culo en carretera tiene un rendimiento de 13 4m por cada litro de bencina. 5'uántos litros de bencina consumirá en un !iaje de 16# 4m7 e forma la proporci+n entre las !ariables distancia 8 consumo de bencina 9si aumenta la distancia, entonces se deduce que el consumo aumenta, por lo tanto son directamente proporcionales.
;cupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos que:
Entonces, 13<1 - 13 9constante
y
16#<1# - 13 9constante
1.(. #roporcionalidad in%ersa $os %ariables est&n en proporcionalidad in%ersa si su producto peranece constante"
4 es la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos !ariables que están en proporcionalidad in!ersa es un conjunto de puntos que están sobre una $iprbola.
0nalizando el gráfico se !isualiza que a medida que una magnitud aumenta, la otra magnitud disminuye. Ejemplo: =res obreros demoran ) d"as en $acer una zanja. 5'uánto demorarán obreros7 >a relaci+n entre el n?mero de obreros 8 tiempo es de proporcionalidad in!ersa, ya que si trabajan más obreros, entonces se demorarán menos tiempo en terminar el trabajo. 0plicando la propiedad de las proporciones in!ersas, el producto entre las !ariables es constante:
Entonces, @ x ) - 1) 9constante
y
x @,A) - 1)9constante
1.). #roporcionalidad copuesta *a proporcionalidad copuesta perite relacionar %ariables ediante proporcionalidad directa y+o proporcionalidad in%ersa. #ara resol%er ejercicios de este tipo, priero se debe dilucidar !ué proporcionalidad eiste entre cada par de %ariables. #osteriorente, se debe deterinar la constante de proporcionalidad !ue nos peritir& deterinar si son proporcionales o in%ersaente proporcionales.
Ejemplo: e necesitan #B obreros para pa!imentar # 4m de camino en ) d"as. 5'uántos obreros pa!imentarán ) 4m en 1B d"as7 a En primer lugar, determinaremos qu tipo de proporcionalidad existe entre las !ariables. ean: obreros 9; 8 longitud del camino 9>: Estas dos !ariables están en proporcionalidad directa, ya que entre más obreros, más 4m de camino se pa!imentarán, por lo tanto: - contante b &or otra parte, las !ariables obreros 9; 8 tiempo 9= están en proporcionalidad in!ersa respecto de la cantidad de 4m por pa!imentar, ya que entre más obreros, menos tiempo se demorarán en pa!imentar el camino. &or lo tanto, ; = - constante. De lo anterior se deduce que:
- contante 0plicando esta constante de proporcionalidad a los datos dados, tenemos que:
Cultiplicando cruzado en esta proporci+n y despejando x obtenemos: x - #) obreros Entonces, se requieren #) trabajadores para pa!imentar ) 4m de camino en 1B d"as. (. #orcentaje 'l porcentaje es una proporcionalidad directa en !ue se considera la totalidad coo un 1--. #or ejeplo, decir !ue el precio de un artículo /a subido 0 sini2ica !ue se /a increentado 0 partes de un total de 1--. 'n térinos 2raccionarios, se dice !ue /a subido la 0+1-- parte. 3uando calculaos el porcentaje de un n4ero, podeos /acerlo directaente ocupando el concepto de 2racción. #or ejeplo, el 1( de 5-es"
El cálculo de porcentaje tambin se puede realizar a tra!s de una proporcionalidad directa:
Es bastante ?til utilizar este mtodo para resol!er problemas de porcentaje relacionados con ganancia y prdida. &or ejemplo: El precio de un c$aleco durante una oferta $a bajado de 1).BBB a 1@.)BB. 5%u de descuento se le aplic+7 En este caso, se considera el precio inicial 91).BBB como el 1BB. De lo que disminuy+: 1).BBB 8 1@.)BB - 1.)BB, se requiere saber qu porcentaje es del precio original, por lo tanto:
Feamos a$ora otro ejemplo: 5%u es B,# de 7 En este caso, la totalidad es 9el 1BB, de modo que planteamos la proporci+n:
