ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA
Tarea 4 Geometría Analítica, Sumatoria y Productoria
Grupo: 301301A_474
LUIS CARLOS RUIZ ULLOA
TUTOR JHON MAURICIO BLANCO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Noviembre de 2018
INTRODUCCION
El siguiente trabajo de A L G E B R A , TR IG ONOME ON OME TR IA Y G E OME TR I A A NA L ITI IT I C A busca desarrollar una miscelanea de ejercicios que generan habilidades operativas de cada uno de los temas expuestos en la unidad 2. Como lo son ecuaciones, inecuaciones,a valor absoluto entre otros. En el se plantean alternativas teniendo en cuenta todas las propiedades, se identifican y explican sus fundamentos, dando soluciones ya que nosotros como estudiantes interpretamos de forma analitica los casos modernos para ser utilizados como herramientas matematicas en la solucion a situaciones de nuestro campo social y academico.
En el conocimiento esencial de un matemático, físico, ingeniero y demás científicos, debe existir el análisis matemático, que nace desde el álgebra. Gracias a su aplicación en cualquier área, nos ha ayudado a entender la realidad de fenómenos tanto, tangibles como teóricos.
Ejercicios: Datos Estudiante: LUIS CARLOS RUIZ ULLOA
Ejercicios seleccionados a desarrollar Ejercicios 1: 1 Y 4 Ejercicios 2: 5 Y 8
Identificación - Nombre CEAD/CCAV/CERES/UDR
Ejercicios 3: 9 Y 10 Ejercicios 4: 13 Y 14 Ejercicios 5: 17 Y 18 Ejercicios 1: Ejercicios 2:
Identificación Nombre CEAD/CCAV/CERES/UDR –
Ejercicios 3: Ejercicios 4: Ejercicios 5: Ejercicios 1: Ejercicios 2:
Identificación Nombre CEAD/CCAV/CERES/UDR –
Ejercicios 3: Ejercicios 4: Ejercicios 5: Ejercicios 1: Ejercicios 2:
Identificación Nombre CEAD/CCAV/CERES/UDR –
Ejercicios 3: Ejercicios 4: Ejercicios 5: Ejercicios 1: Ejercicios 2:
Identificación Nombre CEAD/CCAV/CERES/UDR –
Ejercicios 3: Ejercicios 4: Ejercicios 5:
EJERCICIOS 1 1. El administrador de una planta encuentra que el costo total necesario para manufacturar 50 unidades de cierto producto es de $500 y de 100 unidades es de $900. Suponiendo que la relación entre ambas variables es lineal, encontrar la ecuación que relaciona el costo y la producción. S OL UC IO N
La pendiente es igual a:
900 − 500 100 − 50
400 50
8 El valor del intercepto es igual a:
900 − 8(100) 900 − 800 100 Y por ultimo el problema para resolver la ecuación es:
+ () 100 + 8 COMPROBACION
4. Te asocias con un amigo y pones un negocio para renta de películas en DVD. Observas, al término del primer mes, que cuando el precio del alquiler es de $ 26 pesos por película, la renta promedio diaria es de 60 películas, y cuando es de $ 31 pesos, el alquiler disminuye a 30 películas. a) Escribe un modelo que relacione precio de alquiler y con número de x de videos alquilados b) Determina la pendiente: ¿Qué significado tiene en este modelo? c) ¿A partir de qué precio nadie rentaría películas en tu negocio? S OL UC IO N
Dos puntos de referencia, determinamos la pendiente:
(26, 60) (31, 30) b) Determina la pendiente: ¿Qué significado tiene en este modelo?
M = (30-60) / (31-26)
m = -6 m: variación de la renta por unidad de precio Que es una función lineal
a) Escribe un modelo que relacione precio de alquiler y con número de x de vídeos alquilados Y = -6X +b 30 = -6.31 +b b = 216
Y = -6x + 216
5. ¿A partir de qué precio nadie rentaría películas en tu negocio? X=0 Y = 216
COMPROBRACION
Ejercicio 2: Circunferencia y Elipse 5. Un servicio sismológico de Cali detectó un sismo con origen en el municipio de Pradera a 5km este y 3km sur del centro de la ciudad, con un radio de 4km a la redonda. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia del área afectada? ¿Utilizando esta ecuación, indica si afectó al municipio de Pradera? S OL UC IO N
Para resolver este problema se tiene que la ecuación de la circunferencia es la siguiente: (x – h)² + (y – k)² = r²
Los datos son:
h = 5 km k = - 3 km r = 4 km
Sustituyendo los datos se tiene que la ecuación de la circunferencia es: (x – 5)² + (y + 3)² = 4² (x – 5)² + (y + 3)² = 16
Finalmente se sustituye el punto O (0, 0) y se determina si fue afectado:
d = √(5 – 0)² + (-3 – 0)² d = 5.83 km
Como d > r, entonces se concluye que no fue afectado.
COMPROBRACION
8. En ciertas construcciones antiguas, y en otras recientes, el diseño del espacio en algunos salones permite escuchar en un sitio especial lo que se habla en otro lugar del mismo recinto, sin que en otros puntos se escuche la plática. Debido a esta peculiaridad, estas salas son conocidas como cámara de los secretos. Cerca de la ciudad de México, en uno de los patios del antiguo Convento del Desierto de los Leones, podemos apreciar una de estas cámaras construida en el siglo XVII. Aprovechando una particularidad de las elipses, tales construcciones poseen una bóveda elíptica y sitúan los focos justamente en los puntos desde los cuales se transmite o escucha el mensaje. La ecuación 16x2 + 41y2 – 131,20y – 551,04 = 0 describe la sección elíptica de un salón con cámara de los secretos.
a) ¿A qué distancia del centro deben estar situadas dos personas para que una escuche lo que habla la otra? b) ¿Cuál es, desde el piso, la máxima altura que alcanza la bóveda del salón?
SOLUCION
Adjunto podemos sacar la gráfica de la ecuación, por tanto, tenemos que: C(0,1.6)
→ CENTRO
Los ejes mayor y menor viendo siendo: a = 6.40 b=4 Ahora, teniendo estos datos podemos calcular el foco, tenemos que:
f = √(6.40² - 4²) f = ±5 FOCO (0,-5) y ( 0,+5) Por tanto, dentro de la distancia del foco tenemos que se escuchará lo que se dice, alejando las 5 unidades fuera del foco no se escuchará. La altura máxima viene dada por el valor del eje menor.
Ejercicio 3: Hipérbola y Parábola 9. La estación guardacostas B se encuentra situada 400 km, al este de la estación A. Un barco navega 100 km al norte de la línea que une A y B. Desde ambas estaciones se envían señales de radio simultáneamente a una velocidad de 290.000 km/seg. Si la señal
enviada desde A llega al barco 0’001 segundo antes que la enviada desde B, localiza la posición del barco. ¿A qué distancia está de cada una de las estaciones? S OL UC IO N
Para resolver este problema se debe tener en cuenta que la velocidad de la señal es constante, por lo tanto, debe cumplir con la condición del movimiento rectilíneo uniforma con la siguiente ecuación: ta=Tiempo en llegar la señal al barco desde la estación A tb= Tiempo en llegar la señal al barco desde la estación B da=Distancia desde el barco a la estación A db=Distancia desde el barco a la estación B v=velocidad da=290000*ta db=290000*tb
−
− 290000
Por lo cual tenemos que:
− 290000 ∗ 0.001 − 290 El barco está en un punto de coordenada 100 y está en la hipérbola con focos A y B con diferencia de distancias a los focos igual a:
2 290 Por consiguiente, se sabe que a es igual a:
145
La distancia focal es: 2 400 Por consiguiente, se sabe que b es igual a:
200
Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola es la siguiente:
−
1
Y despejando y reemplazando los valores en la ecuación de la hipérbola nos queda:
145 ∗ 145 21025 − 200 − 145 40000 − 21025 18975 Tenemos que:
−
1
Y sabiendo el valor de y que es igual a 100, reemplazamos:
100 − 1 21025 18975 10000 − 1 21025 18975 − 0.527009222661 1 21025 − 0.527009222661 1 21025 1 + 0.5270009222661 21025 1.52700092227 ∗ 21025 32105.1943906 √ 32105.1943906 179.1792242 Las coordenadas del barco son: (x , y) (- 179’18,100) La distancia a la estación A es:
+ (200 − 179.18) 100 + 20.82 √ 10000 + 433.7424
√ 10433.7424 102.145692029 La estación A está a una distancia de 102.14km.
La distancia a la estación B es:
+ (200 + 179.18) 100 + 379.18 √ 10000 + 143777.4724 √ 153777.4724 392.144708494 La estación B se encuentra a una distancia de 392.14km
COMPROBRACION
10. Un túnel con arco parabólico en la carretera Cali – Buenaventura,
tiene una altura máxima en su centro de 6,4 metros en su centro y su anchura al nivel del suelo es de 5,6 metros. a) ¿A qué distancia del punto más bajo del cable se ubica el foco? (Distancia Focal) b) Escriba la ecuación del perfil parabólico de acuerdo con el bosquejo realizado
c) ¿A qué distancia del centro la altura del túnel es de 4 metros?
S OL UC IO N
Para resolver este problema se tiene que la ecuación de una parábola es la siguiente: (x – h)² = 4*P*(y – k) Los datos son los siguientes: V (h, k) = (0, 6.4) P (x, y) = (2.8, 0) Sustituyendo: (2.8 – 0)² = 4*P*(0 – 6.4) P = -0.3063 a) La distancia focal es de 0.3063 m. b) La ecuación de la parábola es: x² = -4*0.3063*(y – 6.4)
13.
Para y = 4, se tiene que:
x² = -4*0.3063*(4 – 6.4) x = 1.714 m COMPROBACION
Ejercicio 4: Sumatoria 13. Una empresa tiene 6 sedes en cada una de 5 ciudades, la producción se realiza en una única ciudad y todas las sedes piden su producto estrella desde esta ciudad. En la tabla se muestran los productos pedidos por cada sede para un mes. Ciudad(i)\Sede (j) 1 2 3 4 5
1 63 50 111 62 115
2 56 51 80 72 102
3 65 58 70 52 44
4 43 57 91 82 45
5 69 90 66 62 70
6 90 86 106 51 78
a) El número total de productos solicitados en la ciudad 4, se representa por: 6
D j 4
j 1
Utilice la 15efinición de sumatoria para calcular este número de productos. b) Según los resultados de un estudio, las sedes número 1 son las que más venden entre todas las ciudades. Represente en notación de sumatorias, el número de productos solicitados por todas las sucursales número 1 S OL UC IO N
a). Para resolver este ejercicio, plantearemos la sumatoria la cual viene dada por:
∑Dnj De forma tal que al desarrollar la misma tenemos que:
∑ D4j = 62 + 72 + 52 + 82 + 62 + 51 = 381 La cantidad total de productos que han sido solicitados por la ciudad número 4 es de un total de 381 productos. b). ∑= 1
63 + 50 + 111 + 62 + 115 40
14. Un contador maneja las finanzas de 7 clientes codificados del 1 al 7. En 6 bancos que denomina por confidencialidad banco 1, banco, 2, etc. En la siguiente tabla se muestra el dinero con que cuenta cada cliente en cada banco:
Banco(i) \Cliente (j) 1
1
2
3
4
$ 6.410.962
$ 9.327.965
$ 1.900.387
$ 4.124.495
2
$ 6.392.716
$12.156.984
$ 8.412.177
3
$14.706.292
$11.361.969
4
$10.048.815
5 6
5
6
7
$ 5.385.308
$14.558.333
$11.805.339
$ 5.295.015
$ 8.475.572
$12.698.912
$ 5.118.183
$11.339.105
$ 8.578.405
$ 4.786.921
$13.850.765
$11.476.590
$14.624.637
$11.407.585
$10.510.975
$ 5.364.972
$ 9.142.938
$ 5.020.781
$ 6.806.785
$ 9.716.011
$11.737.031
$ 4.232.126
$ 4.182.149
$ 6.801.151
$ 8.481.249
$13.363.962
$ 4.014.742
$ 6.724.977
$14.750.135
$14.693.597
$10.953.334
$11.314.625
a) El total de dinero con que cuenta el cliente 2, se representan por: 6
D
i2
i 1
Utilice la definición de sumatoria para calcular este total de dinero. b) Represente en notación de sumatorias, el dinero total que administra el Contador en cuentas del banco 4 S OL UC IO N
a) El total de dinero con que cuenta el cliente 2, se representa por: 6 a) ∑ ai2 = $9.327.965 +$ 12.156.984 +$11.361.969 +$ 14.624.637 i=1 +$9.716.011+$4.014.742 = $61.202.308. b) Representa en notación de sumatorias, el dinero total que administra el contador en cuentas del banco 4:
∑ a4j = $10.048.815 +$14.624.637 + $ 11.407.585 +$ 10.510.975 j= 1 $ 5.364.972 +$ 9.142.938 + $ 5.020. 781 = $66.120.703.
Ejercicio 5: Productoria 17. Una fábrica de juguetes, la cual es responsable de producir la muñeca de moda, ha diseñado un kit de guardarropa para esta muñeca, el cual está compuesto de tres vestidos: un azul, un gris y un negro; así como también de dos pares de zapatos: un par de color rojo y un par de color amarillo. ¿Cuántas formas de organizar la ropa para esta muñeca se puede lograr con este kit de guardarropa? S OL UC IO N
En el presente caso nos piden determinar el número de combinaciones posibles del guardarropa de la muñeca, teniendo un total de: Vestidos: 3 Zapatos: 2 pares Esto quiere que por cada vestido, la muñeca tendrá una combinación diferente para cada par de zapatos, Por lo tanto: Combinaciones = Cada vestido × cada par de zapatos Combinaciones = 3 × 2 Combinaciones = 6 formas diferentes de organizar la ropa de la muñeca
18. Una permutación es un arreglo donde los elementos que lo integran y su orden no importa. Considere el siguiente conjunto: {a,b,c,d}. ¿Cuántas permutaciones de tres elementos pueden obtenerse de este conjunto? SOLUCION
Para resolver simplemente debemos aplicar el concepto de combinaciones, donde el orden no importa, y solo se toman 3 de los 4 elementos.
El conjunto es: {a,b,c,d}
→ n:
de 4 elementos
Cantidad de elementos que se toman del conjunto: k P = n!/k! · (n - k)! P = 4!/3! · (4 - 3)! P = (4 · 3 · 2 · 1)/(3 · 2 · 1) · 1 P = 24/6 P=4
→ Cantidad
COMPROBRACION
de permutaciones
→ 3
elementos
CONCLUSION
Concluimos que el estudiante aprendió y puso en práctica los factores de aprendizaje de los temas tipificados en el presente trabajo, llevando a feliz término los términos los ejercicios. El manejo de softwares interactivos para la comprobación de los diferentes ejercicios es de mucha utilidad por consiguiente es recomendable utilizarlos para futuros ejercicios.
BIBLIOGRAFIA
https://es.symbolab.com/solver/algebracalculator/v%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(I761000%5Cright)%7D%7B0.1%7D%2C%20I%3D2000000 https://es.symbolab.com/solver/algebracalculator/20%5Ccdot%20X%3E%201000%2B1%2C5%5Ccdot%20X%20 https://es.symbolab.com/solver/algebra-calculator/180000%5Ccdot%20x120000%5Ccdot%20x-9000000%3D3000000 https://es.symbolab.com/solver/absolute-inequalities-calculator/%7Cx210000%7C%3C30000%20 https://es.symbolab.com/solver/absolute-inequalities-calculator/%7Cx210000%7C%3C30000%20 https://es.symbolab.com/solver/system-of-equationscalculator/y%3D%20300%5Ccdot%20x%20%2B%2090%5Cleft(x%20%2050%5Cright)%20 https://es.symbolab.com/solver/system-of-equationscalculator/C%5Cleft(x%5Cright)%3D%201500000%5Ccdot%20x https://www.academia.edu/16187328/Ecuaciones_Inecuaciones_y_Valor_a bsoluto
