Ejercicios sobres graficas de funciones trigonométricas 1) Complete correctamente la siguiente tabla: Funciones/ángulos Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante
0º o 1 0 N 1 N
π/3 3/2
π/2
135º
1 1/2 0 √3 Ind 3/3 0 2 Ind 2√3/3 1
2/2 -√2/2 -1 1 -√2 √2
150º 1/2 -√3/2 -√3/3 - 3
2√3/3 2
180º 3π/2 360º 0 -1 0 -1 0 0 ind 0 ind 0 ind -1 ind 1 ind -1 ind
2) Realice la gráfica correspondiente de las siguientes siguientes funciones trigonométricas: a) Seno b) F(x)= senx
c) Coseno d) F(x)= cosx
e) Tangente f) F(x)= tgx
g) Cotangente h) F(x)= cotgx
i) Secante j)
F(x)= sec x
k) Cosecante l)
F(x)= cosec x
3) Estudia y representa las siguientes funciones trigonométricas: a) y = sen (5x) b) y = 2 cos(x) c) y = cotg(2x) d) y = 3 sec(x) e) y = sen2(x) Representación de las funciones trigonométricas:
y = sen (5x)
1) Dominio:
Dom(f) = R
2) Recorrido:
Im(f) = [-1 , 1]
3) Periodicidad:
Como la función seno es periódica de período 2π, la función f(x) = sen (5x) es periódica de período:
2π = 5x ⇔ x = 2π/5 Es periódica de período 2π/5 . También podemos hallar el período de la función así: f(x) = sen(5x) = sen(5x + 2π) = sen[ 5 (x + 2 π/5) ] = f(x + 2π /5) También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula:
Periodo = 2π/5
4) Puntos de corte:
Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función. Puntos de corte con el eje Y: Si x = 0
y = sen 0
⇒
y=0
⇒
(0 , 0)
⇒
Puntos de corte con el eje X: Si y = 0
=π/5
⇒
0 = sen (5x) ⇒ (0 , 0) , (π/5 , 0)
5x = 0
⇒
5x = π
ó
⇒
x=0
ó
5) Máximos y mínimos: Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro del primer período de la función. Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación: 1 = sen (5x)
⇒
5x = π/2
x = π/10
⇒
⇒
(π/10 , 1)
Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación: -1 = sen (5x)
2.- y = 2 cos(x)
⇒
5x = 3π/2
⇒
x = 3π/10
⇒
(3π/10 , -1)
x
1) Dominio:
Dom(f) = R
2) Recorrido:
Im(f) = [-2 , 2]
3) Periodicidad: Como la función coseno es periódica de período 2π , la función f(x) = 2 cos(x) tiene el mismo período: 2π . También podemos sacar el período de la función así:
f(x) = 2 cos(x) = 2 cos(x + 2π) = f(x + 2π) 4) Puntos de corte: Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función. Puntos de corte con el eje Y: Si x = 0 ⇒ y = 2 cos 0 Puntos de corte con el eje X: Si y = 0
0 = 2 cos(x)
⇒
y=2
⇒
⇒
(0 , 2)
cos(x) = 0
⇒
⇒
x = π/2
ó
x = 3π/2
(π/2 , 0) , (3π/2 , 0)
Luego los puntos de corte con el eje X son: 5) Máximos y mínimos:
Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro del primer período de la función. Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación: 2 = 2 cos(x) ⇒ 2) , (2π , 2)
1 = cos(x)
⇒
x=0
ó
x = 2π
⇒
(0 ,
Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación: -2 = 2 cos(x)
⇒
-1 = cos(x)
⇒
x=π
⇒
(π , -2)
3.- y = cotg(2x) 1) Dominio:
kπ , k ∈ Z La función cotangente no está definida en: Por tanto, nuestra función tampoco estará definida en: 2x = kπ k ∈ Z
⇔
x = kπ/2 , k ∈ Z
Luego: Dom(f) = R - { kπ/2 | k ∈ Z } 2) Recorrido: Im(f) = R 3) Periodicidad: Como la función cotangente es periódica de período π , la función f(x) = cotg (2x) es periódica de período: 2x = π ⇔ x = π/2 Es periódica de período π/2 . También podemos sacar el período de la función así: f(x) = cotg(2x) = cotg(2x + π) = cotg( 2(x + π/2) ) = f(x + π /2) También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula:
Periodo = π/2
4) Puntos de corte:
La función cotangente no corta al eje Y, por tanto, la función f(x) = cotg(2x) tampoco. Sabemos que la función cotangente corta al eje X en: 0 = cotg(x) ⇔ x =π/2 ó x = 3π/2 En nuestro caso: 0 = cotg(2x)
⇔
2x = π/2
ó
2x = 3π/2
⇔
x = π/4 ó x = 3π/4
Como el período de nuestra función es π/2, los puntos de corte con el eje X en el primer período son: (π/4 , 0) , (3π/4 , 0) 5) Máximos y mínimos: La función cotangente no tiene máximos ni mínimos, por tanto, f(x) = cotg(2x) tampoco los tiene.
4.- y = 3 sec(x) 1) Dominio:
La función cos(x) es cero en:
Por tanto, el dominio de nuestra función vendrá dado por:
2) Recorrido: Sabemos que el recorrido de la función coseno es [-1 , 1] . Es decir:
-1 ≤
cos(x) ≤ 1 Separamos las dos desigualdades y, operando, tratamos de "conseguir" nuestra función:
Luego:
- 3 ≥ f(x) , que representa el intervalo (-∞ , - 3]
Luego:
f(x) ≥ 3 , que representa el intervalo [3 , ∞)
Por tanto, el recorrido o imagen de nuestra función es:
Im(f) = (-∞ , - 3] ∪ [3 ,
∞) 3) Periodicidad: Como la función secante es periódica de período π , la función f(x) = 3 sec(x) tiene el mismo período: π . También podemos sacar el período de la función así: f(x) = 3 sec(x) = 3 sec(x + π) = f(x + π) 4) Puntos de corte: Calculamos los puntos de corte que haya dentro del primer período de nuestra función.
Puntos de corte con el eje Y: Si x = 0
y = 3 sec 0
⇒
⇒
y = 3·1 = 3
No tiene puntos de corte con el eje X, puesto que:
(0 , 3)
⇒
y = 0 ∉Im(f) = (-∞ , - 3] ∪
[3 , ∞) 5) Máximos y mínimos: La función sec(x) no tiene ni máximos ni mínimos absolutos, por tanto, la función f(x) = 3 sec(x) tampoco.
5.- y = sen2(x) 1) Dominio: El dominio de la función seno es todo R , por tanto, el dominio de nuestra función es el mismo: Dom(f) = R 2) Recorrido: Calcularemos su imagen o recorrido a través de su función invesa: y = sen2(x)
⇒
±√y = sen(x)
⇒
arcsen(±√y) = x
Intercambiamos las variables y estudiamos el dominio de la nueva función:
y = arcsen(±√x) • El dominio de la función arcsen(x) es:
[-1 , 1]
• La raíz cuadrada está bien definida sólo en los números positivos: Por tanto, su dominio es: [-1 , 1] ∩ [0 ,∞) = [0 , 1] O lo que es lo mismo, la imagen de nuestra función es:
[0 , ∞)
Im(f) = [0 , 1]
3) Periodicidad: Vamos a escribir f(x) de otra forma equivalente que nos permita calcular su período. Usaremos la fórmula del coseno del ángulo doble: sen2(x)
cos(2x) = cos2(x) -
1 = cos2(x) + sen2(x)
Y también:
cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) ⇔ cos(2x) = (1 - sen2(x) ) sen2(x) ⇔ cos(2x) = 1 - 2sen2(x) ⇔ ⇔
2sen2(x) = 1 - cos(2x)
⇔
sen2(x) = (1 - cos(2x) )/2
Ahora sí sabemos calcular su período teniendo en cuenta que el período de la función coseno es 2π :
El período de f(x) es T = π . 4) Puntos de corte: Calculamos los puntos de corte que haya dentro del primer período de nuestra función. Puntos de corte con el eje Y: Si x = 0
⇒
y = sen2(0)
⇒
y=0
⇒
(0 , 0)
Puntos de corte con el eje X: Si y = 0
0 = sen2(x)
⇒
0 = ± sen(x)
⇒
Luego los puntos de corte con el eje X son:
x=0
⇒
(0 , 0)
,
ó
x=π
(π , 0)
5) Máximos y mínimos: Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro de l primer período de la función. Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación: 1 = sen2(x)
⇒
1 = ± sen(x)
⇒
x = π/2
⇒
(π/2 , 1)
Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación: 0 = sen2(x)
⇒
0 = ± sen(x)
⇒
x=0
ó
x=π
⇒
(0 , 0) , (π , 0)
4) ¿Cómo se caracteriza el movimiento armónico simple? El movimiento Armónico Simple, se le llama SIMPLE porque proviene de un Movimiento Circular Uniforme, el cual posee velocidad constante de rotación. Si el movimiento circular NO tiene velocidad constante (pudiendo ser acelerado o variado); la proyección que genera forma el llamado Movimiento Armónico Complejo (MAC), cuyo estudio es semejante al primero pero teniendo en cuenta el cambio de la velocidad en el tiempo aplicado en las diversas fórmulas del mismo. Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)
cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t. Es un movimiento periódico, y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a l a posición, y que queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s
Movimiento armónico simple, mostrado en el espacio real y en el espacio fásico. La órbita es periódica. Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A. La función seno es periódica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que w(t+P)+j=w t+j+2p .
6) Encierre en un círculo la letra de la respuesta que complete correctamente cada enunciado: i) La gráfica del seno se denomina: a) Senosoide b) Secantoide c) Cosenosoide d) Cotangentoide
ii) El coseno de π/2 equivale a:
a) Cas 90º b) Cos 180º c) Cos 270º d) Cos 360º iii) La gráfica del coseno recibe el nombre de: a) Senosoide b) Secantoide c) Cosenosoide d) Cotangentoide
iv) La gráfica del coseno se denomina: a) Cotangentoide b) Secantoide c) Cosenosoide d) Tangentoide
v) La tan 3π/2 es igual a: a) Tan de 270º b) Tan de 180º c) Tan de 90º d) Tan de 360º
