Taller Sistemas de ecuaciones Solución.docx

Sistemas de Ecuaciones

Objetivo del taller Utilizar el método de reducción de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales, Determinar cuándo un sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones, _única solución, o es inconsistente. Representar una situación dada utilizando sistemas de ecuaciones. I.

1.

Determinar los vértices de las regiones poligonales acotadas por las rectas dadas. Graficar en cada caso.

   = 2 ; −2−2  3 = 1 ; 33  6 = 18 ;  = 0

Para determinar los vértices de las regiones tomamos pares de ecuaciones para hallar las intersecciones del polígono formado por el total de ecuaciones del sistema.

 = 2 −= 2; ;−2−+2  3

=1

=

Igualando y, obtenemos:

123 2−= 6−3=12 =1 =1

Y remplazando x en cualquier ecuación, obtenemos:

Resolviendo de la misma for ma para los demás combinaciones de ecuaciones, tenemos:

   = 2 ; 33  6 = 18  = −2 ,  = 4    = 2;  = 0 =2, =0 3  6 = 18 ;  = 0 =6, =0

Gráficamente:

−2  3 = 1 ; 33  6 = 18  = 167 ,  = 137 −2  3 = 1 ;  = 0  = − 12 , =0

2.

2   = 5 ;  −  = 2 ; −4−4 − 3 = −34 ;  =  − 5 ;   3 = 5


2   = 5 ; − 

 = 5−2 5 −2 ;  = 2 2  5−2 5− 23=3  = 2 =1 =3  −  = 2;  =  − 5  −  = 2 ; −4−4 − 3 = −34−34  =4, =6 2 = =105, ; =−  = 5 − 5 2   = 5;   3 = 5 =2;=1 3 3 −4 − 3 = −34 ;  =  – 5 −4 − 3 = −34 ;   3 = 5 =7;=2  = 293 ;=− 149  −  = 2 ;   33 = 5  =  − 5 ;   33 = 5 =5,=0 =2


Y remplazando x en cualquier ecuación, obtenemos:


Estas rectas no se intersectan.

=− 14 ; = 74 Gráficamente:

3.

   = 1 ;    = 5 ; 3 =  − 1 ;  − 1 = 3


   = 1 ;   =5 1− = 5−    = 1 ;  − 1 = 3    = 1 ; 3 =  − 1 =0 , =1 =1 , =0    =4, = 5 ; 3=1=  − 1    =1;=4 = 5 ;  − 1 = 3 3 ==−  − 11;;=−  − 11= 3 Es c r i b a aquí l a ecuaci ó n. 2 2


No tienes solución simultánea.


Gráficamente:

4.

 = 2 ; 5 − 2 = 8 ; 3  2 = 24


 = 2 ; 5 − 2 = 8  = 2 ;  = 85 2  = 1,  =2  = 2 ; 3  2 = 24 5 − 2 = 8 ; 3  2 = 24 25 =8 , = 12 24 5 = 5 , = 5


No tienes solución simultánea.


Gráficamente:

II.

Determine todas las soluciones de los siguientes sistemas. En caso de resultar infinitas soluciones, Halle la solución general y expresarla en forma paramétrica.

1.

25 23 −2− =−3 =3 3 − 3 =−2

Solución:

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

25 23 −2− =−3 =3 3 − 3 =−2  5=−1. 25−20.5=−3 1.5 3 − 3 =−2  5 1. −25  =−3 53−−1.1.550.0.=−1.5551.1. 0.552 − 3 =−2 −5. =−1.5 0.5 50. 5=−10.  1.55 −5.5 4.5 =−6.5

Dividimos la primera ecuación entre 2 y despejamos

En las ecuaciones 2 y 3 re mplazamos

la primera ecuación del sistema:

de la primera ecuación

Simplificando las ecuaciones 2 y 3, se obtiene:

Se divide la segunda ecuación entre -5.5 y despejamos esta ecuación en término de

Remplazamos



 =−1. =51 0. 521 1.5 11 11 −5.5 4.5 =−6.5  =−1. =51 0. 521 1.5 11 11 −5.5111   21114.5 =−6.5  =−1. =51 0. 521 1.5 114 =4 11    =−1. =51 0. 521 1.5 11 =1 11   =−1=2  =1 2−4−3 =0 =0 5 −7 6 =0

de la ecuación 2, en la ecuación 3

Con la simplificación obtenemos:

Dividimos la última ecuación entre 4 y despejamos

Remplazando en forma ascendente, obtenemos:

2.

Solución

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Despejamos



25−4−7−36 =0 =0=0 25−4−7 =− 36 =0=0

de la primera ecuación (fila 1):



Remplazamos



de la primera ecuación (fila 1), en las ecuaciones 2 y 3 (fila 2 y fila 3):

 =−      =0 25−− −4 3  −7 6 =0 −6 =− 5 =0 −12 11 =0  =−=(5)   −12 116  =0  =−=(5)  6 5 −12(6)11 =0 =−=(5)   =06  =0=0  =0

Realizamos la respectiva simplificación :

Dividimos la segunda ecuación (fila 2) entre -6 y despejamos

Remplazamos el valor de

Simplificando, tenemos:

de la segunda ecuación, en la última ecuación (fila 3)

Automáticamente, el sistema de ecuaciones queda:

3.

Solución

2−4−3 =0 =0 5 −7 6 =0

Resolvemos el sistema de ecuaciones

2−4−3 =0 =0 −5 13 −10 =0

Solución:

en esta ecuación:

Despejamos

 

 =−     2 −4 3 −513 −10 =0 =0  =−     2 −   −4 3 −5−13 −10 =0 =0  −6 =− 5 =0 18 −15=0 =−=(5)  6 5 18( { 6)−15 =0  =−=(5)  0=06    (− 165) =0  (− 6) =0

de la ecuación 1 (fila 1)

Remplazamos

de la ecuación 1 (fila 1), en las ecuaciones 2 y 3 (fila 2 y 3)

Simplificamos y obtenemos:

Dividimos la segunda ecuación entre -6 y despejamos en la fila 3:

Simplificamos:

El resultado del sistema es:

Si

 =1

, tenemos:

de la segunda fila y remplazamos su valor

=5/6= 16  =1

4. Solución: Resolvemos el sistema de ecuaciones:

121−2242== 12

51  32 = 5 121=−−4222 = 21 51  32 = 5 1 = − 22  1 25 −− 2222  11 − 4232 == 25 1 −=82− 22= 0 1 − 72 = 0 1 =2− 22=0  1 − 72 = 0 1 =2− 22=0  1 − 70 = 0 1 =2− 22=0  1 0=0

Despejamos x1 de la primera ecuación (fila 1)

Remplazamos x1, en las ecuaciones 2 y 3:

Después de la simplificación obtenemos:

Dividir la segunda ecuación entre-8 y despejamos x2 para la fila 2 (ecuación 2):

En 3 ecuación pongamos x2

después de la simplificación sacamos:

12 == 10

Resultado:

5.

Solución:

1121 −3222==−71 61  52 = 9 121=−−3222=−71 61  52 = 9 26−−22221 =−1122−3252 1==−79 1−=72− 22= −9 1



Remplazamos x1, en las ecuaciones 2 y 3:

después de la simplificación obtenemos:

− 72 = 3 12==−229/7 1 − 72 = 3 12==−229/7 1 − 7  9/7 = 3 12==−229/7 1 0 = 12

Dividir la segunda ecuación entre-7 y despejamos x2 para la fila 2 (ecuación 2):

Reemplazamos x2 en la ecuación 3:


Resultado: El sistema de ecuación no tiene solución, ya que: 0 ≠ 12

6. D

Solución:

1131  4212− 5313 == 104 131 = 42− 2533 = 410 1 = − 2  3  4 3 − 2  3  4  42  53 = 10 112= −283 =3−2 4 12= =− −283 3− 2 4 12−93 = 6 83 = −2



Remplazamos x1, en las ecuaciones 2:

Después de la simplificación obtenemos:

Despejamoss x2 de la ecuación 2 (fila 2):

Resultado:

7. Solución:

2121 − 3242− 4363 == 150 31  42  53 = −8


1 = − 22 − 33 2131 − 4232 − 5343 == −815 23 −−2222 1−− 3333= − 22− 4232− 33− 5343 == −815 1− 72= −− 22103−=3315 − 22 − 43 = −8 1 = − 22 − 33 2 =−−2210/7− 433 =− −815/7 1 = − 22 − 33 2 = −  1 0/7  3 −  1 5/7 − 2 − 10/73 − 15/7 − 43 = −8 1 = − 22 − 33 2 =− −8/710/73 =3−86/7 − 15/7 1 = − 22 − 33 2 = −31=0/7 10.3 7−515/7 12 ==−17.2.755 3 = 10.75

Dividir la primera ecuación por 2 y despejamos x1 de esta ecuación:

Remplazamos x1, en las ecuaciones 2 y 3 (fila 2 y 3):

después de la simplificación obtenemos

Dividir la segunda ecuación por -7 y despejamos x2 de la segunda ecuación (fila 2):

En la ecuación 3 (fila 3) remplazamos x2


Dividir la tercera ecuación por -8/7 y despejamos x3 de esta ecuación (fila 3):

Ahora pasando desde la última ecuación a la primera se puede calcular el valor de las otras variables: Resultado:

8.

Solución:

1121 −− 2212  2373 − 2444 == −610 31 − 32  93 − 14 = 4 51 − 52  113 − 64 = −2 1111 −− 1212  1373 − 1444 == −310 5131−−523211393 −− 6414 == −24 1 = 2 − 73 − 44  10


Simplifiquemos el sistema:


1131−−12321393−−1414==−34 51 − 52  113 − 64 = −2 1 = 2 − 73 − 44  10 1322 −− 7373 −− 4444  1010 −−12321393−−1414==−34 5 2 − 73 − 44  10 − 52  113 − 64 = −2 1 =− 263−−7354−=44−13 10 −− 123 − 134 = −26 243 − 264 = −52 13==2− −5/6734−4413/6 10 −− 123 − 134 = −26 243 − 264 = −52 13==2− −5/6734−4413/6 10 −− 1224 −− 5/64 5/64  13/6 13/6 −− 134 264 == −26−52 13==2− −5/6734−4413/6 10 −− 3464 == 00 13==2− −5/6734−4413/6 10 4− 64=0= 0 13==2− −5/6734−4413/6 10 4 =0 − 60 = 0 13==2− −5/6734−4413/6 10 40 ==00 1  3−1=213/6= −31/6 4 = 0

Remplazamos x1, en las ecuaciones 2 , 3 y 4 (fila 2, 3 y 4):

después de la simplificación obtenemos::

Dividir la segunda ecuación por -6 y despejamos x3 de la segunda ecuación (fila 2):

Remplazamos x3 de la ecuación 3 y 4:


Dividir la tercera ecuación por -3 y despejamos x4:

En la cuarta ecuación (fila 4) pongamos x3


Resultado:

III.

En cada uno de los sistemas lineales dados a continuación, encuentre los valores de a ,b ,c ,según sea el caso , para los cuales el sistema: Tiene solución única, Tiene infinitas soluciones, Es inconsistente.

Ejercicio 1.

La solución se hace a partir del método Gauss- Jordan:

La primera solución:

La segunda solución

No existe solución

Ejercicio 2.

La solución se hace a partir del método Gauss- Jordan:

La primera solución:

Segunda solución

Ejercicio 3.

Primera solución:

Segunda solución:

No existe solución

Ejercicio 4

Primera solución

Segunda solución

Ejercicio 5.

Soluciones

Ejercicio 6.

Primera solución

Segunda solución



  =500 =500 =2−1  2=1 → 2=5 2 = 25  2−1 5 =500 =147 =293 =59

Llamamos a al número de atletas infantiles, al número de atletas cadetes, al número de atletas juveniles, tenemos entonces que:

Sea



   2 4=34.000

al precio de la copa de la casa, el precio de la horchata y al precio del batido

Se tiene, los días viernes:

Para los días sábados, la cuenta es:

4 4 =44.000

,

 4=26.   = 11.000000

Simplificando esta última ecuación se tiene que

Si restamos las ecuaciones 1ª y 3ª se tiene:

  = 8

, lo que hace que el sistema no tenga las mismas soluciones (incompatibles)

 

Sea: al número de hombres al número de mujeres al número de niños Se tiene:

=60 =3  =6 4=60 =45 −=21

Restando las dos primeras ecuaciones, se obtiene Sustituyendo:

Sumando las dos ecuaciones, tenemos:

, de donde

 =15.

2=66 =33 =12

Simplificando 12000000 a 12000 y 432500 a 43250, tenemos:

Haciendo cambio de variable, tenemos_

=125000 =800000 =275000

Sea x=20000 es valor del regalo A= lo que paga el papá B= lo que pagan ambos hijos C=lo que paga el menor D=lo que paga el mayor

Como:

200000= 200000=3   = 64  64 ) 64  200000=3(10=200000

=20000 = 64 = 64 20000 =30000  =3 =33000020000=150000

Remplazando tenemos:

El padre paga entonces:

Las Ecuaciones son:

X + y = 160 4x + 3y= 512 Y = 160 – x 4x + 3(160 – x) = 512 4x +480 -3x = 512 x = 512 – 480 = 32 Y = 160 – 32 = 128 Resolviendo tenemos: Son 128 Malteadas y 32 helado con soda.

Las ecuaciones son: A+B+C=30 (A+C)*2=B

16000*A+20000*B+248000*C=5864000 Resolviendo el sistema, sale: A=7000 B=20000 C=3000

Taller Sistemas de ecuaciones Solución.docx

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