* canicas de cristal y 3 de acero valen 1D: 2c + 5a = 1,7 ,enemos el sistema
esolvemos por reducción
Una canica de acero vale =*D y una de cristal =<3D
Problema 8
@allar la medida de los lados de un rectángulo cuyo perEmetro es *4 y cuyo lado mayor mide el triple que su lado menor
Ver solución 9os rectángulos constan de cuatro lados: dos lados iguales (ase) y otros dos iguales (altura) l perEmetro es la suma de todos los lados x8 lado mayor y8 lado menor l perEmetro es *4: 2x + 2y = 24 l lado mayor mide tres veces el menor: x = 3y ,enemos el sistema
esolvemos por sustitución
9os lados mayores miden F unidades y los menores < unidades (cada uno de ellos)
Problema 9
.veriguar el n&mero de animales de una granja saiendo que: •
•
•
la suma de patos $ %acas es 1&# $ la de sus patas es '(#. se necesitan #(()" al d*a para alimentar a las "allinas $ a los "allos. Se tiene un "allo por cada 6 "allinas $ se sabe +ue una "allina come una media de ,((" el doble +ue un "allo. se piensa +ue la seta parte de los coneos escapan al comedero de las %acas lo +ue supone el triple de animales en dicho comedero.
Ver solución a. a! "ue tener en cuenta "u e cada pato tiene 2 patas ! cada vaca 4.
p 8 n&mero de patos v 8 n&mero de vacas 9a suma de los animales es 1<*:
p + v = 132 9a suma de las patas es 4=* (dos patas por pato y cuatro por vaca): 2p + 4v = 402 ,enemos el sistema
esolvemos por reducción
@ay 6< patos y 6F vacas b. Puesto "ue las cantidades de pienso "ue consumen son apro#imadas$ no obtendremos el n%mero e#acto de animales$ sólo u na estimación.
y 8 n&mero de gallos x 8 n&mero de gallinas @ay un gallo por cada 6 gallina: x = 6y Una gallina come =%3Gg y un gallo =%*3Gg n total consumen *==Gg: 0,5x + 0,25y = 200 ,enemos el sistema
.plicamos sustitución
9os resultados son decimales ya que las cantidades de comida que consumen son apro"imadas $odemos decir que Aay 61 gallos y <66 gallinas c. &abemos "ue 'a! 69 vacas.
c 8 n&mero de conejos 9a se"ta parte de conejos está junto a las vacas% por lo que Aay 69 + c/6 animales en el comedero de las vacas .l contar los conejos% el n&mero de animales en el comedero de las vacas es el triple: (69 + c/6) = 69·3 esolvemos la ecuación de primer grado
@ay ;*; conejos esumiendo:
Problema 1(
n un e"amen tipo test% las preguntas correctas suman un punto y las incorrectas restan medio punto n total Aay 1== preguntas y no se admiten respuestas en lanco (Aay que contestar todas) 9a nota de un alumno es ;=3 sore 1= Calcular el n&mero de preguntas que contestó correcta e incorrectamente
Ver solución scriimos la nota sore 1== en veH de sore 1=: 0.(,1(20(.,;=31=8;=3 9lamamos x al n&mero de respuestas correctas e y al n&mero de respuestas incorrectas
$uesto que se deen contestar todas las preguntas% dee cumplirse la ecuación 3$21(("y81==
Cada respuesta correcta suma 1 y cada incorrecta resta =3: 14(.,$20(.,1"J=3y8;=3
.Aora resolvemos el sistema de ecuaciones por sustitución: .islamos la x en la primera ecuación: 3$21(("y81== 21((4$"81==Jy
.Aora sustituimos x en la segunda ecuación: 4(.,$20(.,"J=3y8;=3 51((4$4(.,$20(.,(1==Jy)J=3y8;=3
esolvemos la ecuación de primer grado: 1((4$4(.,$20(.,1==JyJ=3y8;=3 1((40(.,2$3(.,$1==J;=38y=3y 17.,21.,$1F3813y $217.,1.,21&y81F31381< ,enemos que el n&mero de respuestas incorrectas es y = 13
Kácilmente calculamos el n&mero de respuestas correctas: 21((4$21((41&208"81==Jy81==J1<8; Problema 11
+i se suma al numerador y al denominador de una determinada !racción% se otiene la !racción #&*< +i en veH de sumar se resta < al numerador y al denominador% se otiene la !racción 1'14
ncontrar dicAa !racción
Ver solución $odemos llamar x al numerador e y al denominador s decir% la !racción es $"y
+umamos al numerador y al denominador y otenemos 2/3: 38$382#&"y8*<
'otemos que de la igualdad anterior se otiene la siguiente: &5382#5$38<(")8*(y)
/peramos un poco para simpli!icarla: &3#12#$31'<"*18*y14 &4#$248<"J*y8J
.Aora procedemos del mismo modo pero restando <: 4&$4&21'"J
/peramos un poco: '54&2$4&4("J<)8yJ< '41#2$4&4"J1*8yJ< '4$274"Jy8F
$or tanto% el sistema de ecuaciones lineales es &4#$248<"J*y8J '4$274"Jy8F 9o resolvemos por igualación (por camiar de m#todo) $ara ello aislamos en amas ecuaciones la x
2e la primera ecuación: &4#$248<"J*y8J 2483#$&"8J*y<
L de la segunda: '4$274"Jy8F 273$'"8Fy4
Igualamos las x:
483#$&273$'J*y<8Fy4
esolvemos la ecuación de primer grado: '5483#$2&573$4(J*y)8<(Fy) 4#030$2#83&$J*;;y8*
Calculamos x a partir de la y: 2483#$&2"8J*y<8 2483##&2"8J**<8 21,&2"813<8 2,"83
$or tanto% la !racción uscada es $2,11"y8311 Problema 12
Una marca de eidas prepara una limonada (agua y concentrado de limón) con una cantidad muy precisa de sus ingredientes 9a relación entre las cantidades de agua y concentrado limón es !!2#!9,998*9.3 donde L L representa los litros de concentrado de limón y L A los litros de agua
+i se necesitan *= li mones para otener un litro de concentrado de limón% 5cuántos limones se necesitan para elaorar 1*<= otellas de *9 de esta limonada7
Ver solución 9as 1*<= otellas de *9 equivalen a un total de 1#&(#2#'6(!1*<=*8*46=9
de limonada Una de las ecuaciones del sistema es la proporcionada por el enunciado 9a otra es la siguiente: !!3!92#'6(999.8*46= s decir% el total de litros de limonada es la suma de los litros de agua y de los litros de concentrado de limón
esolvemos el sistema por sustitución: 2e la segunda ecuación: !!2#'6(4!9998*46=J9.
+ustituimos en la primera: !!2#!9,998*9.3 #'6(4!92#!9,*46=J9.8*9.3
esolvemos la ecuación de primer grado: ,#'6(4,!92#!93*46=J39.8*9. 1#&((2,!93#!91*<==839.*9. 1#&((28!91*<==89. !921#&((8218,8.1'!9.81*<==813149 )ota* L indica litros% no tiene que ver con el nomre de las incógnitas
.Aora calculamos los litros de concentrado de limón: !!2#'6(418,8.1'28(#.06!998*46=J13148=*;69 $uesto que se requieren *= limones para un litro de concentrado y queremos 702.86L de concentrado% necesitamos #(8(#.0621'(,8.#*==*;6814=3*
s decir% se necesitan 14=3; limones
Problema 13 +,i-icultad alta
Con una cuerda de <4 metros se puede diujar un rectángulo (sin que sore cuerda) cuya diagonal mide 1< metros Calcular cuánto mide la ase y la altura de dicAo rectángulo
Ver solución 9lamamos b a la ase del rectángulo y a a su altura 'otemos que la medida de la cuerda es el perEmetro $or tanto% #a3#b2&'*a*8<4 +i diujamos la diagonal del rectángulo veremos * triángulos rectángulos% siendo su Aipotenusa la diagonal del rectángulo:
.plicamos el ,eorema de $itágoras: a#3b#2h#a**8A*
donde h representa la Aipotenusa (la diagonal) 9uego a#3b#21ࡷa**81<*816F 9a di!icultad del prolema se dee a esta <ima ecuación ya que no es lineal (las incógnitas están al cuadrado)
.islamos a en la primera de las ecuaciones: #a3#b2&'*a*8<4 a2&'4#b#2184ba8<4J**81J
.Aora sustituimos a en la ecuación no lineal: a#3b#2167a**816F 5184b#3b#2167(1J)**816F
Calculamos el cuadrado de la resta ( inomio de 'eMton): 5184b#218#3b#4#18b2(1J)*81**J*18 2#073b#4&'b8*;F*J<4
$or tanto% tenemos una ecuación de segundo grado: #073b#4&'b3b#2167*;F*J<4*816F
+impli!icamos un poco: #b#4&'b31#(2(**J<41*=8= /mitimos el procedimiento ya que no pertenece al tema de sistemas de ecuaciones
9as soluciones son: b21# b2, 81*% 83
$or lo que a puede tener dos valores: a2184b2184,21#a81J81J381* a2184b21841#2,a81J81J1*83 'otemos que en realidad sólo e"iste una solución al prolema ya que si b = 12 entonces a = 5 y si b = 12 entonces a = 5 sto se dee a que no importa si consideramos un lado como la ase o como la altura
$or tanto% los lados del rectángulo miden 1* y 3 metros
Problema 14
n un concierto en#!ico se venden todas las entradas y se recaudan *< mil dólares 9os precios de las entradas son 3= dólares las normales y <== dólares las vip Calcular el n&mero de entradas vendidas de cada tipo si el a!oro del estalecimiento es de 16= personas
Ver solución 9lamaremos v al n&mero de entradas vip y al n&mero de entradas normales (no importa el nomre que le demos a las incógnitas) l n&mero total de entradas coincide con el n&mero total de personas: %3n216(vn816=
9a recaudación es &((%3,(n2#&(((<==v3=n8*<=== esolvemos el sistema de ecuaciones por igualación $ara ello aislamos v en amas ecuaciones:
2e la primera ecuación: %216(4nv816=Jn
2e la segunda ecuación: %2#&(((4,(n&((v8*<===J3=n<==
Igualamos amas e"presiones: 16(4n2#&(((4,(n&((16=Jn8*<===J3=n<== 9a solución de la ecuación de primer grado anterior es: n21((n81==
$or tanto% %216(41((26(v816=J1==86=
$or tanto% se vendieron 6= entradas vip y 1== normales
Problema 15
Un nio realiHa las siguientes oservaciones sore un parque in!antil de pelotas: •
@ay pelotas verdes% rojas y amarillas
•
l n&mero de pelotas verdes y pelotas rojas es cinco veces el n&mero de las amarillas
•
l n&mero de pelotas verdes es el triple que el de amarillas
•
l total de pelotas amarillas y rojas asciende a 1*<
Ver solución 9lamaremos v al n&mero de pelotas verdes% ! al n&mero de pelotas rojas y a al n&mero de pelotas amarillas l segundo punto nos dice que %3r2,avr83a
l tercer punto nos dice que %2&av8
L el cuarto nos dice que a3r21#&ar81*<
,enemos un sistema de < ecuaciones lineales con < incógnitas esolvemos el sistema por sustitución: +ustituimos la v de la segunda ecuación en la primera ecuación: %3r2,avr83a &a3r2,a
.islamos ! : r2,a4&ar83aJ
+ustituimos ! en la tercera ecuación: a3r21#&ar81*< a3#a21#&a*a81*< &a21#&
.Aora usamos el valor de a para otener las otras incógnitas: r2#a20#r8*a8;* %2&a21#&v8
Calcular el n&mero de n&meros positivos de < ci!ras (mayores que FF) tales que una de sus ci!ras es = y las otras dos ci!ras suman
Ver solución $uesto que los n&meros son de < ci!ras% serán de la !orma $("y=
/ ien ($"=y
donde x e y representan ci!ras 'otemos que los n&meros 0xy no son en realidad de tres ci!ras ya que 0xy = xy n amos casos% tiene que cumplirse que 3$28"y8
$or tanto% tenemos las posiilidades x 1 # & ' , 6 8
y x+y 6 8 , 8 ' 8 & 8 # 8 1 8 ( 8
'otemos que x no puede ser = ya que es la primera ci!ra en amos casos n la tala se recogen las posiilidades y son válidas para amos casos $or tanto% en un principio Aay un total de 14 n&meros% pero tenemos que descontar uno ya que los valores de la <ima !ila proporcionan el mismo n&mero 9a solución es: 1< n&meros
483#$&273$'J*y<8Fy4
esolvemos la ecuación de primer grado: '5483#$2&573$4(J*y)8<(Fy) 4#030$2#83&$J*;;y8*
Calculamos x a partir de la y: 2483#$&2"8J*y<8 2483##&2"8J**<8 21,&2"813<8 2,"83
$or tanto% la !racción uscada es $2,11"y8311 Problema 12
Una marca de eidas prepara una limonada (agua y concentrado de limón) con una cantidad muy precisa de sus ingredientes 9a relación entre las cantidades de agua y concentrado limón es !!2#!9,998*9.3 donde L L representa los litros de concentrado de limón y L A los litros de agua
+i se necesitan *= li mones para otener un litro de concentrado de limón% 5cuántos limones se necesitan para elaorar 1*<= otellas de *9 de esta limonada7
Ver solución 9as 1*<= otellas de *9 equivalen a un total de 1#&(#2#'6(!1*<=*8*46=9
de limonada Una de las ecuaciones del sistema es la proporcionada por el enunciado 9a otra es la siguiente: !!3!92#'6(999.8*46= s decir% el total de litros de limonada es la suma de los litros de agua y de los litros de concentrado de limón
esolvemos el sistema por sustitución: 2e la segunda ecuación: !!2#'6(4!9998*46=J9.
+ustituimos en la primera: !!2#!9,998*9.3 #'6(4!92#!9,*46=J9.8*9.3
esolvemos la ecuación de primer grado: ,#'6(4,!92#!93*46=J39.8*9. 1#&((2,!93#!91*<==839.*9. 1#&((28!91*<==89. !921#&((8218,8.1'!9.81*<==813149 )ota* L indica litros% no tiene que ver con el nomre de las incógnitas
.Aora calculamos los litros de concentrado de limón: !!2#'6(418,8.1'28(#.06!998*46=J13148=*;69 $uesto que se requieren *= limones para un litro de concentrado y queremos 702.86L de concentrado% necesitamos #(8(#.0621'(,8.#*==*;6814=3*
s decir% se necesitan 14=3; limones
Problema 13 +,i-icultad alta
Con una cuerda de <4 metros se puede diujar un rectángulo (sin que sore cuerda) cuya diagonal mide 1< metros Calcular cuánto mide la ase y la altura de dicAo rectángulo
Ver solución 9lamamos b a la ase del rectángulo y a a su altura 'otemos que la medida de la cuerda es el perEmetro $or tanto% #a3#b2&'*a*8<4 +i diujamos la diagonal del rectángulo veremos * triángulos rectángulos% siendo su Aipotenusa la diagonal del rectángulo:
.plicamos el ,eorema de $itágoras: a#3b#2h#a**8A*
donde h representa la Aipotenusa (la diagonal) 9uego a#3b#21ࡷa**81<*816F 9a di!icultad del prolema se dee a esta <ima ecuación ya que no es lineal (las incógnitas están al cuadrado)
.islamos a en la primera de las ecuaciones: #a3#b2&'*a*8<4 a2&'4#b#2184ba8<4J**81J
.Aora sustituimos a en la ecuación no lineal: a#3b#2167a**816F 5184b#3b#2167(1J)**816F
Calculamos el cuadrado de la resta ( inomio de 'eMton): 5184b#218#3b#4#18b2(1J)*81**J*18 2#073b#4&'b8*;F*J<4
$or tanto% tenemos una ecuación de segundo grado: #073b#4&'b3b#2167*;F*J<4*816F
+impli!icamos un poco: #b#4&'b31#(2(**J<41*=8= /mitimos el procedimiento ya que no pertenece al tema de sistemas de ecuaciones
9as soluciones son: b21# b2, 81*% 83
$or lo que a puede tener dos valores: a2184b2184,21#a81J81J381* a2184b21841#2,a81J81J1*83 'otemos que en realidad sólo e"iste una solución al prolema ya que si b = 12 entonces a = 5 y si b = 12 entonces a = 5 sto se dee a que no importa si consideramos un lado como la ase o como la altura
$or tanto% los lados del rectángulo miden 1* y 3 metros
Problema 14
n un concierto en#!ico se venden todas las entradas y se recaudan *< mil dólares 9os precios de las entradas son 3= dólares las normales y <== dólares las vip Calcular el n&mero de entradas vendidas de cada tipo si el a!oro del estalecimiento es de 16= personas
Ver solución 9lamaremos v al n&mero de entradas vip y al n&mero de entradas normales (no importa el nomre que le demos a las incógnitas) l n&mero total de entradas coincide con el n&mero total de personas: %3n216(vn816=
9a recaudación es &((%3,(n2#&(((<==v3=n8*<=== esolvemos el sistema de ecuaciones por igualación $ara ello aislamos v en amas ecuaciones:
2e la primera ecuación: %216(4nv816=Jn
2e la segunda ecuación: %2#&(((4,(n&((v8*<===J3=n<==
Igualamos amas e"presiones: 16(4n2#&(((4,(n&((16=Jn8*<===J3=n<== 9a solución de la ecuación de primer grado anterior es: n21((n81==
$or tanto% %216(41((26(v816=J1==86=
$or tanto% se vendieron 6= entradas vip y 1== normales
Problema 15
Un nio realiHa las siguientes oservaciones sore un parque in!antil de pelotas: •
@ay pelotas verdes% rojas y amarillas
•
l n&mero de pelotas verdes y pelotas rojas es cinco veces el n&mero de las amarillas
•
l n&mero de pelotas verdes es el triple que el de amarillas
•
l total de pelotas amarillas y rojas asciende a 1*<
Ver solución 9lamaremos v al n&mero de pelotas verdes% ! al n&mero de pelotas rojas y a al n&mero de pelotas amarillas l segundo punto nos dice que %3r2,avr83a
l tercer punto nos dice que %2&av8
L el cuarto nos dice que a3r21#&ar81*<
,enemos un sistema de < ecuaciones lineales con < incógnitas esolvemos el sistema por sustitución: +ustituimos la v de la segunda ecuación en la primera ecuación: %3r2,avr83a &a3r2,a
.islamos ! : r2,a4&ar83aJ
+ustituimos ! en la tercera ecuación: a3r21#&ar81*< a3#a21#&a*a81*< &a21#&
.Aora usamos el valor de a para otener las otras incógnitas: r2#a20#r8*a8;* %2&a21#&v8
Calcular el n&mero de n&meros positivos de < ci!ras (mayores que FF) tales que una de sus ci!ras es = y las otras dos ci!ras suman
Ver solución $uesto que los n&meros son de < ci!ras% serán de la !orma $("y=
/ ien ($"=y
donde x e y representan ci!ras 'otemos que los n&meros 0xy no son en realidad de tres ci!ras ya que 0xy = xy n amos casos% tiene que cumplirse que 3$28"y8
$or tanto% tenemos las posiilidades x 1 # & ' , 6 8
y x+y 6 8 , 8 ' 8 & 8 # 8 1 8 ( 8
'otemos que x no puede ser = ya que es la primera ci!ra en amos casos n la tala se recogen las posiilidades y son válidas para amos casos $or tanto% en un principio Aay un total de 14 n&meros% pero tenemos que descontar uno ya que los valores de la <ima !ila proporcionan el mismo n&mero 9a solución es: 1< n&meros
