Taller Primer

UNIVERSID UNIVERSIDAD AD DE PAMPLONA PAMPLONA FACULTA FACULTAD D DE CIENCI CIENCIAS AS BÁSICA BÁSICAS S DEPARTA DEPARTAMEN MENTO TO DE FÍSICA FÍSICA TALL TALLER ER PRIM PRIMER ER CORTE CORTE - OSCI OSCILA LACI CION ONES ES Y ON ONDA DASS 20 201717-II II PROFES PROFESORE ORES: S: JESÚS JESÚS DAVID DAVID RAMÍRE RAMÍREZ Z NIÑO NIÑO - JAIRO JAIRO YESID YESID ARCINI ARCINIEGA EGASS FLÓREZ FLÓREZ. .

c. Su aceleraci aceleraci´ón. on. d. Encuentre el periodo y amplitud del movimiento. movimiento.

Sistema Masa-Resorte

1. Un oscil oscilado adorr arm´ arm´ onico consiste de una masa de 100g onico 100 g atada a un resorte, donde la constante de fuerza es 104dinas/cm 104 dinas/cm.. La masa es desplazada 3cm 3 cm y y regresada al reposo. Calcule

5. Demues Demuestre tre que las relaci relacione oness genera generales les entre entre los dos valores iniciales de la posici´ on on inicial x inicial x 0 y de velocidad inicial v inicial v 0 y la amplitud A amplitud A y el ángulo angulo de fase inicial φ inicial φ son:

a. La Frec Frecuen uencia cia y el periodo. periodo. b. La energ´ energ´ıa total.

A =

c. La veloci velocidad dad m´ axima. axima.

   x20 +

v0 ω

2

; φ =

−ωxv

0 0

6. ¿Cu´ ¿Cu´ ando el desplazamiento de un oscilador armónico ando onico simple es la mitad de su amplitud? ¿Qué fracción on de la energ´ ene rg´ıa ıa total tot al es energ´ ene rg´ıa ıa cin´ ci nética? eti ca?

2. Un objeto objeto de masa masa m cuel cuelga ga de un resort resortee y se pone en oscilación. on. El periodo de la oscilación on se mide y registra como T. El objeto de masa m se retira y se sustituye con un objeto de masa 2m. Cuando este objeto se pone en oscilación, on, ¿cuál al es el periodo del movimiento? a) 2T 2T , b) 2T , T , c) T c) T ,, d) T d) T > 2, e) T e) T /2.

7. Un bloqu bloquee de de masa masa M M ,, en reposo sobre una mesa horizontal sin fricción, on, está unido uni do a un soporte so porte r´ıgido por medio de un resorte de constante de fuerza k. k . Una bala de masa m masa m y velocidad v velocidad v golpea al bloque como se muestra en la figura. La bala se queda incrustada en el bloque. Determine el movimiento armónico onico simple resultante en t´ erminos erminos de m de m,, M v y k

√

3. Una saltad saltadora ora de de bungee bungee de 65, 65,00 00kg kg salta salta de un puente con una cuerda ligera amarrada a ella y al puente. La longitud no estirada de la cuerda es de 11, 11 ,0m. La saltadora alcanza el fondo de su movimiento 36 ,0m abajo del puente antes de rebotar de regreso. Su movimiento se puede separar en una ca´ ca´ıda libre de 11 11,,0m y una secci´ on on de 25, 25,0m de oscilación on armónica onica simple. a. ¿Durante ¿Durante que interv intervalo alo de tiempo est´ está en ca´ıda ıd a libre? b. Use el el principio principio de conserv conservaci´ aci´ on on de d e la l a energ´ en erg´ıa ıa para hallar la constante de resorte de la cuerda bungee.

8. Un obje objeto to de mas masaa 2kg 2 kg está sujeto sobre un muelle vertical que está anclado en el suelo. La longitud del muelle sin deformar es de 8cm 8 cm y y la posición on de equilibrio del objeto sobre el muelle está a 5 cm desde el nivel del suelo. Cuando el objeto está en su posición on de equilibrio, se le da un impulso hacia abajo con un martillo, de tal manera que la velocidad inicial es de 0, 3m/s. m/s.

c. ¿Cu´ ¿Cu´ al al es la ubicación on del punto de equilibrio donde la fuerza del resorte equilibra la fuerza gravitacional ejercida sobre la saltadora? Este punto se considera considera como el origen origen de la descripci´ descripci´ on on matemática atica de la oscilación on armónica onica simple. d. ¿Cu´ Cual a´l es la frecuencia angular de la oscilación? on? e. ¿Qu´ e intervalo intervalo de tiempo se requiere para que la cuerda se estire 25, 25,0m?

a. ¿A qué m´ axima altura, respecto al nivel del suelo, axima se elevará el objeto? b. ¿Cu´ ¿Cu´ anto anto tiempo tardará el objeto en alcanzar la m´ axima axima altura por primera primera vez? vez? c. ¿Volv ¿Volver´ er´ a el muelle a estar sin compresión? on? d. ¿Qu´ e velocidad inicial m´ınima debe deb e darse al ob jeto para que el muelle no tenga compresión o n en un instante dado?

f. ¿Cu´ ¿Cu´ al es el intervalo de tiempo total para todo el al salto de 36, 36,0m? 4. En un moto motor, r, un pist pist´ón on oscila con movimiento armóo-nico simple de modo que su posición on var´ var´ıa de acuerdo acue rdo con la expresión on π 6

 

x = (5, (5, 00 00cm cm)cos )cos 2t +

9. Cuando Cuando un un hombre hombre de de 75Kg 75Kg se introduce en un auto, el centro del auto baja 0, 0 ,5cm, cm, ¿Cu´ al al es la constante de los muelles del auto?. Suponiendo que la masa del auto es de 450000gramos. ¿Cuál al es su periodo de vibración on cuando esta vacio y cuando esta el hombre adentro?

donde x donde x est´ está en cent´ımetros ımet ros y t en t en segundos. En t En t = = 0, encuentre: a. La posici´ on on de la part´ıcula. ıcul a. b. Su velocidad velocidad.. 1

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA TALLER PRIMER CORTE - OSCILACIONES Y ONDAS 2017-II PROFESORES: JESÚS DAVID RAMÍREZ NIÑO - JAIRO YESID ARCINIEGAS FLÓREZ.

10. Un objeto de 2,00kg se une a un resorte y se coloca sobre una superficie horizontal uniforme. Se requiere una fuerza horizontal de 20,0N para mantener al objeto en reposo cuando se jala 0,200m desde su posición de equilibrio (el origen del eje x). Ahora el objeto se libera desde el reposo con una posición inicial x i = 0,200m y se somete a sucesivas oscilaciones armónicas simples. Encuentre:

a. ¿Cu´ al es la frecuencia del movimiento? La frecuencia angular? b. ¿Cu´ al es la amplitud del movimiento? c. ¿En qu´ e momento la part´ıcula alcanza el punto x=0? ¿En qué momento va a llegar al punto x = 0,10m?

−

a. la constante de fuerza del resorte. b. la frecuencia de las oscilaciones c. la rapidez m´ axima del objeto. ¿Dónde se presenta la rapidez máxima? d. Encuentre la aceleración má xima del objeto. ¿D´ onde se presenta? e . Encuentre la energ´ıa total del sistema oscilante. f. la rapidez g. la aceleraci´ on del objeto cuando su posició n es igual a un tercio del valor máximo.

d. ¿Cu´ al es la velocidad de la part´ıcula cuando está en x= 0? ¿Cuál es la velocidad de la part´ıcula cuando se alcanza el punto x = 0,10m?

−

15. Una masa m está conectada a dos resortes, con constantes k1 y k2, de dos maneras diferentes, como se muestra en las figuras a y b. Demuestre que el periodo para la configuración mostrada en a) está dado por:

on. Una cuerda de guitarra vibra con una frecuen11. Tir´ cia de 440Hz. Un punto en su centro se mueve en MAS con amplitud de 3,0mm y ángulo de fase cero.

T = 2π

a. Escriba una ecuación para la posición del centro de la cuerda en función del tiempo. b. ¿Qué magnitud máxima tienen la velocidad y la aceleraci´ on del centro de la cuerda? c. La derivada de la aceleració n con respecto al tiempo es una cantidad llamada tirón. Escriba una ecuación para el tirón del centro de la cuerda en función del tiempo, y calcule el valor máximo de la magnitud del tirón.



m(k1 + k2) k1k2

y para la configuración mostrada en b) está dada por

T = 2π



m k1 + k2

Ignore la fricción.

12. En un laboratorio de f´ısica, se conecta un deslizador de riel de aire de 0,200kg al extremo de un resorte ideal de masa despreciable y se pone a oscilar. El tiempo transcurrido entre la primera vez que el deslizador pasa por la posición de equilibrio y la segunda vez que pasa por este punto es de 2,60s. Determine la constante de fuerza del resorte. 13. La posición de un cuerpo puede ser descrita por x = A cos(ωt + δ ). Se conocen La frecuencia angular ω La posición inicial x 0 y la velocidad inicial v 0 . Encuentra la amplitud A y la constante de fase δ en términos de x0 y v 0 . 14. Una part´ıcula se mueve hacia atrás y hacia adelante a lo largo del eje x entre los puntos x = 0, 20m y x = 0,20m. El per´ıodo del movimiento es de 1, 2s, y es armónico simple. En el momento t = 0, la part´ıcula es en x = 0, 20m y su velocidad es cero.

16. Determine la frecuencia de oscilaci´ on de un bloque de 200g que está conectado mediante un resorte a una pared y deslizándose sobre una superficie sin fricción para estas tres condiciones mostradas en la figura.

−

2


20. na masa de 2,0kg sujeta a un resorte se desplaza 8 ,0cm a partir de la posición de equilibrio. Se libera y entonces oscila con una frecuencia de 4,0Hz. a) ¿Cuál es la energ´ıa del movimiento cuando la masa pasa a través de la posici´ on de equilibrio?. b) ¿Cuál es la rapidez de la masa cuando está a 2.0 cm de la posición de equilibrio? 21. La figura muestra una masa, m 1 = 8,00kg, que se encuentra en reposo en una superficie horizontal sin fricci´ on y conectada a una pared mediante un resorte con k = 70,0N/m. Una segunda masa, m2 = 5,00kg, se mueve a la derecha a v0 = 17,0m/s. Las dos masas colisionan y se quedan pegadas.

17. Un bloque de 100g cuelga de un resorte con k = 5,00N/m. En t = 0s, el bloque está a 20,0cm bajo la posición de equilibrio y moviéndose hacia arriba con una velocidad de 200cm/s. ¿Cu´ a l es la rapidez del bloque cuando el desplazamiento del equilibrio es de 30,0cm?

a. ¿Cu´ al es la compresión máxima del resorte? b. ¿Cu´ anto tiempo transcurrirá después de la colisi´ on para que el resorte alcance su compresión m´ axima? 22. Una masa M = 0.460 kg se mueve con una rapidez inicial v = 3,20m/s sobre una pista de aire sin fricci´ on. La masa está a una distancia inicial D = 0,250m de un resorte con k = 840N/m, el cual está montado de manera r´ıgida en un extremo de la pista de aire. La masa comprime el resorte una distancia máxima d, antes de cambiar de dirección. Después de rebotar en el resorte, la masa viaja a la misma rapidez v, pero en sentido opuesto. a) Determine la distancia máxima que se comprime el resorte. b) Encuentre el tiempo transcurrido total hasta que la masa regresa a su posición inicial. (Pista: La masa experimenta un ciclo parcial de movimiento armónico simple mientras está en contacto con el resorte.)

18. Un cubo de densidad ρc flota en un l´ıquido de densidad ρl como se muestra en la figura. En el reposo, una cantidad h de la altura del cubo se sumerge en el l´ıquido. Si se empuja el cubo hacia abajo, se balancea de arriba abajo como un resorte y oscila en torno de la posici´ on de equilibrio. Muestre que la frecuencia de la oscilaci´ on está dada por f = (2π) 1 g/h. −



19. La masa m que se muestra en la figura es desplazada a una distancia x a la derecha de su posición de equilibrio. a. ¿Cu´ al es la fuerza neta que actúa sobre la masa y cuál es la constante de resorte efectiva? b. Si k1 = 100.N/m y k2 = 200.N/m, ¿cuál será la frecuencia de la oscilación cuando se libera la masa?

23. Una masa m se sujeta a un resorte con una constante de resorte k y se pone en movimiento armónico simple. Cuando la masa tiene la mitad de su energ´ıa cinética m´ axima, ¿qué tan lejos de su posición de equilibrio se encuentra, expresada como una fracción de su desplazamiento máximo?

c. Si x = 0,100m, ¿cuál es la energ´ıa total del sistema masa-resorte después de que se libera la masa y cuál es la velocidad máxima de la masa?

24. Se observa que una masa m = 1,00kg en un sistema resorte-masa con k = 1N/m se está moviendo a la derecha, más all´ a de su posición de equilibrio con una rapidez de 1m/s al tiempo t = 0. a) Ignorando todo amortiguamiento, determine la 3


ecuaci´ on de movimiento. b) Suponga que las condiciones iniciales son tales que en tiempo t = 0, la masa se encuentra en x = 0,500m y movi´ endose a la derecha con una rapidez de 1 m/s. Determine la nueva ecuación de movimiento. Suponga la misma constante de resorte y la misma masa.

25. Dos resortes, cada uno con una constante de resorte k = 125N/m, se cuelgan de manera vertical y se su jetan masas de 1.00 kg a sus extremos. Un resorte se tira hacia abajo 5,00cm y se libera en t = 0; el otro se jala hacia abajo 4,00cm y se libera a t = 0,300s. Encuentre las diferencias de fases, en grados, entre las oscilaciones de las dos masas y las ecuaciones para los desplazamientos verticales de las masas, tomando hacia arriba la dirección positiva.

29. En la figura se muestra la gráfica de desplazamiento versus tiempo de una pequeña masa m en el extremo de un resorte. a) Si m = 9,5g, encuentre la constante de resorte k. b) Escriba la ecuación para el desplazamiento x en función del tiempo.

26. Una vara uniforme de 1,0m de longitud y masa M está articulada en un extremo y se sostiene horizontalmente con un resorte de constante k en el otro extremo como se muestra en la figura. Si la vara oscila poco hacia arriba y hacia abajo, ¿cuál es su frecuencia? [Sugerencia: Escriba una ecuación de torque con respecto a la bisagra].

30. Un bloque de masa m está soportado por dos resortes verticales paralelos idénticos con constantes k y k. ¿Cu´ al será la frecuencia de vibración vertical?. Ahora considere que los resortes son de diferente constante el´ astica ¿Cuál será la frecuencia de vibración vertical?

27. Una masa m en el extremo de un resorte vibra con una frecuencia de 0,83Hz. Cuando se agrega a m una masa adicional de 0,83kg, la frecuencia es de 0,60Hz. ¿Cu´ al es el valor de m?

31. Una persona de 62kg salta desde una ventana a una red de bomberos que está 20,0m abajo y la estira 1,1m. Suponga que la red se comporta como un resorte simple. a) Calcule cuánto se estirar´ıa si la misma persona estuviera acostada sobre ella. b) ¿Cuánto se estirar´ıa si la persona saltara desde 38 metros?

28. La figura muestra dos ejemplos de MAS, designados como A y B. Para cada uno, ¿cuál es a) la amplitud, b) la frecuencia y c) el periodo? d) Escriba las ecuaciones para A y B en la forma de seno o coseno.

32. Dentro de una molécula de ADN en un sitio espec´ıfico, puede hacerse que un átomo de ox´ıgeno realice un movimiento armónico simple, cuando se ilumina con luz 4


infrarroja. Mediante un enlace qu´ımico parecido a un resorte, el átomo de ox´ıgeno se enlaza con un átomo de fósforo, el cual se une r´ıgidamente a la columna de ADN. La oscilaci´ o n del átomo de ox´ıgeno ocurre con frecuencia f = 3,7 10 13 Hz. Si el a´tomo de ox´ıgeno en este sitio se reemplaza qu´ımicamente con un átomo de azufre, la constante de resorte del enlace no cambia (el azufre está justo deba jo del ox´ıgeno en la tabla periódica). Prediga la frecuencia para una molécula de ADN después de la sustitución del azufre.

×

33. Un p´ endulo de laboratorio tiene un periodo de exactamente 2,000 segundos; cada oscilación en un sentido tarda 1,000 s. ¿Cuál es la longitud de este p´ en2 dulo en Austin, Texas, donde g = 9,793m/s ? Si el péndulo se mueve a Par´ıs, donde g = 9,809m/s2 , ¿en cu´ antos mil´ımetros debemos alargar el péndulo? ¿Cuál es la longitud de este péndulo sobre la Luna, donde g = 1,62m/s2 ?

37. Una máquina de “pinball”utilizada como lanzador un resorte que se comprime 6,0cm para lanzar una bola por una rampa a 15 . Suponga que la bola tiene masa m = 25g y radio r = 1,0cm y rueda sin deslizarse cuando sale del mecanismo lanzador. Si tiene una rapidez de 3,0m/s, ¿cuál será la constante del resorte que se utiliza como lanzador? ◦

34. Un bloque rectangular de madera flota en un lago en calma. Demuestre que, si se ignora la fricción, cuando el bloque se empuja suavemente hacia abajo en el agua y luego se suelta, vibrará con MAS. Además, determine una ecuación para la constante de fuerza.

P´ endulo Simple

38. Un péndulo simple tiene una masa de 0,250kg y una longitud de 1,00m. Se desplaza a través de un ángulo de 15,0 y luego se libera. ¿Cuáles son: ◦

35. Un automóvil de 950kg golpea un gran resorte a una rapidez de 25m/s y lo comprime 5,0m. a) ¿Cuál es la constante del resorte? b) ¿Cuánto tiempo está en contacto el automóvil con el resorte antes de rebotar en la dirección opuesta?

a. la rapidez m´ axima b. la aceleraci´ on angular máxima c. la fuerza restauradora máxima? d. ¿Qué pasar´ıa si? Resuelva este problema mediante el modelo de movimiento armónico simple para el movimiento del péndulo y luego resuelva el problema con principios más generales. Compare las respuestas. 39. La posici´ on angular de un péndulo se representa mediante la ecuación θ = (0, 0320rad)cos ωt, donde θ está en radianes y ω = 4,43 rad s . Determine el periodo y la longitud del péndulo.

36. Imagine que se perfora un agujero circular de 10cm de diámetro a trav´ es de toda la Tierra, pasando por su centro. En un extremo del agujero se deja caer una manzana. Demuestre que si se supone que la Tierra tiene densidad constante, el movimiento subsecuente de la manzana es armónico simple. ¿Cu´ anto tiempo le tomar´ a a la manzana regresar? Suponga que podemos ignorar todos los efectos de fricción.

40. Un péndulo cuelga de una pared inclinada. Supongamos que este péndulo se libera en un ángulo inicial de 10 y que rebota en la pared elásticamente cuando alcanza un ángulo de 5 . ¿Cu´ al es el per´ıodo de este péndulo? ◦

◦

5


1,50N/m y masa despreciable, rebota verticalmente en MAS. Si detenemos el rebote y dejamos que la manzana oscile de lado a lado con un ángulo peque˜ no, la frecuencia de este p´ endulo simple es la mitad de la del rebote. (Puesto que el ángulo es pequeño, las oscilaciones de lado a lado no alteran apreciablemente la longitud del resorte). ¿Qué longitud tiene el resorte no estirado (sin la manzana)? 48. Despu´ es de posarse en un planeta desconocido, una exploradora espacial construye un péndulo con longitud de 50,0cm y determina que efectúa 100 oscilaciones completas en 136sg. ¿Cu´ anto vale g en dicho planeta?.

41. Un péndulo en Marte. En la Tierra cierto péndulo simple tiene un periodo de 1,60s. ¿Qué periodo tendrá en m Marte, donde g = 3, 71 2 ? s

49. Demuestre que la expresión para el periodo de un péndulo f´ısico se reduce a la del péndulo simple, si el péndulo f´ısico consiste en una part´ıcula de masa m en el extremo de un cordón sin masa de longitud L.

42. ¿Cu´ al es el periodo de un péndulo simple que tiene una longitud de 1,00m en cada situación? a) En el laboratorio de f´ısica. b) En un ascensor acelerando a 2,10m/s2 hacia arriba. c) En un ascensor acelerando a 2,10m/s2 hacia abajo. d) En un elevador que se encuentra en ca´ıda libre.

50. Suponga que un péndulo simple consiste en una esfera pequeña de 60g atado a una cuerda de masa despreciable. Si el ańgulo entre la cuerda y la vertical esta dada por Θ(t) = (0, 08rad) cos(4, 43rad/st + φ) . Cuál es la longitud del péndulo y su energ´ıa cinética máxima?

43. Suponga que se usa un p´ endulo simple para medir la aceleraci´ on debida a la gravedad en varios puntos sobre la Tierra. Si g var´ıa por 0,16 %¸ a través de las diversas ubicaciones donde se muestrea, ¿cu´ a l es la variación correspondiente en el periodo del p´ endulo? Suponga que la longitud del péndulo no cambia de un sitio a otro.

P´ endulo Compuesto

51. Una bola peque˜ na de masa M está unida al extremo de una barra uniforme de igual masa M y longitud L que está articulada en la parte superior.

44. Un péndulo de Foucault está dise˜ nado para demostrar el efecto de la rotación de la Tierra. Un p´ endulo de Foucault exhibido en un museo es t´ıpicamente muy largo, con objeto de hacer que el efecto sea más fácil de ver. Considere un p´ endulo de Foucault con una longitud de 15m y con un peso de latón de 110kg. Se le pone a balancear con una amplitud de 3 ,5 . a) ¿Cuál es el periodo del péndulo? b) ¿Cuál es la energ´ıa cinética máxima del péndulo? c) ¿Cuál es la rapidez máxima del péndulo? ◦

45. Un p´ endulo simple vibra con una amplitud de 10,0 . ¿Qué fracción del tiempo pasa entre +5,0 y 5,0 ? Suponga MAS. ◦

◦

−

◦

Calcule el periodo de oscilaci´ on para pequeños desplazamientos desde el equilibrio y determine este periodo para L = 2,00m.

46. Se tira de un p´ endulo simple de 0, 240m de longitud para moverlo 3, 5 a un lado y luego se suelta. a) ¿Cuánto tarda la lenteja del péndulo en alcanzar su ´ ¿Cuánto tarda si el ángulo es de rapidez máxima?b) 1,75 ? ◦

52. Un disco de radio r y masa m se pega a la cara de un segundo disco más grande de radio R y masa M , como se muestra en la figura. El centro del disco pequeño se ubica en el borde del disco grande. El disco grande se monta en su centro en un eje sin fricción. El ensamble

◦

47. Una manzana pesa 1,00N . Si la colgamos de un extremo de un resorte largo con constante de fuerza de 6


da vueltas a trav´ es de un pequeño ángulo θ desde su posición de equilibrio y se libera. T = 2π



I CM +md mgd

2

donde d es la distancia entre el punto de giro y el centro de masa. b. Demuestre que el periodo tiene un valor m´ınimo cuando d satisface md 2 = I CM . 55. Un p´ endulo consiste en una varilla de lat´ o n con un cilindro de latón unido al extremo. El diámetro de la varilla es 1, 00cm y su longitud es 90, 00cm; el di´ ametro del cilindro es de 6, 00cm y su longitud es de 20, 00cm. ¿Cu´ al es el per´ıodo de este péndulo?.

a. Demuestre que mientras pasa a través de la posici´ on de equilibrio la rapidez del centro del disco pequeño es

v = 2

 

Rg(1 cos θ) M r ( ) + ( )2 + 2 m R

−

 

1/2

b. Demuestre que el periodo del movimiento es (M + 2m)R2 + m2 T = 2π 2mgR





1/2

53. Un péndulo f´ısico en forma de ob jeto plano se mueve en movimiento armónico simple con una frecuencia de 0,450Hz. El péndulo tiene una masa de 2,20kg y el eje se ubica a 0,350m del centro de masa. Determine el momento de inercia del p´ endulo en torno al punto de giro.

56. Una esfera de 1,50kg y otra de 2,00kg se pegan entre s´ı colocando la más ligera debajo de la más pesada. La esfera superior se conecta a un resorte ideal vertical, cuya constante de fuerza es de 165 N m , y el sistema vibra verticalmente con una amplitud de 15,0cm. El pegamento que une las esferas es débil y antiguo, y de repente falla cuando las esferas están en la posición m´ as baja de su movimiento.

54. Considere el péndulo f´ısico de la figura.

a. ¿Por qué es más probable que el pegamento falle en el punto más bajo, que en algún otro punto del movimiento?. b. Calcule la amplitud y la frecuencia de las vibraciones después de que la esfera inferior se despega. 57. Un péndulo f´ısico consiste en una varilla sin masa de longitud 2L gira alrededor de un eje que pasa por su centro. Una masa m1 está unido en el extremo inferior de la varilla, y una masa m2 más peque˜ n o en el extremo superior ¿Cuál es el per´ıodo de este péndulo?

a. Represente su momento de inercia en torno a un eje que pasa a trav´ es de su centro de masa y paralelo al eje que pasa a trav´ es de su punto de giro como I CM . Demuestre que su periodo es: 7


60. Un cilindro s´ olido está unido a un resorte horizontal sin masa de modo que puede rodar sin resbalar a lo largo de una superficie horizontal, como se ve en la figura. N La constante de fuerza k del resorte es de 2, 94 cm . Si el sistema parte del reposo desde una posición en que el resorte está estirado 23, 9cm, halle: a. La energ´ıa cinética de traslación y, b. La energ´ıa cinética de rotación del cilindro al pasar por la posición de equilibrio. 61. Una llave inglesa de 1,80kg tiene su pivote a 0,250m de su centro de masa y puede oscilar como péndulo f´ısico. El periodo para oscilaciones de ańgulo peque˜ no es de 0,940 s.

58. Un péndulo está formado por una varilla de 200g de masa y 40cm de longitud y dos esferas macizas: la superior de 500g y 5cm de radio y la inferior de 400 g y 4cm de radio, equidistantes 8cm de los extremos de la barra. El péndulo se encuentra suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de la esfera superior.

a. ¿Qué momento de inercia tiene la llave con respecto a un eje que pasa por el pivote? b. Si la llave inicialmente se desplaza 0,400rad de la posición de equilibrio, ¿qué rapidez angular tiene al pasar por dicha posición?

a. H´ allese el periodo.

62. Dos péndulos tienen las mismas dimensiones (longitud L) y masa total (m). El péndulo A es una esfera muy pequeña que oscila en el extremo de una varilla uniforme sin masa. En el péndulo B, la mitad de la masa est´ a en la esfera y la otra mitad en la varilla uniforme. Calcule el periodo de cada péndulo para oscilaciones pequeñas. ¿Cu´ al tarda más tiempo en una oscilación?

b. Si ahora se separa el péndulo 10 de la posici´ on de equilibrio y se suelta, empezándose en ese momento a contar el tiempo. Escr´ıbase la ecuación del M.A.S. ◦

59. Un péndulo consta de un disco uniforme de 10, 3cm de radio y 488g de masa unido a una barra de 52, 4cm de longitud que tiene una masa de 272g, seg´ un figura.

63. La pierna humana se puede comparar con un péndulo f´ısico, con un periodo de oscilación “natural”, para el cual caminar es má s fácil. Considere la pierna como dos varillas unidas r´ıgidamente entre s´ı en la rodilla; el eje para la pierna es la articulación en la cadera. La longitud de cada varilla es aproximadamente la misma: 55cm. La varilla superior tiene una masa de 7,0kg y la varilla inferior tiene una masa de 4,0kg. a) Calcule el periodo de oscilaci´ on natural del sistema. b) Verifique su respuesta parándose sobre una silla y midiendo el tiempo para una o más oscilaciones completas de ida y vuelta. El efecto de una pierna más corta es, por supuesto, un periodo de oscilación más corto, lo cual permite un paso “natural”más rápido. 64. Un disco de madera contrachapada con radio de 20,0cm y masa de 2,20kg tiene un peque˜ no agujero taladrado a través de él, a 2,00cm de su borde. El disco cuelga de la pared por medio de un pasador metálico que pasa a través del agujero y se usa como un péndulo. ¿Cu´ al es el periodo de este péndulo para oscilaciones pequeñas?

a. Calcule la inercia rotatoria del péndulo respecto al pivote. b. ¿Cu´ al es la distancia entre el pivote y el centro de masa del péndulo? c. Calcule el per´ıodo de oscilación para ángulos peque˜ nos. 8


67. En la figura se muestran cuatro péndulos distintos

Encuentre el periodo de cada péndulo cuando se le jala 20 a la derecha y luego se libera.

65. Una estudiante quiere usar una vara de un metro como péndulo. Planea taladrar un peque˜ no agujero a través de la vara y suspenderla desde un pasador liso unido a la pared. ¿En qué punto de la vara deber´ıa taladrar el agujero para obtener el periodo más corto posible? ¿Qué tan corto puede ser el periodo de oscilación con una vara de un metro oscilando de esta manera?

◦

68. Un objeto cuadrado de masa m se construye con cuatro varas uniformes identificas, cada una con longitud L, unidas entre s´ı. Este objeto se cuelga de su esquina superior en un gancho. Si se gira ligeramente a la izquierda y luego se suelta, ¿con qu´ e frecuencia oscilará de un lado a otro? 67. En la figura se muestran cuatro péndulos distintos

69. Dos varillas delgadas identificas, cada una con masa m y longitud L, se unen en ángulo recto para formar un objeto en forma de L, el cual se balancea sobre la c´ uspide de un triangulo agudo. Si el objeto en forma de L se desv´ıa un poco, oscila. Calcule la frecuencia de oscilaci´ on.

66. Un disco de aluminio de 12,5cm de diámetro y 375g de masa está montado sobre un eje vertical con muy baja fricción. Un extremo de un resorte plano en espiral está unido al disco; y el otro extremo, a la base del aparato. El disco se pone en oscilación rotatoria con frecuencia de 0,331Hz. ¿Cu´ al es la constante de torsi´ on del resorte K (τ = Kθ)?

−

9


longitud. Determinar la amplitud y periodo de oscilaci´ on de este péndulo. Averiguar cómo afecta la viscosidad del aire a estos dos parámetros. (Considerar que la fuerza debido a la viscosidad η que act´ ua sobre una esfera de radio ?? y velocidad ?? es igual a F = 6πηRν Kg y para el aire a 20 Cη = 1, 78 10 5 ). ¿C´ ual es el ms tiempo necesario para que la amplitud se reduzca un 10 %¸ de la inicial?

P´ endulo de Torsi´ on

70. Un disco metálico delgado con masa de 2,00 10 3 kg y radio de 2,20cm se une en su centro a una fibra larga. Si se tuerce y suelta, el disco oscila con un periodo de 1,00s. Calcule la constante de torsión de la fibra.

×

−

◦

×

−

−

74. Una vara de un metro cuelga de su centro de un alambre delgado figura a). Se gira y oscila con un periodo de 5,0s. La vara se recorta a una longitud de 70 ,0cm. Esta pieza de nuevo se equilibra en su centro y se pone a oscilar figura b). ¿Con qu´ e periodo oscilar´ a ahora?

71. El péndulo de torsi´ on, consiste en un hilo o alambre de sección recta circular suspendido verticalmente, con su extremo superior fijo y de cuyo extremo inferior se cuelga un cuerpo de momento de inercia I conocido o fácil de calcular (disco o cilindro, etc). Cualquier movimiento puede descomponerse como combinación de movimientos lineales y de rotación. a. Hallar la ecuaci´ on del movimiento. b. Encontrar su periodo. c. Escribir las ecuaciones del movimiento. 72. Un péndulo de torsión consiste en una varilla de masa 100g y 30cm de longitud, la varilla pasa por el centro de dos esferas iguales de 150g y 5cm de radio, situadas simétricamente de modo que el centro de las esferas dista 10cm del eje de giro.

Oscilaciones Amortiguadas y Forzadas

75. Un objeto de 10,6kg oscila en el extremo de un resorte vertical que tiene una constante de resorte de 2,05 104 N/m. El efecto de la resistencia del aire se representa mediante el coeficiente de amortiguamiento N s b = 3,00 . m

a. Sabiendo que el periodo de la oscilaci´ on vale 2,4s, calcular la constante K de torsión del muelle.

×

b. Si en el instante inicial t = 0 el p´ endulo se desplaπ za Θ = 6 de la posición de equilibrio y se suelta (velocidad inicial nula).

·

c. Escribir la ecuaci´ on del M.A.S.

a. Calcule la frecuencia de la oscilaci´ on amortiguada.

d. Calcular la velocidad angular de rotaci´ on cuando pasa por la posición de equilibrio.

b. ¿En qué porcentaje disminuye la amplitud de la oscilaci´ on en cada ciclo?. c. Encuentre el intervalo de tiempo que transcurre mientras la energ´ıa del sistema cae a 5,00%¸ de su valor inicial.

73. Sea un p´ endulo consistente en una esfera de Al de 0, 005m de radio suspendida de una cuerda de 1m de 10

76. Considere el oscilador amortiguado que se muestra en la figura:


b. Si queremos mantener este péndulo que oscila con una amplitud constante de 8 , debemos suministrar energ´ıa mecánica a él a una velocidad suficiente para compensar la p´ erdida por fricción. ¿Cu´ al es la potencia mecánica necesaria? ◦

80. Un objeto de 2kg oscila sobre un muelle de constante k = 400 N m con una constante de amortiguamiento Kg b = 2 s . Está impulsado por una fuerza sinusoidal de valor máximo 10N y frecuencia angular ω = 10 Rad s . Calcular la amplitud de las oscilaciones y la frecuencia y amplitud de resonancia. 81. Un péndulo simple tiene un periodo de 2?? y un amplitud de 2 , despu´ es de 10 oscilaciones completas su amplitud ha sido reducida a 1, 5 encontrar la constante de amortiguamiento γ . En el caso del oscilador amortiguado, la cantidad τ = 12γ se denomina tiempo de relajación. ◦

◦

La masa del objeto es 375 g, la constante de resorte es N s 100 N m y b = 0,100 m . ·

a. Verificar que tiene unidades de tiempo.

a. ¿Durante qué intervalo de tiemp o la amplitud cae a la mitad de su valor inicial?.

b. ¿En cuánto ha variado la amplitud del oscilador después de un tiempo τ ?

b. ¿Qué pasar´ıa si? ¿Durante qué intervalo de tiempo la energ´ıa mecánica cae a la mitad de su valor inicial?.

c. Expresar como una funci´ on de τ , el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la mitad de su valor inicial.

c. Demuestre que, en general, la relación fraccionaria a la cual la amplitud disminuye en un oscilador armónico amortiguado es la mitad de la relación fraccionaria a la que disminuye la energ´ıa mecánica.

d. ¿Cu´ ales son los valores de la amplitud después de tiempos iguales a dos, tres veces, etc., el valor obtenido en c)?

77. Un p´ endulo de longitud 1, 50m se establece balance´ andose con una amplitud inicial de 10 . Después de 12min, la fricció n se ha reducido la amplitud a 4 . ¿Cu´ al es el valor de Q para este péndulo? ◦

◦

◦

78. Cuando un columpio en movimiento no se ”bombea”la amplitud angular de oscilación disminuye debido al aire y otra fricción. Para el movimiento de un columpio de 3m de longitud en el cual la amplitud de oscilación decrece de 12 a 10 despu´ es de 5 ciclos completos. ¿Cu´ al es el Q del sistema? Si el jinete y el asiento son tratados como una masa puntual con m = 25kg, cual es la energ´ıa mecánica promedio que se disipa? ◦

82. Un ni˜ no se columpia con un per´ıodo de 3s. El ni˜ no y el columpio poseen una masa de 30kg. El padre del ni˜ no impulsa pacientemente el columpio una vez cada ciclo de modo que mantiene una amplitud angular estacionaria de 30 . Si el valor de Q es igual a 20, calcule la potencia transmitida por el padre.

◦

79. El péndulo de un reloj de pared tiene una longitud de 0,994m y una masa de 1, 2kg. a. Si el péndulo se pone en movimiento, la fricción del aire reduce su amplitud de oscilación por un factor de 2 en 13, 0min. ¿Cu´ al es el valor de Q para este péndulo? 11

83. Demostar la ecuación: F 02 P m = νF (t) m = m (ω 2





γω 2 2 2 0

− ω )

+ 4γ 2 ω 2

( Nota: conocida la tangente de un ángulo es fácil conocer su seno ó coseno ) 84. Demostrar que el cociente entre la anchura ∆ω a la mitad del máximo de la potencia media entregada en la resonancia, para una resonancia aguda, y la frecuencia ω0 del mismo es igual al valor inverso del factor Q. 85. Un objeto de masa 1, 5kg situado sobre un muelle de constante de fuerza 600 N m pierde el 3 %¸ de su energ´ıa en cada ciclo. El sistema viene impulsado por una


fuerza sinusoidal con un valor máximo de F 0 = 0, 5N . ¿Cu´ a l es el valor de Q para este sistema y el valor de la frecuencia angular de resonancia y amplitud de resonancia? ¿Cuál es la amplitud de oscilació n si la frecuencia impulsora es 19 rad s ? 86. Un oscilador armónico amortiguado, cuya frecuencia angular natural es ω0 = 15 rad ametro de s y cuyo par´ amortiguamiento es γ = 9s 1 , se encuentra inicialmente en reposo en la posición de equilibrio. En el instante t = 0 recibe un impulso que lo pone en movimiento con una velocidad inicial v 0 = 60 cm s . Para este sistema se pide:

89. Un cuerpo de masa m = 2kg descansa sobre un tablero horizontal y está unido al extremo libre de un N muelle de constante elástica k = 200 . En un insm tante dado, las oscilaciones presentan una amplitud A0 = 30cm; pero debido a un rozamiento de tipo viscoso (F r = bν ), dicha amplitud se reduce a la mitad cuando han transcurrido t1 = 25s. Con estos datos, determinar:

−

−

a. Valor del parámetro de amortiguamiento γ , del coeficiente de amortiguamiento b, del tiempo de relajación de la energ´ıa τ y del factor de calidad Q.

a. Expresar la elongación del oscilador en función del tiempo. b. Calcular el máximo desplazamiento que experimenta el oscilador a partir de su posición de equilibrio. c. Calcular el tiempo que deberá transcurrir para que la amplitud de las oscilaciones amortiguadas se reduzca a un 0, 1 %¸ del valor máximo anteriormente calculado.

b. La frecuencia y el periodo de las oscilaciones amortiguadas y no amortiguadas. c. Tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energ´ıa del oscilador. ¿Cuál será entonces la amplitud de las oscilaciones? 90. Un circuito formado por una resistencia R, un condensador C y una autoinducción L, asociadas en serie cumple las siguientes ecuaciones para la carga en el condensador y la corriente en el circuito:

87. Una masa de m = 0, 5Kg, unida a un muelle de constante elástica k = 250N/m, oscila con una amplitud inicial A 0 = 6cm. Para este sistema se pide: a. Hallar el periodo y la energ´ıa del oscilador en el instante inicial. b. Determinar el valor del parámetro de amortiguamiento del oscilador sabiendo que la energ´ıa se disipa a razón de un 1, 0 %¸ en cada ciclo.

a. Suponga en primer lugar que la resistencia es nula (R = 0). Pruebe que la carga del condensador oscila armónicamente. ¿Cuál es la frecuencia de oscilaci´ on? ¿Qué energ´ıa se conserva, análogamente a la energ´ıa mecánica de un oscilador armónico?

88. Un deslizador sobre una v´ıa de aire está conectado con resortes a ambos extremos de la v´ıa. Ambos resortes tienen la misma constante de resorte, k, y el deslizador tiene masa M . a) Determine la frecuencia de la oscilaci´ on, suponiendo que no hay amortiguamiento, si k = 125N/m y M = 215g. b) Se observa que después de 55 oscilaciones, la amplitud de la oscilaci´ on ha disminuido a la mitad de su valor original. Estime el valor del inciso a. c) ¿Cuánto tiempo pasará para que la amplitud disminuya a un cuarto de su valor inicial?

b. Si la resistencia no es nula, pruebe que el sistema se comporta como un oscilador amortiguado. ¿Cu´ al es la resistencia máxima para que haya oscilaciones en el sistema? c. Suponga que además de los elementos anteriores, el circuito dispone de una fuente de corriente alterna, que lleva mucho tiempo conectada, de manera que las ecuaciones del circuito son: L

dI Q dQ + RI + = V 0 cos (ωt) ; I = dt C dt

Halle la amplitud de las oscilaciones de la carga del condensador, como función de los parámetros del circuito y de la frecuencia y amplitud del voltaje aplicado.

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Taller Primer

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