Taller Final de Estadistica - Copia

TRABAJO DE ESTADÍSTICA: DISTRIBUCION UNIFORME

PROFESOR: ROLANDO RODRIGUEZ

SEMESTRE: 7

ESTUDIANTES: RENATO ALVARES PEREZ

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER INGENIERIA INDUSTRIAL BUCARAMANGA COLOMBIA 2014

1. La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme discreta sobre los enteros 91≤x≤100. Determine la media y la varianza de X

A= 91

&

f  ( x )=

f  ( x )=

f  ( x )=

B= 100

1

b −a + 1

1 100− 91+ 1 1 100

X= 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100

X f(x) F(x)

91 1/10 1/10

92 1/10 1/5

93 1/10 3/10

94 1/10 2/5

95 1/10 1/2

b −a + 1 V(x) =

¿ ¿ ¿

/ 12

100− 91+ 1

V(x) =

X=

955 10

¿ ¿ ¿

=95.5

/ 12 = 10 2/2= 8.33

96 1/10 3/5

97 1/10 7/10

98 1/10 4/5

99 1/10 9/10

100 1/10 1

2. En un roceso de recubrimiento se toman varias mediciones del esesor! "asta la cent#sima de mil$metro m%s cercana. &i las mediciones est%n distribuidas uniforme con valores 0.1'! 0.1(! 0.1)! 01.* y 0.19! calcule la media y la varianza del esesor.

Ω= [(0.15), (0.16), (0.17), (0.18), (0.19)] X= (0.15 + 0.16 + 0.17 + 0.18 + 0.19)/5= 0.17 V(x)= E [(x)2] - E [(x)]2= 0.0291- 0.0289= 0.0002 X f(x) F(x)

0.15 0.2 0.2

0.16 0.2 0.4

0.17 0.2 0.6

0.18 0.2 0.8

0.19 0.2 1

E(x)= ∑ x f(x) = 0.03 + 0.032 + 0.034 + 0.036 + 0.038= 0.17 E(x)2= ∑ x2 f(x)=4.5 x10-0.3 +5.12 x10-0.3 +5.178 x10-0.3+ 6.478 x10-0.3 +7.22 x10-0.3

∑ x2 f(x)= 0.0291 +. &uon,a -ue X si,ue unan distribución uniforme sobre los d$,itos del 0 al 9. Determine a La función de robabilidad de X b La media! la varianza y la desviación est%ndar de la variable X. c /X≤ d /X e /X3 f /X4

 

&5L6785 a La función de robabilidad de X. ×=0,1 , 2 … .,9

f  ( x )=

b

1 10

f  ( x ) =0,1 La media! la varianza y la desviación est%ndar de la variable !" Media

X= (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)/10= 4.5 Variació

V(x)=

( a −b + 1 )2 12

=

( 9 −0 + 1 )2 12

 = 8.33

!e"#iació. $"%dar  √ V ( x )=¿ √ 8.33=2.8864

c) /X≤

→

P (x=0) + P (x=1) + P (x=2) + P (x=3) + P (x=4) P = 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 P = 0.5

d) P(X<4)  = P ( x#3) = P (x=0) + P (x=1) + P (x=2) + P (x=3) = 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 =4

$ P(X>4) P (x # a) + P (xa) = 1 P (x4) = 1 - P (x # 4) P (x4) = 1-0.5 P (x4) =0.5

f) P(X 4 4) P (x!a) + P (x % a) = 1 P (x%4) = 1 - P (x#4) P (x%4) = 1-0.4 P (x%4)= 0.6

1. 7ierta marca de cerveza extran:era! resenta en sus re,istros "istóricos -ue el 10; de sus cervezas est%n <asadas=. &i una ca:ita tio ersonal trae 12 unidades. 7u%l es la robabilidad de -ue en una ca:ita>

a ?ayan exactamente  cervezas asadas '= 0.1

= 0.9

= 12

x= 4

'(x=4) = 124 (0.1) 4 (0.9)12*4 '= 0.021

b ?ayan exactamente 10 cervezas buenas '=0.9

=0.1

=12

x=10

'(x=10) = 1210 (0.9) 10 (0.1)12*10 '= 0.230

c ?ayan m$nimo 10 cervezas buenas

P(x10)= 1-(x#9) = f(0)+f(1)+f(2) +f(3)+f(4) +f(5)+f(6) +f(7)+f(8) +f(9) P(x=0)= 12"0 (0.9)0(0.1)12-0 =1x10-12 P(x=1)= 12"1 (0.9)1(0.1)12-1 =1.08x10-10 P(x=2)= 12"2 (0.9)2(0.1)12-2 =5.34x10-9 P(x=3)= 12"3 (0.9)3(0.1)12-3 =1.60x10-7 P(x=4)= 12"4 (0.9)4(0.1)12-4 =3.29x10-6 P(x=5)= 12"5 (0.9)5(0.1)12-5 =4.67x10-5 P(x=6)= 12"6 (0.9)6(0.1)12-6 =4.91x10-4 P(x=7)= 12"7 (0.9)7(0.1)12-7 =13.78x10-3 P(x=8)= 12"8 (0.9)8(0.1)12-8 =0.02 P(x=9)= 12"9 (0.9)9(0.1)12-9 =0.08 = 1x10-12+1.08x10-10+5.34x10-9+ 1.60x10-7+3.29x10-6+4.67x10 5

+4.91x10 4+13.78x10 -3+0.02+0.08

= 1-0.1143 = 0.8857

& S' ()* +*,* +-).'$)$ 20 +$/$* 3 $.* $ &$($$ ' .'$)$ 56)'5-  +$/$* 8**&* 3 (.$& +-58/* 9 +*,* +(* $ * 8/-b*b''&*& &$ ;($ $*) &$($.* $<*+.*5$).$ 2 +*,*" #= 0.85

P=0.15

$= 20

X=2

P(x=2) = 20"2 (0.15)2 (0.85)20-2 P= 0.2293 2. &e sabe -ue el 20; de ciertas semillas no ,erminan. Las semillas se emacan en ca:as de 20 semillas con la ,arant$a de -ue or lo menos 1 de ellas ,erminen. &i se selecciona una ca:a al azar! calcule la robabilidad de -ue

a La ca:a cumla con la ,arant$a  P ( X ≥ 14 )=nCx∗ P ∗q  x

n−1

 P ( X ≥ 14 )=20 C 14∗( 0,8 ) ∗( 0,20) 14

6

 P ( X ≥ 14 )=0,1090

b La ca:a conten,a m%s de + semillas -ue no ,erminen

P(x3)= 1-P (x#3) P(x#3) P(x=0)= 20 " 0(0.20)0 (0.80)20 = 0.0115 P(x=1)= 20" 0(0.20)1 (0.80)19 = 0.0576 P(x=2)= 20 " 0(0.20)2 (0.80)18 = 0.1369 P(x=3)= 20 "0(0.20)3 (0.80)17 = 0.2053 = 0.4113   =1-0.4113 = 0.5887

c &i se venden ' ca:as! cual es la robabilidad de -ue todas cumlan con la ,arant$a  P=0,1090

%=5 q =1− P

q =1−0,1090 q =0,891 n− 1

 P ( X =5 ) =nCx∗ P ∗q  x

0,10909

¿ ¿  P ( X =5 ) =5 C 5∗¿

X= 5

P ( X =5 )  = 0,0000153 3. Se sabe que el 20% de los chips en un proceso de emisin son defec!uosos. Se seleccionan "# chips. $alcule las siuien!es probabilidades usando &'cel

'(X=4)=0.1876 '(X4)=0.8357 '(X-4)= 1*'(X4) = 1*0.8357 = 0.1643

a)

'(X=4)

 +) c)

'(X4) '(X-4)

d)

ace e i%erre%e a e"eraa de X

$(x)= .=0.215=3

'ara e"%e i" eercici 3 $ " "iie%e" erae" ee " e"aci" e +ac  cace a" r+a+iidade" re"ec%i#a" "ad $xce

a)  +) c) d)

'(3  X  8) ='(X '(3 : X : 8) ='(X '(3  X : 8) ='(X '(3 : X  8) ='(X

) * '(X )= '(X8)  '(X2)= 0.601 ) * '(X )= '(X7)  '(X3)= 0.3475 ) * '(X )= '(X7)  '(X2) = 0.5977 ) * '(X )= '(X8)  '(X3) = 0.3510

;) a e" a r+a+iidad de e "e ei%a cad c< 12 c
•

'(X12)= 0.6019

) a e" a r+a+iidad de e "e ei%a i 10 c
•

'(X>10)= 1*'(X9)= 1* 0.0610= 0.9383

DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA

. En la emisión de se@ales de rueba de un sat#lite! el 20; salen distorsionadas a 7u%l es la robabilidad de -ue la cuarta se@al distorsionada aarezca en la d#cima se@al. '= 0,2

f  ( x )=¿ ?(x)= 93

x*1

C 

;.1

¿ Pk ∗qn−k 

( 0,2 )4∗(0,8 )6

= 0,8

= 10

;=10

?(x) = 0,035

b 7u%l es la robabilidad de -ue la se,unda aarezca en la s#tima se@al

P= 02 f  ( x )=¿

x*1

f  ( x )=¿

6

C 

C 

;.1

;=0> )= 7

se@al distorsionada

?=2

¿ Pk ∗qn−k 

¿( 0,2 )2∗(0,8 )5

1

?(x)= 0,078

c 7u%l es la robabilidad de -ue la octava se@al no distorsionada aarezca en la decimose,unda se@al

'=0,8

f  ( x )=¿

x*1

f  ( x )=¿

11

C 

C 

;.1

7

=0,2

=11

;=8

¿ Pk ∗qn−k 

¿( 0,8 )8∗( 0,2 )4

?(x)= 0,088

'.

/ara tratar a un aciente de una afección de ulmón "an de ser  oerados en oeraciones indeendientes sus ' lóbulos ulmonares. La t#cnica a utilizar es tal -ue si todo va bien! lo -ue ocurre con robabilidad de )A11! el lóbulo -ueda definitivamente sano! ero si no es as$ se deber% eserar el tiemo suficiente ara intentarlo osteriormente de nuevo. &e racticar% la ciru,$a "asta -ue  de sus 'lóbulos funcionen correctamente. B7u%l es el valor eserado de intervenciones -ue se esera -ue deba adecer el acienteC B7u%l es la robabilidad de -ue se necesiten 10 intervencionesC

1. '= 7/11 @=4 $(x)= @(1*')/'  = 41*(7/11)/ (7/11) = 2.2857 2. '(X=10) 4 6 93 (7/11) (4/11)  = 0.0318 6.

C a%rii iere %eer a
' = 0.33  = 0.66 X = 3 @ = 1

 P ( x = 3 )

7.

(−) 3−1 1 1

( 0.33)1 ( 0.6 )3−1

Ei a r+a+iidad de e  iF exe"% a a e?eredad c%ai"a a c%raia e" 0,40, Gc e" a r+a+iidad de e e dHci iF exe"% a a e?eredad "ea e %ercer e c%raeraI

' = 0.40  = 0.60 X = 10 @ = 3 3

7

9 C 2 ( 0.4 ) ( 0.6 )

 = 0.0644

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

8.

$%re a" 20 ceda" "are" e "e re"e%a e a exre"ió cercia, 12 " ceda" aa"  a" %ra" " ceda" de cce%ració. Ei a er"a e #i"i%a a ex"ició "eeccia a aar 6 de a" "aa" "are" ara re#i"ara". G e" a r+a+iidad de e 3 de e"%a" "ea aa"I

 P ( x = 3 )

( )( − ) ( ) 6

20−6

3

12 3

20 12

P ( x =3 ) =

( )( ) ( ) 6

14

3

9

20 12

9.

C i"ec%r de adaa" decide re#i"ar 3 de 16 e+are" r#eie%e" de Madrid r a #a aHrea. Ei a "eecció e" aea%ria  5 de " e+are" c%iee c%ra+ad, cace a r+a+iidad de e e i"ec%r de adaa", ece%re i %re" e+are" c c%ra+ad

− ( )( − ) ( = ) (  )

 P  x

3

3

16

3

5

( )( ) ( = )= ( )

3

3

16

P  x 3

5

3

13

3

2

16 5

 P ( X =3 )=0.0178

10.En una risión federal! 2 de ' internos est%n ur,ando condenas or  delitos contra la salud! 2 or delitos contra la roiedad rivada y 1 or delitos contra el comercio. &i se selecciona aleatoriamente a + de los internos ara comarecer ante un comit# le,islativo a 7u%l es la robabilidad de -ue 1 de los ' est#n ur,ando condenas or delitos contra la saludC  J=5

 P ( x = 1 )

( )( − ) () 2

5− 2

1

3

1

5

P ( x = 1 ) =

3

=3

x=1

;=2

( )( ) () 2

3

1

2

5 3

 P ( X =1 )= 0.6 b 7u%l es la robabilidad de -ue 2 de los ' est#n ur,ando condenas or delitos contra la roiedad rivadaC  J=5 =3 x=2 ;=2

 P ( x = 2 )

( )( − ) () 2

5 −2

1

3

5 3

2

P ( x =2 ) =

( )( ) () 2

3

1

1

5 3

 P ( X =2 ) =0.3 DISTRIBUCION POISSON

11" S$ *b$ ;($ * $5''@) &$ 8*/.6+(* ** 8-/ ()* ($).$ /*&'*+.'* '($ ()* &'./'b(+'@) 8-'-) * () /'.5- &$ 4 8*/.6+(* 8-/ 5')(.-" E) () 5-5$).- +(*;('$/* +(* $ * 8/-b*b''&*& &$ ;($ * ($).$ $5'.*:

a $<*+.*5$).$ 9 8*/.6+(* $) () 5')(.-

 = 4 8*/.6+(* 8-/ 5')(.8 <=9 = e−4   4 6 ¿/ 6  P<=9 = 01041 b $<*+.*5$).$ 1 8*/.6+(* $)  5')(.-

 = 20 8*/.6+(* 8-/ 5')(.P <=1 = e−20   2015 ¿ / 15  P<=1 = 0019 c +(*)&- 5(+- 1 $)  5')(.- P <#1 = 019 d 5H &$ 1 $)  5')(.-  = 20 8*/.6+(* 8-/ 5')(.P <1 1P<#1 P <1 1 019 P <1 = 0>4 e M6)'5- 1 $)  5') P <#1 = 1P<#14 P <1 = 1 K 0104> P <1 = 0>2 f. M$)- &$ 1 $)  5') P <#14 = 0104> , P 12 # ! # 2 $)  5') P ! #2 K P !# 11 0>>7> K 0021 = 0>99 ". P 12  !  2 $)  5') P ! #24 K P !# 12 i. P 12 # !  2 $)  5') P ! #24 K P !# 14 0>42 K 0104> = 07>4

12. $ Der de errre" e ce%e a dii%adra e  c%adr "ie  cr%aie% i"" c a ?rececia de 3 errre" r <a. ace a r+a+iidad de e a)

Kaa 5 errre" e a <a

 +)

Kaa " de 17 errre" e 5 <a" "eida"

c)

Kaa e" de 25 errre" e  ?e% de 6 <a"

d) Ei de 100 <a", d" " ra#ee%e de?ec%"a" 
a) x= 5L = 3 errre"/i −3

5

 e 3  P ( x = 5 ) P ( x =5 )=0,1008 5! b) ' (X - 17) = 1  ' (X17) = 15 errre"/i −15

 P ( x = 0 )

 e

 P ( x = 1 )

 e

 P ( x = 2 )

 e

 P ( x = 3 )

 e

0

15

0! −15

1

15

1! −15

2

15

2! −15

3

15

3!

 e  P ( x = 4 )

−15

4!

−15

 P ( x = 5 )

 e

 P ( x = 6 )

 e

 P ( x = 7 )

 e

4

15

5

15

5! −15

6

15

6!

 P ( x = 17 )

−15

− 15

=3.05 x 10−18

=3.44 x 10−5 =1.72 x 10−4 =6.45 x 10−4 =1.93 x 10−3 = 4.83 x 10−3

7

15

7!

 e

=3.05 x 10−7

=0.0010 17

15

17 !

=0.0084

= −7

3.05 x 10

+ 3.05 x 10−18 + 3.44 x 10−5 + 1.72 x 10−4 + 6.45 x 10−4 + 1.93 x 10−3+ 4.83 x 10−3 + 0.0010 + 0.0084

 ' (X - 17) = 1  ' ( X17) = 1  0.7488 = 0.2512 c) ' (X : 25) = 1  ' ( X>25) ' (X>25) 1  ' ( X24) ' (X>25) = 1  0.9317 = 0.0683  ' (X : 25) = 1  ' ( X>25) ' (X : 25) = 1  0.0683 = 0.9317

d)  6errre"/ <a" −6

20

e 6 X = 20 20 ! ' (X = 20) = 3.7250 x

−6

10

DISTRIBUCION MULTINOMIAL

13. $  ar%id de +ace"%
 e" a r+a+iidad de e A
 x 1  = 7

 x 2  = 6

 p1  = 0.4

 x 3  = 3

 p2  = 0.35

 p3  = 0.25

0.4

¿ ¿

0.35

¿ ¿

0.25

¿ ¿

16 7 !6 !3 !

= 3.45 x

 ¿ −14

0.4

A) c e" a r+a+iidad de e A
 x 1  = 10

 x 2  = 2  x 3  = 4

 p1  = 0.4

 p2  = 0.35

 p3  = 0.25

0.4

¿ ¿

0.35

¿ ¿

0.25

¿ ¿

16 10 ! 2 ! 4 !

 ¿ = 4.60 x

−15

10

B) ca e" a r+a+iidad de e A
0.4

¿ ¿

0.35

¿ ¿

0.25

¿ ¿

16

 ¿

11 ! 7 ! 10 !

= 0.000002806

14. Ca ra a#eida i%ada  "i <ec", %iee 10 "e?r". ada "e?r e"%a rraad" a" $ r 45 "ed" $ aari 5 "ed" $ #erde 40 "ed"  e" a r+a+iidad de e e  i"%a%e dad a) Od" e"%H e #erde  +) 5 e r, %re" e #erde  d" e aari c) 8 e r  d" e #erde d) Od" e r e) 7 e #erde  %re" e aari

45

¿ ¿

A) ' (X1=0L X2=0L X3=10) =

5

10

¿  = ¿

0 ! 0 ! 10 !

16

1.0485 x 10

40

¿ ¿ ¿

45

¿ ¿

B) ' (X1=5L X2=2L X3=3) =

10 5!2!3!

5

¿  =7.44  x 1017 ¿

40

¿ ¿ ¿

45

¿ ¿

C) ' (X1=8L X2=0L X3=2) =

10 8! 0! 2 !

5

¿  = ¿

40

¿ ¿ ¿

18

1.2106  x 10

45

¿ ¿

D) ' (X1=10L X2=0L X3=0) =

5

10

¿  = ¿

10 ! 0 ! 0 !

16

3.4050 x 10

40

¿ ¿ ¿

45

¿ ¿

E) ' (X1=0L X2=3L X3=7) =

10 0! 3 ! 7 !

5

¿  = ¿

40

¿ ¿ ¿

15

2.4576 x 10