Taller Unidad 4 Juan Fernando Duque Universidad de Antioquia F´ ısic ıs ica a Mec´ Me c´ anica anica
21 de diciembre de 2014
1. Reemplace
el par y la fuerza mostradas en la figura por una sola fuerza equivalente aplicada a la palanca. Determine la distancia desde la articulaci´on on hasta el punto de aplicaci´on on de esta fuerza equivalente.
Problemas 1 y 2
2. Una viga de 4.8 m de longitud est´ a sometida a la acci´on on de las fuerzas mostradas en la figura. Red´ uzcase el sistema de fuerzas dado a: a) Un sistema equivalente fuerza-par en A. uzcase b) Una sola fuerza o resultante. 3. Una
base de concreto soporta cuatro cargas sobre sus columnas, como indica la figura. Determine la magnitud y el punto de aplicaci´on on de la resultante de las cuatro cargas.
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4. Un
disco de masa M y radio R, inicialmente en reposo, se somete a la acci´on de una fuerza horizontal constante F como se indica en la figura. Si el disco rueda sin deslizar determine: a) La aceleraci´on del centro de masa. b) La aceleraci´on de los puntos P y Q. c) La fuerza de fricci´ on. d) Escriba las ecuaciones cinem´aticas de posici´on y velocidad del centro de masa. e) ¿Cu´ales fuerzas afectan el movimiento del disco?
Problemas 4 y 5
5. Un
disco de masa M y radio 2R, inicialmente en reposo, tiene un peque˜no saliente de radio R en el cual se enrolla una cuerda que se tira con una fuerza horizontal constante F , como se indica en la figura. Si el disco rueda sin deslizar determine: a) La aceleraci´on del centro de masa. b) La aceleraci´on de los puntos P y Q. c) La fuerza de fricci´on. d) Escriba las ecuaciones cinem´aticas de posici´on y velocidad del centro de masa. 6. Un
cilindro hueco de paredes delgadas y una esfera, parten del reposo desde la parte superior de un plano inclinado de longitud 3 m y ruedan sin deslizar. El cilindro llega a la base del plano 0.5 s despu´es de la esfera. Determine el ´angulo de inclinaci´on del plano. 7. Un
disco de masa 4 kg y radio 10 cm rueda sin deslizar sobre un plano inclinado (θ = 30 ) mediante la acci´on de una fuerza horizontal F de magnitud 20 N aplicada en el punto P , como se indica en la figura. a) Halle la aceleraci´on del disco y la fuerza de fricci´on. b) ¿Cu´ales fuerzas realizan trabajo sobre el disco? c) ¿Qu´e tipo de sistema se tiene en este caso? ◦
Problemas 7 y 8
8. Dos
bloques de igual masa se conectan mediante una cuerda que pasa por una polea de radio R y momento de inercia I . El plano inclinado es liso. a) ¿Qu´ e relaci´on existe entre las magnitudes de la fuerza de tensi´on que act´ uan sobre cada cuerpo? b) Determine el momento neto de las fuerzas que act´uan sobre la polea respecto a su centro. c) Exprese el momento angular total del sistema respecto al centro de la polea cuando los bloques se mueven con velocidad v. d) Determine la aceleraci´on de los bloques a partir de los apartados b) y c).
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9. Se
enrolla una cuerda alrededor de una polea con forma de disco de masa m y radio r. El extremo libre de la cuerda est´a conectado a un bloque de masa M que desliza sobre la superficie del plano inclinado. El coeficiente de fricci´on entre el bloque y el plano es µ. El sistema parte del reposo y la polea puede girar libremente alrededor de un eje fijo que pasa por su centro. a) ¿Qu´ e movimiento tiene cada cuerpo? b) Utilice consideraciones de energ´ıa para demostrar que la rapidez del bloque como funci´on de la posici´on x es v(x) =
4gxM (senθ − µcosθ)
1/2
m + 2M b) Teniendo en cuenta el resultado anterior, encuentre la magnitud de la aceleraci´on del bloque en t´erminos de µ, m, M y θ.
Problemas 9 y 10
10. Un
cilindro de masa M y radio r rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal, debido a una cuerda que pasa por una polea y que est´a conectada a un bloque de masa m. Considere la polea como ideal. a) ¿Cu´ales fuerzas afectan el movimiento de cada cuerpo? b) Halle la aceleraci´on del bloque y la aceleraci´on angular del cilindro. Eval´ue para M = 1.0 kg, m = 200 g, r = 20 cm. c) ¿Qu´e tipo de sistema se tiene en este caso? 11. Un
tabl´on de masa 3m se transporta sobre dos cilindros id´enticos, de radio R y masa m. El tabl´on se hala con una fuerza horizontal constante F aplicada en uno de sus extremos. Los cilindros ruedan sin deslizar sobre una superficie horizontal. Tampoco hay deslizamiento entre los cilindros y el tabl´on. Halle la aceleraci´on del tabl´ on, la aceleraci´on de los cilindros y las fuerzas de fricci´on que act´ uan sobre estos. Eval´ue para F = 6.0 N y m = 2000 g.
Problemas 11 y 12
12. Se
ata un hilo mediante un yugo a un eje sin fricci´o n que pasa por el centro de un cilindro de masa M y radio 2R. El hilo pasa por una polea con forma de disco de masa M y radio R. Un bloque de masa M se suspende del extremo libre del hilo. El hilo no resbala sobre la polea, el sistema parte del reposo y el cilindro rueda sin deslizar sobre la mesa. a) ¿Qu´ e tipo de movimiento tiene cada cuerpo? b) Halle la aceleraci´ on del bloque ¿El resultado est´a de acuerdo a lo esperado? c) ¿Cu´ales fuerzas realizan trabajo sobre el sistema bloque-cuerda-cilindro? d) ¿El sistema en consideraci´on es conservativo o no conservativo?
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13. Al
disco de masa M y radio R, inicialmente en reposo, se le enrolla una cuerda alrededor del peque˜ no saliente de radio R/3. Al aplicar en el extremo libre de la cuerda la fuerza F , que forma un a´ngulo θ con la horizontal, el disco rueda sin deslizar sobre la superficie horizontal. a) Halle la aceleraci´on del disco y su aceleraci´on angular. Eval´ ue para M = 1 kg, F = 13 N y θ = 36.9 . b) Encuentre la energ´ıa total del disco cuando su centro de masa se ha desplazado 2 m. ◦
Problemas 13 y 14
14. Una
varilla de longitud L y masa M est´ a conectada a una articulaci´on sin fricci´on en el extremo O. La varilla, inicialmente en reposo, se suelta desde la posici´on mostrada en la figura. a) ¿Qu´ e movimiento adquiere la varilla. b) ¿Cu´ ales fuerzas realizan trabajo sobre la varilla? c) ¿Qu´e tipo de sistema se tiene en este caso? d) Halle la rapidez angular de la varilla cuando est´a orientada verticalmente. e) Determine la rapidez del centro de masa y la rapidez del extremo libre de la varilla para dicha posici´on. 15. El
disco de radio R tiene un peque˜ no saliente de radio r, alrededor del cual se enrolla una cuerda. Al aplicar en el extremo libre de la cuerda distintas fuerzas conocidas F 1 , F 2 , F 3 o F 4 (una a la vez), el disco rueda sin deslizar por la superficie horizontal. Para cada caso, determine el sentido de movimiento del disco.
Problemas 15 y 16
16. Una
esfera rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal con rapidez v o y asciende, tambi´ en sin deslizar, por una pendiente de altura h. En la cima se mueve horizontalmente y despu´es cae. a) ¿Cu´ales fuerzas realizan trabajo sobre la esfera? b) ¿El sistema en consideraci´ on es conservativo o no conservativo? c) Halle la rapidez lineal y la rapidez angular de la esfera en la cima de la pendiente d) Halle su rapidez justo antes de tocar el suelo. Compare esta rapidez con vo , ¿este resultado est´a de acuerdo a lo esperado? e) Eval´ue para vo = 10 m/s y h = 6 m.
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17. Una
esfera hueca de pared delgada, de masa m y radio r, parte del reposo con su punto m´ as bajo a una altura h sobre el fondo del rizo de radio R (R > r) y rueda sin deslizar. a) ¿Desde que altura m´ınima debe soltarse la esfera para que d´e una vuelta completa en el rizo? b) ¿Qu´e valor debe tener h si la pista est´a bien lubricada, haciendo despreciable la fricci´ on?
Problemas 17 y 18
18. A
solid sphere of radius r is placed on the inside surface of a hemispherical bowl of radius R (R > r). The sphere is released from rest in the position shown in the figure and rolls without slipping. Which force does work on the sphere? What kind of system is this? Determine the angular speed of the sphere when it reaches the bottom of the bowl. 19. Una
polea y dos bloques id´enticos se conectan mediante cuerdas como indica la figura. En un instante determinado, el bloque A tiene aceleraci´on de 0.2 m/s2 y velocidad de 0.4 m/s. a) ¿Qu´ e tipo de movimiento tiene cada cuerpo? b) Halle el n´ umero de revoluciones ejecutadas por la polea en 2s. c) Halle la velocidad y posici´on del bloque B despu´es de 2 s. d) ¿Cu´ ales fuerzas afectan el movimiento de cada cuerpo? e) ¿Cu´ales fuerzas realizan trabajo sobre el sistema bloques-cuerdas-polea? f) ¿Qu´e tipo de sistema se tiene en este caso?
Problemas 19 y 20
20. Se
enrolla una cuerda alrededor de un peque˜no saliente de un disco de masa 5 kg como se muestra en la figura. El disco parte del reposo y rueda mediante la acci´on de la fuerza horizontal indicada. Los coeficientes de fricci´on entre el disco y la superficie est´an dados por µs = 0.2 y µk = 0.15. a) Halle la aceleraci´on lineal y la aceleraci´on angular del disco. b) Halle la rapidez del centro de masa despu´ es de que se ha movido 2.2 m. c) ¿Cu´ ales fuerzas realizan trabajo sobre el disco?
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Preguntas para an´ alisis ¿Qu´e efectos tiende a imprimir una fuerza sobre un cuerpo r´ıgido? ¿Por qu´e es m´as f´acil sostener una mancuerna con la mano junto al cuerpo que con el brazo estirado horizontalmente? Si ud. trata de aflojar un tornillo muy apretado con un destornillador y no puede, ¿debe cambiarlo por un destornillador que tenga el mango m´as largo o m´as gordo? ¿Por qu´e el flexionar las piernas cuando corres te ayuda a moverlas hacia adelante y hacia atr´ as con mayor rapidez? ¿Por qu´e una p´ertiga larga ayuda a un equilibrista a estar balanceado? Verdadero o Falso El centro de gravedad se encuentra siempre en el centro geom´ etrico de un cuerpo. El centro de gravedad se encuentra siempre en el centro de masa de un cuerpo. Todas las partes de una rueda giratoria deben tener la misma velocidad angular. Todas las partes de una rueda giratoria deben tener la misma aceleraci´on angular. Si la velocidad angular de un objeto es cero en alg´un momento, el momento neto que act´ ua sobre el objeto debe ser cero en ese instante. El momento ejercido por una fuerza siempre es perpendicular a dicha fuerza. Si el momento neto sobre un sistema que gira es cero, la velocidad angular del sistema no puede modificarse. Cuando un objeto rueda sin deslizar, la fuerza de fricci´on no realiza trabajo sobre el objeto. Organice, de mayor a menor, los momentos de las 5 fuerzas respecto al punto B. Las varillas tienen la misma longitud.
¿Un objeto puede seguir girando en ausencia del momento de una fuerza? ¿El momento neto incrementa siempre la velocidad angular de un cuerpo r´ıgido? ¿Es posible cambiar la energ´ıa cin´etica de traslaci´on de un cuerpo sin cambiar su energ´ıa cin´etica de rotaci´on? La rueda de una bicicleta rueda sin deslizar sobre un camino horizontal. ¿La velocidad angular es constante si la velocidad de traslaci´on de la bicicleta tambi´ en es constante? ¿La aceleraci´ on angular es constante si la aceleraci´on de traslaci´on de la bicicleta tambi´ en es constante? Cuando un disco rueda sin deslizar por una superficie horizontal, ¿alg´un punto del disco tiene velocidad vertical? Si es as´ı, indique cu´ al.
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Una esfera rueda sin deslizar por un plano inclinado. Dibuje el vector velocidad para los puntos indicados teniendo en cuenta su magnitud.
Un aro rueda hacia abajo sin deslizar por un plano inclinado A. Al mismo tiempo, una caja desliza por el plano inclinado B, que es id´entico al plano inclinado A excepto que es liso. ¿Cu´ al cuerpo llega primero a la base del plano si parten del reposo y desde la misma altura? Dos esferas, A y B, ruedan hacia abajo sin deslizar por un plano inclinado. La esfera A tiene el doble de masa y el doble de radio que la esfera B. ¿Cu´al esfera llega primero a la base del plano si parten del reposo y desde la misma altura? Un cilindro y una esfera de masas y radios iguales, ruedan sin deslizar sobre una superficie horizontal con energ´ıas cin´eticas iguales. ¿C´omo se comparan las velocidades de traslaci´on de ambos cuerpos? Un disco de masa M y radio R rueda sin deslizar. ¿C´omo se comparan su energ´ıa cin´etica de traslaci´on y su energ´ıa cin´etica de rotaci´on? Una esfera rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal. Demuestre que la fuerza de fricci´ on que act´ ua sobre la esfera debe ser cero. ¿Qu´e condici´on debe cumplir la magnitud de la fuerza P para que el disco ruede sin deslizar hacia la derecha? (Ver figura † )
Figuras † y ‡
Dos bloques id´enticos parten del reposo y simult´ aneamente desde la misma altura, mientras que las poleas rotan alrededor de ejes fijos que pasan por sus centros. Las poleas tienen igual masa y radio. ¿Cu´al bloque llega primero al suelo? (Ver figura ‡ ) Suponga que s´ olo dos fuerzas act´uan sobre un cuerpo r´ıgido estacionario y las dos fuerzas tienen igual magnitud, igual direcci´on y sentidos opuestos. ¿Bajo qu´ e condici´ on empieza a girar el cuerpo?
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