1.2-1.Una barra ABC que tiene dos secciones transversales de áreas diferentes está cargada por una fuerza axial P=95kip (véase figura). Ambas partes de la barra tienen sección transversal circular. Los diámetros de las porciones AB y BC de la barra son 4.0 y 2.5plg, σ yσ respectivamente. Calcular los esfuerzos normales ab bc en cada porción de la barra.
P=95 Kips=95000 Libra
σ ab =
σ bc =
∅1=4 pulg
∅2=2,5 pulg
P 95000 Lb = =7560 p . s .i=7,56 Ksi A ab π 2 x ( 4 pul ) 4 P 95000 Lb = =19354 p . s .i=19,35 Ksi A bc π x ( 2,5 pul )2 4
1.2-2 Una barra horizontal CBD que tiene una longitud de 2.4m, se sostiene y se carga como se muestra en la figura. El miembro vertical AB tiene un área de sección transversal de 550mm2. Determinar la longitud de la carga P tal que produzca un esfuerzo normal igual a 40MPa en el miembro AB.
A ab=550 mm 2=0,00055 m2
σ ab =40 MPa=4 x 10 7 Pa
σ=
P → P=σ x A ab A
P=
4 x 10 Pa x 0,00055m x 1,5 m =13750 N 2,4 m
7
2
1.2-3 Un alambre de aluminio de 80 m de longitud cuelga libremente bajo su propio peso. Determinar el esfuerzo normal máximo en el alambre, si se supone que el aluminio tiene un peso específico γ =26,6 KN /m3
L=80 m
80 m
σ máx =L x γ σ max .=80 m∗26,6 KN /m3 σ max .=2128 KN /m3 (2,13 MPa)
1.2-4 Un tubo hueco de diámetro interior ∅2=4,5 pulg
y diámetro exterior
se comprime por una fuerza axial P=55kip. Calcular el
esfuerzo de compresión medio
∅1=4 pulg σ=
∅1=4 pulg
σc
en el tubo.
∅2=4,5 pulg
P 55000 Lb = =16477 Psi A 2−A 1 π π x ( 4,5 pulg )2− x ( 4 pulg )2 4 4
P=55000 Libras
1.2.5 Una columna ABC para un edificio de dos pisos se construye con un perfil cuadrado hueco. Las dimensiones exteriores son de 8plg x 8plg y el espesor de pared es de 5/8 de plg. La carga del techo en la parte superior de la columna es de P1= 80 Kip y la carga del piso a la mitad de la columna es P2= 100Kip. Determinar los esfuerzos de compresión σ ab σ bc y en ambas porciones de la comuna debido a esas cargas.
5 e= pulg 8
A=64 plg 2
P1=80 Kip
P2=100 Kip
P
A
5 pulg 8
B
8 pulg
C
Sabiendo las longitudes y el espesor de la lámina, se halla el área interna:
[
5
][
5
]
∫ ¿= 8−2 ( 8 ) ∗ 8−2 ( 8 ) =45,56 plg2 A¿ como : A total = A ext. − A∫ .
A total=64−45.56=18,44 plg σ ab
σ ab
=
P1 A total =
=
P2 A total =
2
80000 lb =4338,4 Psi=4,33 Ksi 18,44 plg 2 100000 lb =5423 Psi=5,4 Ksi 18,44 plg 2
1.2-6 La figura muestra la sección transversal de un pedestal de concreto cargado a compresión. a) Determinar las coordenadas
´x
y
´y
del punto donde debe
aplicarse la carga a fin de producir una distribución uniforme de esfuerzos. σc b) ¿Cuál es la magnitud del esfuerzo de compresión si la carga es igual a 20 MN?
A T =( 1.2 m) x ( 1,2 m )=1,44 m2 2
A 2= A 3=( 0,6 m ) x ( 0,4 m )=0,24 m A 1= A T − A 2−A 3=0,96 m2 ´y =0,6 m
Si
1 X i= x 1.2m=0,6 m 2
En este caso 1,2m es la longitud de la base
del pedestal. X . A ( 0 , 6 m∗0 , 96 m )+ ( 0 , 3 m∗0 , 12m ) + ( 0 , 3 m∗0 , 12m ) X´ =∑ i i = 2 A 1,44 m
X´ =0,045 m
P 20 x 10 6 N σC = = =20833333.33 Pa=20,83 MPa . 2 Área efectiva 1 0,96 m 1.2-7 Un alambre de acero de alta resistencia, empleado para presforzar L=80 pies una viga de concreto, tiene una longitud y se estira δ ' =3,0 pulg . ¿Cuál es la deformación unitaria del alambre? δ ' =3,0 pulg x
ε=
1 pie =0,25 pies 12 pulg
δ ´ 0,25 pies = =3,125 x 1 0−3 L 80 pies
1.2-8 Una barra redonda de longitud
L=1,5 m , se carga a tensión como
se muestra en la figura. Una determinación unitaria normal
−3
ε =2 x 10
se mide por medio de un medidor de deformación (Strain Gage) colocado en la barra. ¿Qué alargamiento
δ'
de la barra completa
puede preverse najo esta carga? ε=
δ´ → δ ´ =ε x L L
δ ´ =2 x 10−3 x 1,5 m=0,003 m 1.2-9 Una barra de acero de 1m de longitud y 13mm de diámetro, soporta una carga de tensión de 13,5KN. La barra incrementa su longitud en 0,5mm cuando se aplica la carga. Determinar el esfuerzo normal y la deformación unitaria en la barra.
P=13,5 KN =13500 N ∅=13 mm=0,013 m
δ ' =0,5 mm=0,0005 m P 13500 N σ= = =101708484,3 Pa=102 MPa A π 2 x ( 0,013 m ) 4 ε=
δ ´ 0,0005 m = =0,0005 L 1m
1.2.10 Un conjunto de puntal y cable ABC (véase la figura) sostiene una carga vertical P = 15 KN. EL cable tiene una sección transversal efectiva de 120 mm2 y el puntal un área de 250mm2. a. Calcular los esfuerzos normales σab y σbc en el cable y el puntal e indicar si son de tensión o de compresión. b. Si el cable alarga 1.3 mm ¿Cuál es la deformación unitaria? c. Si el puntal se acorta 0.62 mm ¿Cuál es su deformación unitaria? P = 15KN Aab = 120mm2 = 1.2 x 10-4 m2 Abc = 250mm2 = 2.5 x 10-4 m2
θ2 =
Θ1 = 36,87
L=
θ2 = 180° - (90° + 36.87°) = 53.13°
√ (1.5 m ) +( 2 m ) =2.5 m 2
2
2.5 Cosθ1 = 2 −1 2 θ1 = cos 2.5
P x Cosθ2 = 15000 N P = 25000 N
= 36. 87°
a) σab =
σbc =
P 25000 N 2 2 = =104.1 MPa A (ab) 1.2 ×1 0−4 m2 25000 N P 2 = =50 MPa A (bc) 2.5 ×1 0−4 m2
b) δ = 1.3 mm = 0.0013 m L=
ϵc =
√ (1.5 m ) +( 2 m ) =2.5 m 2
2
δ 0.0013 m −4 = =5.2× 10 Lo 2.5 m
c) δ = 0.62 mm = 0.00062 m
(Tensión)
(Compresión)
ϵp =
δ 0 . 00062 m = =2.48 ×1 0−4 Lo 2.5m
1.5.1. Se realiza una prueba de tensión sobre un espécimen de latón de 10 mm de diámetro y se utiliza una longitud calibrada de 50 mm. Al aplicar una carga P = 25 KN se aprecia que la distancia entre marcas de calibración se incrementa en 0.152 mm. Calcular el módulo de elasticidad del latón.
∅=10 mm
L=50 mm P=25 KN
δ=0,152 mm módulo de elasticidad : E=
σ e
δ e= ( e=deformación media) lo e=
0,152 mm =3,04 x 1 0−3 50 mm
1m 0,0 ¿ ¿ ¿2 π ¿ 4 25 KN σ= ¿
E=
318 MPa =104,6 GPa 3,04 x 10−3
1.5.2. Determinar la fuerza de tensión P necesaria para producir una deformación unitaria axial ɛ=0.0007 en una barra de acero (E=30x10 6 psi) de sección transversal circular cuyo diámetro es igual a 1plg.
P
ɛ =0.0007
E=30 x 10 6 psi ∅=1 pulgada . Determinar fuerza de tensión. σ =ɛ x E
σ =( 30 x 1 06 Psi ) ( 0.0007 ) σ =21000 Psi π A= (1 pul g 2) 4 A=0,785 pul g 2
P=σ x A
P=21000 Psi x 0,785 pul g 2 P=16485 Lb 1-5-3. Los datos de la tabla anexa se obtuvieron de una prueba a tensión de un espécimen de aleación de aluminio. Grafique los datos y luego
determine el módulo de elasticidad E y el límite de proporcionalidad σ1 P para la aleación.
Esfuerz o (Ksi)
Deformació n ℇ
8 17 27 35 43 50 58 62 64 65 67 68
0,0006 0,0015 0,0024 0,0032 0,0040 0,0046 0,0052 0,0058 0,0062 0,0065 0,0073 0,0081
La fórmula que se utiliza determinar el módulo de elasticidad:
Esfuerzo (Ksi) σ
Deformació n ℇ
8,0000 0,0006 17,0000 0,0015 27,0000 0,0024 35,0000 0,0032 43,0000 0,0040 50,0000 0,0046 58,0000 0,0052 62,0000 0,0058 64,0000 0,0062 65,0000 0,0065 67,0000 0,0073 68,0000 0,0081 Promedio
Módulo de elasticidad E 13333,3333 11333,3333 11250,0000 10937,5000 10750,0000 10869,5652 11153,8462 10689,6552 10322,5806 10000,0000 9178,0822 8395,0617 10684,4131
E
σ ℇ
Módulo de elasticidad E= 10684,4 Ksi Límite de proporcionalidad
σ1 P
trazando una línea paralela a 0,2% de la línea
deformación vs esfuerzo para determinar cuándo las deformaciones dejan de ser proporcionales. Punto de corte = ± 60Ksi Límite de proporcionalidad
σ1 P
= 60 Ksi
80.0000
70.0000
60.0000
50.0000
Esfuerzo σ
40.0000
30.0000
20.0000
10.0000
0.0000
0.0050 0.0000 0.0100
Deformación ℇ
1.5.4. Una muestra de aleación de aluminio se prueba a tensión. La carga se incrementa hasta alcanzar una deformación unitaria de 0.0075; el esfuerzo correspondiente en el material es 443 MPa. Luego se retira la
carga y se presenta una deformación permanente de 0.0013. ¿Cuál es el módulo de elasticidad E para el aluminio? e 1=0,0075 e 2=0,0013 σ =443 MPa
calcular E E=
443 MPa 0,0075−0,0013
E=
443 MPa =71451 MPa 6,2 x 1 0−3
E=71,45 GPa
1.5-5. Dos barras, una de aluminio y otra de acero, se someten a fuerzas de tensión que producen esfuerzos normales σ = 24 ksi en ambas barras. ¿Cuáles son las deformaciones laterales
∈al
y
∈ac
en las
barras de aluminio y acero, respectivamente, si E = 10.6 x 10 6 psi y v = 0.33 para el aluminio, y E = 30 x 106 psi y v= 0.30 para el acero? σ =24 ksi ∈Al =? ∈Ac =? Aluminio → E=10.6 x 1 06 psi; v=0.33 Acero → E=30 x 1 06 psi; v=0.30
( )
V =−
−Et → Et =V . E x Ex
E x=
σ E
E x=
24 x 1 03 Psi 10.6 x 10 6 psi
E x =2,264 x 1 0
−3
Et =( 0,33 ) . ( 2,264 x 1 0−3 )=7,471 x 10−4 → valor para elaluminio
Para el acero. E x=
σ E
E x=
24 x 1 03 Psi 30 x 1 06 psi −4
E x =8 x 1 0
Et =( 0,30 ) . ( 8 x 1 0−4 ) =2,4 x 10−4 → valor para el acero.
1.5-6. Una barra redonda de 1.5 plg de diámetro se somete a carga en tensión con una fuerza P (véase figura). Se mide la variación en el diámetro y resulta 0.0031 plg. Se supone E= 400,000 psi y V= 0.4. Determinar la fuerza axial P en la barra.
E=400000 Psi V =0,4
∅i=1,5 pLg ∅f =0,0031 pLg P=? 2
π d 2 π (1,5 plg) 2 A= = =1,7671 plg 4 4 −3
1.5∈¿=2,067 x 10 0,0031∈ ¿ ¿ E p=¿
V=
Ea =
Ep Ea
E p 2,067 x 1 0−3 = =5,1675 x 1 0−3 V 0,4
E=
σ P = → P=ExAx Ea E a A . Ea
(
P= 400000
lb ( 1,7671 plg2 )( 5,1675 x 10−3 ) 2 plg
)
P=3652,6 lb
1.5-7. Un miembro compresible construido de tubo de acero (E= 200 GPa, 0,30 = )ﻻtiene un diámetro exterior de 90 mm y un área de sección transversal de 1580 mm2. ¿Qué fuerza axial P ocasionará un incremento del diámetro exterior igual a 0,0094 mm? E=200GPa =ﻻ0,30
∅c =90 mm área=1580 m m2 P=? ∅ext =0,0094 mm εf =
=ﻻ
∅ext 0,0094 mm = =1,044 ×10−4 ∅c 90 mm
εf Øext
Øext=
εf 1,044 × 10−4 = =3,481 ×10−4 ﻻ 0,30 ∈=
σ Øext o ϵ x
σ =∈× ϵx −4
σ =200Gpa ×3,481 ×10
=>
σ =69,62 MPa
σ=
P A
P=σ × A
=>
P=69,62 MPa ×1580 mm2 P=110 KN
1.5-8. Una barra de acero de alta resistencia (E=200GPa, v=0.3) se comprime con una fuerza axial P (véase figura). Cuando no actúa carga axial, el diámetro de la barra es 50mm. A fin de mantener cierta holgura, el diámetro de la barra no debe exceder de 50,02mm. ¿Cuál es el mayor valor permisible de la carga P?
E=modulo de elasticidad .=200 GPa V =relacion de Poisson .=0,3
∅=50 mm ∅máx . permisi. =50,02 mm Pmáx. permisi .=? V=
−deformacióntransversal −Et = deformacionaxial Ea Et =
∆t D
Et =
0,05 m−0,05002m =−0,0004 0,05 m
Ea =Ex V=
−Et −Et → E x= Ex V
E x=
E=
0,0004 =0,00133 0,3
σx → σ x =E . E x Ex
σ x =( 200 x 1 09 Pa ) ( 0,00133 )=266,67 MPa P=σ x . A m 0,05002¿ ¿ ¿2 π (¿¿ 4¿)=524 KN ¿ P permisi .= ( 266,67 MPa ) ¿
1.5.9. Al probar a compresión un cilindro de concreto, el diámetro original de 6´´ se incrementa a 0,0004´´ y la longitud original de 12´´ se redujo 0,0065´´bajo la acción de la carga de compresión P=52000lb. Calcular el módulo de Poisson.
Diámetro= 6´´ Longitud= 12´´
P= 52000lb ɣ=? ∆ d =¿ E ’∨¿
E=
ɣ=
Ɣ. cd
12−11,9935 −4 =5,41 x 10 12
∆d 0,0004 = =0,12 cd 5,41 x 1 0−4
1.5.10. Un tubo de acero de 6 pie de longitud, diámetro exterior d=4.5 plg y espesor de pared t=0.3 plg, se somete a una carga axial de compresión P=40K. Se supone que E=30 x106 psi y v=0.3, determinar (a) el acortamiento del tubo, (b) el incremento del diámetro exterior y (c) el incremento de espesor de pared.
a) A r =T =( d−t ) A r =π (0,3 plg)(4,5 plg−0,3 plg) A r =3,958 plg 2
�med.
40000 lb = 3.958 plg 2 =10256.41psi
10256 psi =3,418 x 10 ⁻⁴ Ɛ= 30 x 106 psi ϸ=Ɛ x L= (2.418x10-4) (72 lb)=0.024 plg b) Ɛlateral=-rƐ= (0.5) (-3.418x10-4) =1x10-4 ∆d= (1x10-4) (4.5plg) =0.00045plg
C) ∆t=Ɛtxt= (1.0107x10-4) (0.5) =0.0000303plg
1.6-1. Un bloque de madera se prueba en cortante directo mediante el espécimen de prueba mostrado en la figura. La carga P produce un corte en el espécimen según el plano AB. EI ancho del espécimen
(perpendicular al plano del papel) es plano AB es 2 pulgadas.
2 pulgadas y la altura h del
Para una carga P = 1700 Libras, ¿Cuál es el esfuerzo cortante medio T medio en la madera?
Esfuerzo medio T medio: T medio=
P A
Donde:
P: Es la carga aplicada
A: Es el área sobre la cual se aplica la carga.
Al reemplazar en la fórmula los datos, se tiene que: T medio=
P A
T medio=
1700libras (2 plg∗2 plg) T medio=425 Psi
1.6-2. Una ménsula de perfil estructural está fijada a una columna mediante dos tornillos de 16mm de diámetro, como se muestra en la figura. La ménsula sostiene una carga P=35KN. Calcular el esfuerzo cortante medio Ƭ medio en los tornillos, cuando se desprecia la fricción entre la ménsula y la columna. Se deben realizar conversiones, de la siguiente manera: Diámetro :16
mm∗1m =0,016 m 1000 mm
Carga :35
KN ∗1 N =35000 N 0.001 KN
Área
El esfuerzo a calcular es el que actúa en el área transversal de los tornillos se tiene que: Área del tornillo=
π 2 D 4
π 2 Área del tornillo= 0,016 m 4
Área del tornillo=2 x 10−4 m2
Reemplazando los datos obtenidos se tiene que: T medio=
P 2A
T medio=
35000 N −4 2 2(2 x 10 m )
T medio=87,5 MPa
1.6-3. Una barra circular maciza de aluminio ajusta holgadamente dentro de un tubo de cobre. La barra y el tubo están unidos mediante un tornillo de 0.25plg de diámetro. Calcular el esfuerzo cortante medio en el tronillo si las barras se cargan por fuerzas P= 400lb. T medio=
P 2A
0,25 plg ¿ π( ¿¿ 2 ) 4 2¿ 400 Lb T medio= ¿
T medio=4074,4 Psi
1.6-4. Un punzón con diámetro d=20mm se utiliza para perforar una placa de aluminio de espesor t=4mm (véase figura). Si el esfuerzo cortante último para el aluminio es 275 MPa, ¿Qué fuerza P se requiere para perforar la placa? T=
P A
El valor del área de la perforación está definido por: A=πDt
A=π ( 0,02m∗0,004 m)
A=2,5 x 10−4 m2 De la anterior fórmula despejando P, se tiene que. P =TA 2 P=2 TA
6
−4
2
P=2(2,75 x 10 Pa∗2,5 x 10 m )
P=1,4 x 103 1.6-5 Tres piezas de madera están adheridas entre si y sometidas a una fuerza P = 3000 lb, como se muestra en la figura. La sección transversal de cada miembro es 1.5 × 3.5 pulgadas, y la longitud de las superficies τ es 6 pulgadas ¿Cuál es el esfuerzo cortante medio med ? Respuesta. Para determinar el valor del esfuerzo cortante medio, hay que establecer el área sobre la que actúa dicha carga. A= AtL
A= (3,5 plg )∗6 plg
A=21 plg 2
Por lo tanto el valor del esfuerzo medio cortante, será: T medio=
P 2A
T medio=
300 Lb 2 2(21 plg )
T medio=7,14 Psi
1.6-6 Tres piezas de madera (véase la figura) están adheridas entre sí en sus planos de contacto. Cada pieza tiene sección, transversal 2x4 plg (dimensiones reales) y longitud de 8 plg. Una carga P = 2400 lb se aplica a la pieza superior mediante una placa de acero ¿Cuál es el esfuerzo τ cortante medio med en las uniones?
A s =2 plg× 8 plg A s =16 plg
2
τ med =
P As
τ med =
2400 lb 16 plg 2
τ med =150 psi
1.6-7 Tres placas de acero se unen mediante dos remaches, como se muestra en la figura. Si el diámetro de los remaches es de 20 mm y el esfuerzo cortante último en los remaches es 210 MPa, ¿qué fuerza P se requiere para ocasionar la falla por cortante de dichos remaches?
Para determinar el valor de la fuerza que se requiere para ocasionar la falla de los remaches, se utiliza la fórmula que define el esfuerzo en función de la carga y el área sobre la cual se aplica la carga. τ=
P A
El valor del área de corte está definido por: A=
2π × D2 4
π 2 A= × ( 0,02m ) 4 −4
A=12,56 x 10 m
2
De la anterior fórmula despejando P, se tiene que. P =τA 2
P=2 τA
P=2(210 x 106 Pa ×6,28 x 10−4 m2 )
P=5,2752 ×105 N
1.6-8 Dos piezas de material se unen como se ve en la figura, y se tensionan con fuerzas P. Si el esfuerzo cortante ultimo para el material es 38 MPa, ¿qué fuerza P se requiere para fracturar a cortante las piezas?
τ=
P As
El valor del área de corte está definido por: A=0,06 m× 0,08 m
A=4,8 x 10−3 m2
De la anterior fórmula despejando P, se tiene que. P =τA 2 P=2 τA
6
−4
2
P=2(38 x 10 Pa × 4,8 x 10 m ) 5
P=1,824 x 10 N 1.6-9 La adherencia entre barras de refuerzo y el concreto se prueba mediante una “prueba de adherencia” de una barra empotrada en concreto (véase figura). Se aplica una fuerza de tensión P al extremo de la barra, la cual tiene un diámetro d y una longitud empotrada L. Si τ P=4000 lb, d = 0,5 plg y L 12 plg ¿qué esfuerzo cortante medio med se presenta entre el acero y el concreto?
A s =πde A s =π × 0,5 plg ×12 plg A s =18,85 plg
2
τ med =
P As
τ med =
4000 lb 18,85 plg 2
τ med =212,2 psi
1.6-10 Una viga hueca tipo cajón ABC se apoya en A mediante un perno de 7/8 plg de diámetro que pasa a través de la viga, como se muestra en la figura. Un apoyo de rodillo en B sostiene la viga a una distancia L/3 de τ A. Calcular el esfuerzo cortante medio med en el perno si la carga P es igual a 3000 lb.
τ med =
τ med =
τ med =
τ med =
P As 2P π 2( d 2) 4 4P π 2 d 2 2×(3000 lb) π 2( (0,875 plg)2 ) 4
τ med =4989,02 psi
