SYLLABUS 203057 Calculo Multivariado

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C DIGO: FORMATO DE SYLLABUS

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0-06-10-2015 PROCEDIMIENTO RELACIONADO: DISEÑO DE CURSOS

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1. INFORMACIÓN GENERAL DEL CURSO ESCUELA O UNIDAD: Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería NIVEL:

SIGLA: ECBTI

Profesional

CAMPO DE FORMACIÓN: Componente de formación disciplinar común CURSO: Calculo Multivariado Multivariado

CODIGO: 203057

TIPO DE CURSO: Teórico N° DE CREDITOS: 3 CREDITOS: 3

N° DE SEMANAS: 16

CONOCIMIENTOS PREVIOS: Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica, Calculo Diferencial y Cálculo Integral: El estudiante deberá conocer las propiedades básicas de las funciones continuas y derivables, así como también deberá poder integrar algunas funciones que dependan de una sola variable. DIRECTOR DEL CURSO: Adriana Granados Comba FECHA DE ELABORACIÓN: Mayo de 2016






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DESCRIPCIÓN DEL CURSO: El curso de Calculo Multivariado forma parte del campo de formación disciplinar común. Está dirigido a los programas de Ingeniería especialmente a la Ingeniería de telecomunicaciones y de Electrónica, sin embargo esta ofrecido a todos aquellos programas y/o estudiantes que quieran aplicar los conceptos de las funciones de varias variables. . El curso es transversal a los cursos ofrecidos por la Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería (ECBTI), es teórico, de tres créditos y se desarrolla en 16 semanas. La Estrategia utilizada es el Aprendizaje Basado en Problemas (ABP), en la cual, se le presenta a los estudiantes un problema por cada unidad, con el fin que ellos a través del trabajo autónomo y en equipo de forma colaborativa, desarroll en y lleven a cabo las operaciones necesarias para resolver el problema planteado. Las fases a desarrollar son: Fase 1: El 1: El estudiante recibe una guía que describe un problema y se le invita a revisar y a profundizar los contenidos necesarios. Se realizara el primer intento de la lección de evaluación. Fase 2: Con 2: Con el fin de desarrollar el trabajo, se organiza un foro para el trabajo colaborativo, en el cual además de aclarar las dudas, se discuten las posibles hipótesis para dar solución al problema. Las soluciones son construidas con ayuda de sus compañeros de grupo y el acompañamiento de su tutor, quien irá resolviendo dudas con ayuda de objetos virtuales de aprendizaje. Al final se entregará la solución del problema por parte de un estudiante. Fase 3: Con 3: Con el fin de de evaluar los objetivos de aprendizaje adquiridos, el estudiante realizará el segundo intento de la lección de evaluación y un cuestionario en la solución del problema. En este curso el estudiante conocerá lo relacionado con las funciones de varias variables y se encuentra estructurado en tres Unidades académicas:



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UNIDAD 1. Introducción a las Funciones de varias variables: Es una descripción de las funciones de muchas variables, pero para ello se recorrerá tópicos generales como son el uso de vectores, de Geometría, Superficies cuadráticas, Funciones vectoriale s y límites y continuidad. UNIDAD 2. Derivación de funciones de varias variables: En la cual se reunirá todo lo relacionado con el uso de derivadas involucrando funciones de varias variables, por lo tanto se tiene Derivadas parciales, derivadas direccionales y gradiente, máximos y mínimos, elementos diferenciales en coordenadas cilíndricas y esféricas y por último elementos diferenciales en coordenadas generalizadas y jacobiano. UNIDAD 3. Integración de funciones de varias variables: Se reúne lo concerniente a las integrales, por lo tanto se comienza con Integrales dobles y de volumen junto con integrales iteradas, integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas, Integrales de línea, circulación y rotacional, Integrales de flujo divergencia y finaliza con los teoremas para la integración como son Green, Stokes y Gauss. 2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS Propósitos: Fortalecer en los estudiantes la capacidad para relacionar eventos en su vida diaria y/o profesional con la formulación de funciones de varias variables, utilizando la estrategia de Aprendizaje Basado en Problemas. Mostrar al estudiante métodos en donde la aplicación de la derivación de funciones de varias variables ayuda a procesos de optimización y a comprender modelos físicos, utilizando la estrategia de Aprendizaje Basado en Problemas. Ilustrar al estudiante formas de calcular integrales de funciones de varias variables y su aplicación en problemas concretos de la vida, de la física y de su propia profesión, es así que se podrán calcular centros de masa, momentos de inercia, volúmenes, áreas, entre otras 

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integrales, aplicando los diferentes métodos de integración, así como también los teoremas integrales del cálculo vectorial, por medio de la estrategia de Aprendizaje basado problemas. Competencias generales del curso: El estudiante evidencia la simulación de algunas situaciones físicas o cotidianas con el uso de funciones de varias variables. El estudiante resuelva problemas de optimización de funciones de varias variables, utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange planteando condiciones para la maximización o minimización de funciones de varias variables. El estudiante aplica y relaciona entre sí, los operadores diferenciales para resolver problemas de física y de Ingeniería. El estudiante utiliza los diferentes tipos de integrales y los resuelva aplicando los teoremas de Grenn, de la Divergencia, de Stokes, teoremas necesarios que facilitan el cálculo de las integrales de línea, de flujo y circulación, integrales necesarias en la solución de variados problemas de Física y de Ingeniería. El estudiante fortalece su capacidad de generar conocimiento de forma grupal, al participar de forma activa con su grupo de trabajo cuando dan solución a los problemas de continuidad de las funciones de varias variables, al cálculo de gradiente de dichas funci ones, al cálculo de las integrales triples, de flujo y de línea.  

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3. CONTENIDOS DEL CURSO Esquema del contenido del curso:






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Nombre de la unidad UNIDAD 1: Introducción a las Funciones de varias variables

Contenidos de aprendizaje 1. Vectores: Sistemas de coordenadas, cosenos directores, producto escalar y vectorial. 2. Geometría del espacio: Ecuaciones de la recta y de planos. 3. Superficies cuadráticas: Curvas en el espacio, curvas paramétricas, longitud de arco y curvatura.

Referencias Bibliográficas Requeridas (Incluye: Libros textos, web links, revistas científicas) En la base de datos de la Biblioteca se encuentran los e-books (si los enlaces no funcionan, porque estos se actualizan, pueden buscar en la base de datos de la biblioteca) Zill, D.G. (2011). Matemátocas3 Cálculo de varias variables . México: McGraw-Hill Interamericana. 2-163. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2053/book.aspx?i=629&opensearch=matem%C3 %A1ticas%203&editoriales=&edicion=&anio= García, H. A. E. (2014). Cálculo de varias variables . México: Larousse - Grupo Editorial Patria. 2-85 Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11013675 Burgos, R. J. D. (2008). Cálculo infinitesimal de varias variables (2a. ed.). España: McGrawHill España. 7-60 Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10491306

4. Funciones vectoriales: Funciones de dos Este documento es de clasificación de seguridad controlada, para su uso debe solicitar autorización a la VIACI





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variables, curvas de nivel, funciones de varias variables.

Referencias bibliográficas complementarias

5. Límites y continuidad: Propiedades de los límites, diferentes tipos de funciones continuas. Echeverría, J. (2012). “Matemáticas II: Guía del estudiante: Instituto superior politécnico. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10609048&p00=calculo+de+varias+variable s






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Nombre de la unidad UNIDAD 2: Derivación de funciones de varias variables.

Contenidos de aprendizaje 1. Derivadas parciales: Regla de la cadena y derivación implícita. Serie de Taylor. 2. Derivadas direccionales: Gradiente, planos tangentes a las superficies de nivel. 3. Máximos y mínimos: Máximos y mínimos absolutos y condicionados, multiplicadores de Lagrange.

Referencias Bibliográficas Requeridas (Incluye: Libros textos, web links, revistas científicas) En la base de datos de la Biblioteca se encuentran los e-books (si los enlaces no funcionan, porque estos se actualizan, pueden buscar en la base de datos de la biblioteca) Zill, D.G. (2011). Matemátocas3 Cálculo de varias variables . México: McGraw-Hill Interamericana. 164-120. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2053/book.aspx?i=629&opensearch=matem%C3 %A1ticas%203&editoriales=&edicion=&anio= García, H. A. E. (2014). Cálculo de varias variables . México: Larousse - Grupo Editorial Patria. 86-108 Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11013675 Burgos, R. J. D. (2008). Cálculo infinitesimal de varias variables (2a. ed.). España: McGrawHill España. 65178 Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10491306

4. Elementos diferenciales de línea y de área: Elemento Este documento es de clasificación de seguridad controlada, para su uso debe solicitar autorización a la VIACI





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de arco y de superficie en coordenada s cilíndricas y esféricas. 5. Transformaciones diferenciales generalizadas: Elementos de arco y área en coordenada s generalizadas, Jacobiano de la transformación. Referencias bibliográficas complementarias

Echeverría, J. (2012). “Matemáticas II: Guía del estudiante: Instituto superior politécnico. Recuperado de:

Nombre de la unidad

Contenidos de aprendizaje 1. Integrales dobles y de volúmenes: Regla del punto medio,

UNIDAD 3: Integración de

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10609048&p00=calculo+de+varias+variable s

Referencias Bibliográficas Requeridas (Incluye: Libros textos, web links, revistas científicas) En la base de datos de la Biblioteca se encuentran los e-books (si los enlaces no funcionan, porque estos se actualizan, pueden buscar en la base de datos de la biblioteca)






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funciones con varias variables.

integrales iteradas, integrales dobles sobre regiones generales, integrales dobles en coordenadas polares. 2. Integrales triples: Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas, cambio de variables en las integrales triples. 3.

Zill, D.G. (2011). Matemátocas3 Cálculo de varias variables . México: McGraw-Hill Interamericana. 228-254. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2053/book.aspx?i=629&opensearch=matem%C3 %A1ticas%203&editoriales=&edicion=&anio= García, H. A. E. (2014). Cálculo de varias variables . México: Larousse - Grupo Editorial Patria. 110Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11013675 Burgos, R. J. D. (2008). Cálculo infinitesimal de varias variables (2a. ed.). España: McGrawHill España. 204-362 Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10491306

Integrales de línea: Integral de línea en campos vectoriales, rotacional, campos potenciales.






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4. Integrales de Flujo: Flujo y Divergencia

Referencias bibliográficas complementarias

5. Teoremas de integración: Green, de Gauss y de Stokes. Echeverría, J. (2012). “Matemáticas II: Guía del estudiante: Instituto superior politécnico. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10609048&p00=calculo+de+varias+variable s






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3. Actividades de Aprendizaje

Unidad

UNIDAD I: Introducció n a las Funciones de varias variables

Contenido de Aprendizaje

Competencia

Desarrollo y Valoración en la calidad de la participación y apropiación del tema. Conocimiento del área de conocimiento

De manera individual, el estudiante medirá su evolución y apropiación de la temática de manera autocrítica y constructiva, identificando en que área de conocimiento se trabaja.

Evaluación 1

Indicadore s de desempeñ o

Estrategia de Aprendizaje

Sustenta el conocimient o adquirido

Presentar Lección de reconocimiento.

N° de Sem 2

Propósito Tener puntos referentes de autodesempeño, autocontrol y de proyección individual como metas de trabajo



Criterios de evaluación (Heteroevalua ción) Evaluación de preguntas de única respuesta.

Ponderació n 5%




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Unidad


Competencia

Indicadores de Estrategia de Aprendizaje desempeño

N° de Sem

Evaluación 1

Propósito

UNIDAD 1: Introducci ón a las Funciones de varias variables

1-Vectores: Sistemas de coordenadas, cosenos directores, producto escalar y vectorial. 2-Geometría del espacio: Ecuaciones de la recta y de planos. 3-Superficies cuadráticas: Curvas en el espacio, curvas

El estudiante evidencia la simulación de algunas situaciones físicas o cotidianas con el uso de funciones de varias variables. Para cumplir con lo anterior: El estudiante reconoce el concepto de vector, lo puede describir en

-Identifica las propiedades básicas de los vectores y realiza operaciones entre los mismos. -Escribe la ecuación de la recta y del plano. -Identifica las ecuaciones de las cónicas y las puede clasificar, así como

Aprendizaje Basado en Problemas de acuerdo a las siguientes pasos: Problema de la Unidad I: El estudiante recibe una guía que describe un problema, desde el cual se plantea un reto y se motiva al estudiante a profundizar en los estudios de vectores, geometría, ecuaciones de la recta, superficies cuadráticas para llegar a las funciones de varias variables.

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-Lograr que el estudiante identifique cada uno de los elementos del curso y genere apropiación por las temáticas del mismo.

-Reconoce los parámetros de las funciones de varias variables.

-Determinar la capacidad del estudiante para apropiarse de los conceptos básicos sobre las funciones de varias variables.

-Determina las característic as y propiedades esenciales de la continuidad de las



Criterios de Pondeevaluación ración 20%




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paramétricas, longitud de arco y curvatura. 4-Funciones vectoriales: Funciones de dos variables, curvas de nivel, funciones de varias variables. 5-Límites y continuidad: Propiedades de los límites, diferentes tipos de funciones continuas.

diferentes sistemas de coordenadas y puede realizar operaciones entre los mismos. El estudiante identifica la ecuación de la recta en tres dimensiones, así como la ecuación del plano y de algunas superficies cónicas. El estudiante diferencia las funciones de una variable con la de varias variables,

también las curvas las puede parametrizar. -Identifica las características de las funciones de varias variables y puede y aplica los criterios para conocer sobre la continuidad de las mismas así como los criterios de clasificación de las funciones continuas.

Con el fin de aclarar dudas sobre las reglas de comportamiento durante el trabajo colaborativo, el tutor organiza una sesión virtual sincrónica donde se establece los protocolos de interacción y entrega del trabajo solicitado. En esta misma sesión se discute con el estudiante las posibles hipótesis para dar solución al problema, y el tutor le orienta para que pueda encontrar la información necesaria que le permita dar solución al problema planteado. El estudiante, junto con el grupo colaborativo Identifica los problemas y el planteamiento de posibles soluciones, a través de una actividad colaborativa que

-Establecer el nivel de comprensión de la aplicación de los conceptos básicos asociados a la descripción de las funciones de varias variables a la solución de problemas.



funciones de varias variables.




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además puede describir dichas funciones y hallar las características básicas de las mismas.

desarrolla dentro de un foro, donde el estudiante puede autorregular su aprendizaje. Las soluciones son construidas con ayuda de sus compañeros de grupo y el acompañamiento de su tutor, quien irá resolviendo dudas con ayuda de objetos virtuales de aprendizaje. El tutor será parte activa moderando desde al lado la construcción del trabajo colaborativo, así mismo estará apoyando de forma permanente en las dudas que el estudiante va adquiriendo en su experiencia práctica. Con el fin de evaluar los objetivos de aprendizaje






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adquiridos, el tutor evalúa los resultados del trabajo grupal, así como el individual, dando garantía que cada estudiante sea evaluado en conjunto como de forma individual. UNIDAD 2: Derivación de funciones de varias variables.

1-Derivadas parciales: Regla de la cadena y derivación implícita. Serie de Taylor. 2-Derivadas direccionales: Gradiente, planos tangentes a las superficies de nivel.

El estudiante resuelva problemas de optimización de funciones de varias variables, utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange planteando condiciones para la maximización o minimización de funciones de

-Identifica las propiedades de las derivadas de las funciones de varias variables y realiza cálculos aplicando dichas derivadas. -Escribe la serie de Taylor o de potencias para las funciones más sencillas y escribe las

Presentar Lección de reconocimiento Aprendizaje Basado en Problemas de acuerdo a las siguientes fases: El estudiante recibe una guía que describe un problema, desde el cual se plantea un reto y motiva al estudiante a profundizar en los estudios de las derivadas de las funciones de varias variables. Con el fin de aclarar dudas sobre las reglas de comportamiento durante el

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-Lograr que el estudiante identifique cada uno de los criterios para la derivabilidad de las funciones y pueda aplicar las derivadas en la solución de problemas. -Determinar la capacidad del estudiante para apropiarse de los conceptos básicos sobre los operadores diferenciales.



-Identifica los criterios para la derivabilidad de las funciones de varias variables.Reconoce los diferentes tipos de las derivadas, como son las parciales, las derivadas

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3-Valores máximos y mínimos: Máximos y mínimos absolutos y condicionados, multiplicadores de Lagrange. 4-Elementos diferenciales: Elemento de arco y de superficie en coordenada s cilíndricas y esféricas. 5- Elementos diferenciales: Elementos de arco y área en coordenada s

varias variables. Para lo anterior: El estudiante reconoce el concepto de derivada parcial, lo puede utilizar para aproximar las funciones a la serie de potencias. El estudiante identifica la diferencia entre derivadas parciales y derivadas direccionales y puede utilizar la derivada direccional para explicar el gradiente y

ecuaciones de los planos tangentes a diferentes curvas aplicando el gradiente. -Identifica las condiciones para el cálculo de los máximos y de los mínimos de funciones de varias variables. -Identifica las características de los diferencias cuando se pasan de unos sistemas de coordenadas a otros.

trabajo colaborativo, el tutor organiza una sesión virtual sincrónica donde se establece los protocolos de interacción y entrega del trabajo solicitado. En esta misma sesión se discute con el estudiante las posibles hipótesis para dar solución al problema, y el tutor le orienta para que pueda encontrar la información necesaria que le permita dar solución al problema planteado. El estudiante, junto con el grupo colaborativo Identifica los problemas y el planteamiento de posibles soluciones, a través de una actividad colaborativa que desarrolla dentro de un foro, donde el estudiante

-Establecer el nivel de comprensión de la aplicación de los conceptos básicos asociados al cálculo de los máximos y mínimos de las funciones de varias variables.



direccionale s y el gradiente. . -Identifica los puntos críticos de una función de varias variables y puede encontrar los máximos y mínimos absolutos y condicionad os de las funciones de varias variables.




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generalizadas, Jacobiano de la transformación.

escribir la ecuación de los planos tangentes a diferentes curvas. El estudiante diferencia los diferentes diferenciales como el de arco, de área en diferentes sistemas de coordenadas, y puede hallar la generalización a otros sistemas de coordenadas.

puede autorregular su aprendizaje. Las soluciones son construidas con ayuda de sus compañeros de grupo y el acompañamiento de su tutor, quien irá resolviendo dudas con ayuda de objetos virtuales de aprendizaje. El tutor será parte activa moderando desde al lado la construcción del trabajo colaborativo, así mismo estará apoyando de forma permanente en las dudas que el estudiante va adquiriendo en su experiencia práctica. Con el fin de evaluar los objetivos de aprendizaje adquiridos, el tutor evalúa los resultados del trabajo






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grupal, así como el individual, dando garantía que cada estudiante sea evaluado en conjunto como de forma individual. UNIDAD 3: Integració n de funciones con varias variables.

1-Integrales dobles y de volúmenes: Regla del punto medio, integrales iteradas, integrales dobles sobre regiones generales, integrales dobles en coordenadas polares. 2- Integrales triples:

El estudiante aplica y relaciona entre sí, los operadores diferenciales para resolver problemas de física y de Ingeniería. El estudiante utiliza los diferentes tipos de integrales y los resuelva aplicando los teoremas de Grenn, de la

-Identifica las diferentes tipos de integrales y realiza cálculos aplicando dichas integrales. -Calcula los diferentes tipos de integrales por diferentes métodos. -Identifica las condiciones para el cálculo de las integrales de línea y de flujo y aplica los

Aprendizaje Basado en Problemas de acuerdo a las siguientes fases: Problema de la Unidad I: El estudiante recibe una guía que describe un problema, desde el cual se plantea un reto y motiva al estudiante a profundizar en los estudios de la integración múltiple, de línea, de flujo y aplicación de los teoremas de Green, Stokes y Gauss.

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Con el fin de aclarar dudas sobre las reglas de comportamiento durante el trabajo colaborativo, el

-Lograr que el estudiante identifique cada uno de los diferentes tipos de integrales, pueda calcular dichas integrales y las pueda aplicar. -Determinar la capacidad del estudiante para apropiarse de los conceptos básicos sobre las integrales de las funciones de varias variables.



-Identifica los diferentes tipos de integrales que involucran funciones de varias variables. -Reconoce las diferentes coordenadas que se utilizan para realizar cálculos de

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Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas, cambio de variables en las integrales triples. 3- Integrales de línea: Integral de línea en campos vectoriales, rotacional, campos potenciales. 4- Integrales de superficie: Flujo y Divergencia

Divergencia, de Stokes, teoremas necesarios que facilitan el cálculo de las integrales de línea, de flujo y circulación, integrales necesarias en la solución de variados problemas de Física y de Ingeniería. Por lo tanto: El estudiante reconoce las diferentes integrales como son las dobles, triples, iteradas, de línea, de

teoremas de Green, Stokes y Gauss.

tutor organiza una sesión virtual sincrónica donde se establece los protocolos de interacción y entrega del trabajo solicitado. En esta misma sesión se discute con el estudiante las posibles hipótesis para dar solución al problema, y el tutor le orienta para que pueda encontrar la información necesaria que le permita dar solución al problema planteado. El estudiante, junto con el grupo colaborativo Identifica los problemas y el planteamiento de posibles soluciones, a través de una actividad colaborativa que desarrolla dentro de un foro, donde el estudiante puede autorregular su aprendizaje.

-Establecer el nivel de comprensión de la aplicación de los conceptos básicos asociados al estudio de las funciones vectoriales como son el concept o de flujo y de circulación.



integrales múltiples. -Identifica los teoremas utilizados para calcular integrales de línea y de flujo.




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5- Teoremas de Green, de Gauss y de Stokes.

flujo y puede realizar diferentes cálculos de las mismas con sus respectivas aplicaciones. El estudiante identifica la forma como se pueden calcular las integrales al pasar de unas coordenadas a otras. El estudiante diferencia los diferentes teoremas que se utilizan en el cálculo vectorial para hallar o transformar

Las soluciones son construidas con ayuda de sus compañeros de grupo y el acompañamiento de su tutor, quien irá resolviendo dudas con ayuda de objetos virtuales de aprendizaje. El tutor será parte activa moderando desde al lado la construcción del trabajo colaborativo, así mismo estará apoyando de forma permanente en las dudas que el estudiante va adquiriendo en su experiencia práctica. Con el fin de evaluar los objetivos de aprendizaje adquiridos, el tutor evalúa los resultados del trabajo grupal, así como el individual, dando garantía que cada estudiante sea






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unas integrales en otras.

Unidad UNIDAD 2: Derivación de funciones varias variables UNIDAD 3: Integración de funciones varias variables


Comprende todos los contenidos del curso.

evaluado en conjunto como de forma individual.

Competenci a

Indicadores de desempeño

Estrategia de Aprendizaje

El estudiante realiza adecuadamente la Prueba objetiva Cerrada (POC)

Sustenta el conocimiento adquirido del curso correspondiente a las tres unidades

El estudiante realiza un examen teniendo en cuenta el contenido de las tres unidades. Donde evidencia el desarrollo de las competencias

N° de Sem 2

Evaluación 1 Propósito Comprende todos los contenidos del curso.



Criterios de evaluación El estudiante evidencia los saberes adquiridos a través del examen final

Pondera ción 25%




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4. Estructura de evaluación del curso Tipo de evaluación

Ponderación

Autoevaluación

Formativa

Coevaluación

Formativa

Puntaje Máximo

Reconocimiento Lección de reconocimiento del curso (25).

25(5%)

Unidad I Heteroevaluación

-Lección de evaluación (10) -Problema Unidad I (60). - Cuestionario de la primera unidad (30).

100 (20%)

UNIDAD 2 -Lección de evaluación (20) -Problema Unidad I (75).

125(25%)






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- Cuestionario de la primera unidad (30). Unidad 3

Total

-Lección de evaluación (20) -Problema Unidad I (75). - Cuestionario de la primera unidad (30).

125(25%)

Examen final

125 (25%) 500



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