UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
Escuela de Ciencias Básicas, tecnología e Ingeniería
UNIDAD 1 – FASE 1
CALCULO MULTIVARIADO MULTIVARIADO
EJERCICIOS
1. Hallar las componentes y la longitud del vector que tiene punto inicial y punto final , después hallar un vector unitario en la dirección de ν: a. (5, −, !" y (, , −!" #. (−!, 5, !" y (,−$, −1" %&&.
¿ V 1 i+ V 2 j + V 3 k > ¿
v =q − p v =( 3,−4, −1 )−(−2,5,2 ) v = ( 3− (− 2 ) ,− 4 −5,−1− 2 ) v =( 5,−9, −3 )=¿ 5 i , −9 j ,− 3 k >¿ Hallando la longitud
||v||= √ 5 +(−9 ) +(−3 ) 2
2
2
||v||= √ 25 + 81+ 9 ||v||= √ 115 'ector unitario
v =u ||v|| u=¿
5,− 9,−3
√ 115
>¿
5
√ 115
,−
9
√ 115
,−
3
√ 115
raficas c. (!, , !" y (−,−1, 5" d. (, −!,−$" y (!, , 5" e. (−$, −!, 5" y (, !, −5" !. )etermine la gr*fica de la ecuación, recuerde que se tiene que completar el cuadrado.
R//
2
2
2
2
2
2
a.
x + y + z −8 y + 6 z −25 =0
b.
x + y + z −8 x + 4 y + 2 z − 4 =0
)espe+amos $ 2
2
2
x + y + z −8 x + 4 y + 2 z = 4 -rdenamos la ecuación 2
2
2
x −8 x + y + 4 y + z + 2 z = 4 ompletamos cuadrados para cada parte de la ecuación. 2
x −8 x /ara ello, sacamos mitad del n0mero que acompaa a la incógnita. 2itad de 3 es $. 4uego a este n0mero lo elevamos a !, por tanto $ ! 16. 7uedando la ecuación as8 2
x −8 x + 16 /ero para que nuestra ecuación quede equili#rada hay que restar este valor, quedando de la siguiente forma 2
x −8 x + 16 −16 9s8 mismo con las dem*s incógnitas 2
y + 4 y 2
y + 4 y + 4 −4 2
z + 2 z 2
z + 2 z + 1−1 7uedando la nueva ecuación 2
2
2
x −8 x + 16 −16 + y + 4 y + 4 − 4 + z + 2 z +1 −1= 4 %eordenamos la ecuación.
2
2
2
x −8 x + 16 + y + 4 y + 4 + z + 2 z + 1 =4 + 16 + 4 + 1
( x 2−8 x + 16 )+( y 2+ 4 y + 4 ) + ( z 2 + 2 z + 1 ) =25 actori;amos
( x −4 )2 + ( y +2 )2+ ( z + 1 )2=25 →ecuacion 1. 9hora igualamos a 1 el !5, para ello dividimos la ecuación entre !5.
( x − 4 )2 ( y + 2 )2 ( z +1 )2 25 + + = 25
25
25
25
( x − 4 )2 ( y + 2 )2 ( z +1 )2 + + =1 25
25
25
2
2
x y z + 2 + 2 =1 2 a b c = esta se encuentra centrada en el punto, ($,!,1". rafica eoge#ra. /ara compro#ar si el resultado es el deseado, escri#imos la ecuación principal en la #arra de funciones de eoge#ra, pero despe+ando el n0mero $. 2
2
2
x + y + z −8 x + 4 y + 2 z = 4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c.
x + y + z − x − y + 3 z + 2= 0
d.
x + y + z −8 x + 10 y − 4 z + 13=0
e.
x + y + z −6 x + 2 y − 4 z + 19 =0
. 4a posición de una part8cula, que se mueve en el plano , a las unidades de tiempo est* determinada por la ecuación vectorial, o#tenga ( ", ( ", ‖ ( "‖ , ‖( "‖> y determine los vectores velocidad y aceleración en 1
Velocidad =v ( t )=r (t )= x ( t ) i+ y ( t ) j '
'
'
Aceleración = a ( t )=r ( t )= x ( t ) i + y ( t ) j ' '
|
' '
| √ [
''
] [ 2
Rapidez=||v ( t )||= |r ' ( t )| = x ' ( t ) + y ' ( t ) R ( t ) =( t + 4 ) i + ( t −2 ) j ; t 1=3 2
a.
]
2
#.
R ( t ) =( 1+ t ) i + ( i − 1 ) j ;t 1=1
c.
R ( t ) =5cos2 ti + 3sin 2 tj;t 1= π
2
1 4
R//
r ( t ) =5cos ( 2 t ) i + 3sin ( 2 t ) j; t 1=
r ( t ) = x i + y j; t 1=
π 4
π 4
?e aplica la derivada para cada parte de la ecuación.
x =5cos ( 2 t ) x ' =
x ' =
d [ 5cos ( 2 t ) ] dt 5∗d
dt
[ cos ( 2 t ) ]
?ea u !t
y =3sin ( 2 t ) y ' =
y ' =
d [ 3sin ( 2 t )] dt 3∗d
dt
[ sin ( 2 t ) ]
?ea u !t
(u ) cos ¿ ¿ ' 5∗d x = ¿
(u ) sin ¿ ¿ 3∗d ' y = ¿
(u ) cos ¿ ¿ d ¿
(u ) sin ¿ ¿ d ¿
x = 5 ( −sin ( u ) )∗2
y =3 ( cos ( u ) )∗2
x =−10sin ( u )
y =6cos ( u )
du
du '
'
%empla;ando u
du
du '
'
%empla;ando u
'
y =6cos ( 2 t )
'
'
y ' =6cos ( 2 t )
x =−10sin ( 2 t ) x =−10sin ( 2 t ) d [ −10sin ( 2 t ) ] dt
y ' ' =
−10∗d
y ' ' =
x ' ' =
'
x ' =
dt
[ sin ( 2 t ) ]
'
x ' =
du
6∗d
dt
[ cos ( 2 t ) ]
?ea u !t
?ea u !t
(u) sin ¿ ¿ −10∗d
d [ 6cos (2 t )] dt
(u ) cos ¿ ¿ 6∗d ' y ' = ¿
¿
du
(u ) sin ¿ ¿ d ¿
(u ) cos ¿ ¿ d ¿
x ' =−10 ( cos ( u ) )∗2
y ' =6 (−sin ( u ) )∗2
x ' =−20 cos (u )
y ' =−12sin ( u )
du
du
'
'
'
'
%empla;ando u
%empla;ando u
'
y ' =−12sin ( 2 t )
'
x ' =−20 cos ( 2 t )
on lo anterior podemos reempla;ar para hallar la velocidad, aceleración y rapide;, procedemos a evaluar. /ara la velocidad tenemos '
'
'
v ( t )=r ( t )= x i + y j ; t =
π 4
'
v ( t )=r ( t )=−10sin ( 2 t ) i + 6cos ( 2 t ) j ; t =
( ( )) + ( ( )) π
v ( t )=−10sin 2
v ( t )=−10sin
4
() π 2
π
i 6cos 2
i + 6cos
() π 4
4
π 4
j
j
v ( t )=(−10∗1 ) i + ( 6∗0 ) j v ( t )=−10 i /ara la aceleración tenemos ' '
'
'
a ( t )=r ( t )= x ' i + y ' j;t =
π 4
'
a ( t )=r ( t )=−20cos ( 2 t ) i −12sin ( 2 t ) j ; t =
a ( t )=−20 cos
() π 2
i−12sin
() π 2
π 4
j
a ( t )=(−20∗0 ) i −( 12∗1 ) j a ( t )=−12 j /ara hallar la rapide; tenemos
||v ( t )||=||r ( t )||=√ [−10sin ( 2 t ) ] +[ 6cos ( 2 t ) ] ;t = π 4 2
'
||v ( t )||=√ 100sin ( 2 t ) +36 cos ( 2 t ) 2
2
||v ( t )||=√ 4 ( 25sin ( 2 t ) +9cos ( 2 t )) 2
2
||v ( t )||=√ 4 √ 25sin (2 t )+ 9cos ( 2 t ) 2
2
2
||v ( t )||=2
√
25sin
2
() π 2
+ 9cos 2
() π 2
||v ( t )||=2 √ ( 25∗1 ) +( 9∗0 ) 2
2
||v ( t )||=2 √ 25 ||v ( t )||=10
2
1
d.
R ( t ) = i − tj;t 1= 4 4 t
e.
R ( t ) =e i + e j ; t 1= ln 2 2 t
t
f ( x , y ) =
$. ?ean
x y
2
, g ( x )= x , ( x )=√ x
( f ) (2,1 ) ∘
a.
f ( ( 3 ) , g ( 9 ) )
#.
¿
( g f ) ( x , y ) ∘
c. %&& tenemos
( g f ) ( x , y ) ∘
g
y
x
2
y
[ ]√ 2
2
[ ]=[ ] = x
x
y
4
=
x
2
y
4
2
x
2
y
= 4
x y
2
d.
( g ) ( f ( x , y ) )
e.
( f )( 2,1)
∘
∘
2
)etermine
5. uer;as con magnitudes de 13@ neAton y !B5 neAton act0an so#re un gancho (ver la figura".
a. ?i @C, hallar la dirección y la magnitud de la fuer;a resultante. #.
2 α
d. Fsar una herramienta de graficación para representar las dos funciones 2 y α e.
