1) Hallar las componentes y la magnitud del del vector Vque tiene punto inicial P y final final Q, después hallar el vector unitario en la dirección V Puntos escogidos D: P(3,2,5) y Q(-2,-7,5)
R//
⃗ 3,2,5⃗ −2,−7,5 ⃗ ⃗ = ⃗ − ⃗ =(-5,-9,0) ⃗ ∥= −5 ∥ −5 + −9 −9 + 0 = √25+81 = √ 106 106 Vector unitario
⃗ = 1 −5,−9,0 ⃗ = ∥∥ 106
2) Determinar la gráfica de la ecuación, se debe completar el cuadrado.
3 +3 +3 =10+6+12 + −2+ −6= 103 + −2+1+ −6+9= 103 +10 +−1 +−3 = y es la ecuación de una esfera de radio = y centrada en (0,1,3)
3) La posición de una partícula que se mueve en el plano XY a las t unidades de tiempo esta determinada por la ecuación vectorial, obtenga v(t) a(t)
∥ ∥ ∥ ∥
Determinar los vectores velocidad y aceleración e n t=t1.
= +3 + 1−3 = 12 Derivar con respecto al tiempo ′ = ⃗ = 2+3 +−6 Segunda derivada de R(t)
obtengo a(t)
= ()´=2−6= 2 ,−6 = 12 Velocidad
12 = 4−3 =4,−3 Aceleración
= 2 −6 = (2,-6) En todo momento. ∥ ∥= 2+3 +−6 = √ 4 +12+9+36 = √ 40 +12+9 = √ 1 0+6+9 = 5 ∥ ∥=√ 4 +36 = 2√ 10
4. Obtenga una ecuación del plano que satisfaga las condiciones indicadas.
Perpendicular a cada uno de los planos : x y + z = 0 y : 2x + y 4z -5 = 0 y contiene al punto (4, 0, -2) el producto cruz de los vectores directores de los planos me da un vector que pertenece al plano que es perpendicular a ambos.
–
–
1,−1, 1×2,−1, 4 =−3,−2,1
Así es un vector paralelo al plano en cuestión, para determinar otro vector paralelo al plano, debemos encontrar otros dos vectores sobre los planos y Tomando dos puntos sobre cada uno de los planos y volteándolos
Por tanto la ecuación del plano es
….
5. Problemas de aplicación, realizar los respectivos problemas propuestos, a. Se dispara un proyectil desde un cañón situado en la parte superior de un edificio de 96 pie de altura. El cañón forma un ángulo de 30º con la horizontal. Si la velocidad de salida es de 1600 pie/s, calcule el tiempo de recorrido y la distancia desde la base del edificio hasta el punto donde caerá el proyectil. 1600 pie/s 30 º
96
Descomponemos el vector velocidad en sus componentes en x e y asi
= + Donde =∗cos30 º = √ 3 ∗800 =∗sin30 º =800
Ahora tratamos ambos problemas como un problema de caída libre en el eje y, un problema de movimiento rectilíneo en el eje x.
1600 pie/s 30 º
=∗sin30 º =800 pies/s
=∗cos30 º = √ 3 ∗800pies/s Las condiciones iníciales para el caso del eje y son
=800
ℎ = 96 = 0 Y utilizamos las ecuaciones de movimiento (1) =−32∗+ ℎ=−16∗ + ∗+ℎ (2) la altura máxima se encuentra cuando v=0, por lo tanto al reemplazar (1) y despejar, obtenemos el valor para el tiempo. de donde t=25 segundos, esto es el tiempo que toma el proyectil en alcanzar la máxima altura es de 25 segundos, al reemplazar este valor en la ecuación (2) obtenemos que la altura máxima que alcanza es de 10.096 pies. Con esta información podemos calcular el tiempo que el proyectil demora en caer al suelo, de nuevo reemplazando en la ecuación (2) donde ahora h0=10096, t0=0, v0=0, asi obtenemos que el tiempo que demora el proyectil en caer es de , por tanto el tiempo total de vuelo es segundos. de
0=−32∗+800
=+ √
√ 631≈25.1197
En el caso del movimiento en x, este se comporta como un movimiento rectilíneo uniforme por tanto la ecuación es Tenemos que
= ∗ y como =∗cos30 º = √ 3 ∗800pies/s
= √ ∗∗(+ √ ) ≈
b. Un avión parte de un aeropuerto ubicado en el origen 0 y vuela a 150 mi en la dirección 20° noreste a la ciudad A. De A el avión vuela después 200 mi en la dirección 23° noroeste a la ciudad B. De B el avión vuela 240 mi en la dirección 10° suroeste a la ciudad C . Exprese la ubicación C como un vector r igual al que se presenta en la siguiente figura. Determine la distancia 0 a C .
c. Se empuja un tren a lo largo de un riel recto con una fuerza
de 3000 lb actuando un ángulo de 45° en la dirección de movimiento. Determine el trabajo realizado al mover el tren 400 pies. En los ítem d y e Verifique que el cuadrilátero dado es un paralelogramo y determine el área del paralelogramo. d.
e.
