Fase 3: Trabajo Colaborativo 3
Calculo Multivariado
Por EDWIN ANDRÉS JIMÉNEZ GARCÍA 1033685765 GUSTAVO ANDRES AMORTEGUI DERLY ENNID BELTRAN EDWIN FABIAN BAUTISTA YULI PAOLA MEDINA
Tutor MELISSA MONTOYA Grupo: 203057_44
Universidad Nacional Abierta y A Distancia UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería Mayo 2018
Introducción
Mediante el siguiente trabajo se quiere abordar los diferentes temas planteados en la actividad, para conocer la importancia del Calculo Multivariado en nuestros campos de estudio. Con lo cual mediante los ejercicios propuestos fortalecemos conocimientos con el análisis de los temas, apoyándonos a poyándonos en el desarrollo realizado a través del foro, creados para el desarrollo de las guías de actividades. El desarrollo del trabajo colaborativo Fase 3, encontraremos como temáticas de estudio las integrales dobles y de volúmenes, integrales triples en diferentes coordenadas, integrales de línea, integrales de flujo, teoremas de integración. En base a los conocimientos adquiridos a través de la práctica desarrollando ejercicios propuestos como pieza fundamental del estudio del caso. Se realiza la entrega del siguiente informe con los parámetros establecidos dando como fin cumplimiento a la rúbrica de evaluación.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD 1. Evalué la integral doble iterada Ejercicio 1 (Edwin Bautista) a)
Evaluamos la integral interior:
∫ ∫ 1 ∫ ∫ 1
∫ 1 =∫ 1 ∫ 1 Evaluamos los límites ∫ 1 lim 0 = 1 = 0 lim = 1 = 1 1 0 Simplificando 1 Ahora evaluamos la integral externa ∫ 1 Calculamos la integral indefinida:
∫ 1 Integración por sustitución. 1 = 13 1 Evaluamos los límites: lim 0=( 13 1)=( 13 0 1) = 13 lim 1=( 13 1)=( 13 1 1) = 0 =0( 13) = 13
∫ ∫ 1 = 13
Ejercicio 1 (Edwin Jiménez) b)
∫ ∫√ 2−
Solución: Evaluamos la integral interior:
Evaluamos los Límites
∫√ 2− = 2− ∫ = 2− ∫ = 2− ∗ 2 = − ∫√ − − − →√ →lim√ = −√ = − lim = 1 = →
Ahora evaluamos la integral externa
∫− −=∫ − ∫ −
Resolvemos la primera integral
∫ − = − − Resolvemos la segunda integral
∫ −=− Unimos los resultados de las integrales y simplificamos = − − − = − − − − = Evaluamos los Límites − ∫ l→im = −=−4 = 4 l→im = −= − = 1
= ( 4)( 1) = 4 1 ∫ ∫√ 2− = 4 1
Ejercicio 1 (Gustavo Amórtegui) c)
Solución
∫ ∫ 2 2 ∫ ∫ =∫ [3√ 2 |]= 23 ∫ = 3 ∫ 3 ∫ = 13 | 214 | = 13 161 161 214 (4 1 ) =5 50821 = 40321
Ejercicio 1 (Derly Beltrán) d)
Solución
∫ ∫1 ∫ ∫ 1 1 =∫ | = ∫ =∫ ∫
Hay dos integrales que se están sumando, la primera se resuelve directamente mientras que la segunda se resuelve por sustitución simple
=0=11=2 ∫ =| =,1 = ∫ = ∫ == 2 = 12 | = 12 sinπ0 sinπ0 = 0
Así, juntando las dos soluciones se tiene
Ejercicio 1 (Yuli Medina)
∫ ∫ 1 1 =20=
e)
Solución
∫ ∫ 4
∫ ∫ 4
Para resolver la integral interna se realiza una sustitución simple
=4, −= ∫ ∫ 4 = ∫ ∫ ∫ = ∫ cos |− = ∫ cos cos4 4 cos cos4 4 =∫ cos4 4 ∫cos ∫cos 4 4 La primera integral se resuelve por sustitución simple
∫ cos4 =4, =4 ∫ cos4 = 14 ∗∫cos = 14 ∗sin ∗sin | = 14 ∗ sin3 3 sin sin = 14 ∗ 0 0 = 0 Para la segunda integral, se realiza nuevamente sustitución simple:
∫cos ∫cos 4 4 =4, =4 1 1 1 ∫cos ∫cos 4 4 = ∗∫ c o s = ∗sin ∗sin | = 4 sin sin2 2 4 4 4 sin4 = 14 ∗ 0 0 = 0 Luego, la solución de la integral es: ∫ ∫ 4 =00=
2. Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas, evalué la integral iterada Ejercicio 2 (Edwin Bautista) a)
Evaluando la integral interior
∫− ∫ ∫ ∫− ∫ ∫
∫ Calculando la integral indefinida ∫ 12 Evaluamos los límites lim 0 = (12 )=(12 0)=0 lim 3 = (12 )=(12 3)= 92 92 0= 92 Por lo tanto nos queda:
Evaluando la siguiente integral
Sacamos la integral indefinida:
Evaluando los límites:
9 ∫− ∫ 2 9 ∫ 2
9 ∫ 2 = = 92
lim 0 = (92 )=(92 sin0)=0 lim 2 = (92 )=(92 sin2)= ) = 92 92 0 = 92 Finalmente la última integral. 9 ∫− 2 Calculamos la integral indefinida 9 9 ∫− 2 = 2 Calculando los límites lim 1(92 )=(92 1)= 92 lim 5 (92 )=(92 5) = 452 452 ( 92)=27
Ejercicio 2 (Edwin Jiménez)
∫− ∫ ∫ = 27
b)
∫/ ∫ ∫− Evaluando la integral interior
∫− Calculando la integral indefinida ∫ ∫ 1+ 1 = 2 Evaluamos los límites 0 lim= → 2 = 2 = 0 l→− im = 2 = 6 2 Simplificamos 6 = 2 0 6 = 2 Por lo tanto nos queda: ∫/ ∫ 6 2 Evaluando la siguiente integral ∫ 6 2 Sacamos la integral indefinida: 6 1 ∫ 2 = 2 ∫ 6 6 166 =3666 21 ∫ 1236 ∫ 12 36 36 2 12 (∫ (∫ ∫12 ∫ 36 ) )
∫ = 4 ∫12 =12 3 = 4 ∫36 ∫36 = = 36 2 =18 1
2 4 4 18 Evaluando los límites: 1 1 2 lim= 4 18 = → 2 4 2 4 42 182 = 12 (164 48184)=12 43272 43272 = 12 ∗44=22 l→im = 12 4 4 18=12 (12964 42161836) = 12 324864648 324864648 = 12 ∗108=54 Simplificamos =5422=32 Calculamos la integral indefinida de la última integral.
Calculando los límites
/ ∫ 32 =32 =32
lim =32=32 =32=320 = 0 → l→/ im =324 = = = . .
Ejercicio 2 (Gustavo Amórtegui) c)
∫/ ∫ ∫− Solución
∫/ ∫ ∫− Por sustitución simple: ∫− → =3 = ∫− = 13 ∫− = 13 |− = 13 [1 1]= 31 13
1 1 1 1 1 1 1 1 ( 3 3)∫ ∫ = ( 3 3)∫ = ( 3 3) 2 0= 2 ( 3 3)
Ejercicio 2 (Derly Beltrán) d)
∫ ∫ ∫ Solución 1 ∫ ∫ ∫ = ∫ ∫ 3 | = 3 ∫ ∫ ∫ = ∫ = ∫ 1 Por sustitución simple =1, =2 1 = ∫ = 1 | = 1 [1 1]= 1 1 = 3 ∫1 2 4 4 4 16 4 16 13 ∫ ∫ = 13 ∫ (163 ) = 3∗16 3 ∫ = 161 | = 161 20 8 20 =
Ejercicio 2 (Yuli Medina)
e)
Solución
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = ∫ ∫ | = ∫ ∫ 1 = ∗∫ ( 1 ) = 3 ∗ ∫ | = 3 ∗∫ 3 1 = 3 ∗ ∫ = 3 ∗∫ = 3 ∗| = 3 ∗ 1 0 =
3. Calcule el trabajo total realizado al mover una partícula a lo largo del arco C si el movimiento lo ocasiona el campo de fuerza F. Suponga que el campo que el arco se mide en metros y la fuerza en Newton. Ejercicio 3 (Edwin Jiménez)
b)
,=2 ;: ; : = Desde el origen hasta el punto (1,1). ( 1,1). Solución: Campo de Fuerza:
, , =2 =2
Parábola:
Curva
Punto inicial y punto final
= , =, =2
0,0 1,1 =∫⃗.⃗ =∫ 2 2 ∗ =2∫ ∫ 2 =2∫ =2∫ ∫ 2 = 2 ∫ 2∫ = 12 | 12 | 13 | = 12 1 12 1 13 1 =1.333 , , =2 =2 ; :el : el segmento segmento de recta recta del 1,1 2,4 2, 4.
Ejercicio 3 (Gustavo Amórtegui) c)
Solución Curva
=32, =, =3 Punto inicial y punto final 1,1 2,4
=∫⃗.⃗ =∫ 2 2 ∗ =2∫ ∫ 3 =2∫32 ∫ 32 124 = 2 | 2 | 10| 18 | 12| = 2 ∫ 3 2 23∫10 = 28 1 24 1 10 108 1 18 184 1 12 122 1 = 36 Ejercicio 3 (Derly Beltrán) d)
, , =2 =2 ; ; : : = Desde el punto 1,1 1, 1 hasta 2,4 2, 4. Solución Curva
= , =, =2 Punto inicial y punto final 1,1 2,4 =∫⃗.⃗ =∫ 2 2 ∗ =2∫ ∫ =2∫ ∫ 2 = 2 ∫ 2∫ = 12 | 12 | 13 | = 12 161 161 12 161 161 13 641 641 = 36
Ejercicio 3 (Yuli Medina) e)
Solución
, , = 2; : el el segmento de recta de ,0 , 0 a 0, 0, .
Para este ejercicio, la curva viene dada por
= , = , = ,0 , 0 0, ⃗ ⃗ =∫. =∫ 2 2 ∙ =∫ 2∗∫ =∫ 2∗∫ 1 = ∫ ∫ 2∗∫ 2∗∫ = ∗ | ∗ | | 2| 4 3 1 = 4 ∗ 0 3 ∗ 0 0 2∗ 2∗ 0 = 4 3 2 =
4. Utilice el teorema de Green para evaluar las integrales de líneas. Ejercicio 4 (Edwin Jiménez) b)
, C: frontera de la región comprendida entre las graficas = 0 y la curva = ∮ / =9 = ∬ ( ) = ∬ 2 = ∬ = ∫ ∫ = ∫ | = ∫ 9 = ∫9 = 92 30 = 932 = b.
Ejercicio 4 (Gustavo Amórtegui)
∮ 2, C: = 16 Solución 2=∬( )=∬22=4∬ 256 4 = 4∫ ∫ = 4 ∫ ∫ = 3 ∫ | = 3 ∫ = 2563 | = 2563 20 20 = 2563 1 1 = 0 c)
Ejercicio 4 (Derly Beltrán) d)
∮ 2 , C: frontera de la región comprendida entre las gráficas = y =4 Solución
2 =∬( )=∬ )=∬42 42=2∬ =2∬2 2 √ √ = 2∫ ∫ 2 =2∫ | | 4 | = 48 =2∫ = 5 5
Ejercicio 4 (Yuli Medina) e)
∮ , C: frontera de la región comprendida entre las gráficas = y = √ Solución
=∬( )=∬ )=∬ = ∬ ∬ = ∫ ∫√ = 12 ∗ ∫|√ = 12 ∗ ∫ = 14 ∗ | 16 ∗ | = 14 ∗ 1 0 16 ∗ 1 0 = 5. Producción promedio: La función de producción Cobb-Douglas para fabricantes de automóviles es ( ,)=100 0.6 0.4 donde es el número de unidades de trabajo y es el número de unidades de capital. Estimar el nivel promedio de producción:
Ejercicio 5 (Edwin Jiménez)
de capital varía entre 180 y 405
b) si el número de unidades de trabajo varía entre 120 y 350 y el número
= 1 ∬ , , = 350120 350120 ∗ 405180 405180 =51750 1 ∗ ∫ ∫100.. = 1 ∗ ∬ , , = 51750 . 100 ∗ ∫ 1.6 .| = 51750 100 = 51750 517501.6 ∗ ∫ 350. 120..
de unidades
100 ∗ ∫9641.022. = 82800 =11 =11.6437∗∫ . = 11.1.64437 ∗ .| = 11.1.64437 ∗ 405. 180. = 11.1.64437 ∗ 4471.331436.37575 =8.317∗ =8.317∗ 3034.966 =. Ejercicio 5 (Gustavo Amórtegui)
de capital varía entre 185 y 270
c) si el número de unidades de trabajo varía entre 150 y 320 y el número
de unidades
Solución
. . . . 1 100 = 1 ∬,= 270185 ∫ ∫ 1 0 0 = ∫ | 320150 270185 320150 14450 1. 6 . . . . 30.97 . 100 = 1.6 ∗14450 ∫ 320 150 = 30.97∫ = 1.4 | = 30.1.497 270. 185. =23043.1
Ejercicio 5 (Derly Beltrán) d)
Si el número de unidades de trabajo varía entre 95 y 185 y el número de unidades de capital varía entre 310 y 455 Solución
. . . . 1 100 = 1 ∬,= 455310 ∫ ∫ 1 0 0 = ∫ | 18595 455310 18595 = 13050 1. 6 = 1.6100∗13050 ∫185. 95.. = 13.32∫. = 13.1.432 .| = 13.1.432 455. 310. =20811.1 Ejercicio 5 (Yuli Medina)
unidades de capital varía entre 195 y 285
e) si el número de unidades de trabajo varía entre 80 y 150 y el número
de
Solución
= 1 ∬, = 15080 15080 ∗ 285195 285195 =6300 . 100 ∗ ∫ 1.6 .| = 1 ∗ ∬ , , = 63001 ∗ ∫ ∫ 100.. = 6300 . . . 100 19. 0 8 . .| = 6300 ∗ ∫ 150 80 =19 =1 9 . 0 8∗∫ = ∗ 6300 1. 6 1. 4 19. 0 8 = 1.4 ∗ 285. 195. =.
Conclusiones
Utilizando las referencias bibliográficas del entorno de conocimiento propuestas en la unidad 3, se logró realizar el correcto desarrollo de los ejercicios dados en la guía.
Mediante el planteamiento de los problemas, se identificó el tema correspondiente con lo cual se buscaron los métodos de solución apropiados.
Se abordaron de manera correcta la solución de Integrales dobles y de volúmenes, en los casos de estudios, junto a integrales triples en diferentes coordenadas, integrales de línea, integrales de flujo, teoremas de integración.
